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公平分配问题摘要公平分配问题是生活中常遇到的问题。
对于企业、公司、学校、政府部门多能解决的实际问题。
公平分配的原则就是让每个人多能得到同等的对待。
而考虑到时记得多重因素下，传统的平均分配的方法往往不能较好的解决其中的公平问题，很多时候根本没有公平的分配方法。
我们需要另寻其他方法。
我们将以Q值法进行逐一分析与检验，使得得出一个最佳的合理方案。
即：使得各自的分配最公平。
关键词：公平分配最佳方案最公平班级：姓名：学号：问题重述三人合作承包了1000件物品的搬运工作，总收入为20元(假设最小单位为元) 。
工作完成后，甲搬运了 515 件，乙搬运了 315件，丙搬运了170件。
分别应得收入10.3, 6.3, 3.4 元。
因为最小单位为元, 因此三人各自拿了应得的整数部分后, 剩下1元归应得数中小数最大的一位丙。
即分别收入10元，6元，4元。
由于三人表现较好，提前完成了搬运工作。
货主作为奖励，搬运费支付了21元钱。
于是甲提议重新分配收入。
21 元按完成工作量各自应得 10.815, 6.615, 3.57元。
取整数后，按小数大小分配剩余，分别得分配收入11元，7元，3元。
回答下列问题：（1）上分配方案是否公平？为什么？（2）建立数学模型确定分配方案．符号说明A、B 某人pA搬运的货物数量1pB搬运的货物数量2n1搬运p数量的货物的报酬1n2搬运p数量的货物的报酬2P 衡量不公平程度r A(n1,n2) 相对于A的不公平值r B(n1,n2) 相对B的不公平值Qk对应的人的报酬的Q值KQ甲对应的Q值的大小1Q乙对应的Q值的大小2Q丙对应的Q值得大小3基本假设假设两个人分配，分配方法就会趋于简单更便于我们对问题的处理。
故假设两个人分配的的分配问题，先从两个人入手，对一般问题的讨论。
有一般推广，并运用于多对象问题的讨论。
模型设计先讨论两个人公平分配报酬问题的情况，如下图。
要满足公平，应该有np np 2211=但这一般不成立。
数学建模论文席位的公平分配问题姓名：学号：18 15 20公平的委员分配问题摘要:1.我们首先是用惯例分配法来解决这委员分配问题的,由于方法来解决存在很大的缺陷,因此,通过组内的讨论,我们想出了Q值法来解决此问题，发现这样能作到相对公平。
我们这一组开始就考虑到了该怎样分配能作到相对公平，就这个问题，我们开始了研讨。
我们采用惯例分配法分析发现：各楼所得到的委员数A 、B 、C楼分别为：3、3、4人，而Q值法其结果为：A、B、C楼分别为：2、3、5人。
2.“取其精华，去其糟粕”我们发现Q值法能很好的解决委员分配问题，Q 值法：我们用Qi=(Pi*Pi)/[n(n+1)],其中i=A、B、C,Pi为第i楼的人数，n 为分配到的委员数，我们采用将剩下的一位委员名额分给Q值最大的一方。
通过计算得到Qa=9204.16、Qb=9240.75、Qc=9331.2比较得到：Qa>Qb>Qc,所以我们决定把剩下的一名委员分给C楼。
3.我们用惯例分配法发现有一名委员不好分配，不知道分给谁更公平些。
建议：我们的思维不能太单一了，在考虑问题方面要做到全面些，这样才会少走弯路。
（无论在哪方面都一样。
）关键字：委员分配、比例法、Q值法1.1问题的重述分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中.分配问题涉及的内容十分广泛，例如：学校共有1000学生，235人住在A楼，333人住B楼，432人住C楼，学校要组织一个10人委员会，试用惯例分配法和Q值方法分配各楼的委员数并比较结果。
1.2问题的分析数学中通常人们用比例的方法来分配各个楼要派出几个人来组建委员会，当比例中有小数时人们有按照惯例使得各组中小数最大的组拥有更多的人数。
然而人们是怎样分配的呢？又因为没栋楼所占比例不是整数，可以会出现不公平的现象。
为了让席位分配更加公平我们不应该采用比例法，要引用不比例法更好的Q值法对其进行求解。
数学建模实验席位分配一、论文题目席位分配问题二、摘要本文以公平性为原则，分别建立比例加惯例法模型，Q值法模型以及d’Hondt法模型来解决席位分配问题，通过对比每个系所分配到的席位来比较各种模型的公平性及合理性。
