安徽中考数学答题模板

01九种题型答题模板1.线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。

第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。

第二部分往往就是开始拉分的中难题了。

对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。

线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。

2.图形位置关系中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。

在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。

3.动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。

4.一元二次方程与二次函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。

几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。

相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。

中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。

一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。

但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合。

5.多种函数交叉综合问题初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。

这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。

2023安徽省中考数学核心考点总结安徽省中考数学核心考点总结1.平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。

2.完全平方:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央;首±尾括号带平方，尾项符号随中央。

3.一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、合并好，再把系数来除掉，两边除(以)负数时，不等号改向别忘了。

4. 一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间,大小,小大无处找。

5.一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大(鱼)于(吃)取两边,小(鱼)于(吃)取中间。

6.分式混合运算法则：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变(乘);乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算;加减分母需同，分母化积关键;找出最简公分母，通分不是很难;变号必须两处，结果要求最简。

7.分式方程的解法步骤：同乘最简公分母，化成整式写清楚，求得解后须验根，原(根)留、增(根)舍别含糊。

8.最简根式的条件：最简根式三条件，号内不把分母含，幂指(数)根指(数)要互质，幂指比根指小一点。

9.特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后;(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后;X轴上y为0,x为0在Y轴。

10.象限角的平分线:象限角的平分线,坐标特征有特点，一、三横纵都相等,二、四横纵确相反。

11.平行某轴的直线:平行某轴的直线，点的坐标有讲究，直线平行X轴,纵坐标相等横不同;直线平行于Y轴,点的横坐标仍照旧。

12.对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称y相反, Y 轴对称,x前面添负号;原点对称记,横纵坐标变符号。

13.自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行;零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。

14.函数图像的移动规律: 若把一次函数解析式写成y=k(x+0)+b、二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号,上下平移在末稍,左正右负须牢记,上正下负错不了”。

