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【概率论与数理统计经典计算题题2】期末复习题含答案work Information Technology Company.2020YEAR概率论与数理统计计算题（含答案）计算题1.一个盒子中装有6只晶体管，其中2只是不合格品。
现作不放回抽样，接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：（1）2只都是合格品；（2）1只是合格品，1只是不合格品；（3）至少有1只是合格品。
1-2,9-2.设甲，乙，丙三个工厂生产同一种产品，三个厂的产量分别占总产量的20%，30%，50%，而每个工厂的成品中的次品率分别为5%，4%，2%，如果从全部成品中抽取一件，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是甲，乙，丙工厂生产的概率。
3.设随机变量X 的分布函数为1(1), 0() 0, 0x x e x F x x -⎧-+>=⎨≤⎩，试求：（1）密度函数()f x ；（2）(1)P X ≥，(2)P X < 。
4.二维随机变量(,)X Y 只能取下列数组中的值：1(0,0),(1,1),(1,),(2,0)3--，且取这些组值的概率分别为1115,,,312612。
求这二维随机变量分布律，并写出关于X和关于Y 的边缘分布律。
5. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，试求下列事件的概率：（1）其中恰好有一位精通英语；（2）其中恰好有两位精通英语；（3）其中有人精通英语。
6.某大型体育运动会有1000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品。
在使用者中，假定有90人的药检呈阳性，而在未使用者中也有5人检查为阳性。
如果一个运动员的药检是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率是多少？7.设随机变量X 的密度函数为||(),x f x Ae x R -=∈，试求：（1）常数A ；（2）(01)P X << 。
8. 设二维随机变量(X ，Y)的分布律为求：(1)(X ，Y)关于X 的边缘分布律；(2)X+Y 的分布律．9． 已知A B ⊂，()0.36P A =，()0.79P B =，求()P A ,()P A B -,()P B A -。
大学概率论考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设随机变量X服从标准正态分布，则P(X > 1.96)的值是：A. 0.025B. 0.05C. 0.975D. 0.95答案：C2. 若随机变量X和Y相互独立，则P(X > 2, Y > 2)等于：A. P(X > 2) + P(Y > 2)B. P(X > 2) * P(Y > 2)C. P(X > 2) - P(Y > 2)D. P(X > 2) / P(Y > 2)答案：B3. 某次实验中，成功的概率为0.5，重复进行n次独立实验，则恰好成功k次的概率为：A. C(n, k) * (0.5)^k * (1 - 0.5)^(n-k)B. C(n, k) * (0.5)^nC. C(n, k) * (0.5)^(n-k) * (1 - 0.5)^kD. C(n, k) * (0.5)^(n-k)答案：A4. 随机变量X的期望值E(X)为2，方差Var(X)为4，则E(2X)等于：A. 4B. 8C. 2D. 16答案：A5. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则P(X = 0)等于：A. e^(-λ)B. λ * e^(-λ)C. λ^2 * e^(-λ)D. λ^3 * e^(-λ)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若随机变量X的方差为9，则(2X - 3)的方差为______。
答案：362. 设随机变量X服从[0, 1]上的均匀分布，则P(X < 0.5) = ______。
答案：0.53. 抛一枚公正的硬币3次，出现正面向上的概率为______。
答案：1/24. 设随机变量X服从参数为4的指数分布，则P(X > 2) = ______。
答案：e^(-4)三、计算题（每题15分，共30分）1. 已知随机变量X服从参数为λ=2的泊松分布，求P(X=3)。
《概率论》课程习题集一、计算题1. 10只产品中有2只次品, 在其中取两次, 每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）一只是正品，一只是次品；（3）第二次取出的是次品。
2. 一个学生接连参加同一课程的两次考试。
