高考数学二轮三轮总复习专题学案 专题7思想方法 (浙江文科专用)

第2讲分类讨论思想、转化与化归思想高考定位分类讨论思想，转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数解答题中，难度较大．1．中学数学中可能引起分类讨论的因素(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等．(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．2．常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题结论适合原问题．(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定． (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则．热点一 分类讨论思想的应用[应用1] 由性质、定理、公式的限制引起的分类【例1－1】 (1)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n＋3，则数列{a n }的通项a n ＝________．(2)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析 (1)由2S n ＝3n＋3得：当n ＝1时，2S 1＝31＋3＝2a 1，解得a 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12[(3n ＋3)－(3n －1＋3)]＝3n －1，由于n ＝1时，a 1＝3不适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)当a >0时，1－a <1，1＋a >1， 这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32，不合题意，舍去；当a <0时，1－a >1，1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2(2)－34探究提高 由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致的情况下使用，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．[应用2] 由数学运算要求引起的分类【例1－2】 (1)不等式|x |＋|2x ＋3|≥2的解集是( ) A ．(－∞，－53)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞ C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪[－1，＋∞) D ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞(2)已知m ∈R ，则函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0，1]上的最大值为________． 解析 (1)原不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－x －（2x ＋3）≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤0，－x ＋（2x ＋3）≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＋（2x ＋3）≥2.解得x ≤－53或－1≤x ≤0或x ＞0，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪[－1，＋∞)． (2)①当4－3m ＝0，即m ＝43时，函数y ＝－2x ＋43，它在[0，1]上是减函数，所以y max ＝f (0)＝43.②当4－3m ≠0, 即m ≠43时，y 是二次函数．当4－3m ＞0，即m ＜43时，二次函数y 的图象开口向上，对称轴方程x ＝14－3m ＞0，它在[0，1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)．f (0)＝m ，f (1)＝2－2m ，当m ≥2－2m ，又m ＜43，即23≤m ＜43时，y max ＝m .当m ＜2－2m ，又m ＜43，即m ＜23时，y max ＝2(1－m )．当4－3m ＜0，即m ＞43时，二次函数y 的图象开口向下，又它的对称轴方程x ＝14－3m ＜0，所以函数y 在[0，1]上是减函数，于是y max ＝f (0)＝m . 由①、②可知，这个函数的最大值为 y max＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2m ，m ＜23，m ，m ≥23.答案 (1)C (2)y max＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2m ，m ＜23，m ，m ≥23探究提高 由数学运算要求引起的分类整合法，常见的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根的被开方数为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝对值的不等式求解，三角函数的定义域等，根据相应问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析，进而分类求解与综合． [应用3] 由参数变化引起的分类【例1－3】 已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递减．综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1)．探究提高 由参数的变化引起的分类整合法经常用于某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．热点二 转化与化归思想 [应用1] 换元法【例2－1】 已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________． 解析 令b ＝x ，c ＝y ，则x ＋y ＝－a ，x 2＋y 2＝1－a 2. 此时直线x ＋y ＝－a 与圆x 2＋y 2＝1－a 2有交点， 则圆心到直线的距离d ＝|a |2≤1－a 2，解得a 2≤23，所以a 的最大值为63. 答案63探究提高 换元法是一种变量代换，也是一种特殊的转化与化归方法，是用一种变数形式去取代另一种变数形式，是将生疏(或复杂)的式子(或数)，用熟悉(或简单)的式子(或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行． [应用2] 特殊与一般的转化【例2－2】 过抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q等于( )A ．2aB.12aC ．4aD.4a解析 抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的标准方程为x 2＝1ay (a ＞0)．焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，取过焦点F 的直线垂直于y 轴， 则|PF |＝|QF |＝12a ，所以1p ＋1q ＝4a .答案 C探究提高 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果． [应用3] 常量与变量的转化【例2－3】 对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围为________．解析 对任意的|m |≤2，有mx 2－2x ＋1－m ＜0恒成立，即|m |≤2时，(x 2－1)m －2x ＋1＜0恒成立．设g (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，则原问题转化为g (m )＜0恒成立(m ∈[－2，2])．所以⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）＜0，g （2）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3＞0，2x 2－2x －1＜0.解得7－12＜x ＜3＋12，即实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12探究提高 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的． [应用4] 正与反的相互转化【例2－4】 若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，∴m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373＜m ＜－5.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 探究提高 否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可，一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中.1．分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论． 常见的分类讨论问题有：(1)集合：注意集合中空集讨论．(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论．(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论． (4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论．(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论． (6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论． (8)排列、组合、概率中的分类计数问题． (9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等． 2．转化与化归思想遵循的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.一、选择题1．等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求．当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q＝21，解之得，q ＝－12或q ＝1(舍去)．综上可知，q ＝1或－12.答案 C2．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q 两点，则PR →·PQ →的值为( )A ．a 2B ．b 2C ．2abD ．a 2＋b 2解析 当直线PQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a ，故选A. 答案 A3．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析 法一 函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数即函数y 1＝2x－2与y 2＝－x 3的图象在区间(0，1)内的交点个数．作图(图略)，可知在(0，＋∞)内最多有一个交点，故排除C ，D 项；当x ＝0时，y 1＝－1＜y 2＝0，当x ＝1时，y 1＝0＞y 2＝－1，因此在区间(0，1)内一定会有一个交点，所以A 项错误．选B.法二 因为f (0)＝1＋0－2＝－1，f (1)＝2＋13－2＝1，所以f (0)·f (1)＜0.又函数f (x )在(0，1)内单调递增，所以f (x )在(0，1)内的零点个数是1. 答案 B4．已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0，2)，任意的x 2∈[1，2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142 B ．(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫1，142D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，142 解析 依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max .f (x )＝ln x －14x ＋34x－1(x ＞0)，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x2. 由f ′(x )＞0，解得1＜x ＜3，故函数f (x )的单调递增区间是(1，3)，同理得f (x )的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－12.函数g (x 2)＝－x 22＋2bx 2－4，x 2∈[1，2]． 当b ＜1时，g (x 2)max ＝g (1)＝2b －5； 当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2－4； 当b ＞2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8. 故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧b ＜1，－12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＞2，－12≥4b －8. 解第一个不等式组得b ＜1， 解第二个不等式组得1≤b ≤142， 第三个不等式组无解．综上所述，b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142.故选A. 答案 A 二、填空题5．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n－1，则它的通项公式a n ＝________． 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n－1－(3n －1－1)＝2×3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足式子a n ＝2×3n －1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1.答案 2×3n －16．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →，若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________． 解析 不妨设AC ⊥AB ，且AB ＝4，AC ＝3，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则A (0，0)，B (4，0)，C (0，3)，M (0，2)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，那么MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，AB →＝(4，0)，AC →＝(0，3)，由MN →＝xAB →＋yAC →，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12＝x (4，0)＋y (0，3)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12＝(4x ，3y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝2，3y ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－16.答案 12 －167．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．解析 若∠PF 2F 1＝90°， 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 2PF 1＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2， 解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2. 综上所述，|PF 1||PF 2|＝2或72.答案 2或728．已知a 为正常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 22a 对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________．解析 原不等式即x 22a ≥1＋x 2－1＋x (x ≥0)，(*) 令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)式可化为（t 2－1）22a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝（t －1）22对t ≥1恒成立， 所以（t ＋1）2a≥1对t ≥1恒成立，又a 为正常数，所以a ≤[(t ＋1)2]min ＝4，故a 的最大值是4.答案 4三、解答题9．数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0.(1)求数列的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解 (1)a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以{a n ＋1－a n }为常数列，所以{a n }是以a 1为首项的等差数列．设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4＝a 1＋3d ，所以d ＝2－83＝－2， 所以a n ＝10－2n .(2)因为a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n ＞5时，a n ＜0；当n ＝5时，a n ＝0；当n ＜5时，a n ＞0.令T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则T n ＝－n 2＋9n .所以当n ＞5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40，当n ≤5时， S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝T n ＝9n －n 2.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2 （n ≤5），n 2－9n ＋40 （n ＞5）. 10．已知函数g (x )＝axx ＋1(a ∈R )，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x )．(1)若函数g (x )过点(1，1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程；(2)判断函数f (x )的单调性．解 (1)因为函数g (x )过点(1，1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2x x ＋1.由f ′(x )＝1x ＋1＋2（x ＋1）2＝x ＋3（x ＋1）2，则f ′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f (0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y ＝3x .(2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋ax x ＋1(x ＞－1)， 所以f ′(x )＝1x ＋1＋a （x ＋1）－ax （x ＋1）2＝x ＋1＋a （x ＋1）2. ①当a ≥0时，因为x ＞－1，所以f ′(x )＞0，故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；②当a ＜0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）＜0，x ＞－1，得－1＜x ＜－1－a ，故f (x )在(－1，－1－a )上单调递减；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）＞0，x ＞－1，得x ＞－1－a ， 故f (x )在(－1－a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当a ＜0时，函数f (x )在(－1，－1－a )上单调递减，在(－1－a ，＋∞)上单调递增．11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形．(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1，0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m ，0)，使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由题意，知抛物线的焦点为F (3，0)，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.因为椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形，所以b ＝3×33＝1. 可求得a ＝2，故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (2)假设存在满足条件的点E ，当直线l 的斜率存在时设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k （x －1），得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1. 则PE →＝(m －x 1，－y 1)，QE →＝(m －x 2，－y 2)，所以PE →·QE →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝m 2－8k 2m 4k 2＋1＋4k 2－44k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－44k 2＋1－8k 24k 2＋1＋1 ＝（4m 2－8m ＋1）k 2＋（m 2－4）4k 2＋1＝（4m 2－8m ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14＋（m 2－4）－14（4m 2－8m ＋1）4k 2＋1＝14(4m 2－8m ＋1)＋2m －1744k 2＋1. 要使PE →·QE →为定值，则2m －174＝0， 即m ＝178，此时PE →·QE →＝3364.当直线l 的斜率不存在时， 不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32， 由E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，可得PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，－32，QE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，32， 所以PE →·QE →＝8164－34＝3364. 综上，存在点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，使PE →·QE →为定值3364.。

