高中数学第三章第3课时

第3课时 导数与函数的综合应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的年关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，年产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300解析 由题意得，总成本函数为C ＝C (x )＝20 000＋100 x ，总利润P (x )＝⎩⎨⎧300x －x 22－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400，又P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，总利润P (x )最大． 答案 D2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2)解析 x >0时⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′<0，∴φ(x )＝f (x )x 在(0，＋∞)为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0. 又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数． 故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)． 答案 D3．若关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]解析 令f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝3(舍去)．∵f (－1)＝7，f (－2)＝0，f (2)＝－20， ∴f (x )的最小值为f (2)＝－20，故m ≤－20. 答案 B4．(2017·景德镇联考)已知函数f (x )的定义域为[－1,4]，部分对应值如下表：f (x ))－a 的零点的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析根据导函数图像，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图像如图所示．由于f(0)＝f(3)＝2,1<a<2，所以y＝f(x)－a的零点个数为4.答案 D5．(2014·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)解析 a ＝0时，不符合题意，a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a .若a >0，则由图像知f (x )有负数零点，不符合题意． 则a <0，由图像结合f (0)＝1>0知，此时必有 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，即a ×8a 3－3×4a 2＋1>0， 化简得a 2>4. 又a <0，所以a <－2. 答案 C 二、填空题6．某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 解析 由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0<x <40时，y ′<0； x >40时，y ′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值． 答案 407．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________. 解析 设f (x )＝x 3－3x ＋c ， 对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增， 在(－1,1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可知c ＝2； 若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2. 答案 －2或28．(2017·长沙调研)定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f (x )e x <1的解集为________． 解析 构造函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝e x ·f ′(x )－e x ·f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x .由题意得g ′(x )<0恒成立，所以函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递减．又g (0)＝f (0)e 0＝1，所以f (x )e x <1，即g (x )<1，所以x >0，所以不等式的解集为(0，＋∞)． 答案 (0，＋∞) 三、解答题9．据环保部门侧定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k (k >0)．现已知相距18 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a ，b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC ＝x (km)． (1)试将y 表示为x 的函数；(2)若a ＝1，且x ＝6时，y 取得最小值，试求b 的值． 解 (1)设点C 受A 污染源污染程度为kax 2， 点C 受B 污染源污染程度为kb(18－x )2，其中k 为比例系数，且k >0，从而点C 处受污染程度y ＝ka x 2＋kb(18－x )2.(2)因为a ＝1，所以，y ＝k x 2＋kb(18－x )2，y ′＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x 3＋2b (18－x )3， 令y ′＝0，得x ＝181＋3b，又此时x ＝6，解得b ＝8，经验证符合题意，所以，污染源B 的污染强度b 的值为8.10．(2017·榆林月考)已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22. (1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x >1时，f (x )<x －1.(1)解 f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x ，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )>0得⎩⎨⎧x >0，x 2＋x ＋1>0.解得0<x <1＋52.故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明 令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0， 所以F (x )在(1，＋∞)上单调递减， 故当x >1时，F (x )<F (1)＝0， 即当x >1时，f (x )<x －1. 故当x >1时，f (x )<x －1.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个解析 函数定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x ，由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1的Δ＝－20<0， 所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立， 即f (x )在定义域上单调递增，无极值点． 答案 A12．(2017·山东省实验中学诊断)若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( )A ．3f (1)<f (3)B ．3f (1)>f (3)C ．3f (1)＝f (3)D ．f (1)＝f (3) 解析 由于f (x )>xf ′(x )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，因此f (x )x 在R 上是单调递减函数， ∴f (3)3<f (1)1，即3f (1)>f (3)． 