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16第7章概念1-自旋角动量的本征_[1]...

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粒子物理学中的粒子自旋与角动量

粒子物理学中的粒子自旋与角动量

粒子物理学中的粒子自旋与角动量粒子自旋是粒子物理学中的一个重要概念，与粒子的角动量密切相关。

在本文中，我们将探讨粒子自旋的基本原理以及其在角动量守恒中的作用。

一、自旋的概念自旋是粒子的一种内禀性质，它不同于经典物理学中的角动量。

自旋可以简单地理解为粒子固有的旋转动量。

与经典物体的旋转不同，自旋是量子力学中的一种离散值，常用自旋量子数（spin quantum number）来描述。

二、自旋与角动量的关系在经典物理学中，角动量是由物体的质量分布以及其绕轴转动的速度和半径决定的。

但在量子力学中，粒子被认为是点状的，没有具体的质量分布和形状。

因此，经典物理学中的角动量的定义无法适用于量子体系。

取而代之的是自旋，它是粒子自身的属性，与其构成物质的基本粒子的性质有关。

三、自旋的测量自旋可以在特定方向上进行测量，如自旋在z方向上的投影。

根据量子力学的原理，自旋的测量结果只能是+1/2或-1/2，分别代表自旋向上和向下的态。

自旋测量的结果并不是一开始就确定的，而是遵循概率分布。

换句话说，自旋在某个方向上的投影有一定的概率是+1/2，另一部分概率是-1/2。

四、自旋与角动量守恒自旋与角动量守恒是粒子物理学中的基本原理。

根据角动量守恒定律，一个封闭系统的总角动量保持不变。

自旋是粒子的内禀属性，不受外界力的作用而改变。

因此，自旋是角动量守恒的一种表现形式。

五、自旋的应用自旋在粒子物理学中有广泛的应用。

在核磁共振成像（MRI）中，自旋的概念被用于解释磁共振现象的产生和信号的获取。

此外，自旋也用于解释元素的磁性质和物质的电子结构等领域。

六、自旋的研究进展自旋作为一个重要的概念在粒子物理学中得到了广泛的研究。

科学家们通过实验证明了自旋的存在，并进一步研究了自旋与其他物理量的关系，如自旋与磁矩之间的联系。

七、总结粒子自旋是粒子物理学中的一个重要概念，它与角动量密切相关。

自旋是粒子的内禀属性，描述了粒子固有的旋转动量。

自旋与角动量守恒有着密切的联系，自旋的测量结果遵循概率分布。

研究量子力学中的自旋与角动量

研究量子力学中的自旋与角动量

研究量子力学中的自旋与角动量自旋与角动量在研究量子力学中扮演着重要的角色。

通过对自旋和角动量的深入研究，我们能够更好地理解量子世界中的基本粒子行为以及它们与物质之间的相互作用。

本文将探讨自旋和角动量的概念、性质以及它们在量子力学中的应用。

自旋是微观粒子（如电子、中子和质子）固有的一种内禀性质，类似于物体的自旋。

然而，自旋并非描述粒子绕某一轴旋转的运动，而是描述粒子与旋转对称性相关的量。

自旋的值可以是1/2（电子）或1（质子和中子），表示自旋的量子数。

自旋具有两个可能的状态，即向上自旋和向下自旋，代表粒子自旋在某一方向上的定向。

角动量是描述物体旋转运动的物理量，在经典力学中可以通过物体的旋转质量、角速度和旋转半径计算得到。

然而，在量子力学中，角动量的概念有所不同。

量子力学中的角动量是由自旋和轨道角动量组成的，且具有离散的能级。

角动量的量子数可以是整数或半整数，分别对应于玻尔原子模型中的主量子数、角量子数和磁量子数。

自旋和角动量在量子力学中具有一些共同的性质。

首先，它们都是量子态的基本属性，可以用算符来描述。

其次，自旋和角动量之间存在量子态的耦合关系，使得它们的取值受到一定的限制。

例如，自旋和角动量的大小不能随意取值，而是受到一定规则的约束。

