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24.1.1圆的定义及有关概念 一、学习目标1、探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别；2、体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系二、自学指导问题一：你接触过圆吗？生活中哪些物品是圆形的呢？你知道有关于圆的哪些知识呢?总结：（1）圆的描述性定义：在一个平面内，线段绕它的固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆.固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径.以点O 为圆心的圆，记作⊙O ，读作“圆O”.说明：“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”．（2）圆的集合性定义: 圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有点的集合.问题二：等圆和同心圆等圆：半径相等的圆叫做等圆同心圆：圆心相同半径不等的圆叫做同心圆问题三：弦、弧、直径弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦；直径：经过圆心的弦叫作直径；弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；弧的表示方法：以A 、B 为端点的弧记作AB ,读作“圆弧AB ”或“弧AB ”；半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆． 优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如上图中的ABC ；劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如上图中的BC ．三、互动研讨：☆☆1. 如图，请用正确的方式表示出以点A 为端点的优弧及劣弧.FE DC B AO IA B C O☆☆☆2.矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，求证：A 、B 、C 、D 四个点都在以点O 为圆心的圆上.☆☆3.如下图所示，回答问题：（1）请写出图中所有的弦；（2）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧；（3）若∠ABC=30°，你能求出哪些角的度数？四、课堂练习：☆☆4. 判断：（1）直径是弦. （ ）（2）弦是直径. （ ）（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆.（ ）（4）半径相等的两个半圆是等弧. （ ）☆☆5.下列说法中，结论错误的是（ ）A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧☆☆☆6.如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠C =15°,则∠BOC的度数为（ ）A ．15° B. 30° C. 45° D ．60° ☆☆☆7. 平面上一点P 到⊙O 上一点的距离最长为6 cm ，最短为2 cm ，则⊙O 的半径为 ．☆☆☆8. 如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，点P 是OB 上的任一点（不与O 、B 两点重合），CD 、EF 是过点P 的两条弦，则图中的弦和以点B 为端点的劣弧分别有（ ） A.3条，4个 B.4条，4个 C.5条，5个 D.5条，6个 A B C D E F P O。
第二十四章 圆24.1 圆24.1.1 圆知识点一 圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。
固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。
第二种：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。
知识点二 圆的相关概念（1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
（2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。
（4） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。
24.1.2 垂直于弦的直径知识点一 圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
知识点二 垂径定理（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
如图所示，直径为CD，AB是弦，且CD⊥AB，AM=BM垂足为M AC=BCAD=BDD垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M，CD⊥ABAM=BM AC=BCAD=BD注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。
24.1.3 弧、弦、圆心角知识点 弦、弧、圆心角的关系（1） 弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
（2） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。
（3） 注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。
24.1.1 圆的定义和有关概念一、探究新知：圆的定义和有关概念（一）做一做：（1）用棉线和铅笔画圆； (2)用圆规画圆 ；①以定长O 为圆心画圆；②以定长r 为半径画圆； ③以定长O 为圆心，以定长r 为半径画圆. 提问：①以定长O 为圆心能画几个圆？②以定长r 为半径能画几个圆？③以定长O 为圆心，以定长r 为半径能画几个圆？（二）圆的定义(1) 圆的旋转定义：在同一平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做 ,其固定的端点O 叫做 ，线段OA 叫做 .(2) 圆的集合定义:所有到定点的距离等于定长的点的集合组成的图形叫作 ． 1. 圆上各点到 的距离都等于 ；2. 到定点的距离等于定长的点都在 ．（注意：圆指的是圆周而不是圆面）3. 确定一个圆的要素：一是 ，二是 ，因此， 确定圆的位置， 确定圆的大小.4. 圆的表示方法：以O 为圆心的圆，记作“______”，读作“______”. （三）例题分析：例题1 矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相较于点O.求证：ABCD 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上.(四)圆的有关概念(1) 弦和直径：连接圆上任意 叫做弦， 叫做直径，（如OBCDA图2B图1） 是弦， 是直径.(2) 弧：圆上任意两点间的部分叫做 ，（简称） ；以A 、B 为端点的弧记作 ，读作 ， 1. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做 ； 2. 优弧： ，（如图1）记作 ，读作 ； 3. 劣弧： ，（如图1）记作 ，读作 ；(3) 等圆和等弧：能够重合的两个圆，叫做 ；（注意： 的两个圆是等圆，反之，同圆和等圆的半径 ）；在 中，能够相互 的弧，叫做 . (4) 圆的对称性：圆是 对称图形，是 对称图形，是 对称图形. 五． 达标练习：(1) 如图1，填空：圆可表示为 ；半径是 ，直径是 .AB=5cm ，OB= cm ；弦有 ，最长的弦是 ；圆上点B 和点C 之间的部分表示为 ；劣弧有，优弧有(2) 如图3(3) 在O (4) 判断正误：（对的打√，错的打×）①弦是直径（ ） ②半圆是弧（ ） ③半径相等的两个圆是等圆（ ）④直径是最长的弦（ ）⑤半圆是最长的弧（ ） ⑥长度相等的弧是等弧（ ） (5) 下列说法正确的是（ ）A. 平行四边形的四个顶点在同一个圆上B. 菱形的四个顶点在同一个圆上C. 梯形的四个顶点在同一个圆上D. 正方形的四个顶点在同一个圆上.6. 如图，在Rt ∆ABC 中和Rt ∆ABD 中，∠C=90°，∠D=90°，点O 是AB 的中点.求证：A 、A 图3B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.。
