函数学习指导

复变函数第二章学习指导一、 知识结构1.复变函数在一点可导的定义2.解析函数 2.42.53.15⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩函数在一点解析的定义定义函数在区域解析的定义四则运算运算复合运算定理充分必要条件定理及定理3.初等函数(),,sin ,cos ,,z z z e z z Lnz z a z a αα⎧⎪⎨⎪⎩n 单值函数:z 与有例外二、 学习要求⒈理解解析函数的定义，性质及其充分必要条件；⒉了解函数在一点解析与函数在一点可导的区别；⒊熟练掌握利用柯西——黎曼条件判别解析函数的方法； ⒋熟练掌握“已知解析函数的实部（或虚部），求该解析函数”的方法。

5.理解z z sin ,e 与z cos 的定义及其主要性质；6.,,z Lnz z a α的定义及其主要性质.三、 内容提要1.函数在一点可导的定义是设函数)(z f w =定义在区域D 内，D z z D z ∈∆+∈)(,00，若zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim存在，则称此极限为函数)(z f 在点0z 的导数，记为)(0z f '，即 zz f z z f z f z ∆-∆+='→∆)()(lim)(0000 （2.1）此时，称函数)(z f 在点0z 可导，否则，称函数)(z f 在点0z 不可导。

2.函数在一点解析的定义是设函数)(z f w =定义在区域D 内，0z 为D 内某一点，若存在一个邻域),(0p z N ，使得函数)(z f 在该邻域内处处可导，则称函数)(z f 在点0z 解析。

此时称点0z 为函数)(z f 的解析点。

若函数)(z f 在点0z 不解析，则称0z 为函数)(z f 的奇点。

关于解析函数的定义，有下面的注解：注解1 解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解2 函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。

《函数》整体学习指导函数的概念和基本性质（单调性、奇偶性）解读：该部分学习意在通过对函数基本概念的理解（函数的概念）、巩固（分段函数）和加深（映射的概念）（教材中先函数后映射遵循概念发展的历史过程）；基本性质的学习（为什要只重点研究函数的这几个性质？水浒传里有108将，但是只对武松、鲁智深、林冲等十几个人着力刻画，这是文学家的方法，也是数学家的方法。

函数（Function）本部分学习的目的是通过学习形成函数研究的一般方法和套路。

基本初等函数（指数、对数、幂函数）解读：该部分学习是在形成函数研究的一般方法之后对方法的有力尝试，在尝试中不断加深对函数研究一般方法的认识和理解。

数学内部发展（函数的零点、二分法求方程近似解）（数学发展的两条主线都涉及了）社会现实需要（解决社会与生活中的实际问题）第一节：函数概念的起源及其历史演变我们要参观的景点：（The scenery we’ll visit）1. 函数的概念是什么？（What？）2. 为什么要建立函数的概念？（Why ?）3. 函数的概念是如何建立的？函数概念的建立经历了怎样的历史演变过程？（How？）景点一：函数的概念是什么？函数的概念是如何建立的？函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。

案例1：圆的面积S与圆半径r的关系；案例2：锐角α与锐角β互余，α与β的关系；案例3：气体的质量一定时，它的体积V与它的密度ρ之间的关系；【思考1】上述的每一个问题在变化过程中，谁是常量，谁是变量？都涉及几个变量？【思考2】两个变量之间的关系是通过什么来刻画的？【思考3】综合思考1和思考2的解答，总结上述例子变量间关系的共同特点？【早期函数概念】十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。

