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整数规划的数学模型分枝定界法割平面法型整数规PPT课件

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数据、模型与决策 第四章 整数规划ppt课件

数据、模型与决策 第四章 整数规划ppt课件
性规划，也称为全整数线性规划。 • 混合整数线性规划 • 决策变量中的一部分必需取整数值，
而其他的可以不取整数值的整数线性规 划。 • ０－１型整数线性规划 • 决策变量只能取０或１的整数线性规
4.1.3 建立整数规划模型
• 实例分析： • 一家电子厂消费两种产品Ａ１和Ａ２，
需经过三道工序加工：Ｂ１，Ｂ２，Ｂ ３。单件加工利润以及各工时每周限额 如表所示。应该如何安排消费才干获得 最大利润？
• 最后求得最优解为 A＝４，B＝１， 目的函数为１４。
问题二上 界14.5下界
13
松弛问
题上界 14.75下 界13
问题三上界 13.5下界13
问题四 A=3B=2Z=13
问题五 A=4B=1Z=14
• 利用分枝定界法求解整数规划问题的步 骤:
• 第一步：求解相应的线性规划问题，并 确定目的函数值的上下界。
4.4.2 0-1规划的解题过程
• 实例分析： • ＡＫ公司预备开发几种新产品，该公司的四个
工程小组分别都提出了各自的方案，但是由于 公司的投资金额有限，不能对一切工程进展投 资，必需在其中作出选择。表４－５列出了各 个工程对于资金、任务人员以及将会产生的净 现值的情况。总的投资额为１１００万元，可 以调用的任务人员一共有２２人。关于投资的 工程，还有一个附加条件，即工程１和工程４ 由于某些缘由不得同时投资。应该如何挑选投 资工程？
工程
产品
A
〔件〕
1
A 产品 〔件〕 2
工时限额 〔小时/周〕
工序B1 0.4 0.5 200
工序B2 0.4 0.3 180
工序B3 0.3 0.2 120
利润〔元/件〕 30 28 --
解题过程：

运筹学第五章 整数规划ppt课件

运筹学第五章 整数规划ppt课件
，求解过程停止。 3.B有最优解，但不符合A的整数条件，记其目标函数值为z1。
第二步：确定A的最优目标函数值z*的上下界，其上界即为 z ,再用观察法
找到A的一个整数可行解，求其目标函数值作为z*的下界，记为z。
第三步：判断 z 是否等于z 。若相等，则整数规划最优解即为其目标函
数值等于z的A的那个整数可行解；否则进行第四步。
2020/3/2
11
•割平面法，即通过添加约束条件，逐步切割可行区域的 边角余料，让其整数解逐步的露到边界或顶点上来，只要 整数解能曝露到顶点上来，则就可以利用单纯形法求出来。
•关键是通过添加什么样的约束条件，既能让整数解往边 界露，同时又不要切去整数解，这个条件就是Gomory约束 条件。 •Gomory约束只是割去线性规划可行域的一部分，保留了 全部整数解。
2020/3/2
7
7
第二节 割平面法
2x1 2x2 11
13/4,5/2
松弛问题 x1+x2≤5 第二次切割
2020/3/2
第一次切割 4,1
8
设纯整数规划
n
m a x Z c j x j j 1

s
.t
.

n j 1
aij x j

bi

x
j

0且
为
整
数
，
j

1,L
引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证yi=0 xi=0 这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500