中考答题卡模板
中考答题卡模板可以根据不同科目进行区分。

以下为您提供语文、数学、化学和物理科目的答题卡样式及规范填涂要求：
1. 语文科目答题卡样式
答题卡上方印有姓名、考生号、考点校、考场号、座位号等填写区域。

在答题时，需要在对应的题号区域作答，使用黑色字迹的签字笔，不得使用铅笔或做任何标记。

如果需要修改答案，应该用修改符号划去后，紧挨上方或下方写出新的答案，但不能超出该题目的答题区域边框。

2. 数学科目答题卡样式
数学科目的答题卡与语文科目类似，上方也印有相应的填写区域。

在填涂选择题答案时，需要使用2B铅笔规范填涂，确保涂满、涂黑，不规范的填涂作答无效。

如果需要修改答案，同样要用橡皮擦干净后再在正确的选项上填涂。

非选择题部分需要用黑色字迹的签字笔作答，不得使用铅笔或做任何标记。

3. 化学物理科目答题卡样式
化学和物理科目共用一张答题卡，正反面均有题目。

正面为化学学科，反面为物理学科。

个人信息填涂、条形码粘贴在化学学科卡左上角区域。

非选择题部分需要用黑色字迹的签字笔作答，不得使用铅笔或做任何标记。

如需修改答案，应使用修改符号划去后，紧挨上方或下方写出新的答案，但不能超出该题目的答题区域边框。

在领到答题卡后，首先应认真检查是否清晰、完整，如遇试题字迹不清、缺页、漏页、卷面破损等问题，应及时举手询问监考人员。

完成答题后，应在规定位置填写姓名、考生号等相关信息，并粘贴考试用条形码。

填写答案和填涂答题卡时，要保持整洁、清晰，避免因填涂不规范而影响成绩。

2024安徽中考数学二轮专题训练选填压轴题的三种特殊考查形式形式一多结论判断题考向1代数类典例精讲例1已知a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，下列结论①若abc ≠0，则a ＋c 2b＝－12；②若a ≠0，则x ＝1一定是方程ax ＋b ＋c ＝0的解；③若abc ≠0，则abc >0；④若c ＝0，且ab ≠0，则1a ＋1b＝0.其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都选上)【思维教练】先观察每个选项所给的已知条件，根据已知条件结合题干所给的等式，将选项中已知的条件进行变形代入到给定的等式中，经过变形即可得到相应的结果．针对训练1.已知实数a ，b ，c ，满足ab ＋bc ＝ac ，有下列结论：①若abc ≠0，则1a ＋1c ＝1b；②若b ＝12a ，则b ＝12c ；③若a ＋b ＝0，则a ＝c ；④若abc 中任两个相等，则这两个数都为0；其中正确的是________(把所有正确结论的序号都选上)．考向2几何类典例精讲例2如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，CE ⊥BD 于点F ，连接AF ，则下列四个结论错误的是()例2题图A .△DEF ∽△BDCB .BF ＝2DFC .DF ＝22EFD .S 四边形BAEF ＝52S △DCF 【思维教练】根据矩形的性质，可证得△DEF ∽△BCF ∽△CDF ，设未知数，用含未知数的式子表示出各边长，从而得到各边关系式求解即可．安徽近年真题精选2.如图，在▱ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)第2题图①∠DCF ＝12∠BCD ；②EF ＝CF ；③S △BEC ＝2S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF .针对训练3.如图，点P 在正方形ABCD 内，△PBC 是正三角形，AC 与PB 相交于点E .下列结论错误的是()第3题图A .∠ACP ＝15°B .△APE 是等腰三角形C .AE 2＝PE ·ABD .若△APC 的面积为S 1，正方形ABCD 的面积为S 2，则S 1∶S 2＝1∶44.已知，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，点P 是AB 上一点，连接CP ，将∠B 沿CP 折叠，使点B 落在B ′处．以下结论错误的是()A .当AB ′⊥AC 时，AB ′的长为2B .当点P 位于AB 中点时，四边形ACPB ′为菱形C .当∠B ′PA ＝30°时，AP PB ＝12D .当CP ⊥AB 时，AP ∶AB ′∶BP ＝1∶2∶3形式二双空题考向1代数类典例精讲例1已知抛物线y ＝－ax 2＋2ax ＋4的开口向下．请完成以下探究：(1)经研究发现：无论a 取何值，此抛物线都会经过两个定点．则横坐标较大的定点的坐标为________；(2)若此抛物线与一次函数y ＝x ＋3(x ≥1)的图象交于点M (m ，n )，点M 的纵坐标n 的取值范围为________．安徽近年真题精选1.设抛物线y ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ，其中a 为实数．(1)若抛物线经过点(－1，m )，则m ＝________；(2)将抛物线y ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a 向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是________．针对训练2.抛物线y ＝ax 2－4x ＋2的顶点坐标为(2，n )．(1)a ＝______；(2)若抛物线y ＝ax 2－4x ＋2向下．．平移m (m >0)个单位后，在－1<x <4范围内与x 轴只有一个交点，则m 的取值范围是________．3.已知：点A(m，n)在二次函数y＝(x－k)2＋k(k≠0)的图象上，也在二次函数y＝(x＋k)2－k 的图象上．)时，k有唯一值，则k＝________；(1)若二次函数y＝(x－k)2＋k(k≠0)经过点(0，－14(2)m＋n的最小整数值是________．考向2几何类典例精讲例2如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是BC上一点，将△CDE沿DE折叠，使点C落在AB上一点F处．例2题图(1)BE的长度为________；(2)点P、H、G分别在线段DE、BC、BA上，当BP＝CP且四边形BGPH为矩形时，PE的长为________．安徽近年真题精选4.在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ 折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：(1)∠PAQ的大小为________°；(2)当四边形APCD是平行四边形时，ABQR的值为______．第4题图针对训练5.如图，线段AB＝12，射线AC⊥AB于点A，射线BD⊥AB于点B，点P为AB的中点，Q为射线AC上一动点，将△APQ沿PQ翻折得到△A1PQ，PA1、QA1的延长线分别交射线AC、BD于点E、F，连接EF.请探究下列问题：第5题图(1)AQ·BF的值为________；(2)当△A1PQ∽△A1FE时，AQ＝________．形式三多解题考向1含参解析式中参数的分情况讨论典例精讲例1如果二次函数y＝2x2＋b(b为常数)与正比例函数y＝3x的图象在－1≤x≤2时有且只有一个公共交点，那么常数b的取值范围为________．【思维教练】由一次函数与二次函数有一个公共交点，可联立关系式，根据根的判别式分别讨论b＞0、b＜0和b＝0时b的取值范围．针对训练1.在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3a＋2(a≠0)和抛物线y＝x2－ax的图象相交于P，Q 两点．若P，Q都在x轴的上方，则实数a的取值范围是________．满分技法二次函数的交点问题：1.解决一次函数与二次函数的交点问题的一般步骤如下：(1)找/确定一次函数、二次函数解析式；(2)联立一次函数与二次函数解析式得到一元二次方程；(3)根据一次函数与二次函数图象的交点个数，利用一元二次方程的根的判别式b2－4ac，求未知系数的取值范围．反之，亦可利用一元二次方程的根的判别式b2－4ac判断一次函数与二次函数图象的交点个数；①一次函数与二次函数图象只有2个交点⇔b2－4ac＞0；②一次函数与二次函数图象只有1个交点⇔b2－4ac＝0；③一次函数与二次函数图象没有交点⇔b2－4ac＜0.2.若题干中给定自变量的取值范围时，一般要对取值范围的端点进行讨论；3.若函数的交点有特定的特点时，需要根据题意解出函数关系式，采用数形结合的思想，画出函数图象的草图，根据函数图象及函数性质来解题．考向2裁剪方式不确定典例精讲例2沿三角形的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的平行四边形，经测量这个四边形的相邻两边长为10、6，一条对角线的长为8，则原三角形纸片的周长是________．例2题图【思维教练】根据题意画图，补全三角形，注意有两种情况，再根据平行四边形各边平行且相等的性质求得三角形的周长．针对训练2.如图，有一张面积为3的锐角三角形纸片，其中一边BC为2，把它剪两刀拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，且矩形的一边与BC平行，则矩形的周长为________．第2题图考向3图形形状不确定作图微技能等腰三角形腰和底边不确定3.如图，已知▱ABCD点E为边BC上一点．(1)连接AE，DE，找出当△ADE是以AD为底边的等腰三角形时的图形(用尺规作图，并保留作图痕迹)；(2)连接AE，DE，找出当△ADE是以AD为腰的等腰三角形时的图形(用尺规作图，并保留作图痕迹)；(3)连接AE，找出当△ABE为等腰三角形时的图形(用尺规作图，并保留作图痕迹)．满分技法问题：已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形．分情况：对于等腰三角形的腰和底不确定问题，需分①AB＝AP；②AB＝BP；③AP＝BP三种情况进行讨论．作图找点：①情况一：以AB为腰．分别以A，B为圆心，以AB长为半径画圆，与已知直线的交点P1，P2，P4，P5即为所求；②情况二：以AB为底．作线段AB的垂直平分线与已知直线的交点P3即为所求．代数法求解：设出P点的坐标，再分别表示出线段AB、BP、AP的长度，分AB＝AP，AB＝BP，AP＝BP 三种情况，列方程求解．作图微技能直角三角形直角顶点不确定4.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边BC、AD上的点，且BE＝DF，连接EF，点P是矩形ABCD的边上一点．(1)找出当△PEF是以EF为直角边的直角三角形时的图形；(用尺规作图，并保留作图痕迹)(2)找出当△PEF是以EF为斜边的直角三角形时的图形；(用尺规作图，并保留作图痕迹)满分技法问题：已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形．分情况：①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°；②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°；③以P 为直角顶点，即∠APB＝90°.作图找点：①情况一：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求；②情况二：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求；③情况三：取AB的中点Q为圆心，以QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3、P4即为所求．代数法求解：①设出P点的坐标，再分别表示出线段AB、BP、AP的长度，分BP2＝AB2＋AP2，AP2＝AB2＋BP2，AB2＝AP2＋BP2三种情况，列方程求解，若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在；②找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过作辅助线构造相似三角形；③特殊地，若有30°、45°或60°角，可考虑用锐角三角函数求解．典例精讲例3在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，若P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为M，连接AM，DM，当△AMD是等腰三角形，且MA＝MD时，AP的长为________．针对训练5.如图，一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝a，点D为BC边上的任一点，且CD＝12a，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，若△BDE是直角三角形，则a的值为________．第5题图拓展考向4对应关系不确定典例精讲例4如图，△ABC是边长为6例4题图的等边三角形，点D、E分别在AB、AC上，AD＝2，连接BE交CD于点F，且∠BFD＝60°，点M是射线CA上一点，当以C、D、M为顶点的三角形与△BCF相似时，CM的长为________．满分技法1.三角形全等或相似时，未指明对应边(或对应角)则需要分类讨论；2.图形旋转方向不确定分两类讨论：①图形绕旋转中心顺时针旋转；②图形绕旋转中心逆时针旋转；3.图形平移时，平移方向未确定时则需要分类讨论不同的平移方向．针对训练6.如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P是边AB上一点，将△ABC沿经过点P的直线折叠，使得点A落在边BC上的A′处，若△PBA′恰好和△ABC相似，则此时AP的长为________．第6题图拓展考向5点的位置不确定典例精讲例5在△ABC中，AB＝AC＝52，∠BAC＝90°，点D在BC边上，DE⊥BC，分别交射线BA、射线CA于点E、F，若DE＝2EF，则线段BD的长为________．【思维教练】满足题中条件时有E点在F点上方，E点在F点下方两种情况，分别画图，根据等腰直角三角形的各边关系即可求解．针对训练7.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且EF∥BC，点A关于EF的对称点D恰好落在△ABC的内角平分线上，则AD长为________．第7题图参考答案形式一多结论判断题考向1代数类典例精讲例1①②④【解析】①a ＋c ＝－b ，∴a ＋c 2b ＝－b 2b＝－12，故①正确；②将x ＝1代入ax ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＋c ＝0，故②正确；③abc ≠0，可得a ≠0，b ≠0，c ≠0，a ＋b ＋c ＝0，则a 、b 、c 中至少有1个正数，至少有1个负数．abc 不一定大于0，故③错误；④c ＝0，ab ≠0，则a ＋b ＝0，1a ＋1b ＝a ＋b ab＝0，故④正确．针对训练1.①②④【解析】①∵ab ＋bc ＝ac ，∴b (a ＋c )＝ac ，∴a ＋c ac＝1b ，∴1a ＋1c ＝1b ，故①正确；②∵b ＝12a ，∴a ＝2b ，将a ＝2b 代入ab ＋bc ＝ac 得2b 2＋bc ＝2bc ，∴2b ＋c ＝2c ，∴b ＝12c ，故②正确；③若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，代入ab ＋bc ＝ac 得－b 2＋bc ＝－bc ，∴b 2＝2bc ，∴b ＝2c ，∴a ＝－2c ，故③错误；④若b ＝c ，则ab ＋b 2＝ab ，∴b 2＝0，则b ＝0，∴b ＝c ＝0，同理可得当其他两个数相等时，这两个数也都为0，故④正确．考向二几何类典例精讲例2C 【解析】如解图，过点A 作AM ∥CE 交BD 于点N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠DCB ＝90°，AD ＝BC ，∵CE ⊥BD 于点F ，∴∠EDB ＝∠DBC ，∠DCB ＝∠DFE ＝90°，∴△DEF ∽△BDC ，故选项A 正确；∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△BCF ，∴DE BC ＝DF BF，∵DE ＝12AD ＝12BC ，∴DF BF ＝12，∴BF ＝2DF ，故选项B 正确；设EF ＝a ，CF ＝2a ，∵∠CFD ＝∠DFE ＝90°，且∠EDF ＋∠FDC ＝∠FDC ＋∠FCD ＝90°，∴∠EDF ＝∠FCD ，∴△DFC ∽△EFD ，∴DF EF ＝CF DF，则DF 2＝EF ·CF ＝2a 2，得DF ＝2a ，∴DF ＝2EF ，故选项C 错误；∵△DEF ∽△BCF ，点E 是AD 边的中点，∴EF CF ＝DE BC ＝12，∴S △DEF ＝12S △DCF ，S △DCF ＝16S 矩形ABCD ，S 四边形BAEF ＝S △DBA －S △DEF ＝12S 矩形ABCD －112S 矩形ABCD ＝512S 矩形ABCD ，即可得到S 四边形BAEF ＝52S △DCF .故选项D正确．例2题解图安徽近年真题精选2.①②④【解析】序号逐个分析正误①∵F 是AD 的中点，∴DF ＝12AD ，∵AD ＝2AB ，∴AB ＝DF ＝CD ，∴∠DFC ＝∠DCF ，又由AD ∥BC 得∠DFC ＝∠BCF ，∴∠DCF＝∠BCF ，∴∠DCF ＝12∠BCD √②如解图，延长BA 、CF 交于点G .