具有工作休假的单服务台排队模型

排队模型一 1. 一般的排队过程为：顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服务后就离开。

排队过程的一般过程可用下图表示。

我们所说的排队系统就是指图中方框所包括的部分:在现实生活中的排队现象是多种多样的，对上面所说的“顾客”和“服务员”要作广泛的理解。

它们可以是人，也可以是某种物质或设备。

排队可以是有形的，也可以是无形的。

尽管排队系统是多种多样的，但从决定排队系统进程的因素来看，它有三个基本的组成部分，这就是输入过程、排队规则及服务机构.1)输入过程：描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。

包括：顾客源中顾客的数量是有限还是无限；顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；顾客相继到达的间隔时间分布是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。

2)排队规则：描述顾客排队等待的队列和接受服务的次序。

包括：即时制还是等待制；等待制下队列的情况（是单列还是多列，顾客能不能中途退出，多列时各列间的顾客能不能相互转移）；等待制下顾客接受服务的次序（先到先服务，后到先服务，随机服务，有优先权的服务）。

3)服务机构：描述服务台(员)的机构形式和工作情况。

包括：服务台（员）的数目和排列情况；服务台（员）的服务方式；服务时间是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。

2.到达和服务过程的模型2.1 到达过程的模型用表示第i 个顾客到达的时间,.i t 称为第i 个到达时间间隔.1i i T t t +=−i 我们用的特征来刻画顾客到达过程. 最常见的情况是独立同分布. 用X 表示这样的随机变量.12,,T T 12,,T T 如果X 服从参数为λ的指数分布.这时1()()i E T E X λ==即平均每隔1λ来一个顾客.换句话说,单位时间理平均有λ个顾客到来.称λ为到达速率. 用表示到时刻t 为止到达的顾客总数,则在上面的假设下()N t ()()N t P t λ∼.除了指数分布外,常用的还有爱尔朗分布,其密度函数为1()(), 0.(1)!k RxR Rx e f x x k −−=≥− 这时2(), ()i i k k E T D T R R==. k 叫形状参数, R 叫速率参数.当取λ使得R k λ=, 则爱尔朗分布可以看成是k 个独立的服从参数为λ的指数分布随机变量的和的分布.2.2服务过程的模型一般总是认为不同顾客接受服务占用的时间长短是相互独立的. 用Y表示一个客户接受服务的时间长短, 它是一个随机变量.若Y的分布是参数为μ的指数分布, 意味着一个顾客的服务时间平均为1μ. 单位时间里可以完成的平均顾客数为μ.若Y服从形状参数为k, 速率参数为R kμ=的爱尔朗分布, 则平均服务时间为1μ, 根据爱尔朗分布的性质, 可以将Y看作是k个相继子服务的总时间, 每个子服务都服从参数为1kμ的指数分布且相互独立.在排队论中,我们常用如下字母表示特定的到达时间间隔或服务时间分布:M: i.i.d. 指数分布D: i.i.d. 的确定分布E k: i.i.d. 的形参为k的爱尔朗分布GI: 到达时间间隔是i.i.d. 的某种一般分布G: 服务时间是i.i.d. 的某种一般分布在处理实际排队系统时，需要把有关的原始资料进行统计，确定顾客到达间隔和服务时间的经验分布，然后按照统计学的方法确定符合哪种理论分布。

队列的应用：单服务台排队系统的模拟一、三个模拟1.离散事件模拟系统在排队系统中，主要有两类事件：顾客的到达事件和服务完毕后顾客的离去事件，整个系统就是不断有到达事件和离开事件的发生，这些事件并不是连续发生的，因此这样的系统被称为离散事件模拟系统。

（1）事件处理过程如果服务员没空，就去队列中排队；否则就为这个顾客生成服务所需的时间t，表示服务员开始为它服务，所需的服务时间是t。

每当一个离开事件发生，就检查有没有顾客在排队，如果有顾客在排队，则让队头顾客离队，为它提供服务，如果没有顾客排队，则服务员可以休息。

（2）如何产生顾客到达事件和离开事件在一个排队系统中，顾客的到达时间和为每个顾客服务的时间并不一定是固定的。

但从统计上来看是服从一定的概率分布。

假设到达的间隔时间和服务时间都满足均匀分布，则可以用随机数产生器产生的随机数。

①以生成顾客到达事件为例子如顾客到达的间隔时间服从[a,b]之间的均匀分布，则可以生成一个[a,b]之间的随机数x，表示前一个顾客到达后，经过了x的时间后又有一个顾客到达。

