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§2 含有绝对值的不等式2.1 绝对值不等式学习目标 1.进一步理解绝对值的意义.2.理解并掌握绝对值不等式|a ＋b|≤|a|＋|b|的代数及几何解释.3.会用|a ＋b|≤|a|＋|b|解决一些简单的绝对值不等式问题．知识点 绝对值不等式定理思考1 实数a 的绝对值|a|的几何意义是什么？ 答案 |a|表示数轴上以a 为坐标的点A 到原点的距离． 思考2 代数式|x ＋2|＋|x －3|的几何意义是什么？ 答案 表示数轴上的点x 到点－2,3的距离之和．思考3 画画图，看看|x ＋2|＋|x －3|与|(－2)－3|的关系． 答案由数轴可以看出数轴上的点x 到点－2,3的距离之和大于等于点－2到3的距离，即|x ＋2|＋|x －3|≥|(－2)－3|.梳理 (1)实数的绝对值 |a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a>0，0，a ＝0，－a ，a<0.由定义易得|ab|＝|a|·|b|；⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＝|a||b|(b ≠0)；|a|2＝a 2；a 2＝|a|；－|a|≤a ≤|a|.(2)绝对值的几何意义设a 是任意一个实数，在数轴上：①|a|表示实数a 对应的点与原点O 的距离；②|x －a|表示实数x 对应的点与实数a 对应的点之间的距离； ③|x ＋a|表示实数x 对应的点与实数－a 对应的点之间的距离． (3)绝对值不等式(定理)对任意实数a 和b ，有|a ＋b|≤|a|＋|b|. 拓展 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.类型一 含绝对值不等式的证明例1 设函数f(x)＝x 2－2x ，|x －a|＜1. 求证：|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3. 证明 ∵f(x)＝x 2－2x ，且|x －a|＜1， ∴|f(x)－f(a)|＝|x 2－2x －a 2＋2a| ＝|(x ＋a)(x －a)－2(x －a)|＝|(x －a)(x ＋a －2)|＝|x －a|·|x＋a －2| ＜|x ＋a －2|＝|(x －a)＋(2a －2)| ≤|x －a|＋|2a －2| ＜1＋|2a|＋|2|＝2|a|＋3， ∴|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.反思与感悟 两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明．另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．跟踪训练1 已知|A －a|＜s 3，|B －b|＜s 3，|C －c|＜s3，求证：|(A ＋B ＋C)－(a ＋b ＋c)|＜s.证明 ∵|(A ＋B ＋C)－(a ＋b ＋c)|＝|(A －a)＋(B －b)＋(C －c)|≤|(A －a)＋(B －b)|＋|C －c|≤|A －a|＋|B －b|＋|C －c|，又∵|A －a|＜s 3，|B －b|＜s 3，|C －c|＜s3，∴|A －a|＋|B －b|＋|C －c|＜s 3＋s 3＋s3＝s ，∴|(A ＋B ＋C)－(a ＋b ＋c)|＜s. 类型二 利用绝对值不等式求最值例2 (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值；(2)如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|＜a 的解集为空集，求参数a 的取值范围． 解 (1)∵||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4， ∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4， ∴y max ＝4，y min ＝－4.(2)只要a 不大于|x －3|＋|x －4|的最小值，则|x －3|＋|x －4|＜a 的解集为空集，而|x －3|＋|x －4|＝|x －3|＋|4－x|≥|x －3＋4－x|＝1，当且仅当(x －3)(4－x)≥0，即3≤x ≤4时等号成立． ∴当3≤x ≤4时，|x －3|＋|x －4|取得最小值1. ∴a 的取值范围为(－∞，1]．反思与感悟 (1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键． 跟踪训练2 (1)已知x ∈R ，求f(x)＝|x ＋1|－|x －2|的最值； (2)若|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集不是R ，求a 的取值范围． 解 (1)∵|f(x)|＝||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴－3≤f(x)≤3，∴f(x)min ＝－3，f(x)max ＝3. (2)∵|x －3|＋|x ＋1|≥|(x －3)－(x ＋1)|＝4， ∴|x －3|＋|x ＋1|≥4.∴当a ＜4时，|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集为R. 又∵|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集不是R ，∴a ≥4. ∴a 的取值范围是[4，＋∞)． 类型三 绝对值不等式的综合应用例3 设函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a|(a ＞0)． (1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)＜5，求a 的取值范围． (1)证明 由a ＞0，可得f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a＋a ≥2，所以f(x)≥2.(2)解 f(3)＝|3＋1a |＋|3－a|，当a ＞3时，f(3)＝a ＋1a ，由f(3)＜5，得3＜a ＜5＋212；当0＜a ≤3时，f(3)＝6－a ＋1a ，由f(3)＜5，得1＋52＜a ≤3.