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算术平方根教学设计10篇《平方根》教案篇一教学设计示例一．教学目标1.会用计算器求数的平方根；2.通过用计算器求值及近似值计算，提高学生的运算能力和动手能力；3.通过利用计算器求值体验现代科技产品迅速、精确的功能，激发学习知识的兴趣。
二．教学重点与难点教学重点：用计算器求一个正数的平方根的程序教学难点：准确用计算器求解一个正数的平方根三．教学方法讲练结合四．教学手段实物投影仪，计算器五．教学过程在前面我们已学过平方根的概念，现在已掌握了一些数的平方根，如4，25，0.01，等数的平方根，但对于如：2，3，，0.3的平方根就不能像前面的数那样容易求解了，只能用根号表示。
具体的值或近似值如何求解的？在乘方时曾讲过毅力计算器求解，今天我们来研究如何用计算器求解一个数的平方根。
复习提问学生有关乘方如何用计算器运算的步骤。
熟悉计算器基本键的功能。
现在讲计算器打开，按键，屏幕上显示“0”此时可以进行运算。
例1．用计算器求的值。
分析：首先要学生熟悉计算器基本键的功能，对于平方根运算尤其要掌握“2F”的功能。
解：用计算器求的步骤如下：小结：在求解的过程中，由于要用到这个键上方的功能，这就需要用上方标有“2F”的键来转换。
例2．用计算器求的值。
（保留4个有效数字）解：用计算器求的步骤如下：小结：由于计算器的结果较精确小数的位数较多，在遇到开方开不尽的情况下，如无特殊说明，计算结果一律保留四个有效数字。
例3．用计算器求的'值。
解：用计算器求的步骤如下：因为计算结果要求保留4个有效数字，例4．用计算器求1360.57的平方根。
解：用计算器求1360.57平方根的步骤如下：因为计算结果要求保留4个有效数字，小结：这里要注意一个正数的平方根有两个，且互为相反数，用计算器求的式这个数的算术平方根。
例5．用计算器求值：分析：本题是由加、减、乘方、开方运算的混合运算题，由于计算器能自动识别运算顺序，故按键顺序与书写顺序完全一致。
平方根一、教学目标1.知识与技能：理解平方根的概念，掌握平方根的性质，会求一个正数的平方根。
2.过程与方法：通过自主探究、合作交流，发展学生的推理能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，增强学生学好数学的信心。
二、教学重难点1.重点：平方根的概念和性质。
2.难点：求一个正数的平方根。
三、教学过程1.导入新课师：同学们，我们已经学习了算术平方根，那么什么是平方根呢？今天我们就来学习平方根。
2.自主探究（1）写出下列各数的平方根：1，4，9，16。
（2）观察上面的结果，你发现了什么规律？生1：我发现，一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
生2：我还发现，0的平方根是0，而负数没有平方根。
3.例题讲解例1：求下列各数的平方根：（1）49（2）0.01（3）0.25师：请同学们先独立思考，然后和同桌交流一下。
生1：对于（1）49，我们可以直接写出它的平方根为±7。
生2：对于（2）0.01，我们可以先求出它的算术平方根，再写出它的平方根为±0.1。
生3：对于（3）0.25，我们同样可以先求出它的算术平方根，再写出它的平方根为±0.5。
生1：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
生2：0的平方根是0。
生3：负数没有平方根。
5.练习巩固师：请同学们完成下面的练习题，巩固平方根的知识。
（1）求下列各数的平方根：①64②0.04③1（2）判断题：①9的平方根是3。
（）②0的平方根是0。
（）③负数有平方根。
（）6.课堂小结师：今天我们学习了平方根，大家掌握得怎么样？请同学们分享一下自己的收获。
生1：我学会了平方根的概念和性质。
生2：我会求一个正数的平方根了。
生3：我对平方根有了更深的理解。
7.作业布置（1）教材P20习题1、2。
（2）预习下一节内容：立方根。
四、课后反思重难点补充：1.重点：平方根的概念和性质师：同学们，我们之前学过平方，比如2的平方是4，那么你们能告诉我，哪个数的平方是4吗？生：2的平方是4。
七年级数学下《平方根》教案一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解平方根的概念，掌握平方根的基本性质，能够进行简单的平方根运算。
2.过程与方法：通过观察、思考和探究，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的好奇心和探究欲，培养他们认真思考、勇于探索的精神。
二、教学内容与过程1.导入：通过回顾正方形的面积，引出平方根的概念。
教师可提出一些问题，如：“如果一个正方形的面积为8平方米，那么它的边长是多少？”引导学生思考并引出平方根的概念。
2.知识讲解：详细讲解平方根的定义、性质和运算方法。
通过实例进行解释，帮助学生深入理解平方根的概念。
同时，强调平方根与算术平方根的区别与联系。
3.探究活动：设计探究活动，让学生自己动手操作，探索平方根的基本性质和运算方法。
探究活动可以包括求一些数的平方根、比较不同数的平方根的大小等。
4.应用实践：设计实际问题，让学生运用所学知识解决，如求一些实际问题中的平方根等。
同时，可以引导学生探索平方根在实际生活中的应用。
5.总结与提升：总结平方根的主要知识点，强调重点和难点。
通过综合性题目，提升学生运用知识解决实际问题的能力。
同时，可以引导学生思考平方根与其他数学知识的联系，为后续学习打下基础。
