全国通用2018届高考数学二轮复习第4练平面向量练习文

2018高三二轮复习之讲练测之练案【苏教版数学】专题三 三角函数与平面向量1.练高考1. 【2017北京，理6 改编】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的_____条件（在充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件 、既不充分也不必要条件选择） 【答案】充分而不必要条件【解析】若0λ∃<，使m n λ=，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<T ，若0m n ⋅<，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选填充分而不必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要 ，同时q 是p 的必要不充分条件，若p q ⇔，那互为充要条件，若p q <≠>，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若:,:p x A q x B ∈∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件，若A B =，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.2. 【2017课标3，理12 改编】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为______ 【答案】3 【解析】所以z的最大值为3.【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.3.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b|= .【答案】23【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+= 所以|2|1223a b +==.秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为23.【名师点睛】平面向量中涉及到有关模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.4. 【2017山东，理12】已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 . 【答案】33【名师点睛】1.平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒.2.由向量的数量积的性质有||=a a a ·，·cos a b a bθ=，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立λ的方程.5. （2016年高考江苏卷）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为2222436444AO BC FO BC BA CA --⋅===,22414FO BCBF CF -⋅==-, 因此22513,BC 82FO ==，22224167448EO BC FO BC BE CE --⋅=== 【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线向量问题，利用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：2244AO BCBA CA -⋅=6. 【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为1,1,2,OA 与OC 的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R , 则m n += ▲ .【答案】3【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.2.练模拟1.【浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末考试数学试题】直角ABC ∆中， 2AB AC ==， D 为AB 边上的点，且2ADDB =，则CD CA ⋅=______；若CD xCA yCB =+，则xy =________． 【答案】 4 29【解析】建立直角坐标系，设()()()40,0,2,0,0,2,,03A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以CD CA ⋅=()4,20,243⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭，由CD xCA yCB =+得 ()()44212,20,22,22,222,,33339x y y x y y x xy ⎛⎫-=-+-∴=-=--∴=== ⎪⎝⎭2. 【甘肃省西北师范大学附属中学2018届高三校内第一次诊断考试数学】已知函数()11f x x =+，点O 为坐标原点, 点()(),(n A n f n n ∈N *),向量()0,1i =，n θ是向量n OA 与i 的夹角，则201612122016cos cos cos sin sin sin θθθθθθ+++的值为_________．【答案】20162017【解析】1,1n OA n n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，所以()2222111cos 1111n n n n n n θ+==++⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，因[]0,n θπ∈，故()()()2222211sin 11111n n n n n n n θ⎛⎫+ ⎪=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭，所以()cos 111sin 11n n n n n n θθ==-++，故所求之和为11111120161223201620172017-+-++-=，填20162017．3. 