人教版高中数学(文科)选修导数的应用(一)

第三章 导数及其应用本章概览内容提要1.导数概念及其几何意义(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义求函数y =c ,y =x ,y =x 2,y =x 3,y =x1,y =x 等的导数. (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax +b ))的导数.(3)会使用导数公式表.3.导数在研究函数中的应用(1)结合实例，借助几何直观探索了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.(2)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.4.生活中的优化问题举例例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用.学法指导1.本章中，导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的.学习中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，使自己认识由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数.通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵.这样学习的目的是使自己直观理解导数的背景、思想和作用.2.在学习中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值.要认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述.3.在解决具体问题的过程中，要对函数的导数方法与初等方法作比较，以体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.。

第一章导数及其应用本章综述本章内容共分为四大节.第一大节是导数.第二大节是导数的运算,主要介绍了基本初等函数的导数公式,导数的四则运算法则.第三大节是导数的应用,主要是利用导数判断函数的单调性,求函数的极值和最值问题,利用函数解实际问题和物理问题.第四大节是定积分和微积分的基本定理,主要介绍利用定积分求曲线围成的平面图形的面积.导数是微积分的核心概念之一,它是研究函数的单调性,函数的极值与最大,最小值,曲线的凹凸性,函数图形的描绘,曲线的曲率,方程的近似解等问题的最一般,最有效的工具;定积分是微积分的另一个核心概念,它在几何学上的应用有:计算平面图形的面积,体积以及平面曲线的弧长等;在物理学上它可计算变力沿直线所做的功,水压力,引力等一些重要的物理量.实际上,微积分在物理、化学、生物、天文、地理以及经济等各种科学领域中都有广泛而重要的作用,它是大学数学课程中极其重要又非常基础的一部分内容.导数来源于实践,又应用于实践.如现实生活中的瞬时速度,膨胀率,增长率问题等等,都充分反映了导数的思想.利用导数还可以解决现实生活中的最优化问题,由于其应用广泛,所以其地位在中学数学中极其重要.因此,导数及其应用已成为近几年高考的热点.导数概念的核心是变化率,学习导数应从物理和几何两方面去理解导数的意义;必须熟记常数与基本初等函数的导数;正确地运用和、差、积、商及复合函数的求导法则,就可以求出一切初等函数的导数;学会利用导数解决速度、加速度、函数的单调性、极值、最值等问题的解法,并会利用其解决实际问题.学习导数时要借助于实例,沿着从平均速度、瞬时速度到函数瞬时变化率的线索,认识和理解导数的概念;通过例题,体会利用导数的定义求导数的方法;借助于图形去认识和理解导数的几何意义,以及用导数的几何意义去解决问题;结合图形去认识和理解导数在研究函数性质中的应用;借助图形了解定积分的思想方法等.学习本章时要注意导数与导函数的区别,以及圆的切线、圆锥曲线与函数切线的区别.同时,还应明确平均变化率与瞬时变化率的区别与联系.。

