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量子力学第七章自旋和全同粒子

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第七章-自旋和全同粒子

第七章-自旋和全同粒子

第七章 自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋一 电子自旋的概念在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。

实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。

描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、 自旋角动量(内禀角动量)S它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值21±=z s ；(7. 1)2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs它与自旋角动量S 间的关系是：S es m e-=μ,(7. 2)B e s 2μμ±=±=m e z,(7. 3)式中(- e )：电子的电荷，m e ：电子的质量，B μ：玻尔磁子。

3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁矩/自旋角动量）es e s 2m e g m e s zz=-=μ,(7. 4)g s = –2是相应于电子自旋的g因数,是对于轨道运动的g因数的两倍。

强调两点：●相对论量子力学中，按照电子的相对论性波动方程 狄拉克方程，运动的粒子必有量子数为1/2的自旋，电子自旋本质上是一种相对论效应。

●自旋的存在标志着电子有了一个新的自由度。

实际上，除了静质量和电荷外，自旋和内禀磁矩已经成为标志各种粒子的重要的物理量。

特别是，自旋是半奇数还是整数(包括零)，决定了粒子是遵从费米统计还是玻色统计。

二 电子自旋态的描述ψ ( r , s z )：包含连续变量r 和自旋投影这两个变量， s z 只能取 ±2/ 这两个离散值。

电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵）⎪⎭⎫⎝⎛-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s , (7. 5) 讨论：● 若已知电子处于/2z s = ，波函数写为(,/2)(,) 0z s ψψ⎛⎫= ⎪⎝⎭r r ● 若已知电子处于/2z s =- ，波函数写为0(,)(,/2)z s ψψ⎛⎫= ⎪-⎝⎭r r ● 概率密度2)2/,( r ψ：电子自旋向上()2/ =z s 且位置在r 处的概率密度；2)2/,( -r ψ：电子自旋向下()2/ -=z s 且位置在r 处的概率密度。

《量子力学》课程19

《量子力学》课程19

j ( j 1),
jl
1 2
jl
,
( , , s z )
2l 1 1 1
1 2
l m 1Y lm ( , ) l m Y lm 1 ( , )
jl
1 2
,
( , , s z )
jl
(sz )
z z
1 2
z

1 2
z
1 2

1 2
z
ˆ Sz
1 2

2

1 2
ˆ Sz1
2
2

1 2
这两个函数是彼此正交的。
量子力学
3、自旋函数的矩阵形式
在 表示为：
1/ 2
z
表象中，
1 2
、
0 1
1 2
的矩阵
1 0
1 2
l m Y lm ( , ) 2 l 1 l m 1Y lm 1 ( , )
对于
,
m max l , m min ( l 1)
量子力学
m l , l 1, , 0 , , ( l 1) mj m
量子力学
§7.5 光谱的精细结构
光谱的精细结构与自旋轨道藕合有关。 下面讨论在无外场时，电子自旋对类氢原子的 能级和谱线的影响。 对于类氢原子，如果不考虑电子自旋与轨 道相互作用的能量，则类氢原子的哈密顿为
ˆ H0
2
2
U (r )
2
若不考虑核外电子对核的屏蔽，则 U ( r ) r 根据前面的讨论，若不考虑电子的自旋，电子 的能量只与 n 有关，能量为 n 度简并，现在 把电子的自旋加进去（不考虑电子自旋与轨道

量子力学 自旋和全同粒子

量子力学 自旋和全同粒子
可证： 但是：
ˆ2, J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ2, J ˆ 2 ] 0， [J 1 2 r r ˆ ˆ2, J ˆ2 ˆ [J 1 ] 0 ，[ J , J 2 ] 0 ， ˆ ,J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ ,J ˆ2] 0。 [J z 1 z 2
另，容易证明，
| j1 , j2 , j, m 组成了正交归一的完全系，以它们为基矢的表
ˆ2, J ˆ ,J ˆ2, J ˆ 2 都是对角矩阵。 象称为耦合表象， 在这个表象中 J z 1 2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换 将 | j1 , j2 , j, m 按照完全系 | j1 , m1 , j2 , m2 展开，

m1 ,m2
(m m )h
1 2
m2m2 m1m1

j1 , m1 , j2 , m2 | j1 , j2 , j, m
; m2 m2 m2 时， m m1 m2 m1 当 m1 m1
所以展开式中只需对一个量子数求和即可，
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
Hale Waihona Puke ˆ2, J ˆ 的共同本征矢，则 以 | j2 , m2 表示 J 2 2z
ˆ 2 | j , m j ( j 1)h 2 | j , m J 2 2 2 2 2 2 2 。 ˆ J 2z | j2 , m2 m2 h | j2 , m2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
| j1 , j2 , j, m
m1 ,m2