整数规划的数学模型分枝定界法割平面法型整数规

整数规划的数学模型分枝定界法割平面法型整数规

将 L0 分解为 L1 和 L2，其中： L1={L0, x2 7} L2={L0, x2 8}

2018/9/17
求解练习题
L1 求解单纯形表 cj 2 5 4 0 0 CB XB x1 x2 x3 x4 x7 4 x3 1/2 0 1 1 -1/2 5 x2 1/2 1 0 0 1/2 0 x6 3/2 0 0 -5 5/2 0 x7 0 1 0 0 0 σ 基变量系数向量单位化 cj 2 5 4 0 0 CB XB x1 x2 x3 x4 x7 4 x3 1/2 0 1 1 -1/2 5 x2 1/2 1 0 0 1/2 0 x6 3/2 0 0 -5 5/2 0 x7 -1/2 0 0 0 -1/2 -5/2 0 0 -4 -1/2 σ
……...
am1 x1+ am2 x2 +…+ amn xn (=,) bm x1~n 0 且取整数 纯整数规划: 所有变量都有取整约束 混合整数规划: 只有部分变量有取整约束
2018/9/17
分枝定界法
1.分枝定界法的基本思路 2.第65页例5-1
3.练习题
2018/9/17
分枝定界法的基本思路
2018/9/17
用割平面法解例
x2 +3/4 x3 +1/4 x4 =7/4 现将各系数分成整数和非负真分数两部分，从而可得： (1+0)x2+(0+3/4) x3+(0+1/4) x4 =(1+3/4) 将整数部分的变量移至等式右端有： 3/4 x3 +1/4 x4 =3/4+（1- x2 ） 非负整数解(1- x2)为整数，左端非负故有： 3/4 x3 +1/4 x4 =3/4+非负整数 从而： 3/4 x3 +1/4 x4 3/4 或 x2 1 以 x2 1为割平面可使可行域减少一个包括A点在内的三角形。 2018/9/17

运筹学 第五章 整数规划PPT课件

运筹学 第五章 整数规划PPT课件

x 32
x 42
400
x 13
x 23
x 33
x 43
300
x 14 x 24 x 34 x 44 1 5 0
s
.t
x 11 x 21
x 12 x 22
x 13 x 23
x 14 x 24
400 600
x
31
x 32
x 33
x 34
200 y3
x 41 x 42 x 43 x 44 2 0 0 y 4
max Z 85x11 92x12 73x13 90x14 95x21 87 x22 78x23 95x24 82x31 83x32 79x33 90x34 86x41 90x42 80x43 88x44
要求每人做一项工作，约束条件为：
x11 x12 x13 x14 1
例5.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x2
14 x1 9 x2 51
6 x1
3x2
1
x
1
,
x2
0且 为 整 数
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问题）
max Z x 1 x 2
14
x1 6x
1
9x2 3x
2
51 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
,
x2
0
用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
在很多场合，我们建立最优化模型时，实际问题要求决 策变量只能取整数值而非连续取值。此时，这类最优化 模型就称为整数规划（离散最优化）模型。
整数规划的求解往往比线性规划求解困难得多，而且， 一般来说不能简单地将相应的线性规划的解取整来获得。

整数规划解法-优质课件

整数规划解法-优质课件

1 2 0 0
0 2 0 3
1 2 4 0 2 0 3 0
1 2 0 0 0 2 0 3 0 2 4 0 2 2 3 1
19
若矩阵A的元素可分成“0”与非“0”两 部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等 于位于不同行、不同列的“0”元素的最 大个数。
交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人专长不同，他们 完成翻译不同文字所需的时间(h)如表所示。问：如何分 配任务使效率最高（所需总时间最短）？
从人的 角度看
工作
人甲
乙
丙丁
译成英文
2
10
9
7
从任务 角度看
译成日文
15
4
14 8
译成德文
13
14
16 11
译成俄文
4
15 13 9
12Βιβλιοθήκη 指派问题的一般模型 假设： [aij]表示指派问题的效率矩阵 xij表示决策变量，决策变量的取值：
选X1分枝
问题(2) (1) X1 4
问题(3) (1) X1 5
将[4,5]之间的非整数部分舍去
7
问题2 解为 X1 =4 Z=349.0
X2 =2.1
问题3
解为 X1 =5
Z=341.39
X2 =1.571
选(2)继续分枝
问题(4)
(2)
X2 2
问题(5)
(2)
X2 3
8
(1) 4.809 355.890 1.817
i+1
Xji*
X*
(B) (C)
Xj i+1
(B) (D)
Xj i
5
例： max Z=40X1 + 90X2 9X1+7X2 56 7X1+20X2 70