三、教学方法与手段1.教学方法：采用启发式、探究式和合作学习的方法，引导学生主动探索和思考。
同时，注重实例教学，通过实例帮助学生理解抽象的数学概念。
2.教学手段：利用实物模型、PPT演示、数学软件等辅助教学工具，帮助学生更好地理解平方根的概念和性质。
同时，鼓励学生动手操作，培养他们的实践能力。
四、教学评价与反馈1.课堂互动：通过课堂提问、小组讨论等方式，及时了解学生的学习情况，调整教学策略。
同时，鼓励学生积极参与课堂活动，发表自己的观点和见解。
2.作业评价：布置相关练习题，要求学生按时完成，并进行批改和反馈。
同时，关注学生的作业完成情况，对有困难的学生进行个别辅导。
算术平方根教学设计（最新3篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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平方根初中数学教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解平方根的概念，掌握平方根的性质。
（2）学会使用平方根符号表示一个数的平方根。
（3）能够求出一个数的平方根。
2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生探究平方根的概念。
（2）利用平方根的性质进行数学运算。
（3）培养学生解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维能力。
（2）培养学生勇于探究、合作学习的习惯。
（3）培养学生应用数学知识解决实际问题的意识。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）平方根的概念及其性质。
（2）求一个数的平方根的方法。
2. 教学难点：（1）平方根的性质的应用。
（2）求复杂数的平方根。
三、教学准备1. 教师准备：（1）平方根的相关知识材料。
（2）教学课件或黑板。
（3）练习题及答案。
2. 学生准备：（1）预习平方根的相关知识。
（2）准备笔记本，记录重点知识。
四、教学过程1. 导入新课（1）复习平方的相关知识。
（2）提问：什么是平方根呢？2. 探究平方根的概念（1）引导学生通过实例探究平方根的概念。
（2）总结平方根的性质。
3. 学习求平方根的方法（1）引导学生掌握求一个数的平方根的方法。
（2）举例讲解，让学生通过实际操作理解求平方根的过程。
4. 练习与巩固（1）让学生独立完成练习题。
（2）教师批改，及时反馈，纠正错误。
五、课后作业1. 请学生完成课后练习题。
2. 鼓励学生进行数学探究活动，如寻找生活中的平方根现象。
3. 教师及时批改作业，了解学生掌握情况，为下一步教学做好准备。
六、教学拓展1. 利用平方根的性质解决实际问题，如：（1）一个正方形的边长是a，求它的面积。
（2）一个数的平方是b，求这个数。
2. 引导学生思考：平方根有哪些应用场景？七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，让学生总结平方根的概念、性质和求法。
2. 强调平方根在实际问题中的应用价值。
八、教学反思1. 教师对本节课的教学效果进行反思，分析学生的掌握情况。
七年级下数学《平方根》公开课教案第一章节：引入平方根的概念1.1 教学目标1. 了解平方根的概念及其与乘方的关系。
2. 学会使用平方根符号表示一个数的平方根。
3. 掌握求一个数的平方根的基本方法。
1.2 教学内容1. 平方根的定义及表示方法。
2. 求一个数的平方根的方法。
1.3 教学步骤1. 通过乘方运算，引导学生思考乘方的逆运算，引出平方根的概念。
2. 讲解平方根的定义，让学生理解平方根与乘方的关系。
3. 演示如何求一个数的平方根，引导学生掌握求平方根的方法。
1.4 练习题1. 求下列各数的平方根：2, 3, 4, 5, 6。
2. 判断下列各数是否有平方根：-2, 0, 1, -1, 2。
第二章节：平方根的性质2.1 教学目标1. 了解平方根的性质。
2. 学会应用平方根的性质解决实际问题。
2.2 教学内容1. 平方根的性质：正数的平方根有两个，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
2. 应用平方根的性质解决实际问题。
2.3 教学步骤1. 引导学生通过观察和思考，发现平方根的性质。
2. 讲解平方根的性质，让学生理解并记住这些性质。
3. 举例说明如何应用平方根的性质解决实际问题。
2.4 练习题1. 根据平方根的性质，判断下列各数的平方根是正数还是负数：4, 9, 16, 25。
2. 求下列各数的平方根：√36, √144, √256。
第三章节：平方根的运算3.1 教学目标1. 学会求一个数的平方根。
2. 学会进行平方根的运算。
3.2 教学内容1. 求一个数的平方根的方法。
2. 平方根的运算规则。
3.3 教学步骤1. 讲解求一个数的平方根的方法，让学生掌握求平方根的技巧。
2. 引导学生学习平方根的运算规则，让学生学会进行平方根的运算。
3.4 练习题1. 求下列各数的平方根：8, 27, 64, 121。
2. 进行下列各式的平方根运算：√(4 ×9), √(16 ÷4), √(25 + 16)。
2024年初一数学平方根教案一、教学目标知识与技能：学生能够理解平方根的概念，并能正确识别正数的平方根。
学生能够掌握求一个非负数的平方根的运算方法。
学生能够运用平方根的概念解决实际问题。
过程与方法：通过互动讨论和小组合作，提高学生的数学思维能力和探究精神。
引导学生通过观察和操作，发现平方根的基本性质。
