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排列组合讲义（含答案）排列组合、⼆项式定理、参数⽅程、极坐标.⼀、排列组合：主⼲⽅法：特殊优先，分开插空，相邻捆绑，正难则反，先选后排，分类穷举，定序扣数，分组分堆.1.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待⼯作，每个场馆⾄少分配⼀名志愿者的⽅案种数为（）A. 540B. 300C. 180D. 1502. 某⼯程队有6项⼯程需要单独完成，其中⼯程⼄必须在⼯程甲完成后才能进⾏，⼯程丙必须在⼯程⼄完成后才能进⾏，有⼯程丁必须在⼯程丙完成后⽴即进⾏。
那么安排这6项⼯程的不同排法种数是。
（⽤数字作答）3. 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项⽬,且在同⼀个城市投资的项⽬不超过2个,则该外商不同的投资⽅案有 ( )A.16种B.36种C.42种D.60种4. 3张卡⽚的两⾯分别写有1和2，3和4，5和6，将这三张卡⽚任意拼盘，可以组成多少个不同的三位数？_________.5.现从男.⼥共8名候选学⽣中选出2名男⽣,2名⼥⽣分别参加全校资源、⽣态、环保三个夏令营,且每个夏令营⾄少⼀⼈参加，已知共有1080种不同的参加⽅案.则候选的8位学⽣的构成情况是( )A.2名男⽣、6名⼥⽣B.6名男⽣、2名⼥⽣C.4名男⽣、4名⼥⽣D.5名男⽣、3名⼥⽣6.5名乒乓球队员中,有2名⽼队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体⽐赛,则⼊选的3名队员中⾄少有⼀名⽼队员,且1、2号中⾄少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)7. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红⾊卡⽚和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝⾊卡⽚，从这8张卡⽚中取出4张卡⽚排成⼀⾏．如果取出的4张卡⽚所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（⽤数字作答）．8.某⼈有4种颜⾊的灯泡（每种颜⾊的灯泡⾜够多），要在如题图所⽰的6个点A 、B 、C 、A 1、B 1、C 1上各装⼀个灯泡，要求同⼀条线段两端的灯泡不同⾊，则每种颜⾊的灯泡都⾄少⽤⼀个的安装⽅法共有种（⽤数字作答）.例8图A BC 1A1B练习：如图，⽤四种不同颜⾊给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂⾊，要求每个点涂⼀种颜⾊，且图中每条线段的两个端点涂不同颜⾊，则不同的涂⾊⽅法有（A ）288种（B ）264种（C ）240种（D ）168种答案：例1.D ；例2.20；例3.D ；例4.48；例5.D ；例6.48.例7.432.例8.216⼆、⼆项式定理：1.若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（）A ．3B ．6C ．9D ．122. 在()()1n x n N *+∈的⼆项展开式中，若只有5x 的系数最⼤，则n =A ．8B . 9 C. 10 D .113.已知n 展开式中，各项系数的和与其各项⼆项式系数的和之⽐为64，则n 等于（）Ａ．4Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7 4.设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则01211a a a a ++++ 的值为（）Ａ．2- Ｂ．1-Ｃ．1 Ｄ．2 5. 如果2323n x x ??- ??的展开式中含有⾮零常数项，则正整数n 的最⼩值为（）Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．106. （1+2x 2）(x －1x )8的展开式中常数项为。
华杯赛计数专题：排列组合基础知识：1.排列：从n个对象中选出m（不超过n）个并进行排序，共有的方法数称为排列数，写成。
