信号与系统第六章(陈后金)2

—— 部分分式展开法
归纳：
N ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 X ( s) n D( s ) s an1s n1 a1s a0
3) X(s)为有理假分式( m≥ n)
N ( s) N1 ( s) mn X ( s) B0 B1s Bmn s D( s ) D( s )
x(t ) (t ) 8te4t u(t ) 24e4t u(t )
s2 8 例4 求下列F(s)的反变换。 (1) X (s) ( s 4) 2 1 1 e 2 s (2) X ( s) 2 2 (3) X ( s) 3s ( s 4) s( s 2 4)
①
k1 ( s 1)3 ( s 1)3 X ( s) k 2 k3 ( s 1) k 4 ( s 1) 2 ② s 令s= 1， ②式右端只有k2项不等于零，所以
s2 k 2 ( s 1) X ( s) s 1 s
3 s 1
3
例2 采用部分分式展开法求X(s)的反变换。
求解步骤： 1) 经拉氏变换将时域微分方程变换为s域代数方程
2) 求解s域代数方程，求出Yzi(s), Yzs(s)
3) 拉氏反变换，求出响应的时域表示式
一、微分方程描述系统的复频域分析
二阶系统响应的s域求解
y"(t)
2
a1y'(t)

a2y (t)
[s Y (s) sy(0 ) y' (0 )] a1[sY (s) y(0 )] a 2Y ( s) b0 s 2 X (s) b1sX (s) b2 X (s)
1 d i 1 ki [(s p1 ) r X ( s)] i 1,2,, r (i 1)! ds i 1 r n ki i 1 p1t x(t ) [ t e ]u (t ) ki e p1t u (t ) i 1 (i 1)! i r 1
六、单边拉普拉斯的反变换
由此可得
2 / 3 1/ 2 1/ 6 s2 X ( s) s s 1 s 3 s( s 1)(s 3)
对上式进行拉氏反变换可得
2 1 t 1 3t x(t ) u (t ) e u (t ) e u (t ) 3 2 6
例2 采用部分分式展开法求X(s)的反变k 2 sX ( s) k1 ( s 1)(s 3) s 1 s 3
令s=0，上式右端只有k1项不等于零，所以
k1 sX ( s) s 0
s2 ( s 1)(s 3)
s 0
2 3
例1 采用部分分式展开法求X(s)的反变换。
连续时间LTI系统的复频域分析
微分方程描述系统的复频域分析
电路的复频域模型
一、微分方程描述系统的复频域分析
解微分方程
时域微分方程
单 边 拉 氏 变 换
时域响应y(t)
拉 氏 反 变 换
s域代数方程
解代数方程
s域响应Y(s)
一、微分方程描述系统的复频域分析
二阶系统响应的s域求解
d 2 y (t ) dy(t ) d 2 x(t ) dx(t ) a1 a2 y (t ) b0 b1 b2 x(t ) 2 2 dt dt dt dt 已知 x(t)，y(0)，y' (0) ，求y(t)。
s2 X ( s) 3 s 4s 2 3s Re( s ) 0
解： 同理可求出
s2 1 k2 ( s 1) X ( s) s 1 s 1 s( s 3) 2 s2 1 k3 ( s 3) X ( s) s 3 s 3 s( s 1) 6
从傅里叶变换到拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换及其存在的条件 常用信号的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 单边拉普拉斯变换的性质
单边拉普拉斯变换的反变换
六、单边拉普拉斯的反变换
—— 部分分式展开法
1 j x(t ) X ( s)e st ds 2πj j
计算拉普拉斯反变换方法：
例1 系统的微分方程为 y''(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 2x'(t) + 8x(t) 激励 x(t) = etu(t)，初始状态y(0)=3， y'(0)=2，求响应y(t)。
1 1 1 于是 X ( s) ( 2 ) 2 3 4s 4( s 4) 1 1 x(t ) (t sin 2t )u (t ) 12 2
s2 8 例4 求下列F(s)的反变换。 (1) X (s) ( s 4) 2 1 1 e 2 s (2) X ( s) 2 2 (3) X ( s) 3s ( s 4) s( s 2 4)
N1 ( s) D( s )
为真分式，根据极点情况按1)或2)展开。
L B1s B1 '(t )
L B0 B0 (t )
L Bm n s Bm n ( m n)(t )
s2 8 例4 求下列X(s)的反变换。 (1) X (s) ( s 4) 2 1 1 e 2 s (2) X ( s) 2 2 (3) X ( s) 3s ( s 4) s( s 2 4)
解： (2)X(s) 有1个2阶重极点和一对共轭极点，为计算简便 令s2=q,
1 k1 k2 1 ( ) 则X ( s ) 3 q (q 4) 3q(q 4)
q 0
1 k 2 (q 4) q(q 4)
1 k1 q q(q 4)
1 4
q 4
1 4
1. 利用复变函数中的留数定理 2. 采用部分分式展开法
例1 采用部分分式展开法求X(s)的反变换。
s2 X ( s) 3 s 4s 2 3s Re( s ) 0
解： X(s)为有理真分式，极点为一阶极点。
k3 k1 k2 s2 X ( s) s( s 1)(s 3) s s 1 s 3
b0 x"(t ) b1x' (t ) b2 x(t )
sy (0 ) y' (0 ) a1 y(0 ) b0 s b1s b2 Y ( s) 2 X ( s) 2 s a1s a2 s a1s a2
2