10.2二倍角的三角函数学习目标核心素养1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点)2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．(难点) 1.通过对二倍角公式的推导，培养学生逻辑推理素养.2. 通过利用二倍角公式求值、化简和证明，培养学生数学运算素养.若sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin 2α，cos 2α的值．思考上述题目，并回答下列问题．1．你还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？2．你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α＝β吗？此时公式变成什么形式？3．在得到的C2α公式中，还有其他表示形式吗？4．细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？(1)sin 2α＝2sinαcosα；(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tan2α.思考1：T2α对任意角α都成立吗？提示：不是．所含各角要使正切函数有意义．思考2：倍角公式中的“倍角”只能是2α吗？提示：倍角公式中的“倍角”具有相对性，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．1．若sin α＝15，则cos 2α＝________. 2325[∵cos 2α＝1－2sin 2α，sin α＝15， ∴cos 2α＝1－2×125＝2325.]2．若tan α＝3，则tan 2α＝________.－34[∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－9＝－34.] 3．若sin 2α＝－sin α，且sin α≠0，则cos α＝________. －12[∵sin 2α＝2sin αcos α， ∴2sin αcos α＝－sin α， 又sin α≠0，∴cos α＝－12.]直接应用二倍角公式求值【例1】 已知sin 2α＝513，π4＜α＜π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值． [思路点拨] 先由α的范围求2α的范围，并求出cos 2α的值，进而求出sin 4α，cos 4α及tan 4α的值．[解]由π4＜α＜π2，得π2＜2α＜π. 又因为sin 2α＝513， 所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213. 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α ＝2×513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－120169；cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝119169；tan 4α＝sin 4αcos 4α＝－120169119169＝－120119.对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是32α的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是α6的二倍角；…，又如α＝2·α2，α2＝2·α4，….[跟进训练]1．求下列各式的值．(1)sin π8sin 3π8；(2)cos 215°－cos 275°； (3)2cos 25π12－1；(4)tan 30°1－tan 230°.[解](1)∵sin 3π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π8＝cos π8，∴sin π8sin 3π8＝sin π8cos π8 ＝12·2sin π8cos π8＝12sin π4＝24；(2)∵cos 275°＝cos 2(90°－15°)＝sin 215°，∴cos 215°－cos 275°＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32； (3)2cos 25π12－1＝cos 5π6＝－32； (4)tan 30°1－tan 230°＝12×2tan 30°1－tan 230° ＝12tan 60°＝32.逆用二倍角公式化简求值【例2】 化简：2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.[思路点拨]切化弦→逆用二倍角公式[解]原式＝2cos 2α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－1cos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．[跟进训练]2．求下列各式的值：(1)2sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°； (3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)cos π12cos5π12. [解](1)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝sin π6＝12；(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(60°＋4×360°)＝cos 60°＝12；(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－3；(4)原式＝cos π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π12＝cos π12sin π12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π12cos π12＝12sin π6＝12×12＝14.活用“倍角”关系巧解题1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的值，如何求sin 2x 的值？[提示]可利用sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1求解．2．当题设条件中含有“π4±x ”及“2x ”这样的角时，如何快速解题？ [提示]可借助角的互余关系及诱导公式，实现倍角关系的转换． 【例3】 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．[思路点拨] 先由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，再求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 即可． [解]∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝513，又0＜x ＜π4，∴π4＜x ＋π4＜π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1213.∴cos 2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2413.当遇到π4±x 这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似这样的变换还有： (1)cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；(2)sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1；(3)sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等．提醒：在使用二倍角公式时要特别注意公式中的系数，防止出错． 1．本节课的重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式，难点是公式的应用． 2．要掌握二倍角公式的三个应用 (1)解决化简求值问题； (2)解决条件求值问题； (3)倍角公式的综合应用．3．应用二倍角公式化简求值的三个关注点(1)当单角为非特殊角，而倍角为特殊角时，常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值．(2)当式子中涉及的角较多，要先变角，化异角为同角．(3)对根式形式的化简，以去根号为目的，化简时注意角的范围． 1．若tan α＝2，则2cos 2α＋sin 2α＝( ) A ．34 B ．53 C ．76 D ．65 D [∵tan α＝2，∴2cos 2α＋sin 2α＝2cos 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2＋2tan αtan 2α＋1＝2＋2×222＋1＝65.故选D ．]2．cos 2π12－sin 2π12＝________. 32[原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cos π6＝32.]3.tan 7.5°1－tan 2 7.5°＝________.2－32[原式＝12·2tan 7.5°1－tan 2 7.5°＝12×tan 15°＝12×tan(60°－45°)＝12×3－11＋3＝12×(3－1)2(3＋1)(3－1)＝12×4－232＝2－32.] 4．求值：sin 50°(1＋3tan10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝________.2[∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.] 5．在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12.(1)求cos 2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值． [解](1)因为OP →·OQ →＝－12， 所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12，即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23， 所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝13. (2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23在角α的终边上，所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010， 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45×1010＋35×⎝⎛⎭⎪⎫－31010＝－1010.。

