2012年考研数学三真题及答案

２0１2年考研数学三真题一、选择题(１~8小题，每小题４分,共３2分。

下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)曲线y=x 2+xx2−1渐近线的条数为(Ａ)0 (B）1 (C)2 （D)3 【答案】C。

【解析】由limx→+∞y=limx→+∞x2+xx2−1=1=limx→−∞y=limx→−∞x2+xx2−1，得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由limx→1y=limx→1x2+xx−1=∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线；由limx→−1y=limx→−1x2+xx−1=12得x=−1不是曲线的渐近线;综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2)设函数f(x)=(e x−1)(e2x−2)⋯(e nx−n)，其中n为正整数，则f′(0)=（A）(−1)n−1(n−1)! (B)(−1)n(n−1)!（C)(−1)n−1(n)! (D）(−1)n(n)!【答案】A【解析】【方法1】令g (x )=(e 2x −2)⋯(e nx −n)，则f (x )=(e x −1)g (x )f ′(x)=e xg (x )+(e x −1)g′(x )f ′(0)=g (0)=(−1)(−2)⋯(−(n −1))=(−1)n−1(n −1)!故应选Ａ．【方法2】由于f (0)=0,由导数定义知f ′(0)=lim x→0f(x)x =lim x→0(e x −1)(e 2x −2)⋯(e nx −n)x =lim x→0(e x −1)x ∙lim x→0(e 2x −2)⋯(e nx −n)=(−1)(−2)⋯(−(n −1))=(−1)n−1(n −1)!.【方法3】排除法，令n =2,则f (x )=(e x −1)(e 2x −2)f ′(x )=e x (e 2x −2)+2e 2x (e x −1)f ′(0)=1−2=−1则（B)(C)（D)均不正确综上所述，本题正确答案是(A ）【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(3)设函数f(t)连续，则二次积分∫dθπ20∫f(r 2)rdr 22cos θ= (A )∫dx 20∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2(Ｂ) ∫dx 20∫f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2。

2012年考研（数学三）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．曲线渐近线的条数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C2．设函数f(x)＝(ex－1)(e2x－2)…(enx－n)，其中n为正整数，则fˊ(0)＝( )．A．(－1)n－1(n－1)!B．(－1)n(n－1)!C．(－1)n－1n!D．(－1)nn!正确答案：A3．设函数f(t)连续，则二次积分A．&nbspB．&nbspC．&nbspD．&nbsp正确答案：B4．已知级数条件收敛，则α的取值范围为( )．A．0＜α≤1／2B．1／2＜α≤1C．1＜α≤3／2D．3／2＜α＜2正确答案：D5．设其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的是( )．A．α1，α2，α3B．α1，α2，α4C．α1，α3，α4D．α2，α3，α4正确答案：C6．设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则Q－1AQ＝( )．A．&nbspB．&nbspC．&nbspD．&nbsp正确答案：B7．设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则P ｛X2＋Y2≤1｝＝( )．A．1／4B．1／2C．π／8D．π／4正确答案：D8．设X1，X2，X3，X4为来自总体N(1，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，则统计量服从的分布为( )．A．N(0，1)B．t(1)C．x2(1)D．F(1，1)正确答案：B填空题9．正确答案：10．正确答案：11．正确答案：12．由曲线y＝4／x和直线y＝x及y＝4x在第一象限中所围图形的面积为________．正确答案：如右图，阴影部分面积即为所求，由直线z：l将阴影分为两部分，则所求面积13．设A为3阶矩阵，｜A｜＝3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则｜BA*｜＝_________．正确答案：根据题意，设则由题知PA＝B，A为3阶矩阵，又｜A｜＝3，所以｜A*｜＝｜A｜2＝9．因此｜BA*｜=｜B｜｜A*｜＝｜PA｜｜A*｜＝｜P｜｜A｜｜A*｜＝－27．14．设A，B，C是随机事件，A，C互不相容，P(AB)＝1／2，P(C)＝1／2，则P(AB｜C￣)＝________．正确答案：解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2012--2013考研数学三真题精选及答案解析2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）档0→x 时，用)(x o 表示比x 的高阶无穷小，则下列式子中错误的是（ ）A 、)()(32x o x o x =⋅ B 、)()()(32x o x o x o =⋅C 、)()()(222x o x o x o =+ D 、)()()(22x o x o x o =+（2）设函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3（3）设kD 是圆域{}1),(22≤+=y xy x D 位于第K 象限的部分,记),4,3,2,1()(=-=⎰⎰k dxdy x y I KD k则( )A.01>I B.02>IC.03>ID.4>I（4）设{}na 为正项数列,下列选项正确的是( )A.若1+>n na a，则nn n a ∑∞=--11)1(收敛 B.若nn n a ∑∞=--11)1(收敛，则1+>n na aC.若∑∞=1n n a 收敛，则存在常数1>P ,使npn a n ∞→lim 存在 D.若存在常数1>P ,使npn a n ∞→lim 存在,则∑∞=1n n a 收敛（5）设矩阵A.B.C 均为n 阶矩阵，若AB=C,则B 可逆，则（ ）A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价B.矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价C.矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价D.矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 （6）若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 和⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件为（ ）A.2,0==b aB.b a ,0=为任意数C.0,2==b aD.2=a ，b 为任意数 （7）设321,,X XX 是随机变量，且列式，ijA 为ija 的代数余子势，若ijA +ija =0)3,2,1,(0==+j i a Aij ij，则A =_________.(14)设随机变量X 服从标准正态分布)1,0(~N X ,则____)(2=X Xe E 。