导数的应用（一）【考点指津】1．函数的导数与单调性的关系：若f'(x)>0，则f(x)为增函数；若f'(x)恒等于零，则f(x)为常数；若f(x)<0，则f(x)为减函数．2．从函数图象出发，通过数形结合的方法直观了解可导函数的单调性与其导数的关系，熟练掌握用导数的符号判别函数增减性的方法．【知识在线】1． 函数y=x 2-x+1的单调递减区间是 （ ）A ．(-∞，12 )B ．(12 ，+∞)C ．(-∞，-12 )D ． (-12，+∞)2．若函数f(x)=ax+b 上是R 上的单调函数，则a 、b 应满足（ ）A ． a>0，b>0B ．a>0，b ∈RC ．a<0，b ∈RD ． a ≠0，b ∈R3．已知函数f(x)=x 2(x-3)，则f(x)在R 上的单调递减区间是 ，单调递增区间为 ．4．若三次函数f(x)=x 3+kx 在（-∞，+∞）内是增函数，则实数k的取值范围是 ．5．证明函数f(x)=x 2-4x+1在区间(-∞，2)上是减函数．【讲练平台】例1 函数y=x 2-13x 3的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．分析 先求函数的导数f'(x)，再根据f'(x)>0（或f'(x)<0）解得f(x)的递增（或递减）区间．解 由 y=x 2-13x 3可得y'=2x-x 2 令y'>0，即2x-x 2>0，解得0<x<2，因此，当x ∈(0，2)时，函数为减函数，即单调递减区间为(0，2)．令y'<0，即2x-x2，解得x<0或x>2因此，当x∈(-∞，0)或(2，+∞)时，函数为增函数，即单调递增区间为（-∞，0）或(2，+∞)．点评本题也可用函数单调性的定义来解，但在判断函数的单调性时，“导数法”要比“定义法”简捷得多．例2 函数y=f(x)的导数y'>0是函数f(x)单调递增的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件分析借助函数的导数与单调性之间的关系，充分性即可判定．必要性可结合具体的例子来加以说明．解由函数的导数与单调性的关系：导数为正，函数为增；导数为负，函数为减．因此不难知道：y'>0可推出函数f(x)单调递增．但反之不然，例如对于函数y=x3来说，它在R上是增函数，而它在x=0处的导数等于0，因此并不能推出y'>0．故选B．点评应当注意函数在它的单调区间内某点处的导数可能为零，并非一定要恒大于零或恒小于零．例3若函数f(x)=ax3+x，(1) 求实数a的取值范围，使f(x)在R上是增函数．(2) 求实数a的取值范围，使f(x)恰好有三个单调区间．分析若条件(1)成立，则f'(x)>0对x∈R恒成立，据此可解得a的范围；若条件(2)成立，则方程f'(x)=0应当有两个不等实根，可由判别式大于0求得a的范围．解 f'(x)=3ax2+1(1)∵f'(x)=3ax2+1对x∈R恒成立，f(x)在R上是增函数，∴当a≥0时，f'(x)>0(2) 令3ax2+1=0有两个不等实根，∴Δ=-12a>0，∴a<0点评求函数的导数和解相关的不等式是研究函数单调性的常用手段和关键所在．例4 设a＞0，函数f(x)=x3-ax在[1，+ )上是单调函数．（1）求实数a的取值范围；（2）设x0≥1，f(x) ≥1，且f(f(x0))=x0，求证：f(x0)=x0．分析（1）因为最高次的系数为大于0，故在区间[1，+∞）是单调函数只能是单调增函数，对于任意x 1．x 2∈[1，+∞]且x 1＜x 2，则f (x 2)-f (x 1) ＜0恒成立的a 的取值范围．解（1）任取x 1．x 2∈[1，+∞]且x 1＜x 2，则f (x 2)-f (x 1)=(x 23-ax 2)-(x 13-ax 1)=(x 2-x 1)(x 22+x 1x 2+x 12-a )， ∵1≤x 1＜x 2，∴x 22+x 1x 2+x 12＞3，显然，不存在一个常数a ，使得x 22+x 1x 2+x 12-a 恒为负数，∵f (x )有确定的单调性，∴必存在一个常数a ，使x 22+x 1x 2+x 12-a 恒为正数，即x 22+x 1x 2+x 12＞a ，∴a ≤3，这时有f (x 2) ＞f (x 1)， ∴f (x )在[1，+∞]上是增函数，故a 的取值范围是（0，3）．（2）设f (x 0)=u ，则f (u )=x 0，于是⎪⎩⎪⎨⎧=-=-03030x au u u ax x ，则（330u x -）-a (x 0-u )=u -x 0即（x 0-u ）（x 02+x 0u +u 2+1-a )=0， ∵x 0≥1，u ≥1， x 02+x 0u +u 2 ≥3， 又∵0＜a ≤3， ∴x 02+x 0u+u 2+1-a ＞0， ∴x 0-u=0，即u=x 0，故f(x 0)=x 0．点评 方程思想是见的数学思想，本题第二小题就是设变量列方程解题．其次本题第二小题还可以利用反证法来证明．【知能集成】求函数单调区间的步骤为：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f'(x); (3)解不等式f'(x)>0，得f(x)的递增区间；解不等式f'(x)<0， 得f(x)的递减区间．【训练反馈】1．若函数f(x)=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．( 13 ，+∞)B ．(- ∞， 13 )C ．[13 ，+∞]D ．(-∞，13) 2．若f(x)=ax 2+bx 在区间(0，+∞)单调递增，则a 、b 应满足（ ）A ． a>0，b=0B ．a=0，b>0C ．a>0，b=0或a=0，b>0D ．以上答案都不对3．函数y=f(x)的导数y'<0是函数f(x)单调递减的 条件．4．确定函数f(x)=x 3-6x 2+9x+2单调增区间是 ，单调减区间是 ．5．设f(x)=(x-1)2，g(x)=x 2-1，(1) 写出f[g(x)]的解析式； (2)求函数f[g(x)]的单调区间．6．已知a ≥0，函数f(x)=x 3-ax 在[1，+∞]上是单调增函数，则a的最大值是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．当正数k= 时，函数f(x)=kx 3+3(k-1)x 2-k 2+1在区间(0，4)上是减函数．8．求函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a>0)在R 上是增函数的充要条件 ．9．若x>0时，有f'(x)>g'(x)，则当f(x)和g(x)满足 条件时，当x>0时，一定有f(x)>g(x)．10．已知y=sinx 的导函数为y'=cosx ，证明：若0<x<π2，则有sinx<x ．。