综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.反思与感悟 含绝对值的综合问题，综合性强，所用到的知识多，在解题时，要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要注意配方等等价变形，同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时，还要注意等号成立的条件．跟踪训练3 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，当|x|≤1时，恒有|f(x)|≤1，求证：|f(2)|≤7. 证明 因为当|x|≤1时，有|f(x)|≤1，所以|f(0)|＝|c|≤1，|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1， 又f(1)＝a ＋b ＋c ，f(－1)＝a －b ＋c ， 所以|f(2)|＝|4a ＋2b ＋c| ＝|3(a ＋b ＋c)＋(a －b ＋c)－3c| ＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)| ≤3|f(1)|＋|f(－1)|＋3|f(0)| ≤3＋1＋3＝7，所以|f(2)|≤7.1．已知|x －m|＜ξ2，|y －n|＜ξ2，则|4x ＋2y －4m －2n|小于( )A ．ξB．2ξC．3ξD.ξ2答案 C解析 |4x ＋2y －4m －2n|＝|4(x －m)＋2(y －n)| ≤4|x －m|＋2|y －n|＜4×ξ2＋2×ξ2＝3ξ.2．已知a 为实数，则“|a|≥1”是“关于x 的绝对值不等式|x|＋|x －1|≤a 有解”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B解析 由|a|≥1得a ≤－1或a ≥1.因为关于x 的不等式|x|＋|x －1|≤a 有解，而|x|＋|x －1|≥|x ＋1－x|＝1，所以a ≥1.故“|a|≥1”是“关于x 的绝对值不等式|x|＋|x －1|≤a 有解”的必要不充分条件． 3．已知|a|≠|b|，m ＝|a|－|b||a －b|，n ＝|a|＋|b||a ＋b|，则m ，n 的大小关系是( )A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．m ≤n答案 D解析 m ＝|a|－|b||a －b|≤|a －b||a －b|＝1.又n ＝|a|＋|b||a ＋b|≥|a ＋b||a ＋b|＝1，∴m ≤n.4．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋a|≤8的解集不是空集，则a 的最小值是________． 答案 －9解析 ∵|x －1|＋|x ＋a|≥|x －1－(x ＋a)|＝|a ＋1|，且关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋a|≤8的解集不是空集，∴|a ＋1|≤8，解得－9≤a ≤7，即a 的最小值是－9.5．下列四个不等式：①|log x 10＋lgx|≥2；②|a －b|＜|a|＋|b|；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1.其中恒成立的是________．(把你认为正确的序号都填上)． 答案 ①③④解析 |log x 10＋lg x|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1lg x ＋lg x ＝1|lg x|＋|lg x|≥2，①正确；当ab ≤0时，|a －b|＝|a|＋|b|，②不正确； ∵ab ≠0，b a 与ab同号，∴|b a ＋a b |＝|b a |＋|ab|≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知，|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④正确．1．求含绝对值的代数式的最值问题的综合性较强，直接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用求|a ＋b|，|a －b|的最值，及ab ≥0时，|a|＋|b|＝|a ＋b|，当ab ≤0时，|a|＋|b|＝|a －b|的定理，达到目的． 2．求y ＝|x ＋m|＋|x ＋n|和y ＝|x ＋m|－|x ＋n|的最值，其主要方法有 (1)借助绝对值的定义，即零点分段； (2)利用绝对值的几何意义； (3)利用绝对值不等式的性质定理．一、选择题1．已知h ＞0，a ，b ∈R ，命题甲：|a －b|＜2h ；命题乙：|a －1|＜h 且|b －1|＜h ，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B解析 “乙⇒甲”， ∵|a －1|＜h ，|b －1|＜h ， ∴|a －1|＋|b －1|＜2h ，又|a －1|＋|b －1|≥|(a －1)－(b －1)|＝|a －b|， ∴|a －b|＜2h.“甲⇏乙”．当a ＝b ＝5，h ＝1时，甲⇏乙．2．设|a|＜1，|b|＜1，则|a ＋b|＋|a －b|与2的大小关系是( ) A ．|a ＋b|＋|a －b|＞2 B ．|a ＋b|＋|a －b|＜2 C ．|a ＋b|＋|a －b|＝2 D ．不能比较大小答案 B解析 当(a ＋b)与(a －b)同号或(a ＋b)(a －b)＝0时， |a ＋b|＋|a －b|＝|(a ＋b)＋(a －b)|＝2|a|＜2. 当(a ＋b)与(a －b)异号时，|a ＋b|＋|a －b|＝|(a ＋b)－(a －b)|＝2|b|＜2.3．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x|＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 ∵|x －1|＋|x|＋|y －1|＋|y ＋1| ≥|(x －1)－x|＋|()y －1－(y ＋1)|＝3.4．设变量x ，y 满足|x －1|＋|y －a|≤1，若2x ＋y 的最大值是5，则实数a 的值是( ) A ．2B ．1C ．0D ．