图像压缩编码

Discussion on Wavelet B ases Selection for Digital Image Compression

H AN Fang2f ang,XU Shuang,ZHENG De2zhong

(College o f Electric Engineering,Yanshan Univer sity,Qinhuangdao Hebei066004,China)

Abstract:　This paper studies the selection of optimal wavelet bases.The merits of biorthog onal spline wavelets are dis2 cussed and dem onstrated.C ontinuity of spline derivatives assures wavelets sm ooth and symmetry of biorthog onal wavelets makes the filters have linear phase.Those features can reduce distortion and guarantee the reconstructed images quality. K ey w ords:　Optimal wavelet bases;Image com pression;S pline wavelets;Biorthog onal wavelets

关于数字图像压缩中小波基选择问题的探讨①

韩芳芳,徐　爽,郑德忠

(燕山大学,电气工程学院,河北　秦皇岛　066004)

摘要:针对数字图像压缩编码中最优小波基的选择问题,论证了双正交样条小波基的优点,并对其进行了推导。样条小波的导数连续性保证了小波基的光滑性,双正交对偶小波的对称性使得滤波器具有线性相位,可减小失真,保证重构图像的质量。

关键词:最优小波基;图像压缩;样条小波;双正交小波

中图分类号:T N919 文献标识码:A 文章编号:1004-1699(2004)01-0154-04

图像是人类感知信息的重要途径之一。然而图像经过采样及量化编码后数据量巨大,给传输与存储带来很多困难,因而需要对图像数据进行有效的压缩。在F ourier分析基础上发展起来的小波分析,提供了一种自适应的时域和频域同时局部化的分析方法,通过伸缩和平移等运算功能进行多尺度细化分析,能够有效地从信号中提取信息。小波分析用于数字图像压缩,压缩比高,压缩速度快,压缩后信号与图像的特征不变,且在传递过程中可以抗干扰。因此小波分析成为数字图像处理及压缩编码的有力工具。

如何选择最优小波基是图像压缩编码中所面临的一个棘手问题。对于图像信号而言,一方面要对巨大的数据量进行有效压缩,另一方面,要保持重建图像的质量满足视觉要求。小波基的选择存在一些标准,如平滑性、逼近精度、支撑大小和滤波频率等,如何最佳的组合这些特征是一个难点所在。

1　小波基的选择问题

如何最合理、快速的选择小波基,目前这方面的研究并无定论。在小波基的选择中,一般较为看重以下几方面:

平滑性与消失矩。消失矩表明了小波变换后的能量集中程度,消失矩阶数很大时,精细尺度下的高频部分数值有许多是小得可以忽略的(奇异点除外)[1]。从重构图像质量角度而言,平滑性的影响要

2004年3月 传　感　技　术　学　报 第1期

①收稿日期:2003211210

作者简介:韩芳芳(1978-)女,硕士研究生,主要研究方向为视频信号压缩编码;

徐　爽(1978-)女,硕士研究生,主要研究方向为信号处理与语音编码;

郑德忠(1952-)男,教授,博士生导师,河北省人工智能学会副理事长,中国电子协会高级会员,主要从事信号 处理和先进控制等方面的研究工作,已在国内外发表论文50余篇。qhdzdz@.

高于消失矩。例如Haar 小波基由于不连续,会造成恢复图像中出现方块效应,而采用其它平滑的小波基则会消除方块效应。在实际应用中,一般要选择具有平滑特性的小波基,同时,为了简化计算,只考虑一阶和二阶导数连续的小波基。在逼近理论框架下,样条小波非常适用于图像压缩编码。

正交性与对称性。用正交小波基由多尺度分解得到的各子带数据分别落在相互正交的子空间中,使各子带数据相关性减小。同时,在进行多分辨分析时,可以采用Mallat 快速算法,运算快捷简单,便于计算机处理。然而紧支撑的正交小波,除Haar 小波外,都不是对称的或反对称的。正交小波的对称与否意味着滤波器是否具有线性相位,如果滤波器具有线性相位,或者至少具有广义线性相位,就可以

避免失真[2]

。正交小波(除Haar 小波)情形的滤波器不具有线性相位,而样条小波的滤波器具有线性相位,因此可以用样条小波构造双正交小波。

此外,由于小波变换过程实际上是信号与滤波器卷积的过程,因此,滤波器的长度增加将导致卷积运算量增加;并且从边界延拓来看,滤波器长度越长,延拓的点数越多,造成图像恢复的失真也越大,应适中地选择滤波器长度。实验表明,选用B 小波基多构成的7/9双正交滤波器(7为低通滤波器长度,9为高通滤波器长度)用于图像压缩编码,图像有较好的重构效果。

表1列出了Haar 小波、Daubechies 小波和双正交样条小波几种性能的比较。

表1　三种小波性能的比较

性能

类型

Haar 小波

Daubechie

小波双正交样条

小波显式表达式有无有正交性有有无对称性有无有连续性无有有紧支撑

有

有

有

2　双正交样条小波函数及其滤器的推导

211　样条小波

样条小波由样条函数演化而来。样条函数

(S pline Function )是一类分段光滑又在各段交接处具

有一定光滑性的函数。因为它具有最小可能的支撑

区长度,在小波分析选择用基数B -样条(Cardinal B -S pline )函数,又便于算法的计算机处理和实时实现。

m 阶B -样条是Haar 尺度函数与其自身作m 次卷积运算后得到的函数,能够推导出较为简洁的递推公式。时域内:

N 1(t )=χ[0,1)(t )=

1,　0≤t <1

0,　其它

N m (t )=N m -1(t )3N 1(t )

=

∫

1

0N m -1

(t -τ)d τ,　m ≥2

有递推公式:

N m (t )=

t m -1

N m -1(t )+

m -t

m -1

N m -1(t -1)频域内

^N m (ω)=

1-e

-i

ωi

ωm

其尺度函数为

^φm (ω)=

^N m (ω)

∑

∞

k =-∞

|^N m (ω+2k

π)|2

1/2

由小波分解的双尺度差分方程

^φ(ω)=H ω2^

φω

2^ψ(ω)=G ω2^

φω

2

H (ω)G (ω)+H (ω+π

)G (ω+π)=0可以推导出样条小波的小波函数^ψ(ω)及其滤波器

H (ω)和G (ω)212　双正交小波

为了获得对称性的特性,我们可以双正交小波基[3]

。双正交小波是构造两个小波集{ψm ,n }与{ ψm ,n },使得函数或信号f (t )有如下展开式:

f (t )=

∑m

∑n

<

f ,ψm ,n > ψ

m ,n (t )或

f (t )=

∑m

∑n

<

f , ψm ,n >ψm ,n (t )

子波ψm ,n (t )=2

-m /2

ψ(2-m t -n )和

ψm ,n (t )=2-m /2 ψ(2-m

t -n )必须满足:

<ψm ,n , ψm ′,n ′>=δmm ’δnn ′

给定这样一个规范双正交集,可以构成相应的尺度函数{φm ,n }和{ φm ,n },使得

<φm ,n , φm ,n ′>=δnn ′

5

51第1期 韩芳芳,徐　爽,郑德忠等:关于数字图像压缩中小波基选择问题的探讨