北京交通大学(最优控制理论与算法研究生课程)第一章 最优控制概述

(t ) k1[u(t ) x(t )], x(t ) 0, x(1) 40 C x
式中, k1为比例系数。 我们的目标是确定流入的液体的温度u(t)如何变化, 使得 散失的热量最少, 即归结为在上述状态方程和边界条件 下, 求函数
J [k2 x 2 (t ) k3u 2 (t )]dt
性能指标(1/3)
4. 性能指标
从前面的应用实例可以看出, 最优控制问题最后归结到从所 有容许控制中找出一种效果最好的控制律, 这就需要一个能 衡量控制效果好坏或评价控制品质优劣的性能指标函数。
例如, 飞船控制系统要求所携带的燃料最少或到达末态 的时间最短, 而连续搅拌槽系统的性能指标为一个带函 数积分的指标, 要求其为最小； 由于各种最优控制问题所要解决的主要矛盾（问题）不 同, 设计者的着眼点不同，因此归结出的性能指标是不 同的。
最优控制理论与应用
授课教师：柳向斌 单位：先进控制系统研究所
本 章 简 介(1/1)
参考书目：
1.
2. 3.
张洪钺，王青. 《最优控制理论与应用》, 高等教育出版社；
解学书. 《最优控制理论与应用》，清华大学出版社； 王朝珠，秦化淑.《最优控制理论》, 科学出版社.
考核方式: 期末考试：70% 大作业：30%
目标M质心的位置矢量和速度矢量为： xM ,
拦截器的推力为：F(t) ，即控制输入。
M x
拦截器和目标的相对位置和速度为：
x x L xM
L x M vx
v, x F (t ) a(t ) v , m(t ) F (t ) m , c
拦截器与目标的相对运动方程为：
目标集
容许控制 性能指标
最优控制问题的描述
被控系统的数学模型(1/2)
1. 被控系统的数学模型
前面讨论的飞船控制系统和搅拌槽温度系统都是非线性系统, 所建立的描述该最优控制问题的数学模型都为状态空间表达 式。 因此, 对一般被控系统的最优控制问题, 其数学模型可以 用如下非线性时变系统的状态空间表达式来描述: f ( x, u, t ) x y g ( x, u, t )
飞船的月球软着陆问题(3/3)
这两个问题可归结为分别求 J1= J1(tf) ---- 燃料消耗最少，或者
J2= J2(tf) ---- 着陆时间最短
为最小的数学问题。
拦截问题(1/2)
2) 拦截问题
在某一惯性坐标系内，设质量为m(t)拦截器L质心的位置矢量和 速度矢量为： x , x
L L
规定的末态目标集为:
M={x(tf): x(tf)Rn, g1(x(tf),tf)=0, g2(x(tf),tf)0} 求一容许控制u(t)U, t[t0,tf], 使被控系统由给定的初态 x0 出发, 在 tf >t0 时刻转移到目标集 M, 并使如下性能指标 为最小
J S ( x(t f ), t f ) L( x(t ), u(t ), t )dt
设流出的液体保持槽内液面恒定 , 在出口处温度与槽内液体一致。
试寻找 u(t) 的变化规律, 使槽中液 体的温度经 1 小时后上升到 40oC, 并要求所散失的热量最少。
图 1 连续搅拌槽示意图
连续搅拌槽的温度控制问题(2/2)
因假定槽内液体温度均衡,设为x(t)。 由题设条件可知, x(t) 的边界条件为 x(0)=0oC, x(1)=40oC 由热力学知识可知 , 槽内的液体温度的变化率与温差 [u(t)-x(t)]成正比,即
目标集(2/3)
末态因不同问题,可以是状态空间的一个点, 更为一般的 情况是末态要落在事先给定的范围内 , 如要求末态满足 如下约束条件 g1(x(tf),tf)=0 g2(x(tf),tf)0 式中, g1(x(tf),tf) 和 g2(x(tf),tf) 为关于末态时刻 tf 和末态状 态 x(tf) 的非线性向量函数。
本课程的主要内容
简 介(1/1)
讲解最优控制问题初步，目的是掌握求解最优控制问题的主 要理论和方法，能对一些常见的最优控制问题进行有效的分 析，控制器设计和求解。 主要内容包括
泛函基础
变分法、极大值原理及其在最优控制中的应用 线性二次型最优控制问题
离散系统的最优控制问题
动态规划及其在最优控制中的应用 微分对策控制
最优鲁棒控制
最后介绍基于 Matlab 的线性系统的线性二次型最优控制 系统的设计计算与运动仿真问题的程序设计与仿真计算。
最优控制概述(1/1)
第 1 章 最优控制概述
在 20 世纪 50 年代末开始迅速发展起来的现代控制理论中， 最优控制是其一个主要内容，目前仍是非常活跃的一个分 支。 最优控制问题是从大量的实际问题中提炼出来的， 它 的发展与航空、航天和航海的制导、导航和控制技术密 不可分； 化工过程中有着广泛的应用；等等。 下面先通过几个应用实例来引出最优控制问题，然后讨 论最优控制问题的描述及数学表达。 内容包括： 最优控制的问题提出 最优控制的问题描述 最优控制的发展简史