－1 答案 B解析 由|x －1|＋|y －a|≤1，得|x －1|≤1， ∴0≤x ≤2，且|x ＋y －1－a|≤1， ∴a ≤x ＋y ≤2＋a ， ∴2x ＋y ≤4＋a ， 又2x ＋y 的最大值为5， ∴4＋a ＝5，∴a ＝1.5．已知不等式|x －m|＜1成立的一个充分不必要条件是13＜x ＜12，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞答案 B6．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为( ) A ．5B ．4C ．8D ．7 答案 A解析 由题意，得|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)| ≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5， 即|x －2y ＋1|的最大值为5. 二、填空题7．若存在实数x 使|x －a|＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－2,4]解析 |x －a|＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4.8．已知函数f(x)＝|x －3|－|x －a|.若存在实数x ，使得不等式f(x)≥a 成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32解析 由不等式性质可知，f(x)＝|x －3|－|x －a| ≤|(x －3)－(x －a)|＝|a －3|，所以若存在实数x ，使得不等式f(x)≥a 成立， 则|a －3|≥a ，解得a ≤32，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32. 9．以下三个命题：①若|a －b|≤1，则|a|≤|b|＋1； ②若a ，b ∈R ，则|a ＋b|－2|a|≤|a －b|； ③|x|＜2，|y|＞3，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＜23.其中正确命题的序号为________． 答案 ①②③解析 因为|a|－|b|≤|a －b|≤1，所以|a|≤|b|＋1，故①正确；因为|a ＋b|－2|a|＝|a ＋b|－|2a|≤|(a ＋b)－2a|＝|a －b|.故②正确；③显然正确．10．若不等式|2a －1|≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x 对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 解析 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x|＋1|x|≥2， 所以由已知得|2a －1|≤2， 即－2≤2a －1≤2， 解得－12≤a ≤32.11．已知函数f(x)＝|x －3|－2，g(x)＝－|x ＋1|＋4，若函数f(x)－g(x)≥m ＋1的解集为R ，则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－3]解析 f(x)－g(x)＝|x －3|＋|x ＋1|－6， 因为x ∈R ，由绝对值不等式，得f(x)－g(x)＝|x －3|＋|x ＋1|－6＝|3－x|＋|x ＋1|－6 ≥|(3－x)＋(x ＋1)|－6＝4－6＝－2， 于是有m ＋1≤－2，得m ≤－3， 即m 的取值范围是(－∞，－3]． 三、解答题12．求证：(1)|a ＋b|＋|a －b|≥2|a|； (2)|a ＋b|－|a －b|≤2|b|.证明 (1)∵|a ＋b|＋|a －b|≥|(a ＋b)＋(a －b)|＝|2a|＝2|a|， ∴|a ＋b|＋|a －b|≥2|a|.(2)∵|a ＋b|－|a －b|≤|(a ＋b)－(a －b)|＝|2b|＝2|b|， ∴|a ＋b|－|a －b|≤2|b|.13．设a ∈R ，函数f(x)＝ax 2＋x －a(－1≤x ≤1)． (1)若|a|≤1，证明：|f(x)|≤54.(2)求使函数f(x)有最大值178的实数a 的值．(1)证明 ∵|x|≤1，|a|≤1，∴|f(x)|＝|a(x 2－1)＋x|≤|a||x 2－1|＋|x|≤|x 2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x|－122＋54≤54.(2)解 当a ＝0时，f(x)＝x ；当－1≤x ≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝1不可能满足题设条件，∴a ≠0. 又f(1)＝a ＋1－a ＝1，f(－1)＝a －1－a ＝－1，故f(±1)均不是最大值．∴f(x)的最大值为178，应在其对称轴上，即顶点位置取得．∴a<0，∴命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1<－12a<1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝178，a<0，得⎩⎪⎨⎪⎧a<－12，(a ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋18＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a<－12，a ＝－2或a ＝－18.∴a ＝－2. 四、探究与拓展14．设x ，y ∈R ，求证：|2x－x|＋|2y －y|＋|x ＋y|≥212x y++.证明 由绝对值三角不等式，得|2x －x|＋|2y－y|≥|2x＋2y－(x ＋y)|≥|2x＋2y|－|x ＋y|， ∴|2x－x|＋|2y－y|＋|x ＋y|≥|2x＋2y |. 而|2x＋2y|＝2x＋2y≥22x·2y＝22x+y＝2·22x y +＝212x y++，∴|2x－x|＋|2y－y|＋|x ＋y|≥212x y++.15．已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a 2－b 2|2|a|≥|a|2－|b|2.证明 (1)若|a|＞|b|，左边＝|a ＋b||a －b|2|a|＝|a ＋b||a －b||a ＋b ＋a －b|≥|a ＋b||a －b||a ＋b|＋|a －b|＝11|a ＋b|＋1|a －b|.∵1|a ＋b|≤1|a|－|b|，1|a －b|≤1|a|－|b|， ∴1|a ＋b|＋1|a －b|≤2|a|－|b|， ∴左边≥|a|－|b|2＝右边．(2)若|a|＜|b|，左边＞0，右边＜0， ∴原不等式显然成立．(3)若|a|＝|b|，原不等式显然成立． 综上可知，原不等式成立．。
