初等建模1

第一章 初等方法建模如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。

通过下面介绍的若干例子能够看到，用很简单的数学方法已经可以解决一些饶有兴味的实际问题。

需要强调的是，如果对于某个实际问题可以用初等的方法解决，就不要用更高等的方法。

§1 双层玻璃窗的功效背景 将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层窗的热传导进行对比，对双层窗能减少多少热量损失给出定量分析结果。

模型假设1、热量的传播只有传导，没有对流，即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃间的空气是不流动的。

2、室内温度1T 和室外温度2T 保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。

3、玻璃材料均匀，热传导系数是常数。

模型构成与求解记 a T —内层玻璃的外侧温度b T —外层玻璃的内侧温度1K —玻璃的热传导系数2K —空气的热传导系数空气Q —单位时间通过双层窗单位面积的热量'Q —单位时间通过单层窗单位面积的热量 由热传导过程的物理定律：dT K Q ∆=，得到 dT T K l T T K d T T K Q b b a a 21211-=-=-= （1） d T T K Q 2211'-= （2） 从（1）中消去b a T T ,，可得dl h K K h S S d T T K Q ==+-=,,)2()(21211 （3） 22+='S Q Q （4） 显然Q Q '<，且S 越大，比例越悬殊，331108~104--⨯⨯=K （焦耳/CM ·秒·度），42105.2-⨯=K （焦耳/CM ·秒·度），于是31~1621=K K ,做最保守的估计，即取1621=K K ，由(3)、(4)即有 dl h h Q Q =+=',181 （5） 模型分析 比值Q Q '反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与d l h =有关，h 不宜选择过大，通常建筑要求是4≈h ，按此模型，%3≈'Q Q ，即使用同样材料制成的双层窗较单层窗节约热量97%左右。

数学建模这个世界太需要数学了！但我们却往往视而不见。

自人类萌发了认识自然之念、幻想着改造自然之时，数学便一直成为人们手中的有力武器。

牛顿的万有引力定律、伽利略发明的望远镜让世界震惊，其关键的理论工具却是数学。

然而，社会的发展却使数学日益脱离自然的轨道，逐渐发展成为高深莫测的“专项技巧”。

数学被神化，同时，又被束之高阁。

近半个世纪以来，数学的形象有了很大变化。

数学己不再单纯是数学家和少数物理学家、天文学家、力学家等人手中的神秘武器，它越来越深入地引用到各行各业之中，几乎在人类社会生活的每个角落都在展示它的无穷威力。

这一点尤其表现在生物、政治、经济以及军事等数学应用的非传统领域。

数学不再仅仅作为一种工具和手段，而日益成为一种“技术”参与实际问题中。

近年来，随着计算机的不断发展，数学的应用更得到突飞猛进的发展。

一、什么是数学模型？数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。

简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。

随着社会的发展，生物、医学、社会、经济……，各学科、各行业都涌现现出大量的实际课题，急待人们去研究、去解决。

但是，社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益和社会效益。

他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题（就像在学校里做数学应用题），而是为了解决实际问题而需要用到数学。

而且不止是要用到数学，很可能还要用到别的学科、领域的知识，要用到工作经验和常识。

特别是在现代社会，要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机。

数学建模专题材料1 数学建模是什么简而言之，数学建模就是用数学的方法解决实际问题。

当我们遇到一个实际问题时，首先对其进行分析，把其中的各种关系用数学的语言描述出来。

这种用数学的语言表达出来的问题形式就是数学模型。

一旦得到了数学模型，我们就将解决实际问题转化成了解决数学问题。

然后，就是选择合适的数学方法解决各个问题，最后将数学问题的结果作为实际问题的答案。

当然，这一结果与实际情况可能会有一些差距，所以我们就要根据实际情况对模型进行修改完善，重新求解，直至得到满意的结果。

实际上，数学建模对于同学们来讲并不是全新的事物，在中小学阶段做的数学应用题就是数学建模的简单形式。

现在，同学们学习了许多高等数学知识，所面临就是要用高等数学的知识和方法，并借助计算机来解决更接近实际的规模较大的问题。

所以参加数学建模活动是一个很有意义的科研实践机会，同时会让你认识到高等数学在实际生活中的巨大作用，提高学习数学的积极性。

2 数学建模的应用今天，在国民经济和社会活动的以下诸多方面，数学建模都有着非常具体的应用。

分析与设计例如描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效；建立跨音速空气流和激波的数学模型，用数值模拟设计新的飞机翼型。