∵∠GFA ＝∠DFC ，∠GAF ＝∠D ，AF ＝DF ，∴△AFG ≌△DFC ，∴GF ＝CF ，∴在Rt △GEC 中，EF＝CF√③由②可知点F 是△GEC 斜边GC 上的中点，∴S △CEG ＝2S △CEF ＝12GE ·CE ，S △BEC ＝12BE ·CE ，又∵GE ＝AG ＋AE ＝CD ＋AE >BE ，∴S △CEG >S △BEC ，即S △BEC <2S △CEF×④由②可知∠G ＝∠GEF ，∴∠EFC ＝2∠GEF ，∵∠G ＝∠DCF ，∠DCF ＝∠DFC ，∴∠GEF ＝∠DFC ，∴∠DFE ＝∠DFC ＋∠EFC ＝3∠AEF √第2题解图针对训练3.D 【解析】∵△PBC 是等边三角形，∴∠PCB ＝60°，PC ＝BC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝AB ，∠ABC ＝90°，∴∠ACB ＝45°，∴∠ACP ＝60°－45°＝15°，∴A 正确；∵∠ABC ＝90°，∠PBC ＝60°，∴∠ABP ＝90°－60°＝30°，∵BC ＝PB ，BC ＝AB ，∴PB ＝AB ，∴∠BPA ＝∠PAB ＝12(180°－30°)＝75°，∵∠ABP ＝30°，∠BAC ＝45°，∴∠AEP ＝45°＋30°＝75°＝∠BPA ，∴AP ＝AE ，∴△APE 为等腰三角形，∴B 正确；∵∠APB ＝∠APB ，∠AEP＝∠PAB ＝75°，∴△PAE ∽△ABP ，∴AP BA ＝PE AP，∴AP 2＝PE ·BA ，∴AE 2＝PE ·AB ，∴C 正确；如解图，连接PD ，过点D 作DG ⊥PC 于点G ，过点P 作PF ⊥AD 于点F ，设正方形的边长为2a ，则S 2＝4a 2，等边△PBC 的边长为2a ，高为3a ，∴PF ＝2a －3a ＝(2－3)a ，∴S △APD ＝12AD ·PF ＝(2－3)a 2，∴∠PCD ＝90°－60°＝30°，∴GD ＝12CD ＝a ，∴S △PCD ＝12PC ·DG ＝a 2，S △ACD ＝2a 2，∴S 1＝S △ACD －S △APD －S △PCD ＝2a 2－(2－3)a 2－a 2＝(3－1)a 2＜a 2，∴S 1∶S 2≠1∶4，∴D 错误．第3题解图4.C 【解析】在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴∠CAB ＝60°，BC ＝3，AB ＝2，如解图，连接AB ′.A .当AB ′⊥AC 时，如解图①，B ′C ＝BC ＝3，AC ＝1，∴AB ′＝3－1＝2，正确；B .当点P 为AB 中点时，如解图②，在Rt △ACB 中，CP ＝AP ＝BP ＝B ′P ，∴∠CB ′P ＝∠B ′CP ＝30°，∵∠CAP ＝60°，∴△ACP 是等边三角形，∴∠APC ＝60°，∴∠APB ′＝60°，又∵B ′P ＝BP ＝AP ，∴△APB ′为等边三角形，∴AC ＝CP ＝PB ′＝B ′A ，∴四边形ACPB ′是菱形，正确；C .当∠B ′PA ＝30°时，如解图③，C 、A 、B ′三点共线，由折叠的性质知B ′C ＝BC ＝3，∴AB ′＝AP ＝3－1，∵AB ＝2，∴PB ＝2－(3－1)＝3－3，∴AP PB ＝3－13－3＝33，错误；D .当CP ⊥AB 时，如解图④，B ′和A 、P 、B 三点在一条直线上，此时AP ＝12，∵B ′C ＝BC ＝3，∴B ′P ＝32，∴AB ′＝1，BP ＝B ′P ＝32，∴AP ∶AB ′∶BP ＝1∶2∶3，正确．图①图②图③图④第4题解图形式二双空题考向1代数类典例精讲例1(1)(2，4)；(2)4＜n ＜5【解析】(1)由y ＝－ax 2＋2ax ＋4知无论a 取何值，此抛物线都会经过定点(0，4)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－2a －2a＝1，∵(0，4)关于对称轴x ＝1的对称点为(2，4)，∴无论a 取何值，此抛物线也会经过定点(2，4)；(2)如解图，点B 在点A 正上方，函数y ＝x ＋3(x ≥1)图象是射线，x ＝1时，y ＝x ＋3＝4；x ＝2时，y ＝x ＋3＝5，∴B (2，5)．∵抛物线经过定点(2，4)．结合函数草图可知，若抛物线与函数y ＝x ＋3(x ≥1)的图象有交点M ，则y A <y M <y B ，∴点M 纵坐标n 的取值范围为4＜n ＜5.例1题解图安徽近年真题精选1.(1)0；(2)2【解析】(1)把点(－1，m )代入该抛物线的解析式中，得1－(a ＋1)＋a ＝m ，解得m ＝0；(2)该抛物线顶点的纵坐标为4a －（a ＋1）24＝－（a －1）24－14(a －1)2＋2，∵－14＜0，∴当a ＝1时，平移后的纵坐标有最大值为2.针对训练2.(1)1；(2)2≤m <7【解析】(1)由题意可知，该抛物线的对称轴为直线x ＝－－42a＝2，解得a ＝1；(2)设平移m 个单位后，函数解析式为y ＝x 2－4x ＋2＋m (此时不分上下，用正负替代)．当顶点在x 轴上时，(－4)2－4×1×(2＋m )＝0，解得m ＝2，即需向上平移2个单位，不符合条件；由于抛物线关于直线x ＝2对称，∴抛物线在0<x <4内对称，若存在交点，始终有两个交点，若只有一个交点，则抛物线与x 轴的交点只能在－1<x ≤0，故当x ＝0时，y ＝2＋m ≤0，解得m ≤－2，当x ＝－1时，y ＝7＋m >0，解得m >－7，∴－7<m ≤－2，∵抛物线向下平移，∴m 的取值范围是2≤m <7.3.(1)－12；(2)1【解析】(1)将点(0，－14)代入函数表达式y ＝(x －k )2＋k 中得，k 2＋k ＝－14，移项得，k 2＋k ＋14＝0，化简得，(k ＋12)2＝0，解得k ＝－12；(2)∵点A (m ，n )在二次函数y ＝(x －k )2＋k (k ≠0)的图象上，也在二次函数y ＝(x ＋k )2－k＝（m －k ）2＋k ＝（m ＋k ）2－k，＝12＝k 2＋14，∴m ＋n ＝12＋k 2＋14＝k 2＋34，∴m ＋n 的最小整数值是1.考向2几何类典例精讲例2(1)32；(2)52【解析】(1)由折叠可得：DF ＝DC ＝5，CE ＝EF ，∴在Rt △ADF 中，AF ＝DF 2－AD 2＝3，∴BF ＝5－3＝2，设BE ＝x ，则FE ＝CE ＝4－x ，在Rt △BEF 中，22＋x 2＝(4－x )2，解得x ＝32，即BE ＝32；(2)当BP ＝CP 且四边形BGPH 为矩形时，点P 在BC 的垂直平分线上，即PH 垂直平分BC ，∴BH ＝CH ＝12BC ＝2，又∵BE ＝32，∴EH ＝12，EC ＝52，∵PH ∥DC ，∴PH CD ＝EH EC ，即PH 5＝1252，解得PH ＝1，在Rt △PEH 中，PE ＝PH 2＋EH 2＝12＋（12）2＝52，∴PE 的长为52.安徽近年真题精选4.(1)30；(2)3【解析】(1)如解图，由折叠的性质得∠AQP ＝∠B ，∠C ＋∠D ＝∠PRQ ＋∠ARQ ＝180°，∠DQA ＝∠RQA ，∠CQP ＝∠RQP ，且∠DQA ＋∠RQA ＋∠CQP ＋∠RQP ＝180°，∴AD ∥BC ，∠B ＝∠AQP ＝90°，即∠BAD ＝90°＝∠1＋∠2＋∠3，由折叠性质知∠1＝∠2＝∠3，∴∠PAQ ＝∠2＝30°；(2)当四边形APCD 为平行四边形时，∠C ＝∠DAP ＝∠1＋∠2＝60°，∴△PQR 为等边三角形，QR ＝QP ，∠RPQ ＝60°，tan ∠APQ ＝AQ QP＝3，由折叠的性质得AB ＝AQ ，∴AB QR ＝ 3.第4题解图针对训练5.(1)36；(2)23【解析】(1)由折叠性质可得△A 1PQ ≌△APQ ，∴PA 1＝PA ＝BP ，∠PA 1Q＝∠PAQ ＝90°，∴∠PA 1F ＝90°，在Rt △PBF 和Rt △PA 1F ＝PA 1，＝PF ，∴Rt △PBF ≌Rt △PA 1F (HL)，∴∠BPF ＝∠A 1PF ，又∵∠APQ ＝∠A 1PQ ，∴∠APQ ＋∠BPF ＝12∠APB ＝90°，∵∠APQ ＋∠AQP ＝90°，∴∠BPF ＝∠AQP ，在△PBF 和△QAP B ＝∠A ＝90°，BPF ＝∠AQP ，∴△PBF ∽△QAP ，∴AP BF ＝AQ BP ，∴AQ ·BF ＝AP ·BP ＝12AB ·12AB ＝36；(2)∵△A 1PQ ∽△A 1FE ，∴QA 1EA 1＝PA 1FA 1，∠FEA 1＝∠PQA 1＝∠FPA 1,∴EF ＝PF ，PA 1＝EA 1，∴∠QFP ＝∠QFE ，∴△QFP ≌△QFE ，∴∠PQA 1＝∠FQE ＝∠PQA ＝60°，∴∠BPF ＝60°，∴BF ＝BP ·tan60°＝63，∵AP BF ＝AQ BP ，PA ＝PB ，∴AQ PA ＝PA BF ，∴AQ ＝PA ·PA BF＝2 3.形式三多解题考向1含参解析式中参数的分情况讨论典例精讲例1－5≤b ＜－2或b ＝98【解析】①当b ＞0时，抛物线与y ＝3x 只有一个交点，则联立二次函数与y ＝3x 并整理得：2x 2－3x ＋b ＝0，Δ＝9－8b ＝0，解得：b ＝98；②当b ＝0时，则抛物线与正比例函数交点为(0，0)和(32，92)，即两个交点，不符合题意；③当b ＜0时，当x ＝－1时，y ＝3x ＝－3，当x ＝2时，y ＝3x ＝6，临界点为(－1，－3)，将(－1，－3)代入y ＝2x 2＋b 得－3＝2＋b ，解得b ＝－5，此时抛物线不过(2，6)点，将(2，6)代入y ＝2x 2＋b 得b ＝－2，此时二次函数在x ＝－1处的纵坐标为0，在(－1，－3)的上方，故此时二次函数与正比例函数在－1≤x ≤2范围内有两个交点，则b ≠－2，故－5≤b <－2，综上所述－5≤b＜－2或b ＝98.针对训练1.a ＞0或－23＜a ＜0【解析】函数y ＝x 2－ax 的图象是抛物线，抛物线开口向上，与x 轴的交点为(0，0)和(a ，0)，①当a ＞0时，若P ，Q 都在x 轴的上方，如解图①，此时当x ＝a 时，y ＝－x ＋3a ＋2＝－a ＋3a ＋2＝2a ＋2＞0，解得a ＞－1，故a ＞0；②当a ＜0时，若P ，Q 都在x 轴的上方，如解图②，此时当x ＝0时，y ＝－x ＋3a ＋2＝3a ＋2＞0，解得a ＞－23，故－23＜a ＜0，综上所述，实数a 的取值范围是a ＞0或－23＜a ＜0.第1题解图考向2裁剪方式不确定典例精讲例248或(32＋813)【解析】如解图①，周长为2×(10＋8＋6)＝48；如解图②，∵BD ＝6，BC ＝8，CD ＝10，∴BD 2＋BC 2＝CD 2，∴△BCD 是直角三角形，∴AC ＝12，AB ＝AC 2＋BC 2＝413，∴周长为2×(10＋413＋6)＝(32＋813)；综上所述，原三角形的周长是48或(32＋813)．图①图②例2题解图针对训练2.8或7【解析】如解图①，作AD⊥BC于点D且AC，AB交EF于点G，H，作线段CD，BD的垂直平分线，过点A作EH∥BC与CD，BD的垂直平分线交于点E，H，可得矩形EFGH.∵12·BC·AD＝3，BC＝2，∴AD＝3，∴EF＝GH＝AD＝3，EH＝FG＝1，∴矩形的周长＝2×(3＋1)＝8.如解图②，作AD⊥BC于点D，且AC、AB交EF于点G、F，作线段AD的垂直平分线，分别过点C、B作CE∥AD，BF∥AD，与AD的垂直平分线交于点E，F，可得矩形EFBC，易知OD＝EC＝BF＝12AD＝32，EF＝BC＝2，∴矩形EFBC的周长＝2×(32＋2)＝7，故周长为8或7.图①图②第2题解图考向3图形形状不确定作图微技能3.(1)如解图①，等腰三角形ADE即为所求；第3题解图①(2)如解图②，等腰三角形ADE即为所求；第3题解图②(3)如解图③，等腰三角形ABE即为所求．第3题解图③4.(1)如解图①，Rt△PEF即为所求；第4题解图①(2)如解图②，Rt△PEF即为所求；第4题解图②典例精讲例352或10【解析】当点P在线段AD上时，如解图①，连接BM，过点M作MH⊥AD于点H，延长HM交BC于点F.∵MA＝MD，MH⊥AD，∴AH＝HD＝12AD＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAH＝∠ABF＝∠AHF＝90°，∴四边形ABFH是矩形，∴BF＝AH＝4，FH＝AB＝5，∠BFM＝90°，∵点A关于BP的对称点为M，∴BM＝BA＝5，∴FM＝BM2－BF2＝52－42＝3，∴HM＝HF－FM＝5－3＝2，∵∠ABP＋∠APB＝90°，∠MAH＋∠APB＝90°，∴∠ABP＝∠MAH，∵∠BAP＝∠AHM＝90°，∴△ABP∽△HAM，∴APHM＝ABHA，∴AP2＝54，∴AP＝52；当点P在线段AD的延长线上时，如解图②，连接BM，过点M作MH⊥AD于点H，交BC于点F.同理可得BM＝5，BF＝4，∴FM＝3，MH＝3＋5＝8，∵△ABP∽△HAM，∴APHM＝ABHA，∴AP8＝54，∴AP＝10，综上所述，AP的长为52或10.例3题解图针对训练5.6或52【解析】如解图①，∠DEB＝90°，由折叠的性质得∠AED＝90°＝∠C，ED＝CD＝12a，AE＝AC＝a，∴BE＝10－a，∴sin B＝12aBD＝a10，解得BD＝5，在Rt△BDE中，(12a)2＋(10－a)2＝52，解得a1＝6，a2＝10(舍去)；如解图②，∠BDE＝90°，则∠CDE＝∠DEF＝∠C＝90°，ED＝CD＝12a，∴四边形CDEF是正方形，∴DE∥AC，∵CF＝CD＝12AC，∴点D是BC的中点，BC＝2CD＝a，∴△ABC是等腰直角三角形，∴a＝22AB＝52，综上所述，a的长为6或52.第5题解图典例精讲例44或7【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ＝6，∠BCA ＝60°＝∠BFD ，∴∠BCD ＋∠DCA ＝∠BCD ＋∠CBE ，∴∠CBE ＝∠DCA ，如解图，当点M 在AC 上时，作∠CDM ＝∠BCD ，∴△BCF ∽△CDM ，∵∠CDM ＝∠BCD ，∴∠DMA ＝∠DCA ＋∠CDM ＝∠BCD ＋∠DCA ＝∠BCA ＝60°，∴∠DMA ＝∠DAM ＝60°，∴△DMA 是等边三角形，∴DA ＝DM ＝AM ＝2，∴CM ＝4；当点M ′在CA 的延长线上时，如解图，作∠ADM ′＝∠CBE ，∵∠BAC ＝∠ADM ′＋∠M ′＝60°，∠BFD ＝∠BCD ＋∠CBE ＝60°，∴∠M ′＝∠BCD ，∴△BCF ∽△CM ′D ，∵∠ADM ′＝∠ACD ，∠CDM ＝∠M ′，∴△CDM ∽△DM ′A ，∴CM AD ＝DM AM ′，∴42＝2AM ′，∴AM ′＝1，∴CM ′＝7.综上所述，CM 的长为4或7.例4题解图针对训练6.43或23－2【解析】如解图①，当∠PA ′B ＝∠C ＝90°时，设PA ＝PA ′＝x .在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝2，∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝4，BC ＝3AC ＝23，∵∠B ＝∠B ，∠BA ′P ＝∠C ＝90°，∴△BPA ′∽△BAC ，∴PB BA ＝PA ′AC ，∴4－x 4＝x 2，∴x ＝43；如解图②，当∠BPA ′＝90°时，△BPA ′∽△BCA ，∴BP BC ＝PA ′CA ，∴4－x 23＝x 2，∴x ＝23－2.第6题解图典例精讲例54或203【解析】如解图①，∵AB ＝AC ＝52，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝45°，∵DE ⊥BC ，∴∠BDE ＝∠BAF ＝90°，∴∠BED ＝∠AEF ＝∠F ＝45°，∴BD ＝DE ，AE ＝AF ，设BD ＝DE ＝2x ，则BE ＝22x ，∵DE ＝2EF ，∴EF ＝x ，∴AE ＝22EF ＝22x ，∵AB ＝AE ＋BE ，∴22x ＋22x ＝52，∴x ＝2，∴BD ＝4；如解图②，∵在△ABC 中，AB ＝AC ＝52，∠BAC ＝90°，∴BC ＝10，∠C ＝45°，∵DE ⊥BC ，∴∠CDF ＝90°，∴∠CFD ＝∠AFE ＝∠E ＝45°，∴CD ＝DF ，AE ＝AF ，设CD ＝x ，则CF ＝2x ，∵DE ＝2EF ，∴EF ＝DF ＝x ，∴AF ＝22EF ＝22x ，∵AC ＝AF ＋CF ，∴2x ＋22x ＝52，∴x ＝103，∴CD ＝103，∴BD ＝203，综上所述，线段BD 的长为4或203.例5题解图针对训练7.3或83【解析】如解图①，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵EF ∥BC ，∴AH ⊥EF ，∵点D 与点A 关于EF 对称，∴点D 在AH 上，在Rt △ABC 中，BC ＝62＋82＝10，∵12AH ·BC ＝12AB ·AC ，∴AH ＝6×810＝245，∴BH ＝62－（245）2＝185，当点D 为∠CBA 的平分线BM 与AH 的交点时，如解图①，过点M 作MN ⊥BC 于N ，∴MA ＝MN ，∴BN ＝BA ＝6，∴CN ＝4，设MA ＝MN ＝x ，则CM ＝8－x ，在Rt △CMN 中，x 2＋42＝(8－x )2，解得x ＝3，∵DH∥MN ，∴DH MN ＝BH BN ，即DH 3＝1856，解得HD ＝95，∴AD ＝245－95＝3；如解图②，当点D 为∠BCA 的平分线CG 与AH 的交点时，CH ＝BC －BH ＝325，过点G 作GQ ⊥BC 于Q ，则GQ ＝GA ，∴CQ ＝CA ＝8，∴BQ ＝2，设GQ ＝GA ＝t ，则BG ＝6－t ，在Rt △BGQ 中，22＋t 2＝(6－t )2，解得t ＝83，∵DH ∥GQ ，∴DH GQ ＝CH CQ ，即DH 83＝3258，解得DH ＝3215，∴AD ＝245－3215＝83，综上所述，AD 的长为3或83.第7题解图。

