2019-2020年高一数学竞赛班选拔考试试题1

2019-2020年高一上学期数学竞赛选拔测试含答案一、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．数列1，- 34 ，59 ，- 716，…的一个通项公式是 . 2．1＋2＋3＋…＋100＝ .3．{a n }是等比数列，a 1=1，a 3= 2 ，则a 5＝ .4．数列{a n }满足：a 1=1，a n +1＝ a n －1，则a xx ＝ .5．△ABC 的三边长分别是7、4 3 、13 ，则最小内角大小为 .6．△ABC 中，A=60°，b ＋c sinB ＋sinC=2，则a ＝ . 7．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，下列条件中能确定a =b 的有 . （填序号）① sinA=sinB ② cosA=cosB ③ sin2A=sin2B ④ cos2A=cos2B8．已知 1x>1，则x 的取值范围是 . 9．不等式 (x －2)2 >4的解集是 .10．已知 12 ＋16 ＋112 ＋…＋1n (n ＋1) = 99100，则n ＝ . 11．等差数列{a n }中，若a 1、a 3、a 7是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的公比是 .12．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 1＞0，S 10＝0，则S n 最大时n 的值是 .二、解答题13．（本题满分12分）等比数列{a n }的前n 项和是S n ，已知S 3＝72 ，S 6＝632，求a n .14．（本题满分12分）一艘船以60 n mile/h的速度向正北航行. 在A处看灯塔S在船的北偏东30°，30 min后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东75°，求灯塔S与B之间的距离.15．（本题满分12分）△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、1、c，且A、B、C成等差数列，a、1、c成等比数列，求△ABC的面积.16．（本题满分16分）关于x的不等式x2＋bx＋c>0的解集是(－∞,1)∪(2,＋∞)，数列{a n}的前n项和S n＝n2＋bn＋c.(1)写出b、c的值（不要证明）；(2)判断{a n}是不是等差数列并说明理由；(3)求数列{2n-1a n}的前n项和T n.第二卷（60分）三、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知，则 .18．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3.19．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ .20．取一个边长为的正方形及其内切圆，随机地向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率为 .21．定义在R 上的函数f (x )，满足f (12 ＋x ) ＋f (12 －x ) ＝2，则f (18 )＋f (28 )＋…＋f (78)＝ .22．定义一个对应法则.现有点与，点是线段上一动点，按定义的对应法则.当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为 .四、解答题23．（本题满分15分）已知二次函数 ，满足，对于任意的，都有，并且当时总有.(1)求的值；(2)求的表达式；(3)当时，是单调函数，求m 的取值范围.24．（本题满分15分）已知数列和满足:*121,2,0,)n n a a a b n N ==>=∈，且是以为公比的等比数列.(1)证明：；(2)若，证明数列是等比数列；(3)求和：.1．a n =(-1)n2n-1n 22.50503.24.-xx5.30°6. 37.(1)(2)(4)8.(0,1)9.(-∞,0)∪(4,+ ∞)10.9911.1,212.513.P51,2n-2 14.15 2 n mile 15.a=b=c=1,S=3416.(1)-3,2 (2)a 1=0,n>1,a n =2n-4,(3)2n+1(n-3)+8 17.018.7800019.-12.5 20.π421.7 22. π323.(1)f(1)=1(2)f(x)= (x+12)2(3)m≤0,m≥1 24.(3)q=1,32 n. q ≠1, 32 q 2n -1q 2n-2(q 2-1).。

2019-2020学年上半学期高一数学竞赛试卷班级： 姓名： 分数：一、选择题（每小题3分，共36分）1、已知集合U={1,2,3,4}，集合A={1,2}，B={2,3}则)(B A C U =( )。

A 、{1，3，4} B 、{3，4} C 、{3} D 、{4}2、集合M={1,3}，N={x|x ²-3x ＜0，x ∈Z}，P=M ∪N ，则集合P 的真子集个数是( )。

A 、3 B 、7 C 、8 D 、163、设M={（x ，y ）| x+y=1 }，N={（x ，y ）| 2x-y=5 }，则M ∩N=（ ）。

A 、（2，-1） B 、{（2，-1）} C 、{2，-1} D 、x=2，y=-14已知a 、b 、c ∈R ，命题甲为“a ＞b ”，命题乙为“ac ²＞bc ²”，那么甲是乙的（ ）。