三、问题的重述某学院三个系共有学生1000名（甲系235人，乙系333人，丙系432人），现要组织学生代表会，会议共10席，请按比例分配各系人数。
1、分别用“比例加惯例”法、Q值法和d’Hondt法分配各系人数；2、如果代表席位从10人增加到15人，用以上3种方法设计表格比较分配的结果；3、给出Q值法不满足原则一的反例；4、d’Hondt方法满足原则1和2吗？如果满足，给出证明；如果不满足，给出反例；5、你能提供其它的方法吗？用你的方法分配上面的名额；6、能否提出其它所谓公平分配的理想化原则？四、模型的假设、符号约定和名词解释。
4.1模型的假设（1）.模型的公平定义是相同的(2）.分配到各系的名额数目均为正数（3）.席位分配时严格按照制定的方案4.2名词解释(1）.比例加惯例法：即按比例分配方法，如：某院系席位分配数 = 该院系人数占总人数比例*总席位（2）.通过下面的公式4-1 计算Q值来确定席位分配的方法叫做Q值法。
（ 4-1 ）（3）.d’Hondt方法:将甲,乙,丙等各系的人数用正整数n=1,2,3,…相除，将所得商数按从大到小取所要求的总席位数，即可得到各系所分配的席位数。
4.3 设3个系各有人数为P i, i=1、2、3，各系分得的席位数为n i，i=1、2、3。
五、模型的建立5.1、模型一（比例加惯例法）的建立按照各系人数在总人数中的比例来分配各系的席位数。
若计算所得的席位数含有小数时则按照四舍五入进行取整。
由席位数与总席位数之比等于系人数与各系总人数之比得： ，即可得各系所获得席位数位：5.2、模型二（Q 值法）的建立先用比例模型算出前i-1个席位的分配，再由此模型可算出第几个席位应分配给哪一方。
数学建模实验席位分配一、论文题目席位分配问题二、摘要本文以公平性为原则，分别建立比例加惯例法模型，Q值法模型以及d’Hondt法模型来解决席位分配问题，通过对比每个系所分配到的席位来比较各种模型的公平性及合理性。
三、问题的重述某学院三个系共有学生1000名（甲系235人，乙系333人，丙系432人），现要组织学生代表会，会议共10席，请按比例分配各系人数。
1、分别用“比例加惯例”法、Q值法和d’Hondt法分配各系人数；2、如果代表席位从10人增加到15人，用以上3种方法设计表格比较分配的结果；3、给出Q值法不满足原则一的反例；4、d’Hondt方法满足原则1和2吗？如果满足，给出证明；如果不满足，给出反例；5、你能提供其它的方法吗？用你的方法分配上面的名额；6、能否提出其它所谓公平分配的理想化原则？四、模型的假设、符号约定和名词解释。
4.1模型的假设（1）.模型的公平定义是相同的(2）.分配到各系的名额数目均为正数（3）.席位分配时严格按照制定的方案4.2名词解释(1）.比例加惯例法：即按比例分配方法，如：某院系席位分配数 = 该院系人数占总人数比例*总席位（2）.通过下面的公式4-1 计算Q值来确定席位分配的方法叫做Q值法。
（ 4-1 ）（3）.d’Hondt方法:将甲,乙,丙等各系的人数用正整数n=1,2,3,…相除，将所得商数按从大到小取所要求的总席位数，即可得到各系所分配的席位数。
4.3 设3个系各有人数为P i, i=1、2、3，各系分得的席位数为n i，i=1、2、3。
五、模型的建立5.1、模型一（比例加惯例法）的建立按照各系人数在总人数中的比例来分配各系的席位数。
若计算所得的席位数含有小数时则按照四舍五入进行取整。
由席位数与总席位数之比等于系人数与各系总人数之比得： ，即可得各系所获得席位数位：5.2、模型二（Q 值法）的建立先用比例模型算出前i-1个席位的分配，再由此模型可算出第几个席位应分配给哪一方。
公平席位分配模型班级：09数学（2）班姓名：韩文斌学号：0907022011摘要：通过建立人数比例模型、最大剩余法模型及Q值法模型解决了公平席位的分配问题。
比较三种模型分配的结果方案，我发现了Q值法模型是解决公平席位分配问题较公平的方法。
关键词：公平分配绝对不公平程度 Q值法模型正文1 问题的提出某学校有3个系共100名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。