数学试题注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4、考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．审核：魏敬德老师一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A ，B ，C ，D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1. ﹣5的绝对值是（ ）A. 5B. ﹣5C. 15− D. 15【答案】A【解析】【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．【详解】解：|﹣5|=5．故选A ．2. 据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为（ ）A. 70.94410×B. 69.4410×C. 79.4410×D. 694.410× 【答案】B【解析】【分析】本题考查了科学记数法，先把944万转化为9440000，再根据科学记数法：10na ×（110a ≤<，n 为整数），先确定a 的值，然后根据小数点移动的数位确定n 的值即可，根据科学记数法确定a 和n 的值是解题的关键．【详解】解：944万694400009.4410=×，故选：B ．3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，关键是熟悉三视图的定义．【详解】解：根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形状特征可得该几何体为D 选项． 故选：D ．4. 下列计算正确的是（ ）A. 356a a a +=B. 632a a a ÷=C. ()22a a −=D. a =【答案】C【解析】【分析】题目主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方运算、二次根式的化简，根据这些运算法则依次判断即可【详解】解：A 、3a 与5a 不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意；B 、633a a a ÷=，选项错误，不符合题意；C 、()22a a −=，选项正确，符合题意；D a =，当0a ≥a =，当0a <a =−，选项错误，不符合题意； 故选：C5. 若扇形AOB 的半径为6，120AOB ∠=°，则 AB 的长为（ ）A. 2πB. 3πC. 4πD. 6π【答案】C【解析】【分析】此题考查了弧长公式，根据弧长公式计算即可．【详解】解：由题意可得， AB 的长为12064180ππ×=, 故选：C ．6. 已知反比例函数()0k y k x=≠与一次函数2y x =−的图象的一个交点的横坐标为3，则k 的值为（ ） A. 3−B. 1−C. 1D. 3 【答案】A【解析】【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出231y =−=−，代入反比例函数求解即可【详解】解：∵反比例函数()0k y k x=≠与一次函数2y x =−的图象的一个交点的横坐标为3， ∴231y =−=−， ∴13k −=，∴3k =−， 故选：A 7. 如图，在Rt ABC △中，2AC BC ==，点D 在AB 的延长线上，且CD AB =，则BD 的长是（ ）A. B. C. 2− D. −【答案】B【解析】【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点D 作DE CB ⊥的延长线于点E ，则90BED ∠=°，由90ACB ∠=°，2AC BC ==，可得AB =，45A ABC ∠=∠=°，进而得到CD =，45DBE ∠=°，即得BDE △为等腰直角三角形，得到DE BE =，设DE BE x ==，由勾股定理得()(2222x x ++，求出x 即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：过点D 作DE CB ⊥的延长线于点E ，则90BED ∠=°，∵90ACB ∠=°，2AC BC ==，∴AB 45A ABC ∠=∠=°，∴CD =，45DBE ∠=°，∴BDE △为等腰直角三角形，∴DE BE =，设DEBE x ==，则2CE x =+， 在Rt CDE △中，222CE DE CD +=，∴()(2222x x ++，解得11x =−，21x −（舍去），∴1DE BE ==−，∴BD ==，故选：B ．8. 已知实数a ，b 满足10a b −+=，011a b <++<，则下列判断正确的是（ ）A. 102a −<<B. 112b << C. 2241a b −<+<D. 1420a b −<+<【答案】C【解析】 【分析】题目主要考查不等式的性质，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键【详解】解：∵10a b −+=，∴1a b =−，∵011a b <++<， ∴0111b b <−++<，∴102b <<，选项B 错误，不符合题意； ∵10a b −+=，∴1b a =+，∵011a b <++<，∴0111a a <+++<， ∴112a −<<−，选项A 错误，不符合题意； ∵112a −<<−，102b <<， ∴221a −<<−，042b <<， ∴2241a b −<+<，选项C 正确，符合题意；∵112a −<<−，102b <<， ∴442a −<<−，021b <<， ∴4421a b −<+<−，选项D 错误，不符合题意；故选：C 9. 在凸五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE =，F 是CD 的中点．下列条件中，不能推出AF 与CD 一定垂直的是（ ）A. ABC AED ∠=∠B. BAF EAF ∠=∠C. BCF EDF ∠=∠D. ABD AEC ∠=∠ 【答案】D【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键．利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论．【详解】解：A 、连结AC AD 、，∵ABC AED ∠=∠，AB AE =，BC DE =，∴()SAS ACB ADE ≌，∴AC AD =又∵点F 为CD 的中点∴AF CD ⊥，故不符合题意；B 、连结BF EF 、，∵AB AE =，BAF EAF ∠=∠，AF AF =，∴()SAS ABF AEF ≌，∴BF EF =， AFB AFE ∠=∠又∵点F 为CD 中点，∴CF DF =，∵BC DE =,∴()SSS CBF DEF ≌，∴CFB DFE ∠=∠， ∴90CFB AFB DFE AFE ∠+∠=∠+∠=°，∴AF CD ⊥，故不符合题意；C 、连结BF EF 、，∵点F 为CD 的中点，∴CF DF =，∵BCF EDF ∠=∠，BC DE =，∴()SAS CBF DEF ≌，的∴BF EF =， CFB DFE ∠=∠， ∵AB AE =，AF AF =，∴()SAS ABF AEF ≌，∴AFB AFE ∠=∠，∴90CFB AFB DFE AFE ∠+∠=∠+∠=°，∴AF CD ⊥，故不符合题意；D 、ABD AEC ∠=∠，无法得出相应结论，符合题意； 故选：D ．10. 如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=°，4AB =，2BC =，BD 是边AC 上的高．点E ，F 分别在边AB ，BC 上（不与端点重合），且DE DF ⊥．设AE x =，四边形DEBF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象为（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定了的应用，过点E 作EH AC ⊥与点H ，由勾股定理求出AC ，根据等面积法求出BD ，先证明ABC ADB ∽，由相似三角形的性质可得出AB AC AD AB =，即可求出AD ，再证明AED BFD ∽，由相似三角形的性质可得出2AED BFD S AD S BD = ，即可得出4AED BFD S S = ，根据()ABC AED BDC BDF DEBF S S S S S =−−− 四边形，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值．【详解】解：过点E 作EH AC ⊥与点H ，如下图：∵90ABC ∠=°，4AB =，2BC =，∴AC ，∵BD 是边AC 上的高． ∴1122AB BC AC BD ⋅=⋅，∴BD = ∵BAC CAB ∠=∠，90ABC ADB ∠=∠=°，∴ABC ADB ∽△△， ∴AB AC AD AB=，解得：AD =，∴DC AC AD =−==， ∵90BDF BDE BDE EDA ∠+∠=∠+∠=°，90CBD DBA DBA A ∠+∠=∠+∠=°，∴DBC A ∠=∠，BDF EDA ∠=∠，∴AED BFD ∽，∴224AED BFD S AD S BD == ， ∴4AED BFD S S = ，∴()ABC AED BDC BDF DEBF S S S S S =−−− 四边形 1111sin 2224BFD AB BC AE AD A DC DB S ⋅−⋅∠−⋅+1311422422x =××−× 16355x =− ∵04x <<，∴当0x =时，165DEBF S =四边形 ， 当4x =时，45DEBF S =四边形． 故选：A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. 若代数式14−x 有意义，则实数x 取值范围是_____． 【答案】4x ≠【解析】【分析】根据分式有意义的条件，分母不能等于0，列不等式求解即可．【详解】解： 分式有意义的条件是分母不能等于0，∴40x −≠∴4x ≠．故答案：4x ≠．【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义的条件． 12.，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为227．比较大______227（填“>”或“<”）． 【答案】>【解析】【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵222484749 =，24901049==， 而4844904949<，∴22227 <，227>； 故答案为：>13. 不透明的袋中装有大小质地完全相同的4个球，其中1个黄球、1个白球和2个红球．从袋中任取2个球，恰为2个红球的概率是______．的为【答案】16【解析】【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键．【详解】解：画树状图如下：由树状图可得，共有12种等结果，其中恰为2个红球的结果有2种，∴恰为2个红球的概率为21126=， 故答案为：16． 14. 如图，现有正方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在边,AB BC 上，沿垂直于EF 的直线折叠得到折痕MN ，点B ，C 分别落在正方形所在平面内的点B ′，C ′处，然后还原．（1）若点N 在边CD 上，且BEF α∠=，则C NM ′∠=______（用含α式子表示）； （2）再沿垂直于MN 的直线折叠得到折痕GH ，点G ，H 分别在边,CD AD 上，点D 落在正方形所在平面内的点D '处，然后还原．若点D '在线段B C ′′上，且四边形EFGH 是正方形，4AE =，8EB =，MN 与GH 的交点为P ，则PH 的长为______．【答案】 ①. 90α°− ②.【解析】【分析】①连接CC ′，根据正方形的性质每个内角为直角以及折叠带来的折痕与对称点连线段垂直的性质，再结合平行线的性质即可求解；②记HG 与NC ′交于点K ， 可证：AEH BFE DHG CGF △≌△≌△≌△，则4AE CG DH ===，8DG BE ==，由勾股定理可求HG =，由折叠的性质得到：90NC B NCB ′∠=∠=°，89∠=∠，90D GD H ′∠=∠=°，NC NC ′=，8GD GD ′==，则NG NK =，4KC GC ′==，由的NC GD ′′∥，得HC K HD G ′′△∽，继而可证明HK KG =，由等腰三角形的性质得到PK PG =，故34PH HG ==． 【详解】解：①连接CC ′，由题意得4C NM ′∠=∠，MN CC ′⊥，∵MN EF ⊥，∴CC FE ′∥，∴12∠=∠，∵四边形ABCD 是正方形，∴90B BCD ∠=∠=°，∴343290∠+∠=∠+∠=°，190BEF ∠+∠=°，∴24∠∠=，190α∠=°−， ∴490α∠=°−<∴90C NM α′∠=°−，故答案为：90α°−；②记HG 与NC ′交于点K ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，四边形EFGH 是正方形，∴90A B C D ∠=∠=∠=∠=°，HE FE =，90HEF ∠=°，∴567690∠+∠=∠+∠=°，∴57∠=∠，∴AEH BFE △≌△，同理可证：AEH BFE DHG CGF △≌△≌△≌△，∴4AE CG DH ===，8DG BE ==，在Rt HDG △中，由勾股定理得HG =由题意得：90NC B NCB ′∠=∠=°，89∠=∠，90D GD H ′∠=∠=°，NC NC ′=，8GD GD ′==， ∴NC GD ′′∥，∴9NKG ∠=∠，∴8NKG ∠=∠，∴NG NK =，∴NC NG NC NK ′−=−，即4KC GC ′==，∵NC GD ′′∥，∴HC K HD G ′′△∽，∴12HKC K HGD G ′==′， ∴12HK HG =， ∴HK KG =，由题意得MN HG ⊥，而NG NK =，∴PK PG =，∴34PH HG ==故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 解方程：223x x −=【答案】13x =，21x =−【解析】【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．【详解】解：∵223x x −=，∴223=0x x −−，∴(3)(1)0x x −+=， ∴13x =，21x =−．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法进行解题．16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy ，格点（网格线的交点）A 、B ，C 、D 的坐标分别为()7,8，()2,8，()10,4，()5,4．（1）以点D 为旋转中心，将ABC 旋转180°得到111A B C △，画出111A B C △；（2）直接写出以B ，1C ，1B ，C 为顶点四边形的面积；（3）在所给的网格图中确定一个格点E ，使得射线AE 平分BAC ∠，写出点E 的坐标．【答案】（1）见详解 （2）40（3）()6,6E (答案不唯一)【解析】【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键．（1）将点A ，B ，C 分别绕点D 旋转180°得到对应点，即可得出111A B C △．（2）连接1BB ，1CC ，证明四边形11BC B C 是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可．（3）根据网格信息可得出5AB =，5AC，即可得出ABC 是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E 的坐标．【小问1详解】解：111A B C △如下图所示： 【小问2详解】连接1BB ，1CC ，的∵点B 与1B ，点C 与1C 分别关于点D 成中心对称，∴1DB DB =，1DC DC =，∴四边形11BC B C 是平行四边形， ∴1111122104402BC B C S CC B ==×××= ． 【小问3详解】∵根据网格信息可得出5AB =，5AC， ∴ABC 是等腰三角形，∴AE 也是线段BC 的垂直平分线，∵B ，C 的坐标分别为，()2,8，()10,4 ∴点21084,22E ++， 即()6,6E ．