高考数学专题复习——分类讨论思想方法教案一、教学目标1. 让学生理解分类讨论思想方法在解决数学问题中的应用。

2. 培养学生运用分类讨论解决数学问题的能力。

3. 提高学生对高考数学题型的应对策略。

二、教学内容1. 分类讨论思想方法的定义及作用。

2. 分类讨论思想方法在高中数学中的应用实例。

3. 高考数学题型中分类讨论思想方法的具体运用。

三、教学重点与难点1. 重点：分类讨论思想方法的理解与应用。

2. 难点：如何引导学生自主发现和运用分类讨论思想方法解决数学问题。

四、教学过程1. 导入：通过一个简单的数学问题引入分类讨论思想方法。

2. 新课：讲解分类讨论思想方法的定义、作用和应用实例。

3. 练习：让学生尝试解决一些运用分类讨论思想方法的高中数学问题。

五、课后作业2. 布置一些运用分类讨论思想方法的高中数学题目，让学生课后练习。

3. 鼓励学生查阅相关资料，了解分类讨论思想方法在高考数学题型中的应用。

六、教学策略1. 案例分析：通过分析典型的数学案例，让学生体会分类讨论思想方法的重要性。

2. 互动讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，分享自己在解决问题时运用分类讨论的经历。

3. 练习巩固：设计具有针对性的练习题，让学生在实践中掌握分类讨论思想方法。

4. 拓展延伸：引导学生关注高考数学题型的新动态，了解分类讨论思想方法在实际应用中的广泛性。

七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题和解决问题的能力。

2. 课后作业：评估学生对分类讨论思想方法的理解和应用能力。

3. 阶段测试：通过阶段测试，检验学生对分类讨论思想方法的掌握情况。

4. 学生反馈：收集学生对教学过程和教学内容的意见和建议，不断优化教学方法。

八、教学资源1. 教材：选用权威的高中数学教材，为学生提供系统的知识体系。

2. 案例素材：收集各类高中数学题目，作为教学案例。

3. 教学课件：制作精美的教学课件，辅助课堂教学。

4. 网络资源：利用互联网查找相关资料，为学生提供更多的学习资源。

一、选择题1.等比数列 { a n} 中， a3＝7，前 3 项之和 S3＝ 21，则公比 q 的值是 ()1A.1B.－211C.1 或－2D.－1 或2分析当公比 q＝ 1 时， a1＝ a2＝a3＝ 7， S3＝3a1＝21，切合要求 .12a1（1－q3）1当 q≠1 时，a q ＝7，＝21，解之得，q＝－2或 q＝1(舍去 ).综上可知，1－q1q＝1 或－2.答案 Cx2y22.过双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞ 0)上随意一点 P，引与实轴平行的直线，交两渐→ →的值为()近线于 R，Q 两点，则 PR·PQA.a2B.b22＋ b2分析当直线 PQ 与 x 轴重合时，→→＝，应选|PR＝A.||PQ| a答案A函数x＋x3－2 在区间 (0，1)内的零点个数是 ()3.f(x)＝ 2A.0B.1C.2D.3分析法一函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数即函数y1＝2x－ 2与 y2＝－ x3的图象在区间 (0，1)内的交点个数 .作图，可知在 (0，＋∞)内最多有一个交点，故清除 C， D 项；当 x＝0 时， y1＝－ 1＜y2＝ 0，当 x＝1 时， y1＝0＞y2＝－ 1，所以在区间 (0，1)内必定会有一个交点，所以 A 项错误 .选 B.法二由于 f(0)＝1＋0－2＝－ 1，f(1)＝2＋ 13－＝，所以·＜又函数f(x)2 1f(0) f(1) 0.在(0， 1)内单一递加，所以f(x)在 (0，1)内的零点个数是 1.答案 B已知函数f(x)＝ln x－13 －1，g(x)＝－x2＋2bx－4，若对随意的x1∈(0，2)，4.4x＋4x随意的 x2∈[1， 2]，不等式 f(x1≥ 2 恒成立，则实数b 的取值范围是())g(x )14A. －∞，2B.(1 ，＋∞ )1414C.1，2D.1，2分析依题意，问题等价于f(x1 )min≥g(x2)max，13f(x)＝ln x－4x＋4x－1(x＞0)，1134x－ x2－3所以 f′(x)＝x－4－4x2＝4x2.由 f′(x)＞0，解得 1＜ x＜ 3，故函数 f(x)单一递加区间是 (1，3)，同理得 f(x)的单一递减区间是 (0，1)和(3，＋∞)，故在区间 (0，2)上， x＝1 是函数 f(x)的极小值点，1这个极小值点是独一的，所以f(x1)min＝f(1)＝－2.函数 g(x2)＝－ x22＋2bx2－4，x2∈[1 ， 2].当 b＜1 时， g(x2)max＝ g(1)＝2b－ 5；当 1≤b≤2 时， g(x2)max＝g(b)＝b2－4；当 b＞2 时， g(x2)max＝ g(2)＝4b－ 8.故问题等价于b＜1，1≤ b≤ 2，b＞2，1或 1 2或1－2≥2b－ 5－2≥b －4－2≥ 4b－8.解第一个不等式组得b＜1，14解第二个不等式组得1≤b≤2，第三个不等式组无解 .14综上所述， b 的取值范围是 －∞，2.应选 A.答案A二、填空题5.若数列 {a n } 的前 n 项和 S n ＝3n － 1，则它的通项公式 a n ＝ ________.n n － 1 n －1分析 当 n ≥2 时， a n ＝ S n －S n －1＝3 －1－(3 －1)＝ 2×3 ；当 n ＝1 时， a 1＝S 1＝2，也知足式子 a n ＝ 2× 3n －1，答案n －12× 3在△ 中，点 ， →→→→→→→ABC M N 知足AM ＝2MC ，BN ＝NC ，若 MN ＝ xAB ＋yAC ，则 x ＝6. ________，y ＝________. 分析不如设 AC ⊥AB ，有 AB ＝4，AC ＝3，以 A 为坐标原点， AB ，AC 所在直线分别为 x 轴， y 轴成立平面直角坐标系，如下图.3则 A(0，0)，B(4，0)， C(0， 3)，M(0， 2)，N 2，2 ，→ 1 →→那么MN ＝ 2，－2 ，AB ＝ (4，0)， AC ＝ (0，3)，→→→ 2，－1＝ x(4， 0)＋ y(0 ， ，由MN ＝xAB ＋ yAC ，可得 2 3)114x ＝2，x ＝2，即 2，－2＝(4x ， 3y)，则有1，解得13y ＝－ 2y ＝－ .61 1答案 2 －6设2 2的两个焦点， P 为椭圆上一点 .已知 P ， F 1，F 2 是一F 1，F 2 为椭圆 x ＋ y ＝17. 9 4个直角三角形的三个极点，且 |PF 1 ＞2，则|PF 1|的值为 ________.| |PF||PF 2|分析 若∠PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，∵ |PF 1|＋|PF 2|＝ 6， |F 1F 2|＝2 5，144|PF| 712.解得 |PF 1|＝ 3 ， |PF 2|＝ 3， ∴|PF 2|＝ 若∠F 2PF 1＝90°，则|F 1F 2 |2＝ |PF 1|2＋|PF 2|2＝ |PF 1|2＋(6－ |PF 1|)2，|PF 1|解得 |PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 2|＝2.|PF 1| 7综上所述， |PF 2|＝2 或2.7 答案2 或2xx 28.已知 a 为正常数，若不等式1＋x ≥ 1＋ 2－ 2a 对全部非负实数 x 恒成立，则a的最大值为 ________.分析 原不等式即x 2≥ 1＋ x－＋ ≥ ，(*)2a21x(x 0)令 1＋x ＝t ，t ≥ 1，则 x ＝t 2－1，（t 2－ 1）2≥1＋t 2－1t 2－2t ＋1 （ t －1）2所以 (*) 式可化为2a2 －t ＝2＝2对 t ≥1 恒成立，所以 （ t ＋1）2 ≥1 对 t ≥1 恒成立，又 a 为正常数，所以 a ≤ [(t ＋1)2] min ＝ ，故a4a 的最大值是 4.答案4三、解答题9.数列 { a n } 中， a 1＝ 8， a 4＝2，且知足 a n ＋ 2－2a n ＋1＋a n ＝0.(1)求数列的通项公式；(2)设 S n ＝ |a 1|＋ |a 2|＋ ＋ |a n |，求 S n .解 (1)a n ＋ 2－ 2a n ＋ 1＋ a n ＝0，所以 a n ＋ 2－a n ＋1 ＝a n ＋ 1－a n ，所以 { a n＋1－ a n} 为常数列，所以 { a n} 是以 a1为首项的等差数列，设 a n＝a1＋(n－ 1)d，a4＝a1＋ 3d，2－ 8所以 d＝ 3 ＝－2，所以a n＝10－2n.(2)由于 a n＝ 10－2n，令 a n＝0，得 n＝ 5.当 n＞5 时， a n＜0；当 n＝5 时， a n＝ 0；当 n＜5 时， a n＞0.所以当 n＞5 时，S n＝|a1 |＋|a2|＋＋ |a n|＝a1＋ a2＋＋ a5－(a6＋a7＋＋ a n)＝T5－ (T n－ T5)＝ 2T5－ T n＝n2－ 9n＋40，T n＝a1＋ a2＋＋ a n，当 n≤5 时，S n＝|a1 |＋|a2|＋＋ |a n|2＝a1＋ a2＋＋ a n＝T n＝ 9n－n .29n－ n（n≤5），ax10.已知函数 g(x)＝x＋1(a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x).(1)若函数 g(x)过点 (1， 1)，求函数 f(x)的图象在 x＝ 0 处的切线方程；(2)判断函数 f(x)的单一性 .解(1)由于函数 g(x)过点 (1，1)，所以 1＝a，解得 a＝2，所以 f(x)＝ ln(x＋1)1＋12x12x＋3＋x＋1.由 f′(x)＝x＋1＋（x＋1）2＝（x＋1）2，则f′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为 3.又 f(0)＝ 0，所以切点为 (0， 0)，故所求的切线方程为y＝3x.ax(2)由于 f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1(x＞－ 1)，1a（x＋1）－ ax x＋1＋a所以 f′(x)＝x＋1＋（x＋1）2＝（x＋1）2.①当 a≥ 0 时，由于 x＞－ 1，所以 f′(x)＞0，故 f(x)在 (－1，＋∞ )上单一递加；f ′（x ）＜ 0，②当 a ＜ 0 时，由 得－ 1＜x ＜－ 1－a ，x ＞－ 1，故 f(x)在 (－1，－ 1－ a)上单一递减；f ′（x ）＞ 0， 由得 x ＞－ 1－ a ， x ＞－ 1， 故 f(x)在 (－1－a ，＋∞ )上单一递加 .综上，当 a ≥0 时，函数 f(x)在(－1，＋∞ )上单一递加； 当 a ＜0 时，函数 f(x)在 (－1，－ 1－a)上单一递减， 在(－1－a ，＋∞ )上单一递加 .22 2＝4 3x 的焦点 F 重合，且已知椭圆 x 2y 211. a ＋b ＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与抛物线 y 椭圆短轴的两个端点与点 F 组成正三角形 . (1)求椭圆的方程；(2)若过点 (1， 0)的直线 l 与椭圆交于不一样的两点 P ， Q ，试问在 x 轴上能否存在→ →E 的坐标，并求出这个定值；定点 E(m ，0)，使 PE · 恒为定值？若存在，求出QE若不存在，请说明原因 .解 (1)由题意，知抛物线的焦点为 F( 3， 0)，所以 c ＝ a 2－b 2＝ 3.由于椭圆短轴的两个端点与 F 组成正三角形，3所以 b ＝ 3× 3 ＝ 1.2可求得 a ＝2，故椭圆的方程为 x4 ＋ y 2 ＝1.(2)假定存在知足条件的点 E ，当直线 l 的斜率存在时设其斜率为k ，则 l 的方程为 y ＝k(x －1).2x2＋y ＝ 1，y ＝ k （ x － 1），得(4k 2＋ 1)x 2－8k 2x ＋ 4k 2－ 4＝ 0，设 P(x 1，y 1)，Q(x 2， y 2)，所以 x 1 ＋x 2＝8k 2，x 1 2 ＝4k 2 －44k 22＋1.＋1x4k→ →则PE ＝(m －x 1，－ y 1)，QE ＝(m －x 2，－ y 2)，→ →所以 PE ·QE ＝ (m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 22＝m －m(x 1＋ x 2)＋x 1x 2＋ y 1y 2＝m 2－m(x 1＋ x 2)＋x 1x 2＋ k 2(x 1－ 1)(x 2－1)28k 2m 4k 2－4 2 4k 2－4 8k 2 ＝m －4k 2＋1＋4k 2＋1＋k 4k 2＋1－ 4k 2＋1＋1 （ 4m 2－8m ＋ 1） k 2＋（ m 2－4）＝4k 2＋1221212（ 4m －8m ＋ 1） k ＋ 4 ＋（ m －4）－ 4（4m － 8m ＋ 1）＝4k 2＋ 1172m －124→ →为定值，令 2m － 17 要使 PE ·＝ 0，QE417→→ 33即 m ＝ 8 ，此时 PE ·QE ＝64.当直线 l 的斜率不存在时，不如取 P 1， 3 ，Q 1，－ 3 ，2 2由17，0 ，可得 → ＝ 93→9 3 ，E 8PE8，－2 ， QE ＝ 8，2 →→81333所以 PE ·QE ＝ 64－4＝64.综上，存在点 E17 → → 为定值 338，0 ，使 PE ·64.QE。