不等式选作第1讲 绝对值不等式 1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：(2)|ax ＋b |①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ；②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ．考点一__含绝对值不等式的解法________________解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.[解] 法一：如图，设数轴上与－2，1对应的点分别是A ，B ，则不等式的解就是数轴上到A 、B 两点的距离之和不少于5的点所对应的实数．显然，区间[－2，1]不是不等式的解集．把A 向左移动一个单位到点A 1，此时|A 1A |＋|A 1B |＝1＋4＝5.把点B 向右移动一个单位到点B 1，此时|B 1A |＋|B 1B |＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．法二：原不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋x ＋2≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －1＋x ＋2≥5， 解得x ≥2或x ≤－3，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．[规律方法] 形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a <b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a |＋|x －b |>c (c >0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解．1.解不等式|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.解：①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，∴x <－3.②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2.考点二__绝对值不等式性质的应用______________确定“|x －a |<m 且|y －a |<m ”是“|x －y |<2m (x ，y ，a ，m ∈R )”的什么条件．[解] ∵|x －y |＝|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |<m ＋m ＝2m ， ∴|x －a |<m 且|y －a |<m 是|x －y |<2m 的充分条件．取x ＝3，y ＝1，a ＝－2，m ＝2.5，则有|x －y |＝2<5＝2m ，但|x －a |＝5，不满足|x －a |<m ＝2.5， 故|x －a |<m 且|y －a |<m 不是|x －y |<2m 的必要条件．故为充分不必要条件． [规律方法] 两数和与差的绝对值不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它经常用于证明含绝对值的不等式．2.若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以只需a ≤3即可．故a 的取值范围为(－∞，3]． 考点三__绝对值不等式的综合应用______________(2013·高考辽宁卷)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎨⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.[规律方法] 1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．2．对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．3.(2015·唐山市第一次模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a ，a ∈R ，g (x )＝|2x －1|.若当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解：f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋|2x －1|＋a ≥|2x －a －2x ＋1|＋a ＝|a －1|＋a ， 当且仅当(2x －a )(2x －1)≤0时等号成立．解不等式|a －1|＋a ≥3，得a 的取值范围是[2，＋∞)．1．求不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集．解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－x －3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <2，x ＋3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3，解得1≤x <2或x ≥2，故原不等式的解集为{x |x ≥1}． 2．在实数范围内，解不等式||x －2|－1|≤1.解：依题意得－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.故x 的取值范围是[0，4]． 3．(2015·山西省忻州市联考)已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1.