（答案不唯一）四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17. 乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植A B ，两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：农作物品种每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） A4 8 B 3 9已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元．问A B ，这两种农作物的种植面积各多少公顷？【答案】A 农作物的种植面积为3公顷，B 农作物的种植面积为4公顷．【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设A 农作物的种植面积为x 公顷，B 农作物的种植面积为y 公顷，根据题意列出二元一次方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【详解】解：设A 农作物的种植面积为x 公顷，B 农作物的种植面积为y 公顷，由题意可得，43248960x y x y += +=， 解得34x y = = ， 答：设A 农作物的种植面积为3公顷，B 农作物的种植面积为4公顷．18. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N 能否表示为22x y −（x y ，均为自然数）”的问题．（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n 为正整数）： N 奇数 4的倍数表示结果 22110=− 22420=−22321=−22831=− 22532=− 221242=−22743=− 221653=−22954=−222064=−一般结论()22211n n n −=−− 4n =______按上表规律，完成下列问题：（ⅰ）24=（ ）2−（ ）2；（ⅱ）4n =______； （2）兴趣小组还猜测：像261014 ，，，，这些形如42n −（n 为正整数）的正整数N 不能表示为22x y −（x y ，均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：假设2242n x y −=−，其中x y ，均为自然数．分下列三种情形分析：①若x y ，均为偶数，设2x k =，2y m =，其中k m ，均为自然数，则()()()222222224x y k m k m −=−=−为4的倍数．而42n −不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为偶数．②若x y ，均为奇数，设21x k =+，21=+y m ，其中k m ，均为自然数， 则()()22222121x y k m −=+−+=______为4的倍数．而42n −不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为奇数．③若x y ，一个是奇数一个是偶数，则22x y −为奇数．而42n −是偶数，矛盾．故x y ，不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确．阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．【答案】（1）（ⅰ）7，5；（ⅱ）()()2211n n +−−； （2）()224k m k m −+−【解析】【分析】（1）（ⅰ）根据规律即可求解；（ⅱ）根据规律即可求解； （2）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键．【小问1详解】（ⅰ）由规律可得，222475=−，故答案为：7，5；（ⅱ）由规律可得，()()22411n n n =+−−，故答案为：()()2211n n +−−；【小问2详解】解：假设2242n x y −=−，其中x y ，均为自然数．分下列三种情形分析：①若x y ，均为偶数，设2x k =，2y m =，其中k m ，均为自然数，则()()()222222224x y k m k m −=−=−为4的倍数．而42n −不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为偶数．②若x y ，均为奇数，设21x k =+，21=+y m ，其中k m ，均为自然数， 则()()()22222221214x y k m k m k m −=+−+=−+−为4的倍数． 而42n −不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为奇数．③若x y ，一个是奇数一个是偶数，则22x y −为奇数．而42n −是偶数，矛盾．故x y ，不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确．故答案为：()224k m k m −+−． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19. 科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B 处发出，经水面点E 折射到池底点A 处．已知BE 与水平线的夹角36.9α=°，点B 到水面的距离 1.20BC =m ，点A 处水深为1.20m ，到池壁的水平距离 2.50m AD =，点B C D ，，在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为β，折射角为γ，求sin sin βγ的值（精确到0.1，参考数据：sin 36.90.60°≈，cos36.90.80°≈，tan 36.90.75°≈）．【答案】43【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，过点EF AD ⊥于F ，则90AFE ∠=°，DF CE =，由题意可得，36.9BEC α∠=∠=°，CBE β∠=∠， 1.2m =EF ， 解Rt BCE 求出CE 、BE ，可求出sin β，再由勾股定理可得AE ，进而得到sin γ，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：过点EF AD ⊥于F ，则90AFE ∠=°，DF CE =，由题意可得，36.9BEC α∠=∠=°，CBE β∠=∠， 1.2m =EF ， 在Rt BCE 中， 1.2 1.6m tan 0.75BC CE α=≈=， 1.22m sin 0.6BC BE α=≈=， ∴ 1.64sin 25CE BE β===， 1.6m DF =， ∴ 2.5 1.60.9m AF AD DF =−=−=，∴在Rt AFE， 1.5m AE ===， ∴0.93sin 1.55AF AEγ===， ∴4sin 453sin 35βγ==．20. 如图，O 是ABC 的外接圆，D 是直径AB 上一点，ACD ∠的平分线交AB 于点E ，交O 于另一点F ，FA FE =．（1）求证：CD AB ⊥；（2）设FM AB ⊥，垂足为M ，若1OM OE ==，求AC 的长．【答案】（1）见详解 （2）【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键．（1）由等边对等角得出FAE AEF ∠=∠，由同弧所对的圆周角相等得出FAE BCE ∠=∠，由对顶角相等得出AEF CEB ∠=∠，等量代换得出CEB BCE ∠=∠，由角角平分线的定义可得出ACE DCE ∠=∠，由直径所对的圆周角等于90°可得出90ACB ∠=°，即可得出90CEB DCE BCE ACE ACB ∠+∠=∠+∠=∠=°，即90CDE ∠=°．（2）由（1）知，CEB BCE ∠=∠，根据等边对等角得出BE BC =，根据等腰三角形三线合一的性质可得出MA ，AE 的值，进一步求出OA ，BE ，在利用勾股定理即可求出AC ．【小问1详解】证明：∵FA FE =，∴FAE AEF ∠=∠，又FAE ∠与BCE ∠都是 BF所对的圆周角， ∴FAE BCE ∠=∠，∵AEF CEB ∠=∠，∴CEB BCE ∠=∠，∵CE 平分ACD ∠，∴ACE DCE ∠=∠，∵AB 是直径，∴90ACB ∠=°，∴90CEB DCE BCE ACE ACB ∠+∠=∠+∠=∠=°，故90CDE ∠=°，即CD AB ⊥．【小问2详解】由（1）知，CEB BCE ∠=∠，∴BE BC =，又FA FE =，FM AB ⊥，∴2MA ME MO OE ==+=，4AE =，∴圆的半径3OA OB AE OE ==−=，∴2BE BC OB OE ==−=，在ABC 中．26AB OA ==，2BC =∴AC即AC 的长为六、（本题满分12分）21. 综合与实践【项目背景】无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x （单位：cm ）表示．将所收集的样本数据进行如下分组：组别 AB C D E x 3.5 4.5x ≤< 4.5 5.5x ≤< 5.5 6.5x ≤< 6.57.5x ≤< 7.58.5x ≤≤整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：任务1 求图1中a 的值．【数据分析与运用】任务2 A ，B ，C ，D ，E 五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）．①两园样本数据的中位数均在C 组；②两园样本数据的众数均在C 组；③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．任务4 结合市场情况，将C ，D 两组的柑橘认定为一级，B 组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务．【答案】任务1：40；任务2：6；任务3：①；任务4：乙园的柑橘品质更优，理由见解析【解析】【分析】题目主要考查统计表及频数分布直方图，平均数、中位数及众数的求法，根据图标获取相关信息是解题关键．任务1：直接根据总数减去各部分的数据即可；任务2：根据加权平均数的计算方法求解即可；任务3：根据中位数、众数及极差的计算方法求解即可；任务4：分别计算甲和乙的一级率，比较即可．【详解】解：任务1：2001570502540a =−−−−=；任务2：1545057065071586200×+×+×+×+×=， 乙园样本数据的平均数为6；任务3：①∵1570100,157050101+++，∴甲园样本数据的中位数在C 组， ∵1550100,155070101+++，∴乙园样本数据的中位数在C 组，故①正确；②由样本数据频数直方图得，甲园样本数据的众数均在B 组，乙园样本数据的众数均在C 组，故②错误； ③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误；故答案为：①；任务4：甲园样本数据的一级率为：5040100%45%200+×=， 乙园样本数据的一级率为：7050100%60%200+×=， ∵乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率，∴乙园的柑橘品质更优．七、（本题满分12分）22. 如图1，ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，且AM CN =．点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点．（1）求证：OE OF =；（2）连接BM 交AC 于点H ，连接HE ，HF ．（ⅰ）如图2，若HE AB ∥，求证：HF AD ∥；（ⅱ）如图3，若ABCD 为菱形，且2MD AM =，60EHF ∠=°，求AC BD的值． 【答案】（1）见详解 （2）（ⅰ）见详解，（ⅱ【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AM CN ∥，再证明AMCN 是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得出OAE OCF ∠=∠，再利用ASA 证明AOE COF △≌△，利用全等三角形的性质可得出OE OF =．（2）（ⅰ）由平行线截直线成比例可得出OH OE OA OB =，结合已知条件等量代换OH OF OA OD=，进一步证明HOF AOD ∽ ，由相似三角形的性质可得出OHF OAD ∠=∠，即可得出HF AD ∥．（ⅱ）由菱形的性质得出AC BD ⊥，进一步得出30EHO FHO ∠=∠=°，OH =，由平行线截直线成比例可得出13AH AM HC BC ==，进一步得出2OA OH =，同理可求出5OB OE =，再根据25AC OA OH BD OB OE ==即可得出答案．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，OA OC =，∴AM CN ∥，又∵AM CN =，∴四边形AMCN 是平行四边形，∴∥AN CM ，∵OAE OCF ∠=∠．在AOE △与COF 中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠ = ∠=∠∴()ASA AOE COF ≌．∴OE OF =．【小问2详解】（ⅰ）∵HE AB ∥∴OH OE OA OB=， 又OB OD =．OE OF =， ∴OH OF OA OD=， ∵HOF AOD ∠=∠，∴HOF AOD ∽ ，∴OHF OAD ∠=∠，∴HF AD ∥（ⅱ）∵ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，又OE OF =，60EHF ∠=°，∴30EHO FHO ∠=∠=°，∴OH =，∵AM BC ∥．2MD AM =， ∴13AHAM HC BC ==， 即3HC AH =，∴()3OA AH OA OH +=−，∴2OA OH =，∵BN AD ∥，2MD AM =，AM CN =， ∴23BEBN ED AD ==， 即32BE ED =，∴()()32OB OE OB OE −+∴5OB OE =，故25ACOA OH BD OB OE ===． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及菱形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键．八、（本题满分14分）23. 已知抛物线2y x bx =−+（b 为常数）的顶点横坐标比抛物线22y x x =−+的顶点横坐标大1．（1）求b 的值；（2）点()11,A x y 在抛物线22y x x =−+上，点()11,B x t y h ++在抛物线2y x bx =−+上． （ⅰ）若3h t =，且10x ≥，0t >，求h 的值；（ⅱ）若11x t =−，求h 的最大值．【答案】（1）4b =（2）（ⅰ）3；（ⅱ）103 【解析】【分析】题目主要考查二次函数的基本性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握运用二次根数的基本性质是解题关键．（1）根据题意求出22yx x =−+的顶点为()1,1，确定抛物线2y x bx =−+（b 为常数）的顶点横坐标为2，即可求解； （2）根据题意得出21112y x x =−+， 2111()4()y h x t x t +=−+++，然后整理化简211224h t x t x t =−−++；（ⅰ）将3h t =代入求解即可；（ⅱ）将11x t =−代入整理为顶点式，即可得出结果．【小问1详解】解：2222(21)1(1)1yx x x x x =−+=−−++=−−+， ∴22y x x =−+的顶点为()1,1，∵抛物线2y x bx =−+（b 为常数）的顶点横坐标比抛物线22y x x =−+的顶点横坐标大1， ∴抛物线2y x bx =−+（b 为常数）的顶点横坐标为2， ∴()221b −=×−， ∴4b =；【小问2详解】由（1）得224y x bx x x =−+=−+ ∵点()11,A x y 在抛物线22y x x =−+上，点()11,B x t y h ++在抛物线24y x x =−+上． ∴21112y x x =−+， 2111()4()y h x t x t +=−+++，整理得：211224h t x t x t =−−++ （ⅰ）∵3h t =， ∴2113224t t x t x t =−−++，整理得：()1122t t x t x +=+， ∵10x ≥，0t >， ∴1t =，∴3h =；（ⅱ）将11x t =−代入211224h t x t x t =−−++， 整理得224103823()33h t t t =−+−=−−+， ∵30−<， ∴当43t =，即113x =时，h 取得最大值为103．。