2.排列数的计算：约定：0!=1排列数是由乘法原理得到的，因此排列可以看成是乘法原理的一种应用。
3.组合：从n个对象中选出m（不超过n）个，不进行排序，共有的方法数称为组合数，写成。
4.排列与组合的关系：。
5.组合数的计算：6.排列数与组合数的一些性质：例题：例1.4名男生和3名女生站成一排:（1）一共有多少种不同的站法?（2）甲,乙二人必须站在两端的排法有多少种?（3）甲,乙二人不能站在两端的排法有多少种?（4）甲不排头,也不排尾,有多少种排法?（5）甲只能排头或排尾,有多少种排法?【答案】（1）5040；（2）240；（3）2400；（4）3600；（5）略【解答】例2.在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共多少种？【答案】4186种【解答】至少有3件是次品，分两种情况第一种情况：3件是次品的抽法：从4件次品中中抽出3件是种，其中，，然后，从46件正常品中抽2件，总共种。
其中，所以，3件是次品的抽法共种。
第二种情况：4件是次品的抽法共：种。
任意抽出5件产品，至少有3件是次品的抽法，是将上述两种情况加在一起，所以，总共是4×23×45+46=23×182=4186种。
总结：有序是排列，无序是组合。
例3.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种？【答案】540种【解答】可设三所学校为甲、乙、丙，三位医生去3所学校的分配方案：用排列数表示为=3×2×1=6。
用乘法原理表示为3！=6。
六名护士去学校甲有种选法，剩下4名护士去乙学校，有种选法，剩下两名自然去学校丙。
所以，不同的分配方法共有种。
例4.有多少个五位数，满足其数位上的每个数字均至少出现两次？【答案】819【解答】方法一：（1）出现一个数字的情况是9种；（2）出现两个数字，首位不能是0，共有9种情况，（i）首位确定之后，如果首位数总共出现3次，则从后面的4个数位中，选出两位，共种情况，剩下的两个数位，还需要选相同的数，因为可以是0，所以，有9种选择。
第九讲排列组合公式开篇漫画中，小高要想说对口诀还真不容易！我们学过乘法原理，口诀第一个字有6种说法，第二个字有5种说法，依此类推，口诀这六个字有654321720⨯⨯⨯⨯⨯=种排法．我们也可以这样理解：只有把口诀这六个字按照正确的顺序排列好，才能练成高思神掌．把六个字排成一列，就是我们这一讲要学习的排列．排列公式：从m 个不同的元素中取出n 个（n m ≤），并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做从m 个不同元素中取出n 个的排列数，记作nm A ，它的计算方法如下：比如，从1、2、3、4中挑两个数字组成一个两位数，十位上有1、2、3、4这4种选择，十位选定后，个位可以从剩下的三个数字中选，有3种选择．根据乘法原理可以知道，这样的两位数有4312⨯=个．我们也可以这样理解，要组成两位数相当于从1、2、3、4中挑两个数字排成一行，有244312A =⨯=种排法，所以这样的两位数有12个．关于排列数的计算，再给大家举几个例子：455432120A =⨯⨯⨯=（从5开始递减地连乘4个数）；38876336=⨯⨯=A （从8开始递减地连乘3个数）； 1100100=A （从100开始递减地连乘1个数）．例题1计算：（1）24A ；（2）410A ；（3）42663A A -⨯． 「分析」直接用公式计算，主要要从几开始乘，连乘几个数．练习1计算：（1）37A ；（2）3255A A -．生活中的许多问题其实就是排列问题．例如，你回家后，发现桌上有牛奶糖、巧克力和水果糖各一颗，你会按照什么顺序来吃这三种糖？先吃哪个再吃哪个，有多少种方式呢？这其实就是一个排列问题．nm A例题2小高、墨莫、卡莉娅和宣萱四个人到野外郊游，其中三个人站成一排，另外一个人拍照，请问：一共会有多少张不同的照片？「分析」本题要站成一排，顺序有没有影响？“小墨卡”和“墨卡小”表示的是同一张还是两张不同的照片？ 练习2有5面不同颜色的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，一共可以表示出多少种不同的信号？与排列问题相对，生活中也存在着许多不需要排序的问题．例如，开运动会了，老师要选出一部分同学组成拉拉队，那么从全班同学中选出的这部分人有多少种可能呢？