A 、充分且不必要条件 B 、必要且不充分条件 B 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 5、已知a ＞0，b ＜0，则下列各式成立的是（ ）。

A 、a-b ＞0 B 、ab ＞0 C 、a b＞0 D 、a 1＜b16、不等式|3-x|＜2的解集是（ ）。

A 、{x|x ＞5或x ＜1} B 、{x|1＜x ＜5}C 、{x|-5＜x ＜-1}D 、{x|x ＞1} 7、下列不等式中，解集为∅的是（ ）。

A 、2x ²-3x+2＞0 B 、x ²+4x+4≤0 C 、4-4x-x ²＜0 D 、-2+3x-2x ²＞08、函数y=f （x+1）的定义域是[-2,3],则y=f （2x-1）的定义域是（ ）。

A 、[0,25] B 、[-1,4] C 、 [-5,5] D 、[-3,7]9、如果奇函数f （x ）在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么f （x ）在区间[-7，-3]上是（ ）。

2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛）及答案（时间：5月16日18：40～20：40）满分：120分一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1．已知M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ）A. MB. NC. PD.P M 2.函数()142-+=xx x x f 是（ ）A 是偶函数但不是奇函数B 是奇函数但不是偶函数C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数3.已知不等式m 2＋(cos 2θ－5)m ＋4sin 2θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A . 0≤m ≤4B . 1≤m ≤4C . m ≥4或x ≤0D . m ≥1或m ≤04.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若0sin cos 2sin cos =+-+B B A A ，则cba +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0ab >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 56．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B CBAC Acos tan sin cos tan sin ++的取值范围是（ ）A. (0,)+∞B.C.D. )+∞．二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数|cos sin |2sin )(x x ex x f ++=的最大值与最小值之差等于 。

