哈工大线性代数习题课

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8讲2.8.3分块阵的初等变换求秩,习题课(哈工大线性代数课件王宝玲版)

⇒ Ai B = C i , i = 1,L, m
2
2.8 分块矩阵的初等变换
本节内容提要
分块矩阵的初等变换分块初等阵利用分块矩阵的初等变换求秩利用分块矩阵的初等变换求秩
3
2.8.1 分块矩阵的初等变换
对分块矩阵也可以引进初等变换和初等矩阵的概念.分块矩阵关于子块的初等矩阵的概念.分块矩阵关于子块的一次初等变换,可以看作是关于元素元素的一次初等变换,可以看作是关于元素的一批初等变换的合成我们只以分成4 的合成. 一批初等变换的合成.我们只以分成4块的情况简单解释. 的情况简单解释. 设
−1
−1
=| A || B − DA C |
13
例4 证明|Em -AB| = |En -BA| ,其中证 A 为m×n阶矩阵, B为n×m阶阵. 阶矩阵, 为阶 Em A 行 Em − AB 0 → B En B En
Em A ⇒ =| E m − AB | B En Em A A Em 行 → B En 0 E − BA n
Er1 0 0 = P2 BQ2 0 0
0 0 0 0 0 Er2 0 0
0 0 0 0
= r ( A) + r ( B)
21
A C ≥ r ( A) + r (B ) 6. r 0 B . 证设 r ( A) = r1 , r ( B ) = r2
24
8. r(A+B)≤r(A)+r(B) ( ) ( ) ( ) A 0 = r A A+ B ≥ r ( A+ B) 证 r ( A) +r ( B) = r 0 B 0 B 1 0 + r 1 0 = 3 > r 2 0 = r(A+ B) = 2 例2 r 0 1 0 1 0 0 9. r ( A B ) ≤ min {r ( A ) , r ( B )} 证 r(A)=r(A 0)= r(A AB)≥r(AB) ( ) ( ) ( ) ( )

线性代数习题 1解析【哈工大版】

·1·习题一1．按自然数从小到大的自然次序，求解各题. (1) 求1至6的全排列241356的逆序数. 解：(241356)0021003t =+++++=.(2) 求1至2n 的全排列135(21)246(2)n n - 的逆序数.解：(1)(13(21)242)000(1)(2)2102n n t n n n n --=++++-+-+++= . (3) 选择i 与j ，使由1至9的排列，9127456i j 成偶排列. 解：由9127456i j 是从1至9的排列，所以,i j 只能取3或8.当8,3i j ==时，(912748563)01112133618t =++++++++=，是偶排列. 当3,8i j ==时(912743568)01112322113t =++++++++=，是奇排列，不合题意舍去.(4) 选择i 与j ，使由1至9的排列7125489i j 成奇排列.解：由7125489i j 是从1至9的排列，所以,i j 只能取3或6.当3,6i j ==时，(713256489)0112113009t =++++++++=，是奇排列. 当6,3i j ==时，(716253489)01122330012t =++++++++=，是偶排列，不合题意舍去.2．计算下列行列式 (1)9182613a b b a ； (2) 32153320537528475184；(3) 108215123203212； (4) abac ae bdcdde bf cfef---. 解：(1)229182913117(4)26132a b a ba b b a b a=⨯=-.(2) 3215332053320531003205332053320531003205375284751847518410075184751847518410075184+==++ 0751840032053004313100=+-=.(3) 1082222151235433302032124812=⨯=.·2·(4) 111111111002111020abac ae bdcd de abcdef abcdef bfcfef ----=-=-- 111204002abcdef abcdef -=-=. 3．已知3021111xy z=，利用行列式性质求下列行列式. (1) 33332222xyzx y z x y z +++++； (2) 111302413x y z +++. 解：(1) 3333230223022222222111xyzxy zxyzx y z x y z ++===+++. (2)111111302302302413413413x y z x y z +++=+ 111302302101111111xy z=+=+=.4．用行列式定义计算：(1)12345； (2) 010000200001000n n - .解：(1)1234512345()1234512(1)345t p p p p p p p p p p a a a a a =-∑(54321)1524334251(1)t a a a a a =-10(1)12345120=-⨯⨯⨯⨯⨯=.·3·(2)1212()120102(1)01n n t p p p p p np a a a n n=∑--(231)1223(1)1(1)t nn n n a a a a -=-11(1)123(1)!n n n n --=-⨯⨯⨯⨯⨯=- 5．用行列式的定义证明：(1) 11121314152122232425343544455455000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =； (2)11122122333411123132333443442122414244450000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⋅. 证：(1) 123451234511121314152122232425()12345343544455455(1)0000000t p p p p p p p p p p a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a ==- 假设有12345123450P P P P P a a a a a ≠，由已知345,,p p p 必等于4或5，从而345,,p p p 中至少有两个相等，这与12345,,,,p p p p p 是1,2,3,4,5的一个全排列矛盾，故所有项12345123450P P P P P a a a a a =，因此0D =.(2)1234123411122122()123431323334414243440000(1)t p p p p p p p p a a a a a a a a a a a a a a a a =-∑，由已知，只有当12,p p 取1或2时，123412340p p p p a a a a ≠，而1234,,,p p p p 是1,2,3,4的一个全排列，故34,p p 取3或4，于是·4·(1234)(1243)(2134)112233441122344312213344(2143)12213443(1)(1)(1)(1)t t t t D a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+从而33341112112212213344344343442122()()a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅=--11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+ D = 6．计算(1)305002123000a b c d； (2) 121102*********110----； (3) n x a a a x aD a a x=； (4) 123110010101001n n D -=--； (5) 001000000100n a a D a a = ； (6) 1111111111111111n D -=--.解：(1)4433305304 3 0023(1)00(1)123012000a ab a d b dc abcd c b c d++--=按第按第行展开列展开.(2)12111211121102111021110211121440366036621110033120036==-----·5·12111211121101220122012233390211100370037003600360001=-=-=-=------. (3) 12131 (1)(1)(1) n n r r x a a n a x n a x n a xr r a xa ax aD a ax aa xr r +-+-+-++=+111[(1)]a x an a x a a a a a=-+1111000[(1)]000000x an a x x a x a-=-+--1[(1)]()n n a x x a -=-+-.(4) 12131123123231100010********* 10010001n nnn nc c c c D c c+++++-+=-+-(1)1232n n n +=++++= .(5) 001000000100n a a D a a=·6·11100000000100(1)(1)0000100n a a a a a a a++-+-按第行展开 1112(1)(1)n n n n a a +-+-=+-- 2nn a a-=-.(6) 11111111111102001111002011110002n D --==----111(2)(1)2n n n ---=-=-. 7．证明(1) 22222()111a ab b aa b b a b +=-证：222221223(1) 22222(1)111001a ab b a abab b b c c aa b ba ab a b b bc c --+-+--+-+-33()()(1)a a b b a b a b a b +--=---23()()11a b a b a b =-=- (2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++证：等式左端2222222222222222214469214469214469214469a a a a a a ab b b b b b bc c c c c c cd d d d d d d ++++++++++++=++++++++++++·7·2221223222314322412144692126(1) (2) 21446921260(1)2144692126(3)(1)2144692126a a a a a a c c c cb b b b b bc c cc c c cc c c c c dd d d d d +++++-+-++++=+-+++++-+-++++(3)2322311111211121311123223212122212223222232233131323132333332322341414241424344411111111x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x xx++++++++++++=++++++++++++证：等式左端2321111111212112322212212222323213313313232324314414414241() 1()1()1x x b x x c x c x c a c x x b x x c x c x c b c x x b x x c x c x c c c x x b x x c x c x ++++-++++-++++-+++232231111111123223312413222122222322333313333422232234441444411()()1111()11x x x c x x x x c b c c c c xx x c x x x x x x x c x x x x c c c x xx c xx xx++-+-+=++-+等式右端.8．解关于未知数x 的方程(1) 12326001xx x -=-解：121326(1)3201xx x x x x -=---2(1)[(2)3](1)[23](1)(3)(1)0x x x x x x x x x =---=---=--+= 所以1231,3, 1.x x x ===-(2) 0(0)aa xmm m m bx b=≠·8·解：00111111aa x a a x x amm m m m bx b b x b b xb-==11()()()0m x a m x a x b b x=-=--=因0m ≠，所以12,x a x b ==.9．设111212122212nn n n nn a a a a a a a a a a =，求下列行列式：(1)122122211121n n nn nn a a a a a a a a a ； (2)112112222121nn nn n n a a a a a a a a a；(3)12121212111222n nnnp p p p p p p p p np np np a a a a a a a a a ∑，其中“∑”是对1,2,,n 的所有全排列12np p p 取和，2n ≥.解：（1）经行的交换得原式111211213132321222(1)nn n nn n n na a a a a a a a a a a a -=- =1112121222(1)(2)2112(1)nnn n n n nna a a a a a a a a -+-+++=-(1)2(1)n n a -=-.(2) 与(1)类似，经列的交换得·9·原式(1)2(1)n n a -=-.(3) 经列的交换，得12121212121111112122221222()()12(1)(1)n nn n np p p np p p np p p p p p np np np n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a ττ=-=-故原式1212()111111(1)0111n np p p p p p a aτ=-==∑ .10．计算行列式(1)112233440000000a b a b b a b a ； (2) 100011001100011011aaa a a aa a a---------；(3) 6111116111116111116111116； (4) 1000010000100001000k λλλλλ----. 解：(1)1111112244443333334422220000000000000000000a b a b a b a b b a b a b a b a a b b a a b b a =-= 1133141423234422()()a b a b a a b b a a b b b a b a ==--.(2) 将前4行依次加到第5行，再按第5行展开得原式10110011000110001aa a a a a a aa---=-----51001100110011a a a a a a aa---=-+----·10·5100110011001a a a aa a aa ---=-+---541011011a a a a a a a-=-++---- 54101101aaa a a a a-=-++---543111a aa a a a-=-+-+--23451a a a a a =-+-+-(3) 6111110101010101611116111116111161111161111611111611116= 111111111116111050001010116110050011161000501111600005== 41056250=⨯=. (4) 按最后一行展开得10001100010010001000100100010001001000000k k λλλλλλλλλλλλλ------=+-----5k λ=+11．计算行列式(1)1111111111111111111111111x x x x x --+---+---+--； (2) 1111222233334444x m x x x x x m x x x x x m x x x x x m----解：(1) 依次将第2,3,4,5列加到第1列得原式1111111111111111111111111x x x x x x x x x +--++--=+-+-+--+-- 1111111111(1)111111111111111x x x x x --+--=+-+----- 10001000(1)1000100010000xx x x x =+4(41)442(1)(1)(1)x x x x -=-+=+(2) 依次将第2,3,4行加到第1行得原式44441111222233334444iiiii i i i x m x m x m x mx x m x x x x x m x x x x x m====-----=--∑∑∑∑422221333344441111()i i x x m x x x m x x x m x x x x x m=-=---∑411111000()000000i i m x m m m=-=---∑431()i i m x m==-∑12．计算行列式(1)11121314212223243132333441424344a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++；(2) 111213142122232431323334414243441111111111111111a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++(3) 1234100110011001a a a a ---； (4)2311111231491827xx x 解：（1）依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213142121212132323232434343430a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++----==--------(2) 依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213141212213214211322323324321432433434431111()()()()()()()()()()()()a b a b a b a b b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a ++++----=--------111213141234213243123412341111()()()0a b a b a b a b b b b b a a a a a a b b b b b b b b ++++=---=(3) 按最后一列展开得原式4321100100111110110011011011001001001a a a a -=---+-+-----1234a a a a =+++(4) 由Vandermonde 行列式的计算公式得原式(3)(2)(1)(32)(31)(21)x x x =------ 2(1)(2)(3)x x x =--- 13．证明(1) 123121211100010000010n n n n n n na a x a x D a x a x a x a a x a x------==++++- 证：等式左端123121211000010000000()001000010n n n n n n a a x a x r x r a x a x a a xx ------+--+ 122233312110001000()0000()0010()0001()00n n n n n n n n n a a x r x r a x r x r a x r x r a x f x -------++-+-1(1)11(1)()()11n n xf x f x x +---=-=--阶其中111()n n n f x a xa x a --=+++ .(2) 21000121000120010002100012D n ==+证：11n =时，1211D ==+2假设当n k ≤时结论成立，当1n k =+时，若12k +=，22112D =41321=-==+结论成立. 若13k +≥，将1k D +按第一行展开得112112122(1)(11)(1)1112k k k D D D k k k +-==-=+--+=++由数学归纳法，对一切自然数n 结论成立.(3) 1211111111111(1),0,1,2,,1111nni i i i ina a D a a i n a a ==++==+≠=+∑∏. 证：(用加边法)等式左端1211111011110111101111na a a +=++121111100100100na a a -=--121211111110000000nna a a a a a ++++=1211121111(1)(1)n nn i i i n i a a a a a a a a ===++++=+=∑∏ 等式右端.(4) 1100010001000000001n n n x y xy x y xy x y x y D x y x y xy x y+++++-==-++ ，其中x y ≠.证：当1n =时，221x y D x y x y-=+=-，等式成立.假设n k ≤时等式成立，当1n k =+时，若12k +=，则332212k x y D D x xy y x y +-==++=-，等式成立. 若13k +≥，将1k D +按一列展开，得 111000100()(1)01000001k k x y xy x y xy D x y x y x y ++++=+-++ 阶21000010(1)0101xy x y xy x y x y +++-++ 阶由归纳法原理，等式对一切自然数n 都成立.14．设()f x 是一个次数不大于1n -的一元多项式，证明如果存在n 个互不相同的数12,,,n a a a 使()0,1,2,,i f a i n == . 则()0f x =.证：设121210()n n n n f x k x k x k x k ----=++++ ，依题意有10111110110n n n n n n k a k a k k a k a k ----⎧+++=⎪⎨⎪+++=⎩（1）因12,,,n a a a 互不相同，故(1)的系数行列式211112122212111()01n n j i i j nn nn na a a a a a D a a a a a --≤<≤-==-≠∏，所以关于011,,,n k k k - 的线性方程组(1)只有零解，所以0110,()0n k k k f x -===== . 15．用Cramer 法则解方程组(1) 121254116520x x x x +=⎧⎨+=⎩解：5425241065D ==-=≠，方程组有唯一解.1114558025205D ==-=-，25111006634620D ==-=，由克莱姆法则，1125D x D ==-，2234Dx D ==(2) 121232356 1560 50x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解：56056305301561519119015010D --==-=--[5(19)(30)1]650=-⨯---⨯=≠，方程组有唯一解.1160560562561915015D ===-=，251016106505005D ==-=-， 356115150101010D ===. 所以由克莱姆法则得，111965D x D ==，22113D x D ==-，3165x =.。

