平面几何定理及其证明
一、梅涅劳斯定理
1．梅涅劳斯定理及其证明
G
定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，则有
．
证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G．
因为CG // AB，所以————（1）
因为CG // AB，所以————（2）
由（1）÷（2）可得，即得．
2．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明
定理：在ABC的边AB、BC上各有一点D、E，在边AC的延长线上有一点F，
若，那么，D、E、F三点共线．
证明：设直线EF交AB于点D/，则据梅涅劳斯定理有
．
因为，所以有．由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．
二、塞瓦定理
3．塞瓦定理及其证明
定理：在ABC内一点P，该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，且D、E、F三点均不是ABC的顶点，则有
．
证明：运用面积比可得．
根据等比定理有
，
所以．同理可得，．
三式相乘得．
4．塞瓦定理的逆定理及其证明
定理：在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F，且D、E、F均不是
ABC的顶点，若，那么直线CD、AE、BF三线共点．证明：设直线AE与直线BF交于点P，直线CP交AB于点D/，则据塞瓦定理有
．
因为，所以有．由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．
三、西姆松定理
5．西姆松定理及其证明
定理：从ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其延长线引垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线．
证明：如图示，连接PC，连接 EF 交BC于点D/，连接PD/．
因为PE AE，PF AF，所以A、F、P、E四点共圆，可得FAE =FEP．因为A、B、P、C四点共圆，所以BAC =BCP，即FAE =BCP．
所以，FEP =BCP，即D/EP =D/CP，可得C、D/、P、E四点共圆．
所以，CD/P +CEP = 1800。而CEP = 900，所以CD/P = 900，即PD/BC．
由于过点P作BC的垂线，垂足只有一个，所以点D与D/重合，即得D、E、F 三点共线．
四、
M
托勒密定理
6．托勒密定理及其证明
定理：凸四边形ABCD是某圆的内接四边形，则有
AB·CD + BC·AD = AC·BD．
证明：设点M是对角线AC与BD的交点，在线段BD上找一点，使得DAE =BAM．
因为ADB =ACB，即ADE =ACB，所以ADE∽ACB，即得
，即————（1）
由于DAE =BAM，所以DAM =BAE，即DAC =BAE。而ABD =ACD，即ABE =ACD，所以ABE∽ACD．即得
，即————（2）
由（1）+（2）得
．
所以AB·CD + BC·AD = AC·BD．
7．托勒密定理的逆定理及其证明
定理：如果凸四边形ABCD满足AB×CD + BC×AD = AC×BD，那么A、B、C、D 四点共圆．
证法1（同一法）：
在凸四边形ABCD内取一点E，使得，，则∽．
可得AB×CD = BE×AC ———（1）
且———（2）
则由及（2）可得∽．于是有
AD×BC = DE×AC ———（3）
由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE )．
据条件可得 BD = BE + DE，则点E在线段BD上．则由，得，这说明A、B、C、D四点共圆．
8．托勒密定理的推广及其证明
定理：如果凸四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上，那么就有
AB×CD + BC×AD > AC×BD
证明：如图，在凸四边形ABCD内取一点E，使得，，则∽．
可得AB×CD = BE×AC ————（1）
且————（2）
则由及（2）可得∽．于是
AD×BC = DE×AC ————（3）
由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×( BE + DE )
因为A、B、C、D四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知
AB×CD + BC×AD AC×BD
所以BE + DE BD，即得点E不在线段BD上，则据三角形的性质有BE + DE > BD．
所以AB×CD + BC×AD > AC×BD．
五、欧拉定理
9．欧拉定理及其证明
定理：设ΔABC的重心、外心、垂心分别用字母G、O、H表示．则有G、O、H 三点共线（欧拉线），且满足．
证明（几何法）：连接OH，AE，两线段相交于点G/；连BO并延长交圆O于点D；连接CD、AD、HC，设E为边BC的中点，连接OE和OC，如图．
因为 CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理CH // DA．
所以，AHCD为平行四边形．
可得AH = CD．而CD = 2OE，所以AH = 2OE．
因为AH // CD，CD // OE，所以AH // OE．可得AHG/∽EOG/．
所以．
由，及重心性质可知点G/就是ABC的重心，即G/与点G重合．所以，G、O、H三点共线，且满足．