此外，自旋和角动量对应的角动量算符之间存在一系列的对易关系，这对于解析量子力学中的问题非常重要。

自旋和角动量在量子力学中有着广泛的应用。

首先，自旋和角动量的存在解释了许多原子和分子的性质，如电子的稳定轨道和磁性质。

其次，自旋和角动量的概念也被应用于粒子物理学中，帮助我们理解基本粒子的行为以及它们之间的相互作用。

此外，自旋和角动量还与能量级和波函数的形式相关联，为量子力学提供了重要的理论基础。

总之，自旋和角动量是研究量子力学的重要概念。

通过对自旋和角动量的研究，我们能够深入理解微观世界中的基本粒子行为，并将其应用于各个领域中。

对于未来的研究来说，我们还需要进一步探索自旋和角动量的性质以及它们在更深层次上的意义，这将进一步推动我们对量子世界的认识和理解。

量子力学中的自旋与角动量

量子力学中的自旋与角动量

量子力学中的自旋与角动量量子力学是描述微观粒子行为的理论，其研究范围包括自旋和角动量等重要概念。

自旋是微观粒子固有的量子性质，而角动量是用来描述一个物体旋转的物理量。

本文将介绍自旋和角动量的基本概念及其在量子力学中的应用。

一、自旋的概念自旋是量子力学的基本概念之一，它是微观粒子固有的角动量，与粒子的运动无关。

自旋可以用一个量子数s来描述，通常以1/2、1、3/2等分数或整数表示。

自旋与角动量一样，也有量子化的特性，只能取离散的值。

二、自旋的性质自旋具有以下几个重要性质：1.自旋矩阵：自旋矩阵是描述自旋的数学工具，常用的有泡利矩阵。

泡利矩阵可以用来计算自旋在不同方向上的投影，从而得到自旋的各种性质。

2.自旋态：自旋态描述了一个粒子的自旋状态，可以用自旋向上和向下的态来表示。

对于自旋1/2的粒子，自旋态可以用|↑⟩和|↓⟩来表示。

3.自旋的测量：自旋可以通过测量来确定其具体的值，但每次测量只能获得自旋在某个方向上的投影。

4.自旋的相对性：自旋具有相对性，即两个处于任意状态的自旋粒子相互作用后，它们的自旋状态会发生纠缠，并呈现出非经典的量子特性。

三、角动量的概念角动量是物体围绕某一点旋转时的物理量，它是描述物体旋转运动的基本概念。

在量子力学中，角动量的取值也是量子化的，用一个量子数j来表示。

角动量的量子数j通常是整数或半整数。

四、角动量的性质角动量的性质与自旋有一些相似之处，例如：1.角动量矩阵：角动量矩阵由角动量算符表示，用于计算角动量在不同方向上的投影。

常用的角动量算符有Pauli算符和升降算符等。

2.角动量态：角动量态描述了一个粒子的角动量状态，可以用角动量的投影量子数来表示。

对于自旋j的粒子，角动量态可以用|j, m⟩来表示，其中m表示角动量在某个方向上的投影量子数。

3.角动量的测量：角动量的测量也只能获得在某个方向上的投影量子数，具体的角动量大小不能被直接测量。

4.角动量的量子力学运算：角动量的量子力学运算与自旋类似，它可以进行叠加、投影等运算。

角动量的本征值和本征态

角动量的本征值和本征态

究量子测量和量子态的演化。
在原子和分子物理中的应用
电子轨道角动量
在原子和分子物理中，电子绕原 子核运动的轨道角动量决定了电
子云的形状和取向。
原子光谱
角动量本征值的差异导致原子能级 的分裂，从而形成原子光谱的精细 结构。
分子振动与转动
分子的振动和转动模式与角动量密 切相关，角动量本征值和本征态有 助于理解分子的振动和转动能级。
矩阵对角化法
对于较复杂的系统，可以通过构造角动量算符的矩阵表示，并利用矩阵对角化方法求解本征值和本征态。这种方法适 用于有限维空间中的角动量算符。
微扰法
当系统受到微扰时，可以利用微扰理论求解角动量算符的本征值和本征态。这种方法适用于微扰较小且 基态已知的情况。
本征态的物理意义
01