线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题

2021/4/22
3
2、矩阵加法的运算规律
1 A B B A; 2 A B C A B C .
记-A=(-aij),成为矩阵A的负矩阵
3 A A 0, A B A B (aij bij )
2021/4/22
4
二、数与矩阵相乘
1、定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2 AB BA. 此时称矩阵A、B可交换。
2021/4/22
16
例4
设
A
0 2
0 1
,
B
1 1
1 1
,
C
2 1
1 1
则AB
AC
0 3
0 3
注意4 矩阵不满足消去律，即：
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2021/4/22
5
2、数乘矩阵的运算规律（设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A;
2 A A A;
3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.
2021/4/22
1 3 1 1 2 3 10
2021/4/22
23
2、方阵的行列式
定义由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
例 A 2 6
3 8
则A2
3 2.
68
运算性质 1 AT A;
2 A n A;

线性代数习题3解析【哈工大版】

(1) a b 是否与 c 平行； (2) 求 a b, a c, a, c ； (3) 求 a b, [abc] ； (4) 设 x 3a 4b c, y 2b c ，求 x, y . 解：(1) a b (1, 2,3) (2,1,0) (3, 1,3)
·40·
1 4 x 1 或 x , y 1或 y ， 3 3 1 4 1 即c i k 或c i j k . 3 3 3 14．已知 (a b) c 2 ，求 [(a b) (b c)] (c a) .
又x y z 2
2 2
5 3 . 2
(a b) (a b) (a b) (a b) 0 ，
| a |2 2a b | b |2 | a |2 2a b | b |2 0 .
得 4a b 0 , 所以 a b 0. 6．试证： a b b c c a 0 的必要条件是 a, b, c 共面. 证：由等式 a b b c c a 0 两边与 c 作内积得
2 2 2
得
解： [ ( a b ) ( b c ) ] c ( a ) a [ b a c b c ] ( c a )
a b c a c c b c c a b a a c a b c a
. a b c b c a2 2 4 15．用数量积证明三角形的余弦定理. 证：考察三角形（如图所示）记 a BC, b CA, c AB ，则
习
题
三
A
1．设 A 、 B 、 C 是任意三点，求 AB BC CA 解：由三角形法则
A B B C CA

线性代数习题解答-第三版-郑宝东-哈工大习题3

解得 .
故垂线方程为： ,或
过此直线的平面束方程为： .
因为所求平面的法向量垂直于，故，所以平面的方程为：
.
38．求直线及与它们的公垂线的交点的坐标，并给出公垂线的方程.
解：的方向向量
的方向向量
因与的交点在上，可记为
因与的交点在上，可记为
由，得
解得，故与公垂线交于与公垂线交于公垂线的方程为：
5．已知，试证
证：由得
，
.
得 ,所以
6．试证：的必要条件是共面.
证：由等式两边与作内积得
，得 .
所以，共面.
7．设是三个向量，是两个数，试证：
(1) 与垂直；
(2) 与垂直.
证：(1)
所以，与垂直.
(2)
所以，与垂直.
8．已知为单位向量，且满足，计算 .
解： ,
,
.
取和得 .
9．已知
(1) 是否与平行；
(2)求；
(3)求；
(4)设，求 .
解：(1)
,
所以与平行.
(2) .
.
.
(3) ,
(4) ,
,
.
10．已知空间三点，
(1)求以为邻边的平行四边形的面积；
(2)求以、、、为顶点的四面体的体积.
解：(1)
(2) .
11．已知，试利用行列式的性质证明：
证：考察三角形（如图所示）
记，则
于是,
.
16．用向量积证明三角形的正弦定理.
证：考察三角形（如图所示）
记，则该三角形的面积为
于是, .

线性代数与空间解析几何》哈工大版课件幻灯和习题(3)

a (n 1)b 1 b a b
1 b ba 1b bb
ab
a (n 1)b
0 a b
a (n 1)b(a b)n1.
0 ab
2021/4/22
13
a11 a1k
0
例3
设
D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
q11
0
设为 D2
q11 qnn .
qn1 pnk
2021/4/22
15
对 D 的前 k 行作运算 ri krj，再对后 n 列作运算 ci kc j ,把 D 化为下三角形行列式
p11
0
D
pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a1i a1n a11 a1i a1n
D
a21
a2i
a2n
a21
a2i
a2n
an1 ani ann an1 an i ann
2021/4/22
8
性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
推论行列式的某一行（列）中各元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
2021/4/22
6
性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
证明 a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain

线性代数与空间解析几何哈工大版课件幻灯和习题2

逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A1 存在 A 0.
逆矩阵的计算方法
1待定系数法;
2利用公式A1
A ;
A
3初等变换法下一章介绍.
思考题
若A可逆,那么矩阵方程AX B是否有唯一解 X A1B? 矩阵方程YA B 是否有唯一解 Y BA1 ?
答：是的。这是由于A-1的唯一性决定的。
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以A的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
定理1
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 A1 1 A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明若A可逆，即有A1使AA1 E .
故 A A1 E 1, 所以 A 0.
反之，当|A|≠0时，因
例1 下列矩阵A、B是否可逆？若可逆，求出其逆阵
2 1
A
5
3 ,
2 3 1
B
1
3
5 .
1 5 3
解因|A|＝１≠０，故A可逆。
又因为A11=3，A12=-5，A21=-1，A22=2
A1
1 A
A
3 5
1
2
2 3 1 由于 B 1 3 5
0,
153
故B不可逆.
二阶可逆阵的逆阵公式为
3 0 1
3 5
1 2
1 0
0
12 2
3 5
1 2
2 10 10
1 4. 4
例4 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证明由A2 A 2E 0,
A1
得AA E 2E A A E E
2 A A E 1 A 0, 故A可逆.

线性代数第四章习题课

问 t 为何值时, 为何值时, (1) β 可由 α1 , α2 , α3 线性表示, 且表达式是唯线性表示, 一的, 并求出表达式. 一的, 并求出表达式. (2) β 可由α1 , α2 , α3线性表示,但表达式不唯一. 线性表示,但表达式不唯一. (3) β 不能由 α1 , α2 , α3 线性表示. 线性表示.
单击这里开始解答
3. 求下列向量组的秩及其一个最大无关组, 求下列向量组的秩及其一个最大无关组, 并将其余向量用最大无关组线性表示. 并将其余向量用最大无关组线性表示.
3 1 − 1 2 − 5 1 3 − 4 (1) α1 = , α 2 = , α 3 = , α 4 = ; 2 0 1 −1 1 − 5 3 − 3
单击这里开始解答
2 1 2 3 (3) α1 = 4 , α 2 = 1 , α 3 = 3 , α 4 = 5 ; 2 0 1 2
单击这里开始解答
6 1 1 7 4 0 4 1 (4) α1 = 1 , α 2 = 2 , α 3 = − 9 , α 4 = 0 . − 1 3 − 16 − 1 2 − 4 22 3
单击这里开始解答
2. 找出下面的四个向量中哪个向量不能由其余三个向量线性表出? 余三个向量线性表出?
1 0 1 2 1 5 − 1 − 3 α1 = , α 2 = , α3 = , α 4 = . 0 1 2 0 1 1 0 1

《线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题1-习题课

00 00
x 1
0 0 x 1
00
x 1 0 0
0 0 (1)nn( x a1) 0 x
00
0 1
00 0x
证法二：按第一列展开，得
Dn=xDn-1+an 再根据上面的递推公式可得结果。
c1 xc2 xn1cn
证法三：Dn
0
1 0
0
x 1
00 00
0
00
0
0
an
例2 计算
1111
abcd D
a2 b2 c2 d 2
a4 b4 c4 d 4
解：构造
1111 1 abcd x
f (x) a2 b2 c2 d 2 x2
a3 b3 c3 d 3 x3
a4 b4 c4 d 4 x4
（这是一个范德蒙行列式）
=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) 另外f(x)按最后一列展开，可得
1
11
1
an
an1 an Dn1
an1 an (a1a2 an2 an1Dn2 )
方法三：升级法。看例1
11
1 11
1
解：原式= 0 1 a1
1
1
a1
0
01
1 an 1 0
an
1 aa c1