【辽宁省沈阳市2018届高三教学质量监测（一）数学理】已知ABC ∆是直角边为2的等腰直角三角形，且A 为直角顶点， P 为平面ABC 内一点，则PA PB PC ⋅+（）的最小值是__________． 【答案】-1【解析】以A 点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则()()()0,0,2,0,0,2A B C ，则(),P x y ，()()(),,2,,,2PA x y PB x y PC x y ==-=-，利用向量的坐标运算法则有：()()()2211,22,2222122PA PB PC x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=⋅--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此可知，当12x y ==，即点P 坐标为11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭时， PA PB PC ⋅+（）取得最小值是1-. 4. 【湖南师范大学附属中学2018届高三上学期月考（五）理】已知向量,a b 夹角为3π， 2b =，对任意x R ∈，有b xa a b +≥-，则()2atb a tb t R -+-∈的最小值是__________． 【答案】725. 【江西省南昌市第二中学2018届高三上学期第五次月考数学（理）】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()cos ,sin e αα=，设,(0)OA e λλ=>，向量ππcos ,sin 22OB ββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （1）若π6βα=-，求向量OA 与OB 的夹角； （2）若2AB OB ≥ 对任意实数,αβ都成立，求实数λ的取值范围． 【答案】（1）向量OA 与OB 的夹角为3π；（2）3λ≥．.3.练原创1.已知点O 是ABC ∆的外接圆圆心，且3,4AB AC ==．若存在非零实数,x y ，使得AO xAB yAC =+，且21x y +=，则cos BAC ∠= . 【答案】23【解析】试题分析：设AC 中点为M ，222ACAO xAB yxAB y AM =+=+,所以B,O,M 三点共线，所以23AM AB =，也就是2cos 3BAC ∠=．【名师点睛】把题设条件变形为2AO xAB yAM =+，利用系数和为1得到B,O,M 三点共线，这样得到一个特殊的三角形2．试题平面向量a 与b 的夹角为o 60， ()2,0a =， 1b =，则2a b +=_______ . 【答案】23【名师点睛】利用2a a =计算模长.3.如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则AB CD ⋅ 的最大值为________．【答案】24【解析】先建立直角坐标系，由向量投影知AB CD ⋅ 取最大值时()()()390,5,3,0,,,0,022C D A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ,即AB CD ⋅ ()39345,3,5242222⎛⎫=--⋅--=+= ⎪ ⎪⎝⎭．【名师点睛】如果量向量的夹角不容求得，则建立直角坐标系把数量积的计算归结为坐标的运算． 4.已知ABC 三个内角A ， B ， C 的对应边分别为a ， b ，c ，且π3C =， 2c =．当AC AB ⋅取得最大值时，ba的值为____． 【答案】23+【解析】设ABC ∆的外接圆半径为R ，则432sin 3c R C ==. 4383cos 2cos 2sin cos sin cos 33AC AB bc A b A B A B A ⋅===⨯= , 23B A π=-, 832cos sin 33AC AB A A π⎛⎫⋅=-= ⎪⎝⎭ 2833143cos cos sin 4cos 3223A A A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭sin cos A A()2323431321cos2sin2sin22cos22sin2cos233322A A A A A A ⎛⎫=++=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭43sin 2233A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ . 240,0233A A ππ<<<<,52333A πππ<+< ，则当232A ππ+=，即： 12A π=时， AC AB ⋅取得最大值为4323+，此时ABC ∆中， 7,12B π= ,7sinsin 1212a bππ=()()2317sin 12423231sin 124b a ππ+===+- . 【点睛】已知三角形的一边及其所对的角，可以求出三角形外接圆的半径，利于应用正弦定理“边化角”“角化边”，也利于应用余弦定理. 具备这样的条件时要灵活选择解题路线，本题采用先“边化角”后减元的策略，化为关于角A 的三角函数式，根据角A的范围研究三角函数的最值，从角的角度去求最值，由于答案更加准确，所以成为一种通法，被更多的人采用.5.设ABC ∆是边长为1的正三角形，点321,,P P P 四等分线段BC （如图所示）．（1）求112AB AP AP AP ⋅+⋅的值；（2）Q 为线段1AP 上一点，若112AQ mAB AC =+，求实数m 的值； （3）P 为边BC 上一动点，当PA PC ⋅取最小值时，求PAB ∠cos 的值． 【答案】（1）813；（2）41；（3）13265．【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算以及余弦定理，属于中档题.解决本题的关键有二：一是利用线段的中点坐标公式得到2121()2AP AB AP AP ⋅+=；二是在第（3）问中利用2PP 是PA 在PC 方向上的投影将cos PA PC APB -∠转化为2PC PP -，再进行求解.。