情感、态度与价值观：培养学生的自信心和学习兴趣，使其能够主动参与数学活动。
通过解决实际问题，让学生认识到数学在日常生活中的应用价值。
二、教学重点和难点重点：平方根的定义及其性质。
求一个非负数的平方根的运算方法。
难点：理解负数没有实数平方根的概念。
运用平方根概念解决实际问题。
三、教学过程导入新课通过举例让学生回顾平方的概念，进而引出平方根的概念。
提出问题：“如果一个数的平方是9，那么这个数是多少？”引导学生思考并讨论。
讲解新课讲解平方根的定义，强调正数的平方根有两个值，分别为正的平方根和负的平方根。
通过图形展示平方根与平方数的关系，帮助学生直观地理解平方根的概念。
引导学生总结平方根的基本性质，如平方根的非负性等。
互动探究组织学生进行小组活动，每组探究一个实际问题，如计算面积、求解距离等，并尝试使用平方根的概念进行解答。
教师巡视指导，及时发现学生的疑惑并给予解答。
分享交流，各小组展示自己的探究过程和结果，相互学习评价。
巩固练习布置练习题，要求学生计算给定数的平方根，并检查答案的正确性。
鼓励学生通过合作互助，共同解决练习中的问题。
教师及时收集学生的练习情况，进行针对性的指导。
课堂小结回顾本节课的主要内容，强调平方根的概念及其重要性。
总结平方根的求解方法和应用，加深学生的理解和记忆。
布置课后作业，要求学生进一步巩固平方根的知识点。
四、教学方法和手段采用启发式教学法，通过问题引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣。
结合讲解与演示，使用多媒体教具展示平方根的相关图形和计算过程，帮助学生建立直观印象。
运用小组合作探究的方式，促进学生间的交流与合作，提高学生的团队协作能力。
平方根（3）教案教学目标 :1.掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别。
2.能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系。
重点：平方根的概念和求数的平方根。
难点：平方根和算术平方根的联系与区别。
教学设计：一、预习导学：思考：1.如果一个数的平方根等于9，这个数是多少 ）二、合作探究：1.类比算术平方根的概念，尝试口述平方根的概念。
（如果把±1称为是1的平方根，以此类推，那么能不能尝试类比算术平方根的定义，归纳出平方根的定义小组内合作讨论。
找同学回答。
）2.阅读课本45页，规范概念：（1）一个数的平方根的定义：。
用符号表示为。
（2），叫做开平方。
平方和开平方互为运算。
（类比加减法、乘除法，理解“逆运算”的含义。
）例1：求下列数的平方根：（1）100 （2）916（3） （4）16- （5） 0 （以（1）为例，在黑板上板书过程，让学生类比完成其余四题。
） 归纳：正数有个平方根，它们互为，0的平方根是，负数。
3.平方根与算术平方根之间有什么关系区别：（1）定义不同：如果，那么x 叫做a 的平方根。
如果，并且0x ≥，那么x 叫做a 的算术平方根。
（2）表示方法不同：正数a 的平方根表示为；正数a 的算术平方根为。
（3）平方根等于本身的数是；算术平方根等于本身的数是。
联系：（1）二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个。
（2）存在条件相同，才有平方根和算术平方根 。
（3）0的平方根和0的算术平方根都是。
（小组讨论，合作完成，找同学回答。
）例2：求下列各式的值：（1（2）（3） （学生自行完成，找同学在白板上写出答案。
）小游戏：每组派一名代表抽取一组练习题，组内讨论合作完成。
派代表在白板上写出答案，并给同学们讲解。
教师辅助。
三、课堂训练:写出下列各数的平方根：（1）64（2）164（3（4）0 （5）2213⎛⎫- ⎪⎝⎭（6）()34- （学生自行完成，老师订正答案。
一、教学目标：1. 让学生理解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法。
2. 培养学生运用平方根解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作交流、积极思考的能力。
二、教学重点：1. 平方根的概念及求一个数的平方根的方法。
2. 平方根在实际问题中的应用。
三、教学难点：1. 平方根的概念的理解。
2. 求一个数的平方根的方法的掌握。
四、教学准备：1. 平方根的定义及相关例题。
2. 实际问题相关的素材。
五、教学过程：1. 导入：回顾一下，我们之前学习了什么？（乘方）乘方与平方根有什么关系呢？今天我们就来学习平方根。
2. 讲解平方根的概念：什么是平方根？请同学们思考一下，并试着举个例子。
3. 讲解求一个数的平方根的方法：如何求一个数的平方根？我们可以通过哪些方法来求解？5. 应用：平方根在实际问题中的应用。
请同学们举例说明，并试着解决实际问题。
6. 总结：本节课我们学习了平方根的概念及求一个数的平方根的方法，并了解了平方根在实际问题中的应用。
希望大家能够巩固所学知识，并能够运用到实际中去。
7. 作业：请同学们完成课后练习，巩固所学知识。
六、教学拓展：1. 探讨平方根的性质：平方根有哪些性质？比如，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根等。
2. 平方根与乘方的关系：平方根与乘方有什么联系？如何通过乘方来求一个数的平方根？七、教学互动：1. 小组讨论：请同学们分成小组，讨论一下平方根在实际生活中的应用，试着举例说明。
2. 分享成果：每个小组选一名代表，将讨论的结果分享给全班同学。