思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。

三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。

四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。

第三讲分类与整合思想１．在解答某些数学问题时，有时需要对各种情况进行分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类与整合的思想．分类讨论体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．２．分类的原则是：（１）分类的对象确定，标准统一；（２）不重复，不遗漏；（３）分层次，不越级讨论．３．中学数学中可能引起分类讨论的因素：（１）由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．（２）由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等．（３）由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．（４）由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．（５）由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．总之，分类讨论要明确讨论的原因和对象，确定讨论标准，最后要对讨论进行总结；可以不分类的就不要分类讨论．１．（２0１３·安徽）“a≤0”是“函数f（x）＝|（ax—１）x|在区间（0，＋∞）内单调递增”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案C解析当a＝0时，f（x）＝|（ax—１）x|＝|x|在区间（0，＋∞）上单调递增；当a<0时，结合函数f（x）＝|（ax—１）x|＝|ax２—x|的图象知函数在（0，＋∞）上单调递增，如图（１）所示；当a>0时，结合函数f（x）＝|（ax—１）x|＝|ax２—x|的图象知函数在（0，＋∞）上先增后减再增，不符合条件，如图（２）所示．所以，要使函数f（x）＝|（ax—１）x|在（0，＋∞）上单调递增只需a≤0．即“a≤0”是“函数f（x）＝|（ax—１）x|在（0，＋∞）上单调递增”的充要条件．２．（２0１１·课标全国）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝２x 上，则cos ２θ等于（）Ａ．—错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析设P（t,２t）（t≠0）为角θ终边上任意一点，则cos θ＝错误!.当t>0时，cos θ＝错误!；当t<0时，cos θ＝—错误!.因此cos ２θ＝２cos２θ—１＝错误!—１＝—错误!.３．（２0１２·四川）函数y＝a x—错误!（a>0，且a≠１）的图象可能是（）答案D解析当a>１时，y＝a x—错误!为增函数，且在y轴上的截距为0<１—错误!<１，排除A，Ｂ．当0<a<１时，y＝a x—错误!为减函数，且在y轴上的截距为１—错误!<0，故选Ｄ．４．（２0１３·天津）已知函数f（x）＝x（１＋a|x|）．设关于x的不等式f（x＋a）<f（x）的解集为A.若错误!⊆A，则实数a的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!∪错误!Ｄ．错误!答案A解析∵错误!⊆A，∴f（a）<f（0），∴a（１＋a|a|）<0，解得—１<a<0，可排除Ｃ．∵f错误!<f错误!，∴错误!错误!<—错误!错误!，∴a错误!错误!<—错误!a.∵—１<a<0，∴错误!错误!>—错误!，∴—错误!２>—错误!，∴错误!２<错误!，∴错误!<a<0．排除B，Ｄ．应选Ａ．５．（２0１３·天津）设a＋b＝２，b>0，则错误!＋错误!的最小值为________．答案错误!解析当a>0时，错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!≥错误!；当a<0时，错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝—错误!＋错误!≥—错误!＋１＝错误!.综上所述，错误!＋错误!的最小值是错误!.题型一由数学概念、运算引起的分类讨论例１函数f（x）＝错误!若f（１）＋f（a）＝２，则a的所有可能值为（）Ａ．１Ｂ．１，—错误!Ｃ．—错误!Ｄ．１，错误!审题破题由于f（x）为分段函数，故求f（a）时要分—１<a<0，a≥0两种情形讨论．答案B解析f（１）＝e0＝１，即f（１）＝１．当a≥0时，f（a）＝１＝e a—１，∴a＝１．当—１<a<0时，f（a）＝sin（πa２）＝１，∴πa２＝２kπ＋错误!（k∈Z）．∴a２＝２k＋错误!（k∈Z），k只取0，此时a２＝错误!.∵—１<a<0，∴a＝—错误!.反思归纳（１）分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．（２）在数学运算中，有时需对不同的情况作出解释，就需要进行讨论，如解二元不等式涉及到两根的大小等．变式训练１（１）已知数列{a n}的前n项和S n＝p n—１（p是常数），则数列{a n}是（）Ａ．等差数列Ｂ．等比数列Ｃ．等差数列或等比数列Ｄ．以上都不对答案D解析∵S n＝p n—１，∴a１＝p—１，a n＝S n—S n—１＝（p—１）p n—１（n≥２），当p≠１且p≠0时，{a n}是等比数列；当p＝１时，{a n}是等差数列；当p＝0时，a１＝—１，a n＝0（n≥２），此时{a n}既不是等差数列也不是等比数列．（２）若集合A＝{x|ax２—ax＋１<0}＝∅，则实数a的值的集合是（）Ａ．{a|0<a<４} Ｂ．{a|0≤a<４}Ｃ．{a|0<a≤４} Ｄ．{a|0≤a≤４}答案D解析由题意知a＝0时，满足条件．a≠0时，由错误!得0<a≤４，所以0≤a≤４．题型二由图形或图象引起的分类讨论例２设F１、F２为椭圆错误!＋错误!＝１的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F１、F２是一个直角三角形的三个顶点，且错误!＞错误!.求错误!的值．审题破题直角三角形关键是确定直角顶点，由|PF１|>|PF２|知，只需分∠PF２F１和∠F１PF２分别为直角两种情况即可．解若∠PF２F１＝90°，则错误!２＝|PF２|２＋错误!２，又∵错误!＋错误!＝6，错误!＝２错误!，解得错误!＝错误!，错误!＝错误!，∴错误!＝错误!.若∠F１PF２＝90°，则错误!２＝错误!２＋错误!２，∴错误!２＋（6—错误!）２＝２0，又|PF１|>|PF２|，∴错误!＝４，错误!＝２，∴错误!＝２．综上知，错误!＝错误!或２．反思归纳（１）本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．（２）涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．变式训练２已知m∈R，求函数f（x）＝（４—３m）x２—２x＋m在区间[0,１]上的最大值．解１当４—３m＝0，即m＝错误!时，函数y＝—２x＋错误!，它在[0,１]上是减函数．所以y max＝f（0）＝错误!.２当４—３m≠0时，即m≠错误!时，y是二次函数．ⅰ若４—３m>0，即m<错误!时，二次函数y的图象开口向上，对称轴x＝错误!>0，它在[0,１]上的最大值只能在区间端点取得（由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系）．f（0）＝m，f（１）＝２—２m.当m≥２—２m，又m<错误!，即错误!≤m<错误!时，y max＝m.当m<２—２m，又m<错误!，即m<错误!时，y max＝２—２m.ⅱ若４—３m<0，即m>错误!时，二次函数y的图象开口向下，又它的对称轴方程x＝错误!<0，所以函数y在[0,１]上是减函数，于是y max＝f（0）＝m.由１、２可知，这个函数的最大值为y max＝错误!题型三由参数引起的分类讨论例３已知函数f（x）＝（a＋１）ln x＋ax２＋１．讨论函数f（x）的单调性．审题破题根据函数f（x）的导函数求解函数f（x）的单调区间，需要对参数a进行分类讨论，从而通过函数f（x）的导函数是否大于零判断函数f（x）的单调性．解由题意知f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝错误!＋２ax＝错误!.１当a≥0时，f′（x）>0，故f（x）在（0，＋∞）上单调递增．２当a≤—１时，f′（x）<0，故f（x）在（0，＋∞）上单调递减．３当—１<a<0时，令f′（x）＝0，解得x＝错误!，则当x∈错误!时，f′（x）>0；当x∈错误!时，f′（x）<0．故f（x）在错误!上单调递增，在错误!上单调递减．综上，当a≥0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a≤—１时，f（x）在（0，＋∞）上单调递减；当—１<a<0时，f（x）在错误!上单调递增，在错误!上单调递减．反思归纳一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏．变式训练３是否存在非零实数a，使函数f（x）＝ax２＋（a—２）x＋１在[—２,３]上的最大值为错误!？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．解若f（—２）＝错误!，则a＝—错误!，此时，抛物线的开口向下，对称轴方程为x＝—错误!∈[—２,３]，显然f（—２）不可能是最大值，因此a≠—错误!.若f错误!＝错误!，即a错误!２＋（a—２）错误!＋１＝错误!，则a２—５a＋４＝0，解得a＝１或a＝４．当a＝１时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线x＝错误!∈[—２,３]，此时f错误!是最小值而不是最大值，因此a≠１；当a＝４时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线x＝—错误!∈[—２,３]，此时f错误!是最小值而不是最大值，因此a≠４．若f（３）＝错误!，则a＝错误!，抛物线的开口向上，且对称轴为直线x＝错误!∈[—２,３]，此时，在[—２,３]内f（—２）是最大值，因此a≠错误!.综上可知满足条件的a不存在．典例（１４分）（２0１２·北京）已知函数f（x）＝ax２＋１（a>0），g（x）＝x３＋bx.（１）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（１，c）处具有公共切线，求a，b的值；（２）当a２＝４b时，求函数f（x）＋g（x）的单调区间，并求其在区间（—∞，—１]上的最大值．规范解答解（１）f′（x）＝２ax，g′（x）＝３x２＋b，因为曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（１，c）处具有公共切线，所以f（１）＝g（１），且f′（１）＝g′（１）．即a＋１＝１＋b，且２a＝３＋b.解得a＝３，b＝３．[４分]（２）记h（x）＝f（x）＋g（x）．当b＝错误!a２时，h（x）＝x３＋ax２＋错误!a２x＋１，h′（x）＝３x２＋２ax＋错误!a２.[6分]令h′（x）＝0，得x１＝—错误!，x２＝—错误!.a>0时，h（x）与h′（x）的变化情况如下：单调递减区间为错误!.[8分]当—错误!≥—１，即0<a≤２时，函数h（x）在区间（—∞，—１]上单调递增，h（x）在区间（—∞，—１]上的最大值为h（—１）＝a—错误!a２.当—错误!<—１，且—错误!≥—１，即２<a≤6时，函数h（x）在区间错误!上单调递增，在区间错误!上单调递减，h（x）在区间（—∞，—１]上的最大值为h错误!＝１．当—错误!<—１，即a>6时，函数h（x）在区间错误!上单调递增，在区间错误!上单调递减，在区间错误!上单调递增，又因为h错误!—h（—１）＝１—a＋错误!a２＝错误!（a—２）２>0，所以h（x）在区间（—∞，—１]上的最大值为h错误!＝１．[１２分]综上所述：f（x）＋g（x）的增区间为错误!和错误!；减区间为错误!.当0<a≤２时，f（x）＋g（x）在（—∞，—１]上的最大值为a—错误!a２；当a>２时，f（x）＋g（x）在（—∞，—１]上的最大值为１．[１４分]评分细则（１）求出f′（x），g′（x）给１分；（２）没有列表，语言叙述的参照给分；（３）讨论时漏掉端点扣１分．阅卷老师提醒（１）本题利用分类与整合思想，在求解时要注意讨论的对象，同时要理顺讨论的目的；（２）分类讨论要保证不重不漏，讨论中要灵活处理临界值．１．函数f（x）＝错误!的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是（）Ａ．[0,１] Ｂ．（0,４）Ｃ．[４，＋∞）Ｄ．[0,４]答案D解析因为函数f（x）的定义域为一切实数，所以mx２＋mx＋１≥0对一切实数恒成立，当m＝0时，原不等式即１≥0对一切实数恒成立，当m≠0时，则需错误!，解得0<m≤４．综上，实数m的取值范围是[0,４]．２．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆x２＋（y—２）２＝１都相切，则双曲线C的离心率是（）Ａ．错误!或错误!Ｂ．２或错误!Ｃ．错误!或２Ｄ．错误!或错误!答案C解析设圆的两条过原点的切线方程为y＝kx.由错误!＝１得k＝±错误!.当错误!＝错误!时，e＝错误!＝错误!＝２．当错误!＝错误!时，e＝错误!＝错误!＝错误!.３．若方程lg kx＝２lg（x＋１）仅有一个实根，那么实数k的取值范围是________．答案{４}∪（—∞，0）解析当k>0时，由lg kx＝２lg（x＋１），得lg kx—２lg（x＋１）＝0，即kx＝（x＋１）２在（0，＋∞）上仅有一个解，即x２—（k—２）x＋１＝0在（0，＋∞）上仅有一个解．令f（x）＝x２—（k—２）x＋１，则f（0）>0，由Δ＝0，得k＝0或４．当k＝0时，方程无意义，舍去，所以k＝４．当k<0时，函数定义域是（—１,0），函数y＝kx的图象是一条递减且过（—１，—k）与（0,0）的线段，函数y＝（x＋１）２在（—１,0）上递增且过（—１,0）与（0,１）两点，此时两曲线段恒有一个交点，故k<0符合题意．综上所述，实数k的取值范围是{４}∪（—∞，0）．４．直线l１：kx＋（１—k）y—３＝0和l２：（k—１）x＋（２k＋３）y—２＝0互相垂直，则k＝________.答案１或—３解析若k＝１，直线l１：x＝３，l２：y＝错误!，满足两直线垂直．若k≠１，直线l１，l２的斜率分别为k１＝错误!，k２＝错误!，由k１·k２＝—１得k＝—３，综上k＝１或k＝—３．５．若数列{a n}的前n项和S n＝３n—１，则它的通项公式a n＝________.答案２×３n—１解析当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝３n—１—（３n—１—１）＝２×３n—１；当n＝１时，a１＝S１＝２，也满足式子a n＝２×３n—１，∴数列{a n}的通项公式为a n＝２×３n—１.6．若函数f（x）＝a|x—b|＋２在[0，＋∞）上为增函数，则实数a、b的取值范围为________________．答案a>0且b≤0解析１当a>0时，需x—b恒为非负数，即a>0，b≤0．２当a<0时，需x—b恒为非正数．又∵x∈[0，＋∞），∴不成立．综上所述，a、b的取值范围为a>0且b≤0．专题限时规范训练一、选择题１．若A＝{x|x２＋（p＋２）x＋１＝0，x∈R}，B＝{x|x>0}，且A∩B＝∅，则实数p的取值范围是（）Ａ．p>—４Ｂ．—４<p<0Ｃ．p≥0 Ｄ．R答案A解析当A＝∅时，Δ＝（p＋２）２—４<0，∴—４<p<0．当A≠∅时，方程x２＋（p＋２）x＋１＝0有两负根，∴错误!∴p≥0．综上所述，p>—４．２．设函数f（x）＝ .若f（a）>f（—a），则实数a的取值范围是（）Ａ．（—１,0）∪（0,１）Ｂ．（—∞，—１）∪（１，＋∞）Ｃ．（—１,0）∪（１，＋∞）Ｄ．（—∞，—１）∪（0,１）答案C解析若a>0，则log２a> a，即２log２a>0，所以a>１；若a<0，则（—a）>log２（—a），即２（—a）<0，所以0<—a<１，—１<a<0．所以实数a的取值范围是a>１或—１<a<0，即a∈（—１,0）∪（１，＋∞）．３．抛物线y２＝４px（p>0）的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．6答案C解析当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在．事实上，F（p,0），若设P（x，y），则|FO|＝p，|FP|＝错误!，若错误!＝p，则有x２—２px＋y２＝0，又∵y２＝４px，∴x２＋２px＝0，解得x ＝0或x＝—２p，当x＝0时，不构成三角形．当x＝—２p时，与点P在抛物线上矛盾．所以符合要求的P点一共有４个．４．（２0１２·湖北）函数f（x）＝x cos x２在区间[0,４]上的零点个数为（）Ａ．４Ｂ．５Ｃ．6 Ｄ．7答案C解析根据x２的范围判断y＝cos x２在区间[0,４]上的零点个数．当x＝0时，f（x）＝0．又因为x∈[0,４]，所以0≤x２≤１6．因为５π<１6<错误!，所以函数y＝cos x２在x２取错误!，错误!，错误!，错误!，错误!时为0，此时f（x）＝0，所以f（x）＝x cos x２在区间[0,４]上的零点个数为6．５．若不等式（a—２）x２＋２（a—２）x—４<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是（）Ａ．（—∞，２] Ｂ．[—２,２]Ｃ．（—２,２] Ｄ．（—∞，—２）答案C解析当a—２＝0即a＝２时，不等式为—４<0恒成立，所以a＝２；当a—２≠0时，则a满足错误!，解得—２<a<２，所以a的范围是{a|—２<a≤２}，故选Ｃ．6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和４的矩形，则它的体积为（）Ａ．错误!错误!Ｂ．４错误!Ｃ．错误!错误!Ｄ．４错误!或错误!错误!答案D解析分侧面矩形长、宽分别为6和４或４和6两种情况．7．已知双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!或错误!Ｄ．错误!或错误!答案D解析当双曲线焦点在x轴上时，错误!＝错误!，∴错误!＝错误!＝e２—１＝错误!，∴e２＝错误!，∴e＝错误!；当双曲线焦点在y轴上时，错误!＝错误!，∴错误!＝错误!＝e２—１＝错误!，∴e２＝错误!，∴e＝错误!.8．函数f（x）的图象如图所示，f（x）为奇函数，其定义域为（—∞，0）∪（0，＋∞），则不等式x[f（x）—f（—x）]<0的解集为（）Ａ．（—３,0）∪（0,３）Ｂ．（—∞，—３）∪（0,３）Ｃ．（—∞，—３）∪（３，＋∞）Ｄ．（—３,0）∪（３，＋∞）答案A解析由x[f（x）—f（—x）]<0得，２xf（x）<0．当x<0时，则f（x）>0，由图象知—３<x<0；当x>0时，则f（x）<0，由图象知0<x<３．二、填空题9．（２0１２·山东）若函数f（x）＝a x（a>0，a≠１）在[—１,２]上的最大值为４，最小值为m，且函数g（x）＝（１—４m）错误!在[0，＋∞）上是增函数，则a＝________.答案错误!解析讨论字母的取值，从而确定函数的最大值与最小值．若a>１，有a２＝４，a—１＝m，此时a＝２，m＝错误!，此时g（x）＝—错误!为减函数，不合题意；若0<a<１，有a—１＝４，a２＝m，故a＝错误!，m＝错误!，检验知符合题意．１0．已知数列{a n}满足：a１＝m（m为正整数），a n＋１＝错误!若a6＝１，则m所有可能的取值为________．答案４,５,３２解析根据题意可知，当a n为奇数时，a n＋１为偶数，∴由a6＝１为奇数可以判定a５为偶数，∴a５＝２a6＝２．又当a n＋１为偶数时，若a n＋１是被３除余１的数，则a n为奇数或偶数，否则a n仍为偶数．a可能为奇数也可能为偶数，∴a４＝４，依次有a３＝１，a２＝２，a１＝４，即m＝４．或者a３＝8，４a２＝１6，a１＝３２或a１＝５．１１．有四根长都为２的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是____________．答案（0,４）解析根据条件，四根长为２的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：１底面是边长为２的正三角形，三条侧棱长为２，a，a，如图（１），此时a可以取最大值，可知AD＝错误!，SD＝错误!，则有错误!<２＋错误!，即a２<8＋４错误!＝（错误!＋错误!）２，即有a<错误!＋错误!，又２a>２，∴１<a<错误!＋错误!；２构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为２，如图（２），此时a>0且a<４，即0<a<４．综上分析可知a∈（0,４）．１２．已知a>0，命题p：函数y＝a x（a≠１）在R上单调递减，命题q：不等式|x—２a|＋x>１的解集为R，若p和q有且只有一个是真命题，则a的取值范围是________．答案错误!∪（１，＋∞）解析若p真，则0<a<１；若p假，则a>１．若q真，因为函数y＝|x—２a|＋x在R上的最小值为２a，由２a>１，得a>错误!；若q假，则0<a≤错误!.１若p真q假，则0<a≤错误!；２若p假q真，则a>１．故a的取值范围是0<a≤错误!或a>１．三、解答题１３．已知函数f（x）＝—a ln x＋错误!＋x（a≠0）．（１）若曲线y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线与直线x—２y＝0垂直，求实数a的值；（２）讨论函数f（x）的单调性．解（１）由已知得f（x）的定义域为{x|x>0}，f′（x）＝—错误!—错误!＋１（x>0）．根据题意，得f′（１）＝—２，∴—a—２a２＋１＝—２，即２a２＋a—３＝0．解得a＝１或a＝—错误!.（２）∵f′（x）＝—错误!—错误!＋１＝错误!＝错误!（x>0）．１当a>0时，由f′（x）>0，及x>0得x>２a；由f′（x）<0，及x>0得0<x<２a.２当a<0时，由f′（x）>0，及x>0得x>—a；由f′（x）<0，及x>0得0<x<—a.∴当a>0时，函数f（x）在（２a，＋∞）上单调递增，在（0,２a）上单调递减；当a<0时，函数f （x）在（0，—a）上单调递减，在（—a，＋∞）上单调递增．１４．已知函数f（x）＝２a sin２x—２错误!a sin x cos x＋a＋b（a≠0）的定义域是错误!，值域是[—５,１]，求常数a，b的值．解f（x）＝２a·错误!（１—cos ２x）—错误!a sin ２x＋a＋b＝—２a错误!＋２a＋b＝—２a sin错误!＋２a＋b，又∵0≤x≤错误!，∴错误!≤２x＋错误!≤错误!π，∴—错误!≤sin错误!≤１．因此，由f（x）的值域为[—５,１]可得错误!或错误!解得错误!或错误!.。

