浙江省201x年中考数学复习微专题六以特殊四边形为背景的计算与证明训练

（浙江宁波第24题）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD 的四边BA 、CB 、DC 、AD 分别延长至E 、F 、G 、H ，使得AE CG ，BF DH ，连接EF ，FG ，GH ，HE .(1) 求证：四边形EFGH 为平行四边形；(2) 若矩形ABCD 是边长为1的正方形，且45FEB ∠°，tan 2AEH∠，求AE 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）2 【解析】试题分析：（1）易证AH =CF ，结合已知条件由勾股定理可得EH =FG ，同理可得EF =GH ，从而得证. （2）设AE =x ，则BE =x +1，由45FEB ∠°可得DH =x +1，AH =x +2,由tan 2AEH ∠可求出结果.试题分析：（1）在矩形ABCD 中，AD =BC ，∠BAD =∠BCD =90° 又∵BF =DH ∴AD +DH =BC +BF 即AH =CF在RtΔAEH 中，EH 22AE AH+在RtΔCFG 中，FG 22CG CF +∵AE =CG ∴EH =FG 同理得：EF =HG∴四边形EFGH 为平行四边形． （2）在正方形ABCD 中，AB =AD =1 设AE =x ,则BE =x +1∵在RtΔBEF 中，45FEB ∠° ∴BE =BF ∵BF =DH ∴DH =BE =x +1∴AH=AD+DH=x+2∵tan2AEH∠∴AH=2AE∴2+x=2x∴x=2即AE=2考点：1.矩形的性质；2.平行四边形的判定；3.正方形的性质；4.解直角三角形.4.（甘肃庆阳第26题）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．【答案】(1)证明见解析.（2）413．【解析】试题分析：（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．（2）当四边形BEDF是菱形时，BE⊥EF，设BE =x ，则 DE =x ，AE =6﹣x ， 在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2， ∴x 2=42+（6﹣x ）2， 解得：x =133， ∵BD =22213AD AB +=，∴OB =12BD =13， ∵BD ⊥EF ， ∴EO =222133BEOB -=， ∴EF =2EO =4133． 考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质．5.（广西吴江第26题）已知，在Rt ABC ∆中，90,4,2,ACB AC BC D ∠===是AC 边上的一个动点，将ABD ∆沿BD 所在直线折叠，使点A 落在点P 处.（1）如图1，若点D 是AC 中点，连接PC . ①写出,BP BD 的长；②求证：四边形BCPD 是平行四边形. （2）如图2，若BD AD =，过点P 作PH BC ⊥交BC 的延长线于点H ，求PH 的长. 【答案】（1）①BD =22，BP = 25．②证明见解析；（2）45． 【解析】试题分析：（1）①分别在Rt △ABC ，Rt △BDC 中，求出AB 、BD 即可解决问题； ②想办法证明DP ∥BC ，DP =BC 即可；（2）如图2中，作DN ⊥AB 于N ，PE ⊥AC 于E ，延长BD 交PA 于M ．设B D =AD =x ，则CD =4﹣x ，在Rt △BDC 中，可得x 2=（4﹣x ）2+22，推出x =52，推出DN =2252BD BN -=，由△BDN ∽△BAM ，可得DN BD AM AB=，由此求出AM ，由△ADM ∽△APE ，可得AM ADAE AP=，由此求出AE =165，可得EC =AC ﹣AE =4﹣165=45由此即可解决问题． 试题解析：（1）①在Rt △ABC 中，∵BC =2，AC =4，∴AB =222425+=，∵AD =CD =2，∴BD =222222+=，由翻折可知，BP =BA =25． ②如图1中，∵△BCD 是等腰直角三角形， ∴∠BDC =45°， ∴∠ADB =∠BDP =135°， ∴∠PDC =135°﹣45°=90°， ∴∠BCD =∠PDC =90°， ∴DP ∥BC ，∵PD =AD =BC =2， ∴四边形BCPD 是平行四边形．（2）如图2中，作DN ⊥AB 于N ，PE ⊥AC 于E ，延长BD 交PA 于M ．设BD =AD =x ，则CD =4﹣x ， 在Rt △BDC 中，∵BD 2=CD 2+BC 2， ∴x 2=（4﹣x ）2+22， ∴x =52，∵DB=DA，DN⊥AB，∴BN=AN=5，在Rt△BDN中，DN=225 2BD BN-=，由△BDN∽△BAM，可得DN BD AM AB=，∴552225AM=∴AM=2，∴AP=2AM=4，由△ADM∽△APE，可得AM ADAE AP=，∴5224AE=，∴AE=165，∴EC=AC﹣AE=4﹣165=45，易证四边形PECH是矩形，∴PH=EC=45．考点：四边形综合题．6.（贵州安顺第21题）如图，DB∥AC，且DB=12AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）添加AB=B C．【解析】试题分析：（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．试题解析：（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=12A C．∵DB=12 AC，∴DB∥E C．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）添加AB=B C．理由：∵DB∥AE，DB=AE∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．考点：矩形的判定；平行四边形的判定与性质．7.8.（湖南怀化第19题）如图，四边形ABCD是正方形，EBC△是等边三角形.(1)求证：ABE DCE△≌△；(2)求AED∠的度数.【答案】(1)证明见解析(2) 150°．【解析】试题分析：（1）根据正方形、等边三角形的性质，可以得到AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°，由此即可证明；（2）只要证明∠EAD=∠ADE=15°，即可解决问题；试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，△ABC 是等边三角形， ∴BA =BC =CD =BE =CE ，∠ABC =∠BCD =90°，∠EBC =∠ECB =60°， ∴∠ABE =∠ECD =30°， 在△ABE 和△DCE 中，AB DC ABE DCE BE CE ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DCE （SAS ）． （2）∵BA =BE ，∠ABE =30°， ∴∠BAE=12（180°﹣30°）=75°， ∵∠BAD =90°，∴∠EAD =90°﹣75°=15°，同理可得∠ADE =15°， ∴∠AED =180°﹣15°﹣15°=150°．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．9.（江苏无锡第21题）已知，如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连DE 并延长交AB 的延长线于点F ，求证：AB =BF ．.【答案】证明见解析. 【解析】试题分析：根据线段中点的定义可得CE =BE ，根据平行四边形的对边平行且相等可得AB ∥CD ，AB =CD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DCB =∠FBE ，然后利用“角边角”证明△CED 和△BEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得CD =BF ，从而得证． 试题解析：∵E 是BC 的中点， ∴CE =BE ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB =CD ， ∴∠DCB =∠FBE ， 在△CED 和△BEF 中，DCA=FBE CE=BECED=BEF ⎧∠∠⎪⎨⎪∠∠⎩， ∴△CED ≌△BEF （ASA ）， ∴CD =BF ， ∴AB =BF ．考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质．10.（江苏盐城第22题）如图，矩形ABCD 中，∠ABD 、∠CDB 的平分线BE 、DF 分别交边AD 、BC 于点E 、F ．（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形；（2）当∠ABE 为多少度时，四边形BEDF 是菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABE =30°时，四边形BEDF 是菱形，理由见解析.试题解析：（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥DC 、AD ∥BC ， ∴∠ABD =∠CDB ，∵BE 平分∠ABD 、DF 平分∠BDC ， ∴∠EBD =12∠ABD ，∠FDB =12∠BDC ， ∴∠EBD =∠FDB ， ∴BE ∥DF ， 又∵AD ∥BC ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）当∠ABE =30°时，四边形BEDF 是菱形， ∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴∠EDB=90°-∠ABD=30°，∴∠EDB=∠EBD=30°，∴EB=ED，又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．11.（甘肃兰州第26题）如图，1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD 于点F.(1)求证：BDF△是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DG BE∥，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若6AB，8AD，求FG的长.【答案】(1)证明见解析;(2) 152．【解析】试题分析:（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．试题解析：（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC=∠DBE，又AD∥BC，∴∠DBC =∠ADB ， ∴∠DBE =∠ADB ， ∴DF =BF ，∴△BDF 是等腰三角形； （2）①∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ， ∴FD ∥BG ， 又∵FD ∥BG ，∴四边形BFDG 是平行四边形， ∵DF =BF ，∴四边形BFDG 是菱形； ②∵AB =6，AD =8， ∴BD =10． ∴OB =12BD =5． 假设DF =BF =x ，∴AF =AD ﹣DF =8﹣x ．∴在直角△A BF 中，AB 2+A 2=BF 2，即62+（8﹣x ）2=x 2， 解得x =254， 即BF =254， ∴FO =222522()54BF OB -=-=154，∴FG =2FO =152．考点：四边形综合题．12.（四川自贡第21题）如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边DC ，DA 上，且CE =AF ．求证：∠ABF =∠CBE ．【答案】证明见解析. 【解析】考点：菱形的性质.13.（江苏徐州第23题）如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是边BC 的中点，连接DO 并延长，交AB 延长线于点E 连接,BD EC .（1）求证：四边形BECD 是平行四边形；（2）若50A ∠=，则当BOD ∠= 时，四边形BECD 是矩形. 【答案】（1）证明见解析；（2）100° 【解析】试题分析：（1）由AAS 证明△BOE ≌△COD ，得出OE =OD ，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出∠BCD =∠A =50°，由三角形的外角性质求出∠ODC =∠BCD ，得出OC =OD ，证出DE =BC ，即可得出结论．试题解析:（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DC ，AB =CD ， ∴∠OEB =∠ODC ， 又∵O 为BC 的中点， ∴BO =CO ，在△BOE 和△COD 中，OEB ＝ODC BOE ＝COD BO ＝CO ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△BOE ≌△COD （AAS ）； ∴OE =OD ，∴四边形BECD 是平行四边形；（2）若∠A =50°，则当∠BOD =100°时，四边形BECD 是矩形．理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BCD =∠A =50°， ∵∠BOD =∠BCD +∠ODC ， ∴∠ODC =100°-50°=50°=∠BCD ， ∴OC =OD ，∵BO =CO ，OD =OE ， ∴DE =BC ，∵四边形BECD 是平行四边形， ∴四边形BECD 是矩形；考点：1.矩形的判定；2.平行四边形的判定与性质．15. (北京第20题) 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.,（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》） 请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：()ADC ANF FGC NFGD S S S S ∆∆∆=-+矩形，ABC EBMF S S ∆=-矩形（____________+____________）．易知，ADC ABC S S ∆∆=，_____________=______________，______________=_____________． 可得NFGD EBMF S S =矩形矩形．【答案】,,,AEF CFM ANF AEF FGC CFM S S S S S ∆∆∆∆∆；；S . 【解析】试题分析：由矩形的对角线的性质，对角线把矩形分成两个面积相等的三角形计算即可. 本题解析：由矩形对角线把矩形分成两个面积相等的两部分可得：(),()ADC ANF FGC ABC AEF FMC NFGD EBMF S S S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-+矩形矩形 ,∴,,ADC ABC ANF AEF FGC FMC S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=== , ∴NFGD EBMF S S =矩形矩形 . 考点：矩形的性质，三角形面积计算.16. (北京第22题)如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，0//,2,90AD BC AD BC ABD =∠=，E 为AD 的中点，连接BE .（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC ，若AC 平分,1BAD BC ∠=，求AC 的长. 【答案】（1）证明见解析.（2）3. 【解析】试题分析：（1）先证四边形是平行四边形，再证其为菱形；（2）利用等腰三角形的性质，锐角三角函数，即可求解. 本题解析：(1)证明：∵E 为AD 中点，A D =2BC ,∴BC =ED , ∵AD ∥BC , ∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AD =2BE , ∠ABD =90°,AE =DE ∴BE =ED , ∴四边形ABCD 是菱形.(2)∵AD ∥BC ,AC 平分∠BAD ∴∠BAC =∠DAC =∠BCA ,∴BA =BC =1, ∵AD =2BC =2，∴sin ∠ADB =12,∠ADB =30°, ∴∠DAC =30°, ∠ADC =60°.在RT △ACD 中，AD =2，CD =1，AC =3 .考点：平行线性质，菱形判定，直角三角形斜边中线定理.17.(天津第24题)将一个直角三角形纸片ABO 放置在平面直角坐标系中，点)0,3(A ，点)1,0(B ，点)0,0(O .P 是边AB 上的一点（点P 不与点B A ,重合），沿着OP 折叠该纸片，得点A 的对应点'A . （1）如图①，当点'A 在第一象限，且满足OB B A ⊥'时，求点'A 的坐标； （2）如图②，当P 为AB 中点时，求B A '的长；（3）当030'=∠BPA 时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）点A ’的坐标为（2，1）；（2）1；（3）3333(,)22--或2333(,)22- . 【解析】试题分析：（1）因点)0,3(A ，点)1,0(B ，可得OA =3 ,OB =1，根据折叠的性质可得△A ’OP ≌△AOP ，由全等三角形的性质可得OA ’=OA =3,在Rt △A ’OB 中，根据勾股定理求得'A B 的长，即可求得点A 的坐标；（2）在Rt △AOB 中，根据勾股定理求得AB =2，再证△BOP 是等边三角形，从而得∠OPA =120°.在判定四边形OPA ’B 是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得B A '的长； 试题解析：（1）因点)0,3(A ，点)1,0(B ， ∴OA =3 ,OB =1.根据题意，由折叠的性质可得△A ’OP ≌△AOP .∴OA ’=OA 3由OB B A ⊥'，得∠A ’BO =90°.在Rt △A ’OB 中，22''2A B OA OB -=∴点A ’2，1）. (2) 在Rt △AOB 中，OA 3,OB =1, ∴222AB OA OB +=∵当P为AB中点，∴AP=BP=1,OP=12AB=1.∴OP=OB=BP,∴△BOP是等边三角形∴∠BOP=∠BPO=60°，∴∠OPA=180°-∠BPO=120°.由（1）知，△A’OP≌△AOP，∴∠OPA’=∠OPA=120°，P’A=PA=1，又OB=PA’=1，∴四边形OPA’B是平行四边形.∴A’B=OP=1.(3)3333(,)--或2333(,)-.21.（山东青岛第21题）（本小题满分8分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）四边形AEOF是正方形【解析】试题分析：（1）利用SAS证明△BCE≌△DCF；（2）先证明AEOF为菱形，当BC⊥AB，得∠BAD＝90°，再利用知识点：有一个角是90°的菱形是正方形。