答案 B13．(2017·安徽江南名校联考)已知x ∈(0,2)，若关于x 的不等式xe x <1k ＋2x －x 2恒成立，则实数k 的取值范围为________． 解析 依题意，知k ＋2x －x 2>0.即k >x 2－2x 对任意x ∈(0,2)恒成立，从而k ≥0，因此由原不等式，得k <e x x ＋x 2－2x 恒成立．令f (x )＝e x x ＋x 2－2x ，则f ′(x )＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1,2)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上单调递减，所以k <f (x )min ＝f (1)＝e －1，故实数k 的取值范围是[0，e －1)． 答案 [0，e －1)14．(2015·北京卷)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点． (1)解 由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)， 得x >0且f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx .由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)． f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的情况如下：x (0，k ) k (k ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )k (1－ln k )2所以f x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)． f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2. (2)证明 由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2.因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e. 当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．当k>e时，f(x)在区间(0，e)上单调递减，且f(1)＝12>0，f(e)＝e－k2<0，所以f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点.。

第3课时 空间向量与空间角、距离[课时作业] [A 组 基础巩固]1．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，则PC 与平面ABCD 所成角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (1，2，0)，PC →＝(1，2，－1)，平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， 所以cos 〈PC →，n 〉＝PC →·n|PC →|·|n |＝－12，所以〈PC →，n 〉＝120°，所以PC 与平面ABCD 的法向量所在直线所成角为60°， 所以PC 与平面ABCD 所成角为30°，故选A. 答案：A2．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( ) A.64 B ．104C.32D.34解析：建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB 1C 1＝60°，∠DC 1D 1＝45°，设B 1C 1＝1，CC 1＝3＝DD 1. ∴C 1D 1＝3，则有B 1(3，0,0，)，C (3，1，3)，C 1(3，1,0)，D (0,1，3)．∴B 1C →＝(0,1，3)，C 1D →＝(－3，0，3)．∴cos 〈B 1C →，C 1D →〉＝B 1C →·C 1D→|B 1C →||C 1D →|＝326＝64.答案：A3．已知直二面角α­l ­β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于( ) A.23 B.33C.63D ．1解析：∵平面α⊥平面β，且AC ⊥l ，BD ⊥l ，故AC ⊥平面β，BD ⊥平面α，依题意建立坐标系如图所示，在Rt △ACD 中，可得CD ＝2，故A (0,0,1)，B (1，2，0)，C (0，0,0)，D (0，2，0)，则CA →＝(0,0,1)，CB →＝(1，2，0)，CD →＝(0，2，0)． 设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA →＝0，n ·CB →＝0⇒x ＝－2y ，z ＝0，令y ＝1，可得n ＝(－2，1,0)， 故所求距离d ＝|CD →·n ||n |＝23＝63.故选C.答案：C4.如图所示，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1(侧棱与底面垂直)中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P 是A 1B 1的中点，则直线PQ与AM 所成的角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：以A 为坐标原点，AC ，AB ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AA 1＝AB ＝AC ＝2，则AM →＝(2,0,1)，Q (1,1,0)，P (0,1,2)，QP →＝(－1,0,2)，所以QP →·AM →＝0， 所以QP 与AM 所成角为π2.答案：D5．已知正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33C.23D.13解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，C (0，1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，故DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,2)，DC →＝(0,1,0)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令z ＝1，则y ＝－2，x ＝2，所以平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC→|n |·|DC →|＝23，故选A. 答案：A6．设A (1,0,0)，B (1,0,1)，C (0,1,1)，D (1，1,1)，则直线AD 与平面ABC 的夹角为________． 解析：设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ·0，0，1＝0，x ，y ，z ·－1，1，1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－x ＋y ＋z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，y ＝x .令x ＝1，则n ＝(1,1,0)，∴cos 〈n ，AD →〉＝1×0＋1×1＋0×12·2＝12，∴〈AD →，n 〉＝π3.∴直线AD 与平面ABC 的夹角θ＝π2－π3＝π6.答案：π67．在空间中，已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________. 解析：设平面α的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 记A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0，a )(a ＞0)，则AB →＝(－3,4,0)，AC →＝(－3,0，a )由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB →＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，取z ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝3a4，n 1＝(a ，3a4，3)，而n 2＝(0,0,1)是平面xOy 的一个法向量，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝39＋2516a 2×1＝22，又a ＞0，解得a ＝125. 