角动量本征态描述了物体绕某点旋转的量子化状态。不同的本征态对应不同的 旋转状态，具有不同的角动量大小和方向。
角动量的本征值和本 征态
目录
• 引言 • 角动量的本征值 • 角动量的本征态 • 角动量本征值和本征态的应用 • 角动量本征值和本征态的实验研究 • 结论和展望
01
引言
角动量的定义和性质
角动量是一个物体绕着某点旋转时所具有的动量，它是一个矢量，其方向垂直于旋 转平面，大小等于物体的质量与其到旋转中心的距离和角速度的乘积。
在固体物理中的应用
晶体对称性
固体物理中，晶体的对称性与角动量密切相关，角动量本征态可用于描述晶体的对称性质。
磁性与自旋
固体中的磁性现象与电子自旋密切相关，自旋是角动量的一种表现。角动量本征值和本征态在研 究固体磁性时起到重要作用。
能带结构与电子输运
在固体物理中，角动量影响电子在晶体中的运动，从而影响固体的能带结构和电子输运性质。

量子力学中的自旋与角动量

量子力学中的自旋与角动量

量子力学中的自旋与角动量自旋是量子力学中的一种特殊的角动量概念，它与经典物理学中的角动量有着本质的区别。

在这篇文章中，我们将探讨自旋与角动量在量子力学中的重要性和应用。

一、自旋的基本概念在量子力学中，自旋被认为是粒子固有的一种属性，类似于粒子的“自旋轴”。

粒子的自旋可用一个量子数s来描述，s取值为正整数或半整数。

例如，电子的自旋量子数s为1/2，而光子的自旋量子数s为1。

二、自旋与角动量的关系自旋与经典物理学中的角动量有着密切的联系，但两者又存在本质的差异。

在经典物理学中，角动量是由物体的质量、速度和位置确定的，而在量子力学中，自旋的取值是量子化的，只能取特定的离散值。

三、自旋与角动量算符在量子力学中，我们用算符来描述物理量，自旋也不例外。

自旋算符由自旋矩阵构成，可以对自旋态进行操作。

自旋算符有许多重要的性质，例如自旋算符的平方可以取到确定的数值，但自旋算符的各个分量之间不对易。

四、自旋的测量在量子力学中，测量自旋需要将自旋与其他物理量进行耦合，从而导致自旋态的坍缩。

自旋测量的结果只能是自旋量子数的某个特定取值。

例如，对于自旋量子数为1/2的电子，测量结果只能是上自旋态或下自旋态。

五、自旋的应用自旋在量子力学中有着广泛的应用。

例如，在核磁共振成像中，利用自旋角动量的性质可以对人体内部进行非侵入性的成像。

此外，自旋还与粒子的统计行为密切相关，对于费米子和玻色子有不同的统计行为规律。

结论自旋是量子力学中一项重要且特殊的概念，它与经典物理学中的角动量有着本质的区别。

自旋以量子化的方式存在，与角动量算符相关联，并在量子力学的研究和应用中起着重要的作用。

了解自旋的性质和应用，有助于深入理解量子力学的基本原理和现象。

自旋角动量算符

自旋角动量算符

自旋角动量算符自旋角动量算符是量子力学中一个重要的概念，它与自旋角动量密切相关。

在原子物理、分子物理、凝聚态物理等领域有着广泛的应用。

本文将从自旋角动量的概念入手，介绍自旋角动量算符的定义、性质以及在量子力学中的应用，并探讨与其他算符的关联与作用。

首先，我们来了解一下自旋角动量的概念。

自旋角动量是描述粒子（如电子、质子等）自旋性质的物理量。

它在空间中的三个分量分别为sx、sy、sz，分别表示粒子在x、y、z方向上的自旋角动量。

自旋角动量的引入，使得量子力学中的角动量运算更加丰富，也为描述粒子在磁场中的行为提供了有力工具。

接下来，我们介绍自旋角动量算符。

自旋角动量算符是在量子力学中用于操作自旋角动量的算符，通常表示为S。

S包括三个分量：Sx、Sy、Sz，分别对应x、y、z方向的自旋角动量。

自旋角动量算符满足如下性质：1.平方为identity operator：Sx^2 = Sy^2 = Sz^2 = I，其中I为identity operator，表示单位算符。

