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第七章多元函数微积分学简介 ppt课件

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多元函数微积分(课件)

多元函数微积分(课件)
3 V 为因变量的二元函数。根据问题的实际意义，函数的定义域为
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
5
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
4
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，

高数课件21多元函数微分学

高数课件21多元函数微分学

设两点为 P( x1, x2,, xn ), Q( y1, y2,, yn ),
| PQ | ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地当 n 1, 2, 3时，便为数轴、平面、空间
两点间的距离．
n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U (P0 , ) P | PP0 | , P Rn
1
2
重点
多元函数基本概念，偏导数， 全微分，复合函数求导，隐函 数求导，偏导数的几何应用， 多元函数极值。
难点
复合函数求导，多元函数极值。
函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质
上要出现一些新东西，但 从二元函数到二元以上
函数则可以类推，
因此这里基
本上只讨论二元函数。
一、多元函数的概念
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为U ( P0 , ) ，
4、 x2 1 y ；
x
1 y
5、 ( x, y) 0 x2 y2 1, y2 4x ；
6、 ( x, y) x 0, y 0, x 2 y ；
7、( x, y) x 0, x y x
( x, y) x 0, x y x；
8、 ( x, y) y 2 2x 0 .
3 x2 y2 1 2 x2 y2 4
x y2 0
x
y2
f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) x y2
例1 求 解 所求定义域为
的定义域．
设函数z f ( x, y)的定义域为D ，对于任意 取定的P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐 标、z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x, y, z)， 当x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称

第七讲 多元函数微分学(基础班 专转本第七章)

第七讲 多元函数微分学(基础班 专转本第七章)
x x0 y y0
类似地，当 x固定在 x 0，而 y 在 y 0处有改变量 y ，如 极 限 lim
y0
存在，则称此极限为函
z f ( x, y )在点（ x 0 ，y 0 ）处对 y 的偏导数，记为
则称二元函数 z f ( x , y) 在点 P0 ( x 0 , y 0 )处连续．如果 f ( x , y) 在区域 D 内的每一点都连续, 则称 f ( x , y) 在区域 D 上连续． 注：类似的，我们也可以定义二元函数间断点的概念 二、偏导数与全微分 引例 一定量理想气体的压强 P，体积 V，热力学 度 T 三者之间的关系为 RT P (R 为常量 ).
第七讲 多元函数微分学 §1 多元函数微分学 一、多元函数的概念 人们在实践中，还会遇到许多依赖与两个或两个以上自变 量的函数，称这种函数为多元函数。
2
RT
定量理想气体的压强 p V （R是常数） 1.二元函数的定义 设有三个变量 x, y和 z,如果当变量 x, y在它们的
(V , T ) V 0, T T
x 0 0 y
xy 1 1
,
f y
x 0 0 y
,zy
x 0 y 0
或f y ( x 0 , y 0 )
.
lim
lim
xy 1 1
t 11
2
lim f ( x , y ) f ( x 0 , y0 )
dPT常数
第七讲 多元函数微分学
e x cos y
x 1 o y x 2 yo 2
求 极 限 例4 求极限 lim
xy
l i m
解： 这里 就不能直 接带入 x 0, y 0

