《相似三角形的性质》.doc

6 3 2 1
面积发生了
S变化 3 9 S原图 1 1
2
S变化 9S原图
练习
1.判断
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形 的周长也扩大为原来的5倍； （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形 的面积也扩大为原来的9倍． （1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5
原周长 1 ＝ 扩大5倍周长 5
扩大5倍周长＝5原周长
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边 形的面积也扩大为原来的9倍．
思 考
如果两个三角形相似,它们对应的高、中线、角 平分线、周长之间有什么关系? 两个相似多边形呢?
相似三角形 对应中线的比,对 应角平分线的比 都等于相似比吗?
你能证明吗?
同理我们也可得到相似三角形它们对应中线、角平分线
的比也为K（相似比）. 相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分 线的比都等于相似比.
∵△ABC的边BC上的高为6,面积是 12 5
1 ∴△DEF的边EF上的高为 6 3, 2 2 1 面积为 12 5 3 5 2
归纳
对应角相等
相 似 三 角 形 的 性 质 对应边成比例 相似比等于对应边的比 对应高的比，对应中线的比、对应 角平分线的比都等于相似比. 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方
18 18 AB 15 18 15 15 BC 15 B ' C ' 18 15 24 BC 20 18 A' B '
B C A'
AC 60 15 20 25
A ' C ' 72 18 24 30

相似三角形的性质及判定方法相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。

在几何学中，相似三角形具有一些特定的性质和判定方法。

本文将探讨相似三角形的性质以及如何判定两个三角形是否相似。

一、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。

具体而言，如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。

记为AA相似性质。

2. 对应边的比例性质：如果两个三角形的两对对应边的比例相等，那么它们是相似的。

具体而言，如果两个三角形的对应边所对应的长度比例相等，则它们是相似的。

记为SSS相似性质。

3. 角和对边的比例性质：如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，那么它们是相似的。

具体而言，如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，则它们是相似的。

记为SAS相似性质。

二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们一定是相似的。

即，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的第三个角也必然相等，从而满足AA相似性质。

2. SSS判定法：如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。

即，如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们满足SSS相似性质。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。

即，如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们满足SAS相似性质。

三、实例分析为了更好地理解相似三角形的判定方法，我们来看一个实例。

已知三角形ABC和三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE = BC/EF = CA/FD，我们需要判定这两个三角形是否相似。

根据给定条件可知，∠A=∠D，∠B=∠E，且BC/EF = CA/FD。

根据SAS判定法，如果对应角相等且对应边的长度比例相等，则两个三角形相似。

由此得出结论，三角形ABC和三角形DEF是相似的。

在实际问题中，可以利用相似三角形 的面积和周长变化规律来解决一些与 比例、测量和计算相关的问题。
另外，还可以利用相似三角形的面积和周长 变化规律来解决一些与面积或周长相关的实 际问题，如计算不规则图形的面积或周长等 。
例如，可以通过测量相似三角形的一组对 应边长，计算出另一组对应边长，从而得 到一些难以直接测量的长度或距离。
通过已知条件确认两个三角形的三组 对应边成比例，从而证明两三角形相 似。
利用SAS判定定理证明
通过已知条件确认两个三角形的一组 对应边成比例且夹角相等，从而证明 两三角形相似。
判定定理在几何问题中应用
解决线段比例问题
利用相似三角形的性质，可以 解决涉及线段比例的问题，如 证明两条线段成比例或求解未 知线段的长度。
解决角度问题
通过相似三角形的性质，可以 求解或证明与角度相关的问题 ，如证明两个角相等或求解未 知角的度数。
解决面积问题
相似三角形的面积比等于对应 边比的平方，利用这一性质可 以解决涉及面积的问题，如求 解未知三角形的面积或比较两 个三角形的面积大小。
03
相似三角形中线段比例关系
中线、高、角平分线等线段比例关系
【解答】∵ (S△ABC/S△DEF) = (AB/DE)² = 4/9，∴ AB/DE = 2/3。又∵ CD/DH = AB/DE = 2/3，∴ DH = (3/2) × CD = (3/2) × 6cm = 9cm。
04
面积与周长在相似三角形中变化规律
面积比等于相似比平方原理
相似三角形的面积比 等于其对应边长的相 似比的平方。
易错难点剖析及注意事项
易错点
01
02
忽视相似三角形的对应关系和方向；

