《平面向量的数量积》学案

平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案（1）学习目标：1、利用物理中功的概念了解平面向量数量积的物理背景，理解向量的数量积概念及几何 意义；能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2、掌握由定义得到的数量积的5条重要性质，并能运用性质进行相关的判断和运算；3、了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，培养学生的应用意识.学习过程 一、课前准备 复习：1、向量加法和减法运算的两个法则是 和 .2、向量数乘运算的定义是 . 思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量 能否“相乘”呢？ 二、新课导学探究1：如下图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W = ，其中θ是 . 思考:这个公式的有什么特点？请完成下列填空：F （力）是 量；S （位移）是 量；θ是 ；W （功）是 量； 结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？ 新知1：向量的数量积（或内积）的定义已知两个非零向量a 和b ，我们把数量cos a b θ叫做a 和b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即cos a b a b θ⋅=.其中θ是a 和b 的夹角（０≤θ≤π）说明：①记法“a ·b ”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“⨯ ”代替。

② 两个非零向量夹角的概念：非零向量a 与b ，作OA ＝a，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b的夹角（两向量必须是同起点的）特别地：当θ＝０时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b反向；当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；③“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即00a ⋅=。

探究2：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？ 期望学生回答：线性运算的结果是向量；数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a 与b 的模有关，还和它们的夹角有关。

平面向量的数量积教案一、教学目标：1. 理解平面向量的数量积的概念及其几何意义。

2. 学会计算平面向量的数量积，并能熟练运用数量积解决实际问题。

3. 掌握平面向量的数量积的性质，并能运用其性质进行向量运算。

二、教学重点：1. 平面向量的数量积的概念及其几何意义。

2. 平面向量的数量积的计算方法。

3. 平面向量的数量积的性质。

三、教学难点：1. 平面向量的数量积的计算方法。

2. 平面向量的数量积的性质的证明。

四、教学准备：1. 教师准备PPT，内容包括平面向量的数量积的概念、计算方法、性质及其应用。

2. 教师准备一些实际问题，用于引导学生运用平面向量的数量积解决实际问题。

五、教学过程：1. 导入（5分钟）教师通过PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何运用向量的知识解决这些问题。