专题一数学思想方法第一讲函数与方程思想１．函数与方程思想的含义（１）函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．（２）方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．２．函数与方程的思想在解题中的应用（１）函数与不等式的相互转化，对函数y＝f（x），当y>0时，就化为不等式f（x）>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．（２）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．（３）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．（４）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．１．（２0１３·陕西）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于３00 m２的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是（）Ａ．[１５,２0] Ｂ．[１２,２５]Ｃ．[１0,３0] Ｄ．[２0,３0]答案C解析如图，△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则错误!＝错误!２＝错误!２，所以y＝４0—x，由题意知xy≥３00，即x（４0—x）≥３00，整理得x２—４0x＋３00≤0，解不等式得１0≤x≤３0．２．（２0１３·课标全国Ⅱ）设a＝log３6，b＝log５１0，c＝log7１４，则（）Ａ．c>b>aＢ．b>c>aＣ．a>c>bＤ．a>b>c答案D解析设a＝log３6＝１＋log３２＝１＋错误!，b＝log５１0＝１＋log５２＝１＋错误!，c＝log7１４＝１＋log7２＝１＋错误!，显然a>b>c.３．（２0１２·浙江）设a>0，b>0，e是自然对数的底数（）Ａ．若e a＋２a＝e b＋３b，则a>bＢ．若e a＋２a＝e b＋３b，则a<bＣ．若e a—２a＝e b—３b，则a>bＤ．若e a—２a＝e b—３b，则a<b答案A解析当0<a≤b时，显然e a≤e b，且２a≤２b<３b，∴e a＋２a<e b＋３b，即e a＋２a≠e b＋３b成立，则a>b成立，故A正确，B错误；当0<a≤b，由e a≤e b，２a<３b，知e a—２a与e b—３b的大小关系不确定，故C错误；同理，D错误．４．（２0１３·北京）若等比数列{a n}满足a２＋a４＝２0，a３＋a５＝４0，则公比q＝________；前n项和S n＝________.答案２２n＋１—２解析设等比数列的公比为q，由a２＋a４＝２0，a３＋a５＝４0．∴２0q＝４0，且a１q＋a１q３＝２0，解之得q＝２，且a１＝２．因此S n＝错误!＝２n＋１—２．５．（２0１３·安徽）已知直线y＝a交抛物线y＝x２于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．答案[１，＋∞）解析以AB为直径的圆的方程为x２＋（y—a）２＝a，由错误!得y２＋（１—２a）y＋a２—a＝0．即（y—a）[y—（a—１）]＝0，则由题意得错误!解得a≥１．题型一利用函数与方程思想求解最值、范围问题例１（１）设直线x＝t与函数f（x）＝x２，g（x）＝ln x的图象分别交于点M、N，则当|MN|达到最小时t的值为（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）若a，b是正数，且满足ab＝a＋b＋３，则ab的取值范围为________．审题破题（１）由题意可知|MN|＝f（x）—g（x）＝x２—ln x，因此该问题可转化为：求x为何值时，函数F（x）＝x２—ln x取得最小值．（２）由ab＝a＋b＋３变形可得b＝错误!，从而求ab＝错误!的取值范围问题可转化为求函数f（a）＝错误!的值域问题；若设ab＝t，则a＋b＝t—３，从而a，b可看成方程x２—（t—３）x＋t＝0的两根，利用方程的思想解决．答案（１）D （２）[9，＋∞）解析（１）可知|MN|＝f（x）—g（x）＝x２—ln x.令F（x）＝x２—ln x，则F′（x）＝２x—错误!＝错误!，所以当0<x<错误!时，F′（x）<0，F（x）单调递减；当x>错误!时，F′（x）>0，F（x）单调递增，故当x＝错误!时，F（x）有最小值，即|MN|达到最小．（２）方法一（看成函数的值域）∵ab＝a＋b＋３，a≠１，∴b＝错误!.而b>0，∴错误!>0．即a>１或a<—３，又a>0，∴a>１，故a—１>0．∴ab＝a·错误!＝错误!＝（a—１）＋错误!＋５≥9．当且仅当a—１＝错误!，即a＝３时取等号．∴ab的取值范围是[9，＋∞）．方法二若设ab＝t，则a＋b＝t—３，所以a，b可看成方程x２—（t—３）x＋t＝0的两个正根．从而有错误!即错误!解得t≥9，即ab≥9．所以ab的取值范围是[9，＋∞）．反思归纳（１）求参数的取值范围，一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式（组）求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．（２）当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系减少变量的个数，如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．变式训练１若点O和点F（—２,0）分别是双曲线错误!—y２＝１（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则错误!·错误!的取值范围为（）Ａ．[３—２错误!，＋∞）Ｂ．[３＋２错误!，＋∞）Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析因为F（—２,0）是已知双曲线的左焦点，所以a２＋１＝４，即a２＝３，所以双曲线方程为错误!—y２＝１．设点P（x0，y0），则有错误!—y错误!＝１（x0≥错误!），解得y错误!＝错误!—１（x0≥错误!），因为错误!＝（x0＋２，y0），错误!＝（x0，y0），所以错误!·错误!＝x0（x0＋２）＋y错误!＝x0（x0＋２）＋错误!—１＝错误!＋２x0—１，此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线x0＝—错误!，因为x0≥错误!，所以当x0＝错误!时，错误!·错误!取得最小值错误!×３＋２错误!—１＝３＋２错误!，故错误!·错误!的取值范围是[３＋２错误!，＋∞）．题型二利用函数与方程思想研究方程根的问题例２如果方程cos２x—sin x＋a＝0在（0，错误!]上有解，求a的取值范围．审题破题可分离变量为a＝—cos２x＋sin x，转化为确定的相关函数的值域．解方法一设f（x）＝—cos２x＋sin x（x∈（0，错误!]）．显然当且仅当a属于f（x）的值域时，a＝f（x）有解．∵f（x）＝—（１—sin２x）＋sin x＝（sin x＋错误!）２—错误!，且由x∈（0，错误!]知sin x∈（0,１]．易求得f（x）的值域为（—１,１]．故a的取值范围是（—１,１]．方法二令t＝sin x，由x∈（0，错误!]，可得t∈（0,１]．将方程变为t２＋t—１—a＝0．依题意，该方程在（0,１]上有解．设f（t）＝t２＋t—１—a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝—错误!，如图所示．因此f（t）＝0在（0,１]上有解等价于错误!，即错误!，∴—１<a≤１．故a的取值范围是（—１,１]．反思归纳研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．变式训练２已知方程9x—２·３x＋（３k—１）＝0有两个实根，求实数k的取值范围．解令３x＝t，则方程化为t２—２t＋（３k—１）＝0；（*）要使原方程有两个实根，方程（*）必须有两个正根，∴错误!解得错误!<k≤错误!.故实数k的取值范围是错误!.题型三利用函数与方程思想求解不等式问题例３已知f（t）＝log２t，t∈[错误!，8]，对于f（t）值域内的所有实数m，不等式x２＋mx＋４>２m ＋４x恒成立，求x的取值范围．审题破题本题可先求出m的范围，不等式x２＋mx＋４>２m＋４x恒成立可转化为函数g（m）＝m（x—２）＋（x—２）２的值恒大于0．解∵t∈[错误!，8]，∴f（t）∈错误!.原题转化为当m∈错误!时，不等式x２＋mx＋４>２m＋４x恒成立，即m（x—２）＋（x—２）２>0恒成立．令g（m）＝m（x—２）＋（x—２）２，m∈错误!，问题转化为g（m）在m∈错误!上恒大于0，则错误!即错误!解得x>２或x<—１．反思归纳在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．变式训练３设不等式２x—１>m（x—１）对满足|m|≤２的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．（２，＋∞）Ｃ．错误!Ｄ．（—∞，２）答案C解析原不等式即（x—１）m—（２x—１）<0，设f（m）＝（x—１）m—（２x—１），则问题转化为求一次函数f（m）的值在区间[—２,２]内恒为负时应满足的条件，得错误!即错误!解得x>错误!.题型四利用函数与方程思想解决数列问题例４设数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n２—４n＋４．（１）求数列{a n}的通项公式；（２）设b n＝错误!，数列{b n}的前n项和为T n，求证：错误!≤T n<１．审题破题可将T n看作关于自然数n的函数，通过函数的单调性来证明不等式．（１）解当n＝１时，a１＝S１＝１．当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝n２—４n＋４—[（n—１）２—４（n—１）＋４]＝２n—５．∵a１＝１不适合上式，∴a n＝错误!.（２）证明由题意知b n＝错误!＝错误!.当n＝１时，T１＝错误!，当n≥２时，T n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，１错误!T n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!，２１—２得：错误!T n＝错误!—错误!＋２错误!—错误!＝错误!错误!—错误!，∴T n＝１—错误!（n≥２），当n＝１时也适合上式．故T n＝１—错误!（n∈N*）．∵错误!>0 （n∈N*），∴T n<１．当n≥２时，T n＋１—T n＝错误!—错误!＝错误!>0，∴T n<T n＋１（n≥２）．∵T１＝错误!，T２＝１—错误!＝错误!，∴T２<T１.故T n≥T２，即T n≥错误!（n∈N*）．综上，错误!≤T n<１（n∈N*）．反思归纳（１）数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解．（２）数列不等式问题，可以通过变形、整理，转化为数列所对应的函数的单调性问题解决．变式训练４（２0１２·浙江）设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错．误．的是（）Ａ．若d<0，则数列{S n}有最大项Ｂ．若数列{S n}有最大项，则d<0Ｃ．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n>0Ｄ．若对任意n∈N*，均有S n>0，则数列{S n}是递增数列答案C解析设{a n}的首项为a１，则S n＝na１＋错误!n（n—１）d＝错误!n２＋错误!n.由二次函数性质知S n有最大值时，则d<0，故A、B正确；因为{S n}为递增数列，则d>0，不妨设a１＝—１，d＝２，显然{S n}是递增数列，但S１＝—１<0，故C错误；对任意n∈N*，S n均大于0时，a１>0，d>0，{S n}必是递增数列，D正确．典例（１４分）（２0１２·北京）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的一个顶点为A（２,0），离心率为错误!.直线y＝k（x—１）与椭圆C交于不同的两点M，N.（１）求椭圆C的方程．（２）当△AMN的面积为错误!时，求k的值．规范解答解（１）由题意得错误!