上海工程技术大学2010-2011的高数试卷

《高等数学（工）2》期终试卷A一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处存在对,x y 的偏导数，则00(,)x f x y =（ B ）． （A ）00000(2,)(,)limx f x x y f x y x∆→-∆-∆ （B ）00000(,)(,)limx f x y f x x y x∆→--∆∆（C ）00000(,)(,)limx f x x y y f x y x∆→+∆+∆-∆ （D ）0000(,)(,)limx x f x y f x y x x →--2．已知(,)(1)arcsin f x y x y =+-1,12x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ B ）． （A ）2（B ）1（C ）8 （D ）153．设可微函数(,)f x y 在点00(,)x y 处取得极小值，则下列结论正确的是（ A ）． （A ）0(,)f x y 在点0y y =处的导数等于零 （B ）0(,)f x y 在点0y y =处的导数大于零 （C ）0(,)f x y 在点0y y =处的导数小于零 （D ）0(,)f x y 在点0y y =处的导数不存在 4．已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，则点P 的坐标是（ C ）． （A ）(1,1,2)-（B ）(1,1,2)-（C ）(1,1,2)（D ）(1,1,1)--5．设D 是由圆周224x y +=及y 轴所围成的右半闭区域，则积分2Dxy d σ=⎰⎰（ B ）．（A ）6315（B ）6415（C ）6515（D ）68156．设D 是xo y 平面上以点(1,1)A ，(1,1)B -，(0,0)O 为顶点的三角形闭区域；1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰（ A ）．（A ）12cos sin D x ydxdy ⎰⎰（B ）12D xydxdy ⎰⎰（C ）12(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰（D ）07．平面123y z x ++=被三坐标面所割出的有限部分的面积是（ D ）． （A ）4（B ）36（C ）9（D ）728．设Ω是由0x =，0y =，0z =以及21x y z ++=所围成的有界闭区域，且(,,)f x y z 在Ω上连续，则(,,)f x y z dv Ω=⎰⎰⎰（ B ）． （A ）111200(,,)x ydx dy f x y z dz --⎰⎰⎰（B ）11122000(,,)x x y dx dy f x y z dz ---⎰⎰⎰（C ）111(,,)dx dy f x y z dz ⎰⎰⎰（D ）111220(,,)y x y dx dz f x y z dy ---⎰⎰⎰9．设2222:x y z a ∑++=（0z ≥），1∑为∑在第一卦限中的部分，则有（ C ）． （A ）14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰（B ）14ydS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰（C ）14zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰（D ）14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰10．已知2()()x ay dx ydyx y +++为某个二元函数的全微分，则a 等于（ D ）．（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设向量(2,1,2)=a ，(4,1,10)=-b ，λ=-c b a ，且⊥a c ，则λ=____3_____． 12．设sin xyz e=，则dz =sin cos()()xyexy ydx xdy +； 13．设2sin xz ey y -=+，则2(0,)z x yπ∂=∂∂_______1___． 14．设y z x=，而t x e =，21ty e =-，则d z d t=ttee ---；15．交换积分122001(,)(,)yy dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰的次序为120(,)x xdx f x y dy -⎰⎰；16．设平面曲线L为下半圆周y =22()Lx y ds +=⎰π三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）． 17．求点(1,2,0)M -在平面:π210x y z +-+=上的投影． 过点(1,2,0)-垂直于平面210x y z +-+=的直线方程为12121x y z +-==-，……（2分）参数方程为1,22,x t y t z t =-=+=-代入平面方程得23t =，………………………（4分）所求投影为1102,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭…………………………………………………………………（6分） 18、设(,2,)z f x x y xy =-，f 可微，求z x∂∂，z y∂∂及dz ．1232z f f yf x∂'''=++∂，……………………………………………………………..………..（3分）23z f xf y∂''=-+∂，…..………..………..………..………..………..………..………....……（5分）()()122332dz f f yf dx f xf dy '''''=+++-+…………………………….……..……...……（6分）19．设(,)z z x y =由22z x z y y ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭所确定，其中ϕ为可微函数，求z x ∂∂，zy ∂∂． 解：设22(,,)z F x y z x z y y ϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，…………………………….………..……….（1分） 2x F x '=，2y z z z z z z F y y y y y y y ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=-⋅-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，122z z z F z y z y y y ϕϕ⎛⎫⎛⎫'''=-⋅=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………………..…..（4分）22z x xz ϕ∂=-'∂-…..………..………..………..………..………..………..………..……（5分）2z z yyz ϕϕϕ'+∂=-'∂-…………………………….……………………………………...……（6分）20．计算二重积分221Ddxdy x y++⎰⎰，其中D 是由曲线221x y +=所围成的闭区域．选择极坐标系，01:02r D θπ≤≤⎧⎨≤≤⎩…………………………………………………………（1分）221Ddxdyxy++⎰⎰2121r d dr rπθ=+⎰⎰………………………………………………………（3分）()1212ln 12rπ=+…………………………………………………………………………（5分）ln 2π=…………………………………………………………...…………………………（6分）21．计算二重积分()22max ,x yDedxdy ⎰⎰，其中:{(,)|01,01}D x y x y ≤≤≤≤．将积分区域分为1:{(,)|01,0}D x y x y x ≤≤≤≤，2:{(,)|0,01}D x y x y y ≤≤≤≤ ()()222212m ax ,m ax ,x yx yD D I edxdy edxdy =+⎰⎰⎰⎰……..………..………..…..…………………（2分）2212xyD D e dxdy e dxdy =+⎰⎰⎰⎰22110xyxydx e dy dy e dx =+⎰⎰⎰⎰……....………..…………（4分）221101xyxe dx ye dy e =+=-⎰⎰……..………..…………….……..………..……………（6分）22．计算三重积分22()x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z =及平面2z =所围成的闭区域．解：Ω在xo y 面上的投影区域22{(,)|2}xy D x y x y =+≤。