2. 讲解平面向量的数量积的概念（10分钟）教师通过PPT讲解平面向量的数量积的概念，并展示其几何意义。

3. 讲解平面向量的数量积的计算方法（15分钟）教师通过PPT讲解平面向量的数量积的计算方法，并给出一些例题进行讲解。

4. 练习平面向量的数量积的计算（10分钟）学生独立完成一些练习题，教师进行解答和讲解。

5. 讲解平面向量的数量积的性质（10分钟）教师通过PPT讲解平面向量的数量积的性质，并给出一些证明。

6. 练习平面向量的数量积的性质（10分钟）学生独立完成一些练习题，教师进行解答和讲解。

7. 应用平面向量的数量积解决实际问题（10分钟）教师给出一些实际问题，引导学生运用平面向量的数量积解决这些问题。

8. 总结（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并强调平面向量的数量积的重要性和应用价值。

9. 布置作业（5分钟）教师布置一些练习题，巩固学生对平面向量的数量积的理解和应用。

10. 课堂反馈（5分钟）教师通过课堂反馈了解学生对平面向量的数量积的掌握情况，为下一步的教学做好准备。

六、教学拓展：1. 教师通过PPT讲解平面向量的数量积与其他向量知识的联系，如向量的模、向量的加减法等。

2.4《平面向量的数量积》导学案【学习目标】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 【导入新课】 复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x ，),(y x a . 若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1 )时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a1111.10．力做的功：W = |F | |s |cos ， 是F 与s 的夹角. 新授课阶段1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0 ≤ ≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定.C（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a 0，且a b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a b =0，不能推出b =0.因为其中cos 有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a b = b ca =c如右图：a b = |a ||b |cos = |b ||OA|，b c = |b ||c |cos = |b ||OA|a b = b c 但a c显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线. 3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当 为锐角时投影为正值；当 为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为0；当 = 0 时投影为 |b |；当 = 180 时投影为 |b |. 4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos 2 a b a b = 03 当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a||4 cos =||||b a ba5 |a b | ≤ |a ||b |例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o，求a ·b . 例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o求(a+2b)·(a -3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.解：评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例5 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.课堂小结 （略） 作业 （略） 拓展提升1.已知向量(3,1)a r，b r 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b r r ，则b r （ ）A ．（31,22） B ．（13,22） C ．（133,44） D ．（1,0） 2. 设B A ,两点的坐标分别为)0,1(),0,1( .条件甲：0AC BC u u u r u u u r；条件乙：点C 的坐标是方程122y x 的解.则甲是乙的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.已知||22,||3,p q p u r r u r 与q r 的夹角为4，则以52,3a p q b p q r u r r r u r r 为邻边的平行四边形的较短的对角线长为 （ ）A.15B.15C.14D.164.把点(2,2)A 按向量(2,2) 平移到点B ，此时点B 在OC 的延长线上，且||2||OB BC u u u r u u u r，则点C 的坐标为 .5.把函数5422x x y 的图象按向量a平移,得到22x y 的图象,且a b r r ,)1,1( c，4 c b ,则 b.6.不共线向量a r ，b r 的夹角为小于120o的角，且||1,||2a b r r ，已知向量2c a b r r r ，求||c r的取值范围.7. 已知向量,a b r r 满足||||1a b r r ，且||3|a kb ka b r r r r，其中0k .（1）试用k 表示a b r r ，并求出a b r r 的最大值及此时a r 与b r的夹角 的值；（2）当a b r r 取得最大值时，求实数 ，使||a b r r的值最小，并对这一结果作出几何解释.8. 已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin ),[,]222264x x x x a b xr r .（1）求a b r r 及；||a b r r；（2）求函数()()(||a b f x R a b r r r r 且0) 的最小值.参考答案例1 （略） 例2 （略） 例3 （略） 例4解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律. 例5解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.拓展提升1 提示：设(,)(0)b x y y r 33x y 221(0)x y y .2 提示：设点C 的坐标为(,)x y . 0AC BC u u u r u u u r 2(1)(1)0x x y ,∴0AC BC u u u r u u u r 122 y x ，∴甲是乙的充要条件.3 提示：经验证，知以a b r r 为对角线时，其长度较短，6a b p q r r u r r.4 (0,2)提示：点B 的坐标为(0,4)，设点C 的坐标为(,)x y ，则2OB BC u u u r u u u r，可求得点C的坐标为(0,2).5 )1,3( 提示：由函数 5422x x y 的图象按向量a平移,得到22x y 的图象，可得(1,3)a r；设(,)b m n r ，由a b r r 和4 c b得：304m n m n ，解之得3,1m n .6 解：2222|||2|||44||178cos c a b a a b b r r r r r r r （其中 为a r 与b r 的夹角）.∵0120 o, ∴1cos 12, 13||5c r , ∴||c r 的取值范围为13,5).7解：（1）2221||3|()3()(0)4k a kb ka b a kb ka b a b k kr r r r r r r r r r . ∴111()42a b k k r r ,此时1cos 2 ，23 .∴21(0)4k a b k k r r ，a b r r 的最大值为12 ，此时a r 与b r 的夹角 的值为23. （2）由题意，12a b r r ，故22213||1()24a b r r ，∴当12 时，||a b r r 的值最小，此时1||02a b b r r r ，这表明当1()2a b b r r r .8解：（1）333cos cos sin sin cos()cos 2222222x x x x x xa b x r r ； 223333|||(cos cos ,sin sin )|(cos cos )(sin sin )22222222x x x x x x x xa b r r 3322(coscos sin sin )22cos 22cos 2222x x x xx x .（2）cos 21()(cos )2cos 2cos xf x x xx, ∵[,]64x , ∴1cos 2cos x x是减函数，①当0 时，()f x 的最小值为()04f；②当0 时，()f x 的最小值为()6f.综上，当0 时，()f x 的最小值为0；当0 时，()f x .。

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【课标要求】1.知道平面向量数量积的物理意义，记住其含义。