第一次及格的概率为p ，若第一次及格则第二次及格的概率也为p ；若第一次不及格则第二次及格的概率为.2/p 求 （1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率； （2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率3. 用某种方法普查肝癌，设：A ={ 检验反映呈阳性 }，C ={ 被检查者确实患有肝癌 }，已知()()5.C A P ,.C A P 90950==()5.C P 000=且现有一人用此法检验呈阳性，求此人真正患有肝癌的概率．4. 两台机床加工同样的零件，第一台出现次品的概率是0.03, 第二台出现次品的概率是0.02，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台的多一倍。
（1）求随意取出的零件是合格品的概率（2）如果随意取出的零件经检验是次品，求它是由第二台机床加工的概率5. 某人有5把钥匙,但忘了开房门的是哪一把,现逐把试开,求∶(1) 恰好第三次打开房门锁的概率(2) 三次内打开房门锁的概率(3) 如5把钥匙内有2把是开房门的,三次内打开房门锁的概率6. 设X 是连续型随机变量，其密度函数为()()⎩⎨⎧<<-=其它020242x x x c x f求：（1）；常数c （2）{}．1>X P7. 设X ～⎩⎨⎧≤≤=其他，02,)(x o cx x f 求（1）常数c ；（2）分布函数)(x F ；8. 一工厂生产的某种元件的寿命X （以小时计）服从参数为σμ,160= 的正态分布。
若要求,80.0)200120(≥≤<X P 允许σ最大为多少？9. 证明：指数分布有无记忆性（或称无后效性），即证：如果)(~λE X ，则有)()|(t X P s X t s X P >=>+>，0,0≥≥t s10. 对球的直径作测量，设测量值均匀地分布在],[b a 内，求球的体积的概率密度.11. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,021),11(2)(2x xx f ,求X 的分布函数。
概率论试题及答案一、选择题1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是：- A. 1/2- B. 3/8- C. 5/8- D. 1/82. 如果事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，那么P(A∪B)等于：- A. 0.7- B. 0.6- C. 0.4- D. 0.33. 抛掷一枚硬币两次，出现正面向上的概率是：- A. 1/4- B. 1/2- C. 3/4- D. 1二、填空题1. 概率论中，事件的全概率公式是 P(A) = ________，其中∑表示对所有互斥事件B_i的和。
2. 如果事件A和事件B是独立事件，那么P(A∩B) = ________。
三、计算题1. 一个工厂有3台机器，每台机器在一小时内发生故障的概率是0.01。
求在一小时内至少有一台机器发生故障的概率。
2. 一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。
如果随机选择一名学生，这名学生是男生的概率是0.6。
求这个班级中男生和女生的人数。
四、解答题1. 解释什么是条件概率，并给出计算条件概率的公式。
2. 一个袋子里有10个球，其中7个是红球，3个是蓝球。
如果从袋子中随机取出一个球，观察其颜色后放回，再取出一个球。
求第二次取出的球是蓝球的概率。
答案一、选择题1. C. 5/82. B. 0.63. B. 1/2二、填空题1. P(A) = ∑P(A∩B_i)2. P(A)P(B)三、计算题1. 首先计算没有机器发生故障的概率，即每台机器都不发生故障的概率，为(1-0.01)^3。
至少有一台机器发生故障的概率为1减去没有机器发生故障的概率，即1 - (1-0.01)^3。
2. 设男生人数为x，女生人数为y。
根据题意，x/(x+y) = 0.6，且x+y=50。
解得x=30，y=20。
四、解答题1. 条件概率是指在已知某个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
计算条件概率的公式是P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
概率论与数理统计计算题1、下述解法是否正确正确答案：【正确】2、正确答案：【0.33，0.66 】3、正确答案：【0.25，0.5从而联合分布YX1201/41/211/121/6 】4、正确答案：【0.75，0.125 】5、将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球。
将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X )正确答案：【1 】6、正确答案：【0.56 】7、正确答案：【不独立，不相关】8、正确答案：【0.5，0.2 】9、正确答案：【0.83 】10、甲、乙、丙三人各射一次靶，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5,0.6,0.8，求下列事件的概率(1)恰有一人中靶。