量子力学教程习题答案周世勋

量子力学教程习题答案周世勋
2xe 2
2
1(x) 1(x) 2
4 2 2
x 2e 2x2
2 3 x e2 2x2
d1 (x) 2 3 [2x 2 2 x3 ]e 2x2
dx
令 d1(x) 0 ，得 dx
x 0
x1
x
由1(x) 的表达式可知， x 0，x 时，1(x) 0 。显然不是最大几率的位置。
2m
i
[
( r )
*
(
r
)
*
( r )
(r)]
2m
可见 J与t 无关。
9
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：
(1) 1
1 ei k r r
(2) 2
1 e i k r r
从所得结果说明 1 表示向外传播的球面波， 2 表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解： J1和J 2只有r分量
而 d 21 (x) 2 3 [(2 6 2 x 2 ) 2 2 x(2x 2 2 x3 )]e2x2
dx 2
4 3 [(1 5 2 x 2 2 4 x 4 )]e 2x2
d 21(x) dx2
x 1
4 3 2
1 0， e
可见 x 1
是所求几率最大的位置。
2
#
17
2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U (x) U (x) ，证明粒子的定态波函数具有确定的
在球坐标中
r0
r
e
1 r
e
1 r s i n
(1)
J1
i 2m
(
1
* 1
1* 1 )
i [1 2m r
eikr
r
(1 r

7 自旋与全同粒子

7 自旋与全同粒子

A. 电子自旋算符表示：
h 自旋角动量与轨道角动比较：方向投影值是 ，而不是 h ； 2
与电子坐标、动量无关；满足相同的对易关系。 用 S 表示自旋角动量，则有
∧
S × S = ih S
∧
∧
∧
（7.1.7）
S x S y S y S x = ih S z ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ S y S z S z S y = ih S x ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ S z S x S x S z = ih S y ∧ ∧ 泡利算符：引入算符 σ ，它与 S 的关系是
+ 1 2
(7.1.24)
几率密度是：
w( x, y , z, t ) = Ψ Ψ = Ψ 1 + Ψ 2 = w1 ( x, y , z, t ) + w2 ( x, y , z, t )
+
2
2
当电子的自旋和轨道运动的相互作用可忽略： 一般情况下电子的自旋和轨道运动的相互作用由 Ψ 中的 Ψ 1 , Ψ 2 是x,y,z的不同函数来表示。当电子的自旋和轨道运动的相互作 用可忽略时， 1 , Ψ 2 对x,y,z的依赖关系是相同的，于是 Ψ
θ 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。
则原子 z 方向所受到的力为
Fz = U H =M cos θ z z
实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于 cos θ = +1 和 cos θ = 1两个值。
电子的自旋和磁矩是电子的内禀属性，也称为内禀角动量和 内禀磁矩，标志电子的一个新的自由度。斯特恩与革拉赫实验直 接证实了这一属性。 无数实验表明，各种基本粒子也具有这一属性。
∧
0 i σy = i 0
∧
E. 平均值问题