2.会用平面向量数量积的公式解决相关问题。

3. 利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题。

【考纲要求】1.会用平面向量数量积的公式解决相关问题。

2.利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题。

【学习目标续写】1.由向量的数量积体会向量和数量之间的联系。

2.总结用向量的数量积解决有关长度、角度和垂直问题的方法。

3.让我们充满激情的进入充满神秘色彩的数学世界。

【使用说明与学法指导】1.精读教材103-105页,用红笔勾画重点，理解和掌握定义，作答预习案、探究案。

2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，整理在导学案上，准备讨论质疑。

【预习案】(5分钟处理疑难）1.在等边三角形ABC中,求：(1)AB AC与的夹角；(2)AB BC与的夹角。

2.一些特殊角的余弦值：3.在两向量的夹角定义中，两向量夹角的范围是。

4.b在a上的投影是。

5.数量积a b⋅的几何意义是。

6.零向量与任一向量的数量积等于。

7.a b⋅是一个实数，那么它什么时候为正？什么时候为负？什么时候为零？8.总结数量积的性质和运算律，判断下列各题是否正确（1）00a⋅=（）（2）00a⋅=（）（3）a b a b⋅=（）（4）若0a≠，则对于任一非零向量b有0a b⋅≠（）（5）若a与b是两个单位向量，则22a b=（）（6）对任意向量,,a b c，都有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅（）【我的质疑】【探究案】（25分钟讨论、展示、点评、质疑）一、向量数量积的概念（口展，命题真假说明原因）例1.已知,,a b c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是（）①a b a b a⋅=⇔∥b；②,a b a b a b⇔⋅=-反向；③a⊥b a b a b⇔+=-；④a b a c b c=⇔⋅=⋅。

A.1B.2C.3D.4二、平面向量数量积的运算（板展）（做第（2）问可用第（1）问结论，不必重做一次a b⋅）例2.05,4,60,1(2)(2)a b a b a b a a bθ===⋅⋅-已知与的夹角求（）例3.向量a b 与夹角为3π，2,1ab ==，求2a b -的值。

平面向量数量积的定义【课标要求】理解平面向量数量积的定义，以及运用数量积进行计算，掌握一些基本变形.【学习目标】平面向量数量积的定义.【重难点】平面向量数量积的定义.【知识回顾】1、对于两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做两向量之间的夹角当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；当θ＝90°时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .<a ，b >＝<b ，a >，规定零向量与任一向量平行．2．向量在轴上的正射影(1)已知向量a 和轴l 如图所示，作OA →＝a ，过点O 、A 分别作轴l的垂线，垂足分别为O 1、A 1，则向量O 1A 1→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)．(2)a 在轴l 上的正射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量，记作a l ，a l ＝θcos a . (3)射影的坐标是数量，当α为锐角时，a l 为正值；当α为钝角时，a l 为负值；当α＝0时，a l ＝a ；当α＝π时，a l ＝a-. 3．向量的数量积(内积)(1)θcos b a 叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝θcos b a .(2)两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、零、负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量、实数乘实数之间的差异．(3)向量数量积的几何意义：向量a 与向量b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的正射影的数量|b |cos<a ，b >的乘积，或看作是向量b 的长度b 与a 在b 方向上正射影的数量b a a ，cos 的乘积．4．向量数量积的性质(1)如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a ＝e a a ，cos (2)a ⊥b ⇔0=⋅b a ；(3)2a =a ·a ＝|a |2(4)cos<a ，b >＝b a ba ⋅（a ≠0，b ≠0)；（5）b a ≤⋅5、平面向量数量积的运算律a.a b b a ⋅=⋅（交换律）b.()()()b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律） c.()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+（分配律）【随堂练习一】1、若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则( )A ．a ＝bB ．a ≠bC ．|a |＝|b |D ．a 在c 方向上的正射影的数量与b 在c 方向上的正射影的数量必相等2、已知a 、b 为两个单位向量，则下列说法正确的是( )A ．a ＝bB ．如果a ∥b ，那么a ＝bC ．a ·b ＝1D ．a 2＝b 23、在△ABC 中，AB →·CB →<0，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4、若|a|＝4，|b|＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．45、|m |＝2，m·n ＝8，<m ，n >＝60°，则|n |＝( )A ．5B ．6C ．7D ．86、向量a 的模为10，它与x 轴的夹角为150°，则它在x 轴上的投影为( )A ．－53B ．5C ．－5D ．537、对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c8、已知向量a 、b 满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π29、有下列四个式子：①0·a ＝0；②0·a ＝0；③0－MN →＝NM →；④|a ·b |＝|a ||b |，其中正确的个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10、已知平面上三点A 、B 、C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB→的值等于( )A ．－7B ．7C ．28D ．－2811、已知a ·b ＝16，若a 与b 方向上的射影数量为4，则|b |＝________.12、若等腰△ABC 的底边BC 长为4，则BA →·BC →＝________.13、已知|a |＝4，|b |＝5，则a 在b 上的射影的数量与b 在a 上的射影的数量的比值λ＝________.14、对于任意向量a 、b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b ＝|a |·|b |·sin θ(其中θ为a 与b 的夹角)．利用这个新知识解决：若|a |＝1，|b |＝5，且a ·b ＝4，则a ⊗b ＝________.15、已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6的边长为2，求下列向量的数量积．(1)P 1P 2→·P 1P 3→； (2)P 1P 2→·P 1P 4→； (3)P 1P 2→·P 1P 5→； (4)P 1P 2→·P 1P 6→.16、如图所示，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°.求：(1)AD →·BC →； (2)AB →·CD →； (3)AB →·DA →.17、已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，求a 与b 的夹角的取值范围．【随堂练习二】1、若|a|＝3，|b|＝3，且a 与b 的夹角为π6，则|a ＋b|＝( ) A ．3 B ．3 C ．21 D ．212、若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，且a ·(a －b )＝12，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π63、设a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ⊥b ，|a|＝1，|b|＝2，则|c |2等于( )A ．1B ．2C ．4D ．54、已知两个非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b5、下列各式中正确命题的个数为( )①(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )，(λ∈R )； ②|a ·b |＝|a |·|b |；③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ； ④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．A ．1B ．2C ．3D ．46、若非零向量a 、b 满足|a|＝223|b|，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π 7、若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．以上都不对8、若向量a 、b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )A ．2B ．2C ．1D ．229、对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b|≤|a||b |B ．|a －b|≤||a|－|b||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 10、已知|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则k 等于( )A ．－6B ．6C ．3D ．－311、设a 、b 、c 是单位向量，且a －b ＝c ，则向量a 与b 的夹角等于________．12、已知两个单位向量e 1、e 2的夹角为120°，且向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a·b ＝________.13、已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.14、关于平面向量a 、b 、c ，有下列三个命题：①若a·b ＝a·c ，则b ＝c .②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3.③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)15、已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝2a －3b ，d ＝m a ＋b ，若c ⊥d ，求实数m 的值．16、已知a 、b 满足|a |＝3，|b |＝2，|a ＋b |＝13，求a ＋b 与a －b 的夹角θ的余弦值．17、已知|a|＝3，|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝a ＋2b ，d ＝m a －6b (m ∈R )．若c ∥d ，求|c ＋d|.18、已知|a |＝1，|b |＝ 2.(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a ＋b |(3)若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角．19、已知向量|a |＝1，|b |＝2.(1)若a 与b 的夹角为π3，求|a ＋2b |； (2)若(2a －b )·(3a ＋b )＝3，求a 与b 的夹角．。