答案：1258．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与ACD 垂直．则B 与D 之间的距离为________．解析：由B ，D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M ，N ，则可求得AM ＝12，BM ＝32，CN ＝12，DN ＝32. MN ＝1.由于BD →＝BM →＋MN →＋ND →，∴|BD →|2＝(BM →＋MN →＋ND →)2＝|BM →|2＋|MN →|2＋|ND →|2＋2(BM →·MN →＋MN →·ND →＋BM →·ND →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫322＋2(0＋0＋0)＝52，∴|BD →|＝102.答案：1029.如图所示，已知在四面体ABCD 中，O 为BD 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2， (1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．解析：(1)证明：因为BO ＝DO ，AB ＝AD ，所以AO ⊥BD . 因为BO ＝DO ，BC ＝CD ， 所以CO ⊥BD .在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3，而AC ＝2，所以AO 2＋CO 2＝AC 2， 所以∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC .因为BD ∩OC ＝O ，所以AO ⊥平面BCD .(2)以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,0,0)，C (0，3，0)，A (0，0,1)，BA →＝(－1,0,1)， CD →＝(－1，－3，0)，所以cos 〈BA →，CD →〉＝BA →·CD →|BA →||CD →|＝24，所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24.10.如图，四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝1，∠BAD＝120°，∠ACB ＝90°. (1)求证：BC ⊥平面PAC ； (2)若二面角D ­PC ­A 的余弦值为55，求点A 到平面PBC 的距离． 解析：(1)证明：∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BC ，∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC .(2)设AP ＝h ，取CD 的中点E ，则AE ⊥CD ，∴AE ⊥AB ，又PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AE ，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0，0，h )，C ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0，B (0,2,0)，AP →＝(0,0，h )，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－h PD →＝⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，－h ，求得平面PAC 与平面PDC 的一个法向量分别为n 1＝(h ，－3h,0)，n 2＝⎝⎛⎭⎪⎫h ，0，32. ∵cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝55，∴h ＝ 3.又可求得平面PBC 的一个法向量n 3＝(3，3，2)， 所以，点A 到平面PBC 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·n 3|n 3|＝234＝32.[B 组 能力提升]1．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为( ) A ．－105 B.105 C ．－155D.155解析：建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2，2,0)，B 1(2,2,2)，E (0,2,1)．∴BD →＝(－2，－2,0)，BB 1→＝(0,0,2)，BE →＝(－2,0,1)． 设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴n ⊥BD →，n ⊥BB 1→，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，2z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y ，z ＝0.令y ＝1，则n ＝(－1,1,0)．∴cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n ||BE →|＝105，设直线BE 与平面B 1BD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BE →〉|＝105.答案：B2．正方形ABCD 所在平面外有一点P ，PA ⊥平面ABCD .若PA ＝AB ，则平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析：建系如图，设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，P (0,0,1)，D (1,0,0)，C (1,1,0)．平面PAB 的法向量为n 1＝(1,0,0)． 设平面PCD 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PD →＝0，n 2·CD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，y ＝0.令x ＝1，则z ＝1.∴n 2＝(1,0,1)，cos 〈n 1，n 2〉＝12＝22. ∴平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的余弦值为22. ∴此角的大小为45°. 答案：B3．直线l 的方向向量a ＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n ＝(4,0,1)，则直线l 与平面α所成角的正弦值为________．解析：设直线l 与平面α所成的角是θ，a ，n 所成的角为β， sin θ＝|cos β|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2，3，，0，17×17＝617. 答案：6174．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，已知AA 1＝9，BC ＝63，N 为BC 的中点，则直线D 1C 1与平面A 1B 1N 的距离是________．解析：∵C 1D 1∥平面A 1B 1N ，∴所求距离等于D 1到平面A 1 B 1N 的距离，不妨令|AB |＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(63，0,9)，B 1(63，1,9)，N (33，1,0)， A 1B 1→＝(0,1,0)，B 1N →＝(－33，0，－9)．设平面A 1B 1N 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B 1→＝0，n ·B 1N →＝0，即⎩⎨⎧y ＝0，－33x －9z ＝0.取z ＝－3，则n ＝ (3,0，－3)，又D 1A 1→＝(63，0,0)，故D 1到平面A 1B 1N 的距离为 d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝3×6332＋02＋－32＝9.