量子力学自旋与全同粒子

量子力学自旋与全同粒子

2）Pauli 算符
1. 引进Pauli 算符 对易关系：Sˆ Sˆ iSˆ
分量 形式
令 Sˆ ˆ
2
ˆ ˆ 2iˆ
S
x
2
x
S
y
2
y
Sz
2
z
分量形式：
ˆ
xˆ
y
ˆ yˆ x
2iˆ z
ˆ yˆ z ˆ zˆ y 2iˆ x
ˆ zˆ x ˆ xˆ z 2iˆ y
因为Sx, Sy, Sz的本征值都是± /2， 所以σx,σy,σz的本征值都是±1； σx2,σy2,σZ2 的本征值都是:
磁场沿 Z 向
e
2c
( Lˆ z
2Sˆ z )B
Schrodinger方程
考虑强磁场忽略自旋-轨道相互作用，体系Schrodinger方程：
2
2
2
V (r)
eB
2c
( Lˆ z
2Sˆ z
)
E
根据上节分析，没有自旋-轨道相互作用的波函数可写成：
第七章 自旋与全同粒子
1. 电子自旋 2. 电子自旋算符和自旋波函数 3. 简单塞曼效应 4. 两个角动量耦合 5. 光谱精细结构 6. 全同粒子的特性 7. 全同粒子体系的波函数, Pauli原理 8. 两电子自旋波函数 9. 氦原子（微扰法）
1. 电子的自旋
（1）Stern-Gerlach 实验 (2）光谱线精细结构
个分量
令
a b ˆ x c d
利用反对易 关系
ˆ zˆ x ˆ xˆ z
得
：
1 0
01
a c
b d
a c
b d
1 0

周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第7章 自旋与全同粒子——第8章

周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第7章 自旋与全同粒子——第8章

（2）无耦合表象
力学量组
(
J12
,
J1z
,
J
2 2
,
J
2
z
)
也相互对易，相应的表象称为无耦合表象。无耦合表象的基
矢为：| j1m1 j2m2 。
五、光谱的精细结构
在无外场的情形下，电子自旋对原子能级和谱线有影响。在哈密顿量中体现在电子的自
旋和轨道运动之间的相互作用引起了附加项。体系的哈密顿量可表示为：
2
三、简单塞曼效应 1．简单塞曼效应概念 在没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为三条，这即是简单塞曼效应。
2．简单塞曼效应的物理机制
考虑氢原子或类氢原子在均匀外磁场中的情形。在较强的外磁场作用下，须考虑电子的
轨道磁矩和自旋磁矩与磁场 B 的相互作用。由于外磁场较强，可略去电子的自旋和轨道运
动之间的相互作用能量。此时，哈密顿量可表示为：
H
2
2me
2
U (r)
eB 2mec
(2Sz
Lz )
力学量组 (H , L2 , J 2 , J z ) 相互对易，其共同本征函数是定态薛定谔方程的解：
nlmms (r, ,, sz ) Rnl (r)Ylm ( ,)ms (sz )
则 Enlmms
Enl
eB 2mec
(m
2ms
)
EEnlnl22ememBBecec((mm11)), ,
。
(r , 2 ,t)
2 / 31
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在
z
表象中，s
z
的本征值为：
2
，相应的本征态为：
1 2

第七章 自旋与全同粒子(二十讲) 量子力学教学课件

第七章 自旋与全同粒子(二十讲) 量子力学教学课件
：
说明：对连续情况下，上式仍成立。 4、N 个粒子组成的全同体系。 （相互独立，不显含时间）
ˆ H ˆ (q ) H ˆ (q ) ＝ H ˆ (q ) H 0 1 0 2 0 i
i1
N
哈密顿算符
ˆ (q ) (q ) (q ) H 0 1 i 1 i i 1
ˆ (q ) (q ) (q ) H 0 2 j 2 j j 2
3） 两费米子组成的体系是反称的。 若两个粒子状态相同 则 A (q1 , q 2 ) 0
i (q1 ) | j (q1 )
i (q2 ) | A (q1 , q 2 ) A (q2 , q1 ) j (q2 )
2、 泡利原理： 两体系中两个费米子不可能处于同一状态。
C 2 =1, C
=±1。
当 c=＋1 是对称的 (qi q j ） = (q j qi ) 当 c=－1 是反对称 (qi q j ） =－ (q j qi ) 结论：1）全同粒子组成波函数只能对称和反对称。 2）全同粒子组成波函数对称性不随时间 t 改变而改变 证明：设φ 是对称的。 t 时刻： 在 t+dt
A
1 N!
i (q1 ) j (q1 )
k (q1 )
i (q2 ) j (q2 )
k (q2 )

i (q N ) j (q N )
k (q:N )
有两个或两个以上的费米子不能处于同一状态（泡利不相容原
理）
① 交换粒子位置变号 ② 有两行状态相同 交换两列符号改变，两列相等 A＝0 上式中，若 i j ,则行列式等于“0” ，即不能有两个或两个
1，2，3 中的任一态， 单粒子态， 试求体系可能态的数目， 并写出相应波函数，分三种情况：a、两个粒子为全同玻