2010年高考上海理科数学试题及答案一、填空题（共13小题；共65分）1. 若复数z=1−2i，i为虚数单位，则z⋅z+z=．2. 动点P到点F2,0的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为．3. 行列式 \（\begin{vmatrix}{\sin \dfrac{\pi }{3}}&{\sin \dfrac{\pi }{6}} \\{\cos \dfrac{\pi }{3}}&{\cos \dfrac{\pi }{6}}\end{vmatrix} \）的值是．4. 圆C:x2+y2−2x−4y+4=0的圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=．5. 随机变量ξ的概率分布由下表给出：x78910Pξ=x0.30.350.20.15则该随机变量ξ的均值是．6. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在下边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入．7. 对于不等于1的正数a，函数f x=log a x+3的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标为．8. 从一副混合后的扑克牌（52张）中，随机抽取1张，事件A为"抽得红桃K "，事件B为"抽得黑桃"，则概率P A∪B=（结果用最简分数表示）．9. 在n行n列矩阵123⋯n−2n−1n234⋯n−1n1345⋯n12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n12⋯n−3n−2n−1中，记位于第i行第j列的数为a ij i,j=1,2,⋯,n ．当n=9时，a11+a22+a33+⋯+a99=．10. 将直线l1:nx+y−n=0，l2:x+ny−n=0n∈N∗，x轴，y轴围成的封闭区域的面积记为S n，则limn→∞S n=．11. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于点O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A B、C、D、O为顶点的四面体的体积是．12. 如图所示，直线x=2与双曲线Γ:x24−y2=1的渐近线交于E1、E2两点，记OE1=e1，OE2=e2，任取双曲线Γ上的点P，若OP=ae1+be2a,b∈R，则a、b满足的一个等式是．13. 从集合U=a,b,c,d的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）∅,U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或A⊇B．那么，共有种不同的选法．二、选择题（共4小题；共20分）14. " x=2kπ+π4k∈Z "是" tan x=1 "成立的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15. 直线l的参数方程是x=1+2ty=2−t t∈R，则l的方向向量d可以是 A. 1,2B. 2,1C. −2,1D. 1,−216. 若x0是方程12x=x13的解，则x0属于区间 A. 23,1 B. 12,23C. 0,13D. 13,1217. 某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是113、111、15，则此人将 A. 不能作出满足要求的三角形B. 作出一个锐角三角形C. 作出一个直角三角形D. 作出一个钝角三角形三、解答题（共5小题；共65分）18. 已知0<x<π2，化简：lg cos x⋅tan x+1−2sin2x2+lg2cos x−π4−lg1+sin2x．19. 已知数列a n的前n项和为S n，且S n=n−5a n−85,n∈N∗．（1）证明：a n−1是等比数列；（2）求数列S n的通项公式，并指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由．20. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A1B3、A3B5所在异面直线所成角的的余弦值．21. 若实数x、y、m满足∣x−m∣>∣y−m∣，则称x比y远离m．（1）若x2−1比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab；（3）已知函数f x的定义域D= x∣x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R ．任取x∈D，f x等于sin x和cos x中远离0的那个值．写出函数f x的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．22. 已知椭圆Γ的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，点P的坐标为−a,b．（1）若直角坐标平面上的点M、A0,−b、B a,0满足PM=12PA+PB，求点M的坐标；（2）设直线l1:y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2:y=k2x于点E．若k1⋅k2=−b2a2，证明：E为CD的中点；（3）对于椭圆Γ上的点Q a cosθ,b sinθ0<θ<π，如果椭圆Γ上存在不同的两点P1、P2使PP1+PP2=PQ，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ满足的条件．答案第一部分1. 6−2i【解析】由z=1−2i，知z=1+2i，那么zz+z=1−2i1+2i+1−2i=5+1−2i=6−2i．2. y2=8x【解析】由定义知P的轨迹是以F2,0为焦点的抛物线，故p=4，所以其方程为y2=8x．3. 12【解析】由于 \（ \begin{vmatrix}{\sin \dfrac{\pi }{3}}&{\sin \dfrac{\pi }{6}} \\{\cos \dfrac{\pi }{3}}&{\cos \dfrac{\pi }{6}}\end{vmatrix} \）=sinπ3cosπ6−cosπ3sinπ6=sinπ3−π6=sinπ6=12．4. 3【解析】配方得圆C:x−12+y−22=1，得圆心1,2，那么圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=22=3．5. 8.2【解析】由随机变量ξ的概率分布列知，ξ的均值为Eξ=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2．6. S←S+a7. 0,−28. 726【解析】从一副混合后的扑克牌中随机抽取1张的基本事件总数为52种，而事件A∪B为"抽得红桃K或抽得黑桃"，其对应的事件数为14，那么相应的概率为P=1452=726．9. 45【解析】由矩阵的特点知a11=1,a22=3,a33=5,a44=7,a55=9,a66=2,a77=4,a88=6,a99=8,那么，a11+a22+a33+⋯+a99=45．10. 1【解析】l1、l2分别变形为l1:n x−1+y=0、l2:n y−1+x=0，所以直线l1、l2分别过定点A1,0、B0,1，联立nx+y−n=0,x+ny−n=0解得x=nn+1y=nn+1，即直线l1、l2的交点为C nn+1,nn+1；可知S n=S四边形OACB =nn+1，那么limn→∞S n=limn→∞nn+1=limn→∞11+1=11+0=1．11. 823【解析】由于正方形的边长为4，且AC和BD相交于点O，那么AO=CO=DO=22，且∠AOD=∠DOC=∠COB=90∘，通过折叠，可得如下图形，而且AO、CO、DO两两垂直，那么对应的四面体的体积为V=13×12×22×22×22=823．12. 4ab=1【解析】依题意可知：E12,1,E22,−1，所以OP=ae1+be2=2a+2b,a−b.因为点P在双曲线上，所以2a+2b 24−a−b2=1，化简得4ab=1．13. 36【解析】由题可知，另外两个集合均为全集U的非空真子集，不妨设，两个集合分别为A、B，且A⊆B，则选法可分为以下两类：（1）当集合A中含有一个元素时，集合A共有4种选法，此时集合B的所有选法为23−2=6种；（2）当集合A中含有两个元素时，集合A共有C42种选法，此时集合B的所有选法为22−2=2种；综上，不同的选法共有36种．第二部分14. A 【解析】由题知，当x=2kπ+π4k∈Z时，可得tan x=1；而当tan x=1时，可得x=kπ+π4k∈Z．故" x=2kπ+π4k∈Z "是" tan x=1 "成立的充分不必要条件．15. C【解析】提示：该直线方程的一般形式为x+2y−5=0．16. D 【解析】设函数f x=12x−x13，结合各选项有：f0=1>0，由幂函数的性质，得f13=121−131>0，由指数函数的性质，得f12=121−121<0，因此，根据函数零点的意义知，x0属于的区间为13,12．17. D 【解析】设三角形的对应三条边长分别为a、b、c，利用等积法有1 13a=111b=15c=k,从而a=13k,b=11k,c=5k,那么角A为最大角，从而有cos A=b2+c2−a2=−23<0,故△ABC一定是钝角三角形．第三部分18. 因为0<x<π2，所以原式=lg sin x+cos x+lg cos x+sin x−2lg sin x+cos x=0.19. （1）当n=1时，a1=−14;当n≥2时，a n=S n−S n−1=−5a n+5a n−1+1,可化为a n−1=56a n−1−1,又a1−1=−15≠0，则数列a n−1是等比数列；（2）由（1）知a n−1=−15⋅56n−1,解得a n=1−15⋅56n−1,从而S n=75⋅56n−1+n−90n∈N∗,由不等式S n<S n+1，得5 6n−1<225,即n>log562+1≈14.9,于是当n≥15时，数列S n单调递增；同理可得，当n≤15时，数列S n单调递减；故当n=15时，S n取得最小值．20. （1）设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2−2r0<r<0.6,S=−3πr−0.42+0.48π,所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米．（2）当r=0.3时，l=0.6，建立空间直角坐标系，可得A 1B 3 = 0.3,0.3,0.6 ，A 3B 5 = −0.3,0.3,0.6 ， 设向量A 1B 3 与A 3B 5 的夹角为θ，则cos θ=A 1B 3 ⋅A 3B 5∣∣A 1B 3 ∣∣⋅∣∣A 3B 5 ∣∣=23,所以A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的余弦值为23． 21. （1）由题意得∣x 2−1∣>1，即x 2−1>1 或 x 2−1<−1.由x 2−1>1，得x <− 2 或 x > 2;由x 2−1<−1，得x ∈∅．综上可知x 的取值范围为 −∞,− ∪ +∞ ． （2）由题意，即证∣∣a 3+b 3−2ab ab ∣∣>∣∣a 2b +ab 2−2ab ab ∣∣.因为a ≠b ，且a 、b 都为正数，所以∣∣a 3+b 3−2ab ab ∣∣=∣∣∣ a 3 2+ b 3 2−2 a 3b 3∣∣∣=∣∣∣ a − b 2∣∣∣= a a −b b 2,∣∣a 2b +ab 2−2ab ab ∣∣=∣∣ab a +b −2 ab ∣∣=ab a − b 2= a b −b a 2,即证a a −b b 2− a b −b a 2>0,即证a a −b b −a b +b a a a −b b +a b −b a >0,需证a −b a +b a −b a + b >0,即证a +b a −b 2>0.因为a、b都为正数且a≠b，所以上式成立．故命题成立．（3）因为x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R，所以当∣sin x∣>∣cos x∣时，得sin2x>cos2x，即cos2x<0，解得kπ+π4<x<kπ+3π4,k∈Z，此时f x=sin x；当∣sin x∣<∣cos x∣时，得sin2x<cos2x，即cos2x>0，解得kπ−π4<x<kπ+π4,k∈Z，此时f x=cos x．综上可得f x=sin x,x∈ kπ+π,kπ+3πk∈Z,cos x,x∈ kπ−π4,kπ+π4k∈Z.性质如下：非奇非偶函数；值域为 −1,−22∪22,1；函数最小正周期为2π；函数的单调增区间为2kπ−π4,2kπ ，2kπ+π4,2kπ+π2，2kπ+π,2kπ+5π4和2kπ+3π2,2kπ+7π4,k∈Z；函数的单调减区间为2kπ,2kπ+π4，2kπ+π2,2kπ+3π4，2kπ+3π4,2kπ+π 和2kπ+5π4,2kπ+3π2，k∈Z．22. （1）设M x0,y0，则PM=x0+a,y0−b,PA=a,−2b,PB=2a,−b.由PM=12PA+PB得x0+a,y0−b=12a,−2b+2a,−b.所以x0=a,y0=−b,所以M a2,−b2．（2）由方程组y=k1x+p,x2 2+y22=1,消去y得方程a2k12+b2x2+2a2k1px+a2p2−b2=0,因为直线l1交椭圆Γ于C、D两点，所以Δ>0，即a2k12+b2−p2>0,设C x1,y1、D x2,y2，CD中点坐标为x0,y0，则x0=x1+x2=−a2k1p12,y0=k1x0+p=b2pa2k12+b2,由方程组y=k1x+p,y=k2x,消去y得方程k2−k1x=p,又因为k2=−b2a2k1，所以x=p21=−a2k1p12=x0,y=k2x=b2pa2k12+b2=y0,故E为CD的中点．（3）如果椭圆Γ上存在不同的两个点P1、P2满足PP1+PP2=PQ，则四边形PP1QP2是平行四边形，因而P1P2的中点应与PQ的中点重合，故只需据此求出直线P1P2的斜率即可．设P1 x P1,y P1，P2 x P2,y P2，PQ中点R−a+a cosθ2,b+b sinθ2．因为P1、P2在椭圆上，所以x P1 2 a2+y P12b2=1. ⋯⋯①①−②并整理得y P1−y P2x P1−x P2=−b2 x P1+x P2a2 y P1+y P2=−b2⋅a cosθ−1a2⋅b1+sinθ=b1−cosθa1+sinθ.求作点P1、P2的步骤如下：1）连接PQ，作出线段PQ的中点R；2）过点R−a+a cosθ2,b+b sinθ2作斜率为k=b1−cosθa1+sinθ的直线l，交椭圆Γ于P1、P2点，则点P1、P2就是所求作的点．当0<θ<π时，只需PQ的中点在椭圆内部，则由作法可知满足条件的点P1、P2就存在，所以有−a+a cosθ22 2+b+b sinθ222<1a>b>0,化简得sinθ−cosθ<1 2 ,即sin θ−π4<24且0<θ<π．。

2011级高数(上)试题及答案D（B ）)(x f 在0x 点有定义；（C ）)(x f 在0x 的某去心邻域内有定义； （D ）0()k f x =4．若314lim 1x x ax b x →-++=+，则（ ） （A ）6a =，3b = （B ）6a =-，3b = （C ）3a =，6b = （D ）3a =，6b =- 5．设xe2为)(x f 的一个原函数，则⎰'dx x f x )(为（ ）（A ）C e x +221 （B ）2x e C + （C ）C e xe x x +-2221 （D ）C e xe x x +-222 三、计算题（每小题 6分，共30分）1．求极限22sin lim2sin x x x x x x →-+2．求极限cot 0lim(cos )xx x →3．计算⎰dx x sin4．计算 22(1)x xx edx ++⎰5．计算dx x x ⎰-3 022四、解答题（每小题 8分，共 16 分）1．设可微函数)(x y y =由方程⎰⎰=+-220cos y axtdt t dt e确定，求dx dy 和22d ydx2．设232,sin 10y x t t dydx e t y ⎧=+⎨-+=⎩求五、应用题（每小题 8分，共 16 分）1．求曲线53(1)y x x=-的凹凸区间及拐点2．设函数x x y ln =，求该函数的单调区间和极值．六、证明题（本题满分8分）设()f x ，()g x 在[],a b 上连续， 证明：至少存在一个(),a b ξ∈，使得：dx x f g dx x g f ab⎰⎰=ξξξξ)()()()(．南昌大学 2011～2012学年第一学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设2()xf x e =，则[()]f f x =22x ee2. 若⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=0,1sin 0,)(2x x x x a x x f 在0=x 处连续，则a =0。