特殊平行四边形考点一矩形1．有一个角是________的__________叫做矩形．2．矩形的________个角都是直角．3．矩形既是________对称图形，又是________对称图形，它至少有________条对称轴．4．有________个角是直角的四边形是矩形．5．对角线相等的__________是矩形．考点二菱形6．一组________相等的________叫做菱形．7．菱形的________条边都相等．8．菱形的________互相垂直，并且每条对角线平分____________．9．菱形既是________对称图形，又是________对称图形，它至少有________条对称轴．10．四条边相等的四边形是________．11．对角线__________的平行四边形是菱形．考点三矩形和菱形共有的性质12．矩形和菱形画出两条对角线后，都会出现4个________三角形和4个________三角形．13．矩形和菱形常常转化为________三角形或________三角形来解决．考点四正方形14．有一组________相等，并且有一个角是________的平行四边形叫做正方形．15．正方形的对角线__________________，每条对角线平分一组________．正方形既是________对称图形，又是________对称图形，有________条对称轴．16．有一组邻边相等的________是正方形．17．有一个角是直角的________是正方形．1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A．对角线相等B．对角相等C．对边相等D ．对角线互相平分2．若矩形的对角线长为4，一条边长为2，则此矩形的面积为( )A ．8 3B ．4 3C ．2 3D ．83．如图25－1，在菱形ABCD 中，∠B ＝120°，AB ＝2，点F 是AB 的中点，点E 在AC 上，则ED ＋EF 的最小值是( )A ．2 B. 3 C ．1.6 D ．1.5(图25－1)4．如图25－2，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形一组对边的距离等于( )(图25－2)A ．1.2B ．2.4C ．3.6D ．4.85．(2020福建)设A ，B ，C ，D 是反比例函数y ＝k x (k ≠0)图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD 可以是平行四边形；②四边形ABCD 可以是菱形；③四边形ABCD 不可能是矩形；④四边形ABCD 不可能是正方形．其中正确的是____．(写出所有正确结论的序号)◆达标一 特殊平行四边形基本题例1 下列命题中正确的是( )A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．有一个角是直角的四边形是矩形D．内角都相等的四边形是矩形变式1在四边形ABCD中，AC＝BD.如果添加一个条件，即可推出四边形ABCD是矩形，那么这个条件是()A．AB＝BCB．AC与BD互相平分C．AC⊥BDD．AB⊥BD例2在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是() A．AB＝BC B．AC⊥BDC．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD变式2如图25－3，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，下列条件中能够判定四边形ABCD为菱形的是()(图25－3)A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60°D．∠ACB＝60°例3(2020日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题：如图25－4，四边形ABCD为平行四边形，现从下列四个条件①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形．现有下列四种选法，你认为其中错误的是()(图25－4)A．①②B．②③C．①③D．②④变式3如图25－5，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使平行四边形ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是___．(只需添加一个即可)(图25－5)◆达标二矩形创新题例4(2019杭州)如图25－6，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠(点E，H在边AD 上，点F，G在边BC上)，使得点B，点C落在边AD上同一点P处，点A的对应点为点A′，点D的对应点为点D′，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于__．(图25－6)变式4(2018金华)小靓用如图25－7(1)的七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD 内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，如图25－7(2)所示．则ABBC的值是____．(1) (2)(图25－7)◆达标三菱形创新题例5(2019宁波)如图25－8，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC 上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．求证：BG＝DE.(图25－8)变式5(2018宁波)如图25－9，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME.若∠EMD＝90°，则cos B的值为____．(图25－9)◆达标四正方形创新题例6将图25－10中的正方形分割成四个等腰三角形，分割后不出现45°的角．(图25－10) (图D25－2)(图25－11) (图D25－3)1．如图25－12，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是(3，4)，则点B的坐标为()A．(5，4) B．(8，4) C．(5，3) D．(8，3)(图25－12)2．如图25－13，在矩形ABCD中，点A的坐标是(1，0)，点C的坐标是(－2，4)，则BD的长是()(图25－13)A.17 B．5 C．3 3 D．4 23．已知菱形的边长为2cm，一个内角为60°，那么该菱形的面积为____cm2.4．将两个完全相同的长方形ABCD与长方形EFGD按如图25－14放置，点D在线段AG上，若AG＝m，CE＝n，则长方形ABCD的面积是___．(用m，n表示)(图25－14)5．如图25－15，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠BED的度数是___．(图25－15)6．如图25－16，正方形ABCD的边长为1，点P为对角线AC上任意一点，作PE⊥AD，PF⊥CD，垂足分别是E，F.则PE＋PF＝____．(图25－16)7．如图25－17，在菱形ABCD中，E是边AB上一点，且∠A＝∠EDF＝60°，有下列结论：①AE＝BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE＝∠BEF，其中正确的有____．(填序号)(图25－17)8．(2018青岛)如图25－18，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC 上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连结GH，则GH的长为____．(图25－18)9．(2018台州)如图25－19，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3，则△BCG的周长为____．(图25－19)10．(2020哈尔滨)如图25－20，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连结AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为___．(图25－20)1．正方形具有而矩形不具有的性质是()A．对角相等B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直2．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，则点A到BD的距离是()A．4 B．4.6 C．4.8 D．53．如图Z25－1，在菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1的度数为()(图Z25－1)A．30°B．25°C．20°D．15°4．已知菱形的边长为6cm，一个内角为60°，那么该菱形的面积为____cm2.5．如图Z25－2，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OB＝4，菱形ABCD 的面积为24，则AC的长为____．(图Z25－2)6．如图Z25－3，O点是矩形ABCD的对角线AC的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC ＝___．(图Z25－3)7．如图Z25－4，已知点A (3，0)，P 为y 轴正半轴上一点，以线段P A 为边在第一象限内作正方形APBC ，当OB ＝5时，点P 的坐标为_ ．(图Z25－4)8．如图Z25－5，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：(1)∠PBA ＝∠PCQ ＝30°；(2)P A ＝PQ .(图Z25－5)9．如图Z25－6，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 是正方形ABCD 的边AD 上的一点，点A 关于BE 的对称点为F ，若∠DFC ＝90°，则EF 的长为( )A.37B.23C.25D.710(图Z25－6)10．如图Z25－7，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4.点G，E分别在边AB，CD上，点F，H在对角线AC上．若四边形EFGH是菱形，则AG的长是()(图Z25－7)A．5 B．6 C．2 5 D．3 511．如图Z25－8，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，对角线BD上有两个动点E、F(点E在点F的左侧)，若EF＝2，则AE＋CF的最小值为()A．210 B．4 2 C．6 D．8(图Z25－8) (图ZD25－3)12．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图Z25－9所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝2，b＝3，则该矩形的面积为____．(图Z25－9)13．如图Z25－10，P为正方形ABCD的边BC的延长线上一动点，以DP为一边作正方形DPEM，以E为一顶点作正方形EFGH，且FG在BC的延长线上．(1)若正方形ABCD，DPEM的面积分别为a，b，则正方形EFGH的面积为____(直接写结果)．(2)过点P作BC的垂线交∠PDC的平分线于点Q，连结QE，试探求在点P运动过程中，∠DQE的大小是否发生变化，并说明理由．(图Z25－10)答案1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( A ) A ．对角线相等 B ．对角相等 C ．对边相等 D ．对角线互相平分2．若矩形的对角线长为4，一条边长为2，则此矩形的面积为( B ) A ．8 3 B ．4 3 C ．2 3D ．83．如图25－1，在菱形ABCD 中，∠B ＝120°，AB ＝2，点F 是AB 的中点，点E 在AC 上，则ED ＋EF 的最小值是( B ) A ．2B. 3C ．1.6D ．1.5(图25－1)4．如图25－2，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形一组对边的距离等于( D )(图25－2)A ．1.2B ．2.4C ．3.6D ．4.85．(2020福建)设A ，B ，C ，D 是反比例函数y ＝kx (k ≠0)图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD 可以是平行四边形； ②四边形ABCD 可以是菱形； ③四边形ABCD 不可能是矩形； ④四边形ABCD 不可能是正方形．其中正确的是__①④__．(写出所有正确结论的序号)◆达标一特殊平行四边形基本题例1下列命题中正确的是( D )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．有一个角是直角的四边形是矩形D．内角都相等的四边形是矩形变式1在四边形ABCD中，AC＝BD.如果添加一个条件，即可推出四边形ABCD是矩形，那么这个条件是( B )A．AB＝BCB．AC与BD互相平分C．AC⊥BDD．AB⊥BD例2在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是( C ) A．AB＝BC B．AC⊥BDC．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD变式2如图25－3，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，下列条件中能够判定四边形ABCD为菱形的是( A )(图25－3)A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60°D．∠ACB＝60°例3(2020日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题：如图25－4，四边形ABCD为平行四边形，现从下列四个条件①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形．现有下列四种选法，你认为其中错误的是( B )(图25－4)A．①②B．②③C．①③D．②④变式3如图25－5，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使平行四边形ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是__AC＝BD__．(只需添加一个即可)(图25－5)◆达标二矩形创新题例4(2019杭州)如图25－6，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠(点E，H在边AD 上，点F，G在边BC上)，使得点B，点C落在边AD上同一点P处，点A的对应点为点A′，点D的对应点为点D′，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于__65＋10__．(图25－6)【解析】∵∠FPG＝90°，∠D′PG＝∠C＝90°，∴F，P，D′三点共线，∴∠D′PH＝∠EPF＝∠A′EP.∵∠D′＝∠A′＝90°，∴△D′PH∽△A′EP.∵S△D′PH∶S△A′EP＝1∶4，∴D′H∶A′P＝1∶2.设D′H＝x，则A′P＝AB＝DC＝D′P＝2x.∵S△D′PH＝1，∴12x·2x＝1，解得x＝1(负值舍去)，∴D′H＝DH＝1，D′P＝A′P＝AB＝2，A′E＝AE＝2D′P＝4，∴由勾股定理可得PH＝5，EP＝25，S矩形ABCD＝AB·(AE＋EP＋PH＋DH)＝10＋6 5.变式4(2018金华)小靓用如图25－7(1)的七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD 内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，如图25－7(2)所示．则ABBC的值是__2＋14__．(1) (2)(图25－7)【解析】提示：设七巧板的边长为x，则AB＝12x＋22x，BC＝12x＋x＋12x＝2x，ABBC＝12x＋22x2x＝2＋14.◆达标三菱形创新题例5(2019宁波)如图25－8，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC 上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．求证：BG＝DE.(图25－8)解：不难证明△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG＝DE.变式5(2018宁波)如图25－9，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME.若∠EMD＝90°，则cos B的值为__3－12__．(图25－9)解：如图D25－1，延长DM 交CB 的延长线于点H .(图D25－1)易证△ADM ≌△BHM ，∴AD ＝HB ＝2. ∵EM ⊥DH ，∴EH ＝ED .设BE ＝x ， ∵AE 2＝AB 2－BE 2＝DE 2－AD 2， ∴22－x 2＝(2＋x )2－22，∴x ＝3－1(舍负)，∴cos B ＝BEAB ＝3－12. ◆达标四 正方形创新题例6 将图25－10中的正方形分割成四个等腰三角形，分割后不出现45°的角．(图25－10)(图D25－2)解：分割方法如图D25－2所示．变式6 将图25－11中的正方形分割成四个等腰三角形，分割后不出现全等三角形．(图25－11)(图D25－3)解：分割方法如图D25－3所示．1．如图25－12，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的顶点C 在x 轴的正半轴上．若点A 的坐标是(3，4)，则点B 的坐标为( B ) A ．(5，4)B ．(8，4)C ．(5，3)D ．(8，3)(图25－12)2．如图25－13，在矩形ABCD 中，点A 的坐标是(1，0)，点C 的坐标是(－2，4)，则BD 的长是( B )(图25－13)A.17B ．5C ．3 3D ．4 23．已知菱形的边长为2cm ，一个内角为60°，那么该菱形的面积为__23__cm 2. 4．将两个完全相同的长方形ABCD 与长方形EFGD 按如图25－14放置，点D 在线段AG 上，若AG ＝m ，CE ＝n ，则长方形ABCD 的面积是__m 2－n 24__．(用m ，n 表示)(图25－14)5．如图25－15，以正方形ABCD 的一边AD 为边向外作等边△ADE ，则∠BED 的度数是__45°__．(图25－15)6．如图25－16，正方形ABCD 的边长为1，点P 为对角线AC 上任意一点，作PE ⊥AD ，PF ⊥CD ，垂足分别是E ，F .则PE ＋PF ＝__1__．(图25－16)7．如图25－17，在菱形ABCD中，E是边AB上一点，且∠A＝∠EDF＝60°，有下列结论：①AE＝BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE＝∠BEF，其中正确的有__①②④__．(填序号)(图25－17)8．(2018青岛)如图25－18，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC 上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连结GH，则GH的长为__342__．