星期六(综合限时练)年月日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：分钟) .(本小题满分分)已知函数()＝ωω＋ω(ω＞)的最小正周期为π.()求ω的值；()求()的单调递增区间.解()()＝ω·ω＋ω＝ω＋ω＝ω＋(()) ω))＝由ω＞，()最小正周期为π得＝π，解得ω＝.()由()得()＝，令－＋π≤＋≤＋π，∈，解得－＋π≤≤＋π，∈，即()的单调递增区间为(∈)..(本小题满分分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，.()求“抽取的卡片上的数字满足＋＝”的概率；()求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率.解()由题意，(，，)所有的可能为(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，(，，)，共种.设“抽取的卡片上的数字满足＋＝”为事件，则事件包括(，，)，(，，)，(，，)，共种.所以()＝＝.因此，“抽取的卡片上的数字满足＋＝”的概率为.()设“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”为事件，则事件包括(，，)，(，，)，(，，)，共种.所以()＝－()＝－＝.因此，“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率为..(本小题满分分)如图，在三棱锥－中，＝＝＝＝＝，＝，，分别为，的中点，为线段上一点，且∥平面.()求的长；()当直线∥平面时，求四棱锥－的体积.解()连交于，连接，则为△的重心，且＝∵∥平面，∴∥，＝，∴＝.()取的中点为，连，，则＝＝，∴⊥，⊥，从而⊥平面∴－＝××××＝，∴－＝－，从而－＝－＝..(本小题满分分)椭圆：＋＝，椭圆：＋＝(＞＞)的一个焦点坐标为(，)，斜率为的直线与椭圆相交于、两点，线段的中点的坐标为(，－).()求椭圆的方程；()设为椭圆上一点，点，在椭圆上，且＝＋，则直线与直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解()设(，)，(，)，(，)，则)＋()＝，,()＋()＝，))∴＝－·＝－·，又的斜率为，的坐标为(，－)，∴＝－·，即＝，又－＝，∴＝，＝，∴：＋＝.()设(，)，(，)，(，)，则∵＝＋，∴又＋＝，∴(＋)＋(＋)＝，即＋＋(＋)＋＋＝，又＋＝，＋＝，∴＋＋＝，即＋＝，。

2018届⾼考数学⼆轮复习第四章平⾯向量专题（共4个专题）专题1 平⾯向量的概念与线性运算专题[基础达标](30分钟40分)⼀、选择题(每⼩题5分，共30分)1a，b是两个不共线的向量，若3a-b与a+λb共线，则实数λ=()A.-13B.13C.-12D.12A【解析】由3a-b与a+λb共线，可设3a-b=k(a+λb)，则k=3，kλ=-1，解得λ=-13.2m，n的夹⾓为π6，且|m|=3，|n|=2，在三⾓形ABC中，AB=2m+2n，AC=2m-6n，D为BC边的中点，则|AD|=() A.2 B.4 C.6 D.8A【解析】AD=12(AB+AC)=12(2m+2n+2m-6n)=2m-2n，故|AD|2=(2m-2n)2=4m2-8m·n+4n2=12-8×3×2×32+16=4，即得|AD|=2.3.在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=-4a-b，CD=-5a-3b，其中向量a，b不共线，则四边形ABCD的形状为() A.梯形B.平⾏四边形C.菱形D.正⽅形A【解析】因为AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2BC，所以四边形ABCD是梯形.4.设a，b是⾮零向量，下列四个条件中，⼀定能使a|a|+b|b|=0成⽴的是()A.a=-13b B.a∥b C.a=2b D.a⊥bA【解析】a|a|+b|b|=0，即a|a|=-b|b|，则a=-|a||b|·b，故向量a与向量b共线且⽅向相反.5△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO=x AB+(1-x)AC，则x的取值范围是()A.(0，1)B.23，1C.0，13D.13，23C【解析】设BO=λBC，λ∈23，1，则AO=AB+BO=AB+λBC=(1-λ)AB+λAC，x=1-λ∈0，13.6.已知点O，A，B不在同⼀条直线上，点P为该平⾯上⼀点，且OP=3OA-OB2，则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上B【解析】OP=3OA-OB2=32OA?12OB=OA+12(OA?OB)=OA+12BA，即OP?OA=AP=12BA，所以点P在线段AB的反向延长线上.⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)7.已知O为△ABC内⼀点，且OA+OC+2OB=0，则△AOC与△ABC的⾯积之⽐是.1∶2【解析】如图所⽰，取AC中点D，∴OA+OC=2OD，∴OD=BO，∴O 为BD的中点，∴△AOC与△ABC的⾯积之⽐为1∶2.8.在△ABC中，BD=2DC，若AD=λ1AB+λ2AC，则λ1λ2的值为.2 9【解析】因为AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC?AB)=13AB+23AC，所以λ1=13，λ2=23，故λ1λ2=29.[⾼考冲关](20分钟25分)1. (5分O，P，Q，E，F，G，H，则OP+OQ=()A.OHB.OGC.EOD.FOD【解析】在⽅格纸中作出OP+OQ，如图所⽰，则容易看出OP+OQ=FO.2. (5分，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB 交于点D，若OC=λOA+µOB(λ，µ∈R)，则λ+µ的取值范围是() A.(0，1)B.(1，+∞)C.(1，2]D.(-1，0)B【解析】由题意可得OD=k OC=kλOA+kµOB(0可得kλ+kµ=1，则λ+µ=1k>1，即λ+µ的取值范围是(1，+∞).3. (5分)在△ABC中，过中线AD中点E任作⼀直线分别交边AB，AC于M，N 两点，设AM=x AB，AN=y AC(x，y≠0)，则4x+y的最⼩值是.9 4【解析】由题可知AD=12AB+12AC，AE=12AD，所以AE=14AB+14AC，因此AE=14x AM+14yAN，由于M，E，N三点共线，所以14x+14y=1(x>0，y>0)，⽽4x+y=(4x+y)·14x +14y=1+14+y4x+xy≥54+1=94，当且仅当y=2x，即x=38，y=34时，等号成⽴，即4x+y的最⼩值为94.4. (10分)如图所⽰，已知点G是△ABO的重⼼.