24.1圆的有关性质【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册圆的旋转定义在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，一般用r 表示．圆的表示法以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”.确定一个圆需要的“两要素”一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．注意：圆是一条封闭的曲线，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”；圆的集合定义圆心为O 、半径为r 的圆可以看成是平面内所有到定点(圆心O )的距离等于定长(半径r )的点的集合．结论(1)圆上各点到定点(圆心O )的距离都等于定长（半径r ）．(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．数学语言（1）∵点A 、B 在圆上∴OA =OB （2）∵OA =OB∴点A 、B 在圆上2.圆的有关概念定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径弦注意：1.弦和直径都是线段；2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径.直径是最长的弦定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称“弧”。
以A 、B 为端点的弧记作读作“圆弧AB ”或“弧AB ”.半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆劣弧小于半圆的弧叫做劣弧,如弧优弧大于半圆的弧叫做优弧，如等圆定义;能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.等弧注意：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.3.垂直于弦的直径圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对轴.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理数学语言：∵CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，(条件)∴AP =BP ，(结论)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论数学语言：∵CD是⊙O的直径，AP=BP ，AB 不是直径(条件)∴CD ⊥AB ，(结论)弓形中的重要数量关系弦长a ，弦心距d （指圆心O 到弦的距离），弓形高h ，半径r 之间有以下关系：d +h =r ,4.圆心角、弧、弦圆是中心对称图形圆是旋转对称图形，具有旋转不变性圆心角定义顶点在圆心的角，叫圆心角，如∠AOB .在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．弧、弦与圆心角的关系定理数学语言：∵∠AOB =∠COD∴，AB =CD推论一：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．数学语言：∵∴∠AOB =∠COD ，AB =CD 弧、弦与圆心角关系定理的推论推论二：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．∵AB =CD∴∠AOB =∠COD ，（优弧或劣弧）注意：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧.5.圆周角圆周角定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.即：圆周角定理的推论1同弧或等弧所对的圆周角相等.圆周角定理的推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.圆内接多边形的定义如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补.∠A +∠C =180°，∠B +∠D =180°一．选择题（共10小题）1．如图，是半圆的直径，是的中点，若，则的度数是 A ．B ．C ．D ．2．如图，中，为优弧上一个动点（不与，两点重合），，垂足为，是的中点，连接．若的半径为4，则线段的最大值是 A ．4B ．C ．6D ．83．如图，中，，，则的度数为A．B．C．D．4．如图，中，弦，相交于点，若，，则等于 A．B．C．D．5．如图，点，，，是上的点，是的直径，若，则的度数为 A．B．C．D．6．如图，是半圆的直径，，在半圆上．若，则的度数为 A．B．C．D．7．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：，则该铁球的直径为 A．B．C．D．8．如图，四边形内接于，对角线于点，若的长与的半径相等，则下列等式正确的是 A．B．C．D．9．学了圆后，小亮突发奇想，想到用这种方法测量三角形的角度：将三角形纸片如图放置，使得顶点在量角器的半圆上，纸片另外两边分别与量角器交于，两点．点，的度数是，，这样小明就能得到的度数，请你帮忙算算的度数是 A．B．C．D．10．如图，在中，，是劣弧的中点，是优弧任意一点，连接，，则的度数是 A．或B．C．D．二．填空题（共8小题）11．如图，量角器外沿上有、两点，它们的读数分别是、，则的度数为 ．12．一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 ．13．如图，的弦垂直平分半径，若，则的半径为 ．14．如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为 ．15．如图，含角的直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点和点在量角器的半圆上，若点在量角器上对应的读数是，则的度数是 ．16．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路的长度为 ．17．如图，是直径，弦与相交，若，则的大小是 ．18．如图，已知是半圆的直径，弦，，，则的长为 ．三．解答题（共8小题）19．如图，中，弦与相交于点，，连接，．求证：（1）；（2）．20．求证：圆内接平行四边形是矩形．（请思考不同证法）21．如图，在中，弦、相交于点，，，求的度数．22．如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，求的度数．23．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．24．已知线段、为的弦，且，求证：．25．如图，点、、、、都在上，平分，且，求证：．26．如图，、、、在上，，，求的周长．24.1圆的有关性质【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册圆的旋转定义在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，一般用r 表示．圆的表示法以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”.确定一个圆需要的“两要素”一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．注意：圆是一条封闭的曲线，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”；圆的集合定义圆心为O 、半径为r 的圆可以看成是平面内所有到定点(圆心O )的距离等于定长(半径r )的点的集合．结论(1)圆上各点到定点(圆心O )的距离都等于定长（半径r ）．(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．数学语言（1）∵点A 、B 在圆上∴OA =OB（2）∵OA =OB ∴点A 、B 在圆上2.圆的有关概念定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