答案：95.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊥平面ABD ，且AE ＝ 2. (1)求证：DE ⊥AC ；(2)求DE 与平面BCE 所成角的正弦值．解析：(1)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A ­xyz ，则E (0,0，2)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，取BD 的中点F ，并连接CF ，AF ，由题意可得CF ⊥BD 且AF ＝CF ＝2， 又∵平面BDA ⊥平面BDC ， ∴CF ⊥平面BDA ，所以C 的坐标为C (1,1，2)，∴DE →＝(0，－2，2)，AC →＝(1,1，2)， ∴DE →·AC →＝(0，－2，2)·(1,1，2)＝0， 故DE ⊥AC .(2)设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EB →＝0，n ·CB →＝0，即⎩⎨⎧2x －2z ＝0，x －y －2z ＝0，∴⎩⎨⎧z ＝2x ，y ＝－x .令x ＝1得n ＝(1，－1，2)， 又DE →＝(0，－2，2)， 设DE 与平面BCE 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DE →〉|＝|n ·DE →||n ||DE →|＝63.6．(2016·高考全国Ⅰ卷)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D ­AF ­E 与二面角C ­BE ­F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；(2)求二面角E ­BC ­A 的余弦值．解析：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ， 所以AF ⊥平面EFDC .又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G .由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G ­xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D ­AF ­E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则|DF |＝2，|DG |＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)．由已知得AB ∥EF ，所以AB ∥平面E FDC .又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF . 由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C ­BE ­F 的平面角，∠CEF ＝60°. 从而可得C (－2,0，3)．所以EC →＝(1,0，3)，EB →＝(0,4,0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4,0,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0，同理可取m ＝(0，3，4)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.故二面角E ­BC ­A 的余弦值为－21919.。

课下能力提升(十九)[学业水平达标练]题组1 直线的一般式方程1．直线x －3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°2．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________． 答案：2x －y ＋1＝03．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为________．4．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．题组2 由含参一般式求参数的值或取值范围5．(2016· 临沂高一检测)已知过点A (－5，m －2)和B (－2m ，3)的直线与直线x ＋3y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．4B ．－4C ．10D ．－106．直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为( ) A.65 B ．－6 C ．－65D ．67．直线(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0恒过的定点坐标是________．8．已知直线l 1的斜率为k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．题组3 一般式形式下的平行与垂直问题的策略9．若直线l 1：ax ＋(1－a )y ＝3与l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直，则实数a ＝________.10．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程．[能力提升综合练]1．如果ax ＋by ＋c ＝0表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足条件( ) A ．bc ＝0 B ．a ≠0C ．bc ＝0且a ≠0 D．a ≠0且b ＝c ＝02．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( ) A ．m ＝1 B ．m ＝±1C.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ≠－1D.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ≠－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠13．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2y －x －4＝0B ．2x －y －1＝0C ．x ＋y －5＝0D ．2x ＋y －7＝04．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． 5．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x－3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为________．6．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别求m 的值．(1)在x 轴上的截距为1； (2)斜率为1；(3)经过定点P (－1，－1)．7．一河流同侧有两个村庄A 、B ，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A 、B 两村到河边的垂直距离分别为300 m 和700 m ，且两村相距500 m ，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？答案 [学业水平达标练]题组1 直线的一般式方程1．解析：选A 由直线的一般式方程，得它的斜率为33，从而倾斜角为30°. 2．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝03．解析：由二元一次方程表示直线的条件知A 、B 至少有一个不为零即A 2＋B 2≠0. 答案：A 2＋B 2≠04．解析：点斜式方程： y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x 433＋y－4＝1，斜截式方程：y ＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0.