2.反对称性：Sx*Sy = Sy*Sx = 0，表示自旋角动量在x、y方向上的分量相互垂直。

3.满足旋量守恒定律：Sz + S^-1z = 0，其中S^-1表示S的逆算符。

在量子力学中，自旋角动量算符有着广泛的应用。

例如，在计算粒子在磁场中的能量时，可以使用自旋角动量算符与磁场算符的乘积来表示。

此外，自旋角动量算符还可以用于描述粒子的自旋极化现象、研究核磁共振等领域。

自旋角动量算符与其他算符密切相关。

例如，与轨道角动量算符、库仑算符等有密切关联。

在实际应用中，自旋角动量算符与其他算符的组合使用，可以更加全面地描述粒子的性质和行为。

总之，自旋角动量算符是量子力学中一个重要的概念，它丰富了角动量运算的内涵，并为描述粒子在磁场中的行为提供了有力工具。

在实际应用中，自旋角动量算符与其他算符的组合使用，有助于深入研究粒子的性质和行为。

第7章 角动量 ppt课件

R多电子原子的量子数 R光谱项及其应用
ppt课件
15
一、多电子原子的量子数
1.总轨道角量子数L
单电子轨道角动量
M l(l 1)
原子的总轨道角动量 ML ML L(L 1)
总轨道角量子数
L l1 l2 lN , l1 l2 lN 1, l1 l2
总自旋角动量在外磁场方向的分量
M Sz mS
N
总自旋磁量子数 mS msi i 1
共有2S＋1个取值：S、S－1、S－2、…、－S
ppt课件
19
3. 总角量子数J
原子中各电子的轨道角动量和自旋角动量相互作用，得到一个 总的角动量。两种耦合方式： j－j耦合。先将每个电子的轨道角动量和自旋角动量耦合得到 该电子的总角动量，然后将各电子的总角动量再耦合得到原子 总角动量。 L－S耦合。将各电子的轨道角动量和自旋角动量分别耦合得 到原子总的轨道角动量和总的自旋角动量，两者再耦合得到原 子总角动量。
???yzxllil????zxyllil?????????????????????????????????????2222xxyzx222xxyxzx22yxzxyyxyxyzzxzxzyzzyzyyzlllllllllllllllllllllllllllllllllllliiii0??????????????????????????????????????????????????????????????8同样我们还可以求得
N
最小值为0或 li 的最小正值 i
ppt课件
lN 2,
16
单电子轨道角动量在外磁场方向上的分量
Mz m 原子总轨道角动量在外磁场方向上的分量

量子力学第七章自旋

第七章自旋与角动量7．1电子的自旋许多实验事实都证明电子具有自旋。

下面叙述的斯特恩革拉赫（Stern —Gertach ）实验就是其中的一个，实验示意图如下：在上图中，K 为基态氢原子源，氢原子自K 射受狭缝BB 的控制而成为扁平细束，然后通过不均匀磁场而射到照相底片PP 上，实验结果是照相底片上出现两条分列的线。

这说明了两个问题：（a ）氢原子具有磁矩。

由于实验中的氢原子处于基态（IS 态），角量子数 =0,即轨道角动量为零。

而由第二章习题15可知，轨道磁矩为：L e M Lμ2-= （7.1-1）所以轨道磁矩也为零；同时原子核（质子）的固有磁矩应很小，所以氢原子中的电子具有固有磁矩，即自旋磁矩。