1.3 导数与微分一、知识要点（一） 导数概念1． 设函数()x f y =在点0x 的某邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得改变量x ∆（0≠∆x ）时，函数相应取得增量00()()y f x x f x ∆=+∆-()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，0x 为()x f y =的可导点，并称此极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记为 00000()()limlimx x x x f x x f x yy x x=∆→∆→+∆-∆'==∆∆ 或0()f x '，x x dy dx=，()x x df x dx =2.如果令x x x ∆+=0，则当0→∆x 时，0x x →，于是，导数0()f x '的定义又可以表示为()()()000limx x x f x f x f x x →-='→3.若上述极限不存在，则称()x f 在0x 点处不可导或不存在导数，0x 为()x f 的不可导点.特别当上述极限为无穷大时，此时导数不存在，或称()x f 在点0x 处的导数为无穷大.4.如果函数()x f y =在开区间()b a ,内每一点处都可导，则称()x f y =在()b a ,内可导.此时，对于任意的()b a x ,∈，都存在唯一确定的导数()x f '.因此，()x f '是x 的函数，称为()x f 的导函数，简称为导数.导函数()x f '也可记为y '或dx dy 或()dxx df（二）导数的几何意义1.函数()x f y =在点0x 处可导，则其导数()0x f '为曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线斜率.特别的，若()00='x f ，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 的切线平行于OX 轴;若()∞='0x f ，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 的切线垂直于OX 轴.2.曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线方程为()()000x x x f y y -'=-当()00='x f 时，切线方程为00=-y y 当()∞='0x f 时，切线方程为00=-x x 3.曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的法线方程为()()0001x x x f y y -'-=- ()()00≠'x f （三）函数的可导性与连续性的关系1．函数()x f y =在0x 处可导，则在0x 处连续. 因()xyx f x ∆∆='→∆00lim存在，故有()00lim lim lim lim 00000=⋅'=∆∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆∆∆=∆→∆→∆→∆→∆x f x x y x x y y x x x x . 因此，()x f 在点0x 连续.2.函数()x f 在点0x 连续，()x f 在点0x 不一定可导.（四）求导法则设函数()x u 和()x v 在点x 处可导，则()()u x v x ±、()()u x v x ⋅和()()u x v x 也在该点可导（对于商的情形，要求()0v x ≠）且有。

本章主要内容：学习反三角函数的概念、图像和性质，利用反三角函数表示角，掌握反三角函数的化简求值等运算。

本章知识要点：（1）确切理解反正弦函数的意义。

x arcsin 表示一个在]2,2[ππ-上的角，这个角的正弦值为x 。

因此我们有：]1,1[,)sin(arcsin -∈=x x x ]2,2[,)arcsin(sin ππ-∈=x x x 同理我们可以理解和定义其它反三角函数。