答案：y ＋4＝3(x －0)x 433＋y－4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝0题组2 由含参一般式求参数的值或取值范围5．解析：选A ∵k AB ＝m －2－3－5－－2m ，直线x ＋3y －1＝0的斜率为k ＝－13，∴由题意得m －5－5＋2m ＝－13，解得m ＝4. 6．解析：选B 令y ＝0，则直线在x 轴上的截距是x ＝2m m ＋2，∴2mm ＋2＝3，∴m ＝－6. 7．解析：原方程可化为m (2x －y －1)－(x ＋3y －11)＝0.∵对任意m ∈R ，方程恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴直线恒过定点(2,3)．答案：(2,3)8．解：∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－－20－3a＝－1， 解得a ＝1，或a ＝3，∴a ＝1，或a ＝3时，l 1⊥l 2. 题组3 一般式形式下的平行与垂直问题的策略9．解析：因为两直线垂直，所以a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＋2a －3＝0，解得a ＝1，或a ＝－3.答案：1或－310．解：法一：由题意，设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠1)， 令x ＝0，得y ＝－m 4；令y ＝0，得x ＝－m3，所以－m 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4＝73，解得m ＝－4.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.法二：由题意，直线l 不过原点，则在两坐标轴上的截距都不为0.可设l 的方程为x a＋yb ＝1(a ≠0，b ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－34，a ＋b ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.[能力提升综合练]1．解析：选D y 轴方程表示为x ＝0，所以a ，b ，c 满足条件为a ≠0且b ＝c ＝0.2．解析：选D 根据两直线平行可得m 1＝1m，所以m ＝±1，又两直线不可重合，所以m＝1时，n ≠－1; m ＝－1时，n ≠1.3．解析：选C 由x －y ＋1＝0得A (－1，0)，又P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，∴P 为线段AB 中垂线上的点，且B (5,0)．PB 的倾斜角与PA 的倾斜角互补，则斜率互为相反数，故PB 的斜率k PB ＝－1，则方程为y ＝－(x －5)，即x ＋y －5＝0.4．解析：当2m 2＋m －3＝0时，m ＝1或m ＝－32；当m 2－m ＝0时，m ＝0或m ＝1.要使方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，∴m ≠1.答案：m ≠15．解析：由2x －3y ＋12＝0知，斜率为23，在y 轴上截距为4.根据题意，直线l 的斜率为13，在y 轴上截距为8，所以直线l 的方程为x －3y ＋24＝0.答案：x －3y ＋24＝06．解：(1)∵直线过点P ′(1,0)，∴m 2－2m －3＝2m －6. 解得m ＝3或m ＝1.又∵m ＝3时，直线l 的方程为y ＝0，不符合题意， ∴m ＝1.(2)由斜率为1，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝43.(3)直线过定点P (－1，－1)，则－(m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6， 解得m ＝53，或m ＝－2.7．解：如图，以河流所在直线为x 轴，y 轴通过点A ，建立直角坐标系，则点A (0,300)，B (x,700)，设B 点在y 轴上的射影为H ，则x ＝|BH |＝AB 2－AH 2＝300，故点B (300,700)，设点A 关于x 轴的对称点A ′(0，－300)，则直线A ′B 的斜率k ＝103，直线A ′B 的方程为y ＝103x －300.令y ＝0得x ＝90，得点P (90,0)，故水电站建在河边P (90,0)处电线用料最省．。

20xx最新高中数学苏教版必修三教学案：第3章 3问题1：假设顾客甲获奖，说明什么？提示：说明顾客甲中一等奖或二等奖．问题2：通过上述问题“中一等奖”与“中二等奖”能否同时发生？提示：不能同时发生．问题3：在上述问题中“中奖”与“不中奖”这两个事件必有一个发生吗？提示：必有一个发生．1．互斥事件(1)定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．(2)如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，An彼此互斥．(3)规定：设A，B为互斥事件，若事件A、B至少有一个发生，我们把这个事件记作A＋B.2．互斥事件的概率加法公式(1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件A，B 分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．2．一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环．事件B：命中环数为10环．事件C：命中环数小于6环．事件D：命中环数为6，7，8，9，10环．解：事件A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥．又因为事件C与事件D至少有一个发生，所以C与D也是对立事件．[例2] (12分)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)事件A、B、C的概率；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[思路点拨] 明确事件的特征，利用互斥事件或对立事件求解．[精解详析] P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.(3分)故事件A，B，C的概率分别为，，.(4分)(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋C.(5分)∵A、B、C两两互斥，∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)(6分)＝＝.故1张奖券的中奖概率为.(7分)(3)法一：设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，(9分)∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－(＋)＝.(11分)故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.(12分)法二：不中特等奖且不中一等奖即为中二等奖或不中奖∴P＝＋＝.(12分)[一点通]针对这个类型的题目，首先要判断所给已知事件是否为互斥事件，再将要求概率的事件写成几个已知概率的互斥事件的和．最后用概率加法公式求得．3．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E互斥，取到理科书的概率为事件B、D、E概率的和．∴P(B＋D＋E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝＋＋＝.答案：3 54．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位(单位：m)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18) 概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：(1)[10，16)(m)；。