（6）电子的自旋矩在磁场中只有两种取向，也就是说是空间取向量子化的。

如果没电子的自旋磁矩为 ，处磁场 同子轴正方向，则基态氢在处磁场中的势能为：θcos B M B M U s S -=⋅-=风基态氢原子在沿子轴方向所受的力为：θξξcos ∂∂=∂∂-=BM U F s y 如果s M可取任何方向，则cos θ应当可能从+1到-1到连续变化，在照相底片上应该得到一条连续的带，但实验结果只有两条分立的线，时京应于cos θ=+1和-1，可见s M的空间取向是量子化的。

应用分辨率较高的分光镜或摄谱仪可以观察到钠原子光谱中2P →1S 的谱线是由两条靠得很近的谱线组成的;其他原子光谱中也存在双重线或多重线结构，这种结构称为光谱线的精细结构，只有考虑了电子 的自旋，光谱线的精细结构才能得到解释。

鸟伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱（Goudsmit ）为了解释上述现象，在1925年提出了下面的假设：（1）每个电子具有旋角动量S，它在任何方向（z 轴）上的投影只能取两个值：2hS z = （7.1-2）（2）每个电子具有自旋磁矩s M，它和S 的关系是：s M =—S me（7.1-3）其中-e 为电子的电荷，m 为电子的质量。