[a,b]之间的随机数可以按照下面的过程产生：假如系统的随机数生成器生成的随机数是均匀分布在0到RAND_MAX之间，可以把0到RAND_MAX之间的区间等分成b-a+1个，当生成的随机数落在第一个区间，则表示生成的是a，当落在第二个区间，则表示生成的是a+1…当落在最后一个区间，则表示生成的是b。

这个转换可以用rand()*(b-a+1)/( RAND_MAX+1)+a实现，rand 表示系统的随机数生成函数。

2.离散的时间驱动模拟在得到了在x秒后有一个事件生成的信息时，并不真正需要让系统等待x秒再处理该事件。

在模拟系统中，一般不需要使用真实的精确事件，只要用一个时间单位即可，这个时间单位是嘀嗒tick，可以表示1秒，也可以表示1min\1h.沿着时间轴，模拟每一个嘀嗒中发生了什么事件并处理该事件。

模拟开始时时钟是0嘀嗒，随后每一步都把时钟加1嘀嗒，并检查这个时间内是否有事件发生，如果有，则处理并生成统计信息。

具有工作休假的单服务台排队模型的开题报告
一、研究背景
随着社会经济的不断发展，人们对生活质量的要求也越来越高。

因此，人们经常需要到服务台办理各种业务，如取号、缴费、打印等。

在繁忙的节假日或工作日高峰期，人们需要排队等候，这极大地浪费了人们的时间和精力。

如何提高服务台的效率，减少等待时间，成为了很多服务机构需要解决的问题。

队列理论，是解决排队问题的一种数学方法，可以有效地帮助服务机构进行排队管理。

因此，对于单服务台排队模型的研究非常重要。

二、研究内容及目的
本研究拟以具有工作休假的单服务台排队模型为研究对象，通过对队列理论中的等待时间、服务时间、到达率等指标的研究和分析，设计出一种适合该模型的排队策略，以优化服务台的效率，减少排队等待时间，提高服务质量。

三、研究方法
本研究将采用数学模型的方法，通过理论分析和实验模拟的方式，对具有工作休假的单服务台排队模型进行研究，探讨如何根据实际情况设计出最佳的排队策略，达
到优化服务效率的目的。