2.4 平面向量的数量积使用说明与学法指导1、用15分钟左右的时间，阅读探究课本的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力。

2、完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测。

3、各组cc 级的同学对加**题目不作要求。

4、将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处。

一、学习目标：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用二、问题导学1. 如果一个物体在力F 作用下产生位移S ，其中F 与S 的夹角为θ，那么力F 所做的功w=________________（功是一个__________量）2.已知两个非零向量a 与b ，我们把_________________叫做a 与b 的数量积（或________） 记作__________即________________________其中θ是a 与b 的_______________________________________叫做a 在b 方向上（___________________）的____________. 我们规定：________________________________________.3. 设a 和b 都是非零向量，则（1）a b ⊥⇔________________(2)当a 与b 同向时， a b =_________ 当a 与b 反向时，a b =_________特别地，a a =________________ (3) a b _______a b4. (运算率)已知向量a b c 、、和实数λ则： （1）___________________________ （2）___________________________（3）___________________________5.对任意向量a 和b ，有（1）2()a b +=___________________________________(2)()()a b a b +-=_______________________________________________6.设两个非零向量a =(x1,y1), b =(x2,y2),则a b =____________________________________这就是说_______________________________________________________________________向量的数量积的运算可转化为_________________________________________(1)(,)a x y =向量的模,设则a =____________________________________11222,)(,),A x y B x y （）两点间的距离公式 设（、则AB =_____________________（3）垂直 若 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则a b ⊥⇔_______________________________（4）平行 1122,),(,),//a x y b x y a b ==⇔设（则_______________________________（5）设两个非零向量a 和b ，a =(x1,y1), b =(x2,y2)，θ是a 与b 的夹角，根据向量数量cos θ=(1)00(2)0,a b a b a a b a c b c≠⋅≠≠⋅=⋅=例题1、判断下列各命题是否正确，并说明理由若，则对任一非零向量，有若，则121212,(2),,(1)//,2,a b a b a b e e e e e e λλλ=-+=-⊥拓展、设是两个垂直的单位向量，且若求的值；（）若求的值.2(2,3),=-47a b a b =例题、已知（，），求在方向上的投影.(2,3),(2,4),a b a b a b ==-+⋅-=拓展1、已知则（）（）___________.(1,23),(1,1),.a b a b a b a b θ=-+=⋅⋅拓展2、已知求，，与的夹角拓展3、已知a 与b 都是非零向量，且3a b + 与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角。