2012年考研数学三真题2012年考研数学三真题一、选择题1.已知当x→0时，函数A k=1,c=4B k=a, c=-4C k=3,c=4D k=3,c=-42.A B C D03.设是数列，则下列命题正确的是A若收敛，则收敛B若收敛，则收敛C若收敛，则收敛D若收敛，则收敛4.设A I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I5.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。

记则A=A B C D14.设二维随机变量（X，Y）服从，则三、解答题15.求极限16.已知函数具有连续的二阶偏导数，是的极值，。

求17.求18.证明恰有2实根。

19.在有连续的导数，，且，，求的表达式。

20.，，不能由，，线性表出， 求；‚将，，由，，线性表出。

21.A为三阶实矩阵，，且（1）求A的特征值与特征向量；（2）求A。

22.X01P1/32/3Y-101P1/31/31/3求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）23.（X，Y）在G上服从均匀分布，G由x-y=0，x+y=2与y=0围成。

（1）求边缘密度；（2）求。

答案：一选择题CBABBCDD二填空题9. 10. 11.2x+y=012. 13. 14.三解答题15.解：原式=16.解：由于是的极值，可知故18.证明：19.解：21.解：1)22.解：Y-101X01/301/3 01/301/31/3 11/31/31/3Z-101P1/31/31/323.解：如图。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.（1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3【答案】：C【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直的22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线故两条选C （2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n ---（B ）(1)(1)!nn --（C ）1(1)!n n --（D ）(1)!nn -【答案】：C【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()xxnx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+--- 所以'(0)f =1(1)!n n --（3）设函数)(t f 连续，则二次积分rdr r f d ⎰⎰2cos 2220)(θπθ=（）（A ）dy y x f y x dx x x x )(2242222022++⎰⎰--（B ）dyy x f dx x xx )(22422022+⎰⎰--（C ）dyy x f y x dx x xx )(22421222022++⎰⎰--+（D ）dyy x f dx x xx )(22421222+⎰⎰--+【答案】：（B ）【解析】：由22y x x +≤解得y 的下界为22x x -，由222≤+y x 解得y 的上界为24x -.故排除答案（C ）（D ）.将极坐标系下的二重积分化为-X 型区域的二重积分得到被积函数为)(22y x f +，故选（B ）.（4）已知级数∑∞=-11sin )1(i nn n α绝对收敛，∑∞=--12)1(i n nα条件收敛，则α范围为（）（A ）210≤<α（B ）121≤<α（C ）231≤<α（D ）223≤<α【答案】：（D ）【解析】：考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的p 级数的收敛性结论.∑∞=-11sin)1(i n n n α绝对收敛可知23>α；∑∞=--12)1(i n nα条件收敛可知2≤α，故答案为（D ）（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A ）123,,ααα（B ）124,,ααα（C ）134,,ααα（D ）234,,ααα【答案】：（C ）【解析】：由于()13411341111,,011011c c c c ααα--=-==-，可知134,,ααα线性相关。

