样本及其分布

样本及抽样分布§6.1 基本概念一、总体:在统计学中, 我们把所研究的全部元素组成的集合称作母体或总体, 总体中的每一个元素称为个体。

我们只研究感兴趣的某个或者几个指标(记为X)，因此把这些指标的分布称为总体的分布，记为X～F(x)。

二、样本:设总体X具有分布函数F(x),若X1, X2,…,Xn是具有分布函数F(x)的相互独立的随机向量，则称其为总体F（或总体X ）的简单随机样本, 简称样本,它们的观察值x1,x2, …, xn称为样本观察值, 又称为X 的n 个独立的观察值。

三、统计量:设X 1, X 2, …, X n 是来自总体X 的一个样本, g (X 1, X 2, …, X n )是一个与总体分布中未知参数无关的样本的连续函数，则称g (X 1,X 2,…,X n )为统计量。

统计量是样本的函数,它是一个随机变量，如果x 1, x 2, …, x n 是样本观察值, 则g (x 1, x 2, …, x n )是统计量g (X 1, X 2, …, X n )的一个观察值.四、 常用的统计量:, ,)(x 11s ,,x 1x 1. n12i2n1i 称为样本方差均值仍称为样本它们的观察值为∑∑==--==i i x n n .B ,,1,2,X A ,1k 2.22221S S nn B k ≈-====当样本容量很大时时当时当3.kkkk若总体X 的k 阶矩E(X )存在,则当n时, A .P注：ni i 111. X X ;n ==∑样本均值2n 2i i 112. S (X );n-1X ==-∑样本方差n kk i 113. k A X , k 1, 2,;n i ===∑样本阶原点矩nk i i 114. k B (X ) , k 2, 3,.n k X ==-=∑样本阶中心矩4.样本的联合分布：2) 若总体X 是离散型随机变量，其分布律为 p x =P (X=x ) , x=x 1,x 2,… 则样本X 1, X 2, …, X n 的联合分布:11112(,,)(),,;(1,2,,)nn n i i i i P X y X y P X y y x x i n =======∏其中12n *12i 13)(), ,X , (, ,)()n n i X f x X X f x x x f x ==∏若具有概率密度则的联合概率密度为12121211)(),,,,, ,,,:()()n n n*n i i X ~F x X X X F X X X F x , x ,x F x ==∏若为的一个样本则的联合分布函数为例1：X~U (0,θ),X 1, X 2, …, X n 是来自X 的样本，求（X 1, X 2, …, X n ）的联合密度函数。

随机样本及其累积分布函数
随机样本是统计学中常用的概念，用于描述从一个总体中抽取的一组观测值。

随机样本的累积分布函数是对随机样本的概率分布进行描述的重要工具。

随机样本的定义
随机样本是指从一个总体中以随机方式选取的一组观测值。

在统计学中，为了对总体进行推断和研究，我们通常无法直接获得总体的全部观测值，而只能通过抽取一部分样本来进行研究。

随机样本是通过随机抽样方法获得的，具有代表性并且能够反映总体的特征。

累积分布函数的定义
累积分布函数是对随机样本的概率分布进行描述的一种函数形式。

在数学上，累积分布函数是一个实值函数，其定义域为实数集合，值域为[0,1]。

对于一个给定的随机变量x，其累积分布函数
F(x)定义为：F(x) = P(X ≤ x)，其中X表示随机变量。

累积分布函数可以用来描述随机变量小于或等于某个特定值的
概率。

在统计学中，我们经常使用累积分布函数来计算样本的概率，并进行概率统计推断。

总结
随机样本和累积分布函数是统计学中常用的概念和工具。

随机
样本用于描述从一个总体中抽取的一组观测值，而累积分布函数则
是对随机样本的概率分布进行描述的函数形式。

了解和应用随机样
本和累积分布函数对于进行有效的统计分析和推断非常重要。

以上是关于随机样本及其累积分布函数的简要介绍。

(Word count: 187)。

统计学中的样本分布和总体分布在统计学中，样本分布和总体分布是两个重要概念，用于描述数据的分布情况。

本文将介绍样本分布和总体分布的概念、特点以及它们在统计分析中的应用。

一、样本分布1. 概念样本分布是指从总体中选取的一组数据所形成的频数分布或概率分布。

它描述了样本中不同观测值的出现频率或概率。

2. 特点样本分布是基于在总体中抽取样本所得到的数据，因此它仅反映了样本的特征，并不能完全代表总体的分布情况。

样本分布的特点包括：均值、方差、偏度、峰度等。

3. 应用样本分布在统计分析中常用于推断总体参数、假设检验以及构建预测模型等。

通过对样本的统计量进行估计和推断，可以对总体的特征进行分析和预测。

二、总体分布1. 概念总体分布是指研究对象中所有个体所形成的频数分布或概率分布。

它描述了总体中不同观测值的出现频率或概率。

2. 特点总体分布是基于研究对象的整体数据，它反映了研究对象的全部特征。

总体分布的特点包括：均值、方差、偏度、峰度等。

3. 应用总体分布在统计分析中常用于描述研究对象的分布情况，比如人口年龄结构的分布、产品质量的分布等。

通过对总体的分布进行分析，可以了解总体的特征及规律，从而指导决策和预测。

三、样本分布与总体分布的关系1. 抽样误差样本分布与总体分布之间存在抽样误差。

由于样本是通过抽样来获得的，所以样本分布与总体分布可能存在差异。

抽样误差的大小与样本容量有关，样本容量越大，抽样误差越小。

2. 中心极限定理中心极限定理是统计学中的基本原理之一，它指出，样本容量足够大时，样本均值的分布近似服从正态分布。

这意味着，当样本容量足够大时，样本分布的特征可以反映总体分布的特征。

3. 参数估计通过样本分布的统计量，可以对总体的参数进行估计。

常用的参数估计方法有点估计和区间估计。

点估计是通过样本分布的统计量来估计总体参数的某个具体值，而区间估计则是通过样本分布的统计量来估计总体参数的范围。

综上所述，样本分布和总体分布是统计学中的重要概念，它们描述了数据的分布情况，并在统计分析中发挥了重要作用。

第六章样本及抽样分布【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念；2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算；3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论；4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。