高等数学ppt课件

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05
常微分方程初步
常微分方程基本概念
1 2
常微分方程定义
明确常微分方程的定义，包括独立变量、未知函 数、方程阶数等概念。
初始条件和边界条件
解释初始条件和边界条件在解常微分方程中的作 用和意义。
3
常微分方程的解
阐述通解、特解、隐式解、显式解等概念，并举 例说明。
一阶常微分方程解法
分离变量法
介绍分离变量法的原理、步骤和适用范围，通 过实例演示其应用。
向量积定义
两向量按照右手定则所构成的平行四边形的面积，结果为一向量，可用于计算法向量、判断三向量共 面等。
平面和直线方程求解方法
要点一
平面方程求解方法
包括点法式、一般式等，用于确定平面在空间中的位置。
要点二
直线方程求解方法
包括点向式、参数式等，用于确定直线在空间中的位置和 方向。
常见曲面方程及其图形特征
为未来职业生涯打基础
许多行业都需要具备一定的数学基础 ，学习高等数学有助于为未来职业生 涯打下坚实基础。
02
函数与极限
函数概念与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数值、定义域、值域等概念。
函数性质
介绍函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并举例说明。
初等函数及其图像
基本初等函数
详细讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的定义、性质和图像。
隐函数求导法
阐述隐函数存在定理，介绍隐函数求导方法及应用实例。
二重积分定义和计算方法
二重积分定义
阐述二重积分概念、性质及实际意义，介绍 二重积分在物理、工程等领域的应用。
二重积分计算方法
分别介绍直角坐标系和极坐标系下二重积分 的计算方法，包括累次积分法、换元积分法

多元函数微分

多元函数微分
2通过二阶偏导数判断：A=fxx(Xo,Yo) B=fxy(Xo,Yo) C=fyy(Xo，Yo) 通过公式B^2AC的符号判断
极值计算问题
1）无条件约束 1根据所列出的函数求其驻点，判断是否为极 值点，若是，求出极值 2）有条件约束 1构造拉格朗日函数 F(x,y,λ)=f(x,y)+λ( 约束条件函数） 2求驻点，判断是否为极值点，若是，求出极 值
§7.4隐函数的微分法
一元函数隐函数的微分：
dy/dx=-（ᵊF/ᵊx)/(ᵊF/ᵊy)=Fx(x,y)/Fy(x,y) 二元函数隐函数的微分：
ᵊz/ᵊx=-Fx(x,y,z)/Fz(x,y,z)
§7.5多元函数的极值与最值
一元函数极值存在条件： 1通过一阶导数求驻点P(Xo,Yo) 2通过二阶导数判断：f''(Xo)>0,则P为极小 值点,反之为极大值点 二元函数极值存在条件 1通过一阶偏导数求驻点P(Xo,Yo)
第七章小结
7.1二元函数的概念
• （1）函数具备的要素：定义域、值域、对 应法则与二元函数的几何意义。 定义域：使函数有意义的自变量的取 值。 值域：对应自变量取值的因变量的取 值。 二元函数几何意义：如X的偏导数： 分别作平行于XOZ、ZOY面的平面切该三维 图形，即得。
• （2）平面区域点的类型：内点、外点、边 界点。（开集、开区域、闭区域、有界点 集、无界点集、聚点的概念）(能够理解判 断平面区域点的类型)
最值计算问题
求二元函数的最大值与最小值 1求函数在内所有驻点处的函数值 2 求在的边界上的最大值和最小值； 3 将前两步得到的所有函数值进行比较，其 中最大者即为最大值, 最小者即为最小值.
背景知识
• 拉格朗日 • 柯布·道格拉斯函数 • 海塞矩阵

《多元函数的微积分》课件

《多元函数的微积分》课件
最优化问题
在资源分配和生产计划中，多元函数微积分可以用于求解最优化问 题，例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中，多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报，以及 制定风险管理策略。
THANKS
感谢观看
多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y)，其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如，对于函数z = f(x, y) ，其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y)，其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如，函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分，可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ，这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中，曲线积分是计算曲线长度的一种方法，而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中，多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题，例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z)，其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如，函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时，函数值的趋近值。例如，lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0，表示当(x, y)趋近于(0, 0)时，函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件