解：(1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，解得1≤x ≤2，∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3. (2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1. 4．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝|1|ax +＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围． 解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝|1|a x +＋|x －a |≥|)(1|a x ax --+＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2. (2)f (3)＝|13|a+＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.5．(2015·大连市模拟)设不等式|x －2|＋|3－x |<a (a ∈N *)的解集为A ，且2∈A ，32∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．解：(1)由题可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1a ≤2所以1<a ≤2，因为a ∈N *所以a ＝2.(2)因为|x ＋2|＋|x －2|≥|(x ＋2)－(x －2)|＝4，所以f (x )的最小值是4. 6．(2015·新乡许昌平顶山调研)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.若a >1，∀x ∈R ，f (x )＋|x －1|≥1，求实数a 的取值范围．解：令F (x )＝f (x )＋|x －1|，则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2＋a ，x <1x －2＋a ，1≤x <a ，3x －2－a ，x ≥a所以当x ＝1时，F (x )有最小值F (1)＝a －1，只需a －1≥1，解得a ≥2，所以实数a 的取值范围为[2，＋∞)．1．(2015·辽宁五校协作体联考)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数t ，使f ）（2t≤m －f (－t )成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由|2x －a |＋a ≤6，得|2x －a |≤6－a ，∴a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3，∴a －3＝－2， ∴a ＝1.(2)∵f ）（2t ≤m －f (－t )，∴|t －1|＋|2t ＋1|＋2≤m ，令y ＝|t －1|＋|2t ＋1|＋2，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3t ＋2，t ≤－12，t ＋4，－12<t <1，3t ＋2，t ≥1.∴y min ＝72，∴m ≥72.2．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈[－a 2，12)时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y <0，所以原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)当x ∈[－a 2，12)时，f (x )＝1＋a ，不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3，所以x ≥a －2对x ∈[－a 2，12)都成立，故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是(－1，43]．3．(2015·云南省统考)已知a 、b 都是实数，a ≠0，f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)若f (x )>2，求实数x 的取值范围；(2)若|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对满足条件的所有a 、b 都成立，求实数x 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ≤11，1<x ≤2.2x －3，x >2由f (x )>2得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤13－2x >2或⎩⎪⎨⎪⎧x >22x －3>2，解得x <12或x >52.∴所求实数x 的取值范围为(－∞，12)∪(52，＋∞)．(2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )．又∵|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，∴f (x )≤2.∵f (x )>2的解集为{x |x <12或x >52}，∴f (x )≤2的解集为{x |12≤x ≤52}，∴所求实数x 的取值范围为[12，52]．4．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a <3)的最小值为2.(1)解关于x 的方程f (x )＝a ；(2)若存在x ∈R ，使f (x )－mx ≤1成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|x －4－(x －a )|＝|a －4|(当(x －4)(x －a )≤0时取等号)，知|a －4|＝2，解得a ＝6(舍去)或a ＝2.方程f (x )＝a 即|x －4|＋|x －2|＝2，由绝对值的几何意义可知2≤x ≤4.(2)不等式f (x )－mx ≤1即f (x )≤mx ＋1，由题意知y ＝f (x )的图象至少有一部分不在直线y ＝mx ＋1的上方，作出对应的图象观察可知，m ∈(－∞，－2)∪[14，＋∞)．。