解得b＝错误!.所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．[４分]（２）由错误!得（１＋２k２）x２—４k２x＋２k２—４＝0．[５分]设点M，N的坐标分别为（x１，y１），（x２，y２），则y１＝k（x１—１），y２＝k（x２—１），x１＋x２＝错误!，x１x２＝错误!.[8分]所以|MN|＝错误!＝错误!＝错误!.[１0分]又因为点A（２,0）到直线y＝k（x—１）的距离d＝错误!，所以△AMN的面积为S＝错误!|MN|·d＝错误!.[１２分]由错误!＝错误!，解得k＝±１．∴k的值为１或—１．[１４分]评分细则（１）不列方程没有a２＝b２＋c２，扣１分；（２）求|MN|时直接使用弦长公式没有中间变形，扣１分；（３）最后结论不写不扣分．阅卷老师提醒（１）本题易错点：不会整合题目条件，没有列出方程求b、c；运算能力较差，用弦长表示面积出现计算错误；（２）阅卷中发现考生的快捷解法：直线y＝k（x—１）过定点T（１,0），则S△AMN＝错误!·|AT|·|y１—y２|，大大简化运算过程．１．在正实数集上定义一种运算“*”：当a≥b时，a*b＝b３；当a<b时，a*b＝b２，则满足３*x=２7的x的值为（）Ａ．３Ｂ．１或9Ｃ．１或错误!Ｄ．３或３错误!答案D解析由题意得错误!或错误!，解得x＝３或３错误!.２．（２0１２·课标全国）设F１，F２是椭圆E：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左，右焦点，P为直线x ＝错误!上一点，△F２PF１是底角为３0°的等腰三角形，则E的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析由题意，知∠F２F１P＝∠F２PF１＝３0°，∴∠PF２x＝60°.∴|PF２|＝２×错误!＝３a—２c.∵|F１F２|＝２c，|F１F２|＝|PF２|，∴３a—２c＝２c，∴e＝错误!＝错误!.３．方程x２—错误!x—m＝0在x∈[—１,１]上有实根，则m的取值范围是（）Ａ．m≤—错误!Ｂ．—错误!<m<错误!Ｃ．m≥错误!Ｄ．—错误!≤m≤错误!答案D解析m＝x２—错误!x＝错误!２—错误!，x∈[—１,１]．当x＝—１时，m取最大值为错误!，当x＝错误!时，m取最小值为—错误!，∴—错误!≤m≤错误!.４．已知函数f（x）＝错误!x，等比数列{a n}的前n项和为f（n）—c，则a n的最小值为（）Ａ．—１Ｂ．１Ｃ．错误!Ｄ．—错误!答案D解析由题设，得a１＝f（１）—c＝错误!—c；a２＝[f（２）—c]—[f（１）—c]＝—错误!；a３＝[f（３）—c]—[f（２）—c]＝—错误!，又数列{a n}是等比数列，∴错误!２＝错误!×错误!，∴c＝１．又∵公比q＝错误!＝错误!，所以a n＝—错误!错误!n—１＝—２错误!n，n∈N*.因此，数列{a n}是递增数列，∴n＝１时，a n有最小值a１＝—错误!.５．对于满足0≤p≤４的实数p，使x２＋px>４x＋p—３恒成立的x的取值范围是__________．答案（—∞，—１）∪（３，＋∞）解析x２＋px>４x＋p—３对于0≤p≤４恒成立可以变形为x２—４x＋３＋p（x—１）>0对于0≤p≤４恒成立，所以一次函数f（p）＝（x—１）p＋x２—４x＋３在区间[0,４]上的最小值大于0，即错误!，所以x的取值范围是（—∞，—１）∪（３，＋∞）．6．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）>0，且g（—３）＝0，则不等式f（x）g（x）<0的解集是________．答案（—∞，—３）∪（0,３）解析设F（x）＝f（x）g（x），由于f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F（—x）＝f（—x）·g（—x）＝—f（x）g（x）＝—F（x），即F（x）为奇函数．又当x<0时，F′（x）＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）>0，所以x<0时，F（x）为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x>0时，F（x）也是增函数．因为F（—３）＝f（—３）g（—３）＝0＝—F（３）．所以F（x）<0的解集是（—∞，—３）∪（0,３）（草图如图所示）．专题限时规范训练一、选择题１．函数f（x）的定义域为R，f（—１）＝２，对任意x∈R，f′（x）>２，则f（x）>２x＋４的解集为（）Ａ．（—１,１）Ｂ．（—１，＋∞）Ｃ．（—∞，—１）Ｄ．（—∞，＋∞）答案B解析设φ（x）＝f（x）—（２x＋４），则φ′（x）＝f′（x）—２>0，∴φ（x）在R上为增函数，又φ（—１）＝f（—１）—（—２＋４）＝0，∴由φ（x）>0可得x>—１．故f（x）>２x＋４的解集为（—１，＋∞）．２．若函数f（x）、g（x）分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）—g（x）＝e x，则有（）Ａ．f（２）<f（３）<g（0）Ｂ．g（0）<f（３）<f（２）Ｃ．f（２）<g（0）<f（３）Ｄ．g（0）<f（２）<f（３）答案D解析由题意得f（x）—g（x）＝e x，f（—x）—g（—x）＝e—x，即—f（x）—g（x）＝e—x，由此解得f（x）＝错误!，g（x）＝—错误!，g（0）＝—１，函数f（x）＝错误!在R上是增函数，且f（３）>f（２）＝错误!>0，因此g（0）<f（２）<f（３），选Ｄ．３．设函数D（x）＝错误!则下列结论错误的是（）Ａ．D（x）的值域为{0,１} Ｂ．D（x）是偶函数Ｃ．D（x）不是周期函数Ｄ．D（x）不是单调函数答案C解析利用函数的单调性、奇偶性、周期性定义判断可得．由已知条件可知，D（x）的值域是{0,１}，选项A正确；当x是有理数时，—x也是有理数，且D（—x）＝１，D（x）＝１，故D（—x）＝D（x），当x是无理数时，—x也是无理数，且D（—x）＝0，D（x）＝0，即D（—x）＝D（x），故D（x）是偶函数，选项B正确；当x是有理数时，对于任一非零有理数a，x＋a是有理数，且D（x＋a）＝１＝D（x），当x是无理数时，对于任一非零有理数b，x＋b是无理数，所以D（x＋b）＝D（x）＝0，故D（x）是周期函数，但不存在最小正周期，选项C不正确；由实数的连续性易知，不存在区间I，使D（x）在区间I上是增函数或减函数，故D（x）不是单调函数，选项D正确．４．等比数列{a n}的前n项和为S n，且４a１,２a２，a３成等差数列，若a１＝１，则S４等于（）Ａ．7 Ｂ．8 Ｃ．１５Ｄ．１6答案C解析设等比数列{a n}的公比为q，则由４a１,２a２，a３成等差数列，得４a２＝４a１＋a３.∴４a１q＝４a１＋a１q２.∴q２—４q＋４＝0．∴q＝２，∴S４＝错误!＝１５．５．（２0１２·陕西）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a２＋b２＝２c２，则cos C的最小值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!答案C解析∵cos C＝错误!＝错误!，又∵a２＋b２≥２ab，∴２ab≤２c２.∴cos C≥错误!.∴cos C的最小值为错误!.6．若a>１，则双曲线错误!—错误!＝１的离心率e的取值范围是（）Ａ．（１，错误!）Ｂ．（错误!，错误!）Ｃ．[错误!，错误!] Ｄ．（错误!，错误!）答案B解析e２＝错误!２＝错误!＝１＋错误!２，因为当a>１时，0<错误!<１，所以２<e２<５，即错误!<e<错误!.7．设函数f（x）＝x３＋sin x，若0≤θ≤错误!时，f（m cos θ）＋f（１—m）>0恒成立，则实数m的取值范围是（）Ａ．（0,１）Ｂ．（—∞，0）Ｃ．（—∞，１）Ｄ．错误!答案C解析易知f（x）为奇函数且为增函数，f（m cos θ）＋f（１—m）>0，即f（m cos θ）>f（m—１），∴m cos θ>m—１，而0≤θ≤错误!时，cos θ∈[0,１]，∴错误!得m<１．8．若不等式错误!>0的解集为{x|—１<x<２}，则不等式错误!<0的解集是（）Ａ．{x|错误!<x<１} Ｂ．{x|x<错误!或x>２}Ｃ．{x|—错误!<x<１} Ｄ．{x|x<—１或x>２}答案A解析错误!>0⇔（ax—１）（x＋b）>0，转化为x１＝—１，x２＝２是方程（ax—１）（x＋b）＝0的两个根（且a<0），即错误!解得错误!，∴错误!＝错误!<0⇒错误!<x<１．故选Ａ．二、填空题9．若关于x的方程（２—２—|x—２|）２＝２＋a有实根，则实数a的取值范围是________．答案[—１,２）解析令f（x）＝（２—２—|x—２|）２.要使f（x）＝２＋a有实根，只需２＋a是f（x）的值域内的值．∵f（x）的值域为[１,４），∴１≤a＋２<４，∴—１≤a<２．１0．已知圆x２＋y２＋２x—４y＋１＝0关于直线２ax—by＋２＝0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是____________．答案（—∞，错误!]解析圆心坐标为（—１,２），因为圆关于直线对称，所以—２a—２b＋２＝0即a＋b—１＝0，∴ab＝a（１—a）＝—a２＋a＝—（a—错误!）２＋错误!≤错误!.１１．已知△ABC的一个内角为１２0°，并且三边长构成公差为４的等差数列，则△ABC的面积为________．答案１５错误!解析由于三边长构成公差为４的等差数列，故可设三边长分别为x—４，x，x＋４．由一个内角为１２0°知其必是最长边x＋４所对的角．由余弦定理得（x＋４）２＝x２＋（x—４）２—２x（x—４）cos １２0°，∴２x２—２0x＝0，∴x＝0（舍去）或x＝１0．∴S△ABC＝错误!×（１0—４）×１0×sin １２0°＝１５错误!.１２．已知数列{a n}是递增数列，且对于任意的n∈N*，a n＝n２＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．答案λ＞—３解析由{a n}是递增数列，得a n＜a n＋１对n∈N*恒成立，即n２＋λn＜（n＋１）２＋λ（n＋１），整理得λ＞—（２n＋１）．而—（２n＋１）≤—３，所以λ＞—３．三、解答题１３．已知函数f（x）＝ax２＋ax和g（x）＝x—a，其中a∈R，且a≠0．若函数f（x）与g（x）的图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试求△OAB的面积S的最大值．解依题意，f（x）＝g（x），即ax２＋ax＝x—a，整理得ax２＋（a—１）x＋a＝0，１∵a≠0，函数f（x）与g（x）的图象相交于不同的两点A、B，∴Δ>0，即Δ＝（a—１）２—４a２＝—３a２—２a＋１＝（３a—１）·（—a—１）>0，∴—１<a<错误!且a≠0．设A（x１，y１），B（x２，y２），且x１<x２，由１得x１x２＝１>0，x１＋x２＝—错误!.设点O到直线g（x）＝x—a的距离为d，则d＝错误!，∴S＝错误!错误!|x１—x２|·错误!＝错误!错误!＝错误!错误!.∵—１<a<错误!且a≠0，∴当a＝—错误!时，S取得最大值错误!.１４．椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为错误!，离心率为错误!，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且错误!＝３错误!.（１）求椭圆C的方程；（２）求m的取值范围．解（１）设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），设c>0，c２＝a２—b２，由题意，知２b＝错误!，错误!＝错误!，所以a＝１，b＝c＝错误!.故椭圆C的方程为y２＋错误!＝１，即y２＋２x２＝１．（２）设直线l的方程为y＝kx＋m（k≠0），l与椭圆C的交点坐标为A（x１，y１），B（x２，y２），由错误!得（k２＋２）x２＋２kmx＋m２—１＝0，Δ＝（２km）２—４（k２＋２）（m２—１）＝４（k２—２m２＋２）>0，（*）x１＋x２＝错误!，x１x２＝错误!.因为错误!＝３错误!，所以—x１＝３x２，所以错误!所以３（x１＋x２）２＋４x１x２＝0．所以３·错误!２＋４·错误!＝0．整理得４k２m２＋２m２—k２—２＝0，即k２（４m２—１）＋（２m２—２）＝0．当m２＝错误!时，上式不成立；当m２≠错误!时，k２＝错误!，由（*）式，得k２>２m２—２，又k≠0，所以k２＝错误!>0．解得—１<m<—错误!或错误!<m<１．即所求m的取值范围为错误!∪错误!.。