《管理运筹学》03- 整数规划

《管理运筹学》03- 整数规划

ppt课件整数规划整数规划
3
3.1 整数规划问题及其建模
例3-1背包问题
max z= 17x1 +72x +35x
s.t.
10x1 2 +42x 3 +20x ≤50
x1, 2 x2,
3 x3
≥0
x1,
x2,
x3为整数
线性规划最优解为: x1=0，x2=0，x3=2.5
而整数规划的最优解是 x1=1，x2=0，x3=2
T
5
ppt课件整数规划整数规划
22
-2x2+3x1+5x3≥5 ◎
点
条件
◎
①
②
③
④
满足条件？ 是（T）否（F）
Z
（0 1 0） 3
F
（0 1 1） 8
0
2
1
5
T
8
-2x2+3x1+5x3≥8 ◎
点
条件
◎
①
②
③
④
满足条件？ 是（T）否（F）
Z
（1 0 0） -2
F
（1 0 1） 3
F
（1 1 0） 1
工件
A
B
C
D
工人
效
甲
14
9
4
15
率
乙
11
7
9
10
矩
丙
13
2
10
5
阵
丁
17
9
15
13
ppt课件整数规划整数规划
24
设xij=1表示第 i人送j货，否则xij=0
上述问题的模型为：
44

第5章整数规划第1,2节 运筹学ppt


X(0) (b1,b2 , ,br, ,bm,0, ,0)T
目标函数Z 最 (0.其 ) 优b 中 i(值 i1,为 2, ,m)不全为
2、定界：
记( IP )的目标函数最优值为Z* ,以Z(0) 作为Z* 的上界，
记为 ＝ZZ(0) 。再用观察法找出一个整数可行解 X′，
并以其相应的目标函数值 Z′作为Z* 的下界，记为Z＝ Z′,
无 B6可: 行解
z5 308
2
1
B5
01234567
分支定界的全过程：
x1 4
B : x1 4 .81 x 2 1 .82
z0,z 356
z 0 356
x1 5
B1 : x1 4.00 x2 2.10 z1 349
B2 : x1 5.00 x2 1.57 z 2 341
z 0 z 349
——混合整数规划（Mixed Interger Programming,MIP） 全部决策变量取0或1的规划问题:
——0-1规划（Binary Interger Programming,BIP） 整数规划中不考虑整数条件所对应的规划问题:
——该整数规划的松弛问题
整数线性规划一般形式：
n
max(min) z c j x j j 1
14
x1 6x
9x2 1 3x
2
51 1
x1 , x 2 0
max Z x1 x 2
14
x1 6x
9x2 1 3x
2
51 1
(1) (2)
x1 , x 2 0
用图解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
⑴
3 2

整数规划ppt课件


可行解的凸组合不一定满足整数要求，因而不一定
仍为可行解）。
2021精选ppt
第13页
产生问题：利用对松弛问题的最优解中不符合整
数要求的分量简单地取整，是否能得出整数规划
问题的最优解呢？
2021精选ppt
第14页
3. 对松弛问题的最优解中不符合整数要求的分量简 单地取整，所得到的问题解：
不一定是整数线性规划问题的最优解。
θi
CB XB
b
x1 x2
x3
x4
x5
x6
6 x2 88/23 0 1 4/23 -3/23 0 0
5 x1 72/23 1 0 -3/23 8/23 0 0
-M x6 4 1 0 0 0 -1 1
c j– z j
2021精选ppt
第43页
将 x1 的系数列向量变为单位向量，并计算检验数
cj
5
CB XB
第8页
整数线性规划
松弛问题
n
max( 或 min) z c j x j j1
n
a ij x j ( 或 ， )b i , i 1 ,..., m
j1 x j 0 , j 1 ,..., n
x
1
,...,
x n中部分或全部取整数
n
max( 或 min) z c j x j j1
甚至也不一定是整数线性规划问题的可行解。
2021精选ppt
第15页
例：
mz a 2 xx 0 1 1x 0 2
5 x 1 4 x 2 24
2 x
x
1
1
,
x2
5x
2
0
13
x 1 , x 2 整 数