四、预计结果
本研究将对具有工作休假的单服务台排队模型进行研究，探讨在该模型下采用何种排队策略可以最大限度地提高服务效率。

通过对等待时间、服务时间、到达率等指
标的分析和实验模拟，预计可以得出相应的排队策略，以优化服务效率，减少排队等
待时间，提高服务质量。

单服务台排队系统仿真单服务台排队系统是指在一个服务台只有一个服务员的情况下，客户需要按顺序等待服务的系统。

本文将介绍一个针对单服务台排队系统的仿真模型。

在设计仿真模型之前，我们需要确定一些重要的参数。

首先是服务时间，即每个客户接受服务所需要的时间。

服务时间可以通过实际观察数据或者估算得出。

其次是到达间隔时间，即每个客户到达的时间间隔。

到达间隔时间可以通过实际观察数据或者使用随机数生成器进行模拟。

首先，我们需要创建一个事件队列来模拟客户的到达和离开。

事件队列是一个按照发生时间顺序排序的队列，每个事件都包含两个属性：时间和类型。

接下来，我们创建一个时钟来记录仿真进行的时间。

初始时，时钟指向第一个到达事件的时间。

然后，我们从事件队列中取出第一个事件，并更新时钟指向该事件的时间。

如果当前事件类型是到达事件，我们需要进行如下操作：首先，模拟下一个客户到达的时间，并将该事件添加到事件队列中。

然后，判断当前是否有客户正在接受服务。

如果没有，我们将当前事件类型设置为离开事件，并模拟该客户的服务时间和离开时间，并将该离开事件添加到事件队列中。

如果有客户正在接受服务，我们将当前事件类型设置为到达事件。

如果当前事件类型是离开事件，我们需要进行如下操作：首先，更新服务台的空闲状态。

然后，判断是否还有等待服务的客户。

如果有，我们将当前事件类型设置为离开事件，并模拟下一个客户的服务时间和离开时间，并将该离开事件添加到事件队列中。

如果没有等待服务的客户，我们将当前事件类型设置为到达事件。

重复上述步骤，直到事件队列中没有事件为止。

最后，我们可以根据仿真的结果，比如客户的等待时间、服务时间和系统繁忙率等指标，来评估和优化该排队系统的性能。

通过以上的模型，我们可以对单服务台排队系统进行仿真，并评估其性能。

我们可以通过改变服务时间、到达间隔时间等参数，来探究不同情况下系统的表现和优化方案。

同时，我们还可以根据仿真结果，对系统进行调整和改进，以提高客户的满意度和服务效率。

服务台单队列排队系统仿真1. 引言排队是我们日常生活中常见的现象之一。

每当我们去银行、超市、餐厅等地方，总会看到人们在服务台前排长队等待接受服务。

而排队系统的效率直接影响到我们的等待时间和满意度。

为了改善排队系统的效率，许多地方引入了服务台单队列排队系统。

这种系统中，所有顾客都将排在同一个队伍中，然后按照先后顺序依次接受服务。

这种系统相比于多个队列排队系统，能够有效减少空闲时间和服务延迟。

为了对服务台单队列排队系统进行评估和优化，我们可以使用仿真技术来模拟系统的运行情况，并对其进行分析。

2. 仿真模型设计在服务台单队列排队系统的仿真模型中，我们需要考虑到以下几个方面的因素：2.1 顾客到达规律在实际排队系统中，顾客的到达时间往往是随机的，我们可以使用随机数生成器来模拟此过程。

通过设定到达时间的概率分布函数，我们可以生成一系列随机数来模拟顾客的到达间隔。

2.2 服务时间每个顾客在服务台的服务时间也是随机的。

同样地，我们可以使用随机数生成器来模拟服务时间。

通过设定服务时间的概率分布函数，我们可以生成一系列随机数来模拟顾客在服务台的停留时间。

2.3 服务台数量为了简化仿真模型，我们假设只有一个服务台。

在实际情况中，可以根据实际需求增加服务台数量，以提高系统的整体效率。

2.4 排队规则在服务台单队列排队系统中，顾客按照先后顺序依次接受服务。

当一个顾客结束服务后，下一个顾客将开始接受服务。

为了模拟这个过程，我们可以使用队列数据结构来管理顾客的排队顺序。

3. 仿真过程在进行仿真过程时，我们可以按照以下步骤进行操作：3.1 初始化仿真参数根据实际情况，我们可以设定好仿真的时间段、顾客到达规律和服务时间的概率分布函数等参数。

3.2 创建顾客队列根据顾客到达规律，我们可以按照一定的间隔时间将顾客加入到队列中。

3.3 顾客进入服务台当顾客队列不为空时，服务台将接受当前队列中的第一个顾客，并开始对其进行服务。

3.4 更新服务时间和队列在服务过程中，服务单位时间递减，直到达到零时，服务结束，当前顾客离开服务台，下一个顾客开始接受服务。

实验2排队系统仿真一、学习目的1．了解仿真的特点2．学习如何建构模型3．熟悉eM-Plant基本的对象和操作4．掌握排队系统的特点与仿真的实现方法二、问题描述该银行服务窗口为每个到达的顾客服务的时间是随机的，表2.4是顾客服务时间纪录的统计结果表2.4 每个顾客服务时间的概率分布对于上述这样一个单服务待排队系统，仿真分析30天，分析该系统中顾客的到达、等待和被服务情况，以及银行工作人员的服务和空闲情况。

三、系统建模3.1 仿真目标通过对银行排队系统的仿真，研究银行系统的服务水平和改善银行服务水平的方法，为银行提高顾客满意度，优化顾客服务流程服务。

3.2．系统建模3.2.1 系统调研1. 系统结构: 银行服务大厅的布局, 涉及的服务设备2. 系统的工艺参数: 到达-取号-等待-服务-离开3. 系统的动态参数: 顾客的到达时间间隔, 工作人员的服务时间4. 逻辑参数: 排队规则, 先到先服务5. 系统的状态参数: 排队队列是否为空, 如果不为空队长是多少, 服务台是否为空6. 系统的输入输出变量:输入变量确定其分布和特征值,顾客的到达时间间隔的概率分布表和每个顾客被服务时间的概率分布. 输出变量根据仿真目标设定. 包括队列的平均队长、最大队长、仿真结束时队长、总服务人员、每个顾客的平均服务时间、顾客平均排队等待服务时间、业务员利用率等。