第七章 自旋与全同粒子 十九讲 ppt 量子力学教学课件

第七章 自旋与全同粒子 十九讲 ppt 量子力学教学课件
由上式变成
| J , m - m , J m
1 2 2 m2
| J1 , J 2 , J, m =
2
J, m - m 2 , J 2 , m 2 | J1 , J 2, J, m 2
1 2
（5）求量子数 J和J ， J 的关系。 ①由 m=0,±1，±2…±J , 所以 m 的最大值 J max 又∵m= m1 +
对易 ∴J， m，l 是好量子数。
ˆ 不对易。 H (r ) (r ) H ˆ 和H 4） H 0 0 0
ˆ 的本征值和本征函数 ∴H
ˆ H ˆ ) E ˆ 是简并的，所以可用简并情况微 (H ，→由 H 0 0
扰理论求解。用解久期方程求。由 7.5－6 可知 H′在耦 合表象中是对角阵， 所以利用
ˆ ˆ ，L ˆ 2，L ˆ ，S H z z 有共同的本征函数： 则 0
n,l,ml,ms R nl (r)Y lm ( , ) ms
lLeabharlann 由四个量子数决定 n,l, ml , ms ,
其中 ms
2
（2）耦合表象 ˆ →电子的总角动量 ˆ＝L ˆ ＋S 令J
ˆ 2，J ˆ 2，J ˆ ，H ˆ L z 0 相互对易有共同的本征函 同样可证：
2 ˆ 2 ˆ ˆ J ˆ J J J 利用上式和[ 1 ， 1 ]＝0， [ 2 ， 2 ]＝0 得
2 2 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ J J J [ ， 1 ]＝0，[ J ， 2 ]＝0， 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ]≠0 J J J [ ， 1 ]≠0，[ ， J 2
ˆ J ˆ ˆ ˆ J ˆ ˆ ˆ ˆ J J J J J J 2y 1y 因为 1 ＝ ＋ ＋ 1z 2z 2x 2 1x

量子力学 第七章 自旋与全同粒子

量子力学 第七章 自旋与全同粒子

7.5 光谱的精细结构
Fine structure of the spectrum
7.6 全同粒子的性质
The characterization of similar particles
7.7 全同粒子系统的波函数 泡利原理
The wave function of similar particle system Pauli principle
2 ˆ ˆ x2 y2 z2
ˆ ,2 x ] 0 ˆ [ ˆ ,2 y ] 0 ˆ [ ˆ ˆ [ ,2 z ] 0
12
ˆ ˆ [ ] 0
2 ,
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数 （续 5）
Ch.7 Spin and undistinguished similar particles
7.1 电子自旋
Electron spin
7.2 电子自旋算符与自旋波函数
Electron spin operator and spin wave function
7.3 简单塞曼效应
Simple Zeeman effect
7.4 两个角动量的耦合
Coupling of two angular momentum
1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x ( y z z y ) y y ( y z z y ) 2i 2i 1 ˆ y z y z y y z y z y ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2i
S ，它在空间任意方
（2）每个电子具有自旋磁矩 M S ，它与自旋角动量的
e MS S
（SI）