《平面向量数量积》教案一、教学目标知识与技能目标：使学生理解平面向量数量积的概念，掌握平面向量数量积的计算公式及性质，能够运用数量积解决一些几何问题。

过程与方法目标：通过探究平面向量数量积的概念和性质，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在现实生活中的应用价值。

二、教学重点与难点重点：平面向量数量积的概念，计算公式及性质。

难点：平面向量数量积的运算规律及其在几何中的应用。

三、教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法，引导学生主动探究，发现平面向量数量积的规律，提高学生解决问题的能力。

四、教学准备教师准备PPT，涵盖平面向量数量积的概念、计算公式、性质及应用实例。

学生准备笔记本，以便记录学习过程中的疑问和感悟。

五、教学过程1. 导入新课教师通过展示一个实际问题，引导学生思考平面向量数量积的定义和作用。

2. 探究平面向量数量积的概念（1）教师引导学生根据定义，探究平面向量数量积的计算公式。

（2）学生通过实例，理解并掌握平面向量数量积的计算方法。

3. 学习平面向量数量积的性质（1）教师引导学生总结平面向量数量积的性质。

（2）学生通过练习，巩固对平面向量数量积性质的理解。

4. 应用平面向量数量积解决几何问题教师展示几个应用实例，引导学生运用平面向量数量积解决几何问题。

学生分组讨论，合作解决问题，分享解题过程和心得。

5. 课堂小结教师引导学生总结本节课所学内容，强调平面向量数量积的概念、计算公式及性质。

学生整理学习笔记，反思自己在学习过程中的收获和不足。

6. 布置作业教师布置一些有关平面向量数量积的练习题，巩固所学知识。

学生认真完成作业，巩固课堂所学内容。

七、教学反思教师在课后对自己的教学过程进行反思，分析教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。

学生反思自己的学习过程，总结经验教训，提高学习效果。

八、教学评价教师通过课堂表现、作业完成情况和课后练习成绩，全面评价学生对平面向量数量积的掌握程度。

平面向量数量积的教案教学目标：1. 理解平面向量的概念及其几何表示。

2. 掌握平面向量的数量积的定义及其性质。

3. 学会运用数量积解决实际问题。

教学内容：一、平面向量的概念及其几何表示1. 向量的定义2. 向量的几何表示3. 向量的坐标表示二、平面向量的数量积1. 数量积的定义2. 数量积的性质a. 交换律b. 分配律c. 互补律3. 数量积的计算公式三、数量积的运算律1. 交换律的应用2. 分配律的应用3. 互补律的应用四、数量积与向量垂直1. 数量积与向量垂直的定义2. 数量积与向量垂直的性质3. 数量积与向量垂直的应用五、数量积在实际问题中的应用1. 力学中的问题2. 几何中的问题3. 其它实际问题教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解平面向量的概念、数量积的定义及其性质。

2. 通过例题演示数量积的运算律及应用。

3. 引导学生运用数量积解决实际问题，培养学生的实际应用能力。

教学准备：1. 教案、PPT课件2. 课堂练习题3. 相关实际问题素材教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习平面向量的概念及其几何表示。