2010 ～2011 学年度第一学期《高等数学21（理工）》试卷（B 卷）评阅标准及考核说明适用年级专业：2010级高等数学21理工类（本科） 考 试 形 式：（ ）开卷、（√）闭卷一、选择题（每小题 3 分，共 12 分。

请将答案填在下面的表格内） 1、C 2、A 3、D 4、B 二、填空题（每题 3分，共 12 分）[1、32 2、第一类3、14、0三、求下列极限（每题 5 分，共 10 分）[]1、解：11lim1x x x →→=- （1分）1x →= （2分）12x →== （2分）2、解：03limx x x →∞→∞=⎰3分） 13=………………………………………………………（2分） 四、求下列函数的导数或微分（每题 5 分，共 15 分）]1、解：()12sin x x e y '⎛⎫⋅ ⎪''==……………………………（2分）=（2分）……………………………（1分）[]2、解：方程sin cos()0y x x y --=两边同时对x 求导得sin cos sin()()0y x y x x y x y ''++-⋅-=……………………………（1分） sin cos sin()(1)0y x y x x y y ''++-⋅-= ……………………………（2分）[]sin()sin cos sin()x y x y y x x y '--=+-……………………………（1分）cos sin()sin()sin y x x y y x y x +-'=--，所以cos sin()sin()sin y x x y dy dx x y x+-=-- ……………………………（1分）[]3、解：由(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩，则由参数方程求导得()(1cos )(1cos )()sin sin dx x t a t t dy y t a t t'--===' …………………………… （2分）22233(1cos )sin (1cos )cos 1cos sin sin sin sin t d x t t t t t dy a t a t a t '-⎡⎤⎢⎥---⎣⎦=== ……………………………（2分） 所以223661cos 1(8sin t t d x t dy a t aππ==-⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦ ……………………………（1分） 五、求下列积分（每题 6 分，共 12 分）1、解：22--=⎰⎰……………（2分）2分）12π=-………………………………………（2分）2、解：因为222tan (sec 1)sec x xdx x x dx x xdx xdx =-=-⎰⎰⎰⎰……………………（1分）2211tan tan tan 22xd x x x x xdx x =-=--⎰⎰………（2分） 22sin 111tan tan cos cos 2cos 2x x x dx x x x d x x x x =--=+-⎰⎰…… （2分）21tan ln cos 2x x x x C =+-+……………………（1分） 六、简答题（共 8 分）解：（1）函数()f x 的定义域为2x ≠-的一切实数……………（1分）（2）因为23(6)()(2)x x f x x +'=+， ……………（1分） （3）又因为424()(2)xf x x ''=+，令()0f x ''=，得10x =，22x =-为()f x ''不存在的点（1分） （4）以10x =，22x =-为分断点，将()f x 的定义域分成三段列表如下 （3分）（5）所以()f x 的凸区间是(,2)-∞-和(2,0)-，凹区间是(0,)+∞，拐点是(0,4)（2分） 七、应用题（共 7 分）解：联立方程243y y x x =⎧⎨=-+-⎩得121,3x x ==…………………………（2分） 所以可得所围图形的面积是33322114(43)2333x x x dx x x ⎡⎤-+-=-+-=⎢⎥⎣⎦⎰…………………………（5分）八、解微分方程（每小题 7分，共14分）[教师答题时间：6分钟][]（1）解：由22dy y dx x y =-可得212y dy x ydx x=-…………………………（1分） 该方程为齐次微分方程，令y u y ux x =⇒=可得dy du u x dx dx=+ ……………（2分） 则原方程变形为12(12)u dx du u u x-=+ ………………………………………（1分）两边积分可得2(12)uCx u =+ （C 为常数）………………………………………（2分） 将yu x=代入上式可得2(2)y C x y =+（C 为常数）…………………………（1分） []（2）解：由已知可得方程4x y y xe ''-=的特征方程为210r -=特征值为121,1r r =-=……………………………（2分）所以其相应的齐次方程的通解为12x x y C e C e -=+ （12,C C 为常数）……………………………（1分）又因为1是一重特征根，由已知可得1m =，故原方程有特解*()x y x ax b e =+，代入原方程可得(422)4x x ax a b e xe ++=，解得1,1a b ==-， 可得原方程的一个特解为 *(1)x y x x e =- 所以原方程的通解为12(1)x x x y C e C e x x e -=++-……………………………………………（2分） 又因为，00|0,|1x x y y =='==可得1212011C C C C +=⎧⎨-+-=⎩，解得1211C C =-⎧⎨=⎩ 所以满足初始条件的特解为(1)x x x y e e x x e -=-++-………………（2分） 九、综合题[综合型]（共10分）] 证明：220()()()a a a af x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（2分）令2x a t =-，则当x a =时，t a =；当2x a =时，0t =，dx dt =- （4分） 所以200()(2)(2)a a aaf x dx f a t dt f a x dx =--=-⎰⎰⎰（2分）所以[]20()()(2)aaf x dx f x f a x dx =+-⎰⎰（2分）注：考核类型是指：三基类、一般综合型和综合型。

6. 随机变量 的概率分布率由下图给出：
则随机变量 的均值是
7. 2010 年上海世博会园区每天 9:00 开园，20:00 停止入园。在右边的框图中，
S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数， a 表示整点报道前
1 个小时内入园人数，则空白
的执行框内应填入
。
8.对任意不等于 1 的正数 a，函数 f(x)= loga (x 3) 的反函数的图像都经过点
(B)(2,1) (C)(-2,1)
(
1 2
)
x

1
x3
的解，则
（B）必要不充分条件.
（D）既不充分也不必要条件.
(t

R)
，则
x0 属于区间
第2页
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（某某卷，解析版）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将某某、高考某某号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、 不等式042>+-x x的解集为_______________； 【解析】20(4)(2)0(4)(2)0424xx x x x x x->⇔+->⇔+-<⇔-<<+，故答案为：)2,4(-.或由2020404x xx x ->⎧->⇔⎨+>+⎩或2040x x -<⎧⎨+<⎩，解得42x -<<，故答案为：)2,4(-. 【点评】本题考查分式不等式的解法，常规方法是化为整式不等式或不等式组求解. 2、 若复数12z i =-（i 为虚数单位），则=+⋅z z z _____________；【解析】∵12z i =-，∴(12)(12)1251262z z z i i i i i ⋅+=-++-=+-=-，故答案为：i 26-【点评】本题考查复数的基本概念与运算，属基础概念题．3、 若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为_____________； 【解析】由抛物线定义知：P 的轨迹为抛物线，易知焦参数4p =，所以点P 的轨迹方程为x y 82=.【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之——直接法，属基础概念题.4、 行列式6cos3sin6sin 3cosππππ的值为_______________；【解析】cossin 36coscossinsincos()cos 03636362sincos36πππππππππππ=-=+==，答案为：0.【点评】本题考查二阶行列式的计算方法与和角的余弦公式以及特殊角的三角函数值，符合在知识交汇处命题原则，属基础题.5、 圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线l ：3440x y ++=的距离=d ________；【解析】由044222=+--+y x y x ，得22(1)(2)1x y -+-=，则圆心为(1,2)，故22334d ==+，答案为：3.【点评】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离公式以及计算能力，是课本习题的变式题.6、 随机变量ξ的概率分布率由下图给出：x 7 8 9 10 P(x =ξ)0.30.350.20.15则随机变量ξ的均值是__________；【解析】70.380.3590.2100.158.2E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：8.2. 【点评】本题考查随机变量ξ的概率分布和均值（期望）的计算，属常规题，无难度. 7、2010年某某世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。

全国⾃学考试⾼等数学（⼯专）试题含答案09年⾄11年全国2011年4⽉⾼数（⼯专）试题课程代码：00022⼀、单项选择题1.设f (x )=ln x ，g (x )=x +3，则f [g(x )]的定义域是( ) A.(-3，+∞) B.[-3，+∞） C.(-∞ ，3] D.(-∞，3) 2.当x →+∞时，下列变量中为⽆穷⼤量的是( )A.x 1B.ln(1+x )C.sin xD.e -x 3.=∞→)πsin(1lim 2n nn ( ) A.不存在 B.π2 C.1 D.04.=+++?-1122)111(dx x x x ( ) A.0 B.4π C.2π D.π5.设A 为3阶⽅阵，且A 的⾏列式|A |=a ≠0，⽽A *是A 的伴随矩阵，则|A *|等于( ) A.a B.a1C. a 2D.a 3⼆、填空题（本⼤题共10⼩题，每⼩题3分，共30分） 6.=++++--∞→)3131313(lim 12n n _________. 7.设函数=≠=0,,0,1sin )(2x a x xx x f 在x =0连续，则a=_________. 8.=∞→xx x 1sinlim _________. 9.y ＇=2x 的通解为y =_________. 10.设y =sin2x ，则y 〃=_________.11.函数y =e x -x -1单调增加的区间是_________. 12.设?=xdt t x f 0)sin(ln )(，则f ＇(x )=_________.13.若⽆穷限反常积分4112π=+?+∞dx xA ，则A =_________. 14.⾏列式=aa a 111111_________.15.设矩阵300220111=A ，则=A A '_________.三、计算题（本⼤题共8⼩题，每⼩题6分，共48分）16.设f (x )=(x -a )g (x )，其中g (x )在点x =a 处连续且g (a )=5，求)('a f .18.求微分⽅程0=+xdy y dx 满⾜条件y |x =3=4的特解. 19.已知参数⽅程-=-=,3,232t t y t t x 求22dx y d .20.求函数f (x )=x 3-3x 2-9x +5的极值. 21.求不定积分?+dx e x 13.22.计算定积分1dx xe x .23.问⼊取何值时，齐次⽅程组=-+=-+-=+--,0)2(,0)3(4,0)1(312121x x x x x x λλλ有⾮零解？四、综合题（本⼤题共2⼩题，每⼩题6分，共12分） 24.已知f (x )的⼀个原函数为xx sin ，证明C x xx dx x xf +-=?sin 2cos )('. 25.欲围⼀个⾼度⼀定，⾯积为150平⽅⽶的矩形场地，所⽤材料的造价其正⾯是每平⽅⽶6元，其余三⾯是每平⽅⽶3元.问场地的长、宽各为多少⽶时，才能使所⽤材料费最少？2011年4⽉⾼数⾃考试题答案全国2011年1⽉⾃学考试⾼等数学（⼯专）试题⼀、单项选择题（本⼤题共5⼩题，每⼩题2分，共10分）在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