（2）反三角函数的图像可依据三角函数在主值区间上的函数图像，再利用互为反函数的两个函数图像关于x y =对称的关系画出来。

由图像研究反三角函数的性质：]1,1[,arcsin -∈=x x y 是奇函数且为增函数，,arcsin )arcsin(x x -=-]1,1[,arccos -∈=x x y 是非奇非偶函数且为减函数,arccos )arccos(x x -=-π R x x y ∈=,arctan 是奇函数且为增函数，,arctan )arctan(x x -=-例题讲析：例1：画出下列函数的图像（1）)arcsin(sin x y = 函数是以π2为周期的周期函数 当]2,2[ππ-∈x 时，x x =)arcsin(sin 当]23,2[ππ∈x 时，x x -=π)arcsin(sin其图像是折线，如图所示： （2）]1,1[),sin(arccos -∈=x x y ∵ ],0[arccos π∈x∴)1(1)(arccos cos 122≤-=-=x x x y 其图像为单位圆的上半圆（包括端点）如图所示：例2：计算：)1(,11cotarctan -<-+-x x x arc x 解：设)4,2,1,tan ,arctan ππααα--∈-<==（得由则x x x设)2,0(,011tan ,11cotπβββ∈>+-==-+得则x x x x arc 从而1tan tan 1tan tan )tan(=+-=-βαβαβα，又)4,(ππβα--∈- 故原式=43πβα-=-讲评：在这里提醒同学们注意一定要考虑βα-的范围，在得到1)tan(=-βα后，防止出现4πβα=-或Z k k ∈+=-,4ππβα等错误。

教学计划：《函数的概念及其表示》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够理解并掌握函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数定义域和值域。

o学生能够识别函数关系，并用不同的方式（如解析式、表格、图像）表示函数。

o学生能够区分函数与非函数关系，理解函数关系的唯一对应性。

2.过程与方法：o通过实例分析，引导学生从具体到抽象地理解函数概念。

o运用对比、归纳等方法，帮助学生掌握函数的不同表示方法。

o通过小组合作探究，培养学生的合作学习能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，培养探究数学规律的精神。

o引导学生认识到函数在现实生活中的应用价值，增强数学应用的意识。

o通过解决问题，培养学生的耐心、细致和严谨的科学态度。

二、教学重点和难点●重点：函数的基本概念及其三种表示方法（解析式、表格、图像）。

●难点：理解函数关系的唯一对应性，区分函数与非函数关系；灵活运用不同方式表示函数。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过日常生活中的实例（如气温随时间变化、汽车速度与行驶时间的关系等），引导学生思考这些关系中是否存在一个变量随另一个变量变化而变化的规律。

●提出问题：这些关系中的两个变量之间是如何相互影响的？能否用数学语言来描述这种关系？●明确目标：引出函数的概念，并说明本节课将要学习的内容。

2. 概念讲解（15分钟）●函数定义：详细讲解函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数关系以及定义域和值域的概念。