(2)至少有一人中靶。
正确答案：【0.26，0.96 】11、已知100件产品中有10件正品，每次使用这些正品时肯定不会发生故障，而在每次使用非正品时有0.1的可能性发生故障。
现从这100件产品中随机抽取一件，若使用了n次均未发生故障，问n为多大时，才能有70%的把握认为所取的产品为正品？正确答案：【29 】12、设X～N（0，1），求Y=| X |的概率密度，下面的解法是否正确正确答案：【正确】13、某地调查结果表明：考生的外语成绩(百分制)近似地服从天上正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占2.3%，试求考生的外语成绩在60到84之间的概率。
正确答案：【0.6826 】14、正确答案：【1 】15、下面解法是否正确正确答案：【正确】17、(1) 求a、b 应满足的条件；(2)若X与Y相互独立，求a、b 的值。
正确答案：【0.375 】20、正确答案：【0.125 】21、设有正态总体方差为4，问至少应抽取多大容量的样本，才能使样本均值与总体数学期望的误差小于0.4的概率为0.95？正确答案：【97】22、求总体N（20,3）的容量分别为10,15的两样本均值差的绝对值大于0.3的概率。
什么等于二分之一 x 而不是二分之三x ））分)12341342^ 13 534534534302. 已知随机变量X 的分布律为-1计算题: 1 .三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为-------- ,求 5 3 4 （1）将此密码译出的概率，（2）恰好有一个人译出此密码的概率. 解.：设A 第i 人能破译,i 1,2,3,则 3 __________ (1) P(UAJ 1 P 瓦瓦入 i=1 1 P A P(A>)P(A 3)10.6 (6 分) P A 1A 2A 3 P AA 2A 3 (8分) P A 1 P(A 2)P(A0 P A P(A 2)P(A 3) P A P(A 2)P(A 3) (10(12 分)令Y cos n X ,求：（1） 丫的分布律；（2） E （32 °—xy 03 .设(X,Y)的概率密度为：f (x,y)2x 2,0 y 1 其它（1）试求关于X 和丫的边缘分布密度，（2）问X 和丫是否相互独立 解：（需说明理由）. f x (X)132xy dy, 0 xf(x,y)dy 020,其它1x, 0 x 2 2 0, 其它（3分）（为从而 E(Y)=(-1)*+1*=故Y 的分布 分律为5 .设总体X 具有概率密度其它X n 为来自总体X 的容量为n 的样本，求B 的极大似然估计解:1 .两门高射炮对一架敌机一齐各发一炮，它们的命中率分别为 20%, 30%求：（1）敌机至少中一弹的概率；（2）敌机恰中一弹的概率解.设A 表示第i 门高射炮击中敌机,i 1,2,则f Y (y)f (x,y)dx0,0 y 1 其它3y 2, 0 y 1 0, 其它（这里dy 应该是dx ） 从而：f x (x)gf Y (y) f(x, y),故X 和 Y ffi 互独立.(12 分)4 .设随机变量X 和丫的方差分别为25和36,相关系数为，求D （X+Y 及D （X-Y . 解： D （X+Y ）=DX+DY2 XY DX 、DY 25 36 2 0.4 ,25 36 85 （6分）D(X-Y)=DX+DY- XY i DX ； DY25 36 2 0.4 . 2536 37(12 分)f(x)=X 1,X 2, nL( ) f(K,)i 1n nX i1,0 X i 1,i 1,2, ...n.nln L( ) n In (1) Ini 1(8分)令 dln L()dnn得ln x i 0,得:(12 分)ln x i(1) P(A 1U A^) P A PA PAA PA P A 2P A gP A 0.44（6 分）⑵P(A1A) P(A1A) P A P(A) P(AJP A 0.38(12 分)求Z X Y 的概率密度.解：Z X 丫在［0,2］中取值按卷积公式Z 的分布密度为(12 分)2 .某射手有3发子弹，射一次命中的概率为2，如果命中了就停止射击'否则一直射到子弹用尽。
2021年大学必修课概率论与数理统计必考题及答案（完整版）一、单选题 1、下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是11F (x ) = + — arctan x 2 兀【答案】B2、对于事件人，B,下列命题正确的是F (x ) = 1 + —B ） —(1 - e-x),0,D ）F (x )=Jx f (t )dt-s，其中 -s J+sf (t) dt = 1（A ） 若A ， B 互不相容，则A 与B 也互不相容。
（B ） 若A ，B 相容，那么X 与B 也相容。