【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布——2 分布，t分布，F分布；分位数的理解和计算。

【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。

【学时分配】4学时【授课内容】§6.0 前言前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。

它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。

所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。

其研究方法是归纳法（部分到整体）。

对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。

数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。

§6.1 随机样本一、总体与样本1.总体、个体在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。

例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。

但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。

在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。

在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。

第一节 样本及其分布4．1．1 总体和样本[识记]实际中很多不确定现象都可以用随机变量描述，而应用中的一个十分重要的问题是找到随机变量的分布或其数字特征。

例如：某进出口贸易公司进口了10万台微型计算器，按产品技术规定，使用寿命小于4000小时即为次品,且次品率大于1% 就不接受这批产品。

如何得知这批产品的次品率呢？是否要测量每一台计算器呢？显然，这是不现实的，解决这个问题的好办法就是随机抽样，然后根据抽样检验得到的次品率来估计整批产品的次品率。

也就是从10万台产品中按随机原则，抽取一部分（假如100件）产品组成一个样本，由样本（100件产品）次品率推断整批产品的次品率。

这里，我们把被观察对象的全体（本例中的10万台计算器）称作总体，把从总体中随机抽取的（被抽中的100台计算器）小群体称作样本，而样本中所包含的个体单位数目称为样本容量（100个）。

对于这批计算器，我们关心的是它的使用寿命（低于4000小时的比例有多少）的分布，设X 表示“任一台计算器的使用寿命”，它是一个随机变量，我们把随机抽中的100件产品看作是100个随机变量X 1，X 2……，X 100，每一个计算器的使用寿命都是一个随机变量，一旦测试完毕，测试的结果就是100个观测值x 1,x 2,……x 100,统计抽样的任务就是根据测试结果x 1,x 2,……x 100来估计总体X 的分布情况。

我们作如下概括：设X 是一个随机变量，X 1，X 2……，X n 是一组相互独立与X 具有相同分布的随机变量，称X 为总体，X 1，X 2……，X n 为来自总体的简单随机样本，简称样本，n 为样本容量，称样本观察值为样本值，由于按随机原则取样，在试验之前，人们无法知道试验的结果，所以X 1，X 2……X n ，是一组随机变量，而在试验之后，得到一组X 1，X 2……，X n 的观察值x 1,x 2,……x n ，，它们则是一组确定的数值。

4．1．2 样本统计量与抽样分布[识记]总体实际上就是一个随机变量X，有一定的概率分布和分布的数字特征。

样本数量及分布本次关于地方政府公共服务满意度的调查，共经过38个城市调查，获取了25115份有效问卷，平均每个城市660份左右，具体问卷数量如表1所示。

表1 各城市有效问卷数量1.性别分布在参与调查的人群中，填写了性别的共有24792人，具体分布见表2。

从性别比上来看，与我国第六次人口普查的性别比例（105.2∶100）略有差距，但差距较小。

可以说在男女样本配比方面是比较合理的。

表2 性别分布2.户籍分布在2011～2012年的调查中，我们新增了关于样本户籍的甄别。

这是考虑到由于国家的户籍政策，很多城市的本地人口与外地人口所享受到的基本公共服务有所不同。

为了更全面地反映当地情况，我们在调查中要兼顾本地与外地户籍人口。

具体的样本分布情况见表3。

可以看出本地人口占到近六成，外地人口占到四成多，这样的分布比例能够比较全面地调查出当地的公共服务情况。

表3 户籍分布3.学历分布在本地调查的实地访问结果中，受过高等教育的样本群体占65.51%，具体分布情况见表4。

其中占主流的是受过大学教育（大专和本科）的人，占58.83%。

这不仅比所调查城市的平均水平要高（参考第六次人口普查数据），而且与2010～2011年的调查相比，受过高等教育的人口比例略有提高。

受过高等教育的群体对地方政府的基本公共服务感知力更强，更有诉求的意识，而且也更能接受和理解问卷调查的方式和内容，能够准确表达自己观点。

表4 学历分布调查显示，不同学历的关注度略有不同。

对于不同学历而言（见表5），所有学历层次都把社保就业作为第一关注；把医疗卫生作为第二关注；第三关注略有变化，初中及以下、高中（中专技校）和大专把住房作为第三关注，而本科则把社保就业作为第三关注，不过与低于本科学历的群体所关注的第三关注相差不大；研究生则把医疗卫生作为第三关注。

从总体上看，社保就业、医疗卫生与住房是最为关注的三个基本问题。

表5 不同学历对基本公共服务项目的关注度续表4.工作单位性质分布在工作单位的分布方面，22.78%的受访者为国家行政机关或事业单位工作人员，66.31%的受访者为企业工作人员，自由职业者和其他形式就业或未就业的人员占10.91%（见表6）。