1.1 若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是什么？1.2 现在丙系有6名学生转入甲乙两系（其中3人转入甲系，3人转入乙系），现在该如何分配呢？1.3 因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10:10的结局，会议决定下一届增加1席。
在问题二中人数发生改变后的情况下，这1席又该分给哪个系呢？2 合理假设与变量说明假设3个系的总人数不再发生变动，各个系的人数除了问题二中人数的改动之外，不再发生任何改变。
3 模型建立3.1 人数比例模型公平标准iiP P N N =, i =1,2,3…通过计算总席位与总人数、各系席位数与各系总人数的比例相等，来确定各系的席位数的分配方案。
3.2 最大剩余法模型记,1,2,3ii iP R i N ==…的余数，i R 越大说明i 系分一个席位代表人数就越多，为了公平降低i R ，则剩余席位优先分给i R 最大的i 系。
3.3 Q 值法模型[1]当总席位增加1席时，计算令2(1)i i i i p Q n n =+，增加1席位应该分配给Q 值最大的一方。
3.3.1 不公平指标为简单起见考虑A ,B 两系分配席位的情况。
设两方人数分别为1P ,2P ，占有席位分别为1n ,2n ,则比值11p n ,22p n 为两方每个席位所代表的人数。
显然仅当1212p p n n =分配时才算完全公平的，但是因为人数和席位都是整数，所以通常1212p p n n ≠，分配不公平，并且对比值较大的一方不公平。
席位分配问题例题：有一个学校要召开一个代表会议，席位只有20个，三个系总共200人，分别是甲系100，乙系60,丙系40.如果你是会议的策划人，你要合理的分配会议厅的20个座位，既要保证每个系部都有人参加，最关键的就是要对个公平都公平，保证三个系部对你所安排的位置没有异议。
如何分配最为恰当？问题：（1）问20席该如何分配，如果有三名学生转系该怎样分配？（2）若增加21席又如何分配？问题的分析：一、20席分配情况：系名甲乙丙总数学生数100 60 40 200学生人数比例100/200 60/200 40/200席位分配10 6 4 20如果有三名学生转系，分配情况：系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200学生人数比例103/200 63/200 34/200按比例分配席位10.3 6.3 3.4 20按惯例席位分配10 6 4 20二、21席位分配情况：系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200学生人数比例103/200 63/200 34/200按比例分配席位10.815 6.615 3.57 21按惯例席位分配11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。
要怎样才能公平呢？模型的建立：假设由两个单位公平分配席位的情况，设单位人数席位数单位A p1 n1单位B p2 n2要公平，应该有p1/n1 = p2/n2，但这一般不成立。
注意到等式不成立时有若p1/n1 >p2/n2 ，则说明单位A吃亏(即对单位A不公平)若p1/n1 <p2/n2 ，则说明单位B 吃亏(即对单位B不公平)因此可以考虑用算式p=|p1/n1-p2/n2|来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点），如：某两个单位的人数和席位为n1 =n2 =10 ，p1 =120，p2=100，算得p=2另两个单位的人数和席位为n1 =n2 =10 ，p1 =1020，p2=1000, 算得p=2虽然在两种情况下都有p=2，但显然第二种情况比第一种公平。
【数学建模】公平席位的分配问题基础案列某展会，AB双⽅根据⼈数分配席位：衡量公平的数量指标： p1/n1=p2/n2。
此时对AB均公平。
p1/n1>p2/n2。
此时对A不公平，因为对A放来说，每个席位相对应的⼈数⽐率更⼤。