4.3-分枝定界法和割平面法


剪枝 x 3 再分枝： 2
不是问题A解 而z (12 ) z
B1 : x1 4.00 x2 2.10 z (1) 349 z
z (12 ) 327
4
x2 2
B11 : x1 4.00 x2 2.00 z (11) 340
定界： z 340 z 341
z 340 z 341
分支定界的全过程： B2 : x1 5.00 B1 : x1 4.0 0
x 2 2 .1 0
x2 1.57
x2 2
z
(1)
B11 : x1 4.00 x2 2.00 z
(11)
xx 34 2 最优解： 1
3 49
z ( 2 ) 341
（3）求解
点
求解过程如表4－6所示。
过滤条件 约束 ④ × √ √ √ 4x1＋3x2＋2x3≥5 × √ × √ √ √ √ × √ √ 5 √ 2 ① ② ③ z值
4x1＋3x2＋2x3≥2
（0，0，0）T （0，0，1）T （0，1，0）T （0，1，1）T （1，0，0）T （1，0，1）T
§4 分枝定界法
第二步:定界
记A的目标函数最优值为z*,以z(0)作为z* 的上界,记为 z =z(0).再用观察法找的一个整数可 行解X′,并以其相应的目标函数值z′作为z*的下 界,记为z＝z′,也可以令z＝－∞,则有: *
zz z
§3 分枝定界法
第三步:分枝
在以上界 z 所对应的解 X (b1,, br ,, bm ,0,,0)T 中,任选一个不符合整数条件的变量,例如 br(不 为整数),以 [br ]表示不超过 br 的最大整数.构造 两个约束条件

