北京交通大学陈后金教授信号处理课件

Re z
-1
z平面
例：求以下序列的z变换及收敛域。
(1) x[k ] a u[k ]
k
(2)
1 0 k N - 1 x[k ] 0 其它
Im z
解：
(1)
X ( z) a z
k k 0

-k
1 -1 1 - az
|a|
Re z
ROC : z a
(2)
X ( z ) z -k
四、单边z变换的主要性质
3. 指数加权特性
z a x[ k ] X ( ) a
k Z
ROC a Rx
例：求aksin(0k) u[k] 的z变换及收敛域
解：
sin( 0 k )u[k ]
z
sin 0 z -1 1 - 2 z cos 0 z
-1 -2
z 1
对上式应用初值定理，即得
a x[1] limz{X ( z) - x[0]} lim a -1 z z 1 - az 当|a|<1时，(z-1)X(z)的收敛域包含单位圆，由终 值定理，有 z -1 0 x[] lim z -1) X (z) lim ( -1 z 1 1 - az z1
例：求以下单边周期序列的单边z变换。
k
n 0, 1, 2, 1, k 2n, (1) x[ k ] 0, k 2n 1, n 0, 1, 2,
(2) y[k ] (-1)i x[k - i]
i 0
一般情况：周期为N的单边周期序列xN[k]u[k]可以表示为第一 个周期序列x1[k]及其位移x1[k-lN]的线性组合，即
证：Z{x1[k ] x2 [k ]} Z{ x1[n]x2 [k - n]}

Y 2 ( j ) F [ x h ( t ) sin c t ] 1 2j { X h [ j( c )] X h [ j( c )]}
Y S ( j ) Y1 ( j ) Y 2 ( j )
利用希尔伯特变换下边带幅度调制的频谱
X ( j )
A
Y1 ( j )
A/ 2
c
c
Y2 ( j )

m
m
X h ( j )

A/ 2
c
A/ 2

Aj
c

YS ( j )
A
m
m
c
c

四、频分复用
X 1 ( j )
调制系统
cos( c1t )
x1 (t )
0
X 2 ( j )

x 2 (t )
一、双边带调幅 (Amplitute Modulation)
信号的频谱分析
x (t )
y (t )
c ( t ) cos c t y ( t ) x ( t ) cos c t
c (t )
幅度调制方块图
Y ( j )
1 2π
1 2
X ( j ) * π [ ( c ) ( c )]
...

例 如图所示系统中，已知输入信号x(t)的频谱X(j)， 试分析系统中A、B、C、D各点及y(t)的频谱并画出 频谱图，求出y(t)与x(t)的关系。
H1(j) x(t) H2(j) C 1 1 y(t)

A
B

-100 -80 80 100
ห้องสมุดไป่ตู้

w0 w0
0 2 lim[ 2 ] 2 0 + w


2 w dw 2arctg( ) 2 2 2 +w
f (t )
dt (t )e jwt dt 1


(t )
(1)
1
F (w )
0
t
0
w
单位冲激信号及其频谱
(4) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限 的方法求出其傅里叶变换。
F [1] lim F [1 e
0
| t|
2 ] 2 (w ) ] lim[ 2 2 0 + w
符号表示：


F ( jw ) F[ f (t )] f (t ) F 1[ F ( jw )]
或
f (t ) F ( jw )
F
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积


f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
P 1
2 2 2 | C ( n w ) | C ( 0 ) + 2 | C ( n w ) | 0.1806 0 0 n =1 4 4
n =—4
P 0.1806 1 90 % P 0.200
周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功 率之和占整个信号平均功率的90%。
虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
• 常见周期信号的频谱密度
1. 常见非周期信号的频谱
(1) 单边指数信号

1．信号分解为直流分量与交流分量
连续时间信号
x(t ) xDC (t ) + xAC (t )
x (t)
1 b xDC (t ) a x(t )dt b-a
x(t ) xDC (t ) + xAC (t )
直流
t
交流
离散时间信号
x[k ] xDC [k ] + xAC [k ]
信号与系统
Signals and Systems
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《信号与系统》
陈后金，胡健，薛健
高等教育出版社， 2007年
信号的时域分析
连续时间信号的时域描述 连续时间信号的基本运算
离散时间信号的时域描述
离散时间信号的基本运算 确定信号的时域分解
离散时间信号的基本运算
翻转 (x[k] x[-k] ) 位移 ( x[k] x[kn] ) 内插与抽取 序列相加 序列相乘 差分与求和
1. 翻转
x[k] x[-k]
将 x[k] 以纵轴为中心作180度翻转
x[k] 2 1 -1 0 1 2 3 k
-2 -1 0 1
3 2
x[-k] 2
3 2 1 2 k
2. 位移 x[k] x[kn]
n>0
x[k-n]表示将x[k]右移n个单位。 x[k+n]表示将x[k]左移n个单位。
原信号x
4倍抽取后信号x1
8倍抽取后信号x1
4. 序列相加
指将若干离散序列序号相同的数值相加
y[k ] x1[k ] + x2[k ] + + xn [k ]
x1[ k ]
1 k 0 -1