i
n 2
1 ai 1
ci
n 1
i1 i
1
1

0
a1
0
5. 行列式按行（列）展开
1 ) 余子式与代数余子式２）关于代数余子式的重要性质
a A n ki k 1

线性代数习题解答-第三版-郑宝东-哈工大习题1

·1·习题一1．按自然数从小到大的自然次序，求解各题. (1) 求1至6的全排列241356的逆序数. 解：(241356)0021003t =+++++=. (2) 求1至2n 的全排列135(21)246(2)n n -的逆序数.解：(1)(13(21)242)000(1)(2)2102n n t n n n n --=++++-+-+++=. (3) 选择i 与j ，使由1至9的排列，9127456i j 成偶排列.解：由9127456i j 是从1至9的排列，所以,i j 只能取3或8.当8,3i j ==时，(912748563)01112133618t =++++++++=，是偶排列. 当3,8i j ==时(912743568)01112322113t =++++++++=，是奇排列，不合题意舍去.(4) 选择i 与j ，使由1至9的排列7125489i j 成奇排列.解：由7125489i j 是从1至9的排列，所以,i j 只能取3或6.当3,6i j ==时，(713256489)0112113009t =++++++++=，是奇排列. 当6,3i j ==时，(716253489)01122330012t =++++++++=，是偶排列，不合题意舍去.2．计算下列行列式 (1)9182613abb a； (2)32153320537528475184；(3) 108215123203212； (4) abac ae bdcd de bf cfef---.解：(1) 229182913117(4)26132a ba ba b b ab a=⨯=-.(2)3215332053320531003205332053320531003205375284751847518410075184751847518410075184+==++0751840032053004313100=+-=. (3) 1082222151235433302032124812=⨯=.·2·(4) 11111111100211120abac ae bdcd de abcdef abcdef bfcfef----=-=-- 111204002abcdef abcdef -=-=. 3．已知3021111xy z=，利用行列式性质求下列行列式. (1) 33332222xy zx yz x y z +++++； (2)111302413x y z +++. 解：(1) 3333230223022222222111xy z xy zxyzx y z x y z ++===+++.(2)111111302302302413413413x y z x y z +++=+ 1113023********111xy z=+=+=.4．用行列式定义计算：(1)12345；(2)0100002000010n n-.解：(1) 1234512345()1234512(1)345t p p p p p p p p p p a a a a a =-∑(54321)1524334251(1)t a a a a a =-10(1)12345120=-⨯⨯⨯⨯⨯=.·3·(2)1212()120102(1)010n n t p p p p p np a a a n n=∑--(231)1223(1)1(1)t n n n n a a a a -=-11(1)123(1)!n n n n --=-⨯⨯⨯⨯⨯=-5．用行列式的定义证明：(1) 111213141521222324253435444554550000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =； (2)11122122333411123132333443442122414244450000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⋅. 证：(1) 123451234511121314152122232425()12345343544455455(1)00000000t p p p p p p p p p p a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a ==- 假设有12345123450P P P P P a a a a a ≠，由已知345,,p p p 必等于4或5，从而345,,p p p 中至少有两个相等，这与12345,,,,p p p p p 是1,2,3,4,5的一个全排列矛盾，故所有项12345123450P P P P P a a a a a =，因此0D =.(2)1234123411122122()1234313233344142434400(1)t p p p p p p p p a a a a a a a a a a a a a a a a =-∑，由已知，只有当12,p p 取1或2时，123412340p p p p a a a a ≠，而1234,,,p p p p 是1,2,3,4的一个全排列，故34,p p 取3或4，于是·4·(1234)(1243)(2134)112233441122344312213344(2143)12213443(1)(1)(1)(1)t t t t D a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+ 从而33341112112212213344344343442122()()a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅=-- 11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+ D = 6．计算(1)305002123000a b cd； (2)121102111214421110----；(3) n x aa a xa D a ax=； (4) 123110010101001n n D -=--； (5) 001000000100n a a D a a=； (6) 1111111111111111n D -=--. 解：(1)4433305304 3 0023(1)00(1)1230120a ab a d b dcabcd c bc d++--=按第按第行展开列展开.(2)12111211121102111021110211121440366036621110033120036==-----·5·12111211121101220122012233390211100370037003600360001=-=-=-=------.(3) 12131 (1)(1)(1) n n r r x a a n a x n a x n a xr r a x a a xaD a ax a axrr +-+-+-++=+111[(1)]ax a n ax aaa aa=-+ 1111000[(1)]0000x an a x x a x a -=-+-- 1[(1)]()n n a x x a -=-+-.(4) 12131123123231100010010100010 10010001n nnn n c c c c D c c+++++-+=-+- (1)1232n n n +=++++=.(5) 001000000100n a a D aa=1110000000 100(1)(1)0000100naaaaaaa++-+-按第行展开1112(1)(1)n n n na a+-+-=+--2n na a-=-.(6)11111111111102001111002011110002nD--==----111(2)(1)2n n n---=-=-.7．证明(1)22222()111a ab ba ab b a b+=-证：222221223(1)22222(1)111001a ab b a ab ab b bc ca ab b a a b a b b bc c--+-+--+-+-33()()(1)a ab b a ba b a b+--=---23()()11a ba b a b=-=-(2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a ab b b bc c c cd d d d++++++=++++++证：等式左端2222222222222222214469214469214469214469a a a a a a ab b b b b b bc c c c c c cd d d d d d d++++++++++++=++++++++++++·6··7·2221223222314322412144692126(1)(2) 21446921260(1)2144692126(3)(1)2144692126a a a a a a c c c cb b b b b bc c c c c c c c c c c cd d d d d d +++++-+-++++=+-+++++-+-++++(3)2322311111211121311123223212122212223222232233131323132333332322341414241424344411111111x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x xx++++++++++++=++++++++++++证：等式左端2321111111212112322212212222323213313313232324314414414241() 1()1()1x x b x x c x c x c a c x x b x x c x c x c b c x x b x x c x c x c c c x x b x x c x c x ++++-++++-++++-+++232231111111123223312413222122222322333313333422232234441444411()()1111()11x x x c x x x x c b c c c c xx x c x x x x x x x c x x x x c c c x x x c x x x x ++-+-+=++-+等式右端.8．解关于未知数x 的方程(1) 12326001xx x -=- 解：121326(1)321xx x x x x -=---2(1)[(2)3](1)[23](1)(3)(1)0x x x x x x x x x =---=---=--+= 所以1231,3, 1.x x x ===-(2) 0(0)aa x mm m m bxb=≠·8·解：00111111aa x a a x x amm m m m bxbbx bbxb-==11()()()0m x a m x a x b b x=-=--=因0m ≠，所以12,x a x b ==.9．设111212122212n n n n nn a a a a a a a a a a =，求下列行列式：(1)122122211121n n nn n n a a a a a a a a a ； (2)112112222121n n nnn n a a a a a a a a a ；(3)12121212111222n n nnp p p p p p p p p np np np a a a a a a a a a ∑，其中“∑”是对1,2,,n 的所有全排列12np p p 取和，2n ≥.解：（1）经行的交换得原式111211213132321222(1)n n n nnn n na a a a a a a a a a a a -=-=1112121222(1)(2)2112(1)n n n n n n nna a a a a a a a a -+-+++=-(1)2(1)n n a -=-.(2) 与(1)类似，经列的交换得·9·原式(1)2(1)n n a -=-.(3) 经列的交换，得12121212121111112122221222()()12(1)(1)n n n n np p p n p p p n p p p p p p np np np n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a ττ=-=-故原式1212()111111(1)0111n np p p p p p a aτ=-==∑.10．计算行列式(1)112233440000000a b a b b a b a ； (2) 10001100110001100011aa a a a aa a a ---------；(3) 6111116111116111116111116； (4) 1000010000100001kλλλλλ----. 解：(1)1111112244443333334422220000000000000000000000a b a b a b a b b a b a b a b a a b b a a b b a =-=1133141423234422()()a b a b a a b b a a b b b a b a ==--.(2) 将前4行依次加到第5行，再按第5行展开得原式100011011000110001aa a a a aa aa---=-----5100110011011a a a a a a a a---=-+----·10·510011001101aa a a a a aa---=-+---541011011aa a a a a a-=-++---- 54101101aa a a a a a-=-++---543111a aa a a a-=-+-+--23451a a a a a =-+-+-(3) 611111*********1611116111116111161111161111611111611116=111111111116111050001010116110050011161000501111600005==41056250=⨯=. (4) 按最后一行展开得10001100010010001000100100010001001000000kk λλλλλλλλλλλλλ------=+----- 5k λ=+11．计算行列式(1)1111111111111111111111111x x x x x --+---+---+--； (2) 1111222233334444x m x x x x x m x x x x x m x x x x x m----解：(1) 依次将第2,3,4,5列加到第1列得原式1111111111111111111111111x x x x x x x x x +--++--=+-+-+--+--1111111111(1)111111111111111x x x x x --+--=+-+----- 10001000(1)1000100010000xx x x x =+4(41)442(1)(1)(1)x x x x -=-+=+(2) 依次将第2,3,4行加到第1行得原式44441111222233334444iiiii i i i x m x m x m x mx x m x x x x x m x x x x x m====-----=--∑∑∑∑422221333344441111()i i x x m x x x m xx x m x x x x x m=-=---∑411111000()0000i i m x m m m=-=---∑431()ii m x m==-∑12．计算行列式(1)11121314212223243132333441424344a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++；(2) 111213142122232431323334414243441111111111111111a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++(3)1234100110011001a a a a ---； (4)2311111231491827x xx解：（1）依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213142121212132323232434343430a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++----==--------(2) 依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213141212213214211322323324321432433434431111()()()()()()()()()()()()a b a b a b a b b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a ++++----=--------111213141234213243123412341111()()()0a b a b a b a b b b b b a a a a a a b b b b b b b b ++++=---=(3) 按最后一列展开得原式432110010010011011011001101101100111a a a a -=---+-+----- 1234a a a a =+++(4) 由Vandermonde 行列式的计算公式得原式(3)(2)(1)(32)(31)(21)x x x =------ 2(1)(2)(3)x x x =--- 13．证明(1) 12312121110001000000100n n n n n n na a x a x D a x a x a x a a x a x ------==++++-证：等式左端123121211000010000()00100001000n n n n n n a a x a x r x r a x a x a a xx ------+--+1222333121100001000()00()0010()0001()0n n n n n n n n n a a x r x r a x r x r a x r x r a x f x -------++-+-1(1)11(1)()()11n n x f x f x x +---=-=--阶其中111()n n n f x a x a x a --=+++.(2) 2100121000120010002100012D n ==+证：1 1n =时，1211D ==+ 2假设当n k ≤时结论成立，当1n k =+时，若12k +=，22112D =41321=-==+结论成立. 若13k +≥，将1k D +按第一行展开得112112122(1)(11)(1)1112k k k D D D k k k +-==-=+--+=++由数学归纳法，对一切自然数n 结论成立.(3) 1211111111111(1),0,1,2,,1111n ni i i i ina a D a a i n a a ==++==+≠=+∑∏.证：(用加边法)等式左端1211111011110111101111na a a +=++12111110010010na a a -=-- 121211111110000000nna a a a a a ++++=1211121111(1)(1)n nn i i i nia a a a a a a a ===++++=+=∑∏等式右端. (4) 11000100010000001n n n x y xy x y xy x y x y D x yx y xy x y+++++-==-++，其中x y ≠. 证：当1n =时，221x y D x y x y-=+=-，等式成立.假设n k ≤时等式成立，当1n k =+时，若12k +=，则332212k x y D D x xy y x y +-==++=-，等式成立. 若13k +≥，将1k D +按一列展开，得111000100()(1)01001k k x y xy x y xy D x y x y x y ++++=+-++阶210000100(1)01001k xy x y xy x y x y +++-++阶11(1)1(1)11()()k k k k k k k k x y x y x y x y D xyD x y xy x y x y x y++++++----=+-=+-=---由归纳法原理，等式对一切自然数n 都成立.14．设()f x 是一个次数不大于1n -的一元多项式，证明如果存在n 个互不相同的数12,,,n a a a 使()0,1,2,,i f a i n ==. 则()0f x =.证：设121210()n n n n f x k x k x k x k ----=++++，依题意有1011111110n n n n n n k a k a k k a k a k ----⎧+++=⎪⎨⎪+++=⎩ （1）因12,,,n a a a 互不相同，故(1)的系数行列式211112122212111()01n n j i i j nn nnna a a a a a D a a a a a --≤<≤-==-≠∏，所以关于011,,,n k k k -的线性方程组(1)只有零解，所以0110,()0n k k k f x -=====.15．用Cramer 法则解方程组(1) 121254116520x x x x +=⎧⎨+=⎩解：5425241065D ==-=≠，方程组有唯一解.1114558025205D ==-=-，25111006634620D ==-=，由克莱姆法则，1125D x D ==-，2234Dx D ==(2) 121232356 1560 50x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解：56056305301561519119015010D --==-=--[5(19)(30)1]650=-⨯---⨯=≠，方程组有唯一解.1160560562561915015D ===-=，251016106505005D ==-=-， 356115150101010D ===. 所以由克莱姆法则得，111965D x D ==，22113D x D ==-，3165x =.。