（C ） 若A ， B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。
（D ） 若A ， B 相互独立，那么X与B 也相互独立。
【答案】D3、设X , X ，…X 为来自正态总体N （R ,。
2）简单随机样本, 12nX 是样本均值，记S 21-^―£(X - X )2， n -1 ii =1S 2 =1 £(X -X)22n ii =1S 2 = -L- £(X -^)2，3n -1 i i=1S 2 = -£ (X -^)2， 4n i则服从自由度为n -1的t 分布的随机变量是X - RA) t = ------ =^=S /%n -11B) t =S / nn -12C) X — R X — Rt =——D) t = ------------S / nn S 八n【答案】B4、设X ,X ，…,X 是取自总体X 的一个简单样本 12 n 则E （X 2）的矩估计是S 2 = 1—£(X - X)21S 2 =1£ (X - X)22n i(C)S T x 2 （D ）S ； + X 2【答案】D八 八 八5、设6是未知参数0的一个估计量，若E °W °，则6是0的 (A)极大似然估计 (B)矩法估计 (C)相合估计 (D)有偏估计【答案】D6、已知X , X ，…,X 是来自总体的样本，则下列是统计量的是()12n1 V_ 1「一(A )X + X +A(B )——乙X 2(C )X + a +10(D )-X + aX +5n — 1 ，3 ii =1【答案】B7、设X 「X 2,…,X n 为来自正态总体N (禺02)的一个样本，若进行假设检验，当 时，一般采用统计量X - Nt~~s~r^【答案】C 8、总体X 〜N (从,o 2), o 2已知，n >时，才能使总体均值目的置信水平为0.95的置信区间长不大于L（A ）15o 2/L 2 （B ）15.3664 o 2/L 2 （C ）16o 2/L 2（D ）16【答案】B统计量的是（ ） （A ） _L （X 2 + X 2 + X 2）（B ） X + 3四o 21 2 31（C ）max （X ,X ,X ）（D ）1（X + X + X ）1233123【答案】A则统计量V = y —服从的分n £X 2ii =n +1布是 ____________（A ）日未知, 日已知，检验o 2= o 2(B)O 2未知，检验日=日o 2已知，检验N =R(D) 09、设5~ N Q,o 2)，其中自已知，o 2未知，X ,X ,X 为其样本，123下列各项不是10、设 X 1,X 2，…X n , X n+1,…,X 是来自正态总体N (0,o 2)的容量为n+m 的样本, n+m【^案】C 二、填空题1、设X , X ，…,X 是来自总体X ~ N （4,02）的简单随机样本，O 2已知，令X = 1-£X ，则统计量121616 ii =14X -16,,、，，一，、，，，，，，—— 服从分布为 （必须写出分布的参数）。
计算题71．从数字9,...,1,0中任选三个不同的数字,计算下列事件概率: 1A ={不含3和7};2A ={含3或7};3A ={含3但不含7}.;157!3/8910!3/678)(310381=⨯⨯⨯⨯==CC A P;1581571)(1)(12=-=-=A P A P.307!3/8910!2/78)(31028113=⨯⨯⨯==CC C A P又法,记B ={含3};C ={含7}.;103)()(==C P B P ;151!3/89108)(31018=⨯⨯==CC BC P)(1)(1)(21C B P A P A P -=-=;1571511031031)()()(1=+--=+--=BC P C P B P;1581571)(1)(12=-=-=A P A P或 ;158151103103)()()()()(2=-+=-+==BC P C P B P C B P A P;1571581)(1)(21=-=-=A P A P.n 件产品中有m 件次品, 任取两件, 求:1)在所取两件中至少有一件是次品的条件下, 另一件也是次品的概率; 答案121m n m ---2) 在所取两件中至少有一件不是次品的条件下, 另一件是次品的概率. 答案21m n m +-97.将信息编码为A 和B 传送,由于信号干扰,接收站收到信息时,A 被误收作B 的概率为02.0;B 被误收作A 的概率为01.0,编码A 与B 传送频繁程度为1:2,计算: 1)接收站收到信息A 的概率;2)在收到信息A 的条件下发出信息B 的概率. 记事件B ={收到信息A },1A ={发出信息A },2A ={发出信息B }. 1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=01.0211)02.01(212⨯++-⨯+=;6567.001.03198.032=⨯+⨯=2) )()|()()()()|(2222B P A B P A P B P B A P B A P ==.00508.06567.001.031=⨯=.