安徽省2023年中考数学试题一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。

1.-5的相反数是()A.5B.-5C.15D.-152.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为()A. B.C. D.3.下列计算正确的是()A.a4+a4=a8B.a4⋅a4=a16C.a4 4=a16D.a8÷a4=a24.在数轴上表示不等式x-12<0的解集，正确的是()A. B.C. D.5.下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是()A.y=x2+1B.y=-x2+1C.y=2x+1D.y=-2x+16.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC,OD，则∠BAE-∠COD=()A.60°B.54°C.48°D.36°7.如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为()A.59B.12C.13D.298.如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF ⊥AB 于点F ，连接DE 并延长，交边BC 于点M ，交边AB 的延长线于点G ．若AF =2，FB =1，则MG =()A.23B.352C.5+1D.109.已知反比例函数y =kxk ≠0 在第一象限内的图象与一次函数y =-x +b 的图象如图所示，则函数y =x 2-bx +k -1的图象可能为()A. B.C. D.10.如图，E 是线段AB 上一点，△ADE 和△BCE 是位于直线AB 同侧的两个等边三角形，点P ,F 分别是CD ,AB 的中点．若AB =4，则下列结论错误的是()A.PA +PB 的最小值为33B.PE +PF 的最小值为23C.△CDE 周长的最小值为6D.四边形ABCD 面积的最小值为33二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.计算：38+1=。

2021-2021年安徽省中考数学试卷（答案及评分标准）2021年安徽省初中毕业学业考试数学试题注意事项：本卷共八大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内。