预报与决策生产过程中产品质量指标的预报、气象预报、人口预报、经济增长预报等等，都要有预报模型。

使经济效益最大的价格策略、使费用最少的设备维修方案，是决策模型的例子。

控制与优化电力、化工生产过程的最优控制、零件设计中的参数优化，要以数学模型为前提。

建立大系统控制与优化的数学模型，是迫切需要和十分棘手的课题。

规划与管理生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度，以及排队策略、物资管理等，都可以用运筹学模型解决。

3 数学建模的意义数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关的。

作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。

数学建模初等模型
数学建模是将现实世界的问题抽象化为数学模型，并利用数学方法和技巧来分析和解决这些问题的过程。

在数学建模中，初等模型是指使用基本的数学概念和方法来描述和解决问题的模型。

常见的初等模型包括线性模型、指数模型、对数模型、多项式模型等。

线性模型是最简单的初等模型之一，它假设变量之间的关系是线性的，可以用直线来表示。

指数模型描述的是变量之间的指数关系，对数模型则描述的是变量之间的对数关系。

多项式模型可以用多项式函数来描述变量之间的关系。

使用初等模型进行数学建模时，我们需要确定问题中的关键变量和它们之间的关系，然后建立数学方程或函数来表示这些关系。

通过对这些方程或函数进行求解和分析，我们可以得到问题的解答或结论。

初等模型的优点是简单易懂，容易理解和应用。

它适用于一些简单的实际问题，例如人口增长、物体运动、投资收益等。

但初等模型也有一些限制，它对问题的描述和解决方法有一定的限制性，不能很好地处理复杂的问题。

总之，初等模型是数学建模中的一种简单模型，通过使用基本的数学
概念和方法来描述和解决问题。

它易于理解和应用，适用于一些简单的实际问题。

但在处理复杂问题时，可能需要借助更高级的数学模型和技巧来进行建模和分析。

第二章 初等方法建模有些模型的建立采用的数学方法十分简单，我们将这些模型称为初等建模.用简单的数学方法建模，容易被更多的人理解、接受和采用，也就有更为广泛的应用价值.所谓图解法，量纲分析方法，比例法，初等代数方法等都是初等方法建模常用的方法.2.1 建模的初等方法2.1.1 函数概念函数（function ）概念是建模中最常用的数学概念之一，它用来表示或刻画两个量或多个量之间的依赖关系.用数学的术语说，对于某个数集D 中的任意一个元素x ，都存在一个实数y 与之对应，这种对应关系被称为(一元)函数，用)(x f y =来表示.在建模中，对函数概念的灵活运用会达到意想不到的结果.如果变量y 随着变量x 的增大而增大，那么反映在函数关系)(x f y =中则说明该函数是单调递增的.反过来，若变量y 随着变量x 的增大而减小，那么反映在函数关系)(x f y =中则说明该函数是单调递减的.一个连续函数可以用一条连续的曲线来描述，这条曲线叫做函数的图像(graph ).定性分析问题时，可以根据函数是否具有某种特性（如单调性、凸凹性等）在坐标系中画一条抽象的曲线来表示两个量之间的关系即函数.最简单、最常用的函数是直线，它有如下的表示：b kx y += (2.1.1)其中k 是直线的倾斜程度，叫做斜率.当0>k 时，方程(2.1.1)表示的直线是单调递增的，即变量y 随着变量x 的增大而增大；当0<k 时，方程(2.1.1)表示的直线是单调递减的，即变量y 随着变量x 的增大而减小.参数b 的选取可以使得直线(2.1.1)过某一个预先给定的点.很多模型都是假定变量y 和变量x 有像(2.1.1)那样的函数关系的.稍微复杂一点的函数就是二次函数了，即c bx ax y ++=2(2.1.2)当假设变量y 和变量x 有像(2.1.1)那样的关系后得出的模型并不能较好的刻画现实问题时，人们会求助于比(2.1.1)稍微复杂一点的函数关系(2.1.2).方程(2.1.2)表示的二次函数在整个实数范围内不具有单调性，所以通常在使用时将自变量x 限制在某一范围内.例如，考虑)1(x cx y -=当5.00≤≤x 时，它是单调递增的函数；当15.0≤≤x 时，它是单调递减的函数.其图像见图2.1.当然，人们也会求助于其它函数来建立模型，例如xk y =，x e y = 等等.数学上称为基本初等函数的有五大类：有理函数、三角函数、反三角函数、指数函数和对数函数，而这五类函数进行有限次和、差、积、商以及复合、取反函数这些运算之后生成的函数称为初等函数.无论如何，对基本初等函数基本形态的全面了解，非常有助于构建好的模型.图2.1 函数y=2x(1-x)的图像图2.2 符号函数的图像另外几个常用的非初等函数的例子是：（1）符号函数（sign function ） 它的定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)sgn(x x x x .符号函数sgn 有一个跳跃间断点0=x ，其图像如图2.2所示.