新课标理念下高中数学必修5第一章解三角形

新课标理念下高中数学

必修5第一章 解三角形

教法学法的探究交流

仙游一中 福建省特级教师 余启西

本章概述：本章是在学习三角函数、平面向量的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章的主要内容是两个重要定理，即正弦定理和余弦定理以及这两个定理在解斜三角形中的应用。

教材地位：本章是在学习了三角函数、平面向量等知识的基础上，进一步学习如何解三角形的。正、余弦定理是我们学习有关三角形知识的继续和发展，它们进一步揭示了三角形边与角之间的关系，在生产、生活中有着广泛的应用，是我们求解三解形的重要工具。

本章内容与三角形定性研究的结论相联系，与三角函数相联系，同时也体现了向量及其运算的应用。高考中常与三角函数和向量知识联系起来考查，是高考的一个热点内容。

课标要求：1、理解并掌握正弦定理和余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

学法指导：1、重视数学思想方法的运用。解三角形作为几何度量问题，要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题时，要注意函数与方程思想的运用。

2、加强新旧知识的联系。本章知识与初中学习的三角形的边、角关系有着密切联系。同时，要注意与三角函数、平面向量等知识的联系，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力。

3、提高数学建模能力。利用解三角形解决相关的实际问题，根据题意，找出量与量之间的关系，作出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型。

学科实践：本章知识在现实生活中有着广泛的应用，如天文测量、航海测量、地理测量以及日常生活中的距离、高度、角度的测量等，解三角形的理论被用于解决许多测量问题。因此，通过本章的学习，能提高学生解决关于测量和几何计算的实际问题的能力和数学建模能力。 A B C

j 图1-2 图1-1 知识点1 正弦定理

1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

CcBbAasinsinsin

正弦定理给出了任意三角形中，三条边及其对应角的正弦值之间的对应关系。

2、正弦定理的证明：

教材中，用三角函数的定义给出了证明，下面给出向量法证明和平面几何法证明。

（1）向量法证明

证明：如图1-1，当△ABC为锐角三角形时，边A作单位向量j垂直于AB，则j与AB的夹角为90，j与BC的夹角为B2，

j与CA的夹角为A2，设bACaBCcAB,,

∵0CABCAB，∴00jCAjBCjABj，

即0)2cos(||||)2cos(||||2cos||||ACAjBBCjABj，∴AbBasinsin

即BbAasinsin 同理可得CcBbsinsin，即CcBbAasinsinsin

当△ABC为钝角三角形（如图1-2）或直角三角形时，利用同样的方法可以证得结论，请同学们自己证明。

（2）平面几何法证明

证明：如图1-3所示，设O为△ABC外接圆圆心，且半径为R，连接BO并延长交于⊙O于A，连接CA，则AA

∴RaBABCAA2sinsin，即RAa2sin

同理可证RCcRBb2sin,2sin，

故RCcBbAa2sinsinsin，即CcBbAasinsinsin.

3、正弦定理的变形 A B C

j

A B C A

图1-3 如图2-1 正弦定理CcBbAasinsinsin有如下变式，它们在解题中有着广泛的应用。

（1）CaAcCbBcAbBasinsin,sinsin,sinsin；

（2）CBAcbasin:sin:sin::；

（3）RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin（其中R为△ABC外接圆的半径）；

（4）CRcBRbARasin2,sin2,sin2.