(图25－18)9．(2018台州)如图25－19，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3，则△BCG的周长为__15＋3__．(图25－19)10．(2020哈尔滨)如图25－20，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E 在线段BO上，连结AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为__22 __．(图25－20)1．正方形具有而矩形不具有的性质是(D)A．对角相等B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直2．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，则点A到BD的距离是(C)A．4 B．4.6 C．4.8 D．53．如图Z25－1，在菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1的度数为(B)(图Z25－1)A．30°B．25°C．20°D．15°4．已知菱形的边长为6cm，一个内角为60°，那么该菱形的面积为__183__cm2. 5．如图Z25－2，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OB＝4，菱形ABCD 的面积为24，则AC的长为__6__．(图Z25－2)6．如图Z25－3，O 点是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，菱形ABEO 的边长为2，则BC ＝__23__．(图Z25－3)7．如图Z25－4，已知点A (3，0)，P 为y 轴正半轴上一点，以线段P A 为边在第一象限内作正方形APBC ，当OB ＝5时，点P 的坐标为__⎝ ⎛⎭⎪⎫0，41－32__．(图Z25－4)8．如图Z25－5，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内． 求证：(1)∠PBA ＝∠PCQ ＝30°； (2)P A ＝PQ .(图Z25－5)解：略9．如图Z25－6，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 是正方形ABCD 的边AD 上的一点，点A 关于BE 的对称点为F ，若∠DFC ＝90°，则EF 的长为( B ) A.37B.23C.25 D.710(图Z25－6)提示：方法1：如图ZD25－1，过点F 作MN ⊥AD ，BH ⊥CF ，易证DF ＝FH ＝HC ，由DC ＝2，可知DF ＝255，NF ＝25，ND ＝45，设AE ＝EF ＝x ，在△ENF 中，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫65－x 2＋⎝⎛⎭⎫252＝x 2，解得x ＝23.(图ZD25－1) (图ZD25－2) 方法2：如图ZD25－2，延长EF 交CD 于点M ，连结BM ，由HL 得Rt △BFM ≌Rt △BCM ， ∴MF ＝MC ＝MD ＝1.设AE ＝EF ＝x ，在△EMD 中，根据勾股定理即可得到结论．10．如图Z25－7，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4.点G ，E 分别在边AB ，CD 上，点F ，H 在对角线AC 上．若四边形EFGH 是菱形，则AG 的长是( A )(图Z25－7)A ．5B ．6C ．2 5D ．3 511．如图Z25－8，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC ＝60°，对角线BD 上有两个动点E 、F (点E 在点F 的左侧)，若EF ＝2，则AE ＋CF 的最小值为( A )A ．210B ．4 2C ．6D ．8(图Z25－8) (图ZD25－3)提示：如图ZD25－3，作▱AEFG，连结AC，CG，则AE＋CF＝GF＋CF≥CG＝22＋62＝210.12．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图Z25－9所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝2，b＝3，则该矩形的面积为__12__．(图Z25－9)提示：设正方形的边长为x，则(3＋x)2＋(2＋x)2＝(2＋3)2，解得x＝1(舍负)，故S矩形＝3×4＝12.13．如图Z25－10，P为正方形ABCD的边BC的延长线上一动点，以DP为一边作正方形DPEM，以E为一顶点作正方形EFGH，且FG在BC的延长线上．(1)若正方形ABCD，DPEM的面积分别为a，b，则正方形EFGH的面积为__b－a__(直接写结果)．(2)过点P作BC的垂线交∠PDC的平分线于点Q，连结QE，试探求在点P运动过程中，∠DQE的大小是否发生变化，并说明理由．(图Z25－10)解：∠DQE 的大小不会发生变化，理由如下，∵DC ⊥BC ，PQ ⊥BC ，EF ⊥BC ，∴DC ∥QP ，QP ∥EF ，∴∠CDQ ＝∠PQD .∵DQ 平分∠CDP ，∴∠CDQ ＝∠QDP ＝∠PQD ，∴PD ＝PQ . 在正方形DPEM 中，DP ＝PE ，∴PQ ＝PE ，∴∠PQE ＝∠PEQ .∵PQ ∥EF ，∴∠PQE ＝∠FEQ ，∴∠PQE ＝12∠PEF .∵∠DQE ＝∠DQP ＋∠PQE ＝12(∠CDP ＋∠PEF )． ∵∠CDP ＋∠CPD ＝90°，∠CPD ＋∠EPF ＝90°，∴∠CDP ＝∠EPF ，∴∠CDP ＋∠PEF ＝90°.∵∠DQE ＝12(∠CDP ＋∠PEF )，∴∠DQE ＝12×90°＝45°，∴∠DQE 的大小不会发生变化．。

以特殊四边形为背景的计算与证明一、以平行四边形为背景的计算与证明(第1题图)1．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 为对角线AC 上两点，且AE ＝CF ，DF ∥BE .求证：四边形ABCD 为平行四边形．证明：∵AB ∥CD ，∴∠DCA ＝∠BAC .∵DF ∥BE ，∴∠DFA ＝∠BEC ，∴∠AEB ＝∠CFD .在△AEB 和△CFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BAC ＝∠DCF ，AE ＝CF ，∠AEB ＝∠CFD ，∴△AEB ≌△CFD (ASA )，∴AB ＝CD .又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．(第2题图)2．如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA ＝OC .求证：四边形ADCE 是平行四边形．证明：∵CE ∥AB ，∴∠ADE ＝∠CED .在△AOD 与△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADE ＝∠CED ，∠AOD ＝∠COE ，OA ＝OC ，∴△AOD ≌△COE (AAS )，∴OD ＝OE .又∵OA ＝OC ，∴四边形ADCE 是平行四边形．(第3题图)3．如图，已知点A (－4，2)，B (－1，－2)，▱ABCD 的对角线交于坐标原点O .(1)请直接写出点C ，D 的坐标．(2)写出从线段AB 到线段CD 的变换过程．(3)直接写出平行四边形ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 关于点O 中心对称，∵点A (－4，2)，B (－1，－2)，∴点C (4，－2)，D (1，2)．(2)线段AB 到线段CD 的变换过程是：绕点O 旋转180°(或向右平移5个单位)．(3)由(1)得：点A 到y 轴距离为4，点D 到y 轴距离为1，点A 到x 轴距离为2，点B 到x 轴距离为2， ∴S ▱ABCD 的可以转化为边长为5和4的矩形面积，∴S ▱ABCD ＝5×4＝20.4．如图，在▱ABCD 中，若AB ＝6，AD ＝10，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，求DF 的长．(第4题图)(第4题图解)解：如解图，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ＝DC ＝6，AD ＝BC ＝10，AB ∥DC .∵AB ∥DC ，∴∠1＝∠3，又∵BF 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴BC ＝CF ＝10，∴DF ＝CF －DC ＝BF －DC ＝10－6＝4.二、以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明(第5题图)5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (2，n )，B (m ，n )(m ＞2)，D (p ，q )(q ＜n )，点B ，D 在直线y ＝12x ＋1上．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点E ，且AB ∥CD ，CD ＝4，BE ＝DE ，△AEB 的面积是2. 求证：四边形ABCD 是矩形．(第5题图解)解：如解图，过点E 作EF ⊥AB 于点F .∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，在△ABE 和△CDE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，∠3＝∠4，BE ＝DE ，∴△ABE ≌△CDE ，∴AE ＝CE .又∵BE ＝DE ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∴AB ＝CD ＝4.∵点A (2，n )，B (m ，n )(m >2)，∴AB ∥x 轴，∴CD ∥x 轴．∴m ＝6.∴n ＝12×6＋1＝4. ∴点A (2，4)，B (6，4)．∵△AEB 的面积是2，∴EF ＝1，∵▱ABCD 的面积为△ABE 的面积的4倍，∴S ▱ABCD ＝8，∴▱ABCD 的高为2.∵q <n ，∴q ＝2.∴DA ⊥AB ，∴四边形ABCD 是矩形．6．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，BD 平分∠ABC .四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连结CE . 求证：四边形BECD 是矩形．(第6题图)证明：∵AB ＝BC ，BD 平分∠ABC ，∴BD ⊥AC ，AD ＝CD .∵四边形ABED 是平行四边形，∴BE ∥AD ，BE ＝AD ，∴BE 綊CD ，∴四边形BECD 是平行四边形．∵BD ⊥AC ，∴∠BDC ＝90°，∴▱BECD 是矩形．7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，P 是AD 上的点，且∠PNB ＝3∠CBN .(1)求证：∠PNM ＝2∠CBN .(2)求线段AP 的长．(第7题图)(第7题图解)解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，∴MN ∥BC ，∴∠CBN ＝∠MNB ，∵∠PNB ＝3∠CBN ＝∠MNB ＋∠PNM ，∴∠PNM ＝2∠CBN .(2)如解图，连结AN .根据矩形的轴对称性，可知∠PAN ＝∠CBN ，∵MN ∥AD ，∴∠PAN ＝∠ANM .由(1)知∠PNM ＝2∠CBN ，∴∠PAN ＝∠PNA ，∴AP ＝PN .∵AB ＝CD ＝4，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，∴DN ＝2.设AP ＝x ，则PD ＝6－x ，在Rt △PDN 中，∵PD 2＋DN 2＝PN 2，∴(6－x )2＋22＝x 2，解得x ＝103.∴AP ＝103.8．如图，在矩形ABCD 中，点F 是CD 的中点，连结AF 并延长交BC 延长线于点E ，连结AC .(1)求证：△ADF ≌△ECF .(2)若AB ＝1，BC ＝2，求四边形ACED 的面积．(第8题图)解：(1)证明：∵F 是CD 中点，∴DF ＝CF .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，即AD ∥CE .∴∠ADF ＝∠ECF ，在△ADF 和△ECF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADF ＝∠ECF ，DF ＝CF ∠AFD ＝∠EFC ，∴△ADF ≌△ECF (ASA )．(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝2，AB ＝CD ＝1，CD ⊥AD .由(1)知，△ADF ≌△ECF .∴AD ＝CE .又∵AD ∥CE ，∴四边形ACED 是平行四边形，∴四边形ACED 的面积＝AD ·DC ＝2.9．如图①，在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ；∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AB 与CE 交于F ，ED 与AB ，BC 分别交于点M ，H .(第9题图)(1)求证：CF ＝CH .(2)如图②，△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE ＝45°时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．解：(1)证明：∵AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠A ＝∠B ＝∠D ＝∠E ＝45°.在△BCF 和△ECH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EC ，∠BCE ＝∠ECH ，∴△BCF ≌△ECH (ASA )．∴CF ＝CH .(2)四边形ACDM 是菱形．证明：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠BCE ＝45°，∴∠1＝∠2＝45°.∵∠E ＝45°，∴∠1＝∠E ，∴AC ∥DE .∵∠ACD ＝90°＋45°＝135°，∴∠A ＋∠ACD ＝45°＋135°＝180°，∴AM ∥CD .∴四边形ACDM 是平行四边形．∵AC ＝CD ，∴四边形ACDM 是菱形．(第10题图)10．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且BE ∥AC ，CE ∥BD .(1)求证：四边形OBEC 是矩形．(2)若菱形ABCD 的周长是410，tan α＝12，求四边形OBEC 的面积． 解：(1)证明：∵菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∴AC ⊥BD .∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠BOC ＝∠OCE ＝∠OBE ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．(2)∵菱形ABCD 的周长是410，∴AB ＝BC ＝AD ＝DC ＝10.∵tan α＝12， ∴设CO ＝x ，则BO ＝DO ＝2x ，∴x 2＋(2x )2＝(10)2，解得x ＝2(负值舍去)，∴四边形OBEC 的面积为2×22＝4.(第11题图)11．如图，已知△ABC ，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连结CE ，过点C 作CF ∥BA 交PQ 于点F ，连结AF .(1)求证：△AED ≌△CFD .(2)求证：四边形AECF 是菱形．(3)若AD ＝3，AE ＝5，则菱形AECF 的面积是多少？解：(1)∵PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD .∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，在△AED 与△CFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠FCA ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD (AAS )．(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形．(3)∵四边形AECF 为菱形，∴AC ⊥EF .∵AD ＝3，AE ＝5，∴根据勾股定理，得ED ＝4，∴EF ＝8，AC ＝6，∴S 菱形AECF ＝8×6÷2＝24，∴菱形AECF 的面积是24.(第12题图)12．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过A 作BC 的平行线交CE 的延长线F ，且AF ＝BD ，连结BF .(1)求证：BD ＝CD .(2)如果AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．(3)当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 为正方形(写出条件即可，不要求证明)?解：(1)证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE .∵E 是AD 的中点，∴DE ＝AE .在△AEF 与△DEC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS )，∴AF ＝DC .∵AF ＝BD ，∴BD ＝CD .(2)四边形AFBD 为矩形，证明如下：∵AF ＝BD ，AF ∥BD ，∴四边形AFBD 为平行四边形．∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴AD ⊥BC ，∴∠BDA ＝90°，∴四边形AFBD 为矩形．(3)AB ＝AC ，且∠BAC ＝90°.13．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ＝CD ，点E 是边AC 的中点，连结DE ，DE 的延长线与边BC 相交于点F ，AG ∥BC ，交DE 于点G ，连结AF ，CG .(第13题图)(1)求证：AF ＝BF .(2)如果AB ＝AC ，求证：四边形AFCG 是正方形．证明：(1)∵AD ＝CD ，点E 是边AC 的中点，∴DE ⊥AC .即得DE 是线段AC 的垂直平分线．∴AF ＝CF .∴∠FAC ＝∠ACB .在Rt △ABC 中，由∠BAC ＝90°，得∠B ＋∠ACB ＝90°，∠FAC ＋∠BAF ＝90°.∴∠B ＝∠BAF .∴AF ＝BF .(2)∵AG ∥CF ，∴∠AGE ＝∠CFE .又∵点E 是边AC 的中点，∴AE ＝CE .在△AEG 和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AGE ＝∠CFE ，∠AEG ＝∠CEF ，AE ＝CE ，∴△AEG ≌△CEF (AAS )．