个个9.设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。

2020年北京市中学生数学竞赛高一年级试题2020年6月 27日8:30～10:30一、填空题（满分40分，每小题8分）1．已知实函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy ，且f (−1)·f (1)≥4．则293f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 2．等腰梯形ABCD （AB =CD ）的内切圆与腰CD 的切点为M ，与AM 、BM 的交点分别为K 和L ．则AM BM AK BL+的值等于______． 3．四位数abcd 比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大的一个是______．4．已知点O 在△ABC 内部，且2021202020193AB BC CA AO ++=，记△ABC 的面积为S 1，△OBC 的面积为S 2，则12S S =______． 5．有4个不同的质数a , b , c , d ，满足a +b +c +d 是质数，且a 2+bc 、a 2+bd 都是完全平方数，那么a +b +c +d = ______．二、（满分15分）面积为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6的正方形位置如右图所示．求证：S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．三、（满分15分）存在2020个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数四、（满分15分）如右图，已知D 为等腰△ABC BC 上任一点，⊙I 1、⊙I 2分别为△ABD 、△ACD 内切圆，M 为BC 的中点．求证：I 1M ⊥I 2M ．五、（满分15分）将集合I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}B ={w , x , y , z }，使得A ∪B =I ，A ∩B =Ø，且A 与B 的元素至少有一种排列组成的正整数满足2wxyz abcde ，则称A 与B 为集合I 的一个“两倍型2分划”．（1）写出集合I 的所有“两倍型2分划”，并给出理由；（2）写出集合I 的每个“两倍型2分划”对应的所有可能的2wxyz abcde ．2020年北京市中学生数学竞赛（邀请）高一年级试题及参考解答2020年6月 27日8:30～10:30一、填空题（满分40分，每小题8分）1．已知实函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy ，且f (−1)·f (1)≥4．则29()3f -=______． 解：令x =y =0得f (0)=0，令x =−1，y =1，得f (1)+f (−1)=4．平方得f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)=16，又因为f (−1)·f (1)≥4，所以f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)≤4f (1)·f (−1)．即(f (1)−f (−1))2≤0．所以f (1)=f (−1)=2． 因为)32)(31(4)32()31()32(31)1(--⋅+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-f f f f 1118=3()4()()3339f ， 所以 .234)31(3=+-f 因此.92)31(=-f 所以.9894)31(2)32(=+-=-f f 于是29()3f -=8．2．等腰梯形ABCD （AB =CD ）的内切圆与腰CD 的切点为M ，与AM 、BM 的交点分别为K 和L ．则AM BM AK BL+的值等于______． 解：设N 是边AD 的中点，a =AN ，x =AK ，y =AM ，α=∠ADM ，（如图）．则ND=DM=a ，且根据余弦定理，对于△ADM ，有y 2=4a 2+a 2−4a 2cos α=a 2(5−4cos α)． 另一方面，根据切割线定理，有xy=a 2，所以 2AM y y AK x xy ===5−4cos α． 类似地对于△BCM ，得到54cos .BM BLα=+ 因此，10.AM BM AK BL+= C BD A LK a y αMx3．四位数abcd 比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大的一个是______．解: 设abcd 为所求的自然数，则根据条件1000a +100b +10c +d =a 2+b 2+c 2+d 2+2020．考虑到 2000＜a 2+b 2+c 2+d 2+2020≤92+92+92+92+2020=2344，可以断定a =2，于是100b +10c +d =b 2+c 2+d 2+24．即 b (100−b )+c (10−c )=d (d −1)+24 (*)由于c (10−c )＞0，当b ≥1时，b (100−b )≥99，所以(*)式左边大于99，而(*)式右边小于9×8+24=96，因此要(*)式成立，必须b =0．当b =0时，(*)式变为 d 2−d =10c −c 2−24． 由于四位数abcd 中a =2，b =0，要使20cd 最大，必需数字c 最大．若c =9，c 2−c −24=90−92−24＜0，而d 2−d ≥0故(*)式不能成立．同理，c =8和c =7时，(*)式均不能成立．当c =6时，c 2−c −24=60−62−24=0，这时，d =0及d =1，均有d 2−d =0，即(*)式均成立． 于是abcd =2060或2061．所以满足题设条件的四位数中最大的一个是2061．4．已知点O 在△ABC 内部，且2021202020193AB BC CA AO ++=，记△ABC的面积为S 1，△OBC 的面积为S 2，则12S S =______． 解：由2021202020193AB BC CA AO ++=，得22019()3AB BC AB BC CA AO ++++=，因为0AB BC CA ++=，所以23AB BC AO +=，故23AB AC AB AO +-=. 所以3AB AC AO +=，取BC 的中点D ，则23AD AO =.于是A 、D 、O 三点共线，且3AD OD =．所以123S AD S OD==．5．有4个不同的质数a , b , c , d ，满足a +b +c +d 是质数，且a 2+bc 、a 2+bd 都是完全平方数，那么a +b +c +d = ______．解：由a +b +c +d 是质数，可知a , b , c , d 中有2．如果a ≠2，那么b , c , d 中有2，从而a 2+bc 、a 2+bd 中有一个模4余3，不是完全平方数．故a =2．假设22+bc =m 2，那么bc =(m −2)(m +2)．