（2）Heaviside 阶跃函数（Heaviside step function ），又叫单位阶跃函数（unit step function ），它在信号处理、控制论等诸多领域都有着非常广泛的应用.利用符号函数sgn ，定义Heaviside 阶跃函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+=0,00,2/10,12)sgn(1)(x x x x x H . Heaviside 阶跃函数也被推广为下面形式： ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=0,00,0,1)(x x a x x H a .（3）Dirac δ函数（Dirac delta function ），也叫单位脉冲.⎩⎨⎧=∞≠=0,0,0)(x x x δ δ函数有如下性质：（i ）⎰∞∞-=1)(dx x δ, （ii ）⎰∞∞-=)0()()(f dx x x f δ, （iii ） ⎰∞-=x x H ds s )()(δ.δ函数并非普通意义下的函数，它属于广义函数（distribution function ）的范畴.性质（iii ）表明，δ函数是Heavisde 阶跃函数的导数（当然，这里的导数也是广义导数）.2.1.2 函数的极值在建模中会经常遇到求某个函数的极值（extreme ）.根据数学分析的知识，一个光滑函数的极值在其导数为零的点上达到.一个可导函数)(x f 的导数是xx f x x f dx x df x f x ∆-∆+==→∆)()(lim )()('0.实际上，一般并不用上面的定义来计算导数.求导数要用到导数的基本性质、基本导数表以及反函数求导公式、复合函数求导的链式法则等.这些知识在任何一本数学分析或高等数学的书中都能找到.2.1.3 矩阵及其运算在线性代数中，矩阵（matrix ）是一个m 行n 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211. 其中数对),(n m 称为该矩阵的维数（dimension ）.当行数1=m 时，矩阵化为行向量（row vector ）；当列数1=n 时，矩阵化为列向量（column vector ）；当n m =时，我们称矩阵为方阵（square matrix ）.矩阵的特别之处在于它的乘法（multiplication ）运算.两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时才能做乘法运算（这叫相容性条件），例如，假设矩阵A 如上是m 行n 列的，矩阵B 是n 行s 列的，为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ns n n s s b b b b b b b b b B 212222111211 则矩阵A 与矩阵B 是可以相乘的，它们的乘积是一个m 行s 列的矩阵，为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========n k ks mk n k k mk nk k mk n k ks k n k k k n k k k nk ks k n k k k nk k k b a b a b a b a b a b a b a b a b a AB 112111212211211121111 . 由于矩阵的上述乘法运算，所以如下的线性代数方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111可以写出比较紧凑的矩阵形式：b Ax =其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x x 21，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b b 21. 初等方法建模所需要的知识除过上面的一点高等数学内容外可能更多的是对问题本身的理解.深入理解问题是建立模型的基础，下面从实际例子来体会初等方法建模.2.2 核竞争模型自从核武器问世以来，核大国之间从未停止过竞争.人们自然十分担心，这样的竞争是否会永无止境地扩展下去，我们的世界是否会逐渐变成一个“核弹库”？现在让我们来定性地讨论这个问题.假设有甲乙两个国家，他们都感到需要持有某一最少数量的核弹头，以防止对方的“核讹诈”.双方的基本想法是：在遭到对方的突然袭击后，保证能用足够数量的核弹头幸存下来，以便给攻击者以报复性的“致命打击”.现假定甲、乙双方拥有的核弹头数分别为x 和y ．y x ,显然是整数，但由于它们数量很大，可以近似地当做实数来讨论，由此引起的相对误差是非常小的.同时.为了能给对方以“致命打击”，设甲、乙双方分别认为自己至少应保存下来0x 和0y 个核弹头.另外，为了讨论简单，假定所有弹头在进攻时具有同等的威力，在对方袭击时，也有相同的幸存率.显然，甲方为了自己的安全，其拥有的弹头数必然要随着乙方弹头数y 的增长而增长，因而存在一个单调增加函数)(y f ，当)(y f x ≥时，甲方才感到自己是安全的.