∴AG ＝CF .又∵AG ∥CF ，∴四边形AFCG 是平行四边形．∵AF ＝CF ，∴四边形AFCG 是菱形．在Rt △ABC 中，由AF ＝CF ，AF ＝BF ，得BF ＝CF .即得点F 是边BC 的中点．又∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，即得∠AFC ＝90°.∴四边形AFCG 是正方形．14．如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA ＝PE ，PE 交CD 于F .(1)证明：PC ＝PE .(2)求∠CPE 的度数．(3)如图②，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC ＝120°时，连结CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．(第14题图)解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°.在△ABP 和△CBP 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ，PB ＝PB ，∴△ABP ≌△CBP (SAS )，∴PA ＝PC .∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE .(2)由(1)知，△ABP ≌△CBP ，∴∠BAP ＝∠BCP ，∴∠DAP ＝∠DCP .∵PA ＝PC ，∴∠DAP ＝∠E ，∴∠DCP ＝∠E .∵∠CFP ＝∠EFD (对顶角相等)，∴180°－∠CFP －∠PCF ＝180°－∠DFE －∠E ，即∠CPE ＝∠EDF ＝90°.(3)AP ＝CE .理由如下：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ，∠ADC ＝∠ABC ＝120°，∠BAD ＝∠BCD .在△ABP 和△CBP 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ，PB ＝PB ，∴△ABP ≌△CBP (SAS )，∴PA ＝PC ，∠BAP ＝∠BCP .∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE ，∴∠DAP ＝∠DCP .∵PA ＝PE ，∴∠DAP ＝∠E ，∴∠DCP ＝∠E .∵∠CFP ＝∠EFD (对顶角相等)，∴180°－∠CFP －∠PCF ＝180°－∠DFE －∠E ，即∠CPF ＝∠EDF ＝180°－∠ADC ＝180°－120°＝60°，∴△EPC 是等边三角形，∴PC ＝CE ，∴AP ＝CE .15．在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴，y 轴分别交于A ，B ，在△AOB 内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x 轴正半轴的顶点坐标．解：分两种情况；①如解图①，令x ＝0，则y ＝3，令y ＝0，则x ＝3，∴OA ＝OB ＝3，∴∠BAO ＝45°.∵DE ⊥OA ，∴DE ＝AE .∵四边形COED 是正方形，∴OE ＝DE ，∴OE ＝AE ，∴OE ＝12OA ＝32， ∴点E (32，0)．(第15题图解)②如解图②，由①知△OFC ，△EFA 是等腰直角三角形， ∴CF ＝2OF ，AF ＝2EF .∵四边形CDEF 是正方形，∴EF ＝CF ，∴AF ＝2×2OF ＝2OF ，∴OA ＝OF ＋2OF ＝3，∴OF ＝1，∴点F (1，0)．∴正方形落在x 轴正半轴的顶点坐标为(32，0)或(1，0)．。

考点16 特殊的平行四边形一、矩形的性质与判定1．矩形的性质：（1）四个角都是直角；（2）对角线相等且互相平分；（3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图）2．矩形的判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；（2）有三个角是直角；（3）对角线相等的平行四边形．二、菱形的性质与判定1．菱形的性质：（1）四边相等；（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；（3）面积=底×高=对角线乘积的一半．2．菱形的判定：（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；（3）四条边都相等的四边形．三、正方形的性质与判定1．正方形的性质：（1）四条边都相等，四个角都是直角；（2）对角线相等且互相垂直平分；（3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．2．正方形的判定：（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；（2）一组邻边相等的矩形；（3）一个角是直角的菱形；学-科网（4）对角线相等且互相垂直、平分．四、联系（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角．考向一矩形的性质与判定1．矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．2．利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．3．矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．典例1 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD 为矩形的是A．AB=CD，AC=BD B．OA=OC，OB=ODC．AC⊥BD，AC=BD D．AB∥CD，AD=BC【名师点睛】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形．此类题属于中考常考题型．典例2 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6 cm，则AB的长是A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．4 cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD=3 cm，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=3 cm，故选C．【名师点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟记各性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键．1．能判断四边形是矩形的条件是A．两条对角线互相平分B．两条对角线相等C．两条对角线互相平分且相等D．两条对角线互相垂直2．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE=3∶1，则∠EAC的度数是A．18°B．36°C．45°D．72°考向二菱形的性质与判定1．菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．2．菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．典例3菱形具有而平行四边形不具有的性质是A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等C．一组邻边相等D．对角线互相平分【答案】C【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现A，B，D两者均具有，而C只有菱形具有平行四边形不具有，故选C．【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.典例4如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO=CO，请你添加一个适当的条件_____________，使四边形ABCD成为菱形．（只需添加一个即可）【答案】BO=DO（答案不唯一）【解析】四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：AC、BD互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）．故答案为：BO=DO（答案不唯一）．3．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为A．45°，135°B．60°，120°C．90°，90°D．30°，150°4．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．考向三正方形的性质与判定1．正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质．2．正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形．典例5如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，BE=BC，则∠BEC的度数是A．45°B．60°C．67.5°D．82.5°【答案】C【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBD=45°，∵BC=BE，∴∠BEC=∠BCE=12×（180°−45°）=67.5°．故选C．典例6下列命题正确的是A．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是矩形C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】A【解析】A选项：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确；B选项：对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项错误；C选项：一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故本选项错误；D选项：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误．故选A．【名师点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的判定，此题难度不大．5．如图，已知正方形ABCD的边长为，E为BC边上的一点，∠EBC=30°，则BE的长为A B．C．5 D．106．如图，要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明A ．AB =AD 且AC ⊥BD B ．AB =AD 且AC =BD C ．∠A =∠B 且AC =BDD ．AC 和BD 互相垂直平分1．（浙江省慈溪市2018届九年级3月区域模拟）如图，在矩形ABCD 中，AD =1，AB >1，AG 平分∠BAD ，分别过点B ，C 作BE ⊥AG 于点E ，CF ⊥AG 于点F ，则AE -GF 的值为A ．1BC D 2．（浙江省余姚市梁辉初级中学2018届九年级第四次模拟）如图，正方形ABCD 的顶点C 在正方形AEFG的边AE 上，AB =2，AE =G 到BE 的距离是A ．5B ．5C ．5D ．53．（浙江省温州市瑞安市集云实验学校等五校2019届九年级上学期第一次模拟）如图，菱形ABCD 的边AD ⊥EF ，垂足为点E ，点H 是菱形ABCD 的对称中心．若FC =54，EF ，则菱形ABCD 的边长为A ．94B ．3C ．4D ．54．（2018年浙江省绍兴市新昌县中考数学模拟）将正方形纸片按如图折叠，若正方形纸片边长为4，则图片中MN的长为A．1 B．2 C．2D．45．（浙江省宁波市余姚市2018届九年级中考模拟）如图所示，矩形ABCD被分割成五个矩形，且MH=PF，则下列等式中：①MN NPAE BF=；②EN PFNP PQ=，可以判断甲、乙两个矩形面积相等的是A．①②都不可以B．仅①可以C．仅②可以D．①②都可以6．（2018年浙江省温州市鹿城区中考模拟）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．如图是一个七巧板迷宫，它恰好拼成了一个正方形ABCD，其中E，P分别是AD，CD的中点，一只蚂蚁从点A处沿图中实线爬行到出口点P处．若2AB=，则它爬行的最短路程为A B．1C．D．37．如图，矩形ABCD中将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE=65°，则∠AEB=____________.8．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，那么△GCE的面积是________．9．（浙江省温州市龙湾区2018年中考一模）现有一张五边形的钢板ABCDE如图所示，∠A=∠B=∠C=90°，现在AB边上取一点P，分别以AP，BP为边各剪下一个正方形钢板模型，所剪得的两个正方形面积和的最大值为__________m2．10．（浙江省慈溪市2018届九年级3月区域模拟）如图是8×8的正方形网格，A、B两点均在格点（即小正方形的顶点）上，试在下面三个图中，分别画出一个以A，B，C，D为顶点的格点菱形（包括正方形），要求所画的三个菱形互不全等．11．如图，在ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求BD的长．12．如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．（1）判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；（2）当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．13．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE=CF，对角线CA平分∠ECF．（1）求证：四边形AECF为菱形．（2）已知AB=4，BC=8，求菱形AECF的面积．1．（2018·台州）下列命题正确的是 A ．对角线相等的四边形是平行四边形 B ．对角线相等的四边形是矩形 C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2．（2018·嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD ，下列作法中错误的是A ．B ．C ．D ．3．（2018·宁波）在矩形ABCD 内，将两张边长分别为a 和()b a b >的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ．当2AD AB -=时，21S S -的值为A ．2aB ．2bC ．22a b -D ．2b -4．（2018·湖州）如图，已知菱形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ．若tan ∠BAC =13，AC =6，则BD 的长是__________．5．（2018·宁波）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，B ∠是锐角，AE BC ⊥于点E ，M 是AB 的中点，连接MD ，ME ．若90EMD ∠=，则cos B 的值为__________．6．（2018·台州）如图，在正方形ABCD 中，AB =3，点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE =DF ，BE ，CF 相交于点G ．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2∶3，则△BCG 的周长为__________．7．（2018·金华）如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD 内，装饰图中的三角形顶点E ，F 分别在边AB ，BC 上，三角形①的边GD 在边AD 上，则ABBC的值是__________．8．（2018·舟山）如图，等边AEF △的顶点E ，F 在矩形ABCD 的边BC ，CD 上，且45CEF ∠=︒， 求证：矩形ABCD 是正方形．1．【答案】C【解析】A 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故错误； B 、等腰梯形的对角线也相等，故错误；C 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故正确；D 、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故错误，故选C ． 2．【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =90°，OA =12AC ，OB =12BD ，AC =BD ，∴OA =OB ， ∴∠OAB =∠OBA ，∵∠DAE ∶∠BAE =3∶1，∴∠BAE =14×90°=22.5°， ∵AE ⊥BD ，∴∠AEB =90°，∴∠OAB =∠OBA =90°–22.5°=67.5°，∴∠EAC =67.5°–22.5°=45°．故选C ． 3．【答案】B【解析】如图，由题意知AB =BC =AC ，∵AB =BC =AC ，∴△ABC 为等边三角形，即60B ∠=︒，根据平行四边形的性质，180BAD ∠=︒-60120︒=︒．故选B ．4．【解析】∵DE ∥AC ，DF ∥AB ， ∴四边形AEDF 为平行四边形， ∴∠FAD =∠EDA ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠EAD =∠FAD ，∴∠EAD =∠EDA ， ∴AE =ED ，∴四边形AEDF 是菱形． 5．【答案】D【解析】设CE x =，∵30EBC ∠=︒，∴2BE x =，∴5x =，∴210BE x ==，故选D ． 6．【答案】B【解析】A ．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD 是正方形； B ．根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD 是正方形； C ．根据一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD 是矩形，不能判断四边形ABCD 是正方形； D ．根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以不能判断四边形ABCD 是正方形．故选B ．2．【答案】A【解析】如图，连接GB 、GE ，可知∠BAE =45°．又∵GE 为正方形AEFG 的对角线，∴∠AEG =45°．∴AB ∥GE ． ∵AE ，AB 与GE 间的距离相等，∴GE =8，S △BEG =S △AEG =12S AEFG =16． 