自旋全同粒子

自旋全同粒子

自旋全同粒子自旋是描述粒子的一种性质，它是量子力学中旋转不变性的内禀表示。

在自旋理论中，粒子根据自旋量子数的不同可以分为整数自旋粒子（如光子、重整数自旋粒子（如电子）、半整数自旋粒子（如中子）等。

自旋全同粒子是指具有相同自旋量子数的粒子，它们在物理理论和实验研究中具有很重要的地位。

根据量子力学的统计原理，自旋全同粒子的波函数必须满足对称或反对称的交换关系。

对于玻色子（具有整数自旋）的自旋全同粒子，它们的波函数必须是对称的；而对于费米子（具有半整数自旋）的自旋全同粒子，它们的波函数必须是反对称的。

自旋全同粒子的理论研究在原子、分子、凝聚态物理以及量子信息等领域有很广泛的应用。

以下是一些相关的参考内容：1. 书籍：- 《Quantum Mechanics: Concepts and Applications》（Nouredine Zettili）- 《Quantum Mechanics: Concepts and Applications》（Nouredine Zettili）- 《Quantum Mechanics and Path Integrals》（Richard P. Feynman, Albert R. Hibbs）- 《Group Theory in Physics: An Introduction》（J. F. Cornwell）- 《Modern Quantum Mechanics》（J. J. Sakurai, Jim Napolitano）这些书籍涵盖了自旋理论及其应用的基本概念、数学形式和物理解释等方面的内容。

2. 研究论文：- "Non-Abelian anyons and topological quantum computation"（A. Y. Kitaev）- "Spin and Statistics of Quantum Particles in Two Dimensions"（F. Wilczek）- "Topological Quantum Computation and Anyonic Interferometry"（Chetan Nayak et al）- "Quantum Coherence and Pauli Spin Matrices"（S. A. Gurvitz）这些研究论文介绍了自旋全同粒子在拓扑量子计算、任意子干涉等领域的理论研究和可能的应用。

第七章2 全同粒子系

第七章2 全同粒子系

全同粒子体系(tǐxì)哈密 顿量是对称的
结论：
描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其 对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对 称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。
共六十八页
（四）Fermi 子和 Bose 子
实验表明(biǎomíng)：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数 的交换对称性是完全确定的，而且该对称性与粒子的自 旋有确定的联系。
共六十八页
3 微观粒子的不可(bùkě)区分性
服从
用
微观粒子运动
量子力学
波函数描写
(yùndòng)
在波函数重叠区粒子是不 可区分的
4 全同性原理
全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引 起体系物理状态的改变。
全同性原理是量子力学的基本原理之一。
第五条基本假设
共六十八页
（二）波函数的对称性质
皆为 ：
Ei j
共六十八页
V S 和 A 的归一化
首先 证明
若单粒子(lìzǐ)波函数是正交归一化的， 则 (q1,q2) 和 (q2 , q1) 也是正交归一化的
证明
(zhèngmíng)： （ * q1,q2) （ q1,q2)d1 q d2 q
（ i* q1) * j(q2)（ i q1) j(q2)d1 q d2 q
(q1,q2, qj qi qN ,t) (q1,q2, qi qj qN ,t)
再做一次（q i , q j ) 调换(diàohuàn)
( q 1 , q 2 , q i q j q N ,t ) ( q 1 , q 2 , q j q i q N ,t ) 2 ( q 1 , q 2 , q i q j q N ,t )

量子力学-自旋与全同粒子

量子力学-自旋与全同粒子

自旋量子数 s 只有一个数值1/2 只有一个数值1
HUST
Applied Physics
12
3、自旋算符的形式及其本征态 、
Sx ,Sy ,Sz 不对易，不能同时有确 Sˆ × Sˆ = i ℏ Sˆ S S 不对易， 定值。 所以， 定值 。 所以 ， 只能用某一方向的分量 来反映自旋的特点。一般用S 来反映自旋的特点 。一般用Sz ， 即建 [ Sˆ x , Sˆ y ] = i ℏ Sˆ z 表象（或称S 的共同表象） 立Sz 表象 （ 或称 S 2和 Sz 的共同表象） ， [ Sˆ y , Sˆ z ] = i ℏ Sˆ x 表象研究电子的运动状态 研究电子的运动状态。 在Sz 表象研究电子的运动状态。 （1）自旋算符Sx ,Sy , Sz 的矩阵形式 ）自旋算符S S
3s
3S1/2
5
二、自旋假设的提出
Uhlenbeck 和 Goudsmit在1925年，根据上述现象提出，电 在 年 根据上述现象提出， 自旋。 没有经典对应， 子具有一种特殊的运动——自旋。 该运动方式没有经典对应， 子具有一种特殊的运动 自旋 该运动方式没有经典对应 不能用经典运动来解释（与自转有本质区别） 不能用经典运动来解释 （ 与自转有本质区别）。 这就是电子的 自旋假设： 自旋假设： 自旋角动量， （ 1） 电子具有 自旋角动量 ， 它在空间 ） 电子具有自旋角动量 任何方向上的投影只能取两个值： 上的投影只能取两个值 任何方向上的投影只能取两个值： 自旋磁矩， （ 2） 电子具有 自旋磁矩 ， 它与自旋角 ） 电子具有自旋磁矩 动量的关系为： 动量的关系为：
设原子磁矩为 M ，外磁场为 B ， 中的势能为： 原子在 Z 向外磁场 B 中的势能为：