同样道理，存在另一个单调增加函数)(x g ，当)(x g y ≥时，乙方才感到自己是安全的.我们将曲线)(y f x =称为甲方安全线，将曲线)(x g y =称为乙方安全线.我们用图形来描述上述情形.假定情况如图２.３所示，则必存在着双方都感到安全的区域（图中有点的部分），即核竞争的稳定区域，而两曲线的交点A 则为竞争的平衡点.现在首先碰到的最关键的问题是：事实情况是不是这样？即这样的稳定区域是否客观存在？是否会出现像图２.４描述的那样？另外一个人们关心的问题是：如果稳定区域存在，防卫能力的加强或进攻能力的加强对这种稳定有什么影响？现在，我们在一次打击不可能毁灭对方所有弹头的假设下进行讨论（否则就不存在竞争）.在此假设下可以证明稳定区域必定存在，即曲线)(y f x =和曲线)(x g y =必定相交.为此只需证明经过原点而斜率大于零的任一直线必然与两条曲线相交而最终进入客观存在的双方都感到安全的稳定区域.先证明直线)0(>=r rx y 必与)(y f x =相交而进入甲方安全区.事实上，无论r 多么大（rx y =的意义是乙方弹头数是甲方的r 倍），由于乙方的打击不可能摧毁甲方的所有核弹头，甲方每枚弹头的幸存率)(r p 总是大于零的（虽然可能很小）.那么，甲方只要拥有不少于{}0)(|min x r xp x x r ≥=枚弹头，即可认为自己是安全的，故rx y =必与)(y f x =相交而进入甲方安全区.同样道理，rx y =必与)(x g y =相交而进入乙方安全区，问题得证.下面来分析后一个问题.假如甲方加强了弹头的防御能力，弹头幸存率)(r p 增大，曲线)(y f x =将向左移动（0x 固定，如图2.5所示的虚线），而平衡点A 将移到B 处，双方的弹头数均可减少.假如甲方加强了对重要城市及要害部门的防卫，则乙方就会感到要给对方以致命打击必须拥有比0y 更多的弹头，例如需要*0y 个弹头.此时)(x g y =将上移，如图2.5所示的点曲线，而平衡点A 将移到C 处，甲乙双方为了自身的安全都将增加弹头的储备.在核竞争中要想占据和保持优势地位，制定正确的对策尤其重要，这里我们举一实例加以说明.20世纪60年代初期，苏联有人十分重视发展亿吨级（TNT ）氢弹，希望以加强弹头威力的方式在苏美核竞争中占据优势.与此同时，美方也在寻找对策，他们进行了多次模拟爆炸试验，以便确定爆炸威力与命中准确度对目标破坏力的影响大小.记k 为破坏力大小，它可根据破坏程度定量化.记x 为爆炸威力，y 为精确度（如距目标中心的距离）.根据试验结果，他们导出了一个经验公式：23/2yx k =. 由公式可以看出，若爆炸力提高到x x 8*=，则破坏力增大到k k 4*=（设y 不变）；若精确度提高8倍，即8/*y y =，则破坏力k k 64*=（设x 不变）.基于以上分析，美方采取了以提高精度为主要目标的对策.以后的事实证明，美国所采用的对策是正确的. 2.3 椅子能否放稳在我们周围的日常生活中，到处都会遇到数学问题，就看我们是否留心观察和善于联想.下面就是这样一个问题.四条长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，四条腿能否一定同时着地？初看起来这个问题与数学毫不相干，怎样才能把它抽象成一个数学问题呢？我们要建立一个简单而又巧妙的模型，来回答这个问题，在下面两个合理的假设下，问题的答案是肯定的.假设：（1）椅子的四条腿一样长，四条腿的最下端点（着地点）的连线构成一个正方形.（2）地面是数学上的光滑曲面，即沿任意方向，切面能连续移动.建模的关键在于恰当地寻找表示椅子位置的变量，并把要证明的“着地”这个结论归结为某个简单的数学关系式.假定椅子中心不动，四条腿着地点视为几何上的点，用A 、B 、C 、D 表示，将AC 、BD 连线看作x 轴、y 轴，建立如图2.6所示的坐标系.引入坐标系之后，将几何问题代数化，即用代数方法去研究这个几何问题.人们也习惯于，当一次放不平稳椅子时，总是转动一下椅子（这里假设椅子中心不动），因而将转动椅子联想到坐标轴的旋转.设θ为对角线AC 转动后与初始位置x 轴夹角，如果定义距离为椅子脚到地面的竖直长度.则“着地”就是椅子脚到地面的距离为零，由于椅子位于不同位置，椅子脚与地面距离不同，因而这个距离为θ的函数，设)(θf ―――表示A,C 两脚与地面距离之和；)(θg ―――表示B,D 两脚与地面距离之和.因为地面光滑，显然)(θf ，)(θg 连续，而椅子在任何位置总有三只脚可同时“着地”，即对任意的θ，)(θf 和)(θg 总有一个为零，有0)()(=*θθg f .不失一般性，设0)(=θg ，0)(>θf ，于是椅子问题抽象成如下数学问题：已知：)(θf ，)(θg 是θ的连续函数，0)0(=g ，0)0(>f ，且对任意的θ，)(θf 和)(θg 总有一个为零，即0)()(=*θθg f .求证：存在)2/,0(0πθ∈，使得0)()(00==θθg f . 证明：令)()()(θθθg f h -=，则0)0()0()0(>-=g f h .