第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P132～P134的内容，回答下列问题．(1)在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？提示：成立．(2)在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？提示：cos 2α＝cos2α－sin2α，sin 2α＝2sin αcos α，tan 2α＝2tan α1－tan2α. 2．归纳总结，核心必记[问题思考](1)S 2α，C 2α，T 2α中角α的取值范围分别是什么？提示：S 2α，C 2α中α∈R ，T 2α中α≠k π＋π2且α≠k π2±π4.(2)能应用tan α表示sin 2α，cos 2α吗？提示：sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[课前反思](1)二倍角的正弦公式： ；(2)二倍角的余弦公式： ；(3)二倍角的正切公式： .知识点1化简求值讲一讲1．求下列各式的值：(1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)1sin 10°－3cos 10°； (5)cos 20°cos 40°cos 80°.[尝试解答] (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(5)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.类题·通法化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．练一练1．化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ；(2)2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.解：(1)原式＝1＋tan θ－1－tan θ1－tan θ1＋tan θ＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ. (2)原式＝cos 2α2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4－α＝cos 2α2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－2α＝cos 2αcos 2α＝1.知识点2条件求值讲一讲2．(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos2α＋π4的值； (2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.[尝试解答] (1)∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－725＝－31250. (2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴原式可化为1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.类题·通法解决条件求值问题的方法解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．练一练2．(1)已知cos α＝13，则cos 2α等于( )A.13B.23 C ．－79 D.79(2)设α是第四象限角，已知sin α＝－35，则sin 2α，cos 2α和tan 2α的值分别为( )A ．－2425，725，－247 B.2425，725，247C ．－2425，－725，247 D.2425，－725，－247(3)已知tan α＋1tan α＝52，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，求cos 2α和sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．解析：(1)cos 2α＝2cos 2α－1＝29－1＝－79.(2)因为α是第四象限角，且sin α＝－35，所以cos α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－247.(3)由tan α＋1tan α＝52，得sin αcos α＋cos αsin α＝52， 则2sin 2α＝52，即sin 2α＝45.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin 2α·cos π4＋cos 2α·sin π4＝45×22－35×22＝210. 答案：(1)C (2)A知识点3倍角公式的综合应用讲一讲3．已知向量a ＝(sin A ，cos A )，b ＝(3，－1)，a ·b ＝1，且A 为锐角． (1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R )的值域． [尝试解答] (1)由题意得a ·b ＝3sin A －cos A ＝1， 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12. 由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32. 因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1,1]， 因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32.当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3， 所以所求函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.类题·通法二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的的活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2， 1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.练一练3．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值．解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f (α)＝22， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4，17π4，即4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式，难点是公式的应用． 2．要掌握二倍角公式的三个应用 (1)解决化简求值问题，见讲1； (2)解决条件求值问题，见讲2； (3)倍角公式的综合应用，见讲3. 3．要牢记二倍角公式的几种变形 (1)sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；(2)cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ； (3)cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .课下能力提升(二十四)[学业水平达标练]题组1 化简求值 1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215° D．sin 215°＋cos 215° 解析：选B cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. 2．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°＝( ) A.62 B.32 C.54 D ．1＋34解析：选C 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54.3．求值：sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°.解：∵sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°2sin 40°cos 10°＝1，cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 题组2 条件求值4．