量子力学中的自旋与角动量

量子力学中的自旋与角动量量子力学是一门研究微观世界的学科，而自旋和角动量则是量子力学中的重要概念。

自旋和角动量既有相似之处，又有不同之处，它们的理解对于揭示微观粒子的性质和行为具有关键意义。

自旋是粒子的一种内禀属性，类似于粒子的旋转。

然而，与经典物体不同的是，自旋并不涉及围绕轴旋转的运动，而是一种量子性质。

自旋的取值只能为整数或半整数，如1/2, 1, 3/2等，而不能是任意实数值。

这种离散的取值反映了量子力学的本质，并且也是自旋与角动量之间区别的重要特征。

角动量则是描述粒子运动状态的物理量。

在经典物理中，角动量可由粒子的质量、速度和距离确定。

然而，在量子力学中，角动量的取值并不与运动的物理量直接相关，而是表征量子态的性质。

量子力学中的角动量可以分为轨道角动量和自旋角动量两部分，其中轨道角动量描述粒子围绕某一中心旋转的性质，而自旋角动量则是揭示粒子自身旋转性质的重要指标。

自旋和角动量之间的联系可以通过双重唯象性来理解。

在量子力学中，粒子的本征态可以用波函数表示，在这种波函数描述下，自旋和角动量可以被视为对称和反对称的组合。

例如，两个相同自旋的粒子的总自旋可以是1或0，分别对应于对称和反对称波函数。

这种对称性和反对称性也可以通过角动量的加法原理来解释，即两个自旋相加的结果可以是自旋1或自旋0的态。

自旋和角动量在实际应用中扮演着重要的角色。

例如，在原子物理中，自旋和角动量可以通过精细结构和超精细结构等现象来解释。

此外，在核物理和高能物理领域，自旋和角动量的概念也有着重要的应用。

例如，在核磁共振技术中，自旋的概念被用于解释核磁共振信号的产生机制和现象。

值得一提的是，自旋和角动量的研究不仅仅局限于理论上的探讨，还包括实验上的测量和观察。

实际上，粒子自旋和角动量的测量是一个相对复杂的过程，需要借助于粒子的相互作用和测量装置的设计。

通过精确的实验测量，科学家们得以进一步验证量子力学中的自旋和角动量理论，并发展出了许多基于这些概念的实际应用。

量子力学的自旋与角动量

量子力学的自旋与角动量量子力学是描述微观世界最基本的理论之一，它涉及到许多奇特且难以理解的现象。

其中之一就是自旋和角动量的概念，它们在量子力学中起着重要的作用。

本文将探讨自旋和角动量的定义、性质以及它们在物理学中的应用。

一、自旋的定义与性质自旋是描述微观粒子内禀旋转的概念，它与经典物理学中的角动量有所不同。

自旋是量子力学的基本概念之一，它没有经典物理学中的经典对应物。

自旋的大小以及取向由一个量子数来描述，通常用s表示，它可以是整数或者半整数。

自旋的取值通常为s=0、1/2、1、3/2等。

自旋具有以下一些重要性质。

首先，自旋是一个内禀的性质，与空间方向无关。

其次，自旋不同于经典物理中的旋转，它是一种纯粹的量子性质，不能用经典的图像来描述。

最后，自旋是许多重要效应的基础，如泡利不相容原理和磁性现象。

二、角动量的定义与性质角动量是描述物体旋转状态的物理量，它包括轨道角动量和自旋角动量两部分。

轨道角动量是由物体围绕某一轴进行转动而产生的，而自旋角动量是由物体内部的自旋旋转而产生的。

在经典物理学中，角动量是一个矢量量，具有大小、方向和旋转性质。

在量子力学中，角动量的定义与经典物理学有所不同。

量子力学中的角动量是由对应的算符来描述的，其中包括了轨道角动量算符和自旋算符。

这两个算符的本征值与对应的物理量有关，比如角动量大小和取向。

量子力学中的角动量算符满足一系列的代数性质，如对易关系和角动量的叠加原理。

三、自旋和角动量的应用自旋和角动量在物理学中有许多重要的应用。

首先，自旋和角动量是理解原子结构和电子行为的关键概念。

例如，通过自旋量子数可以解释为什么氧原子的基态是一个三重态，而利用轨道角动量可以解释原子光谱的特征。

此外，自旋和角动量还在核物理、粒子物理以及凝聚态物理等领域中得到广泛的应用。

在核物理中，角动量的守恒定律是解释核衰变和核反应的基础。

在粒子物理中，自旋被用来标记基本粒子的性质，如费米子具有半整数自旋，玻色子具有整数自旋。

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a + b =1
2 2
比如： 比如：
1 1 1 1 1 0 1 ↑z + ↓z ↑x = = + = 2 1 2 0 2 1 2 1 1 1 1 1 0 1 ↑z − ↓z ↓x = = − = 2 −1 2 0 2 1 2 1 1 1 1 1 0 1 ↑z + i ↓z ↑y = i = = + 2 i 2 0 2 1 2 1 1 1 1 1 0 1 ↑z − i ↓z ↓y = i = = − 2 −i 2 0 2 1 2