如果m −2=1，那么m =3，bc =5，与已知矛盾．故不妨设b =m −2，c =m +2，则c =b +4．同理d =b −4，所以{a , b , c , d }={a , b , b +4, b −4}．而b −4, b , b +4中有一个是3的倍数，又是质数，所以只能是b −4=3，此时a +b +c +d =2+3+7+11=23．二、（满分15分）面积为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6的正方形位置如图所示．求证：S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．证明：见右图：AKLB ，BMNC ，ACPQ 都是正方形，对应的面积为S 1、S 2和S 3．设,,βα=∠=∠ABC BAC .γ=∠ACB 因为,,,321S AC S BC S AB === 则根据余弦定理，有αcos 232321S S S S S -+=βcos 231312S S S S S -+=γcos 221213S S S S S -+= 由此，.cos 2cos 2cos 2321213132S S S S S S S S S ++=++γβα ①又因为 ,180,180,180γβα-=∠-=∠-=∠ NCP LBM QAK 以及,,,465S NP S LM S QK === 则有αcos 231315S S S S S ++= ②βcos 221216S S S S S ++= ③ γcos 232324S S S S S ++= ④由等式①～④得 S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．三、（满分15分）存在2020个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数吗？如果存在，请给出例证，如果不存在，请说明理由．解：存在. 例证如下：因为质数有无限多个，所以任选2020个两两不同的质数122020,,,p p p ，构造2020个两两不同的数： 1220202ii p p p x p ，i =1, 2, 3, …, 2020． 易知，因为122020,,,x x x 的分子不被分母整除，皆为不是整数的有理数．而任意两个数的乘积 12202012202022i i i j p p p p p p x x p p 2222222222122020121111202022ii j j i j p p p p p p p p p p p p ． 这2018个质数平方的乘积是整数，满足题意要求．A B C I 1 I 2 • • F 四、（满分15分）如图，已知D 为等腰△ABC 底边BC 上任一点，⊙I 1、⊙I 2分别为△ABD 、△ACD 的内切圆，M 为BC 的中点．求证：I 1M ⊥I 2M ．证明： （1）当D 与M 重合时，显然有∠I 1MI 2=90°，即I 1M ⊥I 2M ．（2）当D 不与M 重合时，不妨设BD ＞DC ， 过I 1作I 1E ⊥BC 于点E ，过I 2作I 2F ⊥BC 于点F ，连结I 1D ，I 2D ，I 1I 2．因为⊙I 1为△ABD 的内切圆，⊙I 2为△ACD 的内切圆，所以 2AB BD AD BE +-=，2DC AD AC DF +-= 所以，EM =BM −BE=22BC AB BD AD +--()2BC BD AD AB -+-=.2DF AC AD DC =-+= 进而有 ED=MF ．因为I 1、I 2分别为△ABD 、△ACD 的内心，易知∠I 1DI 2=90°． 由勾股定理得I 1D 2+I 2D 2=I 1I 22．(*)在Rt △I 1DE 与Rt △DI 2F 中，由勾 股定理得I 1E 2+ED 2=I 1D 2，I 2F 2+DF 2=I 2D 2，代入(*)式，得(I 1E 2+ED 2)+(I 2F 2+DF 2)= I 1I 22．注意EM=DF ，ED=MF 代换得(I 1E 2+MF 2)+(I 2F 2+EM 2)= I 1I 22．即 (I 1E 2+EM 2)+(I 2F 2+MF 2)= I 1I 22．所以 I 1M 2+I 2M 2=I 1I 22．根据勾股定理的逆定理，有△I 1MI 2为直角三角形，∠I 1MI 2=90°，即I 1M ⊥I 2M ．五、（满分15分）将集合I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}划分为两个子集A ={a , b , c , d , e }和B ={w , x , y , z }，使得A ∪B =I ，A ∩B =Ø，且A 与B 的元素至少有一种排列组成的正整数满足2wxyz abcde ，则称A 与B 为集合I 的一个“两倍型2分划”．（1）写出集合I 的所有“两倍型2分划”，并给出理由；（2）写出集合I 的每个“两倍型2分划”对应的所有可能的2wxyz abcde ． 解：（1）集合I 共有2个“两倍型2分划”：A ={1, 3, 4, 5, 8}，B ={2, 6, 7, 9}及A ={1, 4, 5, 6, 8}，B ={2, 3, 7, 9}．理由简述如下：1° 由易知，a =1，所以a ∈A ． A B C I 1 I 2 • •2° 由0∉ I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}=A ∪B ，而5×2=10，所以5∈A ．3° 试验知，a , b , c , d , e 均不能等于9，所以9∈B ，进而有8∈A ．4° 因为数wxyz abcde 和的9个数字和恰为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45是9的倍数，可判知+abcde wxyz 是9的倍数，即+abcde wxyz ≡0(mod9)． 又2wxyz abcde ，所以3wxyz ≡0(mod9)．于是wxyz ≡0(mod3)．所以)(wxyz S 是3的倍数，进而推得)(abcde S 也是3的倍数．5° 同样试验可判定7∈B ．此时分配剩下的4个元素：2, 3, 4, 6．由于A 中的1+5+8=14，被3除余2，所以从2, 3, 4, 6中选出的两个数之和被3除余1．于是只能选3, 4或4, 6属于A ，对应剩下的2, 6或2, 3归属于B ．因此，找到集合I 的两个“两倍型2分划”：A ={1, 3, 4, 5, 8}，B ={2, 6, 7, 9}及A ={1, 4, 5, 6, 8}，B ={2, 3, 7, 9}．（2）集合I 的“两倍型2分划”满足的不同的2wxyz abcde 共12个．1° 当B={2, 6, 7, 9}时，得到6个不同的式子：6729×2=13458， 6792×2=13584， 6927×2=13854,7269×2=14538， 7692×2=15384， 9267×2=18534．2° 当B={2, 3, 7, 9}时，得到6个不同的式子：7293×2=14586， 7329×2=14658， 7923×2=15846，7932×2=15864， 9273×2=18546， 9327×2=18654．。