A A'
B
D
C
B'
D'
C'
发现· 探索
问题3：如图, ABC ∽ ABC , 相似比为k , 其中BE、 BE 分别为ABC、 ABC 的角平分线 , BE 求证： k BE
A A′
E
B C B′
E′ C′
归纳· 概括
相似三角形的性质 相 似 三 角 形
对应高的比
B′
D
C′
发现· 探索
发现
相似三角形对应高线的比等于相似比. 相似三角形对应中线的比等于相似比. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
发现· 探索
问题1 : 如图, ABC ∽ ABC , 相似比为k , 其中AD、 AD分别为BC、 BC 边上的高, AD 求证： / / k。 AD
想一想: 它们还有哪些性质呢?
发现· 探索
一个三角形有三条重要线段：
高线、中线、角平分线 ________________ 如果两个三角形相似，
那么这些对应线段有什么关系呢？
发现· 探索
A
ABC∽ ABC
1 相似比为 2
B
D
C A′
对应高的比 AD 1 2 AD __________ _
3．两个相似三角形对应中线的比为
1 ， 4
1 1 4 4 则相似比为______, 对应高的比为______ .
发现· 探索
问题： 两个相似三角形的周长比会等 于相似比吗？
发现· 探索
图中 (1)(2)(3) 分别是边长为 1 、 2 、 3 的等边三 （都相似） 角形，它们都相似吗？ (3) 1 (2) (1) 3 2 1∶ 2 (1)与(2)的相似比=______, (1)与(2)的周长比=______ 1∶ 2 (2)与(3)的相似比=______, 2∶ 3 (2)与(3)的周长比=______ 2∶ 3 相似比 结论： 相似三角形的周长比等于______ ．

7.如图，点 A1，A2，A3，A4 在射线 OA上，点
B1，B2，B3 在射线 OB上，且
A1B1 ∥ A2 B2 ∥ A3 B3 ，A2 B1 ∥ A3 B2 ∥ A4 B3
则图中三个阴影三角形面积之和为
B B3 B2 4 B1 1 O A1 A2 A3
若 △A2 B1B2 、 △A3 B2 B3 的面积分别为1，4，
D
1 S ABC 3
C
相似三角形的性质
性质证明
性质2
相似三角形周长的比等于 相似比.
AB BC CA K A' B ' B ' C ' C ' A'
AB BC CA 从而由等比性质有 K A' B' B' C 'C ' A'
探究
图中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、 3的等边三角形，它们都相似． 2： 1 ， （2）与（1）的相似比＝__________ （2）与（1）的面积比＝__________ 4： 1 ； （3）与（1）的相似比＝__________ 3： 1 ， 9： 1 ． （3）与（1）的面积比＝__________
E
Ｆ
C

例2、点D,E,F分别为三角形ABC三边的中 点， 连结AD，BE，CF,交点为点O. A
重心：三角形三条边上的中线 的交点
F O 重心 B E
D
C
运用
例3
如图 24．4．4，△ABC 中，D、E 分别是边 BC、 AB 的中点，AD、CE 相交于 G． 求证：
GE GD 1 CE AD 3
BC k BC
性质3:相似三角形的面积比等于相似比的平方．