将椅子转动2/π，对角线互换，有0)0(=g 和0)0(>f ，有0)2/(=πf 和0)2/(>πg ，从而0)2/(<πh .而)(θh 在]2/,0[π上连续，由介值定理，必存在)2/,0(0πθ∈，使得0)(0=θh ，即)()(00θθg f =.又因为对任意的θ，有0)()(=*θθg f ，从而0)()(00=*θθg f .所以0)()(00==θθg f .即在0θ方向上四条腿能同时“着地”.2.4 供求问题社会对某种商品的需求可用曲线来表示.根据常识，当商品的价格（price ）上涨时，社会对商品的需求量（demand ）会下降，反之，当商品的价格下跌时，社会对商品的需求量会增长.这种关系反映在函数上是单调递减的，其图像是一条下降的曲线，如图2.7所示的曲线1D 和2D ．设)(Q P P =是需求曲线方程．令)('Q QP P dP dQ Q P e -=-= (2.4.1) e 称为需求弹性．需求弹性也可以近似表示为PP Q Q e //∆∆≈． (2.4.2)从(2.4.2)式中可以看出需求弹性的经济意义，即它表示商品价格上涨１％时，社会对商品需求下降的百分数.例如“美国中型汽车的需求弹性是２.５”，意思是说“中型汽车的价格上涨１％，结果将导致销售量下降２.5%”.若1>>e ，即价格的很小变化将引起需求量的相当大的变化，则称社会对商品的需求是弹性的.若1<<e ，即价格的变化对需求量的影响很小，则认为需求量是非常无弹性的.例如，生活中的必需品，无论价格如何变化，人们总是需求一定数量用来维持生活.无弹性需求曲线具有这样的性质：总收入若)(Q QP Q P TR =∙=是Q 的减函数，即当且仅当若1<e 时，Q P TR ∙=是Q 的减函数.例如，当某种商品生产过量时，商品泛滥于市场，使得生产者的总收入减少.那么，需求、总收入与边际收入之间有怎样的关系呢？设需求函数是线性函数是bQ a Q P -=)(.需求曲线、总收入及边际收入曲线如图2.8所示.因为bQ a Q P -=)(，所以总收入2)(bQ aQ Q QP TR -==边际收入bQ a dQdTR MR 2-==需求弹性 1-=bQ a e 当2a Q b<时，1>e ，边际收入为正值，总收入增加. 当2a Q b >时，情况正好相反. 因此在一般情况下需求弹性与产量是密切相关的.同样道理，某种商品的供给（supply ）也可用曲线来描述.图2.9给出了某种商品的供给曲线.横坐标Q 表示生产者生产商品的数量（quantity ），纵坐标P 表示商品的价格.设供给曲线方程为)(Q S P =，定义供给弹性)()('Q QS Q S e = 当0>e 时，供给曲线是上升的，即价格的上涨引起生产者的兴趣，生产者增加产量，以追求更大的利润，这时供给曲线称为弹性供给曲线.问题1 如何取得最大利润？设Q 为单位时间的产量，即生产水平.)(Q C 为单位时间生产Q 件产品所需总成本，MC 为边际成本，应有)('Q C MC =；AC 为平均成本，有QQ C AC )(=. 如果总成本曲线如图2.10所示，考虑成本与利润的关系.当10Q Q <<时，总成本曲线是凸的，当1Q Q >时，曲线是凹的.相应的边际成本曲线当10Q Q <<时，曲线下降，当1Q Q >时，曲线上升.也就是说，随着产品的大量投产，生产效率上升，当生产发展到较高的生产水平时，生产效率下降.如图2.11所示，边际成本曲线与平均成本曲线相交于平均成本曲线的极小值点2Q .生产者实行怎样的生产水平可以使生产获得最大得利润？利润)(Q C PQ -=π，令0=dQd π，得到)('Q C P =，即价格等于边际成本时，生产者所获利润最大.然而必须注意到应有)('2Q C P >，)('2Q C 是平均成本的最小值，否则，对于所有的Q ，有0)()(<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=Q Q C P Q Q C PQ π.显然，此时生产者宁愿停产，也不愿亏本经营.问题2 如何达到市场上的供需平衡？在自由竞争的市场经济中，考虑供需平衡问题.供给曲线与需求曲线的交点称为供需平衡点，如图 2.12中的M点.在供需平衡点M处，商品的供应价格等于需求价格，供给数量等于社会的需求量，这时市场经济处于平衡状态.然而在实际中，商品的价格是由市场调节的，生产者希望提供产品价格以追求更大利润，偏离平衡点.而价格的增加使社会对商品的需求量减少造成产品积压，这时生产者不得不降低产品价格，刺激消费者增加购买量.当市场经济出现供需不平衡的时候，能否通过调节价格的手段使之趋于平衡点？理论上可以分成如图2.13和图2.14两种情况.在图2.13中，供给曲线的斜率的绝对值大于需求曲线斜率的绝对值.在供需不平衡的点1A ，生产者下调产品价格，增加了消费者的购买量.由于价格的下降导致生产者减少产量，产量低于一定限度时，市场上商品紧缺，使得生产者又可以适当提高价格，在这一变化中，即M A A A →→→→ 321，最终达到市场平衡.在图2.14中，供给曲线的斜率的绝对值小于需求曲线斜率的绝对值，这时虽然调节价格但仍然不能达到平衡，市场趋于紊乱.消费者对市场不敏感，这是经济危机的先兆.那么，应该如何制定产品价格？