线性代数习题解答-第三版-郑宝东-哈工大习题6

习题六1．设20011023,24002⎛⎫-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A B . 求,A B 的特征值及特征向量. 解：（1）3200||023(2)002λλλλλ--=--=-=-E A ，故1232λλλ===为A 的特征值. 解方程组(2)-=0E A X . 由0000012003000000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭行E A ,得基础解系12100,100⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，从而A 的特征向量为1122k k +ξξ，其中12,k k 为不同时为零的任意常数. （2）11||(2)(3)024λλλλλ--==--=--E B ，故122,3λλ==为B 的特征值.2λ=时，解方程组(2)-=0E B X ，由111122200⎛⎫⎛⎫-=−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E B 行，得基础解系1(1,1)'=-ξ.所以B 的属于特征值2的特征向量为11k ξ，其中1k 为非零的任意常数.3λ=时，解方程组(3)-=0E B X ，由212132100⎛⎫⎛⎫-=−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E B 行，得基础解系2(1,2)'=-ξ.所以B 的属于特征值3的特征向量为22k ξ，其中2k 为非零的任意常数.2．100212121⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A . 求A 的特征值及属于实特征值的一个特征向量.解：100||212121λλλλ--=-----E A(1)(12)(12)0i i λλλ=--+--=，故1231,12,12i i λλλ==-=+为A 的特征值.1λ=时，解方程组()-=0E A X ，000101202021120000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭行E A ，故1(2,1,2)'=-ξ为属于A 的实特征值1的一个特征向量. 3．设,A B 均为n 阶方阵，且||0≠A ，证明AB 与BA 相似. 证：由||0≠A ,知A 可逆，1-A 存在.注意到11()()--==BA A A BA A AB A ，得BA 与AB 相似.4．求一个正交相似变换矩阵，将下列实对称矩阵化为对角阵：（1）220212020-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ （2）222254245-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭解：（1）220||212(2)(1)(4)002λλλλλλλ--=-=+--=E A ，故1232,1,4λλλ=-==为A 的特征值.当12λ=-时，解方程组(2)--=E A X 0，得基础解系1(1,2,2)'=ξ，单位化得1122(,,)333'=η.当21λ=时，解方程组()-=0E A X ，得基础解系2(2,1,2)'=--ξ，单位化得2212(,,)333'=--η.当34λ=时，解方程组(4)-=0E A X ，得基础解系3(2,2,1)'=-ξ，单位化得3221(,,)333'=-η.令 123122333212()333221333ηηη⎛⎫-⎪ ⎪⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P , 则P 为所求的正交相似变换矩阵且1diag(2,1,4)-=-P AP .（2） 222220||254251245241λλλλλλλλ-----=--=-----E A 220490241λλλ--=--- 222(1)(1)(10)049λλλλλ--=-=--=--，得1231,10λλλ===为A 的特征值.当121λλ==时，解方程组()-=0E A X ，得基础解系为12(2,2,1),(2,1,2)''=-=ξξ，12,ξξ已经是正交的，进行单位化得1(2/3,2/3,1/3)'=-η，2(2/3,1/3,2/3)'=η.当310λ=时，解方程组(10)-=0E A X ，得基础解系3(1,2,2)'=--ξ，再单位化得3(1/3,2/3,2/3)'=--η.令 123221333212()333122333ηηη⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P , 则P 为所求的正交相似交换矩阵且1diag(1,1,10)-=P AP .5．设λ为n 阶方阵A 的特征值，试证21λλ++是2++A A E 的特征值.证：设X 为A 的属于特征值λ的一特征向量，则≠0X ，且λ=AX X ，故有22λ=A X X ，222()(1)λλ++=++=++A A E X A X AX X X ，而≠0X ，故21λλ++为2++A A E 的特征值.6．设A 是n 阶方阵，且存在自然数m 使m=0A ，试证A 的特征值只能是0. 证：设λ为A 的特征值，X 为相应的一特征向量，则≠0X ，且λ=AX X . 这样m m λ=A X X ，而m =0A ，得m λ=0X . 由≠0X 知，0,0m λλ==，即A 的特征值只能是0.7．设A 可逆，λ为A 的一个特征值，试证||λA 为*A 的一个特征值.证：A 可逆，故||0≠A . 由*||=AA A E 知*1||-=A A A . 设λ为A 的一特征值，则0λ≠，X 为相应的一个特征向量，则≠0X ，11,,λλ-==AX X A X X1||||λ-⋅=A A A X X ，即*||λ=A A X X ，注意到≠0X ，知||λA 为*A 的一个特征值. 8．设,λμ为矩阵A 的两个不同的特征值，,X Y 分别是A 的属于特征值,λμ的特征向量. 试证：,X Y 线性无关，且+X Y 不是A 的特征向量. 证：设12k k +=0X Y （1）用A 在左连乘式（1）两连得12k k λμ+=0X Y （2）用μ乘式（1）两边得12k k μμ+=0X Y （3）由（2）—（3）得1()k λμ-=0X由,λμ≠≠0X 知10k =，再由≠0Y 知20k =，故,X Y 线性无关.反证法，假设+X Y 是A 的特征向量，则存在k 使()()k +=+A X Y X Y ，而,λμ==AX X AY Y ，从而(),()()k k k λμλμ+=+-+-=0X Y X Y X Y ，而,X Y线性无关，0k k λμ-=-=，得k λμ==，矛盾，故+X Y 不是A 的特征向量.9．设方阵12422421x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 与55y ⎛⎫⎪=⎪ ⎪-⎝⎭D 相似，求,x y .解：因A 与B 相似，所以 tr()tr()||||=⎧⎨=⎩A B A B即 25(38)25x yx y -=⎧⎨--=-⎩解得 11x y =⎧⎨=-⎩.10．设3阶方阵A 的特征值为1231100,1,1,0,1,1001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P ，依次为对应的特征向量，求A 及2n A .解：设3阶方阵A 的特征值为1231100,1,1,0,1,1001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P ，依次为对应的特征向量，求A 及2nA .解：设123110(,,)011001⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P P P P ，则1111011001--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P由已知得diag(0,1,1)=⋅-AP P ，故1diag(0,1,1)-=-P AP . 1diag(0,1,1)-=-A P P110000111011010011001001001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭011012001-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. 221diag(0,1,1)nn -=⋅-⋅AP P1diag(0,1,1)-=⋅P P110000111011010011001001001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭011010001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.11．设四阶实对称阵A 的特征值为1,1,1,1--. 向量12(1,1,0,2),(1,1,2,0)''==-ξξ是A 的属于特征值1-的特征向量，求A 及2n A .解：设1234(,,,)x x x x =α为属于A 的特征值1的特征向量，则α与12,ξξ正交，有 1241232020x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩ 即 1342340x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩基础解系为 34(1,1,0,1),(1,1,1,0)''=--=-ξξ. 注意到1234,,,ξξξξ相互正交，单位化得,1,2,3,4||ii i i ==ξηξ. 令 1234()ηηηη=P 33663300330303⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭为正交阵.diag(1,1,1,1)=--D ，则11220333122033322103332210333-⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪-⎪==⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭A PDP ，22111diag(1,1,1,1).n n ---====A PD P P P PEP E12．已知A 与B 相似，其中100020001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B求：（1）A 的特征多项式；（2）A 的特征值；（3）||A ；（4）tr()A ；（5）()R A . 解：A 与B 相似，故A 与B 的特征多项式、特征值、行列式、迹与秩分别对应相等，从而有；（1）||||(1)(2)(1)λλλλλ-=-=--+E A E B ，（2）A 的特征值为1231,2,1λλλ===-，（3）||||2==-A B ，（4）tr()tr()2==A B ，（5）()()3R R ==A B .13．已知3阶方阵A 的特征值为1,1,2-. 设矩阵325=-B A A . 求：（1）矩阵B 的特征值及与B 相似的对角阵，说明理由；（2）1*-+A A 的特征值；（3）行列式||B 及1*||-+A A .解：（1）由已知A 的特征值互异，故可相似对角化，从而存在可逆阵P 使1diag(1,1,2)-==-P AP D .故113232(5)5diag(4,6,12)--=-=-=---P BP P A A P D D . B 的特征值为4,6,12---. （2）由*||,||||1(1)22===⋅-⋅=-AA A E A D ，知*11*1(2),---=-⋅+=-A A A A A ，从而1*-+A A 的特征值为11,1,2--. （3）||(4)(6)(12)288=-⨯-⨯-=-B , 1*11||(1)1()22-+=-⨯⨯-=A A . 14．设n 阶方阵A 的每一行元素之和均等于a ，试证a 是A 的一个特征值，并且(1,1,,1)'=X 是A 的对应于a 的一个特征向量.证：设 111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A 且1nikk aa ==∑，其中1,2,,i n =.则 111212122212111111n n n n nn a a a a a a a a a a aa a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪==== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭AX X ，故a 是A 的一个特征值，X 为A 的对应于特征值a 的一个特征向量.15．设数列{}n x 满足规律2101,1,3n n n x x x x x ++=+==求n x 及1limn n nx x +→+∞.解：令1,k k k x k x -⎛⎫=∈⎪⎝⎭αN . 则由 11k k k k kx x x x x +-=+⎧⎨=⎩知 1k k +=A αα，其中1110⎛⎫= ⎪⎝⎭A 易知121122λλ+-==为A 的特征值，所以1211,2211⎛⎛+- == ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ分别为相应于12,λλ的特征向量.由已知131⎛⎫= ⎪⎝⎭α. 解关于12,k k 的方程，11122k k =+αξξ，即1211322111k k ⎛⎛+⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得12k k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而有 11n n -=A αα11122()n k k -=+Aξξ11111222n n k k λλ--=+ξξ112211n n⎛⎛⎫+⎪=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11n nn n++⎛⎫+⎪⎪=⎪+⎪⎝⎭故11111211((22n n n nnxλλ+++++=+=+，1lim nnnxx+→+∞22121112limn nn nnλλλλ++++→+∞+=+11212121(/)lim1(/)nnnλλλλλλ++→+∞+⋅=+1211(|/|1)2λλλ+===<.16．某地区有81000人订阅甲、乙两种报刊（每人均只订其中一种报刊），调查表明每年有40%订甲种报刊的人改订乙种报刊，同时又有20%订乙种报刊的人改订甲种报刊，若订阅甲、乙两种报刊的总人数不变，问10年后该地区大约有多少人订甲种报刊.解设第k年订阅甲、乙两种报刊的人数分别为k x，k y则81000,0,1,2,k kx y m k+===.又由已知110.60.20.40.8k k kk k kx x yy x y++=+⎧⎨=+⎩令0.60.2,0.40.8kkkxy⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αA，则1,0,1,2,k kk+==Aαα.易知A的特征值为121,0.4λλ==，121 1,21⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ分别为相应的特征向量.令12,k k使11122k k=+αξξ，即 0120122x k k y k k =+⎧⎨=-⎩解得 001002323x y k x y k +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩.这样 0000112233x y x y+-=+αξξ100211(2)33m x y =+-ξξ故 11kk +=A αα100211(2)33k km x y =+-A A ξξ1002111(2)0.433k km x y =+-ξξ000011(2)0.43321(2)0.433k k m x y m x y ⎛⎫+- ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭，故 10011(2)0.433kk m x y +=+-α9100011(2)0.42700033x m x y =+-≈（人）10年后，该地区大约有27000人订甲种报刊.。

《线性代数与空间解析几何》哈工大版课件幻灯和习题.ppt

3 1
10.
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2、
3
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11 12
33 23
3 2
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a11 a21
a12 a22
a13 b1 a23 b2
a31 a32 a33 b3
=( a11b1 a21b2 a31b3
a12b1 a22b2 a32b3
例3 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
但也有例外，比如设
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2 AB BA. 此时称矩阵A、B可交换。
An2 A
aann11Ana1n2 an2 Aann2n A1n aAnn2nAnn AAnn
A
O
O
A
A
, A
故 AA A E.
同理可得
A
A
n k 1
Aki akj
A E.
五、小结
加法
数与矩阵相乘
矩阵
矩阵与矩阵相乘
运转置矩阵
算方阵的行列式
对称阵与伴随矩阵共轭矩阵
与反对称阵之和.
证明设C A AT
则CT
A AT
T
AT
A
C,
所以C为对称矩阵.
设B A AT , 则BT A AT T AT A B,
所以B为反对称矩阵.