从全班同学中选出的这部分人，并不需要进行排序，这其实就是一个组合问题．比如，要从1、2、3、4中挑两个不同的数，这时挑出1、2与挑出2、1都是一样的，挑出1、3与挑出3、1也是一样的．换句话说，能组成的两位数有24A 个，但每两个数字可以对应222A =个两位数，在这里只算作同一种挑法． 因此，只是从1、2、3、4中挑两个数而不考虑顺序，有22421226A A ÷=÷=种方法．这就是组合公式的来由．组合公式：从m 个不同元素中取出n 个（n m ≤）作为一组（不计顺序），可选择的方法数叫做从m 个不同元素中取出n 个不同的组合数，记作nm C ，它的计算方法如下：()()[11]……=÷=⨯-⨯⨯-+÷n n n nm m n n C A A m m m n A ．给大家举几个例子：从5个不同的元素中取出2个作为一组，有()()222552542110C A A =÷=⨯÷⨯=种不同的方法；从5个不同的元素中取出3个作为一组，有()()33355354332110C A A =÷=⨯⨯÷⨯⨯=种不同的方法．例题3计算：（1）35C ；（2）3210102C C -⨯；（3）45C ，15C ；（4）710C ，310C ．「分析」直接用公式计算，注意公式里每个数字的含义． 练习3计算：（1）38C ；（2）32752C C ⨯-；（3）810C ．例题4墨爷爷把10张不同的游戏卡分给墨莫和小高，并且决定给墨莫7张，给小高3张，一共有多少种不同的分法？「分析」从10张中取出7张给墨莫，这7张的顺序是否有影响呢？应该是排列数还是组合数呢？练习4阿呆和阿瓜一起去图书馆借童话小说，发现书架上只剩下6本不同的书，于是每人借了3本，那么他们一共有多少种不同的借法？ 例题5从1~5这5个数字中选出4个数字（不能重复）组成四位数，共能组成多少个不同的四位数？千位是1的四位数有多少个？其中比3000小的有多少个？「分析」组4位数，其实是要从5个数字中选4个排成一排，如果用排列进行计算？千位是多少的数肯定比3000小？例题6有3个人去图书馆借漫画书，发现书架上只剩下8本不同的书．于是有1个人借了2本书，另外2个人每人借了3本书，那么他们一共有多少种不同的借法？「分析」我们不妨分步考虑：先让1个人借2本，然后再让1个人借3本，最后一个人借剩下的3本，那么一共有多少种情况呢？每一步改用排列还是组合呢？课堂内外古典小说中的排列组合一般认为，中国古代社会科学发达，而自然科学和数学则相对落后．不过说中国古代数学落后，也不尽然，像数学中的“排列组合学”就发达得很，甚至渗透到社会各个层面．譬如，古人很早就总结出四象、五行、八卦、十天干、十二地支、十二生肖等等，没有高明的排列组合知识，怎能将这些东西捏在一起？在日常生活中，尤其是饭局上，主座、客座、主陪、副陪等的座位都是不能乱坐一气的，让那些习惯了圆桌会议的外国友人头疼不已．在中国古典小说中，这种“排列组合学”也是随处可见．在《三国演义》中，这种数学还不甚发达．也就是说刘备阵营有五虎大将，曹营有四大谋士等等．不过民间倒是对演义里的战将武功有一个排名．“一吕二赵三典韦，四关五马六张飞，七许八夏九姜维”．没办法，国人就是对这种排列组合异常着迷．在许多历史和公案小说中，这种数学到了令人眼花缭乱的地步．小说《隋唐演义》在这方面可以说是登峰造极．由于版本众多，各种说法也是热闹纷纭得很，大致有“一王三绝四猛十三杰十八条好汉”这样一个“超强战斗序列”．除了这样的武功排名的排列组合，在古典小说中还有其他的样式．像《封神演义》第九十九回中，姜子牙一下子封了三百六十五位正神，计有三山五岳、雷火瘟三部、五斗星恶煞、二十八宿、九曜星官、四圣元帅、四大天王等等，将一个天上一个地下给安排得滴水不漏、井井有条，却惟独忘了给自己留个位置．《西游记》中也有“七十二般变化”、“三十六般变化”、“九九八十一难”，看来吴承恩老先生的乘法表学得不错，值得表扬．《红楼梦》里则有四大家族、金陵十二钗、副钗、又副钗等等，也是洋洋大观．作业1. 计算：（1）25A ；（2）5277A A -．2.计算：（1）27C ；（2）228632C C ⨯-⨯；（3）33310310C A A ⨯-． 3.海军舰艇之间经常用旗语来互相联络，方式是这样的：在旗杆上从上至下升起3面颜色不同的旗帜，每一种排列方式就代表一个常用信号，如果共有6种不同颜色的旗帜，那么可以组成多少种不同的信号？4.要从海淀区少年游泳队的8名队员中挑选3名参加全国的游泳比赛，有多少种不同的选法？