每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分。

1．(?3)2的值是???????????????????????????????????【】 A．9 B.－9 C．6 D．－6 2．如图，直线l1∥l2，则α为????????????????【】 A．150° B．140° C．130° D．120° 3．下列运算正确的是????????????????????【】A．a2?a3?a4 C．a2?a3?a5B．(?a4)?a4D．(a2)3?a5130° 70° l1 l2α第2题图4．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是?????【】 A．8 B.7 C．6 D．522 5．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的高和底面边长分别为??????????【】 A．3，22 B．2，22 C．3，2 D．2，3第5题图主视图3 左视图6．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是????【】 A．45 B．35 C．25 D．15俯视图7．某市2021年国内生产总值（GDP）比2021年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2021年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是??????????【】 A．12%?7%?x%yB．(1?12%)(1?7%)?2(1?x%) D．(1?12%)(1?7%)?(1?x%)2y y y C．12%?7%?2?x%y 8．已知函数y?kx?b的图象如图，则y?2kx?b的图象可能是???????????????【】1 -1 O 第8题图x O -1 1 x O -1 1 x -1 1 O x O 1 1 x A B C D9．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为????【】C H O A 第9题图B A．2 B．3 C．4 D．510．△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是?????????????????【】 A．120° B．125° C．135° D．150°D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．如图，将小王某月手机费中各项费用的情况制成扇形统计图，则表示短信费的扇形圆心角的度数为． 12．因式分解：a2?b2?2b?1? ．13．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m． 14．已知二次函数的图象经过原点及点（?12月基本费 4% 本地话费 43% 短信费长途话费 33% 第11题图，?14），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为．第13题图三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：|?2|?2sin30o?(?3)2?(tan45o)?1 【解】16．如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，求证：MO∥BC．M 【证】C P A 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．观察下列等式：1?12?1?12，2?23?2?23，3?34?3?34，??O B 第16题图（1）猜想并写出第n个等式；【猜想】（2）证明你写出的等式的正确性．【证】18．如图，在对Rt△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△O′A′B′．（1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；y A′O′ AB O 第18题图B′ x（2）设P（x，y）为△OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标．【解】五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长103cm，其一个内角为60°．60° d L 第19题图?? （1）若d＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；【解】（2）当d＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？【解】20．如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰 x ．能拼成一个矩形（非正方形）．．．．．．（1）画出拼成的矩形的简图；【解】（2）求【解】xy② y ① x xy ③ x ④ y y的值．第20题图六、（本题满分12分）21．某校九年级学生共900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）；乙：跳绳次数不少于106次的同学占96%；① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12； 95 105 115 125 135 145 155 O 跳绳次数丁：第②、③、④组的频数之比为4:17:15．（每组数据含左端点值不含右端点值）根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：第21题图（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？【解】（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少？【解】（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1min跳绳次数的平均值．【解】人数七、（本题满分12分）22．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；【证】（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．A M BF C DG 【解】第22题图E八、（本题满分14分）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．金额w（元）【解】批发单价（元）① 5 300 ② 4200100 60 O 20 批发量（kg） O 20 40 60 批发量m（kg）第23题图（1）日最高销量（kg）（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什 80 （6，80）么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．【解】40 （7，40）（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案， O 2 4 6 8 零售价（元）使得当日获得的利润最大．第23题图（2）【解】数学试题参考答案及评分标准一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）题号答案 1 A 2 D 3 B 4 A 5 C 6 B 7 D 8 C 9 B 10 C二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．72° 12．(a?b?1)(a?b?1) 13．2(3?2) 14．y?x2?x，y??13x?213三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解：原式＝2?1?3?1?????????????????????6分＝1?????????????????????????8分16．证：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°∵MP为⊙O的切线，∴∠PMO＝90° ∵MP∥AC，∴∠P＝∠CAB∴∠MOP＝∠B??????????????????????6分故MO∥BC．???????????????????????8分四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（1）猜想：n?nn?1n2?n?nn?1?????????????????3分n2（2）证：右边＝18．解：（1）y ?n?nn?1＝n?1＝左边，即n?nn?1?n?nn?1??8分A′ ????????4分A O′ B′B O x （2）设坐标纸中方格边长为单位1，则经y轴翻折（?2x，以O为位似中心放大为原来的2倍向右平移4个单位P（x，y）2y）2y）???????????????????????????????????????（2x，?????????????????????????????????上平移5个单位（?2x?4，2y?5）????8分（?2x?4，2y）向????????????????????说明：如果以其它点为位似中心进行变换，或两次平移合并，或未设单位长，或（2）中直接写出各项变换对应点的坐标，只要正确就相应赋分．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

中考数学答题技巧：一、选择题：选择题要看完所有选项，常用的方法有观察、计算、淘汰、图形、特殊值法。

有些题目判断命题正确或错误的个数，一定要谨慎，认为错误的要能找出反例，要注意分类讨论思想的运用，如果选项中存在多种情况，要思考是否符合题意，采用排除法或代入检验法可以节省时间。

安徽中考选择题中前几题是送分题，看清题目莫大意。

第8和第9题中等难度，看清全部条件，明确解题方案。

第10题比较难，经常设置动点、最值、分段函数等，可以运用感性理解和理性推理来解答。

二、填空题：1、注意题目中的隐含条件，比如二次函数系数和分式分母不为0，实际问题中整数，函数自变量范围等等2、注意是否带单位，表达格式一定要完整。

3、分类讨论要全面，三角形中高的位置、共圆共线、三边关系、最值、翻折等等三、解答题1、做题顺序：按照试题顺序解答，实在做不出来可以先放一放，不要在一道题上花费太多时间。

2、解答题中较容易的题，要认真细致，分式方程要检验，别忘了“答”。

3、尺规作图要保留作图痕迹，确定无误后再用黑色笔描一遍。

三角尺，圆规，2B铅笔别忘了带。

4、函数最值问题，要注意实际情况，确定自变量范围。

5、概率题，注意区分放回和不放回事件，列表或树状图合理布局。

6、折叠问题，注意折叠前后线段和角的变化，通常设未知数，利用勾股定理、全等、相似。

7、未给图形的题目要注意分类讨论，例如等腰三角形、直角三角形、内心、共圆等8、不规则图形面积，割补法或“高不离积，积不离高”9、动态问题，注意点线的对应关系，用局部变化反应整体变化，注意临界状态，临界状态往往是自变量取值的分界线。