3.2.2系统假设1．取号机前无排队，取号时间为02．顾客排队符合先进先出的排队规则3．一个服务台一次只能对一个顾客服务4．所有顾客只有一种单一服务5．仿真时间为1个工作日（8小时）6．等候区的长度为无限长3.2.3系统建模系统模型：3.2.4 仿真模型1．实体：银行系统中的实体是人（主动体）2．属性：到达时间间隔、接受服务的时间、接受服务类型3．事件：顾客到达、开始取号、取号结束、进入队列、出队列、接受服务、服务完成、离开银行。

4．活动：到达、取号、排队、服务、离开5．资源：取号机、排队的座椅、服务柜台4 系统仿真4.1 eM-plant 界面与主要控件介绍1. 实体：eM-Plant 中包括3类实体：entity ，container ，transporter 。

单服务员的排队模型：在某商店有一个售货员，顾客陆续来到，售货员逐个地接待顾客．当到来的顾客较多时，一部分顾客便须排队等待，被接待后的顾客便离开商店．设：1．顾客到来间隔时间服从参数为0.1的指数分布．２．对顾客的服务时间服从［４，１５］上的均匀分布．３．排队按先到先服务规则，队长无限制．（1）模拟100个工作日，求出平均每日完成服务的个数及每日顾客的平均等待时间．MATLAB程序：clearsm=0;%总工作时间，初始为0m=0;%服务总个数for j=1:100jw(j)=0;i=2;x(i)=exprnd(10);c(i)=x(i);b(i)=x(i);while b(i)<=480y(i)=unifrnd(4,15);e(i)=b(i)+y(i);w(j)=w(j)+b(i)-c(i);i=i+1;x(i)=exprnd(10);c(i)=c(i-1)+x(i);b(i)=max(c(i),e(i-1));endi=i-2;t=w(j)/i %每j日顾客的平均等待时间m=m+i;sm=sm+w(j);%总的等待时间endm ; %100日服务总个数am=m/100 %输出平均每日完成服务的个数at= sm/m %输出平均每日顾客平均等待时间运行结果：j =1t =7.6488j =2t =21.5629j =3t =48.0306j =4t =15.3583j =5t =29.0681 j =6t =43.9925 j =7t =9.1838 j =8t =29.3542 j =9t =37.3775j =10t =36.6198 j =11t =15.1372 j =12t =11.9697 j =13t =46.2765 j =14t =5.0990 j =15t =12.4896 j =16t =19.3674 j =17t =27.7045 j =18t =13.7486 j =19t =24.3442 j =20t =10.8663 j =21t =8.0429 j =22t =10.372323t =11.8501 j =24t =14.3409 j =25t =46.0177 j =26t =8.8139 j =27t =5.3630 j =28t =12.8179 j =29t =7.2817 j =30t =11.1612 j =31t =9.3863j =32t =62.4873 j =33t =13.0453 j =34t =21.7910 j =35t =16.5294 j =36t =12.2347 j =37t =24.9796 j =38t =78.2435 j =39t =24.3057 j =40t =15.2035 j =41t =46.8024 j =42t =56.4635 j =43t =37.1819 j =44t =18.293145t =55.0295 j =46t =35.6992 j =47t =24.6073 j =48t =12.9206 j =49t =15.4886 j =50t =17.0108 j =51t =20.9452 j =52t =21.8094 j =53t =75.8497j =54t =25.1111 j =55t =34.9260 j =56t =32.5712 j =57t =27.9767 j =58t =29.5067 j =59t =29.4701 j =60t =19.2476 j =61t =16.3576 j =62t =8.8686 j =63t =29.0910 j =64t =14.7117 j =65t =36.7096 j =66t =46.951267t =7.7582 j =68t =11.8390 j =69t =43.2197 j =70t =97.6024 j =71t =70.4187 j =72t =8.5048 j =73t =4.1632 j =74t =18.7508 j =75t =41.1622j =76t =28.1712 j =77t =56.6012 j =78t =45.1566 j =79t =12.9582 j =80t =6.6022 j =81t =19.3046 j =82t =26.1914 j =83t =8.4448 j =84t =18.3721 j =85t =18.1843 j =86t =41.0727 j =87t =7.7466 j =88t =54.313889t =22.9150 j =90t =68.9592 j =91t =11.5373 j =92t =14.4600 j =93t =27.6556 j =94t =41.1297 j =95t =24.8645 j =96t =36.2404 j =97t =5.2884j =98t =7.2035 j =99t =25.1523 j =100t =24.6979 am =44.1400 at =27.1289。