高数试卷及答案一．(本题30分，每题3分)1.极限lim2nn→+∞⎛⎫=⎪⎪⎝⎭。

解：记))112nα+=，则ln6lim2nnnα→+∞=，))()ln61211lim lim1lim122nnnn nnn n neααα→+∞→+∞→+∞⎛⎫+⎛⎫⎡⎤⎪=+=+== ⎪⎢⎥⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭2. 设()f x在1x=处可导，且(1)0f=，(1)1f'=，则极限()1131()d dlim(1)xtxt f u u tx→=-⎰⎰。

解：()()()()()()()()111132111d d d dlim lim lim61131xt x xx x xt f u u t x f u u f u u xf xxx x→→→-==---⎰⎰⎰⎰()()()1'1lim66xf x f x xf x→---==-。

3.设yx=⎰，则334d y dydx dx-=。

解：将yx=⎰y微分得到dxdy=dydx=224'4d y yyydx==，334'd yydx==，简单计算可得3340d y dydx dx-=。

4. 设()f x有一个原函数是sin xx，那么2()xf x dxππ'=⎰。

解：首先由分部积分公式有2222()()()()xf x dx xdf x xf x f x dxππππππππ'==-⎰⎰⎰，又()f x 有一个原函数sin x x，所以'2sin cos sin ()x x x x f x x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 222cos sin sin 4()1x x xx xf x dx xxπππππππ-'=-=-⎰。

5. 曲线211y x=+绕其渐近线旋转所得旋转体体积V = 。

解：渐近线为x 轴，22224221111seccos 2V dx dt x t tπππππ+∞-∞-⎛⎫==⋅=⎪+⎝⎭⎰⎰。

全国2010年1⽉-2014年10⽉⾼等教育⾃学考试⾼等数学（⼯专）试题和答案全国2010年10⽉⾼等教育⾃学考试⾼等数学（⼯专）试题课程代码：00022⼀、单项选择题（本⼤题共5⼩题，每⼩题2分，共10分）在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均⽆分。

1.函数y=ln在(0，1)内()A.是⽆界的B.是有界的C.是常数D.是⼩于零的2.极限()A.B.0C.e-1D.-∞3.设f(x)=1+，则以下说法正确的是()A.x=0是f(x)的连续点B.x=0是f(x)的可去间断点C.x=0是f(x)的跳跃间断点D.x=0是f(x)的第⼆类间断点4.=()A.cosx+sinx+CB.cosx-sinxC.cosx+sinxD.cosx-sinx+C5.矩阵的逆矩阵是()A.B.C.D.⼆、填空题（本⼤题共10⼩题，每⼩题3分，共30分）请在每⼩题的空格中填上正确答案。

错填、不填均⽆分。

6.如果级数的⼀般项恒⼤于0.06，则该级数的敛散性为__________.7.若=2,则=____________.8.设f(x)=ex+ln4，则=____________.9.函数f(x)=(x+2)(x-1)2的极⼩值点是________________。

10.⾏列式=_________________________.11.设，则___________________.12.如果在[a，b]上f(x)2，则=_______________________.13.若F(x)为f(x)在区间I上的⼀个原函数，则在区间I上，=_______.14.⽆穷限反常积分=_____________________.15.设A是⼀个3阶⽅阵，且|A|=3，则|-2A|_________________.三、计算题(本⼤题共8⼩题，每⼩题6分，共48分)16.求极限.17.求微分⽅程的通解.18.设y=y(x)是由⽅程ey+xy=e确定的隐函数，求.19.求不定积分.20.求曲线y=ln(1+x2)的凹凸区间和拐点.21.设f(x)=xarctanx-，求.22.计算定积分.23.求解线性⽅程组四、综合题(本⼤题共2⼩题，每⼩题6分，共12分)24.求函数f(x)=x4-8x2+5在闭区间[0，3]上的最⼤值和最⼩值.25.计算由曲线y=x2，y=0及x=1所围成的图形绕x轴旋转⽽成的旋转体的体积.全国2011年1⽉⾼数（⼯专）试题课程代码：00022⼀、单项选择题 1.函数y =ln(x -1)的反函数是（） A.y =10x +1 B.y=e x +1 C.y =10x -1 D.y=e -x +12.当x →0时,3x 2是（） A.x 的同阶⽆穷⼩量 B.x 的等价⽆穷⼩量 C.⽐x ⾼阶的⽆穷⼩量D.⽐x 低阶的⽆穷⼩量 3.设f (x )==-≠+0,20,)1ln(x x xax 在x =0处连续，则a =( ) A.2 B.-1 C.-2 D.1 4.设f (x )==π'?xf dt t 0)2(, sin 则( ) A.不存在 B.-1 C.0D.15.矩阵A=的逆矩阵是??1 22 5（） A.5 2-2- 1 B.1 2-2- 5 C.5 2 2- 1 D ??5 2-2 1 ⼆、填空题（本⼤题共10⼩题，每⼩题3分，共30分） 6.级数∑∞==-+1.____________)1(n n s n n n 项和的前7..____________)11(lim 22=+∞→x x x8.-=+11._____________)sin (dx x x 9.=--+._____________)1111(22dx xx10.函数.____________32的单调减少区间是x y =11.当._______________,453,13=+-=±=p px x y x 则有极值函数时12.24 1 2 1 11 1 )(x x x f =⽅程=0的全部根是_______________.13.曲线.______________2的⽔平渐近线是x e y -=14.设矩阵A =.____________,2 1 1- 3- 2 1 , 1- 1 2 1 =??=?AB B 则 15.⽆穷限反常积分._____________122=?三、计算题（本⼤题共8⼩题，每⼩题6分，共48分）16.求极限.2cos lim2xdt t xx ?∞→17..0)1(2的通解求微分⽅程=++xydx dy x18..,arctan )1ln(222dx yd tt y t x 求设??-=+= 19..14334的凹凸区间与拐点求曲线+-=x x y20..21,1422x y y x ==+直线在该点处其切线平⾏于上的点求椭圆21.求不定积分?.ln 2xdx x 22..11231dx x +?计算定积分 23.⽤消元法求解线性⽅程组=+--=+--=++.0 ,12,323 32321321x x x x x x x x 四、综合题（本⼤题共2⼩题，每⼩题6分，共12分）24.试证当.,1ex e x x>>时 25.线.1,202⾯积轴所围成的平⾯图形的和由曲线之间和x x y x x -===全国2011年4⽉⾼数（⼯专）试题课程代码：00022⼀、单项选择题1.设f (x )=ln x ，g (x )=x +3，则f [g(x )]的定义域是( A ) A.(-3，+∞) B.[-3，+∞） C.(-∞ ，3] D.(-∞，3) 2.当x →+∞时，下列变量中为⽆穷⼤量的是( B )A.x 1B.ln(1+x )C.sin xD.e -x 3.=∞→)πsin(1lim 2n nn ( ) A.不存在 B.π2 C.1 D.04.=+++?22)111(dx x x x ( ) A.0 B.4π C.2π D.π5.设A 为3阶⽅阵，且A 的⾏列式|A |=a ≠0，⽽A *是A 的伴随矩阵，则|A *|等于( ) A.a B. a1C. a 2D.a 3⼆、填空题（本⼤题共10⼩题，每⼩题3分，共30分）6.=++++--∞→)3131313(lim 12n n _________. 7.设函数=≠=0,,0,1sin )(2x a x xx x f 在x =0连续，则a=_________. 8.=∞→xx x 1sinlim _________. 9.y ＇=2x 的通解为y =_________. 10.设y =sin2x ，则y 〃=_________.11.函数y =e x -x -1单调增加的区间是_________. 12.设?=xdt t x f 0)sin(ln )(，则f ＇(x )=_________.13.若⽆穷限反常积分4112πA ，则A =_________. 14.⾏列式=aa a 111111_________.15.设矩阵300220111=A ，则=A A '_________.三、计算题（本⼤题共8⼩题，每⼩题6分，共48分）16.设f (x )=(x -a )g (x )，其中g (x )在点x =a 处连续且g (a )=5，求)('a f . 17.求极限3 arctan limx xx x -→.18.求微分⽅程0=+xdy y dx 满⾜条件y |x =3=4的特解. 19.已知参数⽅程-=-=,3,232t t y t t x 求22dx y d .20.求函数f (x )=x 3-3x 2-9x +5的极值.21.求不定积分?+dx ex 13. 22.计算定积分1dx xe x .23.问⼊取何值时，齐次⽅程组=-+=-+-=+--,0)2(,0)3(4,0)1(312121x x x x x x λλλ有⾮零解？四、综合题（本⼤题共2⼩题，每⼩题6分，共12分）24.已知f (x )的⼀个原函数为x sin ，证明C x xx dx x xf +-=?sin 2cos )('. 25.欲围⼀个⾼度⼀定，⾯积为150平⽅⽶的矩形场地，所⽤材料的造价其正⾯是每平⽅⽶6元，其余三⾯是每平⽅⽶3元.问场地的长、宽各为多少⽶时，才能使所⽤材料费最少？2011年4⽉⾼数⾃考试题答案全国2012年1⽉⾼等教育⾃学考试⾼等数学(⼯专)试题课程代码：00022⼀、单项选择题（本⼤题共5⼩题，每⼩题2分，共10分）在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