八、教学案例：2. 解答：根据案例，运用平方根的知识，给出解答。
九、教学评价：1. 自我评价：请同学们对自己的学习情况进行评价，看看自己在平方根方面的掌握程度。
2. 同伴评价：互相评价，互相学习，共同提高。
十、教学反思：1. 教师反思：本节课的教学目标是否达到？教学方法是否适合学生？有哪些优点和不足？2. 学生反思：自己在平方根方面的学习有哪些收获？还存在哪些问题？如何改进？十一、教学实践：1. 实践活动：请同学们用自己的方法，找出一个数的平方根。
初中数学平方根优秀教案教学目标：1. 知识与技能：了解平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根。
2. 过程与方法：通过游戏活动和探究，培养学生的创造性思维能力和合作能力。
3. 情感、态度与价值观：让学生体验数学与生活实际的联系，激发学生对数学的兴趣和崇尚科学的精神。
教学重难点：1. 重点：平方根的概念及表示方法。
2. 难点：理解平方根的概念，求一个非负数的平方根。
教学准备：1. 教学工具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 教学素材：平方根相关的例题和练习题。
教学过程：一、导入新课1. 创设情境：如何用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？你知道这个大正方形的边长是多少吗？让学生思考并讨论。
2. 引导学生产生疑惑：目前所学的知识无法解决这个问题，今天我们学习一个新的知识——平方根，来解决这个问题。
二、探究新知1. 复习乘方意义和求一个数的平方。
2. 引入平方根的概念：如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的一个平方根。
用根号表示为：√a。
3. 强调平方根的非负性：平方根是非负数，因为负数的平方是正数。
三、游戏活动1. 设计一个游戏，让学生通过合作探究，找出指定数的平方根。
2. 学生分组进行游戏，教师巡回指导。
四、实例演示1. 通过多媒体展示平方根的实例，让学生直观地感受平方根的概念。
2. 教师演示如何求一个非负数的平方根，并用计算器验证结果。
五、练习巩固1. 学生独立完成一些平方根的练习题，巩固所学知识。
2. 教师选取部分学生的作业进行点评，解答学生的疑问。
六、总结与拓展1. 总结平方根的概念和表示方法。
2. 拓展平方根的应用：平方根在实际生活中的应用，如测量面积、计算速度等。
教学反思：本节课通过创设情境、游戏活动、实例演示等多种教学方法，引导学生探究和学习平方根的概念和表示方法。
在教学过程中，注意激发学生的兴趣，培养学生的创新思维能力和合作能力。
通过练习巩固，让学生掌握平方根的知识，并能够应用到实际生活中。
第1篇课时：2课时教学目标：1. 知识与技能：理解算术平方根的概念，掌握算术平方根的表示方法，能够求出一个数的算术平方根。
2. 过程与方法：通过观察、实验、归纳等活动，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。
教学重点：1. 算术平方根的概念。
2. 算术平方根的表示方法。
教学难点：1. 理解算术平方根的概念。
2. 求一个数的算术平方根。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 教学辅助工具（如直尺、圆规等）。
教学过程：第一课时一、导入新课1. 提问：同学们，你们知道什么是平方根吗？请举例说明。
2. 学生回答，教师总结：平方根是指一个数的平方等于给定数的数。
3. 提问：如果一个数的平方根是正数，那么这个数叫什么？4. 学生回答，教师总结：这个数叫做算术平方根。
二、新课讲授1. 教师展示课件，介绍算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，叫做这个数的算术平方根。
2. 教师通过举例说明算术平方根的概念，如：4的算术平方根是2，因为2×2=4。
3. 教师引导学生观察算术平方根的特点，如：算术平方根总是正数，且一个数的算术平方根是唯一的。
4. 教师讲解算术平方根的表示方法，如：√4=2。
三、课堂练习1. 学生独立完成课件中的练习题，巩固算术平方根的概念。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 教师总结本节课所学内容，强调算术平方根的概念和表示方法。
2. 学生复述算术平方根的定义和表示方法。
第二课时一、复习导入1. 提问：同学们，上一节课我们学习了算术平方根，请回忆一下算术平方根的定义和表示方法。
2. 学生回答，教师总结。
二、新课讲授1. 教师展示课件，介绍算术平方根的求法。
2. 教师通过举例说明如何求一个数的算术平方根，如：求16的算术平方根。
3. 教师讲解求算术平方根的步骤，如：找出所有平方数，比较它们与给定数的差值，找到差值最小的平方数，这个平方数的平方根就是给定数的算术平方根。
10.1 平方根(3课时)课程目标一、知识与技能目标1.通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。
了解算术平方根与平方根的区别与联系。
2.对于任意有理数都能区分其“＋”、“－”性，运用计算器已势在必行。
二、过程与方法目标采用类比平方值的求法，定义出平方根的概念，同时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根，这种数有几个平方根？并比较这两个平方根之间有什么关系？三、情感态度与价值观目标1.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神。