χ (S z ) = ↑ z
1 2
1 = 0
χ− (Sz ) = ↓z
1 2
0 = 1
ˆ ϕ （2） S x：θ = π / 2 ， = 0 ，则
χ (S x ) = ↑ x
1 2
1 1 = 2 1
χ − (S x ) = ↓x
1 2
1同理，λ = − （自旋朝下 ）对应的归一化本征矢为 2 sin(θ / 2) ↓n = iϕ −e cos(θ / 2)
讨论： 讨论：
ˆ S S 1. S x、ˆ y、ˆ z的本征矢 ˆ 可取任意值， （1） S z ：θ = 0 ，ϕ 可取任意值，取 ϕ = 0 ，则本征矢为
2
表示t时刻自旋朝下的电子在全空间出现的概率 时刻自旋朝下的电子在全空间出现的概率。 ∫ ψ 2 dτ 表示 时刻自旋朝下的电子在全空间出现的概率。
2
ϕ1 ( r , t ) 设Φ(r , S z , t ) = ϕ (r , t ) 是电子的另一个态函数，则 是电子的另一个态函数， 2
··· ···
··· ··· ··· ···
二、自旋角动量的本征值和本征矢
ˆ S 沿空间任意方向上的分量为 S n = ±ℏ / 2 。
任意方向上的单位矢量为
n = sin θ cos ϕ i + sin θ sin ϕ j + cos θ k
ˆ S 在 n 方向上的投影为 ˆ ˆ = S ⋅ n = ℏ σ ⋅ n = ℏ (σ x nx + σ y n y + σ z nz ) ˆ ˆ ˆ Sn ˆ 2 2 0 −i 1 0 ℏ 0 1 = sin θ cos ϕ + sin θ sin ϕ + cos θ 2 1 0 i 0 0 −1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [σ x , σ y ] = σ xσ y − σ yσ x = 2iσ z
2 ˆ x = σ y = σ z2 = 1 ˆ2 ˆ σ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [σ x , σ y ]+ = σ xσ y + σ yσ x = 0 ˆ ˆ ˆ σ xσ y = iσ z ˆ ˆ ˆ ˆ σ xσ yσ z = iσ z2 = i
1 χ 1 (Sx ) = χ 1 (S z ) + χ − 1 (S z ) 2 2 2 2 1 χ− 1 (Sx ) = χ 1 (S z ) − χ − 1 (S z ) 2 2 2 2 χ 1 (S ) = 1 χ 1 (S ) + iχ 1 (S ) z z −2 2 y 2 2 χ 1 (S y ) = 1 χ 1 (Sz ) − iχ 1 (Sz ) −2 −2 2 2
e− iϕ sin θ − cos θ ˆ 的本征值 λ = λ ′ ℏ 满足久期方程 Sn 2 ℏ cos θ = iϕ 2 e sin θ
解得
a ℏ 自旋朝上） 设 λ = （自旋朝上）对应的归一化本征矢为 ↑ n = ，则 2 b
ℏ cos θ − λ ′ e− iϕ sin θ =0 iϕ 2 e sin θ − cos θ − λ ′ ℏ λ=± λ ′ = ±1 2
ϕ1 * ψ Φdτ = ∫ (ψ ,ψ ) dτ = ∫ ψ 1*ϕ1 +ψ 2ϕ2 dτ ∫ ϕ2
+ * 1 * 2
注意：在综合计算电子的态函数的归一化与内积时， 注意：在综合计算电子的态函数的归一化与内积时，分别对其 自旋空间部分进行矩阵运算，对其坐标空间部分运用积分运算， 自旋空间部分进行矩阵运算，对其坐标空间部分运用积分运算，便 能得到完整结果。 能得到完整结果。 ˆ 为自旋算符的任意函数，写成矩阵形式为G = G11 G12 ， 若 G为自旋算符的任意函数， G G22 21 则它在 ψ 态中的平均值 （1）若对自旋求平均 G G12 ψ 1 + * * 11 G = ψ Gψ = (ψ 1 ,ψ 2 ) G21 G22 ψ 2 （2）若对坐标和自旋同时求平均
或
ˆ σ x ˆ σ x ˆ σ y σ ˆy
+ = − − = + + =i− − = −i +
或
ˆ σ xα = β
ˆ σ xβ = α
ˆ σ yα = i β
ˆ σ y β = −iα
以上关系也可以从升降算符推得， 以上关系也可以从升降算符推得，例如
ˆ S+
ˆ S−
1 2
1 2