整数规划 PPT课件


设xj为列车上装载pj的数量，则xj必为非负整数，根据该n货a船jx j最大b 可承载b吨货
物可知所有集装箱的重量之和必须b，故有约束条件：
j1 n
f
cjxj
j1
由对每个j种货物收费为cj，可知载货的总收入为：
n
该例的目标即使得目标函数f最m大ax化。f 综合i 1上cj述x j 分析可得如下整数规划问题：
第11页/共82页
求解整数规划的理论基础
• 利用分解技术求解整数规划中的几个概念
• 分解
对于整数规划问题P，令F (P)表示P的m 可行域。对问题 P的子问题 P1, …, Pm，若满足下述条件： i 1 F(Pi ) F(P)
F(Pi ) F(Pj )
(1 i m,1 j m, i j)
则称P问题被分解成为子问题P1, …, Pm之和，最常用的方法就是两分法，例如若xj是P的0-1变量， 则问题P可以按照条件xj=0和xj=1分解成两个问题之和。
• 求解思路 • 由上述分析可知，舍入法一般是不可取的，当然如果对应线性规划的最优解恰好满足整数要求，则该 解也是整数规划的最优解，那么何时才能满足此要求呢？我们直接给出一个结论： 假设由整数规划问题除去整数要求之后得到的线性规划标准型中，等式约束个数等于决策变量个 数(m=n)，则此时的等式约束构成一个线性方程组Ax=b，如果det(A) = 1或-1，则解x一定是整数 向量，当然这种情况在解决实际问题的过程中一般还是比较少见的。 • 对于整数规划问题的解法，一般有利用分解技术的算法和不利用分解技术的算法 • 利用分解技术的算法有分枝定界法和针对0-1规划的隐枚举法 • 不利用分解技术的算法为割平面法和群论方法 • 针对特定的问题还有特定的简化方法，例如求解分派问题的匈牙利方法，等等。
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会有比其自身还大（目标函数求极大值）的最优目标值。当所有子问题的解均为非整数
可行解时，应首先选择具有最大最优目标值的子问题来分枝；当得到第一个整数可行解
时，它的相应目标值可作为该整数规划最优值的下界，舍掉所有最优值不大于该下界的
子问题。按最优值的大小顺序对保留下来的子问题进行分枝，如果出现具有更大目标值
x1
5
x1，x2 0
L1 ：X* = (4, 2.10), Z* = 349
L2 ：X* = (5, 1.57), Z* = 341
2020/8/11
10
用分枝定界法解例5-1
3.分解L1形成L3、L4，其中：
L3 = {L1, x22}
L4 = {L1, x23}
L3 : X* = (4, 2), Z* = 340
混合整数规划: 只有部分变量有取整约束
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3
分枝定界法
1.分枝定界法的基本思路
2.第65页例5-1
3.练习题
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4
分枝定界法的基本思路
利用连续的(线性规划)模型来求解非连续的(整数规划)问题。假设 x r
是一个有取整约束的变量而它的最优连续值
x
r
是非整数，那么下列区间
max(min)(c1 x1+ c2 x2 +…+ cn xn )
a11 x1+ a12 x2 +…+ a1n xn (=,) b1
a21 x1+ a22 x2 +…+ a2n xn (=,) b2
……...
am1 x1+ am2 x2 +…+ amn xn (=,) bm x1~n 0 且取整数 纯整数规划: 所有变量都有取整约束
1.整数规划的数学模型
2.分枝定界法
3.割平面法
4.0-1型整数规划
5.指派问题
2020/8/11
1
整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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2
整数规划的数学模型
1 1 -1/2 0 9/2 0 0 1/2 0 15/2 0 -5 5/2 1 7/2
σ
-5/2 0 0 -4 -1/2 0
2020/8/11
16
求解练习题
将 L0 分解为 L1 和 L2，其中： L1={L0, x2 7} L2={L0, x2 8}
2020/8/11
17
求解练习题
L1 求解单纯形表
0 1 1 -1/2 1 0 0 1/2 0 0 -5 5/2 0 0 0 -1/2 0 0 -4 -1/2
2020/8/11
0 x5
0 0
1 0
0 x5
0 0
1 0 0
0 x6
0 0 0 1
b
9/2 15/2
7/2 7
0 x6
0 0 0 1 0
b
9/2 15/2
7/2 -1/2
18
L6 : 无可行解
(1)舍弃L5、L6；
(2)得最优解X* = (4, 2), Z* = 340。
2020/8/11
12
例5-1求解过程示意图
L0 (4.81，1.82)
356
L1 (4，2.1)
349
L3 (4，2)
340
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L4 (1.42，3)
327
L2 (5，1.57)
341
[xr ]
xr
[xr ]
1 不可能包含任何整数解，这里[ x r
]表示
x
r
的取整值。因此，
xr 的可行整数值必然满足此二条件之一：xr [xr]或 xr [xr] 1。
2020/8/11
5
分枝定界法的基本思路
把这两个约束条件分别加到原来的解空间上，便产生了两个互斥的子问题。这便是
分枝的含义。由于分枝过程是通过增加约束条件来实现的，因此每一问题的子问题都不
7x1+20x2=70 9 10 x1
9
用分枝定界法解例5-1
2.将L0分解为L1和L2
L1 ：max z = 40x1 + 90x2
9x1 + 7x2 56
7x1 +20x2 70
x1
4
x1，x2 0
L2 ：max z = 40x1 +
90x2
9x1 + 7x2 56
7x1 +20x2 70
L5 (5.44，1)
308
L6 无可行解
13
练习题
max z = 2x1 + 5x2 + 4x3
x1 + x2 + x3 12
x1 + 2x2
15
4x1
+ 5x3 26
x1~3 0且取整
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14
求解练习题
首先求解线性规划L0 :
max z = 2x1 + 5x2 + 4x3
cj
25400
CB XB
4
x3
5
x2
0
x6
0ห้องสมุดไป่ตู้
x7
σ
x1
x2
x3
x4
x7
1/2 0 1 1 -1/2
1/2 1 0 0 1/2
3/2 0 0 -5 5/2
01000
基变量系数向量单位化
cj CB XB
4
x3
5
x2
0
x6
0
x7
σ
2
x1 x7 1/2 1/2 3/2 -1/2 -5/2
5400
x2
x3
x4
的整数可行解，将下界更新为此整数可行解的目标值并进一步剪枝。从复这一过程，最
终保留下来的整数可行解即为整数规划的最优解。
2020/8/11
6
第65页例5-1
max z = 40x1 + 90x2
9x1 + 7x2 56
7x1 +20x2 70 x1，x2 0且取整
2020/8/11
7
用分枝定界法解例5-1
L4 : X* = (1.42, 3), Z* = 327 (1)取下界min=340(L3); (2)舍弃L4
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用分枝定界法解例5-1
4.分解L2形成L5、L6，其中：
L5 = {L2, x21}
L6 = {L2, x22}
L5 : X* = (5.44, 1), Z* = 308
x1 + x2 + x3 + x 4 = 12
x1 + 2x2
+ x5 = 15
4x1
+5x3 + x6 = 26
x1~6 0
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求解练习题
线性规划 L0 的最终单纯形表
cj CB XB
2540
x1
x2 x3
x4
00
x5
x6 b
4 x3 1/2 0 5 x2 1/2 1 0 x6 3/2 0
1.求解相应的线性规划L0 max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1，x2 0
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用分枝定界法解例5-1
x2
5
9x1+7x2=56
4
3
2
1
0 12345678
L0 : x* = (4.81, 1.82), Z* =356 2020/8/11