2.了解无理数的发现过程，鼓励学生大胆质疑，培养学生学习数学的热情。
教材解读本节内容首先给出一个简单的问题，根据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用方法，通过计算器对任意正数进行开方。
这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。
学情分析上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都能够顺利得到，同时也感知了“互为相反数的平方相等”，故由平方值去探索平方根的问题实际上只是互逆过程，只要求出一个数的平方就可得知平方根的值。
第１课时一、创设情境，导入新课玲玲家最近喜事不断，家里新购了一套房子，全家欢欢喜喜地搬进新居，爸爸妈妈又增加了工资。
条件改善了，为了给玲玲一个好的学习环境，爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业。
爸爸问玲玲：“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子？”玲玲认为正方形桌子更大，可以多堆点书，又可以有足够的位置写字，所以她更喜欢正方形桌子。
于是爸爸根据她的喜爱为她购置了一张正方形桌子，玲玲量了量课桌的边长为100cm，你能算出这张桌子的周长和面积吗？当然可以了，•可是如果玲玲更直接地告诉爸爸“我想要一张面积约为125dm的正方形桌子”。
•请问她爸爸能为她购置到满意的桌子吗？当然可以，计算正方形的面积必须要知道正方形的边长，根据边长求面积是乘方运算，而根据面积求边长又是什么运算呢？这节课我们就来探讨这个问题。
二、师生互动，课堂探究(一)提出问题,引发讨论1.你能求出下列各数的平方吗?0,-1,5,2.3,-15,-3,3,1,15能.02=0 (-1)2=1 52=25 2.32=5.29 (-15)2=125(-3)2=9 32=9 12=1(15)2=1252.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值说出来吗?25,0,4,425,1144,-14,1.69能.由于52=25,(-5)2=25,故平方为25的数为5或-5. 02=0,故平方为0的数为0.22=4,(-2)2=4,故平方为4的数为2或-2.(-25)2=425,(25)2=425,故平方为425的数为±25.(-112)2=1144,(112)2=1144,故平方为1144的数为±112.对于-14这个数,没有哪个数的平方等于它,故平方为-14的数找不到.1.32=1.69,(-1.3)2=1.69,故平方为1.69的数是±1.3.又如:课本P160中的问题:小欧要裁一块面积为25dm2的正方形画布,由于正方形的面积为边长的平方,而边长不可能为负数,故此画布的边长应为5dm.依此可得正方形的面积若分别为1,9,16,36,425时,此正方形的边长分别为1,3,4,6,25.由以上讨论发现,有时候我们已知一个数要求这个数的平方值时,只有一个,•也有些时候,我们已知某数的平方,要求出这个数,发现此时通常可找到两个数,且这两个数是互为相反数,而如果是已知某物的面积求其边长时,其边长也只有一个值.•我们把已知平方值,求原数的问题称为求这个数的平方根.(二)导入知识,解释疑难1.教材内容讲解欲确定某数的平方根时,由以上过程发现,即使有两个值,•这两个值也是一对互为相反数,因此实际上我们若求出其中一个值,另一个值也就可以根据求出的数再写出它的相反数,我们就可先确定一个正数,把这个正数称为所给数的算术平方根.一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,a读作“根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0.例1 求下列各数的算术平方根:(1)900 (2)1 (3) 4964(4)196 (5)0 (6)10-6解:(1)∵302=900,故900的算术平方根是30,(2)∵12=1,故1的算术平方根是1,=1.(3)∵(78)2=4964,故4964的算术平方根是78,=78(4)∵142=196,故196的算术平方根是14,(5)∵02=0,故0的算术平方根是0,=0.(6)∵(10-3)2=10-6,故10的算术平方根是10-3,-3例2:勤俭节约是中国人的一种美德,涛涛的爷爷是个能工巧匠,他把两张破损了一部分的桌面重新拼接成一张完整的正方形桌面,其面积为169dm 2.•已知他用的两张小桌面也是锯成了正方形的桌面,其中一张是边长为5dm 的小板子,•试问另一张较大的桌面的边长应为多少dm 才能拼出面积为169dm 2的桌面?分析:边长为5dm 的正方形板子,其面积为25d m 2,要拼出面积为169dm 2的桌面,还需面积为169-25=144d m 2的正方形桌面,故问题实际上转化为求144•的算术平方根=12.解:设另一张较大的桌面的边长为xdm,则有x 2+52=159,x 2=169-25=144,而122=144故144的算术平方根为12,即另一张桌面的边长应为12dm.练习:1.求下列各式的值:; ; .解:=72 (2)若(a-1)2+│b-9│=0,则b a 的算术平方根是下列哪一个( ) A.13B.±3C.3D.-3分析:由于(a-1)2≥0.│b-9│≥0,∴(a-1)2+│b-9│=0时,有a-1=0且b-9=0, ∴a=1,b=9,∴ba=91=9,故ba的算术平方根是3.