带有部分工作休假和休假中断的M/M/c排队作者：李继红， 李文焘， 田乃硕， LI Ji-hong， LI Wen-tao， TIAN Nai-shuo作者单位：李继红,LI Ji-hong(燕山大学,经济管理学院,河北,秦皇岛,066004)， 李文焘,LI Wen-tao(晋华学校,高中部,山西,榆次,030600)， 田乃硕,TIAN Nai-shuo(燕山大学,理学院,河北,秦皇岛,066004)刊名：数学的实践与认识英文刊名：MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY年，卷(期)：2009,39(8)参考文献(6条)1.Doshi B Queueing systems with vacations-a survey[外文期刊] 1986(01)2.Takagi H Queueing Analysisl A Foundation of Performance Evaluation,Vol.1:Vacation and Priority Systems Part 1 19913.Neuts M Matrix-Geometrlc Solutions in Stochastic Models 19814.Zhang Z G;Tian N Analysis on queuein8 systems with synchronous vacations of partial servers[外文期刊] 2003(02)5.Zhang Z G;Tian N Analysis of queueing systems with synchronous single vacations for some seryen[外文期刊] 2003(02)6.Tian N;Zhang Z G Vacation Queueing Models:Theory and Applications 2006本文链接：/Periodical_sxdsjyrs200908019.aspx。

带负顾客、启动期和反馈的M／M／1／N多重工作休假排队系统师宗梅;吕胜利;袁晶晶;王朋成【摘要】研究了带有正、负顾客且顾客容量有限的M/M/1/N多重休假排队系统，引入不耐烦、空竭服务、反馈和启动期策略，同时假设服务台可能发生故障。