1.已知函数 f(x)＝|x＋ 2|－ 2|x－ 1|.(1)解不等式 f(x)≥－ 2.(2)对随意 x∈ [a，＋∞ )，都有 f(x)≤x－a 建立，务实数 a 的取值范围 .x－4，x≤－ 2，解 (1)f(x)＝ 3x，－ 2＜x＜1，f(x)≥－ 2，－x＋4，x≥1，当 x≤－ 2 时， x－4≥－ 2，即 x≥2，所以 x∈?；2当－ 2＜x＜1 时， 3x≥－ 2，即 x≥－3，2所以－3≤ x＜ 1，当 x≥1 时，－ x＋4≥－ 2，即 x≤6，所以 1≤x≤ 6，2综上，不等式 f(x)≥－ 2 的解集为 x －3≤ x≤ 6 .x－4，x≤－ 2，(2)f(x)＝3x，－ 2＜x＜1，函数 f(x)的图象如下图：－x＋ 4， x≥ 1，令 y＝x－a，－ a 表示直线的纵截距，当直线过 (1，3)点时，－ a＝2；所以当－ a≥2，即 a≤－ 2 时建立；a当－ a＜2，即 a＞－ 2 时，令－ x＋4＝x－a，得 x＝2＋2，a所以 a≥ 2＋2，即 a≥4 时建立，综上可知 a 的取值范围为 (－∞，－ 2]∪[4，＋∞ ).2.已知函数 f(x)＝m－ |x－2|，m∈R，且 f(x＋2)≥0 的解集为 [－1，1]. (1)求 m 的值；1 11(2)若 a，b，c 大于 0，且a＋2b＋3c＝m，求证： a＋2b＋3c≥ 9. (1)解∵f(x＋ 2)＝m－|x|，∴f(x＋2)≥0 等价于 |x|≤ m.由|x|≤ m 有解，得 m≥ 0 且其解集为 { x|－m≤x≤m}.又 f(x＋2)≥ 0 的解集为 [－ 1， 1]，故 m＝1.(2)证明1 11由 (1)知 a＋2b＋3c＝ 1，且a，b，c 大于0，1 11a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) a＋2b＋3c＝3＋2b a3c a3c2b a＋2b＋a＋3c＋2b＋3c≥3＋22b a＋23c a3c 2b ··＋ 2·＝ 9.a 2b a 3c2b 3c当且仅当 a＝2b＝3c＝ 3 时，等号建立 .所以 a＋ 2b＋3c≥9.3.已知函数 f(x)＝|2x－a|＋ |2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.(1)解不等式： |g(x)|＜5.(2)若对随意的 x1∈R，都有 x2∈R，使得 f(x1)＝ g(x2)建立，务实数 a 的取值范围 .解 (1)由||x－ 1|＋2|＜5 得－ 5＜|x－1|＋2＜5，所以－ 7＜ |x－1|＜3，可得不等式的解集为 (－ 2， 4).(2)因为随意 x1∈R，都有 x2∈R，使得 f(x1 )＝g(x2)建立，所以 { y|y＝f(x)} ? { y|y＝ g(x)} ，又 f(x)＝ |2x－a|＋ |2x＋ 3|≥ |(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋ 2≥2，所以 |a＋ 3|≥2，解得 a≥－ 1 或 a≤－ 5，所以实数 a 的取值范围为 (－∞，－ 5]∪[ －1，＋∞ ).4.设 a，b，c>0，且 ab＋bc＋ca＝1.求证： (1)a＋b＋c≥3；a (2)bc＋bac＋cab≥3(a＋b＋c).证明(1)要证a＋b＋c≥3，因为 a， b， c>0，所以只要证明 (a＋b＋c)2≥ 3.即证： a2＋b2＋c2＋ 2(ab＋bc＋ca)≥3，而 ab＋bc＋ca＝1，故需证明： a2＋ b2＋c2＋2(ab＋bc＋ ca)≥ 3(ab＋bc＋ca).即证： a2＋b2＋c2≥ ab＋bc＋ca.22222＋a2当且仅当＝＝而这能够由 ab＋bc＋ ca≤a＋b＋b ＋c＋c＝ a2＋b2＋c2(222 a b c 时等号建立 )证得 .∴原不等式建立 .(2) a ＋ b ＋ c ＝a＋b＋c.bc ac ab abc因为 (1)中已证 a＋b＋c≥ 3.所以要证原不等式建立，只要证明1≥ a＋ b＋ c. abc即证 a bc＋ b ac＋c ab≤1，即证 a bc＋ b ac＋c ab≤ab＋ bc＋ca.而 a bc＝ ab·ac≤ab＋ac2，≤ab＋bc，c ab≤bc＋ acb ac22.∴a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ ca (a＝ b＝ c＝3时等号建立 ).∴原不等式建立 . 35.(2016 许·昌、新乡、平顶山模拟)(1)解不等式： |2x－1|－|x|＜ 1；(2)设 f(x)＝x2－ x＋1，实数 a 知足 |x－a|＜1，求证： |f(x)－ f(a)|＜2(|a|＋ 1).(1)解当x＜0时，原不等式可化为－2x＋x＜0，解得 x＞ 0，又∵ x＜0，∴ x 不存在；1当 0≤x＜2时，原不等式可化为－ 2x－ x＜ 0，解得11 x＞ 0，又∵ 0≤x＜ 2，∴ 0＜x＜2；1当 x≥2时，原不等式可化为2x－ 1－ x＜ 1.11解得 x＜ 2，又∵ x≥2，∴2≤ x＜2，综上，原不等式的解集为{ x|0＜ x＜ 2}. (2)证明|f(x)－ f(a)|＝|x2－x－ a2＋a|＝|x－a| ·|x＋a－1|＜|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋ |2a－1|＜1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)，∴ |f(x)－ f(a)|＜2(|a|＋ 1).116.(2016 全·国 Ⅱ卷 )已知函数 f(x)＝ x －2 ＋ x ＋2 ，M 为不等式 f(x)<2 的解集 .(1)求 M ；(2)证明：当 a ，b ∈M 时， |a ＋b|<|1＋ab|.－ 2x ，x ≤－ 1，2 (1)解 f(x)＝1 11，－ <x< ，2212x ，x ≥2.1当 x ≤－ 2时，由 f(x)<2 得－ 2x<2，1解得 x>－1，所以－ 1<x ≤－ 2；11当－ 2<x<2时， f(x)<2；1当 x ≥2时，由 f(x)<2 得 2x<2，解得 x<1，1所以－ 2<x<1.所以 f(x)<2 的解集 M ＝{ x|－1<x<1}.(2)证明由 (1)知，当 a ， b ∈ M 时，－ 1<a<1，－ 1<b<1，进而 (a ＋ b)2－ (1＋ab)2＝a 2＋ b 2－a 2b 2－ 1＝(a 2－1)(1－b 2)<0，即 (a ＋ b)2<(1＋ab)2，所以 |a ＋ b|<|1＋ ab|.。