(1)求GA+GB+GO；(2)若直线PQ过△ABO的重⼼G，分别交边OA，OB于点P，Q，且OA=a，OB=b，OP=m a，OQ=n b，试探究1m +1n是否为定值，如果是，写出推理过程并求出定值，如果不是，说明理由.【解析】(1)如图所⽰，延长OG交AB于M点，则M是AB的中点.∴GA+GB=2GM.∵G是△ABO的重⼼，∴GO=-2GM.∴GA+GB+GO=0.(2)∵M是AB边的中点，∴OM=12(OA+OB)=12(a+b).⼜∵G是△ABO的重⼼，∴OG=23OM=13(a+b).∴PG=OG?OP=13(a+b)-m a=13-m a+13b.⽽PQ=OQ?OP=n b-m a，∵P，G，Q三点共线，∴有且只有⼀个实数λ，使得PG=λPQ.∴13-m a+13b=λn b-λm a.∴13-m+λm a+13-λn b=0.∵a与b不共线，∴13-m+λm=0，13-λn=0.消去λ，得1m +1n=3，即1m +1n为定值3.专题2 平⾯向量的基本定理与坐标运算专题[基础达标](25分钟45分)⼀、选择题(每⼩题5分，共30分)1AB=(2，4)，AC=(1，3)，则BC=() A.(1，1) B.(-1，-1)C.(3，7)D.(-3，-7)B【解析】BC=BA+AC=-AB+AC=(-2，-4)+(1，3)=(-1，-1).2a=(2，-1)，b=(λ，-3)，若a∥b，则实数λ的值为()A.-32B.32C.6D.-6C【解析】由a∥b得2×(-3)+λ=0，即λ=6.3a=(2，-1)，b=(0，1)，则|a+2b|=() A.22B.5C.2 D.4B【解析】a+2b=(2，-1)+2(0，1)=(2，1)，则|a+2b|=5.4.在△ABC中，点G是△ABC的重⼼，若存在实数λ，µ，使AG=λAB+µAC，则()A.λ=13，µ=13B.λ=23，µ=13C.λ=13，µ=23D.λ=23，µ=23A【解析】∵点G是△ABC的重⼼，∴点G在BC边的中线上，∴AG=23×12(AB+AC)=13(AB+AC).∵AG=λAB+µAC，∴λ=µ=13.5.设x ，y 满⾜约束条件x ≥1，y ≥12x ，2x +y ≤10，向量a =(y-2x ，m )，b =(1，1)，且a ∥b ，则m 的最⼩值为 ( )A.6B.-6C.32D.-32B 【解析】因为a ∥b ，可得m=y-2x.由不等式组可得可⾏域为由点A (4，2)，B 1，12 ，C (1，8)构成的三⾓形内部及其边界，当x=4，y=2时，m 有最⼩值-6. 6.已知两点A (1，0)，B (1， 3)，O 为坐标原点，点C 在第⼆象限，且∠AOC=120°，设OC =-2OA +λOB (λ∈R )，则λ= ( )A .-1B .2C .1D .-2C 【解析】OC =-2OA +λOB =-2(1，0)+λ(1， 3)=(λ-2， 3λ)，即C (λ-2， 3λ)，⼜∠AOC=120°，所以tan 120°= 3λλ-2，解得λ=1. ⼆、填空题(每⼩题5分，共15分)7a =(1，-2)，a +b =(0，2)，则|b |= .17 【解析】由a =(1，-2)，a +b =(0，2)得b =(0，2)-(1，-2)=(-1，4)，则|b |= 17. 8a =(2，1)，b =(3，m ).若(a +2b )∥(3b -a )，则实数m 的值是 .32【解析】a +2b =(8，1+2m )，3b -a =(7，3m-1)，则由(a +2b )∥(3b -a )可得8(3m-1)=7(1+2m )，解得m=32.9xOy 中，已知点A (0，1)和点B (-3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC |=2，则OC = . - 105，3 105 【解析】由题意可得OC =λ OA |OA |+OB|OB| =(0，λ)+λ -35，45 = -35λ，95λ (λ>0)，则|OC|= -35λ 2+ 95λ 2=2，解得λ= 103，则OC = - 105，3 105.。

重点强化课(二) 平面向量从近五年全国卷高考试题来看，平面向量是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算、平面向量数量积及其应用、平面向量共线与垂直的充要条件．平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用，注重数形结合，向量具有“形”与“数”两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．重点1 平面向量的线性运算(1)(2017·深圳二次调研)如图1，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝( )图1A.43 B.53 C.158D ．2(2)在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD →＝b,3AN →＝NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b 表示)【导学号：31222163】(1)B (2)－34a －14b1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．2．用几个基本向量表示某个向量问题的步骤：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．3．O 在AB 外，A ，B ，C 三点共线，且OA →＝λOB →＋μOC →，则有λ＋μ＝1.设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( ) 【导学号：31222164】A ．3B ．4C ．5D ．6B重点2 平面向量数量积的综合应用(2016·杭州模拟)已知两定点M (4,0)，N (1,0)，动点P 满足|PM →|＝ 2|PN →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点G (a,0)是轨迹C 内部一点，过点G 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，令f (a )＝GA →·GB →，求f (a )的取值范围．