绝对不公平度定义： p1/n1-p2/n2 = 对A的绝对不公平度问题：/*情况1*/p1=150, n1=10, p1 /n1=15 p2=100, n2=10, p2 /n2=10/*情况2*/ p1=1050, n1=10, p1 /n1=105 p2=1000, n2=10, p2 /n2=100两者对A的不公平度相同，但是很明显后者对A的不公平成都已经⼤⼤降低。
相对不公平度定义：说明：由定义知对某⽅的不公平值越⼩，某⽅在席位分配中越有利，因此可以⽤使不公平值尽量⼩的分配⽅案来减少分配中的不公平使⽤不公平值的⼤⼩确定分配⽅案： 设A, B已分别有n1 , n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1 /n1> p2 /n2 ，即对A不公平。
分情况讨论： 1. 2.，说明此以⼀席给A后，对B不公平，则计算对B的不公平度。
rB(n1+1,n2). 3.，说明此⼀席给B后,对A不公平,不公平值为，rA(n1,n2+1). 4.p1/n1<p2/n2+1，这种情况不可能出现。
上⾯的分配⽅法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情况时不好确定新席位的分配。
⽤不公平值的公式来决定席位的分配，对于新的席位分配，若有则应该增加给A⼀席，否则则应该增加给B⼀席。
提炼模型： ————>引⼊公式： 于是知道增加的席位分配可以由Qk的最⼤值决定，且它可以推⼴到多个组的⼀般情况。
⽤Qk的最⼤值决定席位分配的⽅法称为Q值法。
公平的席位分配姓名：仇嘉程班级：数学与应用数学（ 2）班学号： 0907022010摘要：席位分配是日常生活中经常遇到的问题，对于企业、公司、 、学校政府部门都能解决实际的问题。
席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会、等的具体座位。
本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平度的定义，采用了最大剩余法模型和 Q 值法模型，通过检验 2 种模型的相对不公平度来制定比较合理的分配方案。
关键词：不公平度指标、 Q 值法、最大剩余法一、问题的提出：某学校有 3 个系共 200 名学生，其中甲系 100 名，乙系 60 名，丙系 40 名。
问题一：若学生代表会议设 20 个席位，如何公平席位分配？ 问题二：丙系有 6 名学生转入甲乙两系，其中甲系转入 3 人，乙系转入 3 人，又将如何公平的分配 20 个学生代表会议席位？ 二、合理的假设与变量说明符号 符号说明 P学生总人数 P ii 系的学生人数 i=1,2,3 N 总的学生代表会议席位N ii 系所占的学生代表会议席位 i=1,2,3iji 方与 j 方的绝对不公平度 r i对 i 的相对不公平度三、模型的建立：模型 1——比例分配法，若使得公平席位分配，最公平简单且常用的席位分配办法是按学生人数比例分配：某单位席位分配数 = 某单位总人数比例总席位即：n nP p i(i 1,2,3...n) ，其中 N i N P i PN N i i 1i 1但是在实际生活中，若按模型 1 来计算，由于席位数不同，很难使得到的结果为整数，因此模型 1 难以成立，即绝对公平难以成立，我们需要寻求可能相对公平的分配方案。
模型 2——最大剩余法，如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数 , 则先按席位分配数的整数分配席位 , 余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。
数学建模论文（席位公平分配问题）席位公平分配问题摘要本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。
首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。
其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。