5． 从3、4、5、6、7这5个数字中选出3个数字（不能重复）组成三位数，共能组成多少个不同的三位数？635是从小到大的第几个数？第九讲 排列组合公式1. 例题1答案：12；5040；270详解：（1）244312A =⨯=；（2）410109875040A =⨯⨯⨯=； （3）()42663654336565341270A A -⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯-=． 2. 例题2答案：24详解：从4个人中选3人出来排列，2443224A =⨯⨯=． 3. 例题3答案：10；30；5，5；120，120详解：（1）()3554332110C =⨯⨯÷⨯⨯=； （2）()()3210102109832121092130C C -⨯=⨯⨯÷⨯⨯-⨯⨯÷⨯=； （3）()41555432432155C C =⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯==，； （4）()710109876547654321120C =⨯⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯⨯⨯⨯=， ()3101098321120C =⨯⨯÷⨯⨯= 4. 例题4答案：120详解：()733310310310983211120C C C C ⨯=⨯=⨯⨯÷⨯⨯⨯=种分法．5. 例题5答案：120；24；48详解：（1）455432120A =⨯⨯⨯=；（2）3443224A =⨯⨯=； （3）比3000小的有1开头和2开头的，1千多的数和2千多的数一样多，共有342243248A ⨯=⨯⨯⨯=．6. 例题6 答案：560详解：()()23386387216543211560C C C ⨯⨯=⨯÷⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=种．7. 练习1答案：210；40简答：（1）37765210A =⨯⨯=；（2）32555435440A A -=⨯⨯-⨯=．8. 练习2答案：60简答：3554360A =⨯⨯=．9. 练习3答案：56；60；45简答：．（1）()3887632156C =⨯⨯÷⨯⨯=；（2）()()327522765321542160C C ⨯-=⨯⨯⨯÷⨯⨯-⨯÷⨯=；（3） ()8210101092145C C ==⨯÷⨯=．10. 练习4答案：20简答：()3363654321120C C ⨯=⨯⨯÷⨯⨯⨯=种．11. 作业1答案：20；2478简答：（1）255420=⨯=A ；（2）527776543762478-=⨯⨯⨯⨯-⨯=A A ．12. 作业2答案：21；54；0简答：（1）()()27762121=⨯÷⨯=C ；（2）()()()()228632387212652154⨯-⨯=⨯⨯÷⨯-⨯⨯÷⨯=C C ；（3）()()()33310310109832132110980⨯-=⨯⨯÷⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=C A A ．13. 作业3答案：120简答：从6面不同颜色的旗帜中选3面排成一排，共有36654120=⨯⨯=A 种方法．14. 作业4答案：56简答：从8人中选出3人，不需要排序，共有()()3887632156=⨯⨯÷⨯⨯=C 种方法．15. 作业5答案：60；38简答：从5个不同的数字中选3个组三位数，即排成一排，共有3554360=⨯⨯=A 种；在所有比635小的数中，百位是3的有244312=⨯=A 个，百位是4的有12个，百位是5的有12个，百位是6的有1个，所以从小到大数，635是第38个．。