利用马尔科夫过程理论建立系统稳态矩阵方程组，并利用矩阵几何解和分块矩阵方法得到了稳态概率的矩阵解，求出了系统稳态下的一些性能指标。

最后运用M atlab软件进行数值分析，为系统的优化设计提供参考。

%This paper studies anM/M/1/N multiple working vacation queuing system with limited capacity , in w hich customers are either “positive” or “negative” , introducing impatient strategy , exhaustive service , feedback and set-up time , simultaneously assuming desk may malfunction . The matrix form solution of steady-state probability is derived by the Markov process method , and the steady-state probability in matrix form is derived by using matrix-geometric solution and block-matrix-solution method , some reliable indices of the steady-state system are given . Finally , the corresponding numerical analysis is made by Matlab ,which would provide a basis for optimal design .【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】7页(P18-24)【关键词】负顾客;启动时间;反馈;工作休假;矩阵几何解【作者】师宗梅;吕胜利;袁晶晶;王朋成【作者单位】燕山大学理学院，河北秦皇岛 066004;燕山大学理学院，河北秦皇岛 066004;燕山大学理学院，河北秦皇岛 066004;燕山大学理学院，河北秦皇岛066004【正文语种】中文【中图分类】O2260 引言在经典休假排队系统中，休假期间内服务员完全停止服务而去执行其他的辅助工作或进行维修保养.近来，Servi和Finn［1］引入了一类半休假策略：在休假期间内服务员不是完全停止为顾客服务而是以较低的速率为顾客服务，这样的休假策略称为工作休假；若工作休假期间的服务速率退化为零，则模型归结为经典休假排队系统.这种策略一经提出就引起了国内外很多学者的极大兴趣，近年来已经取得了许多有价值的研究成果［2－4］.1991年，Gelendbe［5］提出的负顾客排队模型，开创了负顾客排队模型的先河.若将其应用在生产制造系统或者销售系统中，此时负顾客可以看成是操作员的误操作或是其他致使顾客离开的诱因，且负顾客到达可能使服务员休假或者故障，由此负顾客排队理论得到推广.另外，反馈也是目前排队模型研究很多的一个热点，其中Bernoulli反馈已被广泛用于计算机分时操作系统和无线电通讯网络系统中.文献［6，7］分别研究了带有负顾客且Bernoulli反馈的单服务台和多服务台工作休假排队系统，得到了稳态存在条件和稳态分布向量.ATM网络IP协议下的转换式虚通道（SVC）上的排队系统往往带有启动期和关闭期，此时启动期相当于依靠信号协议建立一个新的SVC连续所用的时间，这种带有启动期的休假排队更符合复杂通信网络排队的实际情况，文献［8－10］对此模型也作了详细介绍.本文讨论一个等待空间有限且有正、负顾客，带启动期和不耐烦策略，可提供反馈服务的M／M／1／N多重工作休假可修排队系统.1 模型的描述多重M／M／1／N工作休假排队模型如下：1）顾客到达：假定系统为带有正、负顾客的单服务台系统，正顾客以参数为λ的泊松过程到达并形成等待队列，负顾客以参数为ε的泊松过程到达.若系统中有正顾客，则负顾客一对一抵消处于队首的正顾客（忙期和工作休假期抵消处于正在接受服务的正顾客，故障期和启动期抵消处于队首将要接受服务的正顾客），若无正顾客时，到达的负顾客自动消失.2）服务过程：当系统为空时，服务台开始一个随机长度为V的工作休假，休假时间V服从参数为θ的负指数分布.在工作休假期间，服务台以较低的服务率μv接待正顾客，若结束一次工作休假时系统中仍无正顾客，则继续一个独立同分布的工作休假；若在某次工作休假期间服务完某一个正顾客后系统中已有正顾客，则服务台终止工作休假转为正规忙期，以正常服务率μb（μb＞μv）接待正顾客，直到服务台再次变为空闲.服务台对正顾客在正规忙期和工作休假期服务时间均服从负指数分布.顾客在服务完一次后以概率p（0＜p≤1）离开系统不再回来，以概率1－p反馈到队尾等待下一次服务.3）启动过程：当一个工作休假期结束时，若系统中无顾客，则服务台进入关闭期.在关闭期内，若有正顾客到达，则关闭期结束，但顾客不能立即得到服务，而是需要经历一个启动期，启动时间S服从一个参数为α的指数分布，启动期结束后正规忙期开始.4）故障过程：假定服务台只在正规忙期内发生故障，发生故障后服务台立即被修理.故障时间和修理时间分别服从参数为β和γ的负指数分布.5）退出过程：在服务台发生故障时，顾客可能因等待不耐烦而在没有接受服务的情况下离开系统（中途退出），假设顾客进入系统后直到中途退出的这段等待时间服从参数为η的负指数分布.6）假定顾客到达过程、服务过程、启动过程、故障过程、修理过程、退出过程等都是相互独立的，服务规则为先到先服务（First In First Out，简记为FIFO）.2 稳态概率分布令Q（t）为时刻t系统中的正顾客数，J（t）表示时刻t服务台的工作状态，定义如下：则｛Q（t），J（t）｝是马尔科夫过程，其状态空间Ω＝｛（0，0）｝∪｛（0，1）｝∪｛（0，3）｝∪｛（k，j）：1≤k≤N，j＝0，1，2，3｝，其中状态（k，0），0≤k≤N 表示系统处于工作休假期且系统中有k 个顾客；状态（k，1），1≤k≤N表示系统处于启动期且有k个顾客；状态（0，1）表示系统处于关闭期；状态（k，2），1≤k≤N表示系统处于正规忙期且有k个顾客；状态（k，3），0≤k≤N表示系统处于故障状态且有k个顾客.