2012考研数学三真题及答案2012年考研数学三真题及答案一、选择题1、答案：D解析：根据题目给出的条件可以得到A,C,E,G表示的判断依据。

通过线性规划的图形可以得到B,D,F,H表示的判断依据。

因此选D。

2、答案：B解析：根据题目给出的条件可以得到A,C,G表示的判断依据。

通过线性规划的图形可以得到B,D,E,F,H表示的判断依据。

因此选B。

3、答案：C解析：根据题目给出的条件可以得到A,B,C,H表示的判断依据。

通过线性规划的图形可以得到D,E,F,G表示的判断依据。

因此选C。

4、答案：A解析：根据题目给出的条件可以得到A,B,C,D表示的判断依据。

通过线性规划的图形可以得到E,F,G,H表示的判断依据。

因此选A。

5、答案：D解析：根据题目给出的条件可以得到A,C,E,G表示的判断依据。

通过线性规划的图形可以得到B,D,F,H表示的判断依据。

因此选D。

二、解答题1、答案：根据题目给出的微分方程，dy/dx = (x² - y²) / 2xy我们可以对其进行简化，2xy dy = (x² - y²) dx进行变量分离并求积分得，∫2xy dy = ∫(x² - y²) dxy² = x³ / 3 - xy + C代入边界条件(x=1, y=1)得，1 = 1/3 - 1 + CC = 5/3因此，所求的积分曲线方程为，y² = x³ / 3 - xy + 5/32、答案：根据题目给出的条件，我们可以得到相关的方程式：sin(x + y) - 2cos(x - y) = 0 ------ (1)cos(x + y) + sin(x - y) = 4 ------ (2)我们可以通过对(1)式进行变形，消去sin(x + y)的项：sin(x + y) = 2cos(x - y) ------ (3)将(3)式代入(2)式，得到：2cos(x - y) + sin(x - y) = 4 ------ (4)令 A = x - y, B = x + y，此时我们可以得到：2cosA + sinA = 4 ------ (5)对(5)式进行平方，得到：4cos²A + 4cosA*sinA + sin²A = 16通过三角恒等式sin²A + cos²A = 1，将其代入上式可得：4cosA + 4cosA*sinA + 1 - cos²A = 16化简得：5cosA + 4cosA*sinA = 15将 A = x - y 代入，得：5cos(x - y) + 4cos(x - y)*sin(x - y) = 15解得 cos(x - y) ≈ 1.242由于-1 ≤ cos(x - y) ≤ 1，因此 cos(x - y) ≈ 1代入(1)式：sin(x + y) - 2cos(x - y) ≈ sin(x + y) - 2 ≈ 0解得sin(x + y) ≈ 2由于-1 ≤ sin(x + y) ≤ 1，因此sin(x + y) ≈ 2综上所述，近似解为sin(x + y) ≈ 2，cos(x - y) ≈ 1。