过点B 作BH ⊥AE 于点H ，∵AB =2，∴BH =AH HE ．∴BE 设点G 到BE 的距离为h ．∴S △BEG =12·BE ·h =12××h =16．∴h即点G 到BE的距离为5．故选A ． 3．【答案】A【解析】因为点H 是菱形ABCD 的对称中心，所以连接BD 交EF 于点H ，∵DEH BFH HF EH FHB EHD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DEH ≌△BFH ，故可得DE =BF ，过D 作DG ⊥BC 于点G ，∴四边形DEFG 是矩形，故DE =FG ，DG =EF ，设菱形ABCD 的边长为x ，故BF =DE =x -54，DG =EFx -54），CG =BC -DE -BF =x -2BF =x - 2（x -54）=52-x ，在Rt △DGC 中，CG 2+DG 2=CD 2，故（52-x ）2+5（x -54）2=x 2，解得：x 1=94，x 2=54（舍），故选A ． 4．【答案】D【解析】如图所示，则四边形FNCM 为正方形．依据勾股定理可知：AC．由翻折的性质可知：AF =AB =4，∴FC4．由正方形的性质可知：MN =FC-4．故选D ． 5．【答案】D 【解析】由①可知：MN MN HM +=PN EN PN +．∵PF =HM ，∴MN MN PF +=PNEN PN+，∴MN ·EN +MN ·PN = MN ·PN +PN ·PF ，∴MN ·EN =PN ·PF ．∵MN =PQ ，∴PQ ·EN =PN ·PF ，∴EN NP =PFPQ，∴①可以推出②．∵S 甲=EN ·HN =EN （MN +PF ）=EN ·MN +EN ·PF ，S 乙=PF ·（EN +PN ）=EN ·PF +PF ·PN ，由①可知：MN ·EN =PN ·PF ，∴S 甲=S 乙．故选D ． 6．【答案】B【解析】∵正方形ABCD ，E ，P 分别是AD ，CD 的中点，2AB =，∴1AE DE DP ===，90D ∠=︒，∴EP ==A 处沿图中实线爬行到出口点P处，它爬行的最短路程为1AE EP +=+．故选B ．7．【答案】50° 【解析】如图所示，由矩形ABCD 可得AD ∥BC ，∴∠1=∠BFE =65°，由翻折得∠2=∠1=65°， ∴∠AEB =180°–∠1–∠2=180°–65°–65°=50° ．故答案为：50°．82【解析】∵正方形ABCD 的面积为5，正方形BEFG 面积为4，∴正方形ABCD BEFG 的边长为2，∴CE 2，△GCE 的面积=12CE ·BG =12×2）×22． 9．【答案】14.5【解析】如图，过D 作DF ∥BC ，过E 作EF ⊥BC ，则EF =DF =2 m ，∴△DEF 是等腰直角三角形，设PB =x （m ），两个正方形面积和为S ，则NG =DG =x -3， ∴BM =BC -CM =4-（x -3）=7-x ，由BM =MN 得：7-x =x ，解得：x =3.5 m ，∴0＜x ≤3.5，且5-x ≤2，∴3≤x ≤3.5，∵S =（5-x ）2+x 2=2x 2-10x +25=2（x -2.5）2+12.5，∴当x =3.5时，S 有最大值，S =2×（3.5-2.5）2+12.5=14.5 m 2，故答案为：14.5． 10．【解析】如图为画出的菱形：11．【解析】（1）∵AB=6，BC=8，AC=10，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ABCD是矩形．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=10.13．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FAC=∠ECA，在△AOF和△COE中，FAC ECA OA OCAOF COE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF=CF，∴四边形AECF是菱形．（2）设CF=x，则AF=x，BF=8–x，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =90°，∴BF 2+AB 2=AF 2， ∴（8–x ）2+42=x 2，解得：x =5，即EC =5， ∴S 菱形AECF =FC ·AB =5×4=20．1．【答案】C【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形，A 错误；对角线相等的平行四边形是矩形，B 错误； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C 正确；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选C ．3．【答案】B【解析】1()()()()()()S AB a a CD b AD a AB a a AB b AD a =-⋅+--=-⋅+--，2()()()S AB AD a a b AB a =-+--，∴21()()()()()()S S AB AD a a b AB a AB a a AB b AD a -=-+----⋅---()()()()AD a AB AB b AB a a b a =--++---b AD ab b AB ab =⋅--⋅+()b AD AB =-2b =，故选B ．4．【答案】2【解析】∵四边形ABCD 是菱形，AC =6，∴AC ⊥BD ，OA =12AC =3，BD =2OB ．在Rt △OAB 中，∵∠AOD =90°， ∴tan ∠BAC =13OB OA =，∴OB =1，∴BD =2．故答案为：2． 5【解析】如图，延长DM 交CB 的延长线于点H ，∵四边形ABCD 是菱形，∴2AB BC AD ===，AD CH ∥，∴ADM H ∠=∠， ∵AM BM =，AMD HMB ∠=∠，∴ADM △≌BHM △，∴2AD HB ==，∵EM DH ⊥，∴EH ED =，设BE x =，∵AE BC ⊥，∴AE AD ⊥，∴90AEB EAD ∠=∠=︒， ∵22222AE AB BE DE AD =-=-，∴22222(2)2x x -=+-，∴1x =或1（舍去），∴1cos 2BE B AB ==，故答案为：12．学-科网 6【解析】∵阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2∶3，∴阴影部分的面积为23×9=6， ∴空白部分的面积为9-6=3，由CE =DF ，BC =CD ，∠BCE =∠CDF =90°，可得△BCE ≌△CDF ， ∴△BCG 的面积与四边形DEGF 的面积相等，均为12×3=32， 设BG =a ，CG =b ，则12ab =32，又∵a 2+b 2=32，∴a 2+2ab +b 2=9+6=15，即（a +b ）2=15， ∴a +bBG +CGBCG 的周长． 7．【答案】14【解析】设七巧板的边长为x ，则AB =12x+x ，BC =12x +x +12x =2x ，AB BC=1222x x x +=故答案为：14．8．【解析】∵四边形ABCD 是矩形， ∴90B D C ∠=∠=∠=︒， ∵AEF △是等边三角形，∴AE AF =，60AEF AFE ∠=∠=︒， 又45CEF ∠=︒，∴45CFE CEF ∠=∠=︒，∴180456075AFD AEB ︒︒︒∠=∠=--=︒， ∴AEB △≌AFD △， ∴AB AD =，∴矩形ABCD 是正方形．。

DSE 金牌数学专题系列经典专题系列初中数学中考特殊四边形证明及计算一．解答题1．（1）如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF．（2）如图②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．求证：EI=FG．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF．（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠1=∠2，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，由（1）得AE=CF，由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6，在△A1IE与△CGF中，，∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI=FG．点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．2．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC 于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．考点：平行四边形的性质．专题：探究型．分析：在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3中，PE=AF可证，FD=PF﹣PD=CF，即PF﹣PD+PE=AC=AB．解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB．证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF是平行四边形，∵MN∥BC，PF∥AB∴四边形BDPM是平行四边形，∴AE=PF，∠EPM=∠ANM=∠C，∵AB=AC，∴∠EMP=∠B，∴∠EMP=∠EPM，∴PE=EM，∴PE+PF=AE+EM=AM．∵四边形BDPM是平行四边形，∴MB=PD．∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，即PD+PE+PF=AB．图3结论：PE+PF﹣PD=AB．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息，把握规律是解题的关键．3．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC．解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，且∠BAD=∠BAC=30°，∵△AED是等边三角形，∴AD=AE，∠ADE=60°，∴∠EDB=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°，∵∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=30°，∴∠ACF=∠BAD=30°，在△ABD和△CAF中，，∴△ABD≌△CAF（ASA），∴AD=CF，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．（2）解：△AEF和△ABC的面积比为：1：4；（3）解：成立．理由如下：∵ED∥FC，∴∠EDB=∠FCB，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB∴∠AFC=∠BDA，在△ABD和△CAF中，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD=FC，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=DC．点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大．4．如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60度．点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）．（1）点N为BC边上任意一点，在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a≥2）个单位长的速度沿着射线BC方向（可以超越C点）移动，过点M作MP∥AB，交BC于点P．当△MPN≌△ABC时，设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S，求出用t表示S的关系式，井求当S=0时的值．考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的性质．专题：压轴题．分析：（1）菱形被分割成面积相等的两部分，那么分成的两个梯形的面积相等，而两个梯形的高相等，只需上下底的和相等即可．（2）易得菱形的高，那么用t表示出梯形的面积，用t的最值即可求得梯形的最大面积．（3）易得△MNP的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可．解答：解：（1）设：BN=a，CN=10﹣a（0≤a≤10）因为，点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动，点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）所以，AM=1×t=t（0≤t≤10），MD=10﹣t（0≤t≤10）．所以，梯形AMNB的面积=（AM+BN）×菱形高÷2=（t+a）×菱形高÷2；梯形MNCD的面积=（MD+NC）×菱形高÷2=[（10﹣t）+（10﹣a）]×菱形高÷2当梯形AMNB的面积=梯形MNCD的面积时，即t+a=10，（0≤t≤10），（0≤a≤10）所以，当t+a=10，（0≤t≤10），（0≤a≤10）时，可出现线段MN一定可以将菱形分割成面积相等的两部分．（2）点N从点B以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，设点N移动的时间为t，可知0≤t≤5，因为AB=10，∠BAD=60°，所以菱形高=5，AM=1×t=t，BN=2×t=2t．所以梯形ABNM的面积=（AM+BN）×菱形高÷2=3t×5×=t（0≤t≤5）．所以当t=5时，梯形ABNM的面积最大，其数值为．（3）当△MPN≌△ABC时，则△ABC的面积=△MPN的面积，则△MPN的面积为菱形面积的一半为25；因为要全等必有MN∥AC，∴N在C点外，所以不重合处面积为×（at﹣10）2×∴重合处为S=25﹣，当S=0时，即PM在CD上，∴a=2．点评：本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质，注意使用两条平行线间的距离相等等条件．5．如图，在下列矩形ABCD中，已知：AB=a，BC=b（a＜b），假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个命题：命题（Ⅰ）：图①中，若AH=BG=AB，则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；命题（Ⅱ）：图②中，若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点，则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；命题（Ⅲ）：图③中，若EF垂直平分对角线AC，变BC于点E，交AD于点F，交AC于点O，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．请解决下列问题：（1）命题（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命题吗？请你在其中选择一个，并证明它是真命题或假命题；（2）画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的，但不全等的内接菱形）．（3）试探究比较图①，②，③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；矩形的性质；命题与定理．分析：（1）①先证明是平行四边形，再根据一组邻边相等证明；②根据三角形中位线定理得到四条边都相等；③先根据三角形全等证明是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形；（2）先作一条对角线，在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交，连接四个交点即可．（3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论．解答：解：（1）都是真命题；若选（Ⅰ）证明如下：∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∵AH=BG，∴四边形ABGH是平行四边形，∴AB=HG，∴AB=HG=AH=BG，∴四边形ABGH是菱形；若选（Ⅱ），证明如下：∵矩形ABCD，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∵E、F、G、H是中点，∴AE=BE=CG=DG，AH=HD=BF=FC，∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形；若选（Ⅲ），证明如下∵EF垂直平分AC，∴FA=FC，EA=EC，又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠FAC=∠ECA，在△AOF和△COE中，，∴△ADF≌△COE（SAS）∴AF=CE，∴AF=FC=CE=EA，∴四边形AECF是菱形；（2）如图4所示：AH=CF，EG垂直平分对角线FH，四边形HEFG是菱形；（3）S ABGH=a2 ，S EFGH=ab，S菱形AECF=，∵﹣a2==＞0（b＞a）∴S菱形AECF＞S ABGH．∵﹣ab===＞0，∴S菱形AECF＞S EFGH．∵a2 ﹣ab=a（a﹣b）∴当a＞b，即0＜b＜2a时，S菱形ABGH＞S菱形EFGH；当a=b，即b=2a时，S菱形ABGH=S菱形EFGH；当a＜b，即b＞a时，S菱形ABGH＜S菱形EFGH．综上所述：当O＜b＜2a时，S EFGH＜S ABGH＜S菱形AECF．当b=2a时，S EFGH=S ABGH＜S菱形AECF．当b＞2a时S ABGH＜S EFGH＜S菱形AECF．点评：本题主要考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点．注意第（3）题需要分类讨论，以防错解．6．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；（2）如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；（3）如图3，若∠ABC=120°，请直接写出∠BDG的度数．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质；正方形的判定与性质．分析：（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；（2）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM=BM，∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到∠BDM的度数；（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC 及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．