市场上供应的某种商品由甲厂，乙厂及丙厂生产.甲厂产品占50%；乙厂产品占30%；丙厂产品占20%.甲厂产品合格率为88%；乙厂产品合格率为70%；丙厂产品合格率为75%.计算：(1)在市场上任意购买一件这种商品是合格品的概率； (2)在市场上已购买的一件不合格品是乙厂生产的概率.记事件B ={任意购买一件此商品是合格品}，1A ={此商品是甲厂生产}，2A ={此商品是乙厂生产}，3A ={此商品是丙厂生产}. (1)全概率公式得)|()()()|()()|()()(3332211A B P A P A P A B P A P A B P A P B P ++= 0.50.880.30.70.20.750.80.=⨯+⨯+⨯=(2)B ={任意购买一件此商品是不合格品})()()|(22B P B A P B A P ==)(1)|()(22B P A B P A P -=8.01)7.01(3.0--⨯=209=0.45..某公司甲、乙、丙车间生产同一产品，产量依次为60%，30%，10%；次品率依次为3%，4%，6%.计算：(1) 总产品中任取一件产品是次品的概率；(2) 随机检出的一件次品是乙车间生产的概率. 记事件B ={任取的一件产品是次品}，1A ={次品是甲车间生产}，2A ={次品是乙车间生产}，3A ={次品是丙车间生产}.(1)全概率公式得)|()()()|()()|()()(3332211A B P A P A P A B P A P A B P A P B P ++=60%3%30%4%10%6% 3.6%.=⨯+⨯+⨯=(2)由贝叶斯公式得)()|()()()()|(2222B P A B P A P B P B A P B A P ==30%4%1.3.6%3⨯==2.设随机变量X ~2(,)N μσ,计算:变量e XY =的密度函数.当0y ≤时, e XY =的分布()0Y F y =,当0y >时, ()()(e)(ln )(ln )XY X F y P Y y P y P X y F y =≤=≤=≤=.因而Y 的密度为''1()(ln )(ln )(ln )(ln )Y X X X f y F y f y y f y y==={}2(ln ),0,2()0,0.Y y y f y y μ⎧-=->⎪=⎨⎪≤⎩又法 反函数ln ,X Y =ln ,y x y =当0y ≤时,()0,Y f y =''()()(ln )(ln ),Y X y y X f y f x x f y y =={}2(ln ),0.2y y μ-=->3.设变量X 密度{}222()exp ,0,0.2x x f x x σσσ=->>计算:变量2Y X =的分布和密度.(2()()()Y XF y P Y y P Xy P X F =≤=≤=≤=.''()()Y Y XXf y F y F f ==={}{}2221exp ,0.222yy y σσσσ=-=->因此~Y 指数分布21.2E σ⎛⎫⎪⎝⎭或 反函数X =y x =''()()Y X y yXf y f x x f =={}{}2221exp ,0.222y y y σσσσ=-=->因此~Y 指数分布21.2E σ⎛⎫⎪⎝⎭3.设变量i X 独立同指数分布()E λ,计算:最小值1m in {}ni i M in X ==的分布和期望. 补分布()1(),0,x S x F x e x λ-=-=> 最小值变量补分布()(),0,n n xM in S x S x e x λ-==> 或由最小值变量分布()1()1,0,n xM in M in F x S x ex λ-=-=->得1m in {}ni i M in X == 指数分布(),E n λ1.E M in n λ=又法 密度(),0,xf x e x λλ-=>分布()1,0,xF x ex λ-=-> 最小值变量密度11()(1())()(),0,n xn xn xM in f x n F x f x n een ex λλλλλ-----=-==>因此1m in {}ni i M in X == 指数分布(),E n λ1.E M in n λ=.设二维变量),(Y X 边缘独立,联合分布阵列如下,计算γβα,,的值.添加边缘分布列得,1..111p p p =51()()189ααα=++,得181=α,或95=α, ,2..112p p p =151()()9189αβ=++,得92=β,或451=β, 1111996αβγ+++++=,1118αβγ++=,得31=γ,或301=γ, 解为181=α,92=β,31=γ;或95=α,451=β,301=γ.又法1619191=+++++γβα,得1811=++γβα,21122..21..12211p p p p p p p p ==,得8119191==αβ，αβ811=, 21133..21..12311p p p p p p p p ==,得5419161==αγ，αγ541=,代入得18111625=+αα,05991622=+-αα,0)59)(118(=--αα,解得181=α,92=β,31=γ;或95=α,451=β,301=γ.