3
如图,在△ABC 中,AD:DB=1:2,DE∥BC,若 △ABC的面积为9, A 求S四边形DBCE D E
B
C
如图，在 ABCD中，E为AB延 长线上一点，AB:AE=2:5,若 2 S△DFC=12cm ，求S△EFB D C F
E A B
如图，在 ABCD 中， 2 AE:EB=1:2 ,若S△AEF=6cm ， 求S△CDF D C
求平行四边形BEFD 的面积。
C
A 如图,△ABC是一 块锐角三角形余料, 边BC=120毫米,高 E N M AD=80毫米,要把它 加工成正方形零件, 使正方形的一边在 B Q D P C BC上,其余两个顶 点分别在AB、AC上, 这个正方形零件的 AE = PN AD BC 边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的 △ABC的高AD与PN相交于点E。 设正方形PQMN的边长为x毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC 所以
F
A E
B
在△ABC中,∠C=90°,D是AC上 一点,DE⊥AB于E,若AB=10， BC=6,DE=2,求四边形DEBC的 C 面积
D
A
E
∟
B
A 5.如图,△ABC中,点 D,E,F分别在边 F AB,AC,BC上， D DF∥BC,EF∥AB , AF:FC=2 :3， S△ABC=S， B E
（2）如果面积扩大为原来的100倍， 那么边长扩大为原来的 10 倍。

２，两个相似三角形的一对对应边 分别是35厘米和14 厘米， （1）它们的周长差60厘米，这两 个三角形的周长分别是 100厘米、40。 厘米 —————— （2）它们的面积之和是58平方厘 米，这两个三角形的面积分别 是———————— 。 50平方厘米、8平方厘米

对应角相等、对应边成比例
对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比 等于相似比
对应周长之比等于相似比 对应面积之比等于相似比的平方
课本第90-91页 练习1、2 习题2、3、10
THANKS
感谢各位
解决下列问题:
（1）△ABC与△A’B’C’相似么？如果相似，请说
明理由，并求出相似比。
（2）作出两个三角形
A'
BC和B’C’边上的高，
并说出两条高的比。
A
(1) AB 1 A'B' 2
(2) AD 1 A'D' 2
B D C B'
D'
C'
相似三角形对应边上的高之比等于相似比。
已知：如图，△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D'分 别是BC、B'C'边上的高
已知：如图,FGHI为矩形，AD⊥BC于D，FG： GH=1:2，BC＝30cm,AD＝12cm 。 GHN内接于△ABC，FG在BC上，NH分 别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交NH于E， AD=8cm，BC=24cm。 （1）设NF=xcm,用含有x的式子表示NH的长； （2）求矩形FGHN的面积的最大值。
相似三角形的对应高之比、对应中线之 比、对应角平分线之比都等于相似比。
已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平 分线，BC＝6cm,EF＝4cm,BG＝4.8cm.求EH的长.
M
N
如图, △ABC是一块锐角三角形 的余料，边长BC＝60cm，高AD＝40cm，要把它加工成 正方形零件，使正方形的一边FG在BC上，其余两个顶 点E、H分别在AB、AC上，高AD与EH相交于点P. （1）△AEH与△ABC相似么？为什么？ （2）求这个正方形的零件的边长.

（3）你能得到哪些结论？
相似三角形对应角的n等分线的比,对应 边的n等分线的比都等于相似比。
典例精析
例1：如图，AD是△ABC的高，AD=h, 点R在AC边上，
点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当 SR = 1 BC 时，
2
求DE的长.如果
SR
=
1 BC
3
呢？
A
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD， ∴SR∥BC.
E
A
G C
D H F
选做题：
5. 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面
积为1.5m2,要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌
面，甲乙两位同学的加工方法如图（1）、（2)所示，请
你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。（加工
损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）
C
D
E
B
D
E
相信自己 是最棒的！
何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高
角平分线
中线
一 相似三角形对应高的比等于相似比 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题. 如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造 了模型房梁△A'B'C'，CD和C’D’分别是它们的立柱。 图中有几对相似三角形？
相似三角形对应高的比等于相似比吗？
试求DE∶FG∶BC.
7.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E, 连接DE,F为线段DE上一点, 且∠AFE=∠B. (1)求证:△ADF∽△DEC; (2)若AB=4,AD=3 3,AE=3,求AF的长.
4.一块直角三角形的木板,它的一条直角边AC长为1.5 m, 面积为1.5 m2.现在要把它加工成一个正方形桌面,甲、乙 两人的加工方法分别如图4-7-2①②所示,记两个正方形 面积分别为S1、S2,请通过计算比较S1与S2的大小.