解答：解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，∴∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形．（2）如图，连接BM，MC，∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF=90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF=∠DAF，∴BE=AB=DC，∵M为EF中点，∴∠CEM=∠ECM=45°，∴∠BEM=∠DCM=135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB=MD，∠DMC=∠BME．∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，∴△BMD是等腰直角三角形，∴∠BDM=45°；（3）∠BDG=60°，延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形，∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°，∴△DAF为等腰三角形，∴AD=DF，∴平行四边形AHFD为菱形，∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°，∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF，在△BHD与△GFD中，∵，∴△BHD≌△GFD（SAS），∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°．点评：此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．7．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图1，易证：∠AFC=∠ACB+∠DAC；（1）若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系，并结合图2给出证明；（2）若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系为：∠AFC=∠ACB﹣∠DAC，理由为：由四边形ADEF为正方形，得到AD=AF，且∠FAD为直角，得到∠BAC=∠FAD，等式左右两边都加上∠CAD得到∠BAD=∠CAF，再由AB=AC，AD=AF，利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACF全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，又∠ACB为三角形ACD的外角，利用外角的性质得到∠ACB=∠ADB+∠DAC，变形后等量代换即可得证；（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD 与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC的内角和为180°，等量代换可得证．解答：解：（1）关系：∠AFC=∠ACB﹣∠DAC，…（2分）证明：∵四边形ADEF为正方形，∴AD=AF，∠FAD=90°，∵∠BAC=90°，∠FAD=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD，即∠BAD=∠CAF，…（3分）在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），…（4分）∴∠AFC=∠ADB，∵∠ACB是△ACD的一个外角，∴∠ACB=∠ADB+∠DAC，…（5分）∴∠ADB=∠ACB﹣∠DAC，∵∠ADB=∠AFC，∴∠AFC=∠ACB﹣∠DAC；…（6分）（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC满足的关系式为：∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°，…（8分）证明：∵四边形ADEF为正方形，∴∠DAF=90°，AD=AF，又∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAF﹣∠BAF=∠BAC﹣∠BAF，即∠DAB=∠FAC，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴∠ADB=∠AFC，在△ADC中，∠ADB+∠ACB+∠DAC=180°，则∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°．点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，熟练掌握判定及性质是解本题的关键．8．已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON．（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；（2）设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．考点：正方形的性质；分段函数；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．专题：代数几何综合题．分析：（1）根据正方形的性质得出DC=BC，∠DCB=∠CBN=90°，求出∠CPD=∠DCN=∠CNB，证△DCP≌△CBN，求出CP=BN，证△OBN≌△OCP，推出ON=OP，∠BON=∠COP，求出∠PON=∠COB 即可；（2）同法可证图2时，OP=ON，OP⊥ON，图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，代入求出即可；图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN，代入求出即可．解答：（1）证明：如图1，∵正方形ABCD，∴OC=OB，DC=BC，∠DCB=∠CBA=90°，∠OCB=∠OBA=45°，∠DOC=90°，DC∥AB，∵DP⊥CN，∴∠CMD=∠DOC=90°，∴∠BCN+∠CPD=90°，∠PCN+∠DCN=90°，∴∠CPD=∠CNB，∵DC∥AB，∴∠DCN=∠CNB=∠CPD，∵在△DCP和△CBN中，∴△DCP≌△CBN，∴CP=BN，∵在△OBN和△OCP中，∴△OBN≌△OCP，∴ON=OP，∠BON=∠COP，∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP，即∠NOP=∠BOC=90°，∴ON⊥OP，即ON=OP，ON⊥OP．（2）解：∵AB=4，四边形ABCD是正方形，∴O到BC边的距离是2，图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，=×（4﹣x）×2+×x×2，=4（0＜x＜4），图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN=×x×2+×（x﹣4）×x=x2﹣x（x＞4），即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：．点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，分段函数等知识点的应用，解（1）小题的关键是能运用性质进行推理，解（2）的关键是求出符合条件的所有情况，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：证明过程类似．9．如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当时，请直接写出的值．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图．分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；（4）由已知表示出的值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°．又∵CE=AG，∴△DCE≌△DAG，∴DE=DG，∠EDC=∠GDA，又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°∴DE⊥DG．（2）解：如图．（3）解：四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK、DE相交于M点∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，∵BK=AG，∴KG=AB=CD，∴四边形CKGD是平行四边形，∴CK=DG=EF，CK∥DG，∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，∴∠KME+∠DEF=180°，∴CK∥EF，∴四边形CEFK为平行四边形．（4）解：∵，∴设CE=x，CB=nx，∴CD=nx，∴DE2=CE2+CD2=n2x2+x2=（n2+1）x2，∵BC2=n2x2，∴==．点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂．10．如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：（1）根据点P在线段AO上时，利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD，PE=PD；（2）利用三角形全等得出，BP=PD，由PB=PE，得出PE=PD，要证PE⊥PD；从三方面分析，当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，当点E在BC的延长线上时，分别分析即可得出；（3）利用PE=PB得出P点在BE的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆心，PB为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案．解答：解：（1）当点P在线段AO上时，在△ABP和△ADP中，∴△ABP≌△ADP，∴BP=DP，∵PB=PE，∴PE=PD，过点P做PM⊥CD，于点M，作PN⊥BC，于点N，∵PB=PE，PN⊥BE，∴BN=NE，∵BN=DM，∴DM=NE，在Rt△PNE与Rt△PMD中，∵PD=PE，NE=DM，∴Rt△PNE≌Rt△PMD，∴∠DPM=∠EPN，∵∠MPN=90°，∴∠DPE=90°，故PE⊥PD，PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE=PD，PE⊥PD；（2）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，∵PA=PA，∴△BAP≌△DAP（SAS），∴PB=PD，又∵PB=PE，∴PE=PD．（i）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．（ii）当点E在BC的延长线上时，如图．∵△ADP≌△ABP，∴∠ABP=∠ADP，∴∠CDP=∠CBP，∵BP=PE，∴∠CBP=∠PEC，∴∠PEC=∠PDC，∵∠1=∠2，∴∠DPE=∠DCE=90°，∴PE⊥PD．综合（i）（ii），PE⊥PD；（3）同理即可得出：PE⊥PD，PD=PE．点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和尺规作图等知识，此题涉及到分类讨论思想，这是数学中常用思想同学们应有意识的应用．巩固训练：1．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接AF，CE．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G，则△ACG是等腰三角形吗？并说明理由．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质．专题：证明题；几何综合题；探究型．分析：（1）根据矩形的性质可知：AB=CD，∠ABE=∠CDF，∠AEB=∠CFD=90°，得到△ABE≌△CDF，所以AE∥CF，AE=CF，可证四边形AECF为平行四边形；（2）因为AE∥FG，得到∠G=∠GAE．利用AG平分∠BAD，得到∠BAG=∠DAG，从而求得∠ODA=∠DAO．所以∠CAG=∠G，可得△CAG是等腰三角形．解答：（1）证明：∵矩形ABCD，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠ABE=∠CDF，又∠AEB=∠CFD=90°，∴AE∥CF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF．∴四边形AECF为平行四边形．（2）解：△ACG是等腰三角形．理由如下：∵AE∥FG，∴∠G=∠GAE．∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG．又OA=AC=BD=OD，∴∠ODA=∠DAO．∵∠BAE与∠ABE互余，∠ADB与∠ABD互余，∴∠BAE=∠ADE．∴∠BAE=∠DAO，∴∠EAG=∠CAG，∴∠CAG=∠G，∴△CAG是等腰三角形．点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD=AB．连接DE，DF．（1）求证：AF与DE互相平分；（2）若BC=4，求DF的长．考点：平行四边形的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）连接EF、AE，证四边形AEFD是平行四边形即可．（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可．解答：（1）证明：连接EF，AE．∵点E，F分别为BC，AC的中点，∴EF∥AB，EF=AB．又∵AD=AB，∴EF=AD．又∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形．∴AF与DE互相平分．（2）解：在Rt△ABC中，∵E为BC的中点，BC=4，∴AE=BC=2．又∵四边形AEFD是平行四边形，∴DF=AE=2．点评：本题考查了平行四边形的判定，有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3．如图，以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD、△BCE、△ACF．请回答下列问题：（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形．考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质；矩形的判定．专题：证明题；探究型．分析：1、本题可根据三角形全等证得DE=AF，AD=EF，即可知四边形ADEF是平行四边形2、要使四边形ADEF是矩形，必须让∠FAD=90°，则∠BAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°解答：证明：（1）∵等边△ABD、△BCE、△ACF，∴DB=AB，BE=BC．又∠DBE=60°﹣∠EBA，∠ABC=60°﹣∠EBA，∴∠DBE=∠ABC．∴△DBE≌△CBA．∴DE=AC．又∵AC=AF，∴AF=DE．同理可证：△ABC≌△FCE，证得EF=AD．∴四边形ADEF是平行四边形．（2）假设四边形ABCD是矩形，∵四边形ADEF是矩形，∴∠DAF=90°．又∵等边△ABD、△BCE、△ACF，∴∠DAB=∠FAC=60°．∴∠BAC=360﹣∠DAF﹣∠FAC﹣∠DAB=150°．当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．点评：此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定．4．已知：如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分别是AB、CD的中点．（1）在边AD上取一点M，使点A关于BM的对称点C恰好落在EF上．设BM与EF相交于点N，求证：四边形ANGM是菱形；（2）设P是AD上一点，∠PFB=3∠FBC，求线段AP的长．考点：菱形的判定；矩形的性质．专题：计算题；证明题．分析：（1）设AG交MN于O，由题意易得AO=GO，AG⊥MN，要证四边形ANGM是菱形，还需证明OM=ON，又可证明AD∥EF∥BC．∴MO：ON=AO：OG=1：1，∴MO=NO；（2）连接AF，由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF，∴PA=PF，∴PA=，求得PA=．解答：（1）证明：设AG交MN于O，则∵A、G关于BM对称，∴AO=GO，AG⊥MN．∵E、F分别是矩形ABCD中AB、CD的中点，∴AE=BE，AE∥DF且AE=DF，AD∥EF∥BC．∴MO：ON=AO：OG=1：1．∴MO=NO．∴AG与MN互相平分且互相垂直．∴四边形ANGM是菱形．（2）解：连接AF，∵AD∥EF∥BC，∴∠PAF=∠AFE，∠EFB=∠FBC．又∵EF⊥AB，AE=BE，∴AF=BF，∴∠AFE=∠EFB．∴∠PAF=∠AFE=∠EFB=∠FBC．∴∠PFB=∠PFA+∠AFE+∠EFB=∠PFA+2∠FBC=3∠FBC．∴∠PFA=∠FBC=∠PAF．∴PA=PF．∴在Rt△PFD中，根据勾股定理得：PA=PF=，解得：PA=．点本题主要考查菱形和平行四边形的识别及推理论证能力．对角线互相垂直平分的四边形是菱形．评：5．如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED 的面积．考点：菱形的判定与性质．专题：动点型；数形结合．分析：（1）利用平移的知识可得四边形ABCE是平行四边形，进而根据AB=BC可得该四边形为菱形；（2）利用证明三角形全等可得四边形PQED的面积为三角形BED的面积，所以不会改变；进而利用三角形的面积公式求解即可．解答：解：（1）四边形ABCE是菱形，证明如下：∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，∴EC∥AB，且EC=AB，∴四边形ABCE是平行四边形，（2分）又∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形．（4分）（2）由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴S△PBO=S△QEO（7分）∵△ECD是由△ABC平移得到的，∴ED∥AC，ED=AC=6，又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，（8分）∴S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED=×BE×ED=×8×6=24．