下面给出简单的说明.例 设某种产品的价格为x ，)(x S 和)(x D 分别表示产品的供给函数和需求函数，设)(x S 和)(x D 都是线性函数，)(x S 和)(x D 的关系如图 2.15. M 点是供需平衡点，即*)(*)(x D x S =.假设βα+-=)()(x a x S ， βα+--=)()(x b x D ， 其中0,0>>b a ，S 和D 交与),(βαM . 当α=*x 时，β==*)(*)(x D x S .建模 把时间分为相等时段.设n x 是n t =时的产品价格，此时产品供应量依赖于1-=n t 时的产品价格，即)(1-n x S . 又n t =时，产品的需求量依赖于此时产品价格，即)(n x D . 要使市场上供需平衡，应有)()(1n n x D x S =-. 求解 根据(2.4.4) (2.4.5)和(2.4.6)，有βαβα+-=+--+)()(1n n x a x b ， 即α)(1b a ax bx n n +=++.上式可以通过递推方法求解，得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a b a b b a x b a x n n n 11)(0α， 即,...)2,1()(0=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n x b a x n n αα.(2.4.7) 若1<b a ，则当∞→n 时，α→n x ；反之， 若1>ba ，则当∞→n 时，n x 远离平衡点.量b a 恰好是供给曲线与需求曲线的斜率之比的绝对值.利用(2.4.7)可以合理制定产品n t =时的价格.2.5 遗传问题随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥秘，越来越注重遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，引起人们更多的注意.无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对确定了后代所表现的特征.本节将讨论常染色体遗传问题.2.5.1 常染色体遗传模型在常染色体遗传中，后代是从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称基因型.如果我们所考虑的遗传是由两个基因A和a控制的，那么就有三种基因对，记为AA、Aa、aa.例如，金鱼草是由两个遗传基因决定他的花的颜色，基因型是AA型的金鱼草开红花，Aa型的金鱼草开粉红色花，而aa型的开白色花.又如人类眼睛的颜色也是通过常染色体遗传控制的.基因型是AA或Aa的人，眼睛为棕色，基因型为aa的人，眼睛为蓝色.理论认为，后代的基因型由父体与母体基因各等可能地继承一半而形成的.于是就有下面的后代各种基因型概率（表2.5.1）.表2.5.1 父体-母体基因型与后代基因型出现的概率例农场的植物园中某种植物的基因型为AA、Aa和aa.农场计划采用AA型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代.那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布如何？假设 （1）设n n b a ,和n c 分别表示第n 代植物中基因型为AA 、Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率.令)(n x为第n 代植物的基因型分布，即.][)(T n n nn c b a x = 当0=n 时，T c b a x ][000)0(=表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分布），显然有.1000=++c b a（2）第1-n 代的分布与第n 代的分布关系是通过表2.5.1确定的.建模 根据假设（2），先考虑第n 代中的AA 型.由于第1-n 代的AA 型与AA 型结合，后代全部是AA 型，第1-n 代的Aa 型与AA 型结合，后代是AA 型的概率为1/2，而第1-n 代的aa 型与AA 型结合，后代不可能是AA 型.因此,2,1,0211111=⋅+⋅+⋅=---n c b a a n n n n (2.5.1)类似地可推出,2,1,2111=+⋅=--n c b b n n n (2.5.2),2,1,0==n c n (2.5.3)求解 将上面三式相加，可得.111---++=++n n n n n n c b a c b a利用递推和假设（1），可得.,2,1,0,1000 ==++=++n c b a c b a n n n将(2.5.1)- (2.5.3)写成矩阵的形式为：,,2,1,)1()( ==-n Mx xn n(2.5.4)其中.00012/1002/11⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=M由(2.5.4)递推可以得到.)0()2(2)1()(x M x M Mx x n n n n ====-- (2.5.5)关系式(2.5.5)给出了第n 代的基因分布与初始分布的关系.