教学设计【教学目标】1.知识与技能了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数求函数的单调区间；已知函数单调性会求参数的取值范围。

2.过程与方法通过利用导数研究单调性问题的探索过程，体会从特殊到一般、数形结合、分类讨论、化归转化的数学思想方法。

3.情感态度与价值观通过利用导数方法研究单调性问题，体会不同知识间的联系，同时通过学生的交流讨论，引导学生养成自主学习的好习惯，激发学生的学习兴趣，培养学生分享成功的喜悦。

【教学重点和难点】教学重点：函数单调性的判定方法及应用。

教学难点：已知单调性求参数范围。

【教学方法】本节课拟运用“问题——解决”课堂教学模式，采用启发式，讲练结合的教学方法。

通过问题激发学生的求知欲，使学生主动参与教学，同时采用多媒体辅助教学，节省时间，加大课堂容量。

【教学过程】一、课堂引入师：导数是高考的热点之一，常与函数、不等式、解析几何结合出题，今天我们一起复习一下如何利用导数研究函数的单调性。

首先看一下考试要求。

多媒体展示考试要求，板书课题生：看考试说明，读考试要求设计意图：使学生明确利用导数研究函数单调性在高考中的要求。

师：函数单调性与导数的关系是什么呢？显示多媒体生：齐答问题1.函数的单调性与导数的关系设函数)(x f 在),(b a 内可导，如果在),(b a 内0)(>'x f ，则)(x f 在此区间内是_______如果在),(b a 内0)(<'x f ,则)(x f 在此区间内是_______师：由此可以得出求函数单调区间步骤生：思考，回答求解步骤2.利用导数判断函数单调性的一般步骤（1）求函数定义域；（2）求)(x f '；（3）在定义域内解不等式0)(>'x f ，得增区间，解不等式0)(<'x f ，得减区间；设计意图：通过对知识的回顾，使学生明确函数增减性与导数正负的关系。

二、概念辨析师：下面我们通过几个小题，加深对导数与函数单调性关系式的理解多媒体展示1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增，那么在(a,b)上一定有f ′(x)>0（ ）2.若函数在某个区间内恒有f ′(x) =0，则函数f(x)在此区间内没有单调性（ ）3．)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象可能的是（ ）生：回答每个题目，（1）举出反例，得出f ′(x)>0是函数单调递增的什么条件，（2）说明函数类型（3）说明解题过程，并说出已知原函数图像如何得导函数图像，如D 选项设计意图：通过三个小题的辨析，加深学生对导数与函数单调性关系的理解。