（10分）点评：考查菱形的判定及相关性质；把不规则图形的面积转化为较简单的规则图形的面积是解决本题的关键．6．如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．考点：矩形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定．分析：（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明．（2）当DP=CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值．（3）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，判断一下△DPC是不是直角三角形就行．解答：解：（1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴ME∥PC，EN∥PD，∴四边形PMEN是平行四边形；（2）当AP=5时，∵PA=PB=5，AD=BC，∠A=∠B=90°，∴△PAD≌△PBC，∴PD=PC，∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴NE=PM PD，ME=PN=PC，∴PM=ME=EN=PN，∴四边形PMEN是菱形；（3）假设△DPC为直角三角形．设PA=x，PB=10﹣x，DP=，CP=．DP2+CP2=DC216+x2+16+（10﹣x）2=102x2﹣10x+16=0x=2或x=8．故当AP=2或AP=8时，能够构成直角三角形．点评：本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质．7．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．考点：矩形的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质．专题：计算题；证明题．分析：（1）根据矩形性质得出CD=2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE2+BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理求出即可；（2）根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBP和AECP，推出EH∥FP，EF∥HP，推出平行四边形EFPH，根据矩形的判定推出即可；（2）根据三角形的面积公式求出CF，求出EF，根据勾股定理求出PF，根据面积公式求出即可．解答：（1）△BEC是直角三角形，理由是：∵矩形ABCD，∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，由勾股定理得：CE===，同理BE=2，∴CE2+BE2=5+20=25，∵BC2=52=25，∴BE2+CE2=BC2，∴∠BEC=90°，∴△BEC是直角三角形．（2）解：四边形EFPH为矩形，证明：∵矩形ABCD，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP，∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，∴AE=CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形，∵∠BEC=90°，∴平行四边形EFPH是矩形．（3）解：在RT△PCD中∠FC⊥PD，由三角形的面积公式得：PD•CF=PC•CD，∴CF==，∴EF=CE﹣CF=﹣=，∵PF==，∴S矩形EFPH=EF•PF=，答：四边形EFPH的面积是．点评：本题综合考查了勾股定理及逆定理，矩形、平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的运用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，此题综合性比较强，题型较好，难度也适中．8．如图，四边形ABCD是正方形，点P是BC上任意一点，DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，BF的延长线交CH于点G．（1）求证：AF﹣BF=EF；（2）四边形EFGH是什么四边形？并证明；（3）若AB=2，BP=1，求四边形EFGH的面积．考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：（1）利用全等三角形的判定首先得出△AED≌△BFA，进而得出AE=BF，即可证明结论；（2）首先得出四边形EFGH是矩形，再利用△AED≌△BFA，同理可得：△AED≌△DHC，进而得出EF=EH，即可得出答案；（3）首先求出AP的长，再利用三角形面积关系得出BF，AF的长，进而求出EF的长即可得出答案．解答：（1）证明：∵DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，∴∠AFB=∠AED=∠DHC=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，又∵∠DAE+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF，在△AED和△BFA中，，∴△AED≌△BFA，∴AE=BF，∴AF﹣AE=EF，即AF﹣BF=EF；（2）证明：∵∠AFB=∠AED=∠DHC=90°，∴四边形EFGH是矩形，∵△AED≌△BFA，同理可得：△AED≌△DHC，∴△AED≌△BFA≌△DHC，∴DH=AE=BF，AF=DE=CH，∴DE﹣DH=AF﹣AE，。

浙江省台州市中考数学专题题型复习06：四边形有关的计算与证明姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、解答题 (共12题；共71分)1. （10分）如图1，定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形，如图2，在等腰△ABE中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=∠E．2. （5分） (2017八下·西华期末) 已知，如图所示，△ABC中，AD是角平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且DE//AC ， DF//AB ，试说明：四边形AEDF是菱形．3. （5分） (2016八下·嘉祥期中) 如图，菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长与面积．4. （6分）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE.(1)求证：四边形AFCE为菱形；(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．5. （5分）如图，已知△ABC，∠B=40°．（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．6. （5分）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE=EF．（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立。

（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．7. （5分）如图平行四边形ABCD中，E,F在AC上四边形DEBF是平行四边形,求证:AE=CF8. （5分） (2017八下·荣昌期中) 如图ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请证明你的猜想．9. （10分）如图：在△ABC中，∠BAC = ，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC 于F，求证：四边形AEFG是菱形.10. （5分） (2018八上·苏州期末) 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，点E 在AC上，点F在BC上，且AE=CF．（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；（2）若AC=2，求四边形DECF面积．11. （5分） (2017八下·龙海期中) 如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，求EC的长．12. （5分）(2012·大连) 如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，求证：OA=OC．二、综合题 (共27题；共278分)13. （10分） (2017八下·石景山期末) 在矩形中，，，点是边上一点，过点作，交射线于点，交射线于点．（1）如图1，若，则 ________度；（2）当以，，为顶点的三角形是等边三角形时，依题意在图2中补全图形并求的长；（3）过点作∥ 交射线于点，请探究：当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．14. （10分）(2017·阿坝) 如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；15. （10分） (2017八下·栾城期末) 如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向点O运动．（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是否是平行四边形？请说明理由；（2）若AC=16cm，BD=12cm，点E，F在运动过程中，四边形DEBF能否为矩形？如能，求出此时的运动时间t 的值，如不能，请说明理由．16. （10分） (2018八上·濮阳开学考) 如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△BEC绕点C顺时针旋转至△DFC．（1）请问最小旋转度数为多少？（2）指出图中的全等图形以及它们的对应角？（3）若∠EBC=30°，∠BCE=80°，求∠F的度数．17. （10分） (2015九上·揭西期末) 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形．18. （10分）(2020·遵化模拟) 图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图.已知活动调节点B 可以上下调整高度，离地面CD的距离BC＝160cm.设花洒臂与墙面的夹角为α，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长AB＝30cm.假设水柱AE垂直AB直线喷射，小华在离墙面距离CD＝120cm处淋浴.（1）当α＝30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE.（2）如果小华要洗脚，需要调整水柱AE，使点E与点D重合，调整的方式有两种：①其他条件不变，只要把活动调节点B向下移动即可，移动的距离BF与小华的身高DE有什么数量关系？直接写出你的结论；②活动调节点B不动，只要调整α的大小，在图3中，试求α的度数.（参考数据：≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75）19. （6分） (2018八下·灵石期中) 已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．（1）四边形EFGH的形状是________，证明你的结论；（2）当四边形ABCD的对角线满足________条件时，四边形EFGH是矩形；（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？________．（不证明）20. （10分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．（1）求证：AC⊥BD;（2）若AB=14，cos∠CAB=，求线段OE的长．21. （15分） (2020九上·泰兴期末) 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．（1）如图①，当点E落在DC边上时，直写出线段EC的长度为________；（2）如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC，①求证：△ACD≌△CAE；②直接写出线段DH的长度是多少？（3）如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．22. （10分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．23. （6分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行弦交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF，FD．（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．24. （15分） (2017九上·罗湖期末) 如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C 运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．25. （10分） (2018九下·游仙模拟) 如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.（1）若△ABD≌△BFO，求BQ的长；（2）求证：FQ=BQ26. （10分） (2016九上·嵊州期中) 如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB=6，∠CAB=30°（1）求∠ADC的度数；（2）如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长．27. （10分）(2017·泰安模拟) △ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．（1）如图1，求证：DE•CD=DF•BE（2）D为BC中点如图2，连接EF．①求证：ED平分∠BEF；②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及的值．28. （10分）(2019·定远模拟) 某市政府为了扶贫，鼓励当地农民养殖小龙虾，如图：张叔叔顺着圩梗AN、AM（AN＝3 m ， AM＝10m ，∠MAN＝45°），用8m长的渔网搭建了一个养殖水域（即四边形ABCD），圩梗边不需要渔网，AB∥CD ，∠C＝90°．设BC＝xm ，四边形ABCD面积为S（m2）．（1）求出S关于x的函数表达式及x的取值范围；（2） x为何值时，围成的养殖水域面积最大？最大面积是多少？29. （10分） (2017八下·江苏期中) 如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（8，0），四边形ABCD是正方形．（1）填空：b=________；（2）点D的坐标为________；（3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），在x轴上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．30. （15分） (2016七上·龙口期末) 在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，问：BE=CE成立吗？并说明理由；（2）如图2，若∠BAC=45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，问：EF=CF成立吗？并说明理由．31. （10分） (2017八下·罗山期中) 图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M 是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为________时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为________时，四边形AMDN是菱形．32. （10分） (2017八下·如皋期中) 如图，已知点E，C在线段BF上，BE=EC=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）求证：四边形ACFD为平行四边形.33. （15分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x+ 与x轴、y轴分别交于点B、A，与直线y=相交于点C．动点P从O出发在x轴上以每秒5个单位长度的速度向B匀速运动，点Q从C出发在OC上以每秒4个单位长度的速度，向O匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2）．（1）直接写出点C坐标及OC、BC长；（2）连接PQ，若△OPQ与△OBC相似，求t的值；（3）连接CP、BQ，若CP⊥BQ，直接写出点P坐标．34. （6分） (2017·碑林模拟) 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O 于点A，连接PA，AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：PA是⊙O的切线．（2）若tanD= ，DE=16，求PD的长．35. （10分） (2019八下·柳江期中) 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.（1）求证：AF＝DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.（3）在（2）的条件下，要是四边形ADCF为正方形，在△ABC中应添加什么条件，请直接把补充条件写在横线上________（不需说明理由）.36. （10分）(2017·河源模拟) 如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC．（1）求证：CD=AN；（2）若AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，求四边形ADCN的面积．37. （10分）如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE，（1）当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由（2）在（1）的条件下，当∠A=________时四边形BECD是正方形．38. （10分）(2017·东胜模拟) 如图，四边形ABCD是平行四边形，点A、B、C在☉O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．（1）求证：直线PC是⊙O的切线；（2）若AB= ，AD=2，求线段PC的长．39. （10分） (2020九上·新昌期末) 如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，DE⊥AB于点E，且∠ADE＝60°，C是上一点，连结AC，CD.（1）求∠ACD的度数；（2）证明：AD2＝AB•AE；（3）如果AB＝8，∠ADC＝45°，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案.（根据编出的问题层次，给不同的得分）参考答案一、解答题 (共12题；共71分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、5-2、7-1、8-1、9-1、10-1、10-2、11-1、12-1、二、综合题 (共27题；共278分) 13-1、13-2、14-1、15-1、15-2、16-1、16-2、16-3、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、24-3、25-1、25-2、26-1、26-2、27-1、27-2、28-1、28-2、29-1、29-2、30-1、30-2、31-1、31-2、32-1、32-2、33-1、33-2、33-3、34-1、34-2、35-1、35-2、35-3、36-1、36-2、37-1、37-2、38-1、38-2、39-1、39-2、39-3、。