第四讲转化与化归思想１．转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．２．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性．３．转化与化归思想的原则（１）熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．（２）简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的．（３）具体化原则：化归方向应由抽象到具体．（４）和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．（５）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决．１．（２0１２·北京）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a１＝错误!，S２＝a３，则a２＝________.答案１解析设出等差数列的公差，列方程求解．设{a n}的公差为d，由S２＝a３知，a１＋a２＝a３，即２a１＋d＝a１＋２d，又a１＝错误!，所以d＝错误!，故a２＝a１＋d＝１．２．（２0１３·重庆）４cos ５0°—tan ４0°等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２错误!—１答案C解析４cos ５0°—tan ４0°＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.３．（２0１２·重庆）已知a＝log２３＋log２错误!，b＝log２9—log２错误!，c＝log３２，则a，b，c 的大小关系是（）Ａ．a＝b<cＢ．a＝b>cＣ．a<b<cＤ．a>b>c答案B解析∵a＝log２３＋log２错误!＝log２３错误!，b＝log２9—log２错误!＝log２３错误!，∴a＝b.又∵函数y＝log a x（a>１）为增函数，∴a＝log２３错误!>log２２＝１，c＝log３２<log３３＝１，∴a＝b>c.４．（２0１１·天津）对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝错误!设函数f（x）＝（x２—２）⊗（x—１），x∈R.若函数y＝f（x）—c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）Ａ．（—１,１]∪（２，＋∞）Ｂ．（—２，—１]∪（１,２]Ｃ．（—∞，—２）∪（１,２] Ｄ．[—２，—１]答案B解析依题意可得f（x）＝错误!作出其示意图如图所示．由数形结合知，实数c需有１<c≤２或—２<c≤—１，故选Ｂ．５．（２0１３·山东）设正实数x，y，z满足x２—３xy＋４y２—z＝0，则当错误!取得最大值时，错误!＋错误!—错误!的最大值为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．错误!Ｄ．３答案B解析由已知得z＝x２—３xy＋４y２（*）则错误!＝错误!＝错误!≤１，当且仅当x＝２y时取等号，把x＝２y代入（*）式，得z＝２y２，所以错误!＋错误!—错误!＝错误!＋错误!—错误!＝—错误!２＋１≤１．题型一特殊与一般的转化例１（１）错误!，错误!，错误!（其中e为自然常数）的大小关系是（）Ａ．错误!＜错误!＜错误!Ｂ．错误!＜错误!＜错误!Ｃ．错误!＜错误!＜错误!Ｄ．错误!＜错误!＜错误!（２）在定圆C：x２＋y２＝４内过点P（—１,１）作两条互相垂直的直线与C分别交于A，B和M，N，则错误!＋错误!的范围是________．审题破题（１）观察几个数的共同特征，可以构造函数，利用函数的单调性比较数的大小；（２）由于题目条件中过点P（—１,１）可作无数对互相垂直的直线，因此可取特殊位置的两条直线来解决问题．答案（１）A （２）错误!解析（１）由于错误!＝错误!，错误!＝错误!，错误!＝错误!，故可构造函数f（x）＝错误!，于是f （４）＝错误!，f（５）＝错误!，f（6）＝错误!.而f′（x）＝错误!′＝错误!＝错误!，令f′（x）＞0得x＜0或x＞２，即函数f（x）在（２，＋∞）上单调递增，因此有f（４）＜f（５）＜f（6），即错误!＜错误!＜错误!.（２）设错误!＝t，考虑特殊情况：当AB垂直OP时，MN过点O，|AB|最小，|MN|最大，所以t＝错误!，t最大＝错误!.所以t∈错误!.又因为t＋错误!≥２错误!＝２，所以t＋错误!∈错误!.最小反思归纳当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡，这就是特殊化的化归策略．数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题．变式训练１已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a１、a３、a9成等比数列，则错误!的值是________．答案错误!解析由题意知，只要满足a１、a３、a9成等比数列的条件，{a n}取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列a n＝n（n∈N*），则错误!＝错误!＝错误!.题型二正难则反转化例２若对于任意t∈[１,２]，函数g（x）＝x３＋错误!x２—２x在区间（t,３）上总不为单调函数，则实数m的取值范围是__________．审题破题函数总不为单调函数不易求解，可考虑其反面情况：g（x）在区间（t,３）上为单调函数．答案—错误!<m<—５解析g′（x）＝３x２＋（m＋４）x—２，若g（x）在区间（t,３）上总为单调函数，则１g′（x）≥0在（t,３）上恒成立，或２g′（x）≤0在（t,３）上恒成立．由１得３x２＋（m＋４）x—２≥0，即m＋４≥错误!—３x在x∈（t,３）上恒成立，∴m＋４≥错误!—３t恒成立，则m＋４≥—１，即m≥—５；由２得m＋４≤错误!—３x在x∈（t,３）上恒成立，则m＋４≤错误!—9，即m≤—错误!.∴函数g（x）在区间（t,３）上总不为单调函数的m的取值范围为—错误!<m<—５．反思归纳正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想．一般有两种情形：正面解决比较困难，正面出现多种情形，可考虑从反面解决，体现了对立统一，相互转化的思想．变式训练２（２0１２·北京）已知f（x）＝m（x—２m）（x＋m＋３），g（x）＝２x—２，若任意x∈R，f（x）<0或g（x）<0，则m的取值范围是________．答案（—４,0）解析将问题转化为g（x）<0的解集的补集是f（x）<0的解集的子集求解．∵g（x）＝２x—２<0，∴x<１．又任意x∈R，f（x）<0或g（x）<0，∴[１，＋∞）是f（x）<0的解集的子集．又由f（x）＝m（x—２m）（x＋m＋３）<0知m不可能大于等于0，因此m<0．当m<0时，f（x）<0，即（x—２m）（x＋m＋３）>0，若２m＝—m—３，即m＝—１，此时f（x）<0的解集为{x|x≠—２}，满足题意；若２m>—m—３，即—１<m<0，此时f（x）<0的解集为{x|x>２m或x<—m—３}，依题意２m<１，即—１<m<0；若２m<—m—３，即m<—１，此时f（x）<0的解集为{x|x<２m或x>—m—３}，依题意—m—３<１，∴m>—４，∴—４<m<—１．综上可知，满足条件的m的取值范围是—４<m<0．题型三函数、方程、不等式之间的转化例３设函数f（x）＝错误!x３—（１＋a）x２＋４ax＋２４a，其中常数a>１．（１）讨论f（x）的单调性；（２）若当x≥0时，f（x）>0恒成立，求a的取值范围．审题破题（１）求f′（x）＝0的根，比较两根的大小、确定区间，讨论f（x）的单调性；（２）将f（x）>0恒成立转化为f（x）的最小值大于0．解（１）f′（x）＝x２—２（１＋a）x＋４a＝（x—２）（x—２a）．由已知a>１，∴２a>２，∴令f′（x）>0，解得x>２a或x<２，∴当x∈（—∞，２）和x∈（２a，＋∞）时，f（x）单调递增，当x∈（２,２a）时，f（x）单调递减．综上，当a>１时，f（x）在区间（—∞，２）和（２a，＋∞）上是增函数，在区间（２,２a）上是减函数．（２）由（１）知，当x≥0时，f（x）在x＝２a或x＝0处取得最小值．f（２a）＝错误!（２a）３—（１＋a）（２a）２＋４a·２a＋２４a＝—错误!a３＋４a２＋２４a＝—错误!a（a—6）（a＋３），f（0）＝２４a.由题设知错误!即错误!解得１<a<6．故a的取值范围是（１,6）．反思归纳函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值（值域）问题，从而求出参变量的范围．变式训练３已知函数f（x）＝eln x，g（x）＝错误!f（x）—（x＋１）．（e＝２．7１8……）（１）求函数g（x）的极大值；（２）求证：１＋错误!＋错误!＋…＋错误!>ln（n＋１）（n∈N*）．（１）解∵g（x）＝错误!f（x）—（x＋１）＝ln x—（x＋１），∴g′（x）＝错误!—１（x>0）．令g′（x）>0，解得0<x<１；令g′（x）<0，解得x>１．∴函数g（x）在（0,１）上单调递增，在（１，＋∞）上单调递减，∴g（x）极大值＝g（１）＝—２．（２）证明由（１）知x＝１是函数g（x）的极大值点，也是最大值点，∴g（x）≤g（１）＝—２，即ln x—（x＋１）≤—２⇒ln x≤x—１（当且仅当x＝１时等号成立），令t＝x—１，得t≥ln（t＋１），取t＝错误!（n∈N*），则错误!>ln错误!＝ln错误!，∴１>ln ２，错误!>ln 错误!，错误!>ln 错误!，…，错误!>ln错误!，叠加得１＋错误!＋错误!＋…＋错误!>ln（２·错误!·错误!·…·错误!）＝ln（n＋１）.典例（１４分）已知函数f（x）＝错误!x３＋错误!x２＋错误!x（a是小于１的正实数，x∈R）．若对于任意的三个实数x１，x２，x３∈[１,２]，都有f（x１）＋f（x２）>f（x３）恒成立，求实数a的取值范围．规范解答解因为f′（x）＝x２＋错误!x＋错误!＝错误!（x＋a—２），所以令f′（x）＝0，解得x１＝错误!，x＝２—a. [２分]２由0<a<１，知１<２—a<２．[４分]所以令f′（x）>0，得x<错误!，或x>２—a；令f′（x）<0，得错误!<x<２—a，所以函数f（x）在（１,２—a）上单调递减，在（２—a,２）上单调递增．[6分]所以函数f（x）在[１,２]上的最小值为f（２—a）＝错误!（２—a）２，最大值为max{f（１），f（２）}＝max错误!.因为当0<a≤错误!时，错误!—错误!≥错误!a；当错误!<a<１时，错误!a>错误!—错误!，由对任意x１，x２，x３∈[１,２]，都有f（x１）＋f（x２）>f（x３）恒成立，得２[f（x）]min>[f（x）]max （x∈[１,２]）．[9分]所以当0<a≤错误!时，必有２×错误!（２—a）２>错误!—错误!，结合0<a≤错误!可解得１—错误!<a≤错误!；[１１分]当错误!<a<１时，必有２×错误!（２—a）２>错误!a，结合错误!<a<１可解得错误!