●实例分析：结合生活实例，分析哪些关系可以构成函数，哪些不能，强调函数关系的唯一对应性。

●表示方法：介绍函数的三种表示方法（解析式、表格、图像），并举例说明每种方法的应用场景。

3. 案例分析（10分钟）●典型例题：选取几道具有代表性的例题，通过分析题目中的变量关系，引导学生判断是否为函数关系，并尝试用不同方式表示该函数。

●师生互动：在例题讲解过程中，适时提问引导学生思考，鼓励学生尝试自己解答或提出疑问。

3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数学习目标核心素养1．理解函数的单调性与导数的关系．(重点) 2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．(重点)3．能根据函数的单调性求参数．(难点)1．通过学习函数单调性与导数的关系，培养学生数学抽象与直观想象的素养．2．借助导数求函数的单调性，培养逻辑推理和数学运算的素养.(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)函数的单调性导数单调递增f′(x)≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0思考：在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？[提示]必要不充分条件．2．函数的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．1．函数y＝x3＋x的单调递增区间为()A．(0，＋∞) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)D[y′＝3x2＋1>0，故选D．]2．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增A[∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x>0，∴f(x)在R上是增函数．]3．若函数f(x)的导数f′(x)＝x(x－2)，则f(x)在区间________上单调递减．[0,2][∵f′(x)＝x(x－2)，由f′(x)≤0得，0≤x≤2，∴f(x)在[0,2]上单调递减．]导数与函数图象的关系y＝f(x)的图象可能是()(2)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的()(1)D(2)C[(1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：x (－∞，0)(0,2)(2，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)↗↘↗由表可知f(x)在(－∞，0)内递增，在(0,2)内递减，在(2，＋∞)内递增，满足条件的只有D，故选D．(2)由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：x (－1，b)(b，a)(a,1)f(x)↘↗↘f ′(x )－ ＋ －由表可知函数y ＝f ′(x )的图象，当x ∈(－1，b )时，函数图象在x 轴下方；当x ∈(b ，a )时，函数图象在x 轴上方；当x ∈(a,1)时，函数图象在x 轴下方．故选C ．]对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图象.[跟进训练]1．函数y ＝f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )<0的解集为__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1∪(2,3)[根据导数和图象单调性的关系知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1∪(2,3)时f ′(x )<0.]利用导数求函数的单调区间(1)f (x )＝3x 2－ln x ；(2)f (x )＝－13ax 3＋x 2＋1(a ≤0)． [思路点拨]求定义域―→求导数―→ 解不等式f ′(x )<0或f ′(x )>0―→写单调区间 [解](1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －1x ＝6x 2－1x ，令f ′(x )>0，则6x 2－1x >0.又x >0，则6x 2－1>0，解得x >66.所以函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫66，＋∞.令f ′(x )<0，则6x 2－1x <0，解得0<x <66， 所以函数的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，66.(2)因为f ′(x )＝－ax 2＋2x (a ≤0)，当a ＝0时，f ′(x )＝2x ，函数在(－∞，0)上是递减的，在(0，＋∞)上是递增的， 当a <0时，令f ′(x )>0，则－ax 2＋2x >0，解得x >0或x <2a ，所以函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ，(0，＋∞)．令f ′(x )<0，则－ax 2＋2x <0，解得2a <x <0， 所以函数的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0.综上，当a ＝0时，函数在(－∞，0)上是递减的，在(0，＋∞)上是递增的； 当a <0时，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上是递增的，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上是递减的．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.提醒：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开.[跟进训练]2．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝ln x x；(2)f(x)＝xx2＋4；(3)f(x)＝e x－x.[解](1)函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ln xx2.令f′(x)>0，即1－ln x>0，解得0<x<e；令f′(x)<0，即1－ln x<0，解得x>e.所以函数的单调递增区间是(0，e)，递减区间是(e，＋∞)．(2)函数定义域为R，f′(x)＝(x)′·(x2＋4)－x·(x2＋4)′(x2＋4)2＝4－x2(x2＋4)2.令f′(x)>0，即4－x2>0，解得－2<x<2；令f′(x)<0，即4－x2<0，解得x<－2或x>2；所以函数的单调递增区间是(－2,2)，递减区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)．(3)函数定义域为R，f′(x)＝e x－1.令f′(x)>0，即e x－1>0，解得x>0；令f′(x)<0，即e x－1<0，解得x<0；所以函数的单调递增区间是(0，＋∞)，递减区间是(－∞，0)．已知函数的单调性求参数的取值范围1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分条件．2．一般地，在区间(a ，b )内函数的单调性与导数有什么关系？ 提示：【例3】 (1)若f (x )在区间(1，＋∞)内为增函数，求a 的取值范围； (2)若f (x )的递减区间为(－1,1)，求a 的取值范围； (3)若f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．[解](1)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤3. (2)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，无减区间，不满足条件． ②当a >0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3； 当－3a 3<x <3a3时，f ′(x )<0.因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数． 所以3a3＝1，即a ＝3， 综上a 的取值范围为{a |a ＝3}． (3)f ′(x )＝3x 2－a ，当a ≤0时，－a ≥0，f ′(x )≥0恒成立，满足在区间(－1,1)上是递增的，不符合题意，舍去；当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a>0)．因为f(x)在区间(－1,1)上不单调，所以0<3a3<1，即0<a<3.综上a的取值范围为(0,3)．1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．2．恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.[跟进训练]3．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增加的，求t的取值范围．[解]由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，∴f′(x)＝－3x2＋2x＋t.若f(x)在(－1,1)上是增加的，则在(－1,1)上f′(x)≥0恒成立．即t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立．考虑函数g (x )＝3x 2－2x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132－13，x ∈(－1,1)显然g (x )<g (－1)，故t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.而当t ≥5时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0，即f (x )在(－1,1)上是增加的．故t 的取值范围是[5，＋∞).1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．在利用导数讨论函数的单调性时，首先要确定函数的定义域，在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调性．3．如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接．特别提醒：(1)在对函数划分单调区间时，除了注意使导数等于零的点，还要注意在定义域内不连续的点和不可导的点．(2)当不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0不易求解时，可通过列表的方法求函数f (x )的单调区间．(3)区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响． 1．判断正误(1)“在区间I 上，f ′(x )<0”是“f (x )在I 上单调递减”的充分不必要条件． ( )(2)若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则f (x )在(a ，b )上各点处的切线的倾斜角都是锐角．( )(3)单调递增函数的导函数也是单调递增函数．( ) (4)如果函数f (x )在(a ，b )上变化得越快，其导数就越大． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数 A [∵f (x )＝x ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝1＋1x >0，∴f (x )在(0,6)上是增函数．]3．在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式x ·f ′(x )<0的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) A [当x >0时，f ′(x )<0，此时0<x <1， 当x <0时，f ′(x )>0，此时x <－1，因此xf ′(x )<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．]4．若函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．[解]因为f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1， 由题意可知f (x )在R 上是增加的， 所以f ′(x )≥0对x ∈R 恒成立， 即3ax 2－2x ＋1≥0在R 上恒成立． 所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13.当a ＝13时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1＝0，有且只有f ′(1)＝0. 所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.。