2019-2020年高中数学选修本(文科)导数的应用（一）【考点指津】1．函数的导数与单调性的关系：若f'(x)>0，则f(x)为增函数；若f'(x)恒等于零，则f(x)为常数；若f(x)<0，则f(x)为减函数．2．从函数图象出发，通过数形结合的方法直观了解可导函数的单调性与其导数的关系，熟练掌握用导数的符号判别函数增减性的方法．【知识在线】1． 函数y=x 2-x+1的单调递减区间是 （ ）A ．(-∞，12 )B ．(12 ，+∞)C ．(-∞，-12 )D ． (-12，+∞) 2．若函数f(x)=ax+b 上是R 上的单调函数，则a 、b 应满足 （ ）A ． a>0，b>0B ．a>0，b ∈RC ．a<0，b ∈RD ． a ≠0，b ∈R3．已知函数f(x)=x 2(x -3)，则f(x)在R 上的单调递减区间是 ，单调递增区间为 ．4．若三次函数f(x)=x 3+kx 在（-∞，+∞）内是增函数，则实数k 的取值范围是 ．5．证明函数f(x)=x 2-4x+1在区间(-∞，2)上是减函数．【讲练平台】例1 函数y=x 2-13x 3的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 分析 先求函数的导数f'(x)，再根据f'(x)>0（或f'(x)<0）解得f(x)的递增（或递减）区间．解 由 y=x 2-13x 3可得y'=2x -x 2 令y'>0，即2x -x 2>0，解得0<x<2，因此，当x ∈(0，2)时，函数为减函数，即单调递减区间为(0，2)．令y'<0，即2x -x 2， 解得x<0或x>2因此，当x ∈(-∞，0)或(2，+∞)时，函数为增函数，即单调递增区间为（-∞，0）或(2，+∞)． 点评 本题也可用函数单调性的定义来解，但在判断函数的单调性时，“导数法”要比“定义法”简捷得多．例2 函数y=f(x)的导数y'>0是函数f(x)单调递增的 （ ）A ．充要条件B ． 充分不必要条件C ．必要不充分条件D ． 既不充分也不必要条件分析 借助函数的导数与单调性之间的关系，充分性即可判定．必要性可结合具体的例子来加以说明． 解 由函数的导数与单调性的关系：导数为正，函数为增；导数为负，函数为减．因此不难知道：y'>0可推出函数f(x)单调递增．但反之不然，例如对于函数y=x 3来说，它在R 上是增函数，而它在x=0处的导数等于0，因此并不能推出y'>0．故选B ．点评 应当注意函数在它的单调区间内某点处的导数可能为零，并非一定要恒大于零或恒小于零． 例3 若函数f(x)=ax 3+x ，(1) 求实数a 的取值范围，使f(x)在R 上是增函数．(2) 求实数a 的取值范围，使f(x)恰好有三个单调区间．分析 若条件(1)成立，则f'(x)>0对x ∈R 恒成立，据此可解得a 的范围；若条件(2)成立，则方程f'(x)=0应当有两个不等实根，可由判别式大于0求得a 的范围．解 f'(x)=3ax 2+1(1)∵f'(x)=3ax 2+1对x ∈R 恒成立，f(x)在R 上是增函数，∴当a ≥0时，f'(x)>0(2) 令3ax 2+1=0有两个不等实根，∴Δ=-12a>0， ∴a<0点评 求函数的导数和解相关的不等式是研究函数单调性的常用手段和关键所在．例4 设a ＞0，函数f (x )=x 3-ax 在[1，+)上是单调函数．（1）求实数a 的取值范围；（2）设x 0≥1，f (x ) ≥1，且f (f (x 0))=x 0，求证：f (x 0)=x 0．分析（1）因为最高次的系数为大于0，故在区间[1，+∞）是单调函数只能是单调增函数，对于任意x 1．x 2∈[1，+]且x 1＜x 2，则f (x 2)-f (x 1) ＜0恒成立的a 的取值范围．解（1）任取x 1．x 2∈[1，+]且x 1＜x 2，则f (x 2)-f (x 1)=(x 23-ax 2)-(x 13-ax 1)=(x 2-x 1)(x 22+x 1x 2+x 12-a )， ∵1≤x 1＜x 2，∴x 22+x 1x 2+x 12＞3，显然，不存在一个常数a ，使得x 22+x 1x 2+x 12-a 恒为负数，∵f (x )有确定的单调性，∴必存在一个常数a ，使x 22+x 1x 2+x 12-a 恒为正数，即x 22+x 1x 2+x 12＞a ，∴a ≤3，这时有f (x 2) ＞f (x 1)， ∴f (x )在[1，+]上是增函数，故a 的取值范围是（0，3）．（2）设f (x 0)=u ，则f (u )=x 0，于是，则（）-a (x 0-u )=u -x 0即（x 0-u ）（x 02+x 0u +u 2+1-a )=0， ∵x 0≥1，u ≥1， x 02+x 0u +u 2 ≥3， 又∵0＜a ≤3， ∴x 02+x 0u+u 2+1-a ＞0， ∴x 0-u=0，即u=x 0，故f(x 0)=x 0．点评 方程思想是见的数学思想，本题第二小题就是设变量列方程解题．