《线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题1-2

证明
互换相同的两行，有 D= -D，所以D=0
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
a11 kai 1
a12 a1n
a11
a12 a1n

kai 2 kain k a i 1 a i 2 a in a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
§1.2 行列式的性质
一、行列式的性质
记
a11 a12 a1n a11 a21 a21 a22 a2 n a12 a22 T D D an1 an 2 ann a1n a2 n
T
a n1 an 2

ann
行列式 D 称为行列式 D 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等.
k 0. kai 1 kai 2 kain a i 1 a i 2 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. a a (a a ) a
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
例１
1 1 1 1 1 2 D 2 5 2 1 2 3
3 1 1 2
a b
例2 计算 n 阶行列式
b a b
b b a b

b b b a
b b b a
1 2 n 1 2 n
又因为行列式D可表示为
t D 1 a p 1a p 2 a p n .
1 2 nຫໍສະໝຸດ 故D DT .证毕

线性代数习题解答-第三版-郑宝东-哈工大习题4

习题四1．设123214131,,311121⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα，试求满足下式的α， 1232()5()2()-++=+αααααα.解：由已知 123225522-++=+αααααα所以 3211152521310-⎛⎫ ⎪-⎪=--= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭αααα. 2．设A 是n 阶实对称矩阵，试证对任意列向量,n∈R αβ，都有（1）''=αββα；（2）()()''=A A αββα.证：（1）注意到'αβ是11⨯矩阵，故有()''''==αβαββα（2）因()'A αβ是11⨯矩阵，故有()[()]()()'''''''====A A A A A αβαββαβαβα.3．设A 是n 阶可逆阵12,,,k ααα是k 个n 维列向量，试证12,,,k ααα线性无关当且仅当12,,,k A A A ααα线性无关.证：⇒若有数12,,,k l l l 使得1122k k l l l +++=0A A A ααα上式两边左乘1A -，则有1122k k l l l +++=0ααα，由12,,,k ααα的线性无关性知120k l l l ====，这表示12,,,k A A A ααα线性无关. ⇐设有数12,,,k l l l 使得1122k k l l l +++=0ααα上式两边左乘A ，则有1122k k l l l +++=0A A A ααα，由12,,,k A A A ααα的线性无关性知120k l l l ====，这表明12,,,k ααα线性无关.4．判定下列向量组是否线性相关，为什么？（1）12362,448-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα;（2）1231202,1,0310⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα;（3）1231212,1,0131⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα;（3）1231212,1,0131⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα;（4）1231122,1,5000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα;（5）123413220273,,,00410050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα;（6）123122121,,003001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα. 解：（1）两向量成比例，所以线性相关. （2）有零向量，所以线性相关.（3）123||||0=≠A ααα，所以线性无关. （4）123||||0==A ααα，所以线性相关. （5）1234||||0=≠A αααα，所以线性无关. （6）12,αα成比例，所以线性相关. 5．判断下列命题是否正确（1）若有常数123,,k k k 使112233k k k ++=0ααα，则向量组123,,ααα线性相关；（2）若β不能表为12,αα的线性组合，则向量组12,,ααβ线性无关；（3）若12,αα线性无关，且β不能由12,αα线性表示，则n 维向量组12,,ααβ线性无关；（4）若向量组123,,ααα线性相关，则123,,ααα中任一向量都可由其余2个向量线性表示；（5）若向量组123,,ααα中任意一个向量都可以由其余2个向量线性表示，则123,,ααα线性相关；（6）若向量组123,,ααα中任两个向量都线性无关，则123,,ααα也线性无关；（7）设有一组数123,,k k k ，使112233k k k ++=0ααα，且3α可由12,αα线性表示，则30k ≠；（8）若向量组123,,ααα线性相关，则1α可表示为其余向量的线性组合. 解：（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√；（6）×；（7）×；（8）× 6．设123,,ααα线性无关，若β可由123,,ααα线性表示，试证表示式是唯一的.证：由已知112233k k k =++βααα，其中123,,k k k ∈R ，若还有123,,k k k '''∈R ，使得112233k k k '''=++βααα，则11122333()()()k k k k k k ''''=-=-+-+-0ββαα. 由123,,ααα的线性无关性即知112233,,k k k k k k '''===，即112233k k k =++βααα的表示式是唯一的.7．设β可由123,,ααα线性表示，且表示法是唯一的，试证123,,ααα线性无关. 证：由已知112233k k k =++βααα且表示法唯一，设112233λλλ++=0ααα，则112233112233k k k λλλ=+=+++++0ββαααααα111222333()()()k k k λλλ=+++++ααα 由β表示法唯一，故有(1,2,3)i i i k k i λ+==，即0,1,2,3i i λ==这表明123,,ααα线性无关.8．设123,,ααα线性相关，234,,ααα线性无关，试证（1）1α可由23,αα线性表示（2）4α不能由123,,ααα线性表示证：（1）因为234,,ααα线性无关，所以23,αα线性无关，又因123,,ααα线性相关，所以1α可由23,αα线性表示.（2）（反证法）假设4α可由123,,ααα线性表示，则存在123,,k k k 使4112233k k k =++αααα，由（1）知，1α可由23,αα线性表示，设11223λλ=+ααα，则411223223311221233()()()k k k k k k k λλλλ=+++=+++ααααααα，即4α可由23,αα线性表示，这与234,,ααα线性无关矛盾. 所以4α不能由123,,ααα线性表示.9．已知123,,,αααβ线性无关，令112233,2,3=+=+=+βαββαββαβ试证123,,,ββββ线性无关.证：设112233k k k k +++=0ββββ，则112233()(2)(3)k k k k ++++++=0αβαβαββ即 112233123(23)k k k k k k k ++++++=0αααβ由已知123,,,αααβ线性无关，所以1231230,230k k k k k k k ===+++=，即1230k k k k ====，所以123,,,ββββ线性无关.10．设12,,,n ααα可由12,,,n βββ线性表示，且12,,,n ααα线性无关，试证：向量组12,,,n βββ线性无关.证法1：由12,,,n ααα可由12,,,n βββ线性表示，知：秩12()n ≤ααα秩12()n βββ由秩12()n n ≤βββ及12,,,n ααα线性无关，秩12()n n =ααα，得n ≤秩12()n n ≤βββ，所以秩12()n n =βββ，即12,,,n βββ线性无关.证法2：由已知12,,,n ααα可由12,,,n βββ线性表示，即得：11112121212122221122n n n nn n n nn nk k k k k k k k k =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩αβββαβββαβββ 则 1112121222121212()()n n n n n n nn k k k k kk kk k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ 即=A BC ，故n =秩1()n =αα秩()=A 秩()≤BC 秩()=B 秩12()n n ≤βββ.即秩12)n n ≤βββ.所以12,,,n βββ线性无关.11．设α可由123,,ααα线性表示，但α不能由23,αα线性表示，试证1α可由23,,ααα线性表示.证：由已知α可由123,,ααα线性表示，但α不能由23,αα线性表示得：存在数123,,k k k 使112233k k k =++αααα且10k ≠，则321231111k kk k k =--αααα，即1α可由23,,ααα线性表示.12．设向量组12,,,m ααα与向量组12,,,,m αααβ的秩相等，试证：向量组12,,,m ααα与向量组12,,,,m αααβ等价.证：只需证明β可由12,,,m ααα线性表示即可.不妨设12,,,r ααα是向量组12,,,m ααα的极大无关组，则由已知12,,,mααα与12,,,,m αααβ的秩相等知，向量组12,,,,m αααβ的秩也为r ，从而12,,,rααα也为向量组12,,,,m αααβ的极大无关组，故β可由12,,,r ααα线性表示，进而β可由12,,,m ααα线性表示. 因此向量组12,,,m ααα与12,,,,m αααβ等价.13．确定数a ，使向量组12111,,,111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα的秩为n解：记12()n =A ααα, 则1,,n αα线无关的充要条件是||0≠A ，则1111111010111||(1)0010111001a a a a n a aa -==+---A 1(1)(1)n a n a -=+--所以取1a ≠且1a n ≠-即可.14．设A 与B 分别为m p ⨯与p n ⨯矩阵，证明：()min{(),()}R R R ≤AB A B证：由 21()()()0c c m n +⨯−−−−→B A A AB ， 21()0r A r m n +⨯⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B B AB知 ()()()()0m n R R R R ⨯==≥A A A AB AB()()m n R R R R ⨯⎛⎫⎛⎫==≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0B B B AB AB所以()min{(),()}R R R ≤AB A B . 15．设有向量组12345123012,1,1,2,113401⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααα，试求：（1）该向量组的秩；（2）该向量组的一个极大无关组；（3）用（2）中选定的极大无关组表示该向量组中其余向量. 解：123451230112301()21121035211340101100⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪==→---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ααααα 110012123011230110110001100010120352100221100112⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪⎝⎭⎝⎭⎪- ⎪⎝⎭所以（1）向量组的秩为3. （2）123,,ααα为极大无关组.（3）41235123111,222=+-=-+αααααααα. 16．试证：由向量1231110,1,1002⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα所生成的向量空间就是3R .证：设123111()011002⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A ααα，因||20=≠A ，所以123,,ααα线性无关，故向量组123,,ααα是3R 的一个基，其生成的向量空间就是3R .17．由12(1,2,1,0),(1,0,1,0)==αα所生成的向量空间记作1V ，由1(0,1,0,0),=β2(3,0,3,0)β=所生成的向量空间记作2V ，证明：12V V =.证：只须证向量组12,αα与向量组12,ββ等价即可. 容易看出11222112,33=+=αββαβ，而1122211,322=-=βααβα，即向量组12,αα与12,ββ等价，故其所生成的向量空间相等. 18．设11211V {(,,,)|,,,R n n x x x x x x =∈，满足120}n x x x +++=21212V {(,,,)|,,,R n n x x x x x x =∈，满足121}n x x x +++=问12V ,V 是不是向量空间，为什么？解：（1）121121(,,,)V ,(,,,)V n n x x x y y y ∀=∈=∈αβ, 则1122(,,,)n n x y x y x y +=+++αβ，因为12120,0n n x x x y y y +++=+++=，所以1122()()()0n n x y x y x y ++++++=，即1V αβ+∈.k ∀∈R ,12(,,,)n k kx kx kx =α,而1212()00n n kx kx kx k x x x k +++=+++=⋅=，所以1V k ∈α，即1V 是向量空间.（2）取1(1,0,,0)V =∈α，则22(2,0,,0)V =∉α，故2V 不是向量空间.19．设 123(1,2,1),(2,3,3),(3,7,1)===ααα, 123(3,1,4),(5,2,1),(1,1,6)===-βββ. （1）验证123123,,;,,αααβββ都是3R 的基；（2）求由前一组基到后一组基的过渡矩阵；（3）求向量(0,2,3)-在这两组基下的坐标.