又法，令,619191t ===γβαt91=α,9t =β,6t=γ,,18116991=++t t t,1152=+t t,021152=+-t t ,0)15)(2(=--t t 2=t 或,51=t181=α,92=β,31=γ;或95=α,451=β,301=γ..设二维变量),(Y X 边缘独立,联合分布阵列如下,计算γβα,,的值.．设二维随机变量),(Y X 联合密度函数为34e ,0,0(,)0,x y k x y f x y --⎧≥≥=⎨⎩其它.求常数k ,并且计算{01,02}P X Y <≤<≤.34011(,)ke12x ydxf x y dy dxdy k +∞+∞+∞+∞---∞-∞===⎰⎰⎰⎰,k =12{01,02}P X Y <≤<≤=12343812e(1e )(1e )x ydx dy ----=--⎰⎰...设二维变量(,)X Y 的联合密度23,11,0,2(,)0,.y x e x y f x y -⎧-<<>⎪=⎨⎪⎩其它1)计算边缘Y X ,的密度并讨论其独立性;2))10,10(<<<<Y X P .1)关于边缘X 的密度为22033,11,,11,22()(,)0,.0,.yX x e dy x x x f x f x y dy ∞-∞-∞⎧⎧-<<-<<⎪⎪⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎰⎰其它其它关于边缘Y 的密度为1213,0,,0,2()(,)0,.0,.yyY x e dx y e y f y f x y dx --∞--∞⎧>⎧>⎪⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰其它其它由于23,11,0,2()()(,)0,.yX Y x e x y f x f y f x y -⎧-<<>⎪⎪⋅==⎨⎪⎪⎩其它, 或(,)f x y 可分离变量且定义在矩形区域上,因此X 与Y 相互独立.2)).1(2123),()10,10(1121101---=⋅==<<<<⎰⎰⎰⎰edy edx x dxdy y x f Y X P y.设(,)X Y 的联合分布阵列为计算:);();(X D X E ),(Y X Cov ,311819161)1(1=++===⋅p X P ,323111)2(12=-=-===⋅⋅p p X P或 ,32929131)2(2=++===⋅p X P125()12333E X =⨯+⨯=,22212()12333E X =⨯+⨯=.或 1111125()1269183993E X ⎛⎫⎛⎫=⨯+++⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,222111112()1236918399E X ⎛⎫⎛⎫=⨯+++⨯++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, []22252()()()339D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.,213161)1(1=+===⋅p Y P ,929191)2(2=+===⋅p Y P.18592181)3(3=+===⋅p Y P12516()12329189E Y =⨯+⨯+⨯=. 或11111216()12363991899E Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯++⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∑∑∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛==i jji j i j i j i j i p y x p y x XY E ,,,)( ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯=92391231121813912611139112951=⨯+⨯=, (,){(()(()}()()()Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y =--=-271916353=⨯-=..