小学奥数排列和组合试题及答案第一篇：小学奥数排列和组合试题及答案小学四年级奥数排列组合练习1.由数字0、1、2、3、4可以组成多少个①三位数？②没有重复数字的三位数？③没有重复数字的三位偶数？④小于1000的自然数？2.从15名同学中选5人参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种？①某两人必须入选；②某两人中至少有一人入选；③某三人中恰入选一人；④某三人不能同时都入选.3.如右图，两条相交直线上共有9个点，问：一共可以组成多少个不同的三角形？-------------------4.如下图，计算①下左图中有多少个梯形？②下右图中有多少个长方体？5.七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？①七个人排成一排；②七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；③七个人排成一排，某两人必须站在两头；④七个人排成一排，某两人不能站在两头；⑤七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排.-------------------答案：1.①100；②48；③30；④124.2.①C313＝286；②C515－C513＝1716；③C13·C412＝1485；④C515－C212＝2937.3.C15·C23＋C26·C13＝60；或C39－C36－C34＝60.4.①C26×C26＝225；②C25×C26×C25＝1500.5.①P77＝5040；②2P66＝1440；③2P55＝240；④5×4×P55＝2400；⑤2×3×4×P55＝2880.-------------------第二篇：小学奥数经典专题点拨：排列与组合排列与组合【有条件排列组合】例1 用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字能够组成______个没有重复数字的三位数。
（哈尔滨市第七届小学数学竞赛试题）讲析：用这十个数字排列成一个不重复数字的三位数时，百位上不能为0，故共有9种不同的取法。
1．（站队模型）4男3女站成一排：①女生相邻；5353A A ⋅②女生不相邻；4345A A ⋅③女生从高到低排；47A④甲不在排头，乙不在排尾；解析：当甲在排尾时有66A ；当甲不在排尾时有115555A A A ⋅⋅2．（组数模型）由0到9这10个数字组成没有重复数字的四位数： ①奇数；末位有112588A A A②偶数；解析：末位为0，有39A ；末位不为0，有112488A A A ⋅⋅③被5整除的数；解析：末位为0，有49A ；末位为5，有1288A A ⋅④比3257大的数； 解析：首位为4到9时有396A ；首位为3时281749A ⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩百位为到时有6十位为6到9时有4A 百位为2时十位为5时有2 ⑤被3整除的三位数．12333311123322111333332A A A C C C A C C C A ⎧⋅+⎪⎧⋅⋅⋅⎨⎪⎨⎪⋅⋅⋅⎪⎩⎩都从一个集合中选时有含0时有各选一个时有不含0时有3．（分组分配问题）6个不同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：63②放入三个不同的盒子，每盒不空；解析：4363321363132226426222:A C C C A C C C ⎧⎪⋅⋅⋅⎨⎪=++⋅⋅⎩6＝4＋1＋1：有C 6=3+2+1:有有③分三组（堆），每组至少一个；解析：41162122321631222642336222:C C A C C C C C C A ⎧⋅⋅⎪⎪⎪⋅⋅⎨⎪⋅⋅⎪=++⎪⎩C 6＝4＋1＋1：有6=3+2+1:有有4．6个相同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：相当于分名额，盒子可空：插板法：28C ②放入三个不同的盒子，每盒不空；25C ③恰有一个空盒．解析：相当于两个盒子不空：1253C C ⋅5．6名同学报名三科竞赛：①每人限报一科；63②每科限报一人；366．（选派问题）5男3女：①选2人开会；28C②选正副班长，至少1女；2285A A - ③选4人开会，至多2男；解析：即至少2女，22313535C C C C ⋅+⋅④选4人跑4×100接力，至少2女．解析：()2231435354C C C C A ⋅+⋅⋅。
华杯赛计数专题：2排列组合基础知识：1.排列：从n个对象中选出m（不超过n）个并进行排序，共有的方法数称为排列数，写成。
2.排列数的计算：约定：0!=1排列数是由乘法原理得到的，因此排列可以看成是乘法原理的一种应用。
3.组合：从n个对象中选出m（不超过n）个，不进行排序，共有的方法数称为组合数，写成。