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 解析：选Dsin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 5．已知sin 2α＝23，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.16B.12C.23D.56解析：选D sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋sin 2α2＝56.6．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝55，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( )A ．－43 B.34 C ．7 D ．－17解析：选D 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝55，所以cos α＝－255，所以tan α＝－12，由二倍角公式得tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋11－tan 2α＝－17. 7．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.25B.75C.145 D ．－25解析：选C 因为cos α＝35且α在第一象限，所以sin α＝45.所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145.8．已知π2<α<π，cos α＝－45.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．解：(1)因为cos α＝－45，π2<α<π，所以sin α＝35，所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)sin 2α＝2sin αcos α＝－2425.cos 2α＝2cos 2α－1＝725，所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725. 题组3 倍角公式的综合应用9．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________． 解析：f (x )＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f (x )的最小值为1－ 2. 答案：1－ 210．已知0<x <π2，sin 2 x 2＋3sin x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋x 2＝－110，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．解：∵sin 2x 2＋3sin x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋x 2＝1－cos x 2－3sin x 2cos x2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝12－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴由已知得12－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－110，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35.∵0<x <π2，结合sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35易知π6<x ＋π6<π2.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝45，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π61－tan 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2×341－916＝247. [能力提升综合练]1.sin 65°cos 25°＋cos 65°sin 25°－tan 222.5°2tan 22.5°＝( )A.12B ．1 C. 3 D ．2 解析：选B 原式＝sin 90°－tan 222.5°2tan 22.5°＝1－tan 222.5°2tan 22.5°＝1tan 45°＝1.2．已知sin 2α＝23，则tan α＋1tan α等于( )A ．1B ．2C ．4D ．3解析：选D tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝112sin 2α＝3.3．已知cos 2x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( )A ．－2425B ．－45 C.2425 D.255解析：选A ∵cos 2x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝15，∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15，∴cos x ＋sin x ＝15，∴1＋sin2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425.4．设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π2－x 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24时，f (x )的值域为( )A ．[1,2]B ．[2， 3 ]C ．[3，2]D ．[2，2]解析：选D f (x )＝a 2sin 2x －1＋cos 2x 2＋1－cos 2x2＝a2sin 2x －cos 2x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，所以a ＝23， 所以f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4，f (x )∈[2，2]．故选D. 5．等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53. 所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 答案：4596．已知cos 2α＝13，π<2α<2π，求1＋sin α－2cos 2α23sin α＋cos α的值．解：原式＝sin α－cos α3sin α＋cos α，又∵cos 2α＝13，∴2cos 2α－1＝13，∴cos 2α＝23，3π2<2α<2π，∴3π4<α<π，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－63，sin α＝33，∴原式＝5＋427.7．设函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12；(2)若f (α)＝53，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求角α. 解：f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ＝53cos 2x ＋53sin 2x －2sin 2x －43sin 2x ＝53－2sin 2x －23(1－cos 2x ) ＝33－2sin 2x ＋23cos 2x ＝33－4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ×12－cos 2x ×32＝33－4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝33－4sin π2＝33－4.(2)由f (α)＝53，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝－32， 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得2α－π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，5π3，∴2α－π3＝4π3，α＝5π6.。