有意义吗?为什么?分析:无意义,因为任何数的平方都是非负数,即a2≥0,无意义.2.探究活动(1)当a为负数时,a2有没有算术平方根?其算术平方根与a有什么关系?当a为正数时,a2的算术平方根如何表示?a为0呢?举例说明你的结论.(2)x2-x+14是否有算术平方根?如有请写出其算术平方根,如没有说明为什么?解:当a为负数时,a2为正数,故a2有算术平方根,如a=-5时,a2=(-5)2=25,=5,5是-•5的相反数,故a2<0时,a的算术平方根与a互为相反数,表示为-a.当a2为正数时,a其值为a,当a=0时(0)0(0)(0)a aaa a>⎧⎪=⎨⎪-<⎩(2)因为(x-12)2=x2-x+14,而(x-12)2一定是非负数,故x-x+也是非负数,故x2-x+14有算术平方根,其算术平方根的值要视x的取值而定.当x≥12时,x2-x+14的算术平方根为x-12.•当x<12时,x2-x+14的算术平方根为-(x-12)=12-x.(三)归纳总结,知识回顾这节课主要就平方根中的算术平方根进行讨论,•求一个数的算术平方根与求一个正数的平方幂正好是互逆的过程,因此,求正数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的开平方运算.只不过,只有正数和0才有算术平方根,负数没有算术平方根.练习设计(一)双基练习1.某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_______;•若某数的算术平方根为其相反数,则这个数为______.2.求下列各式的值:3.3x-4为25的算术平方根,求x的值.4.已知9的算术平方根为a,b的绝对值为4,求a-b的值.(二)创新提升5.已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a、b的值.(三)探究拓展6.,求xy的算术平方根.参考答案1.0,1 0;2.0.4, 65,3,0.5,10-1(110); 3.x=34.a=3,b=±4,则a-b=3-4或3-(-4),故a-b=-1或7.5.a=5,b=26.x=4,y=4,xy=16,xy的算术平方根为4.课后作业：第2课时一、创设情境，导入新课某同学用一张正方形纸片折小船，但他手头上没有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，按照如图，沿AE对折使点B落在点F的位置上,•再把多余部分FECD剪下,如果他事先量得矩形ABCD的面积为90cm2,又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为40cm2.•请根据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米.F E D CBA将原矩形纸片的面积减去剩余的矩形纸片的面积即为正方形纸片的面积,•正方形纸片的面积为90-40=50cm2,而正方形的面积为边长的平方,要求正方形的边长就得算出多少的平方等于50,但我们知道72=49,82=64,50这个数既不是72,也不是82,由于49<50<64,故此正方形的边长应大于7而小于8.到底它为多少呢?它是一个小数吗?你有什么办法确定这个值呢?这一系列问题正是我们这节课要讨论的问题.二、师生互动,课堂探究(一)提出问题,引发讨论在实际问题中,往往会遇到像上述情形中的问题,如果在所学过的有理数中确实找不到合适的数的平方会等于所给的数,我们该怎么表示所给数的算术平方根呢?我们知道,若有正数x,使x2=a(a≥0),则x为a的算术平方根,记作于是若x2=50时(x为正数),则而72<50<82,因此有现在我们就来学习如何求?(二)导入知识,解释疑难1.教材内容讲解在上学期有理数的乘方运算中,•我们已经掌握了用计算器求一个数的平方的方法,现在我们要确定一个数的平方根,也可借助这种方法进行,•我们不妨用计算器验证7.12,7.12=50.41,而50.41>50,再验证7.092=50.27>50,故而7.082=50.12,7.072=49.98,故接着继续增加小数点后一位小数,如7.071,计算7.0712=49.99,而7.0722=50.013,故……如此继续进行下去,可以发现将小数点后的小数位继续增加下去,一直不能穷尽,都只能使7.07……的平方值无限因此发现,•只能化为无限不循环小数,而有理数只包括有限小数和无限循环小数或者整数,内,,我们把这种数重新命名为“无理数”,于是数的范围也就扩充了,是否我们可以直接用计算器来计算某一个正数的算术平方根呢?”键,它就可以用来求某正数的算术平方根了,但不同的计算器的按键顺序不相同,只要按计算器的使用方法去按键,就可求出任意正数的算术平方根了.例1:.解::56,为有理数的值在计算器上显示 1.•414213562,•的值在计算器上显示3.16227766.从计算器上显示的数都是位数有限的,•因此往往给我们一个印象“这些值都是有理数”,而事实上我们知道用平方幂验证它们的平方根时,却怎么也找不到准确的数,使其平方为2、5、10,于是我们得出:这些数不是有理数,只是一个无限不循环小数即无理数.•通过计算器计算出的小数只能是这些数的算术平方根的近似值或最接近的值.运用计算器可以很方便地确定一个任意正数的算术平方根.活动:怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形?求出其边长.分析:将两个面积为1的小正方形的面积相加得2,而要拼的大正方形的面积正好为2,于是可知,只要将两个小正方形剪开再重新拼合成一个正方形即能满足要求.