10、综合题：1、综合题一般分几步，逐步递进，前几步比较容易，按步给分，多做多得。

2、注意大前提和小前提，不能乱用。

3、注意前后问题的联系，前面的结论后面往往能用4、从条件入手，可以多写一些结论，看那个结论有用。

5、根据题目结论找原因，逆向思维正向答题。

5、相似：A型、X型、蝶形，合理选择相似判定，注意对应线段转化，等式传递等，必要时需要做辅助线，比如遇中线延长等。

2024年安徽省中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）（2024•安徽）（﹣2）×3的结果是（）A．﹣5 B．1C．﹣6 D．6考点：有理数的乘法．分析：依据两数相乘同号得正，异号得负，再把肯定值相乘，可得答案．解答：解：原式=﹣2×3=﹣6．故选：C．点评：本题考查了有理数的乘法，先确定积的符号，再进行肯定值的运算．2．（4分）（2024•安徽）x2•x3=（）A．x5B．x6C．x8D．x9考点：同底数幂的乘法．分析：依据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n=a m+n计算即可．解答：解：x2•x3=x2+3=x5．故选A．点评：主要考查同底数幂的乘法的性质，娴熟驾驭性质是解题的关键．3．（4分）（2024•安徽）如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．考点：简洁几何体的三视图．分析：俯视图是从物体上面看所得到的图形．解答：解：从几何体的上面看俯视图是，故选：D．点评：本题考查了几何体的三种视图，驾驭定义是关键．留意全部的看到的棱都应表现在三视图中．4．（4分）（2024•安徽）下列四个多项式中，能因式分解的是（）A．a2+1 B．a2﹣6a+9 C．x2+5y D．x2﹣5y考点：因式分解的意义．分析：依据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．解答：解：A、C、D都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A、C、D不能因式分解；B、是完全平方公式的形式，故B能分解因式；故选：B．点评：本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．5．（4分）（2024•安徽）某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了20根棉花纤维进行测量，其长度x（单位：mm）的数据分布如下表所示，则棉花纤维长度的数据在8≤x＜32这个范围的频率为（）棉花纤维长度x频数0≤x＜8 18≤x＜16 216≤x＜24 824≤x＜32 632≤x＜40 3A．0.8 B．0.7 C．0.4 D．0.2考点：频数（率）分布表．分析：求得在8≤x＜32这个范围的频数，依据频率的计算公式即可求解．解答：解：在8≤x＜32这个范围的频数是：2+8+6=16，则在8≤x＜32这个范围的频率是：=0.8．故选A．点评：本题考查了频数分布表，用到的学问点是：频率=频数÷总数．6．（4分）（2024•安徽）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（）A．5B．6C．7D．8考点：估算无理数的大小．分析：首先得出＜＜，进而求出的取值范围，即可得出n的值．解答：解：∵＜＜，∴8＜＜9，∵n＜＜n+1，∴n=8，故选；D．点评：此题主要考查了估算无理数，得出＜＜是解题关键．7．（4分）（2024•安徽）已知x2﹣2x﹣3=0，则2x2﹣4x的值为（）A．﹣6 B．6C．﹣2或6 D．﹣2或30考点：代数式求值．分析：方程两边同时乘以2，再化出2x2﹣4x求值．解答：解：x2﹣2x﹣3=02×（x2﹣2x﹣3）=02×（x2﹣2x）﹣6=02x2﹣4x=6故选：B．点评：本题考查代数式求值，解题的关键是化出要求的2x2﹣4x．8．（4分）（2024•安徽）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A 点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．B．C．4D．5考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，依据中点的定义可得BD=3，在Rt△ABC 中，依据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2++32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．9．（4分）（2024•安徽）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点动身，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记P A=x，点D到直线P A的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，依据同角的余角相等求出∠APB=∠P AD，再利用相像三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．解答：解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D 到AP 的距离为AD的长度，是定值4；②点P在BC上时，3＜x≤5，∵∠APB+∠BAP=90°，∠P AD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠P AD，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA，∴=，即=，∴y=，纵观各选项，只有B选项图形符合．故选B．点评：本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相像三角形的判定与性质，难点在于依据点P的位置分两种状况探讨．10．（4分）（2024•安徽）如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满意：①点D到直线l的距离为；②A、C两点到直线l的距离相等．则符合题意的直线l的条数为（）A．1B．2C．3D．4考点：正方形的性质．分析：连接AC与BD相交于O，依据正方形的性质求出OD=，然后依据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答．解答：解：如图，连接AC与BD相交于O，∵正方形ABCD的对角线BD长为2，∴OD=，∴直线l∥AC并且到D的距离为，同理，在点D的另一侧还有一条直线满意条件，故共有2条直线l．故选B．点评：本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线相互垂直平分，点D到O的距离小于是本题的关键．czsx二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）（2024•安徽）据报载，2024年我国将发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为 2.5×107．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的肯定值与小数点移动的位数相同．当原数肯定值＞1时，n是正数；当原数的肯定值＜1时，n是负数．解答：解：将25000000用科学记数法表示为2.5×107户．故答案为：2.5×107．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（5分）（2024•安徽）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=a（1+x）2．考点：依据实际问题列二次函数关系式．分析：由一月份新产品的研发资金为a元，依据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．解答：解：∵一月份新产品的研发资金为a元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为a×（1+x），∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．故填空答案：a（1+x）2．点评：此题主要考查了依据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．13．（5分）（2024•安徽）方程=3的解是x=6．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：4x﹣12=3x﹣6，解得：x=6，经检验x=6是分式方程的解．故答案为：6．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程肯定留意要验根．14．（5分）（2024•安徽）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中肯定成立的是①②④．（把全部正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．分析：分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF （ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．解答：解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDE，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．故答案为：①②④．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等学问，得出△AEF≌△DME是解题关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）（2024•安徽）计算：﹣|﹣3|﹣（﹣π）0+2024．考点：实数的运算；零指数幂．专题：计算题．分析：原式第一项利用平方根定义化简，其次项利用肯定值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算，计算即可得到结果．解答：解：原式=5﹣3﹣1+2024=2024．点评：此题考查了实数的运算，娴熟驾驭运算法则是解本题的关键．16．（8分）（2024•安徽）视察下列关于自然数的等式：32﹣4×12=5 ①52﹣4×22=9 ②72﹣4×32=13 ③…依据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：92﹣4×42=17；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．考点：规律型：数字的改变类；完全平方公式．分析：由①②③三个等式可得，被减数是从3起先连续奇数的平方，减数是从1起先连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．解答：解：（1）32﹣4×12=5 ①52﹣4×22=9 ②72﹣4×32=13 ③…所以第四个等式：92﹣4×42=17；（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1，左边=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1，右边=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1．左边=右边∴（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1．点评：此题考查数字的改变规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）（2024•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相像比不为1．考点：作图—相像变换；作图－平移变换．分析：（1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；（2）利用相像图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案．解答：解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2即为所求．点评：此题主要考查了相像变换和平移变换，得出变换后图形对应点位置是解题关键．18．（8分）（2024•安徽）如图，在同一平面内，两条平行高速马路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速马路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速马路间的距离（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用．分析：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，依据三角函数求得BE，在Rt△BCF中，依据三角函数求得BF，在Rt△DFG中，依据三角函数求得FG，再依据EG=BE+BF+FG即可求解．解答：解：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，BE=AB•sin30°=20×=10km，在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷=km，CF=BF•sin30°=×=km，DF=CD﹣CF=（30﹣）km，在Rt△DFG中，FG=DF•sin30°=（30﹣）×=（15﹣）km，∴EG=BE+BF+FG=（25+5）km．故两高速马路间的距离为（25+5）km．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）（2024•安徽）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长．考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相像三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：由OE⊥AB得到∠OEF=90°，再依据圆周角定理由OC为小圆的直径得到∠OFC=90°，则可证明Rt△OEF∽Rt△OFC，然后利用相像比可计算出⊙O的半径OC=9；接着在Rt△OCF中，依据勾股定理可计算出C=3，由于OF⊥CD，依据垂径定理得CF=DF，所以CD=2CF=6．解答：解：∵OE⊥AB，∴∠OEF=90°，∵OC为小圆的直径，∴∠OFC=90°，而∠EOF=∠FOC，∴Rt△OEF∽Rt△OFC，∴OE：OF=OF：OC，即4：6=6：OC，∴⊙O的半径OC=9；在Rt△OCF中，OF=6，OC=9，∴CF==3，∵OF⊥CD，∴CF=DF，∴CD=2CF=6．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理和相像三角形的判定与性质．20．（10分）（2024•安徽）2024年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元．从2024年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业2024年处理的这两种垃圾数量与2024年相比没有改变，就要多支付垃圾处理费8800元．（1）该企业2024年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？（2）该企业安排2024年将上述两种垃圾处理总量削减到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2024年该企业最少须要支付这两种垃圾处理费共多少元？考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设该企业2024年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，依据等量关系式：餐厨垃圾处理费25元/吨×餐厨垃圾吨数+建筑垃圾处理费16元/吨×建筑垃圾吨数=总费用，列方程．（2）设该企业2024年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，须要支付这两种垃圾处理费共a元，先求出x的范围，由于a的值随x的增大而增大，所以当x=60时，a值最小，代入求解．解答：解：（1）设该企业2024年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，依据题意，得，解得．答：该企业2024年处理的餐厨垃圾80吨，建筑垃圾200吨；（2）设该企业2024年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，须要支付这两种垃圾处理费共a元，依据题意得，，解得x≥60．a=100x+30y=100x+30（240﹣x）=70x+7200，由于a的值随x的增大而增大，所以当x=60时，a值最小，最小值=70×60+7200=11400（元）．答：2024年该企业最少须要支付这两种垃圾处理费共11400元．点评：本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用，找准等量关系正确的列出方程是解决本题的关键；六、（本题满分12分）21．（12分）（2024•安徽）如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1；（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？（2）小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率．考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：（1）三根绳子选择一根，求出所求概率即可；（2）列表得出全部等可能的状况数，找出这三根绳子能连结成一根长绳的状况数，即可求出所求概率．解答：解：（1）三种等可能的状况数，则恰好选中绳子AA1的概率是；（2）列表如下：A B CA1（A，A1）（B，A1）（C，A1）B1（A，B1）（B，B1）（C，B1）C1（A，C1）（B，C1）（C，C1）全部等可能的状况有9种，其中这三根绳子能连结成一根长绳的状况有6种，则P==．点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的学问点为：概率=所求状况数与总状况数之比．七、（本题满分12分）22．（12分）（2024•安徽）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A （1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．考点：二次函数的性质；二次函数的最值．专题：新定义．分析：（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后依据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．解答：解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5（0﹣1）2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3﹣1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．点评：本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类探讨的思想，考查了阅读理解实力．而对新定义的正确理解和分类探讨是解决其次小题的关键．八、（本题满分14分）23．（14分）（2024•安徽）如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．（1）①∠MPN=60°；②求证：PM+PN=3a；（2）如图2，点O是AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON；（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，推断四边形OMGN是否为特别四边形？并说明理由．考点：四边形综合题．分析：（1）①运用∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC求解，②作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解，（2）连接OE，由△OMA≌△ONE证明，（3）连接OE，由△OMA≌△ONE，再证出△GOE≌△NOD，由△ONG是等边三角形和△MOG是等边三角形求出四边形MONG是菱形．，解答：解：（1）①∵四边形ABCDEF是正六边形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°又∴PM∥AB，PN∥CD，∴∠BPM=60°，∠NPC=60°，∴∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC=180°﹣60°﹣60°=60°，故答案为；60°．②如图1，作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN 于点K，MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN∵正六边形ABCDEF中，PM∥AB，作PN∥CD，∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，∴GM=AM，HL=BP，PL=PM，NK=ND，∵AM=BP，PC=DN，∴MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a．（2）如图2，连接OE，∵四边形ABCDEF是正六边形，AB∥MP，PN∥DC，∴AM=BP=EN，又∵∠MAO=∠NOE=60°，OA=OE，在△ONE和△OMA中，∴△OMA≌△ONE（SAS）∴OM=ON．（3）如图3，连接OE，由（2）得，△OMA≌△ONE∴∠MOA=∠EON，∵EF∥AO，AF∥OE，∴四边形AOEF是平行四边形，∴∠AFE=∠AOE=120°，∴∠MON=120°，∴∠GON=60°，∵∠GON=60°﹣∠EON，∠DON=60°﹣∠EON，∴∠GOE=∠DON，∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，在△GOE和∠DON中，∴△GOE≌△NOD（ASA），∴ON=OG，又∵∠GON=60°，∴△ONG是等边三角形，∴ON=NG，又∵OM=ON，∠MOG=60°，∴△MOG是等边三角形，∴MG=GO=MO，∴MO=ON=NG=MG，∴四边形MONG是菱形．点评：本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是恰当的作出协助线，依据三角形全等找出相等的线段．- 21 -。

尺规作图题型总结题型解读|模型构建|通关试练本专题主要对初中阶段的一般考查学生对基本作图的掌握情况和实践操作能力,并且在作图的基础上进一步推理计算(或证明)。

尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

尺规作图是中考必考知识点之一，复习该版块时要动手多画图，熟能生巧！本专题主要总结了五个常考的基本作图题型，(1)作相等角；(2)作角平分线；(3)作线段垂直平分线；(4)作垂直(过一点作垂线或圆切线)；(5)用无刻度的直尺作图。

模型01作相等角①以∠α的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；②作射线O'A'；③以O'为圆心，OP长为半径作弧，交O'A'于点M；④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交③中所作的弧于点N；⑤过点N作射线O'B'，∠A'O'B'即为所求作的角.原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等延伸：作平行线模型02作角平分线①以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③过点O作射线OP，OP即为∠AOB的平分线.原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等延伸：②到两边的距离相等的点②作三角形的内切圆模型03作线段垂直平分线①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点M和点N；②过点M，N作直线MN，直线MN即为线段AB的垂直平分线.原理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上延伸：①到两点的距离相等的点②作三角形的外接圆③找对称轴(旋转中心)④找圆的圆心模型04作垂直(过一点作垂线或圆切线)(点P在直线上)①以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧作弧，分别交直线l于A，B两点；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M；③过点M，P作直线MP，则直线MP即为所求垂线.原理：等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线延伸：确定点到直线的距离(内切圆半径)(点P 在直线外)①以点P 为圆心，大于P 到直线l 的距离为半径作弧，分别交直线l 于A ，B 两点；②分别以A ，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧交于点N ；③过点P ，N 作直线PN ，则直线PN 即为所求垂线.原理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上模型05仅用无刻度直尺作图无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键.模型01作相等角考|向|预|测做相等角该题型近年主要以解答题形式出现，一般为解答题型的其中一问，难度系数较小，在各类考试中基本为送分题型。