知识点2 余弦定理

1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即：

Abccbacos2222

Bacacbcos2222

Cabbaccos2222

2、余弦定理的证明：

证法1(向量法)：如图2-1所示，在△ABC中，AB，BC，CA的长分别为bac,,，

设,,,cABbCAaCB那么bac，

)()(||2babaccc

babbaa2

Cabbacos222

所以Cabbaccos2222

同理，Abccbacos2222，Baccabcos2222

在余弦定理中，令90C，这时0cosC，所以222bac，由此可知余弦定理是勾股定理的推广。

证法2(平几法)：如图2-2所示，在△ABC中，设A为锐角，CD为AB边上的高，则AbADAbCDcos,cos，|cos|AbcBD. A

B C b

a c 如图2-2

b a

x A ),(yxB

(O) y

)0,(bC c

如图2-3 在Rt△BCD中，222BDCDBC

即222)cos()sin(AbcAba，∴Abccbacos2222

当A为直角或钝角时，同理，Abccbacos2222

证法3(解析几何法)：如图2-3所示，以A为原点，

AC所在直线为x轴建立直角坐标系，则可得A，C

两点的坐标分别为)0,(),0,0(bCA，设点),(yxB，

由三角函数的定义，得BACcyBACcxsin,cos，

即点B的坐标为)sin,cos(BACcBACc，

由两点间的距离公式，得22)0sin()cos(BACcbBACcBCa，

即BACbccbacos2222

3、余弦定理的变形形式（余弦定理的推论）

由余弦定理，得abcbaCacbacBbcacbA2cos;2cos;2cos222222222

余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具。

（1）在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,可以知三求一。

（2）余弦定理也为求三角形的有关量（如面积、外接圆等）提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式。在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛。

易错疑难辨析

易错点 利用正弦定理求三角形的内角时易丢解

[易错点解读]在利用正弦定理求角时，由于正弦函数在),0(内不严格单调，所以角的个数可以不唯一，这时应注意借助已知条件加以检验，务必做到不漏解、不多解。

例1 在△ABC中，2,32,30ACABB，求△ABC的面积 A B C

b a

Absin

D Abcos Abccos 错解：由正弦定理，得23sinsinACBABC，

∴90,60AC。∴32123221sin21AACABSABC

分析：本题错误的原因是利用正弦定理求C时丢了一解。事实上，由23sinC，可得60C或120，这两个结果都符合题意。

正解：由正弦定理，得23sinsinACBABC

又∵AB＞AC ∴60C或120

当60C时，90A，∴32sin21AACABSABC；

当120C时，30A，∴3sin21AACABSABC

∴△ABC的面积为332或

易错点 易忽略隐含条件，从而导致错误

[易错点解读]在解三角形中，要注意挖掘题中的隐含条件，否则范围将扩大或缩小，从而导致错误。

例2 在△ABC中，若C=3B，求bc的取值范围

错解：因为1sin0,sin43sin3sinsinsin22BBBBBCbc，

所以3sin4312B，所以30bc

分析：错解忽略了隐含条件中B的取值范围。因为C=3B，所以04BA，即40B，所以1sin0B是错误的。

正解：因为BCCBA3,，所以04BA，所以21sin02B

因为BBBBCbc2sin43sin3sinsinsin，所以3sin4312B，故31bc

解题策略：凡是求最值、值域或取值范围的问题，都应注意题中是否含有隐含条件，以便加强对自变量取值范围即定义域的限制。

易错点 忽略三角形中角的限制而导致出错 [易错点解读]在解三角形问题时，应注意180CBA，且0,0,0CBA

例1 在△ABC中，C=3B，求bc的取值范围。

错解：由正弦定理，得

1cos4cos22cossin2sincos2cossinsin)2sin(sin3sinsinsin22BBBBBBBBBBBBBBCbc

∵1cos02B，∴31cos412B，∴30bc

分析：在上述解题过程中，得到1cos42Bbc后，忽略了三角形内角和为180及隐含的A，B，C均为正角这一条件。

正解：由正弦定理，得

1cos4cos22cossin2sincos2cossinsin)2sin(sin3sinsinsin22BBBBBBBBBBBBBBCbc

∵BCCBA3,180，∴450B，即1cos22B，

∴1cos212B，故31bc

解题策略：由180CBA及C=3B得出B的取值范围，不可忽略。

易错点 忽略三角形三边关系而导致出错

[易错点解读]解题时，易忽略三角形的三边满足两边之和大小第三边，而使某些字母的范围变大。

例2 设12,,12aaa为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围。

错解：∵12,,12aaa是三角形的三边，∴0120012aaa，解得21a，

∴12a是三边长的最大值，设其所对角为

∵12,,12aaa是钝角三角形的三边，∴0cos，

即0)12(2)8()12(2)12()12(222aaaaaaaaa，解得821a

∴a的取值范围是821a