解：（1）令123123123351()237,()121131416⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪''''''==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A B αααβββ, 因||10,||40=≠=≠A B ，即向量组123,,ααα及123,,βββ均线性无关，所以它们都是3R 的基.（2）设123123()()'''''=βββαααP ，即=B AP ，所以1-=P A B 由1123351100277141(|)2371210109209(|)1314160014128-⎛⎫⎛---⎫⎪⎪=−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A B E A B 行故前一组基到后一组基的过渡矩阵为27714192094128---⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P（3）设向量(0,2,3)=-α，在这两组基下的坐标分别为,X Y ，即'==AX BY α由 1531004351019(|)1212010(|)24163310014-⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪''=-−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭行B E B αα，得534192314-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭Y . 53427714111992091241281314⎛⎫- ⎪---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎪- ⎪⎝⎭X PY .20．设12,,,k ααα是互不相同的k 个数，又k n ≤，证明:n 维向量组.12222112211112111,,,k k k n n n k a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα线性无关证：因为12,,,k a a a 互不相同，因此12111112111()0ki j j i kk k k ka a a a a a a a ≤<≤---=-≠∏,（范德蒙行列式）从而向量组1211112111,,k k k k k a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关，进而1211112111,,k n n n k a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭也线性无关.21．设向量组12,,,r ααα与向量组12,,,s βββ的秩相等，且12,,,r ααα可由向量组12,,,s βββ线性表示，证明这两个向量组等价.证：只须证明12,,,s βββ可由12,,,r ααα线性表示设12,,,()m m r ≤ααα是向量组12,,,r ααα的一个极大无关组，由12,,,rααα可由12,,,s βββ线性表示，所以12112()()r s s R R =αααβββββ 1()r R m ==αα.故12,,,m ααα也是向量组1212,,,,,,,r s αααβββ的极大无关组，从而12,,,s βββ可由12,,,m ααα线性表示，进而12,,,s βββ也可由12,,,r ααα线性表示.22．设向量组121,,,,,,r r m +ααααα的秩为s ，向量组12,,,r ααα的秩是t ，试证t r s m ≥+- 证：12121()()()m r r m s R R R +=≤+αααααααα1()()r m t R t m r +=+≤+-αα故t r s m ≥+-.23．设有n 维列向量组12,,,s ααα和n 维列向量组12,,,s βββ记：12()s =A ααα，12()t =B βββ，则12,,,s ααα可由向量组12,,,s βββ线性表示的充要条件是存在矩阵C ，使 =A BC .证：⇒设12,,,s ααα可由向量组12,,,s βββ线性表示，则可设11112121212122221122t t t ts s s ts tc c c c c c c c c =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩αβββαβββαβββ1112121222121212()()s s s t t t ts c c c c c c cc c ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ 令 111212122212s s t t ts c c c c c c c c c ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C ，则=A BC . ⇐设,()ij t s ⨯==A BC C C 即1112121222121212()()s s s t t t ts c c c c c c cc c ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ 11112121212122221122,,.t t t ts s s ts t c c c c c c c c c =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩αβββαβββαβββ 24．设m n ⨯矩阵A 经初等列变换化成矩阵B ，试证A 的列向量组与B 的列向量组等价.证：因A 经初等列变换化成B ，所以存在可逆阵C ，使=B AC ，从而也有1-=A BC . 由上题知，A 的列向量组与B 的列向量组可以互相表示，从而A 的列向量组与B 的列向量组等价. 25．设列向量组12,,,s βββ和列向量组12,,,s ααα满足1212()()r s =βββαααK其中K 为s r ⨯矩阵，且12,,,s ααα线性无关，证明12,,,s βββ线性无关的充要条件是矩阵K 的秩()R r =K .证法1：⇒已知12,,,s βββ线性无关，证()R r =K ，反证，若()R r ≠K ，则K 的列向量组12,,,r γγγ线性相关. 于是存在不全为零的数12,,,r k k k 使11122r r r k k k k k ⎛⎫⎪+++== ⎪ ⎪⎝⎭0γγγK ，于是1121122121()()0r r r r r r k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+++=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββββββααK与12,,,r βββ线性无关矛盾.⇐若12,,,r βββ线性相关，则存在不全为零的数1,,r k k 使12112212()r r r r k k k k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪+++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0ββββββ 于是 1121212()()s r r r k k k k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭0αααβββK 由12,,,s ααα线性无关，知112212()r r r k k k k k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭K 0γγγ，于是1122r r k k k +++=0γγγ故K 的列向量组12,,,r γγγ线性相关，这与()R r =K 矛盾.证法2：记1212(),()s r =A B αααβββ，则=B AK故有 ()()()R R R =≤B AK K另一方面，注意到1,,s αα线性无关，故()R s =A ，则有()()()()()R R R R s R =≥+-=B AK A K K所以 ()()R R =B K 故1,,r ββ线性无关⇔B 列满秩()()R r R r ⇔=⇔=B K .26．设12,,,n ααα是一组n 维向量，证明该向量组线性无关的充要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示. 证：⇒对12,,,,,R n n ∀∈ααααα线性相关. 再由12,,,n ααα线性无关，知α可由12,,,n ααα线性表示.⇐因任一n 维向量都可由12,,,n ααα线性表示，所以n 维标准单位向量组1(1,0,,0),,(0,0,,0,1)n ==εε可由12,,,n ααα线性表示，而向量组12,,,nεεε的秩为n ，所以向量组12,,,n ααα的秩等于n ，故12,,,n ααα线性无关.27．设12,,,n ααα是n R 的一个基，R n ∀∈α，若(,)0,1,2,,i i n ==αα，则=0α.证：因为12,,,n ααα是n R 的一个基，R n ∀∈α，可记11,n n k k =++ααα1111(,)(,)(,)(,)n n n n k k k k =+++++ααααααααα，由已知，(,)0i =αα，1,,i n =，所以(,)0=αα即2||0=α，从而0=α.28．设12,,,n ααα是n R 的一个规范正交基，11122n n x x x =+++βααα，21122n n y y y =+++βααα.试证：121122(,)n n x y x y x y =+++ββ.证：由已知0,(,)1,i j i ji j ≠⎧=⎨=⎩αα 则121111(,)(,)(,)n nn ni ijji i j j i j i j x y x y ======∑∑∑∑ββαααα1111(,)(,)nnnnijiji i i i i i i j i i x y x y x y =======∑∑∑∑αααα1122n n x y x y x y =+++.29．已知123,,ααα是3R 的一个规范正交集，求1123=-+βααα与212322=++βααα的内积.解：由上题知，12(,)12(1)1123=⨯+-⨯+⨯=ββ. 30．将向量组123111101,,011011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα规范正交化.解：（1）正交化，取211122*********(,)11,102(,)22102⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪==-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭αββαβαβββ,31323312112211 12111 2(,)(,)2211210 2 1(,)(,)252510 2 1-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αβαββαββββββ.（2）规范化：1232105,,200510⎛⎫⎛⎪ ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭γγγ 31．设,A B 都是n 阶正交阵，试证：（1）1-A 也是正交阵；（2）AB 也是正交阵.证：（1）由已知,A B 都是n 阶正交阵，则,''==A A E B B E ，从而11111,()()-----''''====A A A A A A AA E ，所以1-A 也是正交阵.（2）()()'''''====AB AB B A AB B EB B B E . 所以AB 也是正交阵. 32．设矩阵P 是nR 的规范正交基12,,,n ααα到n R 的规范正交基12,,,n βββ的过渡矩阵，证明：P 是正交阵. 证：记12()n =P P P P ，其中i P 是P 的第i 列，则由121212()()()n n n =βββαααP P P可知 12(),1,2,,j n j j n ==βαααP 于是由12,,,n ααα是规范正交基知(,),,1,2,,i j i j i j n '==ββP P由12,,,n βββ是规范正交基知1,;(,),1,2,,0,,i j i j i j n i j =⎧==⎨≠⎩ββ于是 1,;,1,2,,0,,i j i j i j n i j =⎧'==⎨≠⎩P P从而1212()()n i j n n n n ⨯'⎛⎫ ⎪' ⎪''=== ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭P PP P P P P P P E P .即P 是正交阵. 33．1,,(2)s s ≥αα线性无关，设11222311,,,,s s s --=+=+=+βααβααβαα1s i =+βαα，试讨论1,,s ββ的线性相关性.解: 221111()()1111s s βββααα11⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭因为111112,1(1)10,111s s s +⎧=+-=⎨⎩为奇数,为偶数.故当s 为奇数时，1,,s ββ线性无关；s 为偶数时，1,,s ββ线性相关.34．设,m n n m ⨯⨯A B 为矩阵()m n >满足n =BA E ，问A 的列向量组的线性相关性如何.解: ()()()n n R R R n ==≤≤E BA A()R n =A即A 列满秩，故A 的列向量组线性无关 35．n 维列向量组1,,n αα线性无关⇔1112121222120nn nn nn D ''''''=≠'''αααααααααααααααααα证: 记12()s =A ααα，则12212()||||s nD '⎛⎫ ⎪' ⎪'=== ⎪ ⎪'⎝⎭A A A αααααα故1,,n αα线性无关||00D ⇔≠⇔≠A .36．设A 为n 阶方矩阵，则A 是反对称阵()'=-⇔∀A A 向量X ，有0'=X AX 证法1: ⇒ 若A 反对称，有()200''''''''==-=⇒=⇒=X AX X A X X AX X AX X AX X AX⇐ 若∀向量X ，有0'=X AX ，选取T (0,,0,1,0,,0)i ==X e由 00(1,,)ii a i n '=⇒==X AX再取 ()()i j i j i j '''=+=++X e e X AX e e A e e i i i j j i j j ij ji a a ''''=+++=+e Ae e Ae e Ae e Ae 即 ()ij ji a a i j =-≠ 即A 为反对称阵.37．A 为m n ⨯矩阵，若对任一向量β，有=A 0β，则=A 0. 证: 取i =βe ，则(1,,)i i n ==Ae 0.取12()n =C e e e ，则12()0n ==AC A e e e ，即0=AE ，故0=A .38．求由3R 的基123,,ααα到基底21123,,++ααααα的过渡矩阵，并求12323=++αααα在后一组基下的坐标.解: 21123123123011()()()101001⎛⎫ ⎪++== ⎪ ⎪⎝⎭αααααβββααα所以过渡矩阵为 011101001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P1123123123111()2()2()233 3--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααββββββP 故α在后一组基下的坐标为(1,2,3)--.。