(1)设P 的坐标为(x ，y )，则PM →＝(4－x ，－y )，PN →＝(1－x ，－y )． ∵动点P 满足|PM →|＝2|PN →|， ∴－x2＋y 2＝2－x2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝4.4分(2)(a)当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为x ＝a ，不妨设A 在B 的上方，直线方程与x 2＋y 2＝4联立，可得A (a ，4－a 2)，B (a ，－4－a 2)，∴f (a )＝GA →·GB →＝(0，4－a 2)·(0，－4－a 2)＝a 2－4；6分 (b)当直线l 的斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －a )，代入x 2＋y 2＝4，整理可得(1＋k 2)x 2－2ak 2x ＋(k 2a 2－4)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2ak 21＋k 2，x 1x 2＝k 2a 2－41＋k2，∴f (a )＝GA →·GB →＝(x 1－a ，y 1)·(x 2－a ，y 2)＝x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋a 2＋k 2(x 1－a )(x 2－a )＝a 2－4.由(a)(b)得f (a )＝a 2－4.10分 ∵点G (a,0)是轨迹C 内部一点， ∴－2<a <2，∴0≤a 2<4，∴－4≤a 2－4<0，∴f (a )的取值范围是 1.本题充分发挥向量的载体作用，将平面向量与解析几何有机结合，通过平面向量数量积的坐标运算进行转化，使问题的条件明晰化．2．利用平面向量可以解决长度、角度与垂直问题．(1)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋2(2)(2016·四川成都模拟)已知菱形ABCD 的边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP ＝λAB →，λ∈R ，若BD →·CP →＝－3，则λ的值为( )A.12 B ．－12C.13D ．－13(1)C (2)A ＝(BA →＋BC →)·＝(1－λ)BA →2－BA →·BC →＋(1－λ)BA →·BC →－BC →2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3， ∴λ＝12，故选A.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x,0)，由BD ·CP →＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3，得x ＝1.∵AP →＝λAB →，∴λ＝12.故选A.]重点3 平面向量与三角函数的综合应用(2017·合肥二次质检)已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，1，n ＝(cos x,1)．(1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈，求f (x )的单调增区间．(1)由m ∥n 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－cos x ＝0，3分展开变形可得sin x ＝3cos x ，即tan x ＝ 3.5分 (2)f (x )＝m ·n ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋34，7分 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z 得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z.10分 又因为x ∈，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.12分平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且OA→⊥OB →，则tan α的值为( ) 【导学号：31222165】A ．－43B ．－45C.45D.34A重点强化训练(二) 平面向量A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·石家庄模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是 ( )【导学号：31222166】A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb D2．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 A3．(2016·北京高考)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 D4．在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →与OC →的夹角为( ) 【导学号：31222167】A.π6B.π3C.23π D.56π A ，所以θ＝π6.]5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →的值是 ( )A ．－12B.12 C ．－34D ．0A 二、填空题6．设O 是坐标原点，已知OA →＝(k,12)，OB →＝(10，k )，OC →＝(4,5)，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为________．【导学号：31222168】11或－27．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA → －OB →|，其中O 为原点，则正实数a 的值为________．28．