高一数学竞赛试题【本试题满分100分，考试时间120分钟】一．选择题：本大题共5小题，每小题6分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个正确的答案．1．已知集合M =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-+013|x x x ，N ={}3|-≤x x ，则集合{}1|≥x x =（ ） A ．N M ⋂B ．N M ⋂C ．C R )(N M ⋂D ．C R )(N M ⋃ 2．已知43πβα=+，则)tan 1)(tan 1(βα--等于（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-3．设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且0)1(=f ，则不等式0)()(<--x x f x f 的解集为（ ）A ．)1,0()1,(⋃--∞B ．),1()0,1(+∞⋃-C ．),1()1,(+∞⋃--∞D ．)0,1()0,1(⋃-4．函数()ln |1|3f x x x =--+的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．05．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x 则=)(log 32f A ．823-B ．111C ．241D ．191 二．填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分．将正确的答案写在题中横线上．6. 已知20π≤≤x ，则函数x x x x f 2cos cos sin 24)(+=的值域是 ．7． 已知：a ，b ，c 都不等于0，且abcabc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则=+n m . 8. 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足)()4(x f x f -=-，且在区间]2,0[上是增函数，若方程)0()(>=m m x f 在区间]8,8[-上有四个不同的根4321,,,x x x x ，则=+++4321x x x x ．9.定义集合A ，B 的一种运算：},,{2121B x A x x x x x B A ∈∈+==*，若，则中的所有元素之和为 ．10.= 70sin 50sin 30sin 10sin ．三．解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答时须写出必要的解题步骤、文字说明和计算结果．11．已知函数2()23cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （2）若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值．12．设a ，R b ∈，且2≠a ，定义在区间),(b b -内的函数)(x f =xax 211lg ++是奇函数 （1）求a 的值 （2）求b 的取值范围 （3）讨论)(x f 的单调性．13．已知函数)(x f 的定义域为R ，对任意实数m ，n 都有)()()(n f m f n m f •=+，且当0>x 时，1)(0<<x f ．（1）证明1)0(=f ，且0<x 时，1)(>x f ．（2）若21)1(=f ，解关于x 的不等式 81)2(2<-x x f ．14．已知函数())(22R a a ax x x f ∈+-=，∈x [0，1]，求()x f 的最小值)(a g ，并求)(a g 的最大值．参考答案一．选择题：１．D ； ２．A ； ３．B ； ４．A ； ５．C ．二．填空题：6．]3,1[-； 7．0； 8．8-； 9．14； 10．161． 三．解答题：11．（本小题满分10分）（1）)62sin(2cos 2sin 31cos 2cos sin 32)(2π+=+=-+=x x x x x x x f ，…2分所以函数()f x 的最小正周期π=T . ……………………………………………3分 因为]2,0[π∈x ，所以]67,6[62πππ∈+x ， 所以1)62sin(21≤+≤-πx ，所以2)(1≤≤-x f ，所以当262ππ=+x 即6π=x 时，()f x 有最大值为2； 当6762ππ=+x 即2π=x 时，()f x 有最小值为1-. ……………………………6分 （2）由（1）知56)62sin(2)(00=+=πx x f ，所以53)62sin(0=+πx .7分 因为]2,4[0ππ∈x ，所以]67,32[620πππ∈+x ，所以54)62cos(0-=+πx ， …8分 所以6sin )62sin(6cos )62cos()662cos(2cos 0000ππππππ+++=-+=x x x x 1034321532354-=⨯+⨯-=．……………………………………………10分12．（本小题满分10分）（1）∵定义在区间),(b b -内的函数)(x f =xax 211lg ++是奇函数， ∴)()(x f x f -+=0411lg 211lg 211lg 2=--=--+++xx a x ax x ax ，…………………… 2分 ∴14112=--xx a ，∴42=a ，又∵2≠a ，∴2-=a ．……………………… 3分 （2）由（1）知)(x f =x x 2121lg+-，令02121>+-x x ，解得2121<<-x ，…………… 4分 ∴)21,21(),(-⊆-b b ，∴)21,0()0,21(⋃-∈b ．……………………………… 5分 （3）设1x ，)21,21(),(2-⊆-∈b b x ，且21x x <，则 )()(21x f x f -=21212121221122114)(214)(21lg )21212121lg(2121lg 2121lg x x x x x x x x x x x x x x x x --+---=-+⋅+-=+-++-， 7分 ∵1x ，)21,21(),(2-⊆-∈b b x ，∴04)(212121>---x x x x ，04)(212121>--+x x x x ，∵21x x <，∴212121214)(214)(21x x x x x x x x --+>---，……………… 9分∴14)(214)(2121212121>--+---x x x x x x x x ，∴0)()(21>-x f x f ，∴)()(21x f x f >， ∴)(x f 在),(b b -上单调递减．………………………………………………… 10分13．（本小题满分10分）（1）令1=m ，0=n ，则有)0()1()1(f f f =，∵1)1(0<<f ，∴1)0(=f ． 2分 当0<x 时，0>-x ，∴1)(0<-<x f ，又∵1)()())(()0(=-=-+=x f x f x x f f ，∴)(1)(x f x f -=，∴1)(>x f ．4分 （2）∵)()()(n f m f n m f =+，∴)()()()()(n f m f n f m f n m f =-=-．…………… 5分 设1x ，R x ∈2，且21x x <，则0)(2>x f ，且1)()()(2121>-=x x f x f x f ， ∴)()(21x f x f >，∴)(x f 在),(+∞-∞上单调递减． ……………………… 7分 又∵21)1(=f ，∴)3()1()1()1(21212181f f f f =⨯⨯=⨯⨯=， …………… 8分 ∴不等式81)2(2<-x x f 可化为)3()2(2f x x f <-， ∴322<-x x ，∴31<<-x ， ……………………………………………… 9分 即不等式 81)2(2<-x x f 的解集为}31{<<-x x ．…………………… 10分 14．（本小题满分10分） 二次函数())(22R a a ax x x f ∈+-=的图像开口向上，对称轴为2a x =．