为了更进一步分析第n 代的基因分布，我们利用对角化M 来计算n M .矩阵的对角化可以通过Matlab 语言的命令eig 来实现.下面Matlab 代码给出了矩阵的M 对角化.>> M=[1 1/2 0;0 1/2 1;0 0 0];>> format rat>> [P,D]=eig(M)P =1 -985/1393 881/21580 985/1393 -881/10790 0 881/2158D =1 0 0 0 1/2 0 0 0 0利用上面的结果，可知,1-=PDP M其中,00002/10001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D.002012158/881001079/8811393/98502158/8811393/985122121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k k k k k P 从而1100002/10001--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==P P P PD M nn n =.0002/12/102/112/11111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----n n n n 于是⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=--.0,2/2/,2/2/1100100nn n n n n n c c b b c b a (2.5.6)当∞→n 时，,02/1→n 从(2.5.6)式中可以得到,1→n a ,0→n b ,0→n c即在极限的情况下，培育的植物都是AA 型.2.5.2 常染色体隐性病模型现今世界上已经发现的遗传病将近4000种.在一般情况下，遗传疾病是与特殊的种族、部落及群体有关.例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间.患者经常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源.假如我们能识别这些疾病的隐性患者，并且规定隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但绝不会出现显性特征，不会受到疾病的折磨.现在考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者的概率.假设 （1）常染色体遗传的正常基因记为A ，不正常基因记为a ，并以AA ，Aa ，aa 分别表示正常人、隐性患者、显性患者的基因型.（2）设n n b a ,分别表示第n 代中基因型为AA ，Aa 占总人数的百分数，记[].,2,1,)( ==n b a x T n n n（3）为使每个儿童至少有一个正常的父亲或母亲，因此正常人或隐性患者必须与正常人结合，即两个隐性患者不能结合，其后代的基因型概率由表2.5.2给出.建模 由假设（3），从第1-n 代到第n 代基因型分布的变化取决于下面方程：,2111--+=n n n b a a .21011--+=n n n b a b 所以就有,,2,1,)1()( ==-n Mx x n n(2.5.7)其中 .2/102/11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=M 由(2.5.7)递推可以得到.)0()2(2)1()(x M x M Mx x n n n n ====-- (2.5.8)关系式(2.5.8)给出了第n 代的基因分布与初始分布的关系.将M 对角化，即1-=PDP M ，其中,2/1001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D ,1011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P .1P P =- 于是.2/2/110112/10011011000001)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-n n n n n b b b a x P PD x或者.,2,1,21,21100 =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n b b b a nn n n所以，当∞→n 时，,0,1→→n n b a 隐性患者逐渐消失.另外还知道.211-=n n b b 这说明每代隐性患者的概率是前一代隐性患者概率的一半.练习在常染色体遗传模型中，如果不选用基因型AA 的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因型植物相结合，那么这种植物的任一代的三种基因型分布如何？。