∴∠ADB=∠A′D′B′=90°.
∴△ABD∽△A′B′D′,
BD
C
∴
AD A′D′
=
AB A′B′
，
A′
∵
AB A′B′
=k
.
∴
AD A′D′
=k
.
B′ D′
C′
①相似三角形的对应高线之比等于相似比。
相似三角形的相似比与对应边中线的比有什么关系？
例如： △ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是
(1)一个三角形对应的 各边长扩大为原来的5倍，
这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍. ( √ )
(2)一个三角形对应的 各边长扩大为原来的9倍，
这个三角形的面积也扩大为原来的9倍. ( × )
2.如图， △ABC与△A′B′C′相似，AD，BE是
△ABC的高， A′D′，B′E′是△A′B′C′的高.
高线，
中线
角平分线，
高线
中线
角平分线
相似三角形的相似比与对应边上的高的比有什么关系？
例如： △ABC∽△A′B′C′，AD⊥BC于 D，
A′D′⊥B′C′于 D′，且
AB A′B′
=k
.
求证：AD A′D′
=k
.
A′
A
B
D
C B′ D′
C′
证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠பைடு நூலகம்′ ∵ AD⊥BC， A′D′⊥B′C′， A
= L△ABC
L△A′B′C′
AB＋BC＋AC A′B′ ＋B′C′ ＋A′C′
B
=
kA′B′ ＋kB′C′＋kA′C′ A′B′ ＋B′C′ ＋A′C′

AD 求 DB
A D B E
C
例.四边形DEFG是△ABC 的内接矩形.AM⊥BC，若 DG=2DE,AM=18,BC=20,求 矩形的周长。
A
AN DG AM BC
D B E
N
G
C M F
相似三角形的判定定理1:
三边对应成比例的两个三角 形相似. 相似三角形的判定定理2:
两角对应相等的两个三角形 相似.
2
E
3 2
C
B
相似三角形的判定定理1:三边对应成比 例的两个三角形相似.
相似三角形的判定定理2:两角对应相 等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理3:两边对应成 比例且夹角相等的两个三角形相似.
斜边和一条直角边对应成比例 的两个直角三角形相似.
练一练
Rt△ABC与Rt△DEF中， AB=8，CB=10,∠A=90°， DE=4，FE=5，∠D=90°， 则这两个直角三角形（ ） 相似
若找不到相等的角，则判断三边是否对 应成比例。
常见图形归纳：
A D B E
E A B E A
1
A D C
B
D
A D2 1 B E C
①
A D2
C
②
C
D C
③
④
B
⑤
B C
⑥
每个基本图形两个三角 形相似的条件:图①② 为DE//BC;图③为 ∠ACB=Rt∠,CD⊥AB;图 ④⑤为 ∠1=∠B,∠2=∠C;图⑥ 为∠C=∠D或∠B=∠E
练一练
AE 1.若 AB
F A E

则△AEF∽△ABC
B
C
AF AC
练一练
2.请你填入一个比例 式，使△ACD∽△BCA

相 似 三 角 形
如图，△ABC~△A'B'C'，它们对应的高，对 应的中线，对应角平分线的比与相似比一样 吗？
A
A′
B
D
C
B′
D′
C′
如图AD、 A′D′ 分别是锐角△ABC和锐角 △A′B′C′的高,且△ABC∽ △A′B′C′,则 AD:A’D’=AB:A’B’. ∵ △ABC∽ △A′B′C′, A ∴∠B=∠B’ 又因为AD、 A′D′ 分别是 △ABC和△A′B′C′的高 C ∴∠ADB=∠A’D’B’=9 B D 0° ABD和△A′B′D′中 在△ A′ ∠B=∠B’ ∠ADB=∠A’D’B’ ∴ △ABD∽ △A′B′D′,
判断题（正确的打“√”，错误的画“×”） （1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的 角平分线也扩大为原来的5倍
（ √ ）
（2）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的
面积也扩大为原来的9倍
（ ×）
B′ D′ C′
∴AD:A’D’=AB:A’B’.
相似三角形对应高的比，对应中线的比、对应 角平分线的比都等于相似比.
填空： （1）两个三角形的对应边的比为3:4，则这两 个三角形的对应角平分线的比为__3:4___ ，对 应边上的高的比为_3:4___，对应边上的中线的 比为__3:4__ (2)相似三角形对应角平分线比为0.2,则相似比 为___0.2___,对应中线的比等于__0.2___;
对应角相等 相 似 三 角 形 的 性 质
对应边成比例 相似比等于对应边的比 对应高的比，对应中线的比、对应角平分 线的比都等于相似比. 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方
1、两个相似多边形的面积比为4:1，则它们的 2：1 。 2：1 ，周长比为_______ 相似比为_______ 2、如果把一个三角形的三条边长都扩大为原 10000 来 100 的100倍，则面积扩大为原来的 _______倍，周长 扩大为______倍。 3、如果把一个三角形的面积扩大为原来的100 10 倍，周长为原来的 倍，则边长为原来的_____ 10 倍。 ______