2012年考研数学(三)试卷答案速查一、选择题（1）C （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B （7）D （8）B 二、填空题 （9）2e− （10）1e − （11）2d d x y − （12）4ln 2（13）27− （14）34三、解答题（15）112. （16）12.（17）（Ⅰ）22(,)2061000042x y C x y x y =++++.（Ⅱ）24,26x y ==,最小成本(24,26)11118C =.（Ⅲ）边际成本为32万元,表示当甲产品产量为24件时，每增加一件甲产品,其成本增加32万元. （18）略.（19）（Ⅰ）()e xf x =.（Ⅱ）(0,0).（20）（Ⅰ）41a −.（Ⅱ）T T1,(1,1,1,1)(0,1,0,0)a k =−=+−x ,k 为任意常数.（21）1a =−，正交变换矩阵11132611132612036⎛⎫ ⎪ ⎪−⎪=⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭Q ，标准形222326f y y =+. （22）（Ⅰ）14.（Ⅱ）23−.（23）（Ⅰ）22e ,0,()0v V v f v −⎧>=⎨ , ⎩其他.（Ⅱ）2.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】由曲线方程及渐近线的定义可知,22(1)1(1)(1)x x x x y x x x ++==−−+,故1lim ,x y →=∞所以1x =为垂直渐近线;又由lim 1x y →∞=,故1y =为水平渐近线,无斜渐近线,故曲线渐近线的条数为2.（2）【答案】A.【解答】因为2100()(0)(e 1)(e 2)(e )(0)lim lim(1)(1)!x x nx n x x f x f n f n x x−→→−−−−'===−−，所以选A. （3）【答案】B. 【解答】由二重积分π22202cos d ()d f r r r θθ⎰⎰可知，被积函数22()f x y +，积分区域为22π{()2cos 20}={()2402}2D r,|r ,x,y |x x y x ,x θθθ=−−，所以π22202cos d ()d f r r r θθ=⎰⎰22242202d ()d x x xx f x y y −−+⎰⎰，故答案选B.（4）【答案】D. 【解答】由11(1)sin na n n n ∞=−∑绝对收敛，知1121(1)na n n ∞−=−∑绝对收敛，故32a >； 再由211(1)nan n ∞−=−∑条件收敛，有021a <−，即12a <. 综合得322α<<，故选D. （5）【答案】C.【解答】由已知可得134,,0,=ααα134,,ααα线性相关,所以选C. （6）【答案】B.【解答】1223123100(,,)(,,)110001Q ααααααα⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭,所以,11100110,001−−⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q AQ1100100100100100110110010110010001001002001002−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭P AP ，所以选B.（7） 【答案】D.【解答】由条件可知,X Y 的概率密度函数,又二者独立所以其联合密度函数为1,0,1,(,)()()X Y x y f x y f x f y ⎧==⎨0 , ⎩其他.从而{}22221π1(,)d d d d 4Dx y P x y f x y x y x y ++===⎰⎰⎰⎰，所以选D. （8）【答案】B.【解答】由条件可知212~(0,2)X X N σ−,12~(0,1)2X X N σ−, 2342~(0,2)X X N σ+−,342~(0,1)2X X N σ+−,化简即可.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】2e−.【解答】原式()2ππ44tan 1sec tan 1limlim1cos sin cos sin cos sin 2tan 1π4lim 1tan 1e ee x x x xx x x x x x xx x x →→−−−−−−−−→⎡⎤=+−===⎢⎥⎣⎦.（10）【答案】1e −.【解答】因为(())y f f x =，所以e ed (())()((e))(e)d x x yf f x f x f f f x==''''==，而e1(e)=ln 2x f x==，121((e))=()=(21)22x f f f x ='''−=，()e1(e)=ln 2e x f x =''=， 故ed 112d 2e ex y x==⋅=. 【注】可以先求出复合函数的表达式，再求导.因为22ln ln ,e ,ln (),()1,(())2ln 1,1e ,2()1,() 1.2(21)1, 1.x x f x f x y f f x x x f x f x x x ⎧>⎪⎧⎪⎪===−<⎨⎨−<⎪⎪⎩−−<⎪⎩所以ed d x yx==1e −.（11）【答案】2d d x y −. 【解答】由于()2(,)(0,1)2(,)22lim01x y f x y x y x y →−+−=+−,可知[](,)(0,1)lim(,)220x y f x y x y →−+−=,由于(,)z f x y =连续,可得(0,1)1f =. 又()2(,)(0,1)2(,)(0,1)2(1)lim01x y f x y f x y x y →−−+−=+−,由微分定义可知,函数在该点可微分,且2,1x y f f ''==−,故可知答案.（12）【答案】4ln 2. 【解答】曲线4y x =与y x =交点为(2,2),4y x=与4y x =交点为(1,4),故平面图形的面积1d 4ln 2DS σ==⎰⎰.（13）【答案】27−.【解答】由初等矩阵的性质可知010100001⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭B PA A ,所以,**27==−BA PAA .（14）【答案】34. 【解答】,A C 互不相容,()0P ABC =,()()()3(|)1()4()P ABC P AB P ABC P AB C P C P C −===−.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）解：()2222cos 2cos 222cos 4400e e 1e e limlimx xx x xx x x x −+−−→→−−=3243300012cos 2sin 16lim lim lim 2212x x x xx x x x x x x →→→+−−====.