设随机变量(,)X Y 的联合密度1(),02,02,8(,)0,.x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它计算:);();(X D X E ),(Y X Cov .)1(41)(81),()(22+=+==⎰⎰x dy y x dy y x f x f X ,672341)1(41)()(22322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==⎰⎰x x dx x x dx x xfX E X, 353441)1(41)()(23422222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==⎰⎰x x dx x x dx x f x X E X ， 或 ,67)1(41)(81),()(222202⎰⎰⎰⎰⎰+=+==dx x xdydx y x x dydx y x f x X E ,35)1(41)(81),()(222222222⎰⎰⎰⎰⎰+=+==dxx xdydx y x xdydx y x f xX E2225711()()[()]3636D XE X E X ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭. 由对称性,.67)()(==X E Y E或 )1(41)(81),()(22+=+==⎰⎰y dx y x dx y x f y f Y ,672341)1(41)()(20232020=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+==⎰⎰y y dy y y dy y yf Y E Y . 220017()()86E Y dx y x y dy =⋅+=⎰⎰.,35)1(41)(81),()(22202220⎰⎰⎰⎰⎰+=+==dxx xdydx y x yx dydx y x yf x XY E.343141241161222232=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎰⎰=xdx x dx y xy x y(,){(()(()}()()()Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y =--=-36167342-=⎪⎭⎫⎝⎛-=..中心极限定理应用.从正态总体N (3.4, 62)中抽取容量为n 的样本, 如果要求其样本均值位于区间(1.4, 5.4)内的概率不小于0.95, 问样本容量n 至少应取多大.(0,1)N , 2 3.42(1.4 5.4)()666X P XP --<<=<<210.95P==Φ-≥,0.975,Φ≥ 1.96,n ≥34.57. 故n 至少取35..设X 1, X 2, ⋅⋅⋅, X 17为来自N (μ, σ2)的样本, 2,X S分别为样本均值和样本方差. 求满足下式的k值:{}P X kS μ>+=0.95..一个系统由100个相互独立的部件组成,在系统运行期间每个部件损坏的概率皆为0.05,记同一时间损坏的部件个数为X .1)求X 服从的分布及参数;根据中心极限定理,X 近似服从的分布及参数; 2)若系统只有在损坏部件不多于8个时才能正常运行,求系统正常运行概率. )975.0)96.1(,95.0)645.1(,915.0)376.1(,894.0)25.1((=Φ=Φ=Φ=Φ 1)X 服从参数05.0,100==p n 的贝努利分布)05.0,100(B .,75.495.005.0100,505.0100=⨯⨯===⨯==npq DX np EX根据中心极限定理,X 近似服从正态分布).75.4,5(),(N DX EX N =2) .915.0)376.1(75.458)8()80(=Φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈≤=≤≤X P X P.一个系统由n 个相互独立的部件组成,每个部件的可靠性皆为0.90.至少有80%的部件正常工作才能使系统正常运行,n 至少多大才能使系统正常运行的可靠性不低于0.95..某车间有同型号机床200部,每部开动的概率为0.7,各机床开关独立,开动时每部耗能1.5千瓦,记同时开动的机床数为X .1)求X 服从的分布及参数;根据中心极限定理,X 近似服从的分布及参数; 2)电站至少需供应多少千瓦电能,才能以%95的概率保证供电充足.)975.0)96.1(,95.0)645.1(,915.0)376.1(,894.0)25.1((=Φ=Φ=Φ=Φ.设总体密度函数是(1),01(;),10,x x f x θθθθ⎧+<<=>-⎨⎩其他, X 1, X 2, ⋅⋅⋅ , X n 是来自总体X 的样本, 试求未知参数的矩估计量. 总体期望1101(;)(1),2E X xf x dx x x dx θθθθθ+==+=+⎰⎰,121--=EX EX θ用样本均值X 估计（或替换）总体期望EX 得θ 矩估计为12ˆ.1XX θ-=-.设n X X X ,...,,21为总体2(,)N μσ的独立样本,求出并证明2σ的无偏估计.2σ的无偏估计为样本方差222211()(),11ni i n SX X X X n n ==-=---∑222(1)~(1),n Sn χσ--()222(1)(1)1,n S E E n n χσ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭22.ES σ=。