……… 1分 ①当02<a ，即0<a 时，()x f 在]1,0[上单调递增， 所以()x f 的最小值为2)0(a f =；………………………………………………… 3分②当120<≤a ，即20<≤a 时，(x f ]1,2(a 上单调递增，所以()x f 的最小值为24)2(2a a a f +-=；………………………………………… 5分 ③当12≥a ，即2≥a 时，()x f 在]1,0[上单调递减， 所以()x f 的最小值为21)1(a f -=．……………………………………………… 6分 综合①②③可得，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<≤+-<=2,2120,240,2)(2a a a a a a a a g ．………………………………… 7分 又当0<a 时，02)(<=a a g ；当20<≤a 时，4124)(02≤+-=≤a a a g ；当2≥a 时，021)(≤-=a a g ． …………………………………………………………………… 9分 所以当1=a 时，)(a g 有最大值为41．…………………………………………… 10分。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．． 是．①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3．设0.50.320.5,log 0.4,cos3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或2 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答 案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为 ．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图2222=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防(若疫苗有效已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？ （3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间； （2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ； （2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程； （2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数()1f x =-． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.3 11．2201112. 31(,),(1,0),(3,4)22-- 三、解答题：13. （本题满分12分） 解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分 即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分 （3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分 由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ， 解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ， 故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分） 解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos 2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= ………………… 2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分 又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分 （2）由11)32sin()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分） 解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分 又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分 （2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分 又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分 又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分 又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分 由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分 （3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分 又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-EFG B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分 综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分ACBB 1A 1C 1FGE（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分 由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分 整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分 又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r=2. ……1分由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即AM =……………2分 若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540kx y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分2=，2=，解得15 5k k =-=或. ……………5分 所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在 线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点的横坐标取值范围是.……14分18．（本题满分14分） 解：（1）由()1f x =-可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分 又11()(1f x x x ===3分 显然)(1x f x在区间(0,1]∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）21()()f x f x -===.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即2>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分 （3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分 由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。