线性代数习题8解析【哈工大版】

·97·习题八1．用矩阵表示下列二次型，并求出这些二次型的秩. （1）2224424f x xy y xz z yz =+++++解：121(,,)242121x f x y z y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21312121121242000121000r r r r --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A所以()()1R f R ==A .（2）2227244f x y z xy xz yz =+----解：112(,,)112227x f x y z y z --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭213123211211211211200404112270411004r r r r r r ++↔------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--−−−→-−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭A所以()()3R f R ==A .（3）22221234122313142426424f x x x x x x x x x x x x x x =+++-++--解：1212343411211132(,,,)23101201x x f x x x x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭21243124121112111211121113200530320231005320532120103200053r r r r r r r r r +↔--⨯+------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪----⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 324335533112111210320032000160016005200033r r r r r --⨯----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭·98·所以()()4R f R ==A .2．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换. （1）22211221336544f x x x x x x x =++-+解：22222123232323(32)941254f x x x x x x x x x =+---+++ 2221232333(32)4()92x x x x x x =+---+ 作线性变换1123223333232y x x x y x x y x =+-⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩ 即 11232233353232x y y y x y y x y ⎧=--⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩则二次型的标准形为22212349f y y =-+.变换矩阵 51323012001⎛⎫--⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C . （2）122331f x x x x x x =++解：注意到f 不含平方项，但含12x x 项，故令11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩, 即 1122133110110110,110001001x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C将其代入f 得1212123312()()()()f y y y y y y y y y y =+-+-++2212132y y y y =-+ 2221323()y y y y =+--令 1312233y y z y z y z+=⎧⎪=⎨⎪=⎩ 即1132233y z z y z y z=-⎧⎪=⎨⎪=⎩·99·1122233101101010,010001001y z y z y z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C得222123f z z z =--，所用的可逆线性变换为111222333110101111110010111001001001x z z x z z x z z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12111111001-⎛⎫⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭C C C .3．用初等变换法将下列二次型化为标准形，并求合同变换矩阵.（1）22221234121314232434422444448f x x x x x x x x x x x x x x x x =++-++-+-- 解：首先写出f 的矩阵4222222222142242-⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪----⎝⎭A 作合同变换21314112131411121212121214212124222100022220111221401032242013310001/21/21/21/2010001000010001000010001r r r r r c c c c c --+⨯--+⨯-⎛⎫⎛⎪ -- ⎪ ⎪ --⎪ -------⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ =−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ A E ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭·100·3243423243422210001000010001000012001000240000111100002222011101130010001200010001r r r r r r c c c c c c --+--+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--- ⎪⎪-- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪−−−→−−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D C则 110022011300120001⎛⎫- ⎪⎪-= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C 在=X CY 可逆线性变换下222123f y y y =+-.（2）121323f x x x x x x =++解： 110221102211022⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭A 122131212221311222123111000221100001140100220010011102211111121111001110010102001001r r r r r r r c c c c c c c +--⨯+⨯--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎪⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎭D C·101·所以合同变换矩阵111111001--⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭C . 在=X CY 可逆线性变换下222123f y y y =--.4．用正交变换将下列二次型化为标准形，并写出所用的正交变换. （1）222123121323444444f x x x x x x x x x =+++++解：112323422422(,,)242242224224x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A422111||242(8)242224224λλλλλλλ----=---=----------E A 2111(8)020(2)(8)002λλλλλ=--=---所以A 的特征值为1232,8λλλ===. 对于122λλ==有2221112222000222000---⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭E A ，求得基础解系为 12111001--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ 由Schmidt 方法正交化得 1212111201⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ββ单位化为121/02⎛⎛⎫-- ⎪==- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝P P·102· 对于38λ=有4221018242011224000---⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A ，求得特征向量为 3111⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ξ，单位化得31/1/1/⎛ = ⎝P令1231/1/()1/1/021/⎛--==- ⎝P P P P在正交变换=X PY 之下有222123228f y y y =++.（2）222123232334f x x x x x =+++解： 200032023⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A200||032(2)(1)(5)0023λλλλλλλ--=--=---=--E A 所以A 的特征值为1231,2,5λλλ===.对于11λ=，1001001022011022000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A , 011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得101/⎛⎫ =- ⎪⎝⎭P .对于22λ=，0000012012010021000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A ，22100⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P ξ，·103·对于35λ=，3001005022011022000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭E A ，3011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得30⎛⎫ = ⎝P .令123010()01/1/01/⎛⎫ ==- ⎝P P P P在正交变换=X PY 下有22212325f y y y =++.5．判断下列二次型是否是正定二次型（1）222123121326422f x x x x x x x =++--解：二次型f 的矩阵 211160104--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A其各阶顺序主子式2120,11016->=>- 211||16038014--=-=>-A 所以A 是正定阵，f 是正定二次型.（2）2222123412132434143919246122f x x x x x x x x x x x x x x =+++-+--+解：二次型f 的矩阵 11211303209613619-⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭A 其各阶顺序主子式10>，112013-=>-11213060,||24029--=>=>A所以A 是正定阵，f 是正定二次型.·104· 6．求下列二次型中的参数t ，使二次型正定. （1）2221231213235422x x tx x x x x x x +++--解：二次型的矩阵 52121111t -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A其顺序主子式 5250,1021>=>. 5210351351||2110121201211111t t t t t t t----=-=--==->-----A所以2t >时，二次型正定.（2）22212312132322x x x tx x x x ++++解：二次型的矩阵 2110103t t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭AA 的顺序主子式22220,2,||531tt t t >=-=-A 欲使二次型正定，t 应满足 2220530t t ⎧->⎪⎨->⎪⎩解之t t ⎧<<⎪⎨<<⎪⎩ , 故t <<时二次型正定. 7．设实对称阵A 是正定的，证明：（1）1-A 是正定的；（2）(0)k k >A 是正定的. 证：（1）因为A 实对称正定，所以'=A A ，且A 可逆. 所以111()()---''==A A A ，这说明1-A 也是实对称阵.设λ是1-A 的任一特征值，则1λ是A 的特征值，由A 正定知10λ>，故0λ>，从而1-A 是正定的.（2）对任意,n ∈≠R 0X X ，由A 正定，0k >，有()0k k ''=>X A X X AX ，故k A 正定.8．设实对称阵A 是正定的，试证2+A E 是正定的.·105·证：因为A 是正定的实对称阵，所以'=A A .所以(2)22''+=+=+E A E A E A . 即2+E A 是实对称的.任取,n ∈≠X X R 0，有(2)20,'''+=+>X E A X X X X AX所以2+E A 是正定的.9．设A 是实对称矩阵，试证当实数k 充分大时，k +A E 是正定的. 证：因为,()k k ''=∴+=+A A A E A E ，即k +A E 是实对称阵. 设12,,,n λλλ 是A 的n 个实特征值，则存在正交阵P 使21n λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP 于是121()n k k k λλλλ-+⎛⎫⎪+⎪+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭P A E P 当1max{||,,||}n k λλ> 时，k +A E 的特征值全大于0，故k +A E 正定.10．设二次型211()nii j i i j nf xx x =≤<≤'==+∑∑X X AX（1）写出()f X 在正交变换下的一个标准形；（2）判断f 是否正定；（3）当2n =时，求正定阵B ，使2=A B .解：（1）二次型f 的矩阵 1111222111122211112221111222⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A·106· 11112221111222||11112221111222λλλλλ---------=--------E A 12111122211111()222111122111122nj j n c c λλλλ=---+----+------∑11111122210002 11((1000 2,, 2212()212i n r r n i n n λλλλλλ------+=---=+--所以A 的特征值为12111,22n n n λλλλ-+===== . 经过正交变换 222212111112222n n n f y y y y -+=++++. （2）因A 的特征值全大于零，故f 为正定二次型.（3）当2n =时，A 的特征值1211132,,12212λλ⎛⎫⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A·107·对于11111111122,,110012222λ⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎛⎫=-=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭E A ξ单位化得11/⎛-= ⎪⎝⎭P对于22111113322,,110012222λ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫=-=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭E A ξ单位化得2⎛= ⎝P令121/1/()1/⎛-== ⎝P P P ，P 为正交矩阵.于是有 102302⎛⎫⎪'== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP D102302⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A P P2000000⎛⎫⎫⎫⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪'''== ⎪ ⎪ ⎝⎝⎝⎝⎭P P P P P P令001/1/1/020⎫⎫⎪⎛⎛--⎪'== ⎪ ⎪⎝⎝ ⎝⎭⎝B P P14=+.显然'=B B ，即B 为实对称阵，则2=A B·108· 又BB合同于⎫⎪⎝，知B 正定的. 故B 为正定阵，且2=A B .11．设、A B 都是n 阶实对称阵，且A 与B 的特征值完全相同，试证存在正交阵C ，使=AC CB .证：设i λ为、A B 的特征值，1,2,,i n = ，因为、A B 都是实对称阵，所以存在正交矩阵、P Q ，使 12n Q λλλ⎛⎫⎪⎪''== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ P AP BQ ''=APQ PQ B令 '=C PQ , 则=AC CB .因为、P Q 都是正交阵，所以C 是正交阵. 12．设A 是n 阶正定矩阵，试证|2|2n +>A E . 证：因为A 是n 阶正定矩阵，所以'=A A ，所以存在可逆矩P ，使121n λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ P AP , 其中1,,nλλ 为A 的特征值，且0,1,,i i n λ>= .1211122(2)(2)2n λλλ---+⎛⎫ ⎪+⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭P A E P P AP P E P 11|(22)|(2)ni i λ-=+=+∏P E P1|2|(2)2nn i i λ=+=+>∏A E .13．A 是m n ⨯实矩阵，证明'A A 为正定矩阵的充分必要条件是()R n =A .·109·证：先证必要性n∀∈R α，且≠0α，由'A A 为正定阵，有0''>ααA A , 即 ()0'>A A αα, 故(,)0>A A αα,≠0A α.这说明线性方程组=0AX 仅有零解，故()R n =A ，即A 是实列满秩阵. 再证充分性由()'''=A A A A , 说明'A A 是实对称阵. 由()R n =A ，故线性方程组=0AX 只有零解. 因此n ∀∈R α，且≠0α，则≠0A α，于是()()()(,)0'''==>ααααααA A A A A A这说明'A A 是正定阵.14．指出下列方程在平面直角坐标系与空间直角坐标系中各表示什么图形. （1）2220x y y +-= 解：原方程为22(1)1x y +-=在平面直角坐标系下表示，以(0,1)为圆心、半径为1的圆，在空间直角坐标系下表示，以该圆为准线，母线平等于z 轴的圆柱面（2）22x y =解：分别表示抛物线与抛物柱面（3）421x y +=解：分别表示直线及过此直线与z 轴平行的平面（4）5123y x y x =+⎧⎨=-⎩解：分别表示xOy 平面两条直线的交点417(,)33--及两平面51y x =+与23y x =-的交线，即过点417(,33--且平行z 轴的直线.15．将xOy 坐标面上的双曲线224936x y -=分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的两个旋转曲面的方程.解：双曲线方程为： 22194x y -= 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为·110·222194x y z +-=旋转双叶双曲面. 绕y 轴旋转一周所得曲面方程为222194x z y +-=旋转单叶双曲面. 16．求母线平行于x 轴，且通过曲线222222216,x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩的柱面方程. 解：在曲线方程（两个曲面的交线方程）中消掉x 有22316y z -=即为母线平行于x 轴且通过该曲线的柱面方程.17．求球面2229x y z ++=与平面1x z +=的交线在xOy 面上的投影的方程. 解：将球面方程与平面方程联立消掉z 得母线平行于z 轴的投影柱面方程为222(1)9x y x ++-=故交线在xOy 面上的投影的方程为222(1)9,0.x y x z ⎧++-=⎨=⎩18．将下列曲线的一般方程化为参数方程.（1）2229x y z y x ⎧++=⎨=⎩解：将y x =代入球面方程有2229x z +=221992x z += 令02x θθπ=≤≤ 令, 023sin .x z θθπθ⎧=⎪≤≤⎨⎪=⎩于是得到曲线的参数方程为·111·,, 023sin .x y z θθθπθ⎧=⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩. （2）222(1)(1)4x y z z ⎧-+++=⎨=⎩解：将0z =代入球面方程有22(1)3x y -+=令1,02,x y θθπθ⎧-=⎪≤≤⎨=⎪⎩ 于是曲线参数方程为1,,020.x y z θθθπ⎧=+⎪⎪=≤≤⎨⎪=⎪⎩. 19．求螺旋线cos ,sin ,x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩在三个坐标面上的投影的直角坐标方程.解：在xOy 面投影为cos ,sin ,0.x a y a z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ 消掉θ得222,0.x y a z ⎧+=⎨=⎩在yOz 面投影为0,sin ,.x y a z b θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ 消掉θ得0,sin .x z y a b =⎧⎪⎨=⎪⎩在xOz 面投影为cos ,0,.x a y z b θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩消掉θ得cos ,0.z x a b y ⎧=⎪⎨⎪=⎩20．求旋转抛物面22(04)z x y z =+≤≤在三个坐标面上的投影.解：在xOy 面上的投影为224,0.x y z ⎧+≤⎨=⎩·112· 在yOz 面上的投影为24,0.y z x ⎧≤≤⎨=⎩在xOz 面上的投影为24,0.x z y ⎧≤≤⎨=⎩21．求直线1:011x y zL -==绕Z 轴旋转所生成的旋转曲面的方程. 解：设1(,,)M x y z 是L 上的任意点，(,,)M X Y Z 是旋转曲面上由1M 旋转所生成的点. 则有 2222,z Z x y X Y =+=+ （*）直线L 的一般方程为 1,(1).(2)x y z =⎧⎨=⎩（1）平方+（2）平方得 2221x y z +=+ （3）将（*）代入（3）得2221X Y Z +-=.此即L 绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程，为旋转单叶双曲面.22．求以(0,0,0)为顶点，且以22221,x z a c y b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为准线的锥面方程.解：设1(,,)M x y z 是准线上任意点(,,)M X Y Z 是连结1、O M 直线上锥面的任意点. 1//OM OM .显然有 x y zX Y Z== 且y b = 即 ,,.x Xt y Yt t z Zt =⎧⎪=-∞<<+∞⎨⎪=⎩（*）由准线方程有22221,x z a c += y b= 即 1Y t b = 将（*）代入2222221X Z t t a c+=,得22222222(X Z Y t t a c b+=, 即2222220X Y Z a b c-+=, 为过(0,0,0)的锥面方程.·113·23．指出22022y z x +-=所表示的曲面是由xOy 面上什么曲线绕什么轴旋转而成的. 解：22022y y x +-=，即222y z x +=为旋转抛物面. 是由220y x z ⎧=⎪⎨⎪=⎩绕x 轴旋转而成.24．指出下列方程的图形是什么曲面（1）22216916144x y z ++=；解：原曲面方程为22219169x y z ++=椭球面. （2）22(1)z y x =-+；解：旋转抛物面（3）2224436144x y z -+=；解：原曲面方程为222136364x y z -+=单叶双曲面. （4）22(1)4z x y =++解：椭圆抛物面.（5）222490x y z +-+=解：原曲面方程为22219994x y z +-=- 双叶双曲面. （6）z =解：圆锥面的上半部分. （7）22220x y z +-= 解：二次锥面. （8）z xy = 解：马鞍面.25．指出下列方程所表示的曲线（1）22225,3;x y z x ⎧++=⎨=⎩解：为平面3x =上圆心为(3,0,0)半径4R =的圆.（2）2224936,1;x y z y ⎧++=⎨=⎩·114· 解：为平面1y =上的椭圆22132329x z +=. （3）222425,3;x y z x ⎧-+=⎨=-⎩解：为平面3x =-上的双曲线221164z y -=. （4）224804y z x y ⎧+-+=⎨=⎩解：为平面4y =上的抛物线 2164x z =+.（5）221191420y z x ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩解：为平面2x =上的双曲线 2211914y z -=.26．画出下列曲面围成的立体的图形. （1）2366,0,0,0x y z x y z ++====；解：平面的截距式方程为 1321x y z++=，平面2366x y z ++=与三个坐标面在第一卦限所围的四面体（如图8.1）（2）0z z ==解：为2221x y z ++=球面的上半球面与xOy 所围的上半球体（如图8.2）.·115·（3）2210,3x y z z +-+==解：旋转抛物面221z x y =++与平面3z =所围的立体（如图8.3）. （4）2,2,0,2y x y z z ====解：由平面0,2,2z z y ===截抛物柱面2y x =的立体（如图8.4）.27．已知二次型222123123121323(,,)553266,f x x x x x x x x x x x x =++-+-问123(,,)1f x x x =表示何种曲面.解：二次型f 的矩阵513153333-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A5130(4)(6)3(4)||15315333303(4)6λλλλλλλλλλ--------=-=----+E A263(4)(4)(9)03(4)6λλλλλλλ-=-=--=-+故A 的特征值为1230,4,9λλλ===.在正交变换下123(,,)1f x x x =化为：2221230491y y y ++=为椭圆柱面. 28．用正交变换和坐标平移将下面的二次曲面方程化为标准方程.22212312132312315284466602x x x x x x x x x x x x +-+--+++-=·116· 解：记 142412222-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪---⎝⎭A则 21103314222||4120326222222λλλλλλλλλλ----+---=--=++++E A236(3)14λλλλ++-=-+212(3)14λλ-=-+2(3)(6)0λλ=+-= 故A 的特征值为1236,3λλλ===-.对于16λ=，154210226452012,22280001--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-→=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭E A ξ单位化得 12/32/31/3-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P对于233λλ==-11144223442000221000⎛⎫-⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪--=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭E A ，2110-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，3102⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ 由Schmidt 正交化得 2110-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β， 312122⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭β·117·单位化得21/0⎛- = ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，31/1/4/⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎝P令1232/31/()2/31/1/304/⎛⎫-- ⎪==- ⎪ ⎝P P P P 在正交变换112233x y x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P 下原方程为222123123156336(0)02y y y y y --+-+-= 配方有22212316()33(32y y y ----=作平移变换11223312y z z y z y ⎛⎫-⎪⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ -⎝⎭ ⎝⎭则 2221236333z z z --=标准方程为：22231221111z z z --=为双叶双曲面.29．求曲线2222:2z x yC z y⎧=+⎪⎨=⎪⎩在xOy 坐标面和yOz 坐标面上的投影方程，并画出草图.解：（1）消去z 得柱面方程22(1)1x y +-=故C 在xOy 坐标面的投影方程为22(1)1,0.x y z ⎧+-=⎨=⎩ 如图8.5 表示以(0,1,0)为圆心，半径等于1的圆.zyo x图8.5·118· （2）22z y =是包含C 的母线平行于x 轴的柱面. 曲线220z yx ⎧=⎨=⎩包含C 在yOz 坐标面的投影，C 在yOz 坐标面的投影曲线为22,02,0.z y y x ⎧=≤≤⎨=⎩如图8.6. 30．求曲线222222,: (0)x y a C a y z a⎧+=⎪>⎨+=⎪⎩在各坐标面上的投影方程，并画出草图. 解：（1）222x y a +=是通过C ，母线垂直于xOy 坐标面的柱面方程C 在xOy 坐标面的投影曲线为222,0.x y a z ⎧+=⎨=⎩ （2）与（1）类似C 在yOz 坐标面的投影曲线的方程为222,0.y z a x ⎧+=⎨=⎩ （3）消去y 得通过C ，母线垂直于xOz 坐标面的柱面()()0x z x z +-=这是两个相交平面，于是得C 在xOz 坐标面的投影方程()()0,||0.x z x z x a y +-=⎧≤⎨=⎩. 这是两条相交直线段. 如图8.7.x yz x z=aaao。

