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《三角形的外角》教学设计教学目标：1、理解三角形外角的概念。
2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题。
教学重点：三角形的外角和三角形外角的性质。
教学难点： 三角形外角与内角的关系，并会进行有关计算。
教学方法：自主学习与合作探究相结合。
教学过程： 一、导入新课 1、请画△ABC 2、在ABC 中， （1）∠C=90°，∠A=30 ° ，则∠B= ； （2）∠A=50 ° ，∠B=∠C ，则∠B= .3、如图，△ABC 的三个内角是什么？它们有什么关系？ 若延长BC 至D ，则∠ACD 是什么角？这个角与△ABC 的三个内角有什么关系？二、探究新知1、三角形外角的概念∠ACD 是△ABC 的外角。
也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
特征：1、顶点在三角形的一个顶点上.2、一条边是三角形的一边另一条边是三角形某条边的延 长线。
想一想，三角形的外角共有几个？注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。
研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角。
三角形的内角和外角在位置上的关系ＢＣＡD实际上三角形的一个外角, 就是相邻内角的（）2、三角形外角的性质若∠A＝70º，∠B=60º,∠ACD是△ABC的一个外角，能求出∠ACD的度数吗？ＢＡ若∠A=80°，∠Ｂ=70°，则∠ACD是多少度？若∠A、∠Ｂ是任意角度，∠ACD与∠A、∠B之间的关系会改变吗？想一想：通过上题的计算，你发现∠ACD与三角形的内角之间有数量关系，请你试着用自己的语言说一说．结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
提问：∠ACD ∠A (<、>)；∠ACD ∠B (<、>)结论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
思考：你能用学过的定理证明以上结论吗？已知：△ABC中,∠ACD是它的一个外角求证：∠ACD＝∠A＋∠Ｂ∠ACD>∠A ∠ACD>∠B三、应用新知例1：求下列各图中∠α的度数。
三角形的外角数学八年级上册人教版摘要：一、三角形外角的定义与性质二、三角形外角与内角的关系三、三角形外角的求解方法与技巧四、练习题与解答正文：一、三角形外角的定义与性质在数学中，三角形的外角是指一个三角形的一个顶点与其对边延长线组成的角。
简单来说，外角就是三角形内部没有包括在内的角。
根据外角的定义，我们可以得知它具有以下性质：1.外角的顶点是三角形的一个顶点。
2.外角的一边是三角形的一边。
3.外角的另一边是三角形另一边的延长线。
二、三角形外角与内角的关系根据三角形的外角性质，我们可以知道外角与它相邻的内角是互补的，也就是说它们的和为180度。
同时，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
三、三角形外角的求解方法与技巧求解三角形的外角，我们需要先知道三角形的内角。
根据内角和定理，三角形的三个内角之和为180度。
知道其中一个内角，我们就可以求出另外两个内角的度数。
然后根据外角与内角的关系，我们就可以求出外角的度数。
在求解过程中，我们还可以利用一些技巧，比如将三角形的一个内角平分线与另一边相交，这样就可以将三角形分成两个小三角形，从而更容易求出外角的度数。
四、练习题与解答以下是一些关于三角形外角的练习题及解答：1.已知三角形ABC中，角A = 30度，角B = 45度，求角C和角D的度数。
解答：根据内角和定理，角C = 180度- 角A - 角B = 105度。
由于角D是角B的相邻外角，所以角D = 角B = 45度。
2.已知三角形ABC中，角A = 60度，角B = 75度，求角C和角D的度数。
解答：根据内角和定理，角C = 180度- 角A - 角B = 45度。
由于角D 是角A的相邻外角，所以角D = 180度- 角C = 135度。
初中数学三角形外角的性质及应用角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。
本文谈谈三角形外角的性质及应用。
一. 三角形外角的概念及特征如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。
图1外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；（2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；（3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
二. 性质1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4. 三角形的外角和等于360°。
三. 应用1. 求角的度数例1. （2005年某某省某某中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（）A. 115°B. 120°C. 125°D. 130°-55=125°。
解析：如图2，∠A的外角为：180°︒∠B的外角为：180°－65°=115°∠ACB的外角为：55°+65°=120°所以选D。
图2例2. （2005年某某省某某市中考）如图3，AB//CD ，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（ ）A. 23°B. 42°C. 65°D. 19°图3解析：延长BE 交CD 于F 因为AB//CD 所以∠1=∠B=23° ∠BED 是△EDF 的外角则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C 。
例3. （2006年某某市中考）如图4，AB=AC ，∠BAD=α，且AE=AD ，则∠EDC=（ ）A.α21B.α31 C.α41 D.α32图4解析：设∠EDC=x ° 因为∠ADC 是△ABD 的外角 所以∠ADC=∠ABC+∠BAD即∠ADE+x=∠ABC+α （1）因为AB=AC ，AD=AE所以∠B=∠C ，∠ADE=∠AED 而∠AED 是△DEC 的外角 所以∠AED=∠EDC+∠C 即∠AED=x+∠C（2）将（2）代入（1）得：α+∠=+∠+ABC x C x所以α=21x所以选A 。
三角形外角课件一、引言三角形是几何学中的基本图形之一，它由三条线段组成，构成了三个内角。
三角形的外角是与三角形的一个内角相邻且不与之共线的两个外角，其大小等于其不相邻的两个内角之和。
本课件将详细介绍三角形外角的概念、性质及其应用。
二、三角形外角的概念1.定义：三角形的外角是指与三角形的一个内角相邻且不与之共线的两个外角。
具体来说，三角形的外角是由三角形的一条边和其相邻的两个非共线边组成的角。
2.性质：三角形的外角与其不相邻的两个内角之和等于180度。
这是三角形外角的基本性质，也是三角形外角与其他角的关系的重要体现。
三、三角形外角的性质1.外角等于非相邻内角之和：三角形的外角与其不相邻的两个内角之和等于180度。
这个性质可以通过绘制三角形的外角和内角来进行验证。
2.外角大于任何一个非相邻内角：三角形的外角大于其不相邻的两个内角中的任何一个。
这是因为外角是由三角形的一条边和其相邻的两个非共线边组成的，而内角只是由三角形的一条边和其相邻的一个非共线边组成的。