要确定新正方形的边长,的值大约是多少,我们知道12=1,22=4,故<2,•也即是面积为2的正方形的边长比1大故比原小正方形的边长大,•若沿原小正方形的对角线将两个小三角形剪开,得四个形状、大小完全相同的小直角三角形,将这四个直角三角形的直角边拼接起来得一个新正方形.(如课本图10.1-1)使用计算器不仅能很方便地计算出任意一个正数的算术平方根,•而且还能使用计算器找到某些数的算术平方根之间的关系.例3:(1)求下列各数的算术平方根.0.000001,0.0001,0.01,1,100,10000,1000000(2)利用计算器计算下列各式的值:你能找到其中的规律吗?把你的发现用自己的语言叙述出来,并利用你的发现说出(≈1.732),的值吗?解:(1)∵0.0012=0.000001 ∴=0.001依次可得出=0.01,从中发现被开方数在逐渐扩大,并且每次扩大100倍,•其算术平方根也在逐渐扩大,但只扩大10倍,于是猜测两个正数之间如果满足b=100a,或者:•被开方数每扩大100倍时,其算术平方根相应地扩大10倍)(2) 0.79057 ≈≈7.9057790.57 比较相应的两列数中的被开方数及其算术平方根,同样可验证在题(1)中的规律,而10倍,它们的算术平方根之间没有规律可循.•故若已知≈1.732,可知≈0.1732, ≈173.2,但不能.2.探究活动(1)用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,你会怎样剪?(2)若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,•你又怎样剪?根据你的剪法回答:只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗?解:(1)面积为400cm2的正方形纸片的边长为20cm,沿着边的方向剪出一刀,•使长方形纸片的面积为300cm2,则其宽为300÷20=15cm,于是只要剪掉5cm宽的长方形纸片即可.(2)若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,•则可设其两边为3x和2x,则有3x·2x=300,6x2=300 x2=50,x=故长方形纸片的长为宽为而×7=21cm,21cm比原正方形的边长20cm更长,这是不可能的.通过上述两例发现利用面积大的纸片不一定能剪出面积小的纸片.(三)归纳总结,知识回顾通过本节课的学习可知,并不是所有的正数的算术平方根都是有理数,这时我们既可以用,的值接近的有理数替代,•于是可用计算器算出这个数,但实际上是一个无理数.练习设计(一)双基练习1.用计算器求出下列各式的值.2.用计算器比较12与12的大小.3.在物理学中,用电器中的电阻R与电流I,功率P•之间有如下的一个关系式:•P=I2R,,现有一用电器,电阻为18欧,该用电器功率为2400瓦,求通过用电器的电流I.4.用边长为5cm的正方形纸片两张重新剪开并拼接成一个较大的正方形,其边长约为多少?(精确到0.01cm)(二)创新提升5.某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2.5倍,它的面积为60000米2.(1)试估算这块荒地的宽约为多少米?(误差小于1米)(2)若在公园中建一个圆环喷水池,其面积为80米2,该水池的半径是多少?(•精确到0.01)(三)探究拓展6.(1)任意找一个很大正数,利用计算器将该数除以3,将所得结果再除以3…….随着运算资料的增加,你发现了什么?换一个数试试,是否仍有类似的规律?(2)任意找一个非常大的正数,利用计算器不断地对它进行开算术平方根,•你发现了什么?参考答案≈0.366<123.I≈11.55安培4.•约7.07cm 5.(1)宽约为154.92米 (2)r≈5.05米 6.(1)结果越来越小,趋向于0 (2)结果越来越趋向于1第3课时一、创设情境,导入新课同学们,你知道“神舟五号”载人飞船吗？“神舟五号”载人飞船于2003•年10月15日9时整,在中国酒泉卫星发射中心进行首次载人航天发射,由“长征二号”F型火箭点火升空,这标志着我国的航天事业又前进了一步,我国在世界上的地位也徒然而升了;当物体达到11.2千米/秒的运动速度时能摆脱地球引力的束缚,•在摆脱地球束缚的过程中,在地球引力的作用下它并不是直线飞离地球,而是按抛物线飞行,•脱离地球引力后在太阳引力作用下绕太阳运行,若要摆脱太阳引力的束缚飞出太阳系,物体的运动速度必须达到16.7千米/秒,那时将按双曲线轨迹飞离地球,而相对太阳来说它将沿抛物线飞离太阳.经过计算,在地面上,物体的运动速度达到7.9千米/•秒时,该速度被称为第一宇宙速度.第一宇宙速度与哪些因素有关呢?又是如何计算呢?二、师生互动,课堂探究(1)前面在第一节课的学习中,我们计算过了很多互为相反数的平方,•发现这些数的平方值会相等,按照我们求正数x的算术平方根的考虑,若x2=a,则称为a•的算术平方根,而x还有一个负值,又该如何称呢?(2)宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)•而小于第二宇宙速度v2(米/秒),其中v1、v2满足v12=gR,v22=2gR,其中g•是物理中的一个常数(重力加速度),g≈9.8米/秒2,R是地球半径,R≈6.4×106米,如何确定v1、v2的值呢?•它与算术平方根有什么关系?下面让我们来逐个分析吧.(二)导入知识,解释疑难1.若一个数的平方等于16,这个数是多少,又怎样表示呢?由于42=16,(-4)2=16,故平方等于16的数有两个:4和-4,把4和-4叫做16的平方根,记为4=16,则-4= -16,把4和-4称为16的平方根.