2019年数学竞赛高一初试试题一、选择题（每题5分，共60分）1．已知集合A ＝{x||x|≤2，x ∈R }，B ＝{x|x ≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝() A ．(0，2) B ．[0，2] C ．{0，2} D ．{0，1，2} 2．若,,,,b a R c b a >Î则下列不等式成立的是() A ．b a 11<B ．22ba >C ．1122+>+c b c a D ．cb c a >3.3.下列函数为偶函数，且在下列函数为偶函数，且在)0,(-¥上单调递减的函数是() A ．32)(xx f =B ．3)(-=x x f C ．xx f )21()(=D ．xx f ln )(=4. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是() A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β5. 等比数列{}n a 的前项和为n S ，且321,2,4aa a 依次成等差数列，且11=a , 则10S =() A ．512 B. 511 C ．1024 D ．1023 6．已知f(x)＝2tanx －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f(π12)的值为() A. 833B. 8 C ．4 D. 43 7．设变量x ，y 满足约束条件îíìy ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最大值为() A ．10 B ．8-C ．6 D ．4 8．已知0,0>>y x ，且112=+y x ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（值范围是（ ）A ．24-£³m m 或 B. 42-£³m m 或 C ． 24<<-m D. 42<<-m9. 如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BD B ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30°D ．四面体A ′－BCD 的体积为1310. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0³x 时，,)2(log )(2b x x x f +++= 则3)(>x f 的解集为（ ）A ．)2,(--¥ ∪ ),2(+¥ B . )4,(--¥∪ ),4(+¥ C ．)2,2(- D. )4,4(-11. 若直线45p =x 和49p =x 是函数是函数 )0)(sin(>+=w wx y j 图象的两条相邻对称轴，则j 的一个可能取值为（ ） A ．43p B. 4p C ．3p D. 2p12. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0³x 时，[)[)ïîïíì+¥Î--Î+=,,1,31,1,0),1(log )(21x x x x x f则关于x 的函数)10()()(<<-=a a x f x F 的所有零点之和为（的所有零点之和为（ ） A ．12-aB ．12--aC ．a --21D ．a 21-二、填空题（每题5分,共20分）分） 13. 已知),1,2(),4,1(),3,(===c b k a且,)32(c b a ^-则实数=k _________。