则ax1 (t ) bx2 (t ) F aX1 ( j) bX2 ( j)
其中a和b均为常数。
2. 共轭对称特性
若 x(t ) F X ( j)
则
x * (t ) F X * (- j) x * (-t ) F X * ( j)
X(j)为复数，可以表示为
cos 0t 1
( π)
X ( j )
( π)
t
- 0
0
0

余弦信号及其频谱函数
（二）常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
sin 0 t 1 j0t (e - e - j0t ) F - jπ[d ( - 0 ) - d ( 0 )] 2j
sin 0 t 1
3. 时移特性
若x(t ) F X ( j) 则x(t - t0 ) F X ( j) e- jt0
式中t0为任意实数 证明：
F[ x(t - t0 )]


-
x(t - t0 )e
- jt
dt
令x = t-t0，则dx = dt，代入上式可得
F[ x(t - t0 )]
信号与系统信号与系统signalssystemssignalssystems普通高等教育十一五国家级规划教材普通高等教育十一五国家级规划教材信号与系统信号与系统高等教育出版社高等教育出版社20072007年年连续周期信号的频域分析连续周期信号的频域分析连续非周期信号的频域分析连续非周期信号的频域分析离散周期信号的频域分析离散周期信号的频域分析离散非周期信号的频域分析离散非周期信号的频域分析信号的时域抽样和频域抽样信号的时域抽样和频域抽样连续时间信号的傅氏变换及其频谱连续时间信号的傅氏变换及其频谱常见连续时间信号的频谱常见连续时间信号的频谱连续时间傅氏变换的性质连续时间傅氏变换的性质常见非周期信号的频谱常见非周期信号的频谱频谱密度频谱密度单边指数信号单边指数信号双边指数信号双边指数信号eeaatt单位冲激信号单位冲激信号ddtt直流信号直流信号符号函数信号符号函数信号单位阶跃信号单位阶跃信号uutt常见周期信号的频谱密度常见周期信号的频谱密度虚指数信号虚指数信号正弦型信号正弦型信号单位冲激串单位冲激串单边指数信号单边指数信号幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱单边指数信号单边指数信号双边指数信号双边指数信号幅度频谱幅度频谱cossin相位频谱相位频谱单位冲激信号单位冲激信号dt单位冲激信号及其频谱直流信号直流信号xxtt11tt直流信号不满足绝对可积条件可采用极限的方法求出其傅里叶变换

一、系统函数
2. H(z)与h[k]的关系
[k]
h[k] yzs [k] = [k]*h[k] h[k ]
Z { yzs [k ]} Z {h[k ]} H ( z) Z {h[k ]} Z { [k ]} 1
H ( z ) Z {h[k ]}
h[k ] Z [H ( z)]
H(z)
2.5 1.25 z 1 0.5 z 2 H ( z) 1 0.25 z 2
二、系统函数的零极点分布
系统函数可以表达为零极点增益形式，即
( z r1 )( z r2 )( z rm ) N ( z) H ( z) K D( z ) ( z z1 )( z z2 )( z zn )
-
-
-
W(z)
an-1 an
z域框图
二、离散系统的模拟框图
2. 级联型结构
将系统函数的N(z) 和D(z)分解为一阶或二阶实系
数因子形式，将它们组成一阶和二阶子系统，即
H(z) = H1(z) H2(z) ….. Hn(z)
画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各 子系统级联。
X(z)
H1(z)
H2(z)
D(z)=0的根是H(z)的极点，在z平面用表示。 N(z)=0的根是H(z)的零点，在z平面用 表示。 例如
(2) 1 Im (z) j 0. 5j (3) 0. 5 0 0. 5j j Re (z) 0. 5 1
H (z)
z3(z 1 j)(z 1 j)
(z 0.5)(z 1)2(z 0.5 j0.5)(z 0.5 j0.5)
w[k ] a j w[k j ] x[k ]

Yzs (e jΩ ) X (e jΩ )
DTFT {h[k ]}
DTFT{d [k]}
DTFT{h[k ]}
H(ej)一般可表示为幅度与相位的形式
H (e j ) | H (e j ) | e jj( )
幅度响应
相位响应
(magnitude response) (phase response)
( ) dj( ) 群延时 ( group delay )
即在间断点的前后出现了振荡，其振荡 的最大峰值约为阶跃突变值的9%左右， 且不随滤波器带宽的增加而减小。
结论
1. 输出响应的延迟时间取决于理想低通滤波器的 相位响应的斜率。
2. 输入信号在通过理想低通滤波器后，输出响应 在输入信号不连续点处产生逐渐上升或下降的 波形，上升或下降的时间与理想低通滤波器的 通频带宽度成反比。
低通变为无失真传输系统， h(t)也变为冲激信号。
五、理想模拟滤波器
2. 理想低通滤波器的冲激响应
分析：
2) h(t)主峰出现时刻 t = td 比输入信号d (t) 作用
时刻t = 0延迟了一段时间td 。td是理想低通 滤波器相位响应的斜率。
3) h(t)在 t<0 的区间也存在输出，可见理想低 通滤波器是一个非因果系统，因而它是一个 物理不可实现的系统。
Yzs (e j X (e j
) )
若n阶离散LTI系统的差分方程为
y[k] a1 y[k 1] an1 y [k n 1] an y[k n] b0x[k ] b1x[k 1] bm1x [k m 1] bm x[k m]
则离散系统的频率响应可表示为
H (e j
变，而相位没有失真。
四、线性相位的离散时间LTI系统

齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定
特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定
一、系统的零输入响应
定义：系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系 统的初始状态单独作用而产生的输出响应。 数学模型:
y ( n) (t ) an1 y ( n1) (t ) a1 y ' (t ) a0 y(t ) 0 求解方法： 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式
y ( n ) (t ) an 1 y ( n 1) (t ) a1 y ' (t ) a0 y (t ) bm x ( m ) (t ) bm 1 x ( m 1) (t ) b1 x ' (t ) b0 x(t )
ai 、 bj为常数。
离散LTI系统用n阶常系数线性差分方程描述
则
dx(t ) dy (t ) T{ } dt dt
离散时间系统， 若 T{x[k]}= y[k] 则 T{ x[k] -x[k-1]}= y[k] - y[k-1]
线性非时变(LTI)系统的特点
4．积分（求和）特性
连续时间系统，若 T{x(t)}=y(t) 则
T {
t
x( )d }
2
非线性系统 非线性系统 线性系统 线性系统
(3) y(t ) 4 y(0) x(t ) 3x(t )
dx(t ) (4) y(t ) 4 y(0) 2 sin t dt
不满足可分解性
(5) y[k ] ky[0]

i 0
k
x[i]
线性非时变(LTI)系统的特点
2．非时变特性
1
0
1
t
0

2版) 第 版 (Digital Signal Processing)
陈后金 薛健 胡健 高等教育出版社 高等教育电子音像出版社
绪
论
数字信号处理的主要特点 数字信号处理的实现 数字信号处理技术的发展概况 数字信号处理课程体系及内容 主要参考书
数字信号处理的主要特点
DSP的主要优点 DSP的主要优点： (1) 稳定性好: 数据用二进制表示，受外界影响小。 稳定性好: (2) 精度高: 可通过增加字长提高系统的精度。 精度高: (3) 灵活性强: 可改变系统的系数使系统完成不同的功能。 灵活性强: (4) 可靠性高: 存储无损耗，传输抗干扰。 可靠性高: (5) 极低频 极低频(VLF)信号的处理: 如地震信号。 信号的处理: 信号的处理 DSP的主要缺点： DSP的主要缺点
数字信号处理技术的发展概况
数字信号处理技术的进程
年代(20世纪) 特点
• 60年代 • 70年代 • 80年代 • 90年代 • 今后
$/MIPS
大学探索 100 ~ 1,000 军事运用 10 ~ 100 商用成功 1 ~ 10 进入消费类电子产品 0.1 ~ 1 生活用品 0.01 ~ 0.1
……
(1) 系统的复杂性提高。 (2) A/D 转换的抽样频率有限，限制了对高频信号的处理。
DSP绪论 DSP绪论
数字信号处理的实现
软件实现 (仿真等) 硬件实现 (专用器件等) 软硬件结合实现 (可编程器件等)
输入 x(t) x[k] A/D 离散 系统 y[k] D/A 输出 y(t)
DSP绪论 DSP绪论
数字信号处理课程体系及内容
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 离散信号与系统分析 离散Fourier变换 离散Fourier变换快速算法 IIR数字滤波器的设计 FIR数字滤波器的设计 功率谱估计 多速率信号处理基础 信号时频分析与小波分析

1 (u )
l i
(l i )! d( z )
(1 uz
1 l

z u ,
i 1, l
3. 假分式
F ( z)
mn

i 1
k i z i
B1 ( z 1 ) A( z 1 )
多项式
有理真分式
1 例 : F ( z) z 4, 求f [k ] 1 2 1 (1 2 z ) (1 4 z )
1
a2 z
2

b0 F b1 z 1 1 a1 z
1
a2 z
2
F ( z)
Yx(z)
Yf (z)
a1 y[1] a2 y[2] a2 y[1]z 1 Yx ( z ) 1 a1 z 1 a2 z 2 b0 F b1 z 1 Y f ( z) F ( z) 1 2 1 a1 z a2 z
有限长序列
F ( z)
k N1

N2
f [k ]z k
ROC : z 0
1 0 k N 1 例：f [k ] RN [ k ] 0 其它
F ( z ) z k
k 0 N 1
1 zN 1 1 z
z 0
二、收敛域（ROC)
右边序列
F ( z)
k
1 1 z
1 e
1
z a
1 cos 0 z 1 j sin 0 z 1 1 2 z 1 cos 0 z 2
1
3) Z {e j0 k u[k ]}
1
j 0
z 1
1 cos 0 z cos( 0 k )u[k ] 1 2 z 1 cos 0 z 2 sin 0 z sin( 0 k )u[k ] 1 2 z 1 cos 0 z 2