高等数学微积分课件--82多元函数的概念


方向导数与梯度
方向导数的定义
方向导数是函数在某点处沿某一特定方向的 变化率。
梯度的几何意义
梯度在几何上表示函数值在空间中上升最快 的方向。
梯度的定义
梯度是方向导数的最大值，表示函数在某点 处沿某一方向的最大变化率。
方向导数与梯度的关系
方向导数是梯度的组成部分，但方向导数的 值可能小于梯度。
07
多元函数的极值与最 值
多元函数的自变量x的取值范围。
值域
多元函数因变量y的取值范围。
多元函数的表示方法
1 2
解析法
使用数学表达式来表示多元函数，如z = f(x,y)。
图示法
通过图形来表示多元函数，可以直观地观察函数 的变化趋势和形状。
3
表列法
列出函数在不同点上的取值，便于计算和比较。
多元函数的图形表示
平面图
在二维平面上表示多元函数，通过绘制等高线、 等值线等方式来表现函数的值。
三维图
在三维空间中表示多元函数，通过绘制立体图形 来表现函数的值和变化趋势。
参数方程
通过参数方程来表示多元函数，便于分析和计算 。
03
多元函数的性质
连续性
总结词
连续性是多元函数的基本性质，表示 函数在某点的极限值等于该点的函数 值。
详细描述
在多元函数中，如果一个函数在某点 的所有方向上的极限都存在且相等， 则称该函数在该点连续。连续性是函 数光滑、可微的重要前提。
VS
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的 特殊形式，用于计算定积分的值。
重积分与曲面积分
重积分
重积分是多元函数积分的扩展，用于计算多 元函数在区域上的积分。

多元函数的微积分PPT课件


曲线的一般方程为
z
F x, y, z 0
G
x,
y,
z
0
x2 y2 1 如
z 2
o
y
x
x2 y2 1
z y, z 0
第9页/共29页
二次曲面及截痕法 椭球面（几何演示）
抛物面（几何演示）
双曲面（几何演示）
第10页/共29页
曲面在坐标平面内的投影
例 求上半球面 z 2 x与2上半锥y面2 所围成的立体在 xoy 面内的投影区域。
第2页/共29页
空间解析几何简介
空间直角坐标系（三维直角坐标系）
z（竖轴）
O
x（横轴）
y （纵轴）
右手原则
第3页/共29页
O O O
z 空间直角坐标系
z
z
y
y
x
y
x
x
三个坐标平面分空间为八个卦限 （演示）
z
八个卦限
三个坐标平面
Ⅲ
Ⅱ
xoy 平面
Ⅳ
Ⅰ
xoz 平面
O
y
yoz 平面
x
第4页/共29页
Ⅶ
Ⅵ
∙ Px0, y0
第18页/共29页
二元函数的极限计算
6 lim x y
x0 x y
y0
×x 2 y 3y lim 3 y0 y
事实上，设 x ky k 1
x y
x y 换元时 与 不能相互制约
则 lim
x0 x y
y0
lim
y0
yk yk
1 1
k k
1 1
∙ Px0, y0
结果与 k 有关，故原极限不存在。

《多元函数的微积分》PPT课件


xy
kx2
k
lim
x0
x2
y2
lim x0
x2
k2x2
1 k2
.
6
y kx 0
例1 求lim sin(xy) . x0 x
y2
解： lim sin(xy) lim sin(xy) y
x0 x
x0 xy
y2
y2
sin(xy)
lim
lim y
x0 xy
x0
y2
y2
2 lim sin( xy) 2 . xy0 xy
时，函数都无限接近于A. (2) 如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数
趋于不同的值，则函数的极限不存在．
例
xy
x2
y2
, x2 y2 0 .
f (x, y)
0 , x2 y2 0 .
当点P(x，y)沿 x 轴、y 轴趋于点(0，0)时函数的极限为
当点P(x，y)沿直线y=k x 趋于点(0，0)时
解： 如果 2 函数在单位圆上任何点都连续
若 2 在单位圆上任何点都不连续
9
三. 偏导数的概念及简单计算
1. 偏导数的概念：
定义
设函数z f(x，y)在点(x0，y0)的某一邻域内有当y 固定
定在义y0 ，而x 在x0 处有增量 x 时相，应地函数有增量
f (x0（１）如果极限 0) ，x，y0) f(x0，y
y0
y
存在，
则称此极限为函数z f(x，y)在点(x0，y0)处对y 的偏
导数，
记作
z , x x0
y y y0
f ,
y x x0
y y0
z y , x x0 y y0

