模拟与数字滤波器映射

模拟与数字滤波器映射
《数字信号处理基础》： 10.3 双线性变换 10.6 脉冲响应不变法IIR滤波器设计 《离散时间信号处理（原书第3版·精编版）》： 7.2 用连续时间滤波器来设计离散时间IIR滤波器 7.2.1 用冲激响应不变法设计滤波器 7.2.2 双线性变换法
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脉冲响应不变法
模拟脉冲响应
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扭曲误差可以通过预扭曲方程对 – 3 dB频率进行预扭曲来克服。
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该预扭曲的数字滤波器的频率响应是：
预扭曲的效果
滤波器增益 数字滤波器
318.3
模拟滤波器
预扭曲的 数字滤波器
频率（Hz）
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数字滤波器形状
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数字脉冲响应
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T=1/4000
用脉冲响应不变法设计截 止频率为750 Hz的一阶巴 特沃斯滤波器。
T=1/8000
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T=1/16000
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双线性变换法
双线性变换为模拟滤波器和数字滤波器之间的转换提供了一种方法，双线性变换定 义为：
fS 是采样频率，单位是 Hz，用 ejΩ 代替 z，就得到等式右边的离散时间傅里叶变换：
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模拟滤波器响应的稳定域可由双线性变换通过计算单位圆上的点来确定。 位于单位圆上的点，变换之后将位于复 s 平面的虚轴上，单位圆内的点将 映射到虚轴左边，单位圆外的点将映射到右半平面。 复 s 平面上模拟 滤波器稳定区域
虚部
复 z 平面上数字 滤波器稳定区域
虚部
实部
实部
稳定区域
模拟滤波器的稳定区域是复平面的左半平面， 数字滤波器的稳定区域是单位圆内部。
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模拟滤波器的幅度响应
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数字滤波器的幅度响应
对于数字滤波器，截止频率在 Ω = 1.17弧度处，对应的频率 f = 279.3 Hz，低于模拟滤波器 截止频率 318.3 Hz近40 Hz。
1.17 9
频率扭曲的影响
滤波器增益 数字滤波器
279.3 318.3
模拟滤波器
频率（Hz）
数字滤波器的滚降比模拟滤波器的滚降要陡峭，数字滤波器的带宽和模 拟滤波器的带宽也不相同，这种误差是由于双线性变换的扭曲造成的。
在傅里叶域中，双线性变换定义式中 s 变为 jω， 称为预扭曲方程。 双线性变换将数字频率 0 ～ π 弧度的范围扩展到模拟频率的 0 ～ ∞ 弧度/秒，反过来， 逆双线性变换，
将 0 ～ ∞ 的模拟频率压缩为 0 ～ π 的数字频率。
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预扭曲方程：
数字频率和 模拟频率间 的扭曲
数字频率 Ω 和模拟频率 ω 之间的关系