同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q 值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。
最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。
关键词：数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt（汉丁顿）模型目录一、问题重述与分析： (3)1.1问题重述： (3)1.2问题分析： (3)二、模型假设 (4)三、符号说明 (4)四、模型建立： (5)4.1公平的定义： (5)4.2不公平程度的表示： (5)4.3相对不公平数的定义： (5)4.4模型一的建立：（比例分配模型） (6)4.5模型二的建立：（d'hondt模型和Q值模型） (6)五、模型求解 (8)5.1模型一求解： (8)5.2模型二的求解： (8)六、模型分析与检验 (9)七、模型的评价： (11)7.1、优点： (11)7.2、缺点： (11)7.3、改进方向： (11)八、模型优化 (11)九、参考文献 (12)一、问题重述与分析：1.1问题重述：三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席，又如何分配。
因此存在席位公平分配问题，以下针对各系自身人数对所获席位数目的影响建立相关模型，解得最优的席位公平分配方案。
1.2问题分析：各系的人数将影响着各系所获得的席位名额。
人数越多的系获得的席位名额越多，人数越少的系获得的席位名额越少。
席位名额的分配是按照各系人数与各系总人数的比例来进行分配的。
各系名额的比例与各系人数的比例几乎相等。
这是一个分配问题，关键在找到最公平的席位分配方案。
1、模型的公平定义是相同的。
2、模型所要求的公平是绝对的公平。
3、模型不考虑各系自身的要求。
4、分配到各系的名额数目均为整数。
三、符号说明N：表示名额数S：表示系数i(i=1,2,3,...):表示第i个系m i(i=1,2,3...):表示各系中的人数X i(i=1,2,3...):表示各系所获得的席位数4.1公平的定义：设：A 方人数1p 人，若分配给1n 个席位，则每席代表人数11n pB 方人数2p 人，若分配给2n 个席位，则每席代表人数12n p则公平的定义为：若：有2211n p n p =成立，则席位分配是公平的，否则是不公平的。
即有不公平的定义为：若有：2211n p n p ≠，则席位分配时不公平的 此时，若有：2211n p n p > 对A 不公平（A 吃亏）若有：2211n p n p < 对B 不公平（B 吃亏）4.2不公平程度的表示：用数值：||2211n p n p -来表示绝对不公平的程度 4.3相对不公平数的定义：若2211n p n p >，则称),(1121122122221n n r n p n p n p n p n p A =-=-为A 的相对不公平数，记为),(21n n r A。
即:对A 的相对不公平度为：1),(122121-=n p n p n n r A （1） 同样，若：2211n p n p <，则称1),(211211112221-=-=n p n p n p n pn p n n r B （2） 为对B 的相对不公平度。
定义了分配不公平的相对不公平程度数是指标A r 和B r之后，则由此定义出发来制定席位的分配方案原则，即要是A r 和B r尽可能的减少。
4.4模型一的建立：（比例分配模型）比例分配模型：按照各系人数在总人数中的比例来分配各系的席位数。
若计算所得的席位数含有小数时则按照四舍五入进行取整。
由席位数与总席位数之比等于系人数与各系总人数之比得：∑=31iii m m NX即可得各系所获得的席位数位：Nmm X iii *31∑=（3）4.5模型二的建立：（d'hondt 模型和Q 值模型）可将具备参与分配至少一个名额的条件称为“分配资格”。
这一“分配资格”在社会经济现象中并不少见，如有的国家规定参加议会选举的党派的党员人数需要达到一定的数量才行。
用d'Hondt 方法和Q 值法二者结合起来，确定“分配资格”以解决“不公平”问题。