第七章 多元函数的微积分 《经济数学》PPT课件

反之,对于任意一个有序数组(x,y,z),在x,y,z三轴上分别取与x,y,z相应的点 P,Q,R,然后过P,Q,R这三点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面,这三个平面的 交点M就是有序数组(x,y,z)所唯一确定的点.
于是,空间任意一点M和有序数组(x,y,z)建立了一一对应的关系,我们称有序 数组(x,y,z)为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标,记为M(x,y,z).
设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义,若自变量x、y各有 改变量Δx和Δy,则Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)称为函数z=f(x,y)在 点(x,y)的全增量.
➢ 定义7-6
PART
07
7. 5. 1 二元函数的极值
7.5
多元函数的极值
➢ 定义7-7 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,对于该邻域内异于(x0,y0) 的任意一点(x,y),如果有f(x,y)<f(x0,y0),则称函数在点(x0,y0)处有极大值;如果有 f(x,y)>f(x0,y0),则称函数在点(x0,y0)处有极小值.极大值、极小值统称为极值,使函数 取得极值的点称为极值点.
1)边际函数 ➢ (1)边际成本 • 设某工厂生产甲、乙两种不同的产品,其数量分别为x,y,总成本
函数为C(x,y),则("∂" C)/("∂" x)表示:当乙商品的数量保持在某 一水平上,而甲商品的数量变化时总成本的变化率.我们把它称为 总成本C(x,y)对x的边际成本.("∂" C)/("∂" y)表示:当甲商品的数 量保持在某一水平上,而乙商品的数量变化时总成本的变化率.我 们把它称为总成本C(x,y)对y的边际成本.
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例如，方程 y 22x 表示母线平行于z轴的柱面， 它的准线是 xOy 面上的抛物线 y 22x，该柱面叫做抛物柱面．
又如，方程xy0表示母线平行于z轴的柱面，其准线是xOy面
的直线xy0，所以它是过z 轴的平面．
z
z
y
y 22x