一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,•即若x2=a,则x为a的平方根,记为x=±a.如3和-3是9的平方根,记为±3是9的平方根,•表示为±3=±9.把求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,•而平方运算与开平方运算互为逆运算.根据这种运算关系,可以求一个数的平方根,例如当x2=1时,x=±1;当x2=16时,则x=±4,当x2=36时,x=±6;当x2=49时,x=±7;当x2=425,则±25为425的平方根,依次可记为±1,±16,±36,±49,±425,它们的对应关系如图所示.练习:求下列各数的平方根.(1)0.49 (2)4936(3)81 (4)0 (5)-100解:(1)因为0.72=0.49,(-0.7)2=0.49,所以0.49的平方根为±0.7,0.49=±0.7(2)因为(76)2=4936,(-76)2=4936,所以4936的平方根为±76,4936=±76(3)因为92=81,(-9)2=81,所以81的平方根为±9,±9.(4)因为02=0,所以0的平方根为0,=0.(5)因为任何数的平方都不小于0,找不到平方为-100的数,故-100没有平方根.将这些数的平方根与它们的算术平方根进行比较,正数(或0)的算术平方根只是它们的平方根中的一部分,是正数(或0)的那部分,•而负的那个值正好是算术平方根的相反数,进一步可归纳出:正数的平方根有两个,它们是一对互为相反数.0的平方根是0负数没有平方根例1:求下列各式的值,并根据这些值写出各被开方数的平方根.解:(1)因为1.22=1.44,的平方根为±1.2,±1.2.(2)因为92=81,所以的平方根为±9,±9.(3)因为(3100)2=9100,±3100,它正是9100的平方根. 故求正数的平方根时,只要知道它的算术平方根,就能确定了,•因为其算术平方根和算术平方根的相反数即为该数的平方根.•同样如果知道某数的算术平方根的相反数,则该数的平方根同样可确定.面对问题(2)中的“宇宙速度”,我们知道第一宇宙速度v 12=gR,其中g=9.8米/秒2,R ≈6.4×106米,v 22=2gR,则有v 12≈9.8×6.4×106米2/秒2≈62.72×106米2/秒2=6.27×107米2/秒2.v 22≈125.44×106米2/秒2=1.2544×108米2/秒2 因此,v 1是6.272×107的平方根,v 2是1.2544×108的平方根.那么v 1=≈±7.9×103米/秒=±7.9千米/秒,v 2=≈±11.2×103米/秒=•±11.2千米/秒但在实际问题中,速度是一个比0大的数,数学问题中不考虑速度的方向,故负值不合题意,应舍去,实际上,在某些具体问题中,要根据得出的答案是否有意义而取值.例2:某矩形的面积为13200平方米,若其长是宽的3倍,试求出此矩形的长与宽分别是多少米?解:设宽为x 米,则长为3x 米,其面积为3x 2平方米故3x 2=13200 x 2=4400 解得x=±66.33但x 为矩形的边长应大于0,故x=66.33米,3x=198.99米,即此矩形的长为198.•99米,宽为66.33米.2.探究活动对于正数x 和y,有下列命题:(1)若x+y=2, 1 (2)x+y=3, (3)若x+y=6, 3 根据以上三个命题所提供的规律猜想:(1)若x+y=9,_______.(2)若对于任意正数a 、b,_____.分析:当x+y=3时,32,从中发现分母为2,分子为x 、y 的和,再验证其它的等式:x+y=2时,22=1.当x+y=6时62=3.与已知相吻合,故有结论m>0,n>0,且m+n=a 时,•2a ,2m n +∴x+y=9时,922a b +由此得a+b ≥)2≥0(三)归纳总结,知识回顾本节课针对平方根与算术平方根的意义具体地分析何种情形用平方根,•何种情形用其算术平方根,得根据实际情况选择答案.练习设计(一)双基练习?16的平方根为多少? 的平方根呢?2.如果一个正数的一个平方根为4,则另一个平方根为多少?3.有一长方形花坛,长是宽的4倍,其面积为25m 2,求长和宽.4.若(a-1a )2= 21a+a 2-2,现老师布置了一道化简题: 1a (a=15) .甲、•乙两同学很快地写出其解答过程:甲: 1a =1a 1a +1a -a=2a-a,当a=15时,2a -a=10-15=945乙: 1a =1a 1a +a-1a =a=15谁的答案是对的?为什么?(二)创新提升5.已知-2,试比较a 、b 、c 的大小.(不用计算器)(三)探究拓展6.a,小数部分为b,求a 、b 的值.参考答案1.4,±4,±22.-43.长为10m,宽为2.5m4.甲的答案是对的,因为a=15 时,1a>a.5.因为 ,所以,而∴b<a<c6.∴的整数部分为5,即课后习题答案习题10.1 1.(1)14 (2) 58(3)0.2 (4)10 2.(1)(3)(4)式有意义,(2)式无意义 -3没有算术平方根 3.(1)±15 (2) 3110 (3) 1112 (4) 319 4.(1)对 (2)对 (3)错 (4)对≈0.6801-0.5657 (4)49.01最接近的两个整数是6和77.(1)±≈16.9在16.4～16.5之间,因为16.42=268.•95<•270,16.52=272.25>270,故(4)16.18.(1)x=±5 (2)x=±9 (3)x=±6 59.120=4.9t2,t2≈4.95秒≈5秒10.2倍,3倍倍│a│2=a.12.其值最接近1.。