《量子力学》课程18

《量子力学》课程18

自旋角动量的三个分量算符的平方之和，称 为自旋角动量平方算符即
ˆ ˆ S Sx
2
Sˆ Sˆ
2 2 y z
2
量子力学
二、电子自旋算符的本征值
由于
ˆ S
在空间中任一方向的投影只能 取 ，因此在任意选定 两个值 2 x, y, z ˆ 坐标后， S y , S z 的本征值都是 2 。 Sx, ˆ ˆ ˆ 2 , S 2 , S 2 的本征值都是 2 4 ，即 S ˆ ˆ
x y z
S
4 所以自旋角动量平方算符的本征值为
2 x
S
2 y
S
2 z


2
S
2
S S S
2 x 2 y
2 z

3 4

2
量子力学
ˆ 将自旋角动量平方算符 S 2 的本征值写为 2 2 的形式，则 s 1 S s ( s 1) 2 将上式与轨道角动量平方算符的本征值 2 2 L l ( l 1) 比较，可知 s 与角动量 量子数 l 相当，所以称 s 为自旋量子数。 但注意， s 只能取一个值，即 s 1 。 2 ˆ 同样,将 S z 的本征值写为 S z m S 的形 式，则可得自旋磁量子数 m S 1 。 2
)0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ y , z ] y z z y 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ z , x ] z x x z 0
ˆ
的各个分量之间满足反对易关系。 综上所述，可把泡利算符的代数性质总 结如下
量子力学
1、电子的自旋算符和自旋函数 2、两个角动量的耦合 3、全同粒子体系的波函数和泡利原理

第七章自旋与全同粒子lt

第七章自旋与全同粒子lt

第七章自旋与全同粒子lt部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑第七章例题剖析1求自旋角动量在任意方向[方向余弦是(cosα，cosβ，cosγ>]的投影的本征值和本征矢。

[解] 自旋算符的矩阵表示为令sn的本征矢为它必然是一个两行两列的矩阵，sn的本征方程为则就有不同时为零的条件是其系数行列式为零，即展开得：因此的本征值为下面求本征矢：<1）当时，即时，由①式得利用归一化条件<2）当时；利用归一化条件讨论：算符的本征值为，而z方向为空间的任意方向。

现在把z方向特别选为沿方向<这相当于作一个坐标旋转），则的本征值也应为。

另外我们知道，本征值和表象的先取无关。

这样选择并不影响结果的普遍性。

b5E2RGbCAP同理的本征值也都是。

我们也可以在为对角矩阵的表象中<表象）求本征矢。

显然这时的知阵为所以本征矢为注意到本征矢是随着表象选取的不同而改变的。

现在是在表象，而上面算出的表象，算出的结果应用所不同，这是合理的。

p1EanqFDPw2. 设两个自旋为3/2的全同粒子组成一个体系，求体系对称的自旋波函数有几个？反对称的自旋波函数有几个。

DXDiTa9E3d[解] 对于自旋为3/2的粒子，其自旋角动量沿某轴的分量可以取四个数值，即相应的波函数用表示。

则两个粒子组成体系的自旋波函数形式一般为。

当i=j时，构成对称波函数，有4个。

当i≠j时，其中也就是对称波函数，它有个而则是反对称波函数有6个。

故自旋为3/2的二个全同粒子可组成10个对称自旋波函数，6个反对称自旋波函数。

讨论：对子自旋为S的二个全同粒子组成的体系，对称自旋波函数共有<2S+1）<S+1）个。

反对称自旋波函数有<2S+1）S个。

RTCrpUDGiT3．求由三个相同中的玻色子组成的体系的所有可能状态。

[解] 可以分三种情况<1）三个粒子状态都相同，则组成对称波函数<2）三个粒子中有2个处于相同状态，另一个处于不同状态其中<3）三个粒子的状态都不相同，这时体系的波函数为其中申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

16第7章概念1-自旋角动量的本征_[1]...