O
O
x
xy0
y
x
《微积分简明教程》复旦大学出版社
4﹑其他的二次曲面
《微积分简明教程》复旦大学出版社
例2 在z轴上求与两点A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)等距离的点．
解 设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有
|MA| 2|MB| 2，
即
(04) 2(01) 2(z7) 2(30) 2(50) 2(2z) 2．
解之得
z 1 ， 4 9
所 以 ， 所 求 的 点 为 M (0 , 0 , 1)． 4 9
椭球ax面 22 by22 cz22 1
单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
(a,b,c 0)
双叶双曲面
x 能满足这方程，那么这些点就在这曲
l
y O
R R x 2y 2R 2
面上．因此，过xOy 面上的圆x 2y 2R 2，且平行于 z 轴的直线 一定在x 2y 2R 2表示的曲面上．所以这个曲面可以看成是由平行 于 z 轴的直线 l 沿xOy 面上的圆x 2y 2R 2移动而形成的．
《微积分简明教程》复旦大学出版社
《微积分简明教程》复旦大学出版社
例3 设有点A(1，2，3)和B(2，1，4)，求线段AB的垂直平 分面的方程．
解 由题意知道，所求的平面就是与A和B等距离的点的几何 轨迹．
设M(x，y，z)为所求平面上的任一点，由于 | AM||BM|，
所以 ( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 ( z 3 ) 2 ( x 2 ) 2 ( y 1 ) 2 ( z 4 ) 2 ．
为顶点的三角形是一个等腰三角形． 解 因为 | M 1M 2| 2(74) 2(13) 2(21) 214， | M 2M 3| 2(57) 2(21) 2(32) 26， | M 1M 3| 2(54) 2(23) 2(31) 26，
所以| M 2M 3| | M 1M 3|，即DM 1M 2M 3为等腰三角形．
等式两边平方，然后化简得
z
M
2x6y2z70．
A
这就是线段AB的垂直平分面的方程． O
B
y
x
《微积分简明教程》复旦大学出版社
例4 建立球心在点M 0(x 0，y 0，z 0)、半径为R的球面的方程． 解 设M(x，y，z)是球面上的任一点，那么
|M 0M|R．
由于
| M 0M| ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ( z z 0 ) 2 ，
z
R(0,0,z)
B(0,y,z)
C(x,o,z)
o x P(x,0,0)
•M(x,y,z)
y
Q(0,y,0) A(x,y,0)
《微积分简明教程》复旦大学出版社
2、空间两点间的距离
设 M 1 (x 1,y 1,z1)、 M 2(x 2,y 2,z2)为 空 间 两 点
dM 1M 2?
z
d2M 1P 2P2 N N22 M , M 1 P x 2 x 1 ,
所以
(x x 0 )2 (y y 0 )2 (z z 0 )2 R，
或
(xx 0) 2(yy 0) 2(zz 0) 2R 2．
这就是建立球心在点M 0(x 0，y 0，z 0)、
z
半径为R的球面的方程．
R
M
特殊地，球心在原点O(0，0，0)、
半径为R的球面的方程为
M0
O
x 2y 2z 2R 2．
M 1•
P
PN y2y1, N2M z2z1,
o
dM 1P 2P2 N N x2M 2
x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
空间两点间距离公式
•M 2
N
y
《微积分简明教程》复旦大学出版社
例1 求证以M 1(4，3，1)、M 2(7，1，2)、M 3(5，2，3)三点
《微积分简明教程》复旦大学出版社
3﹑曲面及其方程 曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面方程的定义：
如 果 曲 面 S 与 三 元 方 程 F ( x , y , z ) 0 有 下 述 关 系 ： （ 1 ） 曲 面 S上 任 一 点 的 坐 标 都 满 足 方 程 ； （ 2 ） 不 在 曲 面 S上 的 点 的 坐 标 都 不 满 足 方 程 ； 那 么 ， 方 程 F ( x ,y ,z ) 0 就 叫 做 曲 面 S 的 方 程 ， 而 曲 面 S 就 叫 做 方 程 的 图 形 ．
第七章 多元函数微积分学简介
§7.1 空间解析几何简介 §7.2 多元函数的极限与连续性 §7.3 偏导数与全微分 §7.4 多元复合函数与隐函数微分法 §7.5 多元函数的极值 §7.6 二重积分
§7．1 空间解析几何简介
❖ 空间直角坐标系 ❖ 空间中任意两点间的距离 ❖ 曲面及其方程 ❖ 其他的二次曲面
y
x
《微积分简明教程》复旦大学出版社
研究曲面的两个基本问题： (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程； (2)已知坐标x、y和z间的一个方程时， 研究这方程所表示的
曲面的形状． 例5 方程x 2y 2z 26x8y0表示怎样的曲面？ 解 通过配方，原方程可以改写成 (x3) 2(y4) 2z 225．
精品资料
1.空间直角坐标系：
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z竖轴
定点 o•
横轴 x
y纵轴
《微积分简明教程》复旦大学出版社
空间直角坐标系
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
《微积分简明教程》复旦大学出版社
空间的点 1 1有序数组(x,y,z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R , 坐标面上的点 A , B , C , O(0,0,0)
这是一个球面方程，球心在点M 0(3，4，0)、半径为5。
《微积分简明教程》复旦大学出版社
z
例6 方程x 2y 2R 2表示怎样的曲面？ 解 方程x 2y 2R 2在xOy 面上表 示圆心在原点O、半径为R的圆． 在空间直角坐标系中，这方程不 含竖坐标 z，即不论空间点的竖坐标 z 怎样，只要它的横坐标x和纵坐标y