这一方法，称为“d'Hondt 方法+Q 值法”。
具体方法如下：1）第一个人数给人数最多的部门，甲部门 2）根据d'Hondt 方法中x m值，依次确定第2,3...个名额的“分配资格”部门，直到已有两个部门有3）下面每增加一个名额，则重复如下的步骤，直至丙部门具有“分配资格”为止。
不失一般性，设)1/()1/(21+>+X m X m 乙甲，其中，m,n 分别为已分配给甲、乙的名额。
A ）如果1/)1/()1/(21丙乙甲m X m X m >+>+名额给甲还是给乙。
B ）如果)1/(1/)1/(21+>>+X m m X m 乙丙甲，且甲部门的Q 值比乙部门的Q 值大，这一名额给丙，根据D 法，这一名额都应给甲。
如果)1/(1/)1/(21+>>+X m m X m 乙丙甲，且乙部门的Q 值比甲部门的Q 值大，这一名额给丙。
理由是：此时，)1/(1/)1/(21++X m m X m 乙丙甲、、必定相差不大，若这一名额无论给甲或者乙，丙部门还是一个名额都没有，对并部门严重不公平。
当丙部门也具备分配资格时，余下名额则按Q 值法分配需要说明的是，仅是Q 值法时，先假设各部门已经有一个名额，接着计算剩下的第4~21个名额的分配方案，因此不难看出，D+Q 法中Q 值应采用修正式：根据D+Q 值法分配结果如下:1）第一个名额给甲部门 2）1/2/1/丙甲乙m m m >>,第二个名额给乙部门3)1/2/2/丙乙甲m m m >>丙部门仍无分配资格，根据Q 值法，第三个名额给甲 4）2/1/3/乙丙甲m m m >>且同时乙方的Q 值比甲方的Q 值大，因此，第四个名额给丙方5）当名额数大于4时，由于甲、乙、丙3部门都已具有分配资格，则第5~21个名额可利用Q 值法分配余下的名额。
按此方法列出21个名额分配的方案，甲、乙、丙3部门各分得11、6、4个席位名额。
五、模型求解5.1模型一求解：5.2模型二的求解： 计算x m /数据可得到如下表格：Q 值计算公式：)1(2+=i i m Q i i 3,2,1=i)1,1,2(321===X X X当席位名额为21时，甲、乙、丙3个系各得11、6、4个席位名额。
六、模型分析与检验6.1模型一的分析与检验：当席位名额为20个时：33112243410103663n p n p n p >>>>即根据公式（2）可得：%85.4),(21=n n r B当席位名额为21时：22113376*********n p n p n p >>>>即根据公式（1）可得：%4),(21=n n r A6.2模型二的分析与检验：当席位名额为20时：11223311103663334n p n p n p >>>>即 由公式（2）可得%12),(21=n n r B当席位名额为21时：33112243411103663n p n p n p >>>>即 由公式（2）可得%12),(21=n n r B七、模型的评价：7.1、优点：模型比较简单却较合理的解决了实际问题，用比例模型和D+Q值法模型就解决了席位的公平分配问题。
由相对不公平值的计算比较可知两种模型的公平程度都还比较符合要求。
模型一计算过程简单却是公平度比较高的一种模型，操作起来比较简便。
模型二可以避免所得席位名额含有小数点的情况。
7.2、缺点：模型一的建立比较简单，计算的结果含有小数点，通过四舍五入所得的结果会使公平性变差。
模型二的建立相对比较复杂，计算过程比较繁琐，最后得到的结果的公平性相对较差。
7.3、改进方向：应考虑向公平性更高的模型进行考虑。
运用更精确的模型使得得到的结果既不含有小数点，计算过程又不是太复杂，公平性又是相对比较强的。
八、模型优化由于以上模型都是站在绝对公平的角度上来解决席位的公平分配问题。
实际上，每个系自身对席位的意愿不同。
可以考虑征求各系自身的意见来分配席位以做到席位的公平分配。
有时候由于会议内容的不同会导致各个系所需的席位不同，这个因素并没有考虑进去。
可以考虑不同的会议按不同的指标进行席位的分配。
有时也可以通过适当的增加席位数或者减少席位数使席位公平分配问题得到比较好的解决。
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