2. 引出本节课的主题——平面向量的数量积。

二、新课讲解（20分钟）1. 讲解平面向量的数量积的定义。

2. 引导学生通过实例理解数量积的几何意义。

3. 讲解数量积的性质，如交换律、分配律、互补律。

4. 给出数量积的计算公式。

三、数量积的运算律（15分钟）1. 通过例题讲解数量积的交换律、分配律、互补律的应用。

2. 引导学生总结数量积的运算律。

四、数量积与向量垂直（15分钟）1. 讲解数量积与向量垂直的定义。

2. 引导学生掌握数量积与向量垂直的性质。

3. 通过例题展示数量积与向量垂直的应用。

五、数量积在实际问题中的应用（15分钟）1. 给出力学、几何等方面的实际问题。

2. 引导学生运用数量积解决实际问题。

3. 总结数量积在实际问题中的应用。

六、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成课堂练习题。

利川市第五中学数学导学案§2.4.1 平面向量的数量积运算【课程学习目标】：1. 知识与技能：了解平面向量数量积的概念及几何意义2. 过程与方法：掌握数量积的运算法则3. 情感、态度与价值观：提高学生分析问题、解决问题的能力【教学重难点】：1. 重点：平面向量的坐标运算与共线的坐标表示.2. 难点：平面向量坐标表示的原理.【课时】：2自主学习过程 一、知识链接，忆旧迎新 平面向量的夹角：已知两个 向量a 与b ，作a OA =，b OB =，则θ=∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角.二、读教材，理要点 1.向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量_________________叫做向量a 与b 的数量积（或内积）.记作 ，即 . 其中，θ是a 与b 的夹角， 叫做向量a 在b 方向上的投影. 叫 做向量b 在a 方向上的投影.规定：零向量与任何一向量的数量积为_____________.2.向量数量积的几何意义 b a ⋅的几何意义是：数量积b a ⋅等于 与b 在a 方向上的投影 的乘积.3.平面向量数量积的性质 若a 与b 是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则：（1）⇔⊥b a .上课时间： 学生姓名：（2）当a 与b 同向时，b a ⋅= . 当a 与b 反向时，b a ⋅= .（3）=⋅a a . =a = .（4）=θcos .（5）b a ⋅ b a .4.数量积的运算律①交换律：_____________________________②数乘结合律：_________________________③分配律：_____________________________三、疑点探究问题1：向量的数量积是一个向量还是数量？向量的投影是向量还是数量？ 问题2：对于向量c b a ,,，等式)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅一定成立吗？为什么？问题3：等式2222)(b b a a b a +⋅+=+和22)()(b a b a b a -=-⋅+成立吗？若成立，请给出证明.问题4：非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，那么（1）当0>⋅b a ，θ的范围是 ； （2）当0<⋅b a ，θ的范围是 ；（3）当0=⋅b a ，θ的范围是 ；四、典型例题 例1.已知2=a ，4=b 分别求满足下列条件的向量b a ,的数量积.（1）b a // （2）b a ⊥ （3）b a ,夹角为65π例2.在直角ABC ∆中，3=AB ,3=BC ,23=CA ，求AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅.例3.已知3=a ，4=b ，21=+b a 。

《平面向量数量积》教案一、教学目标1. 理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。

2. 掌握向量的数量积运算，了解数量积的性质和运算规律。

3. 能够运用数量积解决实际问题，提高数学应用能力。

二、教学内容1. 向量的概念及表示方法2. 向量的数量积定义及计算公式3. 数量积的性质和运算规律4. 数量积在坐标系中的运算5. 数量积的应用三、教学重点与难点1. 重点：向量的概念，数量积的计算公式，数量积的性质和运算规律。

2. 难点：数量积在坐标系中的运算，数量积的应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量及数量积的基本概念、性质和运算规律。

2. 利用案例分析法，分析数量积在实际问题中的应用。

3. 利用数形结合法，直观展示数量积在坐标系中的运算。

4. 引导学生通过小组讨论、探究，提高学生的参与度和自主学习能力。

五、教学安排1. 第一课时：向量的概念及表示方法2. 第二课时：向量的数量积定义及计算公式3. 第三课时：数量积的性质和运算规律4. 第四课时：数量积在坐标系中的运算5. 第五课时：数量积的应用六、教学过程1. 导入：通过复习实数乘法的分配律，引导学生思考向量数量积的定义。

2. 讲解向量的概念，向量的表示方法，向量的几何直观。

3. 引入向量数量积的概念，讲解数量积的计算公式。

4. 通过实例，演示数量积的运算过程，让学生感受数量积的意义。

5. 总结数量积的性质和运算规律，引导学生发现数量积与向量坐标的关系。

七、案例分析1. 利用数量积解释物理学中的力的合成与分解。

2. 利用数量积解决几何问题，如求解平行四边形的对角线长度。

3. 利用数量积判断两个向量是否垂直。

八、数量积在坐标系中的运算1. 讲解坐标系中向量的表示方法，向量的坐标运算。

2. 推导数量积在坐标系中的运算公式。

3. 通过实例，演示数量积在坐标系中的运算过程。

4. 引导学生掌握数量积在坐标系中的运算方法，提高运算能力。

九、数量积的应用1. 利用数量积解决线性方程组。