在△ABC 中，BC ＝2，A ＝2π3，则AB →·AC →的最小值为________． －23 三、解答题9．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R ). 【导学号：31222169】(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，3分∴|OP →|＝22＋22＝2 2.5分(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，8分两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.12分10．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.3分又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.5分(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，8分当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·吉林延边模拟)已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝m a －2b ，若△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，则m ＝( )A ．－4B ．3C ．－11D ．10C ＝0，∴(1－m )a 2－2b 2＋(m －1)a ·b ＋2a ·b ＝0， 即4(1－m )－18＋3(m －1)＋6＝0， 解得m ＝－11.故选C.]2．(2016·浙江高考)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝1，若e 为平面单位向量，则|a ·e |＋|b ·e |的最大值是________．73．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .【导学号：31222170】(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，2分令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).5分(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.7分又π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3.9分 ∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.12分。

"【三维设计】2018届高考数学 第四章第三节平面向量的数量与平面向量应用举例课后练习 人教A 版 "一、选择题1．(2018·广东高考)若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0解析：由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0.答案：D2．已知m ＝(－5,3)，n ＝(－1,2)，当(λm ＋n )⊥(2n ＋m )时，实数λ的值为( ) A.58B ．－316C ．－38 D.38解析：由已知得|m |＝34，|n |＝5，m·n ＝11，∵(λm ＋n )⊥(2n ＋m )，∴(λm ＋n )·(2n＋m )＝λm 2＋(2λ＋1)m·n ＋2n 2＝0，即34λ＋(2λ＋1)×11＋2×5＝0，解得λ＝－38. 答案：C3．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大、小值分别是( )A ．42，0B ．4,2 2C ．16,0D ．4,0 解析：由于|2a －b |2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝8－4(3cos θ－sin θ)＝8－8cos(θ＋π6)，易知0≤8－8cos(θ＋π6)≤16，故|2a －b |的最大值和最小值分别为4和0. 答案：D4．(2018·永州模拟)已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |＝6，|BC |＝8，|CA |＝10，则AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值等于( )A ．100B ．96C ．－100D ．－96 解析：∵|AB |＝6，|BC |＝8，|CA |＝10，62＋82＝102.∴△ABC 为Rt △.即AB ·BC ＝0. AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB＝CA (BC ＋AB )＝CA ·AC ＝－|AC |2＝－100. 答案：C5．(2018·杭州第二次质检)已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则a ＋b 与a －b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：将|a ＋b |＝|a －b |两边同时平方得：a·b ＝0；将|a －b |＝233|a |两边同时平方得：b 2＝13a 2. 所以cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝a ＋b a －b |a ＋b |·|a －b |＝a 2－b 243a 2＝12. 所以〈a ＋b ，a －b 〉＝60°.答案：B二、填空题6．(2018·江苏高考)已知e 1、e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝ke 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：由题意知：a·b ＝(e 1－2e 2)·(ke 1＋e 2)＝0，即ke 21＋e 1e 2－2ke 1e 2－2e 22＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54. 答案：547．