其次本题第二小题还可以利用反证法来证明．【知能集成】求函数单调区间的步骤为：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f'(x); (3)解不等式f'(x)>0，得f(x)的递增区间；解不等式f'(x)<0， 得f(x)的递减区间．【训练反馈】1．若函数f(x)=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．( 13 ，+∞)B ．(- ∞， 13 )C ．[13 ，+∞]D ．(-∞，13) 2．若f(x)=ax 2+bx 在区间(0，+∞)单调递增，则a 、b 应满足 （ ）A ． a>0，b=0B ．a=0，b>0C ．a>0，b=0或a=0，b>0D ．以上答案都不对3．函数y=f(x)的导数y'<0是函数f(x)单调递减的 条件．4．确定函数f(x)=x 3-6x 2+9x+2单调增区间是 ，单调减区间是 ．5．设f(x)=(x -1)2，g(x)=x 2-1，(1) 写出f[g(x)]的解析式； (2)求函数f[g(x)]的单调区间．6．已知a ≥0，函数f(x)=x 3-ax 在[1，+∞]上是单调增函数，则a 的最大值是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．当正数k= 时，函数f(x)=kx 3+3(k -1)x 2-k 2+1在区间(0，4)上是减函数．8．求函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a>0)在R 上是增函数的充要条件 ．9．若x>0时，有f'(x)>g'(x)，则当f(x)和g(x)满足 条件时，当x>0时，一定有f(x)>g(x)．10．已知y=sinx 的导函数为y'=cosx ，证明：若0<x<π2，则有sinx<x ．2019-2020年高中数学选修本(文科)导数的应用（二）【考点指津】1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极植与其导数的关系，增强数形结合的思维意识，并能灵活利用导数求有关函数的极值．2．掌握函数f(x)（定义在[a ，b]上且在(a ，b)内可导）的最大值与最小值的求法结合函数图象，直观理解函数最大、小值的概念，熟练掌握利用导数求函数最大、小值的方法，并能利用导数解决实际生活中的一些最大、小值问题．【知识在线】1．函数f(x)=x 2-4x+1在[1，5]的最大值和最小值分别为 （ ）A 、f(1)，f(5)B 、f(2)，f(5)C 、f(1)，f(2)D 、f(5)，f(2)2．已知f(x)=2x 3-6x 2+m(m 为常数)，在[-2，2]上有最大值3，那么此函数在[-2，2]上的最小值为（ ）A 、-37B 、-29C 、-5D 、-113．若函数f(x)=x 3-3x 在区间[，]的最小值是m 2-2，则实数m 的值为___ _________．4．如图，将边长为a 的正方形铁皮的四角各截去一个同样大小的小正方形后，将四边向上翻折做成一个无盖的正四棱柱形容器，求此容器的体积最小值．【讲练平台】例1 函数y=x 3-x 2-2x 在闭区间[-1，1]上的最小值是________．分析 先求出函数在（-1，1）上的极值，再与f(-1)，f(1)作比较，找出最小的一个便是．解 对于y=x 3-x 2-2x 来说，y’=x 2-x -2=(x+1)(x -2)当x ∈(-1，1)时，y ’<0，所以函数在区间[-1，1]上的减函数∴函数y 在x=1处取得最小值，最小值为-点评 函数f(x)在[a ，b]上单调递增，则函数f(x)的最小值和最大值分别为f(a)及f(b)；如果f(x)在[a ，b]上单调递减，则函数f(x)的最小值和最大值分别为f(b)及f(a)例2 试讨论方程x 3-3ax+2=0（a>0）解的个数．分析 令f(x)=x 3-3ax+2，讨论的f(x)单调性及最大值与最小值，结合图象可得．设f(x)=x 3-3ax+2，现先来求函数f(x)的极值．其导函数为f ’(x)=3x 2-3a ，由f ’(x)=0可得x=±，列表讨论如下：由此可得，函数在x=-处取得极大值2+2a ；在x=处取得极小值2-2a ．根据列表讨论，可作出函数的草图∵a>0，显然极大值2+2a>0，故当极小值2-2a<0，即a>1时，方程x 3-3ax+2=0有三个不同实根；当极小值2-2a>0，即0<a<1时，方程x 3-3ax+2=0有惟一的实根．当极小值2-2a=0即a=1时，方程x 3-3ax+2=0有两个不同的实根（其中有一根为二重根）．点评 极大值不一定比极小值大．点x 0是极值点的充分条件，是在这点两侧的导数异号．点x 0是极值点的必要条件是在这点的导数为0．函数的不可导点也可能是极值点．