ψ 1 表示 时刻自旋朝上的电子在 r 处出现的概率密度； 表示t时刻自旋朝上的电子在 处出现的概率密度； 2 ψ 2 表示 时刻自旋朝下的电子在 r 处出现的概率密度； 表示t时刻自旋朝下的电子在 处出现的概率密度；
2
式中
表示t时刻自旋朝上的电子在全空间出现的概率； 时刻自旋朝上的电子在全空间出现的概率 ∫ ψ 1 dτ 表示 时刻自旋朝上的电子在全空间出现的概率；
ˆ σ x χ 1 ( S z ) = χ − 1 ( S z ) 2 2 ˆ σ x χ − 1 ( S z ) = χ 1 ( S z ) 2 2 ˆ σ y χ 1 ( S z ) = iχ − 1 ( S z ) 2 2 ˆ σ y χ − 1 ( S z ) = −iχ 1 ( S z ) 2 2
显然
2
cos(θ / 2) 2θ = ( 0 1) iϕ = sin 2 e sin(θ / 2)
2
Pz (↑) + Pz (↓) = 1
ˆ S 3. S x 、ˆ y 对 χ ± 1 ( S z ) 的作用 2
ˆ χ 1 (S ) = ℏ 0 Sx z 2 2 1 ˆ χ 1 (S ) = ℏ 0 Sx − z 2 2 1 11 ℏ 0 ℏ = = χ − 12 ( S z ) 00 2 1 2 1 0 ℏ 1 ℏ = = 2 χ 1 ( S z ) 2 0 1 2 0
ℏ 0 1 Sx = 2 1 0
ℏ 0 −i Sy = 2i 0
ℏ 1 0 Sz = 2 0 −1
ˆ ℏ ˆ 令 S = σ ，则泡利算符的矩阵表示 2
0 1 0 −i 1 0 σx = σy = σz = 1 0 i 0 0 −1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ × σ = 2 iσ S × S = i ℏS 2.泡利矩阵的性质
cos θ iϕ e sin θ
所以
e− iϕ sin θ a a = − cos θ b b
a e−iϕ sin θ cos(θ / 2) = = iϕ b 1 − cos θ e sin(θ / 2)
↑n a cos(θ / 2) = = iϕ b e sin(θ / 2)
ˆ ϕ （3） S y ：θ = π / 2 ， = π / 2 ，则 1 1 1 1 χ− 1 (S y ) = ↓ y = χ 1 (S y ) = ↑ y = 2 2 i 2 −i 2
ˆ 2.任意方向上自旋态都可以用 S z的本征矢做展开
a 1 0 χ (S ) = = a + b = a χ 1 (S z ) + bχ − 1 (S z ) 2 2 b 0 1
或
或
σ x ˆ σ x ˆ ˆ σ y ˆ σ y
↑ = ↓ ↓ = ↑ ↑ =i↓ ↓ = −i ↑
或
ˆ 2 σ x 1 = − 1 2 1 1 ˆ σ x − 2 = 2 σy 1 =i − 1 2 ˆ 2 ˆ σ y − 1 = −i 1 2 2
第七章
一、自旋角动量 1.电子自旋角动量算符 实验测得： 实验测得： S n = ±ℏ / 2
自旋与全同粒子
由此得
ℏ Sx , S y , Sz = ± 2 3 2 11 2 2 2 2 2 S = S x + S y + S z = ℏ = + 1 ℏ 4 22 1 ms = ±1/ 2 s= 2 ˆ ˆ 表象下， ˆ S S 在 S z 表象下，S x 、 y 、 z 的矩阵表示分别为
1 2
ˆ ˆ = ( S x + iS y )
1 2
=0
ˆ ˆ = ( S x − iS y )
= ( s − m + 1)( s + m)ℏ − 1 = ℏ − 1 2 2
ˆ Sx
ˆ Sy
1 2
二式相加， 二式相加，得 二式相减， 二式相减，得
1 2
ℏ 1 = −2 2 ℏ = i −1 2 2
三、电子态函数的普遍形式 写电子的态函数时，既要考虑其坐标，又要考虑其自旋。 写电子的态函数时，既要考虑其坐标，又要考虑其自旋。 表象中， 在 S z 表象中，电子总的态函数可以写为 ℏ ℏ ψ (r , S z , t ) = ψ 1 r , , t +ψ 2 r , − , t = ψ 1 (r , t ) χ 12 ( S z ) +ψ 2 (r , t ) χ − 12 ( S z ) 2 2 1 0 ψ 1 (r , t ) = ψ 1 (r , t ) +ψ 2 (r , t ) = 0 1 ψ 2 (r , t ) 若ψ (r , S z , t )已归一化，则 已归一化， ψ * * 1 + ψ 1 2 + ψ 2 2 dτ = 1 ∫ψ ψ dτ = ∫ (ψ 1 ,ψ 2 ) ψ 2 dτ = ∫