数学建模的前期工作总结
在进行数学建模的过程中，前期工作是非常重要的，它直接影响到建模结果的准确性和可靠性。

前期工作主要包括问题分析、模型选择和数据收集等环节。

下面将对这些环节进行总结。

首先，问题分析是数学建模的第一步。

在问题分析阶段，需要对待解决的问题进行深入的理解和分析，明确问题的背景、目标和约束条件。

通过对问题的分析，可以确定建模的目标和范围，为后续的建模工作奠定基础。

其次，模型选择是数学建模的关键环节。

在模型选择阶段，需要根据问题的特点和要求，选择合适的数学模型来描述问题。

不同的问题可能需要不同类型的数学模型，例如线性模型、非线性模型、离散模型或连续模型等。

正确选择合适的数学模型对解决问题至关重要。

最后，数据收集是数学建模的基础。

在数据收集阶段，需要收集与问题相关的数据，包括历史数据、实验数据或调查数据等。

数据的质量和数量直接影响到建模结果的准确性，因此需要对数据进行严格的筛选和处理。

总的来说，数学建模的前期工作包括问题分析、模型选择和数据收集等环节。

这些环节的合理性和准确性直接影响到建模结果的质量，因此需要认真对待。

只有在前期工作做足做实的情况下，才能保证后续的建模工作顺利进行，并得到可靠的建模结果。