3.外角等于其所对的内角：三角形的外角等于其所对的内角。
这是因为外角是由三角形的一条边和其相邻的两个非共线边组成的，而其所对的内角是由三角形的另外两条边组成的。
四、三角形外角的应用1.求解三角形内角：已知三角形的两个内角，可以通过外角性质求解第三个内角。
具体方法是，将已知的两个内角相加，然后从180度中减去这个和，得到第三个内角的度数。
2.判断三角形的类型：通过三角形的外角可以判断三角形的类型。
例如，如果一个三角形的一个外角大于90度，那么这个三角形是钝角三角形；如果一个三角形的一个外角等于90度，那么这个三角形是直角三角形；如果一个三角形的三个外角都小于90度，那么这个三角形是锐角三角形。
3.解决实际问题：三角形外角的应用不仅限于理论上的问题，还可以解决实际问题。
例如，在建筑设计中，可以通过计算三角形的外角来确定建筑物的结构稳定性；在地理测量中，可以通过测量三角形的外角来确定地面的形状和位置。
11.2.2 三角形的外角【教学目标】1、知识与技能: 使学生初步掌握三角形外角的定义及性质，并会应用。
2、过程与方法：〔1〕学生经过观察、思考、猜测、证明等数学活动过程，开展合情推理能力；〔2〕通过合作探究三角形的内外角之间的关系，提高学生的合作意识和沟通表达能力。
3、情感态度与价值观：通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。
【教学重难点】重点：三角形的外角及其性质．难点：三角形外角性质的证明及应用【教学准备】教师：多媒体、实物投影、三角板学生：三角板【课型】新授课【学习方法】自主探究与小组合作学习相结合的方法【教学过程设计】第一课时教学过程设计意图说明一、回忆与思考：〔.ppt出示〕1、在△ABC中，∠A=61°，∠B=72°，那么∠C= 。
2、如图，∠ACB=85°，那么∠ACD= 。
3、如图，在△ABC中，∠A=25°，∠B=30°，那么∠ACB= ，∠ACD= 。
4、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=110°，那么∠ACD=。
思考：在上面2至4题中的∠ACD是△ABC的内角吗？假设不是，通过回忆旧知;三角形内角和知识,设置问题引入新知，激发学生学习兴趣，并让学生知道学习要懂得学以致用.那∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？二、自主探究(1)：1.探究内容：教材第14页“三角形外角的概念〞.2.探究要求：学生理解三角形外角的概念。
三、交流展示(1)：1、三角形外角的定义：________________________________2、外角的特征有三点：(1)顶点在___________上．(2)一条边是________ ．(3)另一条边是__________________．3、动手试一试：画出一个三角形，并画出它的所有外角，看一个三角形有几个外角。
三角形的外角总课题与三角形有关的角总课时数第 5 课时课题三角形的外角主备人课型新授时间教学目标1、理解三角形的外角；2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题。
教学重点三角形的外角和三角形外角的性质教学难点理解三角形的外角教学过程教学内容一、导入新课〔投影1〕如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？是∠A、∠B、∠C，它们的和是1800。
若延长BC至D，则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？ACB二、三角形外角的概念∠ACD叫做△ABC的外角。
也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
想一想，三角形的外角共有几个？共有六个。
注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。
研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.三、三角形外角的性质容易知道，三角形的外角∠ACD 与相邻的内角∠ACB 是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？〔投影2〕如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD 与∠A 、∠B 的关系吗？∵CE ∥AB ， ∴∠A=∠1，∠B=∠2 又∠ACD=∠1+∠2 ∴∠ACD=∠A+∠B你能用文字语言叙述这个结论吗？三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
由加数与和的关系你还能知道什么？三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
即 A ACD ∠>∠，B ACD ∠>∠。
四、例题〔投影3〕例 如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC 的三个外角，它们的和是多少？分析：∠1与∠BAC 、∠2与∠ABC 、∠3与∠ACB 有什么关系？∠BAC 、ABC 、∠ACB 有什么关系？解：∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800，∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800∴∠1+∠2+∠3==3600。
初中数学三角形外角的性质及应用
角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。
本文谈谈三角形外角的性质及应用。
一. 三角形外角的概念及特征
如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。
图1
外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
（2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
（3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
二. 性质
1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4. 三角形的外角和等于360°。
三. 应用
1. 求角的度数
例1. （2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（）
A. 115°
B. 120°
C. 125°
D. 130°
-55=125°。
解析：如图2，∠A的外角为：180°︒
∠B的外角为：180°－65°=115°
∠ACB的外角为：55°+65°=120°
所以选D。
图2
例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（）
A. 23°
B. 42°
C. 65°
D. 19°
图3
解析：延长BE 交CD 于F 因为AB//CD
所以∠1=∠B=23°
∠BED 是△EDF 的外角
则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65° 故选C 。
例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC ，∠BAD=α，且AE=AD ，则∠EDC=（ ）
A.