一、填空题（每小题3分，共5×3=15分）1．若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b ．2．⎰-+22421sin dx xx x = ．3．已知⎰-=202)cos 1()(x dt t x f ，则)(x f '= ．4．微分方程0=-y dxdyx满足初始条件1)1(=y 的特解为 ． 5．曲线)1ln(2x y -=上相应于210≤≤x 的弧长=s ．（只需写出定积分表达式，不需计算．）二、单项选择题(每小题3分，共5×3=15分)1．设x x y ln =，则=''y （ ）. A ．1ln +x ； B ．x 1； C ．x 1-； D ．21x． 2．设)(x f 为可导函数，下列关系式中，正确的是( ). A ．)(])([x f dx x f =''⎰； B ．C x f dx x f +='⎰)()(； C ．C x f dx x f +=''⎰)(])([； D ．)()(x f dx x f ='⎰．3．设)(x f 是连续函数，且⎰+=20)(3)(dt t f x x f ，则=)(x f ( ).A ．56-x ； B ．56+x ； C ．1+x ； D ．1-x ． 4． 设)(x f 在),(+∞-∞内二阶可导，且0)(>''x f ，0)0(=f ，下列结论正确的是（ ）. A ．)(x f 在),(+∞-∞内单调增加； B ．xx f )(在),0(+∞内单调增加； C ．)(x f 在)0,(-∞内单调减少； D ．xx f )(在),0(+∞内单调减少． 5．下列结论中正确的是（ ）． A ．⎰∞++1)1(1dx x x 收敛； B ．⎰+10)1(1dx x x 收敛；C ．⎰∞++1)1(1dx x x 发散； D ．⎰1021dx x 收敛．三、计算题（必须要有解题过程）（本大题共6小题，每小题7分，共6×7=42分） 1．求极限xx x x x sin sin lim 2-→．2．设⎩⎨⎧=+=te y t x sin 2，求22,dx y d dx dy ．3．求不定积分dx xx⎰+cos 1sin 3．4．设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=.0,1;0,11)(x x x x x f 求定积分dx x f ⎰-221)1(．5．求微分方程x xy y x cos 2)1(2--='-的通解．6．求微分方程x e y y y 26=-'-''的通解．四、[7分] 求曲线x y sin =和它在2π=x 处的切线，以及π=x 所围成图形的面积．五、应用题[6分] 一个半径为2m, 高为6m 的正圆锥形水池内充满了水，要把池内的水全部吸尽，需作多少功（计算过程中，水的密度ρ、圆周率π和重力加速度g 的值不要求代入）？六、[10分] 设1D 是由抛物线22x y =和直线2,==x a x 及0=y 所围成的平面区域；2D 是由抛物线22x y =和直线a x =及0=y 所围成的平面区域，其中20<<a ，1D 绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积1V ，2D 绕y 轴旋转一周而成的旋转体体积2V ．试求a ，使21V V +取得最大．七、证明题[5分]设函数()f x 具有二阶导数，且满足)1()2(f f >，⎰>32)()2(dx x f f ，则至少存在一点)3,1(∈ξ，使得0)(<''ξf ．附加题（每小题6分，共2×6=12分）1．设对于任意0x >，曲线()y f x =上的点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01()xf t dt x⎰，求()f x 的表达式．2．证明：设函数)(x f y =在]1,1[-上具有连续的导数，若0)1()1(==-f f ，2)0(=f ，则在)1,1(-内至少存在一点ξ，使得,)(k f ='ξ其中]2,2[-∈k ．。

2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数（）2=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i2．（5分）函数的反函数是（）A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y=e2x﹣1+1（x＞0）C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y=e2x﹣1+1（x∈R）3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14B．21C．28D．355．（5分）不等式＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣2，或x＞3}B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3} 6．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种7．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位8．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，||=1，||=2，则=（）A．+B．+C．+D．+9．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．310．（5分）若曲线y=在点（a，）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=（）A．64B．32C．16D．811．（5分）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个12．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）A．1B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a是第二象限的角，tan（π+2α）=﹣，则tanα=．14．（5分）若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a=．15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=．16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M 与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=（n2+n）•3n．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：++…+＞3n．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．20．（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．21．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．22．（12分）设函数f（x）=1﹣e﹣x．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥；（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤，求a的取值范围．2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数（）2=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．【解答】解：（）2=[]2=（1﹣2i）2=﹣3﹣4i．故选：A．【点评】本题主要考查复数的除法和乘方运算，是一个基础题，解题时没有规律和技巧可寻，只要认真完成，则一定会得分．2．（5分）函数的反函数是（）A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y=e2x﹣1+1（x＞0）C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y=e2x﹣1+1（x∈R）【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．【解答】解：由原函数解得x=e 2y﹣1+1，∴f﹣1（x）=e 2x﹣1+1，又x＞1，∴x﹣1＞0；∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R，故选：D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x=1，y=1时z max=3．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14B．21C．28D．35【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质．5．（5分）不等式＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣2，或x＞3}B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}【考点】73：一元二次不等式及其应用．【专题】11：计算题．【分析】解，可转化成f（x）•g（x）＞0，再利用根轴法进行求解．【解答】解：⇔⇔（x﹣3）（x+2）（x﹣1）＞0利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1或x＞3，故选：C．【点评】本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法，属于不等式的基础题．6．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，∵先从3个信封中选一个放1，2，有=3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有=6种放法，∴共有3×6×1=18．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．7．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】1：常规题型．【分析】先将2提出来，再由左加右减的原则进行平移即可．【解答】解：y=sin（2x+）=sin2（x+），y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），所以将y=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位得到y=sin（2x﹣）的图象，故选：B．【点评】本试题主要考查三角函数图象的平移．平移都是对单个的x来说的．8．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，||=1，||=2，则=（）A．+B．+C．+D．+【考点】9B：向量加减混合运算．【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．【解答】解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC=BD：CD9．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．3【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．【解答】解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=，设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，此时h==2，故选：C．【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．10．（5分）若曲线y=在点（a，）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=（）A．64B．32C．16D．8【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】31：数形结合．【分析】欲求参数a值，必须求出在点（a，）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=a处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到切线的方程，最后求出与坐标轴的交点坐标结合三角形的面积公式．从而问题解决．【解答】解：y′=﹣，∴k=﹣，切线方程是y﹣=﹣（x﹣a），令x=0，y=，令y=0，x=3a，∴三角形的面积是s=•3a•=18，解得a=64．故选：A．【点评】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力．11．（5分）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】16：压轴题．【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为=（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离．所以PF=；同理点P到直线AB、CC1的距离也是．所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．故选：D．【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．12．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）A．1B．C．D．2【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1=﹣3y2，∵，设，b=t，∴x2+4y2﹣4t2=0①，设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，∴，，解得，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a是第二象限的角，tan（π+2α）=﹣，则tanα=．【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】根据诱导公式tan（π+α）=tanα得到tan2α，然后利用公式tan（α+β）=求出tanα，因为α为第二象限的角，判断取值即可．【解答】解：由tan（π+2a）=﹣得tan2a=﹣，又tan2a==﹣，解得tana=﹣或tana=2，又a是第二象限的角，所以tana=﹣．故答案为：．【点评】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力．14．（5分）若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a=1．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得展开式中x3的系数，列出方程解得．【解答】解：展开式的通项为=（﹣a）r C9r x9﹣2r令9﹣2r=3得r=3∴展开式中x3的系数是C93（﹣a）3=﹣84a3=﹣84，∴a=1．故答案为1【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法．15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=2．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，进而根据，可知M为A、B的中点，可得p的关系式，解方程即可求得p．【解答】解：设直线AB：，代入y2=2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，又∵，即M为A、B的中点，∴x B+（﹣）=2，即x B=2+，得p2+4P﹣12=0，解得p=2，p=﹣6（舍去）故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M 与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=3．【考点】JE：直线和圆的方程的应用；ND：球的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得．【解答】解法一：∵ON=3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，∴NE=，同理可得，在直角三角形ONE中，∵NE=，ON=3，∴，∴，∴MN=3．故填：3．解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM=ON=3，故小圆半径NB为C为AB中点，故CB=2；所以NC=，∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC=∴MN=2EN=2•CN•=2××=3故填：3．【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【分析】先由cos∠ADC=确定角ADC的范围，因为∠BAD=∠ADC﹣B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．【解答】解：由cos∠ADC=＞0，则∠ADC＜，又由知B＜∠ADC可得B＜，由sinB=，可得cosB=，又由cos∠ADC=，可得sin∠ADC=．从而sin∠BAD=sin（∠ADC﹣B）=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB==．由正弦定理得，所以AD==．【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=（n2+n）•3n．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：++…+＞3n．【考点】6F：极限及其运算；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）由题意知，由此可知答案．（2）由题意知，==，由此可知，当n≥1时，．【解答】解：（1），所以=；（2）当n=1时，；当n＞1时，===所以，n≥1时，．【点评】本题考查数列的极限问题，解题时要注意公式的灵活运用．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD垂直相交即可；（2）将AB1平移到DG，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HK⊥AC1，K 为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可．【解答】解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1．作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=．作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH 为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角．B1H=，C1H=，AC1=，HK=tan∠B1KH=，∴二面角A1﹣AC1﹣B1的大小为arctan．【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．20．（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】11：计算题．【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B=A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过T i为事件A i，i=1、2、3、4，A表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，易得A1，A2，A3相互独立，且，P（）=（1﹣p）3=1﹣0.999=0.001，计算可得，p=0.9；（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，有B=A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，则P（B）=P（A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3）=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.9891．【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．21．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【考点】J9：直线与圆的位置关系；KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD 两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM=BD即证得．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，代入C的方程，并化简，得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2=0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，①由M（1，3）为BD的中点知．故，即b2=3a2，②故，∴C的离心率．（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2=3a2，A（a，0），F（2a，0），．故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，，，|BF|•|FD|=（a﹣2x1）（2x2﹣a）=﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2=5a2+4a+8．又|BF|•|FD|=17，故5a2+4a+8=17．解得a=1，或（舍去），故=6，连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．22．（12分）设函数f（x）=1﹣e﹣x．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥；（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤，求a的取值范围．【考点】6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）将函数f（x）的解析式代入f（x）≥整理成e x≥1+x，组成新函数g（x）=e x﹣x﹣1，然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数g（x）的最小值g（0），进而g（x）≥g（0）可得证．（2）先确定函数f（x）的取值范围，然后对a分a＜0和a≥0两种情况进行讨论．当a＜0时根据x的范围可直接得到f（x）≤不成立；当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，然后对函数h（x）进行求导，根据导函数判断单调性并求出最值，求a的范围．【解答】解：（1）当x＞﹣1时，f（x）≥当且仅当e x≥1+x令g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（﹣∞，0]是减函数于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即e x≥1+x所以当x＞﹣1时，f（x）≥（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0当a＜0时，若x＞﹣，则＜0，f（x）≤不成立；当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，则f（x）≤当且仅当h（x）≤0因为f（x）=1﹣e﹣x，所以h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）﹣1=af（x）﹣axf （x）+ax﹣f（x）（i）当0≤a≤时，由（1）知x≤（x+1）f（x）h'（x）≤af（x）﹣axf（x）+a（x+1）f（x）﹣f（x）=（2a﹣1）f（x）≤0，h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤；（ii）当a＞时，由y=x﹣f（x）=x﹣1+e﹣x，y′=1﹣e﹣x，x＞0时，函数y递增；x＜0，函数y递减．可得x=0处函数y取得最小值0，即有x≥f（x）．h'（x）=af（x）﹣axf（x）+ax﹣f（x）≥af（x）﹣axf（x）+af（x）﹣f（x）=（2a ﹣1﹣ax）f（x）当0＜x＜时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞综上，a的取值范围是[0，]【点评】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力；导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在．。