<a<２—错误!.[１３分]综上，知所求实数a的取值范围是１—错误!<a<２—错误!. [１４分]评分细则（１）求出f′（x）给１分；（２）讨论时将a的范围分为0<a<错误!和错误!≤a<１一样给分；讨论时a的值有重、漏情况扣１分；（３）“综上……”结论不写扣１分．阅卷老师提醒将已知不等式恒成立准确转化为关于函数f（x）在[１,２]上的最大值和最小值问题是解决本题的一个突破口．此外，要注意函数f（x）在[１,２]上的最大值不能直接由函数的图象得到，而必须讨论f（１）与f（２）的大小关系．１．设P为曲线C：y＝x２＋２x＋３上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为错误!，则点P横坐标的取值范围为（）Ａ．错误!Ｂ．[—１,0]Ｃ．[0,１] Ｄ．错误!答案A解析设P（x0，y0），倾斜角为α，0≤tan α≤１，f（x）＝x２＋２x＋３，f′（x）＝２x＋２,0≤２x0＋２≤１，—１≤x0≤—错误!，故选Ａ．２．设a＝错误!（sin １7°＋cos １7°），b＝２cos２１３°—１，c＝错误!，则a，b，c的大小关系是（）Ａ．c<a<bＢ．a<c<bＣ．b<a<cＤ．c<b<a答案A解析a＝错误!×错误!sin（１7°＋４５°）＝sin 6２°，b＝cos ２6°＝sin 6４°，c＝sin 60°，∴c<a<b.３．方程sin２x＋cos x＋k＝0有解，则k的取值范围是（）Ａ．—１≤k≤错误!Ｂ．—错误!≤k≤0Ｃ．0≤k≤错误!Ｄ．—错误!≤k≤１答案D解析求k＝—sin２x—cos x的值域．k＝cos２x—cos x—１＝（cos x—错误!）２—错误!.当cos x＝错误!时，k min＝—错误!，当cos x＝—１时，k max＝１，∴—错误!≤k≤１，故选Ｄ．４．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x２＋y２＝４上有且只有四个点到直线１２x—５y＋c＝0的距离为１，则实数c的取值范围是________．答案（—１３,１３）解析由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为１，则需圆心（0,0）到直线的距离d满足0≤d<１．∵d＝错误!＝错误!，∴0≤|c|<１３，即c∈（—１３,１３）．５．设x，y为实数，若４x２＋y２＋xy＝１，则２x＋y的最大值是________．答案错误!解析∵４x２＋y２＋xy＝１，∴（２x＋y）２＝３xy＋１＝错误!×２xy＋１≤错误!×错误!２＋１，∴（２x＋y）２≤错误!，（２x＋y）max＝错误!.6．已知数列{a n}，{b n}满足a１＝b１＝３，a n＋１—a n＝错误!＝３，n∈N＋，若数列{c n}满足c n＝ba n，则c２0１３＝________.答案３6 0３9解析由已知a n＝３n，b n＝３n，∴c２0１３＝b３×２0１３＝３３×２0１３＝３6 0３9.专题限时规范训练一、选择题１．在△ABC中，三边长a，b，c满足a＋c＝３b，则tan 错误!tan 错误!的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析取边长a，b，c分别为４,３,５的直角三角形，易求tan 错误!＝错误!，tan 错误!＝１，所以tan错误!·tan 错误!＝错误!.２．等差数列{a n}中，已知a１＝—１２，S１３＝0，使得a n>0的最小正整数n为（）Ａ．7 Ｂ．8 Ｃ．9 Ｄ．１0答案B解析∵{a n}为等差数列，S１３＝0，∴a１＋a１３＝２a7＝0，又a１＝—１２<0，∴显然{a n}为递增数列．a n>0的最小正整数n为8．３．AB是过抛物线x２＝４y的焦点的动弦，直线l１，l２是抛物线两条分别切于A，B的切线，则l１，l的交点的纵坐标为（）２Ａ．—１Ｂ．—４Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!答案A解析找特殊情况，当AB⊥y轴时，AB的方程为y＝１，则A（—２，１），B（２,１），过点A的切线方程为y—１＝—（x＋２），即x＋y＋１＝0．同理，过点B的切线方程为x—y—１＝0，则l，l２的交点为（0，—１）．１４．（２0１２·浙江）若正数x，y满足x＋３y＝５xy，则３x＋４y的最小值是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．５Ｄ．6答案C解析∵x>0，y>0，由x＋３y＝５xy得错误!错误!＝１．∴３x＋４y＝错误!（３x＋４y）错误!＝错误!错误!＝错误!＋错误!错误!≥错误!＋错误!×２错误!＝５（当且仅当x＝２y时取等号），∴３x＋４y的最小值为５．５．棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析所得图形为一个正八面体，可将它分割为两个四棱锥，棱锥的底面为正方形且边长为错误!a，高为正方体边长的一半，∴V＝２×错误!错误!２·错误!＝错误!.6．设F１，F２分别是双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（错误!＋错误!）·错误!＝0，O为坐标原点，且|错误!|＝错误!|错误!|，则该双曲线的离心率为（）Ａ．错误!＋１Ｂ．错误!Ｃ．错误!＋错误!Ｄ．错误!答案A解析如图，取F２P的中点M，则错误!＋错误!＝２错误!.又由已知得错误!·错误!＝0，∴错误!⊥错误!.又OM为△F２F１P的中位线，∴错误!⊥错误!.在△PF１F２中，２a＝|错误!|—|错误!|＝（错误!—１）|错误!|，２c＝２|错误!|.∴e＝错误!＝错误!＋１．7．P为双曲线错误!—错误!＝１的右支上一点，M、N分别是圆（x＋５）２＋y２＝４和（x—５）２＋y ２＝１上的点，则|PM|—|PN|的最大值为（）Ａ．6 Ｂ．7 Ｃ．8 Ｄ．9答案D解析设双曲线的左、右焦点分别为F１、F２，则其分别为已知两圆的圆心，由已知|PF１|—|PF２|＝２×３＝6．要使|PM|—|PN|最大，需PM，PN分别过F１、F２点即可．∴（|PM|—|PN|）max＝（|PF１|＋２）—（|PF２|—１）＝|PF１|—|PF２|＋３＝9．8．已知函数f（x）＝１＋x—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!，g（x）＝１—x＋错误!—错误!＋错误!—…—错误!，设F（x）＝f（x＋４）·g（x—４），且函数F（x）的零点在区间[a—１，a]或[b—１，b]（a<b，a，b∈Z）内，则a＋b的值为（）Ａ．—１Ｂ．0 Ｃ．１Ｄ．２答案D解析由F（x）＝f（x＋４）·g（x—４）可知，函数F（x）的零点即为f（x＋４）的零点或g（x—４）的零点，f′（x）＝１—x＋x２—x３＋…＋x２0１２.当x≠—１时，f′（x）＝错误!>0，x＝—１时，f′（x）＝２0１３>0．∴f（x）在R上单调递增．又f（0）＝１，f（—１）＝（１—１）＋错误!＋…＋错误!<0，∴f（x）在[—１,0]内有唯一零点，故f（x＋４）的唯一零点在[—５，—４]内．同理g（x—４）的唯一零点在[５,6]内，因此，b＝6，a＝—４，∴a＋b＝２．二、填空题9．设f（x）是定义在R上的单调增函数，若f（１—ax—x２）≤f（２—a）对任意a∈[—１,１]恒成立，则x的取值范围为__________．答案x≤—１或x≥0解析∵f（x）在R上是增函数，∴由f（１—ax—x２）≤f（２—a）可得１—ax—x２≤２—a，a∈[—１,１]．∴a（x—１）＋x２＋１≥0，对a∈[—１,１]恒成立．令g（a）＝（x—１）a＋x２＋１．则当且仅当g（—１）＝x２—x＋２≥0，g（１）＝x２＋x≥0，解之，得x≥0或x≤—１．故实数x的取值范围为x≤—１或x≥0．１0．在Rt△ABC中，C＝错误!，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，r，S分别表示它的内切圆半径和面积，则错误!的取值范围是__________．答案[２错误!—２,１）解析由题意，得S＝错误!ab＝错误!c２sin A sin B，r＝错误!（a＋b—c）＝错误!c（sin A＋sin B—１），从而错误!＝错误!，设sin A＋sin B＝t，则sin A sin B＝错误!（t２—１），错误!＝错误!＝错误!，因为A＋B＝错误!，所以t＝sin A＋sin B＝错误!sin错误!∈（１，错误!]．所以错误!的取值范围是[２错误!—２,１）．１１．如果函数f（x）＝x２—ax＋２在区间[0,１]上至少有一个零点，则实数a的取值范围是_______．答案a≥３解析由题意，知关于x的方程x２—ax＋２＝0在[0,１]上有实数解．又易知x＝0不是方程x２—ax＋２＝0的解，所以根据0<x≤１可将方程x２—ax＋２＝0变形为a ＝错误!＝x＋错误!.从而问题转化为求函数g（x）＝x＋错误!（0<x≤１）的值域．易知函数g（x）在（0,１]上单调递减．所以g（x）∈[３，＋∞）．故所求实数a的取值范围是a≥３．故填a≥３．１２．若关于x的不等式m（x—１）>x２—x的解集为{x|１<x<２}，则实数m的值为________．答案２解析∵关于x的不等式m（x—１）>x２—x的解集为{x|１<x<２}，方程m（x—１）＝x２—x即x ２—（m＋１）x＋m＝0的两根为１,２，∴错误!，解得m＝２．三、解答题１３．（２0１３·四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且２cos２错误!cos B—sin（A—B）sin B＋cos（A＋C）＝—错误!.（１）求cos A的值；（２）若a＝４错误!，b＝５，求向量错误!在错误!方向上的投影．解（１）由２cos２错误!cos B—sin（A—B）sin B＋cos（A＋C）＝—错误!，得[cos（A—B）＋１]cos B—sin（A—B）sin B—cos B＝—错误!，即cos（A—B）cos B—sin（A—B）sin B＝—错误!.则cos（A—B＋B）＝—错误!，即cos A＝—错误!.（２）由cos A＝—错误!，0<A<π，得sin A＝错误!，由正弦定理，有错误!＝错误!，所以，sin B＝错误!＝错误!.由题知a>b，则A>B，故B＝错误!，根据余弦定理，有（４错误!）２＝５２＋c２—２×５c×错误!，解得c＝１或c＝—7（舍去）．故向量错误!在错误!方向上的投影为|错误!|cos B＝错误!.１４．（２0１３·江西）正项数列{a n}的前n项和S n满足：S错误!—（n２＋n—１）S n—（n２＋n）＝0．（１）求数列{a n}的通项公式a n；（２）令b n＝错误!，数列{b n}的前n项和为T n，证明：对于任意的n∈N*，都有T n<错误!.（１）解由S错误!—（n２＋n—１）S n—（n２＋n）＝0，得[S n—（n２＋n）]（S n＋１）＝0，由于{a n}是正项数列，所以S n＋１>0．所以S n＝n２＋n.n≥２时，a n＝S n—S n—１＝２n，n＝１时，a１＝S１＝２适合上式．∴a n＝２n.（２）证明由a n＝２n得b n＝错误!＝错误!＝错误!错误!，T n＝错误!错误!错误!＝错误!错误!<错误!错误!＝错误!.。