4.排列与组合的关系：。
5.组合数的计算：6.排列数与组合数的一些性质：例题：例1.4名男生和3名女生站成一排:（1）一共有多少种不同的站法?（2）甲,乙二人必须站在两端的排法有多少种?（3）甲,乙二人不能站在两端的排法有多少种?（4）甲不排头,也不排尾,有多少种排法?（5）甲只能排头或排尾,有多少种排法?【答案】（1）5040；（2）240；（3）2400；（4）3600；（5）略【解答】例2.在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共多少种？【答案】4186种【解答】至少有3件是次品，分两种情况第一种情况：3件是次品的抽法：从4件次品中中抽出3件是种，其中，，然后，从46件正常品中抽2件，总共种。
其中，所以，3件是次品的抽法共种。
第二种情况：4件是次品的抽法共：种。
任意抽出5件产品，至少有3件是次品的抽法，是将上述两种情况加在一起，所以，总共是4×23×45+46=23×182=4186种。
总结：有序是排列，无序是组合。
例3.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种？【答案】540种【解答】可设三所学校为甲、乙、丙，三位医生去3所学校的分配方案：用排列数表示为=3×2×1=6。
用乘法原理表示为3！=6。
六名护士去学校甲有种选法，剩下4名护士去乙学校，有种选法，剩下两名自然去学校丙。
所以，不同的分配方法共有种。
例4.有多少个五位数，满足其数位上的每个数字均至少出现两次？【答案】819【解答】方法一：（1）出现一个数字的情况是9种；（2）出现两个数字，首位不能是0，共有9种情况，（i）首位确定之后，如果首位数总共出现3次，则从后面的4个数位中，选出两位，共种情况，剩下的两个数位，还需要选相同的数，因为可以是0，所以，有9种选择。
所以，这种情况总共有×9=54种。
（ii）首位确定之后，如果首位数总共出现2次，则从后面的4个数位中，选出一位，总共种情况，剩下的三个数位，还需要选相同的数，因为可以是0，所以，有9种选择。
所以，这种情况总共有×9=36种。
所以，出现两个数字的情况为（36+54）×9=810.综上，满足其数位上的每个数字均至少出现两次的情况为9+810=819种。
方法二：（1）出现一个数字的情况是9种；（2）出现两个数字的情况：（i）可以考虑从9个数中选两个数，两个都不是0，有种情况，为什么是排列数呢？因为，有一个数字出现3次，有一个数字出现两次。
所以，可以理解为，两个是有顺序的。
然后从5个数位中，选出3个数位，总共有种。
所以，两个都不是0的情况为=720种。
（ii）如果两个数，有一个是0，再选出一个数放在首位，有9种情况，如果首位数字用两次，从后四位数中，选择一个数位有种。
所以，这种情况为9×=36种。
如果首位数字用三次，从后四位数中，选择两个数位有种。
所以，这种情况为9×=54种。
所以，两个数，有一个是0的情况总共有54+36=90种。
所以，出现两个数字的情况为720+90+810种。
综上，满足其数位上的每个数字均至少出现两次的情况为9+810=819种。
例5（1）在10×15的棋盘上取两个方格，使它们既不同行也不同列，有多少种取法？（2）在n×n的方格表上取两个方格，使它们既不同行也不同列，有多少种取法？（3）在n×n的方格表上取n个方格，使任意两个棋子既不同行也不同列，有多少种取法？【答案】（1）9450；（2）；（3）n!【解答】（1）方法一：首先，从这些方格中，选第一个方格，总共有15×10=150种，接着选第二个方格，由于与第一个不同行也不同列，所以第二个方格的选法为14×9=126种。
但由于第一次选与第二次选，没有顺序之分，所以，这样选出的方格是重复的。
需要除以2。
故总共有150×126÷2=9450种。
方法二：从150个格子中选出两个格，总共有种，但有不符合要求的情况，就是属于同行同列的情况。
同一行的情况为：先选出一行，有10种情况，再在这一行中选出两个格，有种情况。
所以，同一行的情况为种。
同一列的情况为：先选出一列，有15种情况，再在这一列中选出两个格，有种情况。
所以，同一列的情况为种。
故总共有种。
（2）与第一问的方法相同，如果用第一种方法，选第一个方格，总共有n×n种，选第二个方格，总共有（n-1）×（n-1）种，由于有重复的情况。