α2
1
B.
α3
1 C.
α4
1 D.
α3
2
图4
解析：设∠EDC=x °
因为∠ADC 是△ABD 的外角 所以∠ADC=∠ABC+∠BAD 即∠ADE+x=∠ABC+α （1）
因为AB=AC ，AD=AE
所以∠B=∠C ，∠ADE=∠AED 而∠AED 是△DEC 的外角 所以∠AED=∠EDC+∠C 即∠AED=x+∠C （2）
将（2）代入（1）得： α+∠=+∠+ABC x C x
所以α=
2
1x 所以选A 。
2. 判定三角形的形状
例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上三种情况都有可能
解析：如图5，在三角形ABC 中，∠BAC 的外角∠CAD<∠BAC 而∠CAD+∠BAC=180° 即：∠CAD=180°－∠BAC 所以180°－∠BAC<∠BAC 所以∠BAC>90° 故选C
图5
3. 证明两角相等
例5. （2002年福建省龙岩市中考）如图6，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别在BC 、AC 边上，且∠ADE=∠B ，AD=DE 。
求证：△ADB ≌△DEC 。
图6
分析：因为∠ADC 是△ADB 的外角 所以∠ADC=∠B+∠BAD
而∠ADE=∠B ，∠ADC=∠ADE+∠CDE 所以∠ADE+∠CDE=∠ADE+∠BAD 因此∠BAD=∠CDE
又AB=AC ，可得∠B=∠C 而AD=DE
所以△ADB ≌△DEC
例6. （2004年荆州市中考）在等边三角形中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD=60°，BP=1，32
CD
，则△ABC 的边长为（ ） A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
图7
分析：因为△ABC 为等边三角形，所以∠B=∠C=60° 又因为∠APC 是△ABP 的外角 所以∠APC=∠B+∠BAP 而∠B=∠APD=60° 所以∠BAP=∠CPD
又∠B=∠C ，所以△ABP ∽△PCD 所以
CD
BP
PC AB =。
设△ABC 边长为x ，则
3
2
11x x =- 解得x=3 故选A
4. 证明角度不等关系
例7. 已知，如图8，在△ABC 中，D 是三角形内一点，求证：∠BDC>∠BAC 。
图8
证明：延长BD 交AC 于E 在△ABE 中，∠BEC>∠A 在△CDE 中，∠BDC>∠BEC 所以∠BDC>∠A
例8. 已知：如图9，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，求证：∠DEC>∠ABC 。
图9
证明：因为∠BAC=90° 所以∠BAD+∠DAC=90° 又因为AD ⊥BC 所以∠ADB=90°
所以∠ABC+∠BAD=90° 所以∠ABC=∠DAC
又因为∠DEC 是△AEC 外角 所以∠DEC>∠DAC 所以∠DEC>∠ABC
5. 证明角度的和差关系
例9. 如图10，已知：在△ABC 中，AB>AC ，∠AEF=∠AFE ，延长EF 与BC 的延长线交于G ，求证：)B ACB (2
1
G ∠-∠=
∠。
图10
证明：因为∠AEF=∠B+∠G
又因为∠AEF=∠AFE ，∠AFE=∠GFC 所以∠AEF=∠GFC 所以∠GFC=∠B+∠G ① 又因为∠ACB=∠GFC+∠G ② ①+②得：∠ACB=∠B+2∠G 所以)B ACB (2
1
G ∠-∠=
∠
例10. 如图11，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
图11
证明：如图11，∠1=∠C+∠D ，∠2=∠A+∠E 而∠1+∠2+∠B=180°
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
练习：
1. （1996年昆明市中考）如图12，α、β、γ分别是△ABC 的外角，且4:3:2::=γβα，则∠ACB 等于（ ）
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 80°
图12
2. （2004年陕西省中考）如图13，在锐角三角形中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且CD 、BE 交于一点P 。
若∠A=50°，则∠BPC 的度数是（ ）
A. 150°
B. 130°
C. 120°
D. 100°
图13
3. （2005年浙江省中考）如图14，直线a//b ，则∠A=_________度。
图14
4. 如图15，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数。
（提示：利用如图∠1、∠2即可）。
图15。