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理科类）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．不等式042>+-xx的解集为_______________； 2．若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ______；3．若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为______；4．行列式6cos3sin6sin 3cosππππ的值为_________；5．圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线0443:=++y x l 的距离=d ________； 6．随机变量ξ的概率分布率由下图给出：x78 9 10 P （x =ξ） 0．30．350．20．15则随机变量ξ的均值是__________；7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。

在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_________。

8．对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是__________。

9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率=)(B A P ____________（结果用最简分数表示）。

10．在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。

2010-2011学年第二学期高等数学试题 (A)一、填空题（每小题4 分，共20分）1. 设区域D 为1x y +≤，则()22Dxyf xy dxdy +⎰⎰= 。

2. 过点0M (2，4，0)且与直线210:320x z L y z +-=⎧⎨--=⎩平行的直线方程是 。

3. 设有一力22F i j k =-+ ，则F 在a i j k =++方向上的分力为 。

4. 设S 为球面2229x y z ++=的外侧面，则曲面积分Szdxdy ⎰⎰的值是 。

5. 敛域14n n n∞=∑的和为 。

二、选择题（每小题4 分，共20分）1. 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，()11,2,nn k k S a n ===∑ 无界，则幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛域为 。

(A) (1,1]-； (B) [1,1)-； (C) [0,2); (D) (0,2]2. 设()101,2,n a n n≤<= ，则下列级数中肯定收敛的是 。

(A)1n n a ∞=∑； (B)()11nn n a ∞=-∑；(C)1n ∞=； (D)()211nn n a ∞=-∑3. 已知()(),f x f y 在区域(){},1D x y x y =+≤上连续，且()()0,0f x f y >>，则()()()()()Daf y bf x dxdy f x f y +=+⎰⎰(A) a b -； (B)a b +； (C) ()2a b +； (D) ()2a b -；4. 设S 是平面4x y z ++=被圆柱面221x y +=截出的有限部分，则曲面积分Syds⎰⎰的值是 。