多边形证明-中考数学重难点题型特殊四边形证明（专题训练）1.如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．【分析】根据菱形的性质可得∠B＝∠D，AB＝AD，再证明△ABE≌△ADF，即可得∠BAE＝∠DAF．【解答】证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，AB=AD∠B=∠DBE=DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．2.如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．【分析】四边形ABCD是菱形，可得AB＝BC＝CD＝DA，∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，可以证明△CDF≌△CBF，△DAE≌△BFC，△DCF≌△BEA，进而证明平行四边形BEDF是菱形．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，∴∠DCF＝∠BCF，∵CF＝CF，∴△CDF≌△CBF（SAS），∴DF＝BF，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵AE＝CF，DA＝AB，∴△DAE≌△BFC（SAS），∴DE＝BF，同理可证：△DCF≌△BEA（SAS），∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵DF＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形．3.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．【答案】证明见试题解析．【分析】由矩形的性质和已知得到DF=BE，AB∥CD，故四边形DEBF是平行四边形，即可得到答案．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，∴DF=BE，又AB∥CD，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE=BF．考点：1．矩形的性质；2．全等三角形的判定．4.已知：如图，在▱ABCD中，点O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E，求证：AD＝CE．【分析】只要证明△AOD≌△EOC（ASA）即可解决问题；【解答】证明：∵O 是CD 的中点，∴OD＝CO，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠OCE，在△ADO 和△ECO 中，∠D =∠OCE OD =OC ∠AOD =∠EOC ，∴△AOD≌△EOC（ASA），∴AD＝CE．5.如图，在▱ABCD 中，点E 在AB F 在CD 的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD 交于点G，H．求证：EG＝FH．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠FDH，在△BEG 与△DFH 中，∠E =∠F BE =DF ∠EBG =∠FDH ，∴△BEG≌△DFH（ASA），∴EG＝FH．6.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE=32，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF=32，进而得出EF的长；（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF=32，∴EF＝2OE＝3；（2）四边形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．7.已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．【答案】见解析【分析】先证四边形ABFE是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质证AB＝AE，依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明，特别注意角平分线加平行，可证等腰三角形．8.如图，四边形ABCD 是菱形，点E 、F 分别在边AB 、AD 的延长线上，且BE DF =．连接CE 、CF ．求证：CE CF =．【答案】见解析【分析】根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS 证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，∴∠CDF=∠CBE，在△BEC 和△DFC 中，BE DF CBE CDF BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC≌△DFC（SAS），∴CE=CF．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．9.如图，在ABC 中，BAC ∠的角平分线交BC 于点D，//,//DE AB DF AC ．（1）试判断四边形AFDE 的形状，并说明理由；（2）若90BAC ∠=︒，且AD =AFDE 的面积．【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4【分析】（1）根据DE∥AB，DF∥AC 判定四边形AFDE 是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明；（2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE 是正方形，根据对角线AD 求出边长，再根据面积公式计算即可．【详解】解：（1）四边形AFDE 是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE 是平行四边形，∵AD 平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四边形AFDE 是菱形；（2）∵∠BAC=90°，∴四边形AFDE 是正方形，∵AD=，=2，∴四边形AFDE 的面积为2×2=4．【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．10.如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，//BE AC ，//AE BD ．（1）求证：四边形AOBE 是菱形；（2）若60AOB ∠=︒，4AC =，求菱形AOBE 的面积．【答案】（1）证明过程见解答；（2）【分析】（1）根据BE∥AC，AE∥BD，可以得到四边形AOBE 是平行四边形，然后根据矩形的性质，可以得到OA=OB，由菱形的定义可以得到结论成立；（2）根据∠AOB=60°，AC=4，可以求得菱形AOBE 边OA 上的高，然后根据菱形的面积=底×高，代入数据计算即可．【解析】解：（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四边形AOBE 是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，∴OA=OB，∴四边形AOBE 是菱形；（2）解：作BF⊥OA 于点F，∵四边形ABCD 是矩形，AC=4，∴AC=BD=4，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，∴OA=OB=2，∵∠AOB=60°，∴BF=OB•sin∠AOB=2=∴菱形AOBE的面积是：OA•BF=2【点睛】本题考查菱形的判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确菱形的判定方法，知道菱形的面积=底×高或者是对角线乘积的一半．11.如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）如果AB AE=，求证：四边形ACED是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED 是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵点C是BE的中点，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED 是平行四边形；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四边形ACED 是平行四边形，∴四边形ACED 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．12.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，过点O 的直线EF 与BA、DC 的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AE＝CF；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE 是菱形，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BD 或EB＝ED，见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明AOE COF V V ≌，则可得到AE ＝CF；（2）连接BF，DE，由AOE COF V V ≌，得到OE=OF，又AO=CO，所以四边形AECF 是平行四边形，则根据EF⊥BD 可得四边形BFDE 是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA＝OC，BE∥DF∴∠E＝∠F在△AOE 和△COF 中E F AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOE COF V V ≌()AAS ∴AE＝CF（2）当EF⊥BD 时，四边形BFDE 是菱形，理由如下：如图：连结BF，DE∵四边形ABCD 是平行四边形∴OB＝OD∵AOE COFV V ≌∴OE OF=∴四边形BFDE 是平行四边形∵EF⊥BD，∴四边形BFDE 是菱形【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键．13.如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，点E，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE．当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，从而可以得到∠ADE＝∠CBF，然后根据SAS即可证明结论成立；（2）根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD是菱形，从而可以得到AC ⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边形，然后根据AC⊥EF，即可得到四边形AFCE是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF ⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；（2）求证：AE＝CF．【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠EAO，利用角平分线的定义求出∠DAC，再利用平行线的性质解决问题即可．（2）证明△AEO≌△CFO（AAS）可得结论．【解答】（1）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°，∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝40°，（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．15.如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；（2）求证：BE＝DF．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCD＝180°，根据角平分线的定义得到∠BCD＝2∠BCF，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，求得∠ABE＝∠CDF，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF，∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠BCD，∴∠BAE＝∠DCE，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝CF．16.如图，点E 是▱ABCD 的边CD 的中点，连结AE 并延长，交BC 的延长线于点F．（1）若AD 的长为2，求CF 的长．（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F 的度数．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥CF，则∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，由点E 是CD 的中点，得出DE＝CE，由AAS 证得△ADE≌△FCE，即可得出结果；（2）添加一个条件当∠B＝60°时，由直角三角形的性质即可得出结果（答案不唯一）．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥CF，∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，∵点E 是CD 的中点，∴DE＝CE，在△ADE 和△FCE 中，∠DAE =∠CFE ∠ADE =∠FCE DE =CE ，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴CF＝AD＝2；（2）∵∠BAF＝90°，添加一个条件：当∠B＝60°时，∠F＝90°﹣60°＝30°（答案不唯一）．17.如图，四边形ABCD 是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC 于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD 为菱形．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到AD＝CB，AD∥CB，从而可以得到∠DAE＝∠BCF，再根据DE∥BF和等角的补角相等，从而可以得到∠AED＝∠CFB，然后即可证明△ADE和△CBF 全等，从而可以得到AE＝CF；（2）根据（1）中的△ADE和△CBF全等，可以得到DE＝BF，再根据DE∥BF，即可得到四边形EBFD是平行四边形，再根据BE＝DE，即可得到四边形EBFD为菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠AED＝∠CFB，在△ADE和△CBF中，∠DAE=∠BCF∠AED=∠CFBAD=CB，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF；（2）证明：由（1）知△ADE≌△CBF，则DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BE＝DE，∴四边形EBFD为菱形．18.如图，点E，F在▱ABCD的边BC，AD上，BE=13BC，FD=13AD，连接BF，DE．求证：四边形BEDF是平行四边形．【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，进而得出DF＝BE，利用平行四边形的判定解答即可．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE=13BC，FD=13AD，∴BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形．20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．【分析】（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM＝ON，由OB＝OD，证出四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；（2）由菱形的性质得出BM＝BN＝DM＝DN，OB=12BD＝12，OM=12MN＝5，由勾股定理得BM＝13，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO，∵MN是对角线BD的垂直平分线，∴OB＝OD，MN⊥BD，在△MOD 和△NOB 中，∠DMO =∠BNO ∠MOD =∠NOB OD =OB ，∴△MOD≌△NOB（AAS），∴OM＝ON，∵OB＝OD，∴四边形BNDM 是平行四边形，∵MN⊥BD，∴四边形BNDM 是菱形；（2）解：∵四边形BNDM 是菱形，BD＝24，MN＝10，∴BM＝BN＝DM＝DN，OB =12BD＝12，OM =12MN＝5，在Rt△BOM 中，由勾股定理得：BM =OM 2+OB 2=52+122=13，∴菱形BNDM 的周长＝4BM＝4×13＝52．。