16第7章概念1-自旋角动量的本征_[1]...

ℏ 同理， 同理，λ = − （自旋朝下 ）对应的归一化本征矢为 2 sin(θ / 2) ↓n = iϕ −e cos(θ / 2)
讨论： 讨论：
ˆ S S 1. S x、ˆ y、ˆ z的本征矢 ˆ 可取任意值， （1） S z ：θ = 0 ，ϕ 可取任意值，取 ϕ = 0 ，则本征矢为
e− iϕ sin θ − cos θ ˆ 的本征值 λ = λ ′ ℏ 满足久期方程 Sn 2 ℏ cos θ = iϕ 2 e sin θ
解得
a ℏ 自旋朝上） 设 λ = （自旋朝上）对应的归一化本征矢为 ↑ n = ，则 2 b
ℏ cos θ − λ ′ e− iϕ sin θ =0 iϕ 2 e sin θ − cos θ − λ ′ ℏ λ=± λ ′ = ±1 2
ˆ χ 1 ( S ) = ℏ 0 −i 1 = ℏ 0 = i ℏ χ ( S ) Sy z z −1 2 2 i 0 0 2 i 2 2 ℏ 0 −i 0 ℏ −i = −i ℏ χ ( S ) ˆ 1 S y χ− 1 (S z ) = z = 2 0 2 2 2 2 i 0 1
θ
2
和 sin
2
θ
2
。
的概率： 也可以采取下面的办法求 S z = ±ℏ / 2 的概率：
S z = ±ℏ / 2 的概率分别为
Pz (↑) = ↑ z ↑n
2
cos(θ / 2) 2θ = (1 0 ) iϕ = cos 2 e sin(θ / 2)
2
Pz (↓) = ↓ z ↑n
第七章
一、自旋角动量 1.电子自旋角动量算符 实验测得： 实验测得： S n = ±ℏ / 2
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3．了解简单塞曼效应的物理机制
4．了解 耦合的概念及碱金属原子光谱双线结构的物理解释。
5．全同粒子的基本概念，全同性质理，波函数的交换对称性。
6．全同粒子的分类
7．全同粒子体系的波函数，包括两个全同粒子体系的波函数，N个全同粒子体系的波函数。
8．两个电子的自旋函数
教
学
重
点
重点：电子自旋的描述；包括自旋函数、自旋算符及其矩阵形式，泡利算符及泡利矩阵形式，它们的对易关系和反对易关系，本征值和本征函数
6．全同粒子体系的波函数和泡利不相容原理；
7．两自旋体系的波函数；氢原子；促氦和正氦。
学
生
作
业
课后第212-213页第1、6题
教
书
育
人
方பைடு நூலகம்
式
讲授与课堂讨论相结合
备
注
难点：用电子自旋的理论解释原子光谱现象
教
学
方
法
在采用的教学
手段中：打（√）
课堂讲授
√
使用教模（具）
挂图
参观
现代化手段
幻灯机
投影仪
电视录像
多媒体
√
CAI情况
软件名称
上机学时
教
学
内
容
1．电子自旋的实验事实；
2．自旋算符和自旋波函数；
3．简单塞曼效应及其解释；
4． 耦合和精细结构的物理机制。
5．全同粒子的不可区分性原理，玻色子和费米子概念；
南华大学课程教案
课程名称：量子力学与电动力学授课教师：路兴强
量子力学部分
章次名称
第七章自旋和全同粒子
授课学时
总学时：6课堂讲授：6实验：上机：
教
学
目
的
1．了解斯特恩-格拉赫实验，电子自旋回转磁比率与轨道回转磁比率。
2．掌握自旋算符的对易关系和自旋算的矩阵形式（泡利矩阵），与自旋相联系的测量值、概率、平均值等的计算以及本征值方程和本征函数的求解方法。