1精选部编版人教版数学八年级上册 完全平方公式

完全平方公式
新课导入
一块边长为a米的正方形田地，因需要将其边长 增加 b 米．形成四块田地，以种植不同的作物，
用不同的形式表示田地 的总面积， 并进行比较．
b
法一 直接求
总面积=(a+b)2
法二 间接求
a
总面积= a2+ ab+ ab+b2．
等式：(a+b)2= a2+2ab + b2．
a
b
1、多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以另
（1）(-3x+4y)2=_9_x_2_-_2_4_x_y_+__1_6_y．2
（2）（-2a-b）2=_4_a_2_+_4_a_b__+_b_2_．
（3）x2-4xy+___4_y_2___=（x-2y）2．
（4）a2+b2=（a+b）2+_（__-_2_a_b_)__．
（5）1 a2+__3_a__b_+9b2=（ 1 a+3b）2
a
(a−b)2 = a2−2ab+b2
b
ab
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
a
完全平方公式 的几何意义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b ab b²
更上一层
（5）已知 a+b = 4，ab = -12， 则a2 + b2= 40 .
（6）已知 m+n= 3，mn = 5， 求:(m+3)(n+3)的值.

合作探究
思考：怎样添括号才能够变成 乘法公式的结构？
例5 运用乘法公式计算: 找到相同和相反项
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ;
(2) (a + b +c ) 2.
变成两个项的和
解：(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) （2）（a + b +c ) 2
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y- 3) ] = [ (a+b) +c ]2
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
尝试练习
1.先将式子变形，后自选两道题再计算。
(1) (a + 2b – 1 ) 2 (2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
2
= _[_a_+_(_2_b_-_1_)]____ =_[_2_x_+_(_y_+_z_)_]_[_2_x_-_(_y_+_z_)]
= x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9)
三=平=个a方2数(和+a和2，+a的b再b)完加2+全+上b2平2每(+方两a2等+数ab于c乘)c这+积2+三的bc个2c2倍数+。c的2
= x2-4y2+12y-9.
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
点拨：此式需用添括号变形成平方差和完全平方公式 公式结构，再运用公式使计算简便。

完全平方公式:
(a+b)2= a2 + 2ab + b 2 (a-b)2= a2 - 2ab + b 2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方 和，加上（或减去）它们的积的2倍.
归纳总结
公式特点： （1）积为二次三项式； （2）积中两项为两数的平方和； （3）另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相
●
2.
中国人对蔬菜 的 热 爱 ，本 质 上 是 对 土地 和 家 乡 的 热爱 。 本 诗 主 人公 就 是 这 样 一位 采 摘 野 菜 的同 时 ， 又 保 卫 祖国 、 眷 恋 家 乡的 士 兵 。
●
3 . 本 题运 用 说 明 文 限制 性 词 语 能 否删 除 四 步 法 。不 能 。 极 大 的一 词 表 程 度 ，说 明 绘 画 的 题材 范 围 较 过 去有 了 很 大的 变 化 ， 删 去之 后 其 程 度 就会 减 轻 ， 不 符合 实 际 情 况 ，这 体 现 了 说
=m2+m•(-2)+(-2)•m+(-2)×(-2)=m2-4m+4 （5）(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 （6）(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
提出问题： (1)观察探究中的算式，找出它们的相同点和不同点； (2)观察一下，每个式子能否根据幂的意义将其拆成两 个多项式相乘的形式？ (3)根据多项式乘多项式的法则，计算出每个式子的结 果，观察结果，你能发现什么规律？ (4)用简洁的方式表示你的发现．
暗淡减损。
●

新课学习
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
新课学习a2+2ab+b2a2-2ab+b2
知识点.完全平方公式
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
知识点.完全平方公式a2+2ab+b2a2-2ab+b2
x2+2×x×2+22
x2+4x+4
a2-2×a×4+42
a2-8a+16
x2+2×x×2+22x2+4x+4a2-2×a×4+42
x2+2×x×1+12
x2+2x+1
a2-2×a×5+52
a2-10a+25
x2+2×x×1+12x2+2x+1a2-2×a×5+52a
4x2-4x+1
4x2+4xy+y2
4x2-4x+1 4x2+4xy+y2 乘法公式——完全平方
4x2-12xy+9y2
4x2+20xy+25y2
4x2-12xy+9y24x2+20xy+25y2乘法公式—
16x2+8xy+y2
16x2-24xy+9y2
16x2+8xy+y216x2-24xy+9y2 乘法公式—
4a2+12ab+9b2
4a2+12ab+9b2 乘法公式——完全平方公式人教版八年
x2-2x+1

=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 =右边 所以原式成立。
把一块边长为a米的 正方形农田，边长减少b 米，形成一块小正方形 农田，谁能帮他们组实 现这个愿望呢？(a>b)
人教版八年级数学上册14.完全平方公 式PPT 课件
证明： 左边=(a-b)(a-b)
=a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 =右边 所以原式成立。
例1 判断正误：对的画“√”，错的画 “×”，并改正过来：
(1) (a + b )2=a2+b2 +2ab ( ×)
(2) (a – b )2=a2+-b2-2ab
( ×)
• (x + 2y )2=x2+2x4y+y24y2 ( ×)
(2) ( -m + n )2=-m2-2mn+n2#43;2ab+b2 ( √)
a12 + 22ab + 1b2
(a+b)3 =
a31+ 3a32b + 33ab2 +1 b3
(a+b)4 = a41+ 4a43b + 66a2b2 +44ab13 + b4 (a+b)5 = a15 + a54b + 10a3b2+10a2b35+ ab14 + b5
人教版八年级数学上册14.完全平方公 式PPT 课件
运用完全平方公式计算：
1、(x+6)2 2、(y-5)2
3、(-2x+5)2
4、(
3 4
x
2 3
y)2