例3 设函数f(x)=ax 3+bx 2+cx ，在x=1与x= -1处有极值，且f(1)= -1，求a 、b 、c 的值．分析 求字母系数的值，一般依据已知条件列出方程式方程组来求．解 f ’(x)=3ax 2+2bx+c已知x=1与x= -1时f(x)有极值，因此f ’(1)=3a+2b+c=0 （1）f(-1)=3a -2b+c=0 （2）又已知f(1)= -1，所以a+b+c= -1 （3）联立（1）（2）（3）得方程组，解此方程组得a=，b=0，c= -点评 根据条件确定字母系数的问题，应转化为方程成方程组问题，通过解方程或解方程组确定系数的值．例4 已知f （x ）=x 3+bx 2+cx +d 在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数．且方程f （x ）=0有三个根，它们分别为α，2，β．（1）求c 的值；（2）求证：f （1）≥2；（3）求|α-β|的取值范围．分析 本题是考查导数应用的综合题，第（1）问由f `（0）=0不难得出；第（2）问由f （x ）在[0，2]上是减函数确定b 的取值范围，然后由的b 的取值范围易得f （1）的取值范围．解 （1）由题意得：f '(x ) =3x 2+2bx +c ，∵f （x ）在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，∴当x =0时，f （x ）取到极大值， f '(0)=0，∴c =0．（2）∵f （2）=0，∴d = -4(b +2)．f '(x )=3x 2+2bx =0的两个根分别为x 1=0，x 2=-，∵函数f （x ）在[0，2]上是减函数，∴≥2，∴f （1）=b +d +1=b -4(b +2)+1= -3b -7≥2．（3）∵α，2，β是方程f （x ）=0的三根，可设f （x ）=（x -α）（x -2）（x -β），∴f （x ）=x 3-（2+α+β）x 2+（2α+2β+αβ）x -2αβ，∴ ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+d b 21,2αββα ∴16)2(2)2(4)(||222--=++=-+=-b d b αββαβα∵b ≤-3，∴|α-β|≥3．【知能集成】1．求可导函数极值的步骤：（1）求导函数f ’(x)；（2）求方程f ’(x)=0的根；（3）检查f ’(x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．2．求闭区间上函数最值的方法：比较极值与区间端点处函数值的大小．【训练反馈】1．若函数f(x)=x 3+ax 在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a>0B ．a<0C ．a ≥0D ．a ≤02．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm D CxO A B y3．与直线x -y+1=0平行，且与曲线y=x 23-1相切的直线方程 为 ．4．函数f(x)=2x 3-3x 2+a 的极大值为6，那么a= ．5．如图，矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，另两个顶点 C 、D 在抛物线y=4-x 2位于x 轴上方的曲线上，则矩形ABCD 的面积最大值为 ．6．若f(x)=x 3+3ax 2+3(a+2)x+1有极大值又有极小值，求a 的取值范围．7．已知函数f(x)=x 3+px 2+qx 的图象与x 轴相切于不同于原点的一点，又函数有极小值-4，求p 、q 的值．8．以初速度V 0的上抛物体，其上升高度 S 与时间t 的关系式为： S(t)=V 0t -12gt 2，当它运动到t 时刻时，速度为0，那么t= （ ）A ．v 0gB ．2v 0gC ．4v 0gD ．g v 0 9．设函数f(x)=x 3-12x 2-2x+5，若对于任意x ∈[-1，2]都有f(x)<m 成立，则实数m 的取值范围为 ． 10．在一个半径为R 的球内有一个底面半径为x 的内接圆柱(1) 将圆柱体积V 表示为x 的函数；(2) 求此圆柱体积的最大值．11．已知f(x)=x 2 +c ，且f[f(x)]=f(x 2+1)(1)设g(x)=f[f(x)]，求g(x)的表达式；(2)设φ(x)=g(x)-λf(x)，问是否存在实数λ，使φ(x)在(-∞，-1)上减函数，并且在(-1，0)上是增函数．12．设函数f(x)=3x 4-4x 3-6x 2+12x -20，（1）方程f(x)=0有几个实根？为什么？（2）若f(x 0)=0，证明|x 0|>1．13．设曲线y=ax 3+bx 2+cx+d(a<0)以原点为极小值，且通过P(1，1)，求函数的极大值，并确定a 、b 、c 、d的值，使此极大值最小．。