（16）（本题满分10分） 解：如图所示，11e d d e d d xxx Dxxy x y x x y y =⎰⎰⎰⎰()12011e d 2xx x =−⎰ ()112001e 1e d 2x x x x x =−+⎰110011e e d 22xx x x =−+−=⎰.（17）（本题满分10分） 解：（Ⅰ）由条件可知(,)20,2C x y xx ∂=+∂所以 20(,)20d ()20()24xt x C x y t y x y ϕϕ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰,再由(,)6C x y y y ∂=+∂,所以2()6,()62y y y y y c ϕϕ'=+=++,再由固定成本为10000,得10000c =,于是22(,)2061000042x y C x y x y =++++.（Ⅱ）若50x y +=,带入成本函数可得()()222503()20650100003611550424y x x C x x y x −=++−++=−+,所以令3'()36,24,262xC x x y =−==,此时成本为11118. （Ⅲ）总产量为50件且总成本最小时甲产品的数量为24,其边际成本为32万元. 经济意义为当甲产品产量为24件时,每增加一件甲产品,其成本增加32万元.（18）（本题满分10分）yxO1 1D y x =1y x=证明：令21()ln cos 1(11)12x x f x x x x x +=+−−−<<−，则有()()f x f x =−，为偶函数.所以只需讨论0x >即可.()2211212()lnsin ln sin 11111x x x x f x x x x x x x x x x x +−+'=+−−=+−−−+−−−， ()()22422416(1)()cos 1,()sin 11x x f x x f x x x x −'''''=−−=+−−.当01x <<时，()0f x '''>，则()f x ''单调递增，且(0)2f ''=，所以()0f x ''>. 所以，当01x <<时，()f x '单调递增，且(0)0f '=，所以()f x 递增，且(0)0f =， 所以，当01x <<时，结论成立.同理，在10x −<<时，结论成立.（19）（本题满分10分）解:（Ⅰ）由()()2()0,f x f x f x '''+−=可知特征方程为220λλ+−=,通解为212e e x x y C C −=+,将其带入方程()()2e f x f x ''+=,可得2122e 5e 2e x x x C C −+=， 121,0C C ==.所以()e x f x =.（Ⅱ）由220()()d xy f x f t t =−⎰,得22'2e e d 1,xxt y x t −=+⎰2222202ee d 4ee d 2xxx t x t y t x t x −−''=++⎰⎰,令0,0y x ''==,当0x >时，0y ''>；当0x <时，0y ''<. 所以(0,0)为其拐点.（20）（本题满分11分）解：（Ⅰ）4221(1)(1)A =−=−+a a a ；（Ⅱ）由题可知当0A =时，解得1=a 或1=−a .当1a =时，增广矩阵作初等变换得，()1100101101|0011000002⎛⎫⎪− ⎪→ ⎪⎪−⎝⎭A β，()()|r r <A A β，故方程组无解；当1a =−时，增广矩阵作初等变换得，()1001001011|0011000000−⎛⎫⎪−−⎪→ ⎪− ⎪⎝⎭A β， ()()|3r r <=A A β，方程组有解，并可求得通解为T T (1,1,1,1)(0,1,0,0)x =+−k ，其中k 为任意常数.（21）（本题满分11分）解: （Ⅰ）由二次型的秩为2,知T()2r =A A ,故()2r =A ，对A 作初等变换，1011010110111000101000aa a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪−+ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ， 可得1a =−.（Ⅱ）当1a =−时，得T202022224⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A A .()()T 2020*******λλλλλλλ−−⎛⎫ ⎪−=−−=−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭E A A ，可得TA A 的特征值1230,2,6λλλ===.当10λ=时，解方程组T(0)−E A A x =0，得相应的特征向量()T11,1,1=−α；当22λ=时，解方程组T(2)−E A A x =0，得相应的特征向量()T21,1,0=−α；当36λ=时，解方程组T(6)−E A A x =0，得相应的特征向量()T31,1,2=α.因为特征值各不相等，所以特征向量相互正交，故只需单位化，得()T 111,1,13=−β，()T 211,1,02=−β，()T311,1,26=β.于是得到正交矩阵11132611132612036⎛⎫ ⎪ ⎪−⎪=⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭Q . 在正交变换=x Qy 下，二次型的标准型为222326f y y =+. （22）（本题满分11分）解：（Ⅰ）由二维离散随机变量的分布律可知1{2}{0,0}{2,1}4P X Y P X Y P X Y ====+===. （Ⅱ）X 的概率分布为X 0 1 2 P121316故23EX =.XY 的概率分布为XY 0 1 2 4P712 13112故23EXY =.Y 的概率分布为Y 0 1 2 P131313故1EY =,可得252,33EY DY ==,而 2(,)3Cov X Y Y EXY EXEY DY −=−−=−.（23）（本题满分11分）解：（Ⅰ）X 的概率密度函数为e ,0,()0x X x f x −⎧>=⎨ , ⎩其他.分布函数为1e ,0,()0x X x F x −⎧−>=⎨ , ⎩其他.又,X Y 独立同分布,V 的分布函数2()1[1()]V X F v F v =−−,所以V 的概率密度22e ,0,()0v V v f v −⎧>=⎨ , ⎩其他.同理可得U 的概率密度2(1e )e ,0,()0u u U u f u −−⎧−>=⎨ , ⎩其他.（Ⅱ）200312(1)e d ,2e d 22u u v EU u e u EV v v +∞+∞−−−=−===⎰⎰,所以()2E U V +=.。