R
r
19
习题 1.3
5.如图,线段EF平行于四边形ABCD的一边AD,BE与CF
交于一点G,AE与DF交于一点H.
求证:GH//AB.
H
A
D
E F
B
C
G
BH BC AD AG EH EF EF EG
预备定理 定义 引理 20
习题 1.3
6.已知:DE//AB,EF//BC. O 求证:△DEF∽△ABC.
(2) AD BC AC ED
3、已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，AB=a，AC=b， A′B′=a′，当 A′C′为多少时，△ABC∽△A′B′C′？
22
小结
相
似
三
角 形
预备定理
的
概
念
判定定理1
判定定理2 直角三角形判定定理
判定定理3
23
EF 1 BC, FD 1 CA, DE 1 AB
2
2
2
EF FD DE 1 BC CA AB 2
∴△DEF∽△ABC
A
F
E
B
D
C
9
直角三角形相似的判定定理
定理
两角对应相等
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它 们相似。
两边对应成比例及夹角相等
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例， 那么它们相似。
类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等
的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定
理.
10
定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

(详细版)相似三角形的性质和应用
1. 相似三角形的性质
相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。

相似三角形的性质如下：
- 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。

- 对应边成比例性质：相似三角形的对应边的长度成比例。

2. 相似三角形的应用
相似三角形的性质在实际生活和数学问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
- 测量高度：通过相似三角形的性质，我们可以利用测量出的一个三角形的高度来计算另一个相似三角形的高度。

这在实际中可以用于测量高楼、山峰等的高度。

- 图形设计：相似三角形的性质可以用于图形设计中的缩放问题。

通过改变三角形的大小来实现图形的缩放效果。

- 工程测量：在土木工程中，相似三角形的性质可以用于测量地形的坡度、直角三角形的边长等。

3. 实例分析
为了更好地理解相似三角形的性质和应用，以下是一个实际问题的分析：
假设有一根高大的电线杆，测得其高度为30米。

为了确定杆子的阴影长度，我们利用测量出的相似三角形来推算。

测量阴影的长度为10米，而测量器与杆子的距离为4米。

根据相似三角形的性质，可以建立如下比例关系：(30高度/4距离) = (阴影长度/10距离)。

通过解这个比例关系，我们可以计算出杆子的阴影长度为75米。

以上是相似三角形的性质和应用的一些简要介绍，通过理解和运用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，提高数学和几何的应用能力。