实变函数与泛函分析学习指导学习指导实变函数与泛函分析的目的就是为了应用，这里我们需要注意两点：一是重视概念、定理、公式和结论；二是熟练掌握基本技能。

概念、定理、公式、结论是解题时依据的准则，不熟练掌握就会束手无策。

特别是概念、定理、公式和结论的应用，它决定着解题的方法，使解题正确、迅速。

不要求定理掌握的深刻程度，只要求运用得熟练，记住了就行。

因此，做题时要“言之有物”，答案才有说服力。

要加强概念、定理、公式和结论的训练。

凡是遇到困难就回避，甚至放弃的人，最终是不可能成功的。

一般来讲，要在三个层次上下工夫：1．在教材上下工夫，领会其本质。

1．学好实变函数的必要性（适用范围）：实变函数是数学各个专业都会接触到的一门课程。

通过学习它，可以了解更多的关于自然科学、社会科学等各种学科中函数的应用。

如：生产函数、生活函数、存款利息率、股价指数、一些文字的笔画、符号的变化规律等，函数的变化对自然界和人类社会产生的影响及规律。

函数可以被用来建立数学模型、解决实际问题，还可以帮助人们研究复杂的自然现象。

它与几何的配合起到了很大的作用。

高等数学的另一个重要的内容——微积分也离不开它。

所以学好实变函数是很有必要的。

例1：已知，证明当n=3时，函数f(x)满足：|f(x)|=1+3| x|-|x|=3。

2．熟练掌握基本技能。

首先是熟练地读题，准确地理解题意，然后再根据题意列出基本关系式，最后选择恰当的方法解题。

对于不太熟悉的题，首先要找到突破口，再解题。

4．基础要扎实。

要弄清实变函数的来龙去脉，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等等，这样才能较好地把握该门课程的基本内容。

5．以课本为主，不要盲目涉猎其他资料，否则不但会分散精力，而且往往达不到应有的效果。

以课本为主是说除了课本外，不要去参考任何一本辅导书，否则将是事倍功半。

对于辅导书，老师也会按照课本的顺序进行辅导，同学们千万不要自己去买一些辅导书看。

2．对应用泛函理论的前提有两个必须加以明确：首先是要把基本初等函数先学好，在此基础上学好分析中的导数概念、差分以及偏导数等内容。

高一数学函数教案5篇(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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