(A) 0； (B)(C)(D) ；5. 设Ω是由椭球面2222221x y z a b c ++=围成的区域，则2z dxdydz Ω⎰⎰⎰的值为 。

(A )0； (B)3415abc π； (C)(D) π；三、解答题（1~6题每题8分，第7题12分，共60分）1. 设(),f u v 具有二姐连续偏导数，且满足22221u f fv∂∂+=∂∂， 又()()221,,2g x y f xy x y ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，求2222g g x y ∂∂+∂∂。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.不等式204xx ->+的解集是 . 【测量目标】解一元二次不等式. 【考查方式】考查分式不等式的解法. 【难易程度】容易 【参考答案】()4,2- 【试题解析】204xx ->+等价于()()240x x -+<,42x ∴-<<. 2.若复数12i z =-（i 为虚数单位），则z z z += . 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】考查共轭复数的概念及复数的基本运算. 【难易程度】容易 【参考答案】62i -【试题解析】z z z +=(12i)(12i)12i 62i -++-=-.3.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 . 【测量目标】抛物线的定义.【考查方式】利用抛物线定义求解标准方程. 【难易程度】容易 【参考答案】28y x =【试题解析】定义知P 的轨迹是以(2,0)F 为焦点的抛物线，2p =所以其方程为28y x =.4.行列式ππcossin 36ππsin cos 36的值是 .【测量目标】行列式.【考查方式】考查行列式运算法则. 【难易程度】容易【参考答案】0【试题解析】ππcossin36ππsin cos 36=πππππcos cos sin sin cos 036362-==.5.22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线l :3440x y ++=的距离d = . 【测量目标】三种距离公式. 【考查方式】考查点到直线距离公式. 【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】2222:2440(1)(2)1,C x y y y x y +--+=⇒-+-=(步骤1)∴圆心()1,2到直线3440x y ++=距离为3542413=+⨯+⨯.(步骤2)6.随机变量ξ的概率分布列由下图给出：x7 8 9 10 ()P x ξ=0.30.350.20.15则随机变量ξ的均值是 .【测量目标】离散型随机变量的分布列. 【考查方式】考查期望定义式. 【难易程度】中等 【参考答案】8.2【试题解析】()70.380.3590.2100.158.2E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.7.2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园.在右边的框图中，S 表示 上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人 数，则空白的执行框内应填入 .第7题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出部分程序框图，根据题意将程序框图补充完整. 【难易程度】中等【参考答案】S S a ←+【试题解析】由题意可知S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示 整点报道前1个小时内入园人数，S 随a 的变化而变化，故空白的执行框内应填入S S a ←+.8.对任意不等于1的正数a ，函数()()log 3a f x x =+的反函数的图象都经过点P ，则点P 的坐标是 【测量目标】反函数.【考查方式】给出某一函数解析式，研究其反函数的图象所经过的定点. 【难易程度】中等 【参考答案】()0,2-【试题解析】()()log 3a f x x =+ 的图象过定点()2,0-，所以其反函数的图象过定点()0,2-. 9.从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率()P AB = (结果用最简分数表示）.【测量目标】随机事件与概率. 【考查方式】考查随机事件概率公式. 【难易程度】容易 【参考答案】726【试题解析】 ()1137525226P AB =++ . 10.在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅.当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= . 【测量目标】矩阵与行列式初步. 【考查方式】利用矩阵基本知识直接求解. 【难易程度】容易【参考答案】45【试题解析】1122339913579246845a a a a +++⋅⋅⋅+=++++++++=. 11.将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（n +∈N ，2n ）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞= .第11题图【测量目标】极限及其运算.【考查方式】给出直线方程，画出图象，根据微积分基本定理直接求定积分. 【难易程度】中等 【参考答案】1【试题解析】联立直线2l 和直线3l ，得0,,01nx y n nx y x ny n n +-=⎧⇒==⎨+-=+⎩(,)11n nB n n ∴++ ，直线2l 过点(1,0)C ，直线3l 过点(0,1)A ，（步骤1） BO AC ∴⊥，2,2,1n AC BO n ∴==+ n S =121221+=+⨯⨯n n n n , lim 1n n S →∞∴=.（步骤2） 12.如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ,剪去AOB △,将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A 、B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为第12题图【测量目标】平面图形的折叠问题.【考查方式】考查了平面图形的折叠问题及三棱锥的体积公式. 【难易程度】中等 【参考答案】823【试题解析】翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为22的正三棱锥，高为362所以该四面体的体积为32836223162131=⨯⨯⨯⨯.13.如图所示，直线2x =与双曲线22:14y λΓ-=的渐近线交于1E ,2E 两点，记11OE e =，22OE e =，任取双曲线Γ上的点P ，若12(OP ae be a =+、)b ∈R ， 则a 、b 满足的一个等式是第13题图【测量目标】双曲线的简单几何性质. 【考查方式】利用直线与双曲线之间的位置关系及平面向量的坐标运算直接求解. 【难易程度】中等 【参考答案】41ab =【试题解析】)1,2(),1,2(21-E E 12OP ae be =+=),22(b a b a -+，点P 在双曲线上，1)(4)22(22=--+∴b a b a ，化简得41ab =.14.从集合{},,,U a b c d =的子集中选出2个不同的子集，需同时满足以下两个条件： （1）a 、b 都要选出；（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ⊆或B A ⊆，那么共有 种不同的选法. 【测量目标】排列组合及其应用. 【考查方式】利用列举法直接求解. 【难易程度】中等 【参考答案】36【试题解析】列举法，共有36种二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．“()π2π4x k k =+∈Z ”是“tan 1x =”成立的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】给出两个等式，判断它们之间的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】ππtan(2π)tan144k +==，所以充分； 但反之不成立，如5πtan14=，所以不必要. 16.直线l 的参数方程是()122x tt y t=+⎧∈⎨=-⎩R ，则l 的方向向量d 可以是 （ ）A.()1,2B.()2,1C.()2,1-D.()1,2- 【测量目标】参数方程.【考查方式】参数方程与直角坐标方程之间的互化. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】直线l 的一般方程是052=-+y x ，21-=k ，所以C 正确. 17.若0x 是方程131()2xx =的解，则0x 属于区间 （ ）A. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭ B. 12,23⎛⎫⎪⎝⎭ C. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭ D. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【测量目标】函数的定义域.【考查方式】给出方程的一个解0x ，求其取值范围. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】312131312121,3121⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，∴0x 属于区间(13,12). 18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115，则此人能 （ ） A.不能作出这样的三角形 B.作出一个锐角三角形 C.作出一个直角三角形 D.作出一个钝角三角形 【测量目标】利用余弦定理判断三角形的形状.【考查方式】给出三角形的三条高的长度，利用面积相等及余弦定理判断三角形的形状. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】设三边分别为,,a b c ，利用面积相等可知11113115a b c ==， ::13:11:5a b c ∴=由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=A ，A ∴∠为钝角. 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分） 已知π02x <<，化简：2πlg(cos tan 12sin )lg[2cos()]lg(1sin 2)24x x x x x +-+--+.【测量目标】诱导公式及同角三角函数的基本关系，二倍角.【考查方式】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系，二倍角对函数进行化简. 【难易程度】容易 【试题解析】π02x <<， 2πlg(cos tan 12sin )lg[2cos()]lg(1sin 2)24x x x x x ∴+-+--+()()()lg sin cos lg cos sin lg 12sin cos x x x x x x =+++-+ ()()22lg sin cos lg sin cos x x x x =+-+()()2lg sin cos 2lg sin cos x x x x =+-+ 0=20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，n +∈N . （1）证明：{}1n a -是等比数列；（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由. 【测量目标】数列的通项公式n a 与前n 项和n S 的关系.【考查方式】给出数列的通项公式n a 与前n 项和n S 之间的关系，求证{}1n a -是等比数列及求数列{}n S 的通项公式，并通过判断其单调性来求最值. 【难易程度】中等【试题解析】（1）当1n =时，114a =-；当2n时，11551n n n n n a S S a a --=-=-++，()15116n n a a -∴-=-，（步骤1） 又11150a -=-≠，∴数列{}1n a -是等比数列；（步骤2）（2）由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（步骤3）从而()1575906n n S n n -+⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭N ；（步骤4） 解不等式1n n S S +<，得15265n -⎛⎫<⎪⎝⎭，562log 114.925n >+≈，（步骤5） ∴当15n时，数列{}n S 单调递增；（步骤6）同理可得，当15n时，数列{}n S 单调递减；故当15n =时，n S 取得最小值．（步骤7）21.（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6m 铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用2m S 塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到20.01m ）； （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3m 时， 求图中两根直线13A B 与35A B 所在异面直线所成角的大小.（结果用反三角函数表示）第21题图【测量目标】利用函数的单调性求最值，异面直线所成的角.【考查方式】先利用函数的单调性求最值，再通过利用平面向量的数量积运算解决平面向量的夹角问题. 【难易程度】中等【试题解析】 (1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则()1.2200.6l r r =-<<， ()23π0.40.48πS r =--+，（步骤1）∴当0.4r =时，S 取得最大值约为21.51m ；（步骤2）(2) 当0.3r =时，0.6l =，建立空间直角坐标系，可得13(0.3,0.3,0.6)A B =-， ()350.3,0.3,0.6A B =--，（步骤3） 设向量13A B 与35A B 的夹角为θ，则133513352cos 3A B A B A B A B θ==，（步骤4） ∴13A B 、35A B 所在异面直线所成角的大小为2arccos 3．（步骤5）第21题图22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分. 若实数x 、y 、m 满足x m y m --＞，则称x 比y 远离m . （1）若21x -比1远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2ab ab ； （3）已知函数()f x 的定义域k ππ,,24D x x k x ⎧⎫=≠+∈∈⎨⎬⎩⎭Z R .任取x D ∈，()f x 等于sin x 和cos x 中远离0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）. 【测量目标】解绝对值不等式，基本不等式证明不等式.【考查方式】考查对三角函数的基本性质的了解程度以及利用基本不等式证明绝对值不等式的能力. 【难易程度】较难 【试题解析】（1）211x ->，211x ∴->或211x -<-（舍去）（步骤1） ((),22,x ∴∈-∞-+∞；（步骤2）（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，有332a b ab b +>222a b ab ab b +> （步骤3）()()23322220a b ab b a b ab ab b a b a b +--+-=+->，332222a b a b ab ∴+->+-，即33a b +比22a b ab +远离2；（步骤4）（3）π3πsin ,k π,π44()ππcos ,π,π44x x k f x x x k k ⎧⎛⎫∈++ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪∈-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，（步骤5）性质：1︒ ()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称；2︒ ()f x 是周期函数，最小正周期π2T =； 3︒函数()f x 在区间ππππ,2422k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）单调递增，在区间ππππ,2424k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）单调递减；4︒函数()f x的值域为⎤⎥⎣⎦．（步骤6） 23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点P 的坐标为(),a b -.（1）若直角坐标平面上的点()(),0,,,0M A b B a -满足()12PM PA PB =+,求点M 的坐标； （2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E .若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；（3）对于椭圆Γ上的点()()cos ,sin 0πQ a b θθθ<<，如果椭圆Γ上存在不同的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=,写出求作点1P 、2P 的步骤，并求出使1P 、2P 存在的θ的取值范围.【测量目标】向量的坐标运算，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的范围问题.【考查方式】给出直线与椭圆的方程，联立方程组，用消元法解方程组，求证E 为CD 的中点并求出θ的取值范围. 【难易程度】较难【试题解析】 (1)设点M 的坐标为(),x y ，由题意可知(),PM x a y b =+-， (),2PA a b =-，()2,PB a b =-，（步骤1） ()12PM PA PB =+3232x a a y b b⎧+=⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，（步骤2）22a xb y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，,22a b M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭；（步骤3） (2)由方程组122221y k x p x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程()()222222221120a k b x a k px a p b +++-=， （步骤4）直线11:l y k x b =+交椭圆Γ于C 、D 两点，∴0∆>，即222210a k b p +->，（步骤5）设()11,C x y 、()22,D x y ，CD 中点坐标为()00,x y ， 则212102221201022212x x a k p x a k b b py k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩，（步骤6） 由方程组12y k x p y k x =+⎧⎨=⎩，消y 得方程()21k k x p -=，（步骤7） 又2221b k a k =-，2102222112202221p a k p x x k k a k b b p y k x y a k b ⎧==-=⎪-+⎪∴⎨⎪===⎪+⎩，（步骤8） 故E 为CD 的中点；（步骤9）(3) 求作点1P 、2P 的步骤：1︒求出PQ 的中点()()1cos 1sin ,22a b E θθ--⎛⎫- ⎪⎝⎭， 2︒求出直线OE 的斜率()()21sin 1cos b k a θθ+=-， 3︒由12PP PP PQ +=知E 为CD 的中点，根据(2)可得CD 的斜率()()21221cos 1sin b b k a k a θθ-=-=+， 4︒从而得直线CD 的方程：()()()()1sin 1cos 1cos 21sin 2b b a y x a θθθθ+--⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭， 5︒将直线CD 与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点1P 、2P 的坐标．（步骤10）欲使1P 、2P 存在，必须点E 在椭圆内，()()221cos 1sin 144θθ-+∴+<，化简得1πsin cos ,sin 24θθθ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，（步骤11）又0πθ<<，即ππ3π444θ-<-<，ππarcsin 444θ∴-<-<，（步骤12）故θ 的取值范围是π0,arcsin 44⎛+ ⎝⎭．（步骤13）。