完全平方公式（第一课时）
（=(a1b）)2(−m2−·(1a)b2)=·1m+21−21;
壮(a+志b)与2 =毅a力2+是2a事b+业b2的. 双翼。
(两a−数b)和2 =的a完2−全2a平b+方b2公．式：
例(m+运2)用(m完+2全) 平方公式计算：
无例钱判之断人下脚列杆运硬算，是有否钱正之确人，骨若头不酥正。确，给予改正.
例题讲解
初中数学
不要志气高大，倒要俯就卑微的人。不要自以为聪明。
壮志与毅力是事业的双翼。 鱼跳龙门往上游。 学做任何事得按部就班，急不得。
例题讲解
不怕路远，就怕志短。
一个人如果胸无大志，既使再有壮丽的举动也称不上是伟人。
壮志与毅力是事业的双翼。
海志纳不百 立川，有天容下乃无大可壁成立之千事仞。无欲例则刚判断下列运算是否正确，若不正确，给予改正.
ab
初中数学
(a+b)2 = a2+2ab+b2 ．
初中数学
探究新知
能类比两数和的完全平方公式的学习过程， 表示两数差的完全平方吗？即：(a−b)2=？
法一：
法二：
(a−b)2=(a−b)(a−b)
(a−b)2=[a+(−b)]2
=a2−ab−ab+b2
=a2+2·a·(−b)+(−b)2
=a2−2ab+b2．
两数和的完全平方公式： (a+b)2 = a2+2ab+b2.
初中数学
初中数学
例题讲解
×
两数差的完全平方公式： (a−b)2 = a2−2ab+b2.

(3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2.
探究新知
素养考点 2 利用完全平方公式进行简便计算
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 1022；
(2) 992.
解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404.
992 = (100 –1)2 =10000 –200+1
=9801.
(1) 说一说积的次数和项数. (2) 两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？ (3) 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a， b有什么 关系？它的符号与什么有关？
探究新知 公式特征： 积为二次三项式； 积中两项为两数的平方和； 另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同. 公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.
方法总结：当一个数具备与整十、整百⋯ ⋯相差一个正整数时 求它的平方，我们可以通过变形运用完全平方公式进行运算较
简便．
巩固练习
利用乘法公式计算：
(1)982–101×99；
(2)20162–2016×4030＋20152.
解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1) ＝1002–400＋4–1002＋1＝–395；
人教版 数学 八年级 上册
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
导入新知
现有如图所示的三种规格的硬纸片各若干张,请你根据 二次三项式a2+2ab+b2,选取相应种类和数量的硬纸片,
拼出一个正方形,并探究所拼出的正方形的代数意义.
素养目标
3. 体验归纳添括号法则. 2. 灵活应用完全平方公式进行计算. 1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程、 结构特点、几何解释.

人教版八年级上册数学14.2：平方差公式与完全平方公式教案
一、教学内容
人教版八年级上册数学14.2：平方差公式与完全平方公式
1.平方差公式：
- (a+b)(a-b)=a²-b²
- (a+b)²=(a-b)²+4ab
- (a-b)²=(a+b)²-4ab
2.完全平方公式：
- (a+b)²=a²+2ab+b²
- (a-b)²=a²-2ab+b²
- (a±b)²=a²±2ab+b²
3.应用平方差公式与完全平方公式进行因式分解：
- a²-b²=(a+b)(a-b)
- a⁴-b⁴=(a²+b²)(a²-b²)
பைடு நூலகம்- a⁶-b⁶=(a³+b³)(a³-b³)
4.典型例题：
-利用平方差公式与完全平方公式解决实际问题
-利用平方差公式与完全平方公式进行因式分解
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平方差公式与完全平方公式的基本概念。平方差公式是指(a+b)(a-b)=a²-b²这一规律，它在简化计算和因式分解中起着重要作用。完全平方公式则是指(a±b)²=a²±2ab+b²，它帮助我们快速计算某些特定形式的乘方。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。计算(3x+4)²，通过完全平方公式的应用，我们可以得到3x²+2*3x*4+4²，从而简化计算过程。
今天的学习，我们了解了平方差公式与完全平方公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这两个公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

＝1–4x2＋4xy–y2.
解：(3)原式＝[(a–b)＋c]2
＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c
＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc；
(4)原式＝[1＋(–2x＋y)][1–(–2x＋y)]
＝12–(–2x＋y)2
这节课你学到什么？
需要注意的问题：
第一：公式中的a，b可以指数或式
第二：公式右边都含有三项，相同的是a2+b2，不同的是加上或减去2ab
多项式的乘法法则：
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
平方差公示：
两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差
一块边长为a米的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.（如图） 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你发现了什么呢？
明确哪个是 a , 哪个是 b.
注意
例题解析
•
•
2
+
=
+
;
=
例1 利用完全平方公式计算： (3) ( + )2； (4) (4x-5y)2 ; (5) (-2n-5m)2 .
+
+
( )2
首平方，尾平方；积的二倍放中央，符号与前一个样.
第三：在具体的计算中，需要灵活运用公式
感谢同学们的聆听
p2-2p+1
4m2+4m+4
4m2-4m+4
相乘的两个多项式有什么共同点？
等式的左边都是形如(a±b)2的多项式相乘.
观察上面的结果，你发现了什么规律？
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
你能将上面发现的规律推导出来吗？