0 1
最小的数学问题。
最优控制问题的描述(1/1)
1.2 最优控制问题的描述
从前面的应用实例可以看出，最优控制问题可以抽象成共同 的数学问题描述，为最优控制理论研究带来方便。 所谓最优控制问题的描述 , 就是将通常的最优控制问题 抽象成一个统一描述的数学问题 , 并用数学语言严格地 表述出来。 最优控制问题的要素包括: 被控系统（对象）的数学模型
v h f v g m kf , k 0 m
飞船的月球软着陆问题(2/3)
要求控制飞船从初始状态 h(0)=h0, v(0)=v0, m(0)=M+F 出发，在某一末态时刻 tf 实现软着陆，即 h(tf)=0, v(tf)=0 控制过程中，推力 f(t) 不能超过发动机所能提供的最 大推力 fmax，即 -fmax f(t) fmax 满足上述约束条件, 使飞船实现软着陆的推力程序并 非一种，其中消耗燃料最少的称为燃料最优控制问 题, 着陆时间最短的称为最速升降问题或时间最优控 制问题。
其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度，是已知的。
拦截问题(2/2)
初始条件为： x(t 0 ) x0
v(t 0 ) v0
m(t 0 ) m0
终端条件为： x(t f ) 0 v(t f )任意, m(t f ) mend ,
mend
为燃料燃尽后拦截器的质量.
从工程实际考虑，约束条件为： 0 F (t ) max F (t ) 如果我们既要求拦截过程的时间尽量短，又要求燃料消耗尽量少，则可取性 能指标：
需要指出：有些最优控制问题并没有对末态加以约束， 则该问题的目标集为整个状态空间Rn， 但此时并不意味 着对末态没有要求，系统还可以通过下面要介绍的性能 指标等以约束末态。 至于末态时刻 tf , 它可以事先规定, 也可以由对末态的约 束条件和性能指标等约束。
容许控制(1/1)
3. 容许控制
式中 x 为 n 维状态向量; u 为 r 维输入向量; y为m维输出向 量;
f(x,u,t) 和 g(x,u,t) 分别为关于n维状态向量 x和m维 输入向量 u 以及时间 t 的非线性函数向量。
被控系统的数学模型(2/2)
对许多实际被控系统, 在一定精度范围内, 其最优控制问题中 的数学模型多为 线性定常系统 线性时变系统 非线性定常系统 的状态空间表达式来描述。
性能指标(3/3)
性能指标函数又称为指标泛函、目标函数、成本函数和评价 函数等。
最优控制问题的描述(1/2)
5. 最优控制问题的描述
总结上述最优控制问题的数学模型、目标集、容许控制以及 性能指标, 则最优控制问题的描述可叙述为: 已知被控系统的状态方程及给定的初态如下：
(t ) f ( x(t ), u(t ), t ), x x(t0 ) x0
性能指标(2/3)
一般形式的性能指标为
J S (x(t f ), t f ) L(x(t ), u(t ), t )dt
t0
tf
式中, 右边第1项称为末态性能指标, 体现了对末态的要 求; 第2项称为积分性能指标, 体现了对系统状态变化过程中 对的状态 x(t) 和控制u(t) 的要求; 在通常情况下 , 可将各种不同的性能指标视为一般形式 的性能指标的一种特例。 如飞船控制系统的性能指标可以视为当 S(x(tf),tf) = m(tf), L(x,u,t)=0 时上述一般形式性能指标的一个特例。
最优控制问题的提出(1/1)
1.1 最优控制问题的提出
考虑下面几个实际最优控制问题的例子，
飞船的月球软着陆问题
拦截问题 连续搅拌槽的温度控制问题
飞船的月球软着陆问题(1/3)
1) 飞船的月球软着陆问题
飞船靠其发动机产生一个与月球的重力方向相反的推力, 以控制飞船实 现软着陆, 即达到降落到月球表面时的速度为零。 问题要求设计发动机推力u(t)=f(t)程序, 使飞船携带的燃料最少或 着陆时间最短(最速升降问题)。 设飞船的质量为m，高度和垂直速度分别为 h 和 v，月球的重力加速度 g可视为常数，飞船的自身质量及所携带的燃料分别为 M 和 F。 若飞船于某一初始时刻起开始进入着陆过程, 由牛顿第二定理和物 料(燃料)平衡关系可知, 飞船的运动方程为
上述末态约束条件概括了对末态的一般要求。
实际上, 该末态约束条件规定了状态空间中的一个时 变的或时不变的集合, 此种满足末态约束的状态集合 称为目标集, 记为M，并可表示为 M ={x(tf): x(tf)Rn, g1(x(tf),tf) = 0, g2(x(tf),tf)0 }