(2018·烟台调研)在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果AB 的长为2，则(AB ＋AC )·AD 的值为________．解析：|BC |2＝|AB |2＋|AC |2＝8，|AD |＝12|BC |，AB ＋AC ＝2AD ，(AB ＋AC )·AD ＝2AD ·AD ＝12|BC |2＝4.答案：4三、解答题8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)．(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ；(2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值；(3)求向量a 在b 方向上的投影．解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b ·c ＝2×6－2×6＝0，∴(b ·c )a ＝0a ＝0.(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a ＋λb 与a 垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52. (3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.∴|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋－22＋－2＝－222＝－22. 9．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34＝0， 故a ＋b 与a －b 垂直．(2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2， 所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×cos α＋32×sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0， ∴α＋60°＝k ·180°＋90°，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°.10．已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos θ，sin θ)，O 为坐标原点(1) AC ·BC ＝－13，求sin 2θ的值． (2)若|OA ＋OC |＝7，且θ∈(－π，0)，求OB 与OC 的夹角．解：(1) AC ＝(cos θ，sin θ)－(2,0)＝(cos θ－2，sin θ)BC ＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)． AC ·BC ＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2) ＝cos 2θ－2cos θ＋sin 2θ－2sin θ＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－13. ∴sin θ＋cos θ＝23， ∴1＋2sin θcos θ＝49， ∴sin 2θ＝49－1＝－59. (2)∵OA ＝(2,0)，OC ＝(cos θ，sin θ)， ∴OA ＋OC ＝(2＋cos θ，sin θ)，∴|OA ＋OC |＝＋cos θ2＋sin 2θ＝7. 即4＋4cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝7.∴4cos θ＝2，即cos θ＝12. ∵－π<θ<0，∴θ＝－π3. 又∵OB ＝(0,2)，OC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32， ∴cos 〈OB ，OC 〉＝|OB ·OC ||OB |·|OC |＝0－32＝－32.∴〈OB ，OC 〉＝5π6.。

第2讲 平面向量、解三角形【课前热身】第2讲 平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0， 所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1， 即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、 解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、 解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55， 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ， 所以sin(A+C )=3sin B cos B ， 所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。

第2讲平面向量、框图与合情推理(限时:45分钟)【选题明细表】一、选择题1.(2017·辽宁省沈阳市三模)已知向量a与b不共线,=a+mb,= na+b,m,n∈R,则与共线的条件是( D )(A)m+n=0 (B)m-n=0(C)mn+1=0 (D)mn-1=0解析:由=a+mb和=na+b(m,n∈R)共线,得a+mb=λ(na+b),即mn-1=0,故选D.2.(2017·河北省唐山市一模)在△ABC中,∠B=90°,=(1,-2),= (3,λ),则λ等于( A )(A)-1 (B)1(C) (D)4解析:△ABC中,=(1,-2),=(3,λ),所以=-=(2,λ+2),又∠B=90°,所以⊥,所以·=0,即2-2(λ+2)=0,解得λ=-1.故选A.3.(2017·安徽省六安一中高三月考)已知两点A(1,0),B(1,),O为坐标原点,点C在第二象限,且∠AOC=150°,设=-2+λ(λ∈R),则λ等于( C )(A)-1 (B)-(C) (D)1解析:由题设=-2+λ(λ∈R)可得C(-2+λ,λ),三角函数的定义可得tan∠AOC=-,即=-,解之得λ=,故应选C.4.