所以，总共有种。
（3）在n×n的方格表上取n个方格，任意两个棋子不同列，相当于每列恰选一个方格，又因为不同行，所以，每行也恰选一个方格。
我们可以分步考虑，按列选：第1列选1个格，情况为n种；第2列选1个格，由于不能与第一列选的格同行，情况为（n－1）种……第n列选1个格，情况为1种。
所以，总共为n×（n－1）×……×2×1=n!种取法。
基础知识回顾：1.排列：从n个对象中选出m（不超过n）个并进行排序，共有的方法数称为排列数，写成。
2.排列数的计算：约定：0!=13.组合：从n个对象中选出m（不超过n）个，不进行排序，共有的方法数称为组合数，写成。
4.组合数的计算：小练习：请计算下列排列数和组合数：【答案】（1）35 （2）28 （3）10【解答】例6.从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有多少个？【答案】300【解答】能被5整除，说明个位数是0或5.（一）当个位数是0时，运用乘法原理：第一步，还需从2,4,6,8中选一个数，有有种选法。
第二步，从1,3,5,7中选2个数，有种选法。
第三步，需要将所选的数字进行排列,总共排列数是个。
所以。
个位数是0的四位数总共有个。
（二）当个位数是5时，分两种情况考虑。
（1）没有选0，运用乘法原理：第一步，还需从1,3,7中选一个数，有种选法。
第二步，从2,4,6,8中选2个数，有种选法。
第三步，将所选的数字进行排列,总共是个。
这种情况的个数是：个。
（2）当选0时，运用乘法原理：第一步，还需从1,3,7中选一个数，有种选法。
第二步，从2,4,6,8中选1个数，有种选法。
第三步将所选的数字进行排列,首位不能是0.故有2种选择，百位有2种选择，十位有1种选择。
这种情况的个数是：个。
所以，个位数是5的四位数总共有：108+48=156个。
综上，能被5整除的四位数共有144+156=300个例7.从10个人中随意挑选出一些人，共有多少种不同的选法？【答案】1023【解答】解法1：随意挑选出一些人并没有确定是几个人，有可能是1人，2人，也有可能是所有人。
这样总共将所有的选法分为10类，第1类挑选1人；第2类挑选2人；第3类挑选3人；……；第10类挑选10人。
每一类的方法数分别为。
将这10类的方法数加到一起，。
所以一共有1023种选取的方法。
解法2：10步一共有种不同的选取方法。
这1024种方法中包含10个人全都不选的方法，不符合题意应该去掉，所以从10个人中随意挑选出一些人共有种不同的选法。
注意：本题主要是为了体现。
对于一般的情况有：。
用类似的方法研究组合数的性质例8.某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班中且每班安排2名,则不同的安排方案有多少种？【答案】90【解答】运用乘法原理：第一步，确定哪两个班，有种选择。
第二步，选出的第一个班接收哪两名同学，有种选择。
自然剩下的两名同学去第二个班。
所以，不同的安排方案有种。
例9.将n+1个不同的小球放入n个不同的盒子中，要求没有空盒，那么有多少种放小球的方法？【答案】【解答】运用乘法原理：第一步，确定哪两个小球放到同一个盒子里，有种选择。
将选出的这两个小球看作一个整体。
第二步，将n个小球放入n个盒子里，有种情况。
所以，总共有种放小球的方法。
例10.9本书分给甲、乙、丙三人，（1）甲2本，乙3本，丙4本，有多少种分法？（2）甲、乙、丙各3本，有多少种分法？（3）分成三堆，分别有2本、3本、4本，有多少种分法？（4）分成三堆，每堆3本，有多少种分法？【答案】（1）1260 （2）1680 （3）1260 （4）280.【解答】（1）运用乘法原理：第一步，从9本书中选2本给甲，有种选法。
第二步从余下的7本书中选3本给乙，有种选法。
剩下的就是丙的。
所以，总共有种分法。
（2）运用乘法原理：第一步，从9本书中选3本给甲，有种选法。
第二步从余下的6本书中选3本给乙，有种选法。
剩下的就是丙的。
所以，总共有种分法。
（3）方法同（1）。
（4）从9本数中选3本，有种选法。
然后从剩下的6本书中选3本，有种选法。
所以，总共是种选法。
第一个3本书，有3个位置，第二个3本书，有2个位置。
第三个3本书，就剩1个位置。
由于分堆问题，不涉及顺序，而前面的分法已经考虑顺序。
所以，分成三堆，每堆3本，有种分法。