重点中学高一数学竞赛班选拔考试试卷1.{}{}0,1A x x =⊆,用列举法表示集合A=___________。

2.新高一某班的50名学生中，参加数学竞赛辅导的有22人，参加物理竞赛辅导的有20人，参加化学竞赛辅导的有19人，既参加数学又参加物理的有15人，既参加数学又参加化学的有12人，既参加物理又参加化学的有10人，三科都没参加的有20人，则三科都参加的有_____________人。

3．在小于100的正整数n 中，能使分数1(332)(41)n n ++化为有限小数的n 的所有可能值为___________。

4．在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）。

若现在时间恰好是12点整，则经过_______秒后，OAB ∆面积第一次达到最大。

（用分数表示） 5.已知a 、b 、c 为整数，且2006,2005a b c a +=-=，若a b <，则a b c ++的最大值为________. b=2013-a>a 则a<1006.5 a 最大为1006 c=2005+a 所以a+b+c=2006+2005+a=a+4011所以最大值是1006+4011=50176．如果两个一元二次方程20x x m ++=与210mx x ++=都有两个不相等的实数根，并且其中有一个公共的实根0x ，那么0x =_________。

7．如果一个两位数5x 与一个三位数3yz 的积是29400，那么，x y z ++=____。

29400/400>73, 29400/300=98x 只能为7或8或929400/75=392只有这个是整数。

所以x+y+z=7+9+2=18因为29400=75*392所以x=7、y=9,z=2所以x+y+z=7+9+2=188．一名模型赛车手遥控一辆赛车。

先前进1米，然后原地逆时针方向旋转角0(0180)αα<<，被称为一次操作。

实验中学2019-2020年上学期高一数学竞赛试题命题人： 审题人：一、选择题（共12小题，每题5分。

每题有且仅有一个正确答案） 1、集合A ＝{﹣1，1}，B ＝{x|mx ＝1}，且B A ，则实数m 的值为（）A.1B.﹣1C.1或﹣1D.1或﹣1或0 2、已知集合，则下列不表示从到的函数的是( )A.B. D.3、用二分法求函数=xx 2ln -的零点时，初始的区间大致可选在（ ） A.（1，2）B.（2，3）C.（3，4）D.（e, +∞）4.某几何体的三视图如图所示，当时， 这个几何体的体积为（ ）A ． 1B ．C ．D ．5、已知直线013:1=++y ax l 与直线01)1(2:2=+++y a x l 互相平行，则实数a 的值为（ ）A ．﹣3B ．53- C ．2 D ．﹣3或26、如图，在四面体中，若截面是正方形，则在下列命题中，不一定正确的是（ ） A ． B ．截面 C ．D ．异面直线与所成的角为7、已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若，则； ②若则； ③若则；⊆{}{}04,02A x x B y y =≤≤=≤≤A B 1:2f x y x →=1:3f x y x →=2:3f x y x →=:f x y x→=)(x f 4a b +=124323,m m αβ⊥⊥//αβ,,//,m n m n αβ⊂⊂//αβ,,αγβγ⊥⊥//αβ(2)4,1()4,1a x a xf x axx--<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩④若m、n是异面直线，则其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4是上的增函数，则实数的取值范围是（）8、已知函数A. B. C. D.9、函数 ( )A B C D10、过点P（1,1）作直线l,与两坐标轴相交，所得三角形面积为2，则这样的直线可以作条？A.1B.2C.3D.411、已知函数，若，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.12、已知是定义在R上的偶函数，对任意Rx∈，都有)(1)2(xfxf-=+，且当[]0,2-∈x时，1)21()(-=xxf，若在区间[]6,2-内方程)1(0)2(log)(>=+-axxfa有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．()2,1 B．），（∞+2 C．()3,41， D．()2,43二、填空题（共4小题，每题5分。

2019-2020年高一上学期新生入学卓越班选拔考试数学试题 含答案一、选择题（每题5分，共60分） 1. 下列运算正确的是（ ）A ．2510a a a ⋅=B ．0( 3.14)0π-= C= D ．222()a b a b +=+ 2.函数11y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x ≤ B ．2x ≤且1x ≠ C ．x ＜2且1x ≠ D ．1x ≠3. 如图，几何体上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 若532=-b a ，则=+-2015262a b （ ）A ．2004B ．2005C ．2014D ．20155. 如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD=2，tan ∠OAB=12，则AB 的长是（ ） A ．4 B ．C ．8D ．6. 若用一张直径为20cm 的半圆形铁片做一个圆锥的侧面，接缝忽略不计，则所得圆锥的高为（ ）A ．5cm B ．5cm C ．cm D ．10cm7. 甲、乙两布袋装有红、白两种小球，两袋装球总数量相同，两种小球仅颜色不同．甲袋中，红球个数是白球个数的2倍；乙袋中，红球个数是白球个数的3倍，将乙袋中的球全部倒入甲袋，随机从甲袋中摸出一个球，摸出红球的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．8. 反比例函数1my x=（0x >）与一次函数2y x b =-+的图象交于A ，B 两点，其中A （1，2），当21y y >时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＜1 B ．1＜x ＜2 C ．x ＞2 D ．x ＜1或x ＞29. 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，下列结论：第5题图第9题图①20a b +>；②0abc <；③240b ac ->；④0a b c ++<；⑤420a b c -+<，其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510. 如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点P 从A 点出发．按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动．记PA=x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11. 二次函数2(1)1y x m x =+-+，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ）A ．1m =-B ．3m =C ．1m ≤-D ．1m ≥-12. 如图，以平行四边形ABCO 的顶点O 为原点，边OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，顶点A 、C 的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A 的反比例函数ky x=的图象交BC 于D ，连接AD ，则四边形AOCD 的面积是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题（每题5分，共20分）13. 如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B ，∠D ，使AD ，BC 边与对角线AC重叠，且顶点B ，D 恰好落在同一点O 上，折痕分别是CE ，AF ，则AEEB等于________________ 14. 若不等式组恰有两个整数解，则m 的取值范围是________________15. 在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0,4），直线343-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则线段PM 长的最小值为________________第10题图 第12题图第13题图16. 已知x=2是不等式)23)(5(+--a ax x ≤0的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是________________三、解答题17. （10分）计算：0111(2015)()23tan30633π--+-+-+18. （10分）先化简，再求值：2224(1)444a a a a a -÷-++-，其中2a =．19. （12分）为了掌握我市中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为160分）分为5组：第一组85～100；第二组100～115；第三组115～130；第四组130～145；第五组145～160，统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）本次调查共随机抽取了该年级多少名学生？并将频数分布直方图补充完整；sw （2）若将得分转化为等级，规定：得分低于100分评为“D ”，100～130分评为“C ”，130～145分评为“B ”，145～160分评为“A ”，那么该年级1500名考生中，考试成绩评为“B ”的学生大约有多少名？20. （10分）如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是45°，向前走6m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30° （1）求∠BPQ 的度数；（2）求该电线杆PQ 的高度（结果精确到1m ）。