中国农业大学2010 ~2011学年秋季学期高等数学A 课程考试试题(A 卷)答案 2011/01(注意：本试卷共有八道大题，满分100分，考试时间100分钟)一、单项选择题(本题共有4道小题，每小题3分，满分12分)，请将合适选项填在括号内．1．设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是【 D 】.（A ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =（C ）若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在 （D ）若0()()lim x f x f x x →--存在，则(0)f '存在.2. 设20()sin x f x tdt =⎰，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的【 A 】.（A ）高阶无穷小 （B ）同阶但非等价无穷小 （C ）等价无穷小 （D ）低阶无穷小. 3. 设()x f 是[]a a ,-上的连续函数，则()()cos a af x f x xdx ---⎡⎤⎣⎦⎰=【 B 】.（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）无法计算.4. 下列选项正确的是【 C 】.(A) ⎰-1121dx x = 2 (B) ⎰-1121dx x = - 2(C) dx x ⎰-1121 不存在 (D) dx x⎰-1121= 0 . 二、填空题(本题共有4道小题，每小题3分，满分12分)，请将答案填在横线上． 1. 已知0sin lim3(2)x kxx x →=-+，则k 的值等于 -6 .2.已知cos x x 是()f x 的一个原函数，则cos ()d x f x x x ⋅=⎰____21cos ()2x C x+_______.3. 计算定积分10x =⎰______4π_____________.4. )(x f y =是偶函数，在曲线)(x f y =上点（1，2）处的切线方程为053=+-y x ，则曲线在点（-1，2）处的切线方程为___053=-+y x ________________. 三、计算下列各题（本题共有4道小题，每小题6分，满分24分）.1．求极限 30sin lim x x xx→-. 解：33300sin 6lim lim x x x x xx x →→-= ……………………………3分16= ……………………………6分 2．求参数方程231x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数）所确定的函数()y f x =的导数22,dy d ydx dx . 解：23322dy t tdx t == ……………………………3分 '223()3224t d y dx t t== ……………………………6分 3. 求不定积分ln d x x x⎰. 解：ln d ln d(ln )xx x x x=⎰⎰ ……………………………3分 2(ln )2x C =+ ……………………………6分4. 已知0()()()d xF x x t f t t =-⎰，求()F x 的二阶导数.解： 0()()()d ()d ()d x x xF x x t f t t xf t t tf t t =-=-⎰⎰⎰ ……………………………2分()[()d ()d ]()d ()()()d x x x xF x x f t t tf t t f t t xf x xf x f t t ''=-=+-=⎰⎰⎰⎰ ………………………4分()(()d )()xF x f t t f x '''==⎰ ……………………………6分四、（本题满分10分）求函数xn e n x x x y -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=!!212 的极值 (其中n 为正奇数).解：xn xn e n x x x en x x x y ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++='!!21)!1(!21212xn e n x --=!， ……………………………3分驻点为0x =， ……………………………5分由于n 为正奇数，当0x <时，0<nx ，故,0>'y 故y 单调上升 ； ……………7分当0x >时，0>n x ，故,0<'y 故y 单调递减 ； ……………………………9分因此0x =为函数的极大值点，且极大值为(0)1y =. ……………………………10分五、（本题满分10分）设()f x 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明02()d 1xx f t t -=⎰在[0,1]上只有一个解. 证明：（1）存在性()2()d 1xF x x f t t =--⎰ ……………………………2分(0)1,F =- ……………………………3分1(1)1()1()0F f x dx f ξ=-=->⎰ ……………………………4分函数()f x 在[0,1]上连续，根据介值定理，则存在(0,1)ξ∈，使得()0F ξ=. ……………………………6分（2）唯一性()2()0F x f x '=->， ……………………………8分函数()F x 在[0,1]上单调增加，从而()F x 在[0,1]有唯一的根.……………………10分六、（本题满分10分）求经过三点123(1,1,1),(2,0,1),(1,1,0)P P P --的平面方程. 解：法一：12(1,1,0),PP =-13(2,2,1)PP =--- ……………………………2分 取1213110(1,1,4),221ij kn PP PP =⨯==-=---- ……………………………6分平面方程为(1)(1)4(1)0,x y z -+---= ……………………………10分整理得420.x y z +-+= ……………………………10分法二：所求平面的方程为1111100221x y z ----=--- 整理得420.x y z +-+=七、（本题满分10分） 设函数()f x 在[]0,1上可微，且满足()()-=⎰12012d 0,f x f x x 证明在()0,1内至少存在一点ξ，使'=-()()f f ξξξ.证明: 作辅助函数 )()(x xf x =ϕ， ……………………………2分根据积分中值定理，由-=⎰120(1)2()d 0f x f x x 得到 -⋅=1(1)2()02f c f c即()()1f c f c = ……………………………5分 显然，)(x ϕ在[,1]c 上连续，在(,1)c 内可导，且()(1)c ϕϕ=，可见，)(x ϕ满足罗尔定理，…………………………7分所以，在(),1(0,1)c ⊂内至少有一点ξ，使0)()()(=ξ'ξ+ξ=ξϕ'f f . 即 '=-()()f f ξξξ. ……………………………10分八、（本题满分12分）求曲线22y x x =-与0,1,3y x x ===所围成的平面图形的面积S ，并求该图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.解：22221112(02)(2)3S x x dx x x dx =-+=-=⎰⎰. ……………………………2分 32224(2)3S x x dx =-=⎰. ……………………………4分 所以1224233S S S =+=+=. ……………………………6分 平面图形1S 绕y 轴旋转一周所得的体积为：21111(16V dy πππ-=+-=⎰. ……………………………8分平面图形2S 绕y 轴旋转一周所得的体积为：232204333(16V dy πππ=⋅⋅-+=⎰. ……………………………10分 旋转体的体积为121143966V V V πππ=+=+=. ……………………………12分 或222111112()2(2)6V xf x dx x x x dx πππ==-=⎰⎰. 332222432()2(2)6V xf x dx x x x dx πππ==-=⎰⎰. 旋转体的体积为121143966V V V πππ=+=+=.。

（勤奋、求是、创新、奉献）2010～ 2011 年第 1 学期期终考试试卷 2011.1课程序号___________ 班级 __________ 学号 __________ 姓名 __________《高等数学(一)》试卷（A 卷） 工科类（本卷考试时间120分钟）一、填空题（每小题3分，共5×3=15分）1．若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b ．2．⎰-+22421sin dx xx x = ．3．已知⎰-=202)cos 1()(x dt t x f ，则)(x f '= ．4．微分方程0=-y dxdyx满足初始条件1)1(=y 的特解为 ． 5．曲线)1ln(2x y -=上相应于210≤≤x 的弧长=s ．（只需写出定积分表达式，不需计算．）二、单项选择题(每小题3分，共5×3=15分)1．设x x y ln =，则=''y （ ）. A ．1ln +x ； B ．x 1； C ．x 1-； D ．21x． 2．设)(x f 为可导函数，下列关系式中，正确的是( ). A ．)(])([x f dx x f =''⎰； B ．C x f dx x f +='⎰)()(； C ．C x f dx x f +=''⎰)(])([； D ．)()(x f dx x f ='⎰．3．设)(x f 是连续函数，且⎰+=20)(3)(dt t f x x f ，则=)(x f ( ).A ．56-x ； B ．56+x ； C ．1+x ； D ．1-x ． 4． 设)(x f 在),(+∞-∞内二阶可导，且0)(>''x f ，0)0(=f ，下列结论正确的是（ ）. A ．)(x f 在),(+∞-∞内单调增加； B ．xx f )(在),0(+∞内单调增加； C ．)(x f 在)0,(-∞内单调减少； D ．xx f )(在),0(+∞内单调减少． 5．下列结论中正确的是（ ）． A ．⎰∞++1)1(1dx x x 收敛； B ．⎰+10)1(1dx x x 收敛；C ．⎰∞++1)1(1dx x x 发散； D ．⎰1021dx x 收敛．三、计算题（必须要有解题过程）（本大题共6小题，每小题7分，共6×7=42分） 1．求极限xx x x x sin sin lim 2-→．2．设⎩⎨⎧=+=t e y t x sin 2，求22,dx y d dx dy ．3．求不定积分dx xx⎰+cos 1sin 3．4．设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=.0,1;0,11)(x x x x x f 求定积分dx x f ⎰-221)1(．5．求微分方程x xy y x cos 2)1(2--='-的通解．6．求微分方程x e y y y 26=-'-''的通解．四、[7分] 求曲线x y sin =和它在2π=x 处的切线，以及π=x 所围成图形的面积．五、应用题[6分] 一个半径为2m, 高为6m 的正圆锥形水池内充满了水，要把池内的水全部吸尽，需作多少功（计算过程中，水的密度ρ、圆周率π和重力加速度g 的值不要求代入）？六、[10分] 设1D 是由抛物线22x y =和直线2,==x a x 及0=y 所围成的平面区域；2D 是由抛物线22x y =和直线a x =及0=y 所围成的平面区域，其中20<<a ，1D 绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积1V ，2D 绕y 轴旋转一周而成的旋转体体积2V ．试求a ，使21V V +取得最大．七、证明题[5分]设函数()f x 具有二阶导数，且满足)1()2(f f >，⎰>32)()2(dx x f f ，则至少存在一点)3,1(∈ξ，使得0)(<''ξf ．附加题（每小题6分，共2×6=12分）1．设对于任意0x >，曲线()y f x =上的点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01()xf t dt x⎰，求()f x 的表达式．2．证明：设函数)(x f y =在]1,1[-上具有连续的导数，若0)1()1(==-f f ，2)0(=f ，则在)1,1(-内至少存在一点ξ，使得,)(k f ='ξ其中]2,2[-∈k ．。

1 (1, 1, 2, 4), 2 (0,3,1, 2), 3 (3, 0, 7,14), 4 (1, 1, 2, 0) 。
解：
A 1 2 3
1 1 4 2 4
0 3 1 1 3 0 1 0 1 7 2 0 2 14 0 0
L(1 2 ,1 3 ) or L(1 2 ,2 3 ) 。
的转置。
8. 非齐次实线性方程组 Amn x b 有无穷多解，则 ( AA)* = 0 ；若此非齐次实线性方程组的导出组
有唯一解，则 rank ( AA) = n 。
*
一 填充题（每空 2 分，共 20 分）
1 0 ，………………………………………………………………….2 分 2 1
B
A A A A 2 (n 1) n 1 A ……………..(4 分) A nA 0 (n 1) A
则 X 是 4 2 的列满秩矩阵，且 AX 0 .。 命题纸使用说明：1、字迹必须端正，以黑色碳素墨水书写在框线内，文字与图均不得剪贴，以保证“扫描”质量；
0 1 0 0
3 1 1 0 ，………………4 分 0 4 0 0
从而 1 , 2 , 4 是一个极大线性无关组，故向量组的秩是 3。……………………………4 分
3 31 2 。…………………………………………………………………………..2 分
1 3 2 1 ,求一个 4 2 的列满秩矩阵 X ，使得 AX 0 . 15.（10 分）设 A 1 2 2 2 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 解： A 1 1 1 3 0 0 1 2 1 1 2 3 0 0 0 0