Yzi(s)
Yzs(s)
y(t ) yzi (t ) yzs (t ) L1{Yzi (s) Yzs (s)}
解： (1)X(s)不是真分式，且有1个2阶重极点
8s 8 X ( s) 1 ( s 4) 2 k1 k2 1 2 ( s 4) s4
k1 (s 4)2 X (s) s4 (8s 8) s1 24
d k 2 ( s 4) 2 X ( s) s 4 (8s 8) ' 8 ds
s2 X ( s) s ( s 1)3 Re(s) 0
解： X(s)有1个3阶重极点
X ( s)
k3 k1 k2 k 4 s ( s 1)3 ( s 1) 2 s 1 s2 k1 sX ( s) s 0 2 3 s 0 ( s 1) 将①式两端同时乘以(s+1)3可得
例3 采用部分分式展开法求下列X(s)的反变换。
s 4 13s 2 11s 2 X ( s) s 3 4s 2 3s Re(s) 0
解：
X(s)为有理假分式，将其化为有理真分式
s2 X ( s) s 4 3 s 4s 2 3s
利用例1计算结果，以及
1) X(s)为有理真分式( m < n)，极点为一阶极点
N ( s) N ( s) X ( s) D( s) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
kn k1 k2 s p1 s p2 s pn
ki ( s pi ) X ( s ) s pi i 1,2, , n
解： (3)X(s)不是有理分式，将其表示为
1 e 2 s X ( s) 2 s( s 4) s( s 2 4)
X1(s) X2(s) =X1(s)e2s 时移特性 x2 (t ) x1 (t 2)
将X1(s)展开为
k1 k 2 s k3 X 1( s ) 2 s s 4
s2 X ( s) s ( s 1)3 Re(s) 0
k1 ( s 1)3 解：( s 1)3 X ( s) k 2 k3 ( s 1) k 4 ( s 1) 2 ② s 对②式求一阶导数，再令s= 1可得
d( s 1)3 X ( s) s2 ' k3 ) s 1 2 s 1 ( ds s 对②式求二阶导数，再令s= 1可得 1 d 2 ( s 1)3 X ( s) 1 s 2 '' k4 ( ) s 1 2 s 1 2 2 ds 2 s 2 3 2 2 X ( s) 3 2 s ( s 1) ( s 1) s 1 3 2 t 1 x(t ) L [ X ( s)] (2 t e 2te t 2e t )u (t ) 2
x(t ) (k1e p1t k2e p2t kne pnt )u(t )
六、单边拉普拉斯的反变换
—— 部分分式展开法
归纳：
X ( s)
N ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 X ( s) n D( s ) s an1s n1 a1s a0
信号与系统