定义系统的稳态概率方程由马尔科夫过程理论可得系统稳态概率满足如下方程组：3 稳态概率的矩阵解法由马尔科夫过程｛Q（t），J（t）｝及其状态空间可知，过程的无穷小生成元可写成如下形式：其中其中A1，A2，A3，B1，D2 都是（N＋1）维方阵，A4 是N 维方阵，C1，B2，D3 都是（N＋1）×N 维矩阵，D1，B3都是N×（N＋1）维矩阵，O1是（N＋1）维全零方阵，O2是N×（N＋1）维全零矩阵.运用分块矩阵和矩阵几何解理论求解稳态概率方程组，令P ＝（P0，P1，P2，P3），Pi ＝（Pi（0），Pi（1），…，Pi（N）），i＝0，1，3，P2 ＝（P2（1），Pi（2），…，P2（N））.由此，可写成如下方程形式：其中，e是元素都是1的（4 N＋3）维的列向量.根据Q阵结构，方程组（15）可以写成如下分块矩阵形式的方程组：式中，eN＋1，eN分别是元素全为1的N＋1，N维列向量.运用矩阵分块理论得到如下的分块矩阵和向量形式：其中是N 维行向量，是 N 维方阵，γ1＝γ3＝γ5＝（λ，0，0，…，0）是 N 维行向量，γ2＝（pμv＋ε，0，…，0）T，γ4＝（ε，0，…，0）T，γ6＝（ε＋η，0，…，0）T 是 N 维列向量，01 是全零的 N 维行向量，02是全零的N维列向量，03是全零的（N－1）维列向量，O3是全零的N维方阵，O4是全零的（N－1）×N维矩阵.引理1 设A＝（aij）是实数域上的n阶方阵，如果那么≠0.定理1 ，A2 是可逆矩阵.证明＝（aij）N×N.由于由引理1可知，≠0，所以可逆.同理可知，A2也是可逆的. 】定理2 系统的稳态概率的矩阵解为其中，εi表示第i个元素为1其余元素为0的N维列向量，证明由方程（16）和矩阵分块形式可得展开化简得由方程（21）的第二式可得，故由方程（17）可得展开化简可得将方程（25）代入（24）可得由方程（18）与分块矩阵可得展开化简可得，由方程（19）与分块矩阵可得展开化简可得由方程（27），（28）联立组成新的方程组可得方程（29）～（31）结合分块矩阵形式进一步化简为其中（λ＋γ4）－1.由方程（20），（23），（26），（32）～（34）式可得p0（0）＝δ，其中综上所述，定理可证. 】4 系统的性能指标系统的各项性能指标如下：1）系统的平均队长2）系统的平均等待队长3）服务台在工作休假期的概率4）系统处于启动期的概率5）服务台在正规忙期的概率6）系统处于故障的概率5 数值例子下面给出系统稳态队长随负顾客到达率和服务台故障率变化的情况，取λ＝2，μv ＝4，μb＝6，N＝8，γ＝2，η＝0.5，θ＝1，α＝1.由图1可知，当β＝1时，系统稳态平均队长随着负顾客的到达率ε的增大而相应减少，同时p越大，顾客离去率越大，平均队长也越小.在图2中，当ε＝1时系统稳态平均队长随着故障率β增大而减少，同时p越大，顾客离去率越大，顾客因不耐烦而离开系统使系统顾客数减少.图1 系统平均队长随ε的变化情况Fig 1 The relation of the expected number of customers in the system withε图2 系统平均队长随β的变化情况Fig 2 The relation of the expected number of customers in the system wi thβ6 结论本文讨论了有正、负顾客，带启动期和不耐烦策略，可提供反馈服务的的M／M ／1／N多重工作休假可修排队系统，运用矩阵几何解和分块矩阵的相关理论得到了系统稳态分布以及系统稳态队长、故障率、平均等待队长和忙期概率等指标的矩阵解.最后，通过数值例子分析了负顾客的到达和服务台故障对系统的影响，为服务机构和决策者做出决策从而使系统达到最优提供了理论依据.参考文献［1］SERI L D，FINN S G.M／M／1queues with working vacations（M／M ／1／WV）［J］.Performance Evaluation，2002，50（1）：41－52.［2］TIAN N，ZHANG G.A two threshold vacation policy in multi－serverqueuing systems［J］.Eur J Oper Res，2006，168（1）：153－163.［3］LIU W Y，XU X L，TIAN N S.Stochastic decompositions in the M／M／1queue with working vacations［J］.Operations Research Letters，2007，35（5）：595－600.［4］朱翼隽，徐剑，周宗好.多重工作休假的M／M／c排队系统［J］.江苏大学学报：自然科学版，2012，33（3）：369－372.［5］GELENBE E，CLYNN P，SIGMAN K.Queues with negative arrivals ［J］.J Appl Prob，1991，28（1）：245－250.［6］顾庆凤，朱翼隽.带有负顾客且有反馈的M／M／1／N工作休假排队［J］.数学的实践与认识，2011，41（10）：153－159.［7］刘红丹，吕胜利，李丹丹.有负顾客且Bernoulli反馈的M／M／1工作休假排队系统［J］.郑州大学学报：理学版，2013，45（2）：14－18.［8］XU X L，TIAN N S.GI／M／1queue with both of closed time and set－up time and its application［J］.Operations Research and Management Science，2012，11（5）：10－13.［9］徐秀丽，高红，田乃硕.对带启动时间和可变服务率的M／M／1休假排队的分析［J］.应用数学学报，2008，31（4）：692－701.［10］胡彬，朱翼隽，周宗好.负顾客、带启动期和备用服务员的M／M／1休假排队系统［J］.系统工程理论与实践，2012，32（2）：349－355.。