《线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题2-1习题课

, D
Z

E O

A1 E
B
.
(1)求乘积XYZ;
(2)证明: A B A D C A1 B . CD
解（１）根据分块矩阵的乘法，得
E XYZ
C A1
O A E C
B D

E O

A1 E
B

A O
1 4 1 4
2
X

1 1
1 1
1 1 0 2
2 0
3 4 ;
2 1 1 0 1 5
3

1 1
1 1
1 1 0X1
1 1
1 4 0 0
2 1
3 5.
2 1 1 3 2 1 2 1 1
2
2 4 2. 1 2;
注（1）矩阵乘法可乘的条件与乘后的结果； (2)矩阵乘法不具有交换律与消去律。
（4）方阵的运算
(1) n阶方阵的幂一般地
( AB)k Ak Bk .
（2）方阵的行列式具有以下运算规律
设为数, A, B为n阶方阵,则 A n A;
AB A B .
(5) 转置矩阵
转置矩阵AT 具有
1 5 2 2 1 1 1 5 2 21 120 47
例4 设三阶矩阵A, B满足关系 :
2 2 3
A1 BA

6
A

BA,
且A

0
2
2

0 0 2
求B .
解 A1BA BA 6A
A1 E BA 6A E A B 6A

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m

k1 km
1

k2 km
2
L

km1 km
m 1

1 km
b
即m可以由1,2,…,m-1,b 线性表示.
8
4. 证明向量组1,2,…,s （其中1≠0, s >1）线性相关的充要条件是至少有一个i(1<i≤s)可以由向量组1,2,…,i-1线性表示.
证明：必要性. 向量组1,2,…,s 线性相关, 则有不全为0的
数 k1, k2, …, ks, 使
k11 k22 L kss 0
(1)
在k1, k2, …, ks中找最后一个不为0的数ki . 即
ki ≠0，而ki+1=…=ks=0，
显然i >1. 否则此时(1)化为 k11=0, 且k1 ≠0，故
所以 3 22 1
6
2. 设向量1,2,3 线性相关，向量组2,3,4线性无
关，问：
(1) 1能否用2,3 线性表示？证明你的结论 (2) 4能否由1,2,3 线性表示？证明你的结论
解：(1) 因为向量组2,3,4 线性无关，所以2,3线性无关，又
第一，A可以由B线性表示。（已经满足）
第二，B是线性无关的向量组。
由于B是A的部分组，所以B可以由A线性表示,同时A可由B线性表示，故向量组A与B是等价的，因此其秩相同.
向量组B的秩为r，且有r个向量，所以B线性无关. 所以，B是A的一个极大线性无关组.
12
本次作业
第三章习题
• 1. • 2. • 3. • 5. • 6.
2

＝B.
R(A) = R(B)
0 0 t 5
5
(1)当R(A)=3时，向量组线性无关，此时t≠ 5. (2)当R(A)<3时，向量组线性相关, 此时t = 5.
(3)当t=5时，
1 0 1
A

B

0 0
1 0
2 0

A的列向量组与B的列向量组有相同的线性关系
向量1,2,3 线性相关，所以1能用2,3 线性表示.
(2) 4 不能由1,2,3 线性表示. 否则，设
4 k11 k22 k33
由(1)知1能用2,3 线性表示. 设 1 l22 l33
则有 4 k1(l22 l33 ) k22 k33 即： 4 (k1l2 k2 )2 (k1l3 k3 )3
5. 设t1,t2,L
, t s是互不相同的实数，向量i

(1, ti , ti2,L
,
t n1 i
)T
(i
1,2,L
, s),试讨论向量组1,2,L
,
的线性相关性.
s
【课本习题11，有所不同需要讨论】
6. 已知向量组A：{1,2,L ,s } 的秩为r，向量组B：
{i1,i2 ,L ,ir } 是向量组A的一个部分组，且A可
关，问：
(1) 1能否用2,3 线性表示？证明你的结论 (2) 4能否由1,2,3 线性表示？证明你的结论 3. 设向量b 可以由向量组1,2,…,m线性表示, 但是不能由向量组1,2,…,m-1线性表示.证明m可以由1,2,…,m-1,b 线性表示.
2
4.证明向量组1,2,…,s （其中1≠0, s >1）线性相关的充要条件是至少有一个i(1<i≤s)可以由向量组1,2,…,i-1线性表示.
t2 L
A
1,2 ,L ,s

t12
t22 L
M M L

t n1
1
t n1 2
L
A的前s行构成的s阶子式为
1
ts

t s2

M
t
n1 s

1 1L
t1 t2 L
L LL
t s1
1
t s1 2
L
1
ts

(t j
1i js
ti )
≠
0.(因t1,t2,…,ts互不相同)
则4 可由2,3线性表出，于是2,3,4 线性相关，
这与题设矛盾. 所以，4 不能由1,2,3 线性表示. 7
3. 设向量b 可以由向量组1,2,…,m线性表示, 但是不能由向量组1,2,…,m-1线性表示.证明m可以由1,2,…,m-1,b 线性表示.
13
证明：向量b 可以由向量组1,2,…,m线性表示,设
b k11 k22 L km1 m1 kmm (1)
若km=0, 则(1)式化为
b k11 k22 L km1 m1
这表示向量b可由向量组1,2,…,m-1线性表示
这与给定条件矛盾. 则(1)式必有km≠0, 故
以由B线性表示，证明: B是A的一个极大线性无关组.
3
答案
4
1. 已知向量 1T (1,1,1),2T (1,2,3),3T (1,3,t)
（1）t 为何值时，1,2,3 线性无关？（2）t 为何值时，1,2,3 线性相关？（3）当1,2,3 线性相关时，用1,2 线性表示3.
线性相关。
10
5. 设t1 , t2 ,L
, t s是互不相同的实数，向量i

(1, ti , ti2,L
,
t n1 i
)T
(i

1, 2,L
, s),试讨论向量组1,2,L
,
的线性相关性.
s
解：向量i 的维数是n，故当s > n时，向量组线性相关.
当s≤ n时，令
1 1 L

t1
L 故其列向量组线性无关，从而其
t s1 s
加长向量组1,2,…,s线性无1关1 .
6. 已知向量组A：{1,2,L ,s } 的秩为r，向量组B：
{i1,i2 ,L ,ir } 是向量组A的一个部分组，且A可
以由B线性表示，证明: B是A的一个极大线性无关组.
证明：要证明B是A的极大无关组，有两个条件，
第三章习题1
1
1. 已知向量 1T (1,1,1),2T (1,2,3),3T (1,3,t)
（1）t 为何值时，1,2,3 线性无关？（2）t 为何值时，1,2,3 线性相关？（3）当1,2,3 线性相关时，用1,2 线性表示3.
2.设向量1,2,3 线性相关，向量组2,3,4线性无
解：令矩阵A＝(1,2,3), 对A进行一系列的初等行变
换，将它化成行阶梯型矩阵
1 1
A

1
,
2
,
3

1
2
1 3
r1r2 1 0 -1
1
3 t

r3r2 1
r2r1 0
0
1 1 1
1
t
2
3
r3r2 0 1
只能1＝0. 这与1≠0矛盾.
因此(1)化为
i

k1 ki
1

k2 ki
2
L

ki 1 ki

i
1Байду номын сангаас
即至少有一个i(1<i≤s)可以由向量组1,2,…,i-1线性
表示.
9
充分性，如果有一个 i (1 i s) 可以由向量组
1,2 ,L ,i-1 线性表示，则αi可由其余s-1个向量线性表出，由定义，向量组 1,2 ,L ,s

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