(2018·湖南省重点名校新高三大联考)已知向量||=3,||=2,=m+n,若与的夹角为60°,且⊥,则实数的值为( A )(A)(B)(C)6 (D)4解析:·=3×2×cos 60°=3,因为=m+n,⊥,所以(m+n)·=(m+n)·(-)=(m-n)·-m+n=0,所以3(m-n)-9m+4n=0,所以=.故选A.5.(2017·吉林省长春市三模)某高中体育小组共有男生24人,其50 m 跑成绩记作a i(i=1,2,…,24),若成绩小于6.8 s为达标,则如图所示的程序框图的功能是( B )(A)求24名男生的达标率(B)求24名男生的不达标率(C)求24名男生的达标人数(D)求24名男生的不达标人数解析:由题意可知,k记录的是时间超过6.8 s的人数,而i记录的是参与测试的人数,因此表示不达标率.故选B.6.(2016·山东卷)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为( B )(A)4 (B)-4(C)(D)-解析:由题n·(tm+n)=tm·n+n2=0,·t|m|·|n|+|n|2=t|n|2+|n|2=0,t=-4.故选B.7.(2017·重庆第二外国语学校高三月考)已知向量a=(-1,2),b= (m,-1),c=(3,-2),若(a-b)⊥c,则m的值是( C )(A) (B)-(C)-3 (D)3解析:由题意知a=(-1,2),b=(m,-1),所以a-b=(-1-m,3),因为(a-b)⊥c,c=(3,-2),所以-3(1+m)-6=0,解得m=-3,故选C.8.(2017·山西省晋中市祁县高三模拟)某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的B等于( D )(A)15 (B)29(C)31 (D)63解析:模拟程序的运行,可得A=1,B=3满足条件A<5,执行循环体,B=7,A=2满足条件A<5,执行循环体,B=15,A=3满足条件A<5,执行循环体,B=31,A=4满足条件A<5,执行循环体,B=63,A=5不满足条件A<5,退出循环,输出B的值为63.故选D.9.(2017·中央民族大学附中高三模拟)有四张卡片,每张卡片有两个面,一个面写有一个数字,另一个面写有一个英文字母.现规定:当卡片的一面为字母P时,它的另一面必须是数字2.如图,下面的四张卡片的一个面分别写有P,Q,2,3,为检验此四张卡片是否有违反规定的写法,则必须翻看的牌是( B )(A)第一张,第三张(B)第一张,第四张(C)第二张,第四张(D)第二张,第三张解析:由于当牌的一面为字母P时,它的另一面必须写数字2,则必须翻看P是否正确,这样2就不用翻看了,3后面不能是Q,要查3.故为了检验如图的4张牌是否有违反规定的写法,翻看第一张,第四张两张牌就够了.故选B.10.(2017·衡阳八中、长郡中学等十三校重点中学联考一模)如图给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是( A )(A)i≤1 009 (B)i>1 009(C)i≤1 010 (D)i>1 010解析:程序运行过程中,各变量值如下所示:第一次循环:S=0+1,i=2,第二次循环:S=1+,i=3,第三次循环:S=1++,i=4,…,依此类推,第1 009次循环:S=1+++…+,i=1 010,此时应不满足条件,退出循环,所以判断框内应填入的条件是i≤1 009,故选A.11.(2016·甘肃省第一次诊断) 如图,矩形ABCD中AD边的长为1,AB 边的长为2,矩形ABCD位于第一象限,且顶点A,D分别在x轴、y轴的正半轴上(含原点)滑动,则·的最大值是( C )(A) (B)5(C)6 (D)7解析:设∠ODA=α,则A(sin α,0),D(0,cos α),B(sin α+2cos α,2sin α),由向量等于向量可以求得点C(2cos α,2sin α+cos α),·=2sin 2α+4,因为α∈[0,],所以·≤6.故选C.12.(2017·山西省长治二中、晋城一中、康杰中学、临汾一中、忻州一中五校第四次联考)在平面直角坐标系xOy中,动点P关于x轴的对称点为Q,且·=2,已知点A(-2,0),B(2,0),则(|PA|-|PB|)2 ( A )(A)为定值8 (B)为定值4(C)为定值2 (D)不是定值解析: 如图,设P(x,y),Q(x,-y),则:·=x2-y2=2;所以y2=x2-2,x≥,或x≤-;所以||===|x+1|,||==|x-1|;所以||-||=(|x+1|-|x-1|)=所以(||-||)2=8.故选A.二、填空题13.(2017·江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三联考)已知a=(x,1),b=(1,2),c=(-1,5) ,若(a+2b)∥c,则|a|= .解析:由题意得a+2b=(x+2,5),而(a+2b)∥c,所以5(x+2)=-5,解得x=-3,即a=(-3,1),所以|a|=.答案:14.(2017·宁夏固原一中二模)甲、乙、丙三人代表班级参加校运会的跑步,跳远,铅球比赛,每人参加一项,每项都要有人参加,他们的身高各不同,现了解到以下情况:(1)甲不是最高的;(2)最高的没报铅球;(3)最矮的参加了跳远;(4)乙不是最矮的,也没参加跑步.可以判断丙参加的比赛项目是.解析:由(4)可知,乙参加了铅球比赛,由(2)可知乙不是最高的,所以三人中乙身高居中;再由(1)可知,甲是最矮的,参加了跳远,所以丙最高,参加了跑步比赛. 答案:跑步15.(2017·山西省临汾市二模)图1是随机抽取的15户居民月均用水量(单位:t)的茎叶图,月均用水量依次记为A 1,A 2,…,A 15,图2是统计茎叶图中月均用水量在一定范围内的频数的一个程序框图,那么输出的结果n= .解析:由程序框图知:算法的功能是计算15户居民在月均用水量中,大于2.1的户数,由茎叶图得在15户居民用水中,大于2.1的户数有7户, 所以输出n 的值为7. 答案:716.(2017·湖南省郴州市三模)在直角三角形ABC 中,C=,||=3,对平面内的任意一点M,平面内有一点D 使得3=+2,则·= .解析: 根据题意,分别以CB,CA为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,3),设M(x,y),B(b,0),D(x′,y′);所以由3=+2得3(x′-x,y′-y)=(b-x,-y)+2(-x,3-y)=(b-3x,6-3y);所以所以又=(x′,y′),=(0,3).所以·=(,2)·(0,3)=6.答案:6。