(Word count: 229 words)。

相似三角形的性质(经典全面)相似三角形的性质及判定一、相似的有关概念相似形是指具有相同形状的图形，但大小不一定相同。

相似图形之间的互相变换称为相似变换。

二、相似三角形的概念相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。

用符号XXX表示，例如△ABC∽△A B C。

三、相似三角形的性质1.对应角相等：如果△ABC与△A B C相似，则有A A，B B，C C。

2.对应边成比例：如果△ABC与△A B C相似，则有AB/BC=AC/A C=BC/B C=k（k为相似比）。

3.对应边上的中线、高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。

例如，如果AM是△ABC中BC边上的中线，A M是△A B C中B C边上的中线，则有AM/A M=k。

如果AH是△ABC中BC边上的高线，A H是△A B C中B C边上的高线，则有AH/A H=k。

如果AD是△ABC中BAC的角平分线，A D是△A B C中B A C的角平分线，则有AD/A D=k。

4.相似三角形周长的比等于相似比。

如果△ABC与△A B C相似，则有AB+BC+AC/A B+B C+A C=k。

ABCD中间观察，比例式中的比AD和BC中的三个字母A，B，C恰为△ABC的顶点；比CD和EF中的三个EFDC字母D，E，F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证欲证△ABC∽△DEF．证明比例中项式或倒数式或复合式的方法，可以运用“三点定形法”，也可以利用“分离比例中项法”或“分离倒数式法”或“分离复合式法”．由于在运用三点定形法时，可能会遇到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可以考虑使用等线、等比或等积进行变换，然后再使用三点定形法来寻找相似三角形。

这种方法被称为等量代换法。

在证明比例式时，常常会用到中间比。

证明比例中项式通常涉及与公共边有关的相似问题。

这类问题的典型模型是射影定理模型，需要熟练掌握和透彻理解其特征和结论。

证明倒数式往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。

相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但大小可以不同的三角形。

在数学中，相似三角形是一个重要的概念，它具有一系列独特的性质和特点。

本文将介绍相似三角形的性质，以及与之相关的定理和应用。

一、比例关系相似三角形中，对应边的长度成比例。

设ABC和DEF是相似三角形，对应边的长度满足以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF其中，AB、BC、AC为三角形ABC的边长，DE、EF、DF为三角形DEF的边长。

这个比例关系可以推广至所有对应边。

二、角度关系相似三角形中，对应角度相等。

设ABC和DEF是相似三角形，对应角度满足以下关系：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F其中，∠A、∠B、∠C为三角形ABC的内角，∠D、∠E、∠F为三角形DEF的内角。

三、边长比例定理设ABC和DEF是相似三角形，若两个相似三角形的边长比例相等，则它们是相似的。

即如果AB/DE = BC/EF = AC/DF成立，那么三角形ABC与三角形DEF相似。

四、高度定理相似三角形的高度成比例。

设ABC和DEF是相似三角形，h1和h2分别为三角形ABC和DEF的高度，则有h1/h2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF成立。

五、面积定理相似三角形的面积成比例的平方。

设ABC和DEF是相似三角形，S1和S2分别为三角形ABC和DEF的面积，则有S1/S2 = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2成立。

六、勾股定理相似直角三角形中，斜边成比例。

设ABC和DEF是两个相似的直角三角形，且∠C和∠F是直角，则有AC/DF = BC/EF成立。

七、应用举例1. 角平分线定理：在相似三角形中，角平分线分割对应边成比例。

2. 重心定理：在相似三角形中，连接重心和顶点的线段成比例。

相似三角形的性质在几何学和实际问题中有着广泛的应用。

例如，在测量不便的情况下，我们可以利用相似三角形来计算无法直接测量的长度和距离。

A. 6B.5C. 4D. 3
分析：找相似形一找平行线、二找角相等、三找线段成比例，本题只能从前两方面入手。
解：
共有5对，选B。
例3.已知：如图10， ， ，
（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时， ？
（2）当BD与a、b之间满足怎样的关系时， ？
（3）当BD与a，b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？
解：（1）
当 时，
即 时，
故当 时，
（2） ，
当 时，
即 时，
当 时，
（3）综合（1），（2）可知：
当 或 时这两个三角形相似。
3.3相似三角形的性质和判定例题精析
【典型例题】
例1.如图8，四边形ABCD的对角线相交于点Oห้องสมุดไป่ตู้ 。求证： 。
分析：欲证 ，可寻求它们所在的三角形 与 相似，
而 ，故只需证 ，
由已知可得 ，从而有 成立。
证明：
说明：由于相似三角形的对应角相等，所以经常运用此法证明角的相等。
例2.如图，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连结DE，交AC于G，交BC于F，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（）对。

一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． A 'B 'C 'CB A知识点睛 相似三角形的性质2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）． A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）． H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B C 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比．如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法 欲证AB BCBE BF =，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。