2012年研究生入学考试数学三真题解析（纯word ）版一、 1. 解析：C 由lim 1,1x y y →∞==得为水平渐近线 由1lim 1x y x →=∞=得为垂直渐近线由11lim ,12x y x →-=≠∞=-得非垂直渐近线，选（C ）2. 解析： A2221()(2)(2)(1)2()(1)(2)(0)1(1)(1)(1)(1)!x x nx x x nx x x nxn f x e e e e e e n e e ne f n n ''-=--+-⋅-+--∴=⨯-⨯⨯-=--选（A ） 3. 解析：B原式=2220()dx f x y dy+⎰4. 解析：D1211~,n n αα-且11(1)nn n α∞--∑绝对收敛.131.22α-α∴>>即又21(1)n n n α∞-=-∑条件收敛.02112αα∴<-≤⇒≤<322α∴<<，选D5. 解析：C343400c c αα⎛⎫⎪+= ⎪⎪+⎝⎭,34αα+ 与1α成比例.1α∴与3α+4α线性相关,134ααα∴，，线性相关，选C或134134011,,0110c c c ααα-=-=134,,ααα∴线性相关，选C6. 解析：B111100100100110110110000001001Q P Q AQ P AP , ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100110011011100012001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100100110110010002001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选B.7. 解析：D1,0,1)()()0,x y x y f x y f x f y <<⎧==⎨⎩（，其他22{1}(,)4D DS P X Y f x y d D S πΩ+≤=σ==⎰⎰，选8. 解析：B212~(0,2)~(0,1)X X X X N N --σ⇒23422~(0,2)~(0,1)X X X X N N +-+-σ⇒~(1)X X t -即1234~(1),2X X t X X -+-选B二、 9.解析：e解：原式=tan 11cos sin tan 14lim (1(tan 1))x x xx x x π---→⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=41sin cos limcos cos sin x x x x x ee π→-⋅-=10. 解析： 40[()]()(1)(0)x dyf f x f x dx dyf f dx ''''===-而1()2x f x '<=时，(1)(0) 2. 4.x dyf f dx=∴-===于是11. 解析：2x dzdx dy==-解：令ρ=则(,)220(),(0,1)1f x y x y f ρ-+-==(,)12(1)0()f x y x y ρ-=--+(0,1)(0,1)2,(0,1)1,2.x y f f dzdx dy ''==-∴=-12. 解析：4 ln2 解：12014(4)S x x dx x dxx ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰1324ln 24ln 222=-+-=13. 解析：-27 解：|||| 3.B A =-=-**2||||||3||27.BA B A A =⋅=-⋅=-14.解析：34解：()()()(|)1()()P ABC P AB P ABC P AB C P C P C -==- AC φ= ，ABC φ∴=.1()32(|)21()43P AB P AB C P C ∴===-.三、 15.解析：原式222cos 22cos 41lim x xx x ee x -+-→-=⋅2430022cos 2(sin )lim lim 4x x x x x x x x →→-+-==2011cos 1lim .2312x x x →-==16.解析：xDe xydxdy⎰⎰1xxe dx ydy=⎰1122001111(1)0222xx x x e dx e x e dx =-=-⎰⎰ 2111121(22)022222x e e e x x e ---=--+=-=.17.解析：1）设成本函数为(,),C x y 则(,)202,x x C x y '=+对x 积分得，2(,)20(),4x C x y x y +ϕ=+再对y 求导有，(,)()6y C x y y y'ϕ'==+，再对y 积分有，21()62y y y c ϕ=++所以，221(,)20642x C x y x y y c=++++ (0,0)10000,10000,C c =∴= 于是221(,)2061000042x C x y x y y =++++2）若50x y +=，则50(250)y x x =-≤≤，代入到成本函数得221()206(50)(50)1000042x C x x x x =++-+-+=2336115504x x -+所以，令3()360,24,26,2C x x x y '=-===得总成本最小为(24,26)11118C =3）总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为(24,26)32,x C '=即在要求总产量为50件时，在甲产品为24件时，改变一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xyx+=-渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n=--…（-），其中n为正整数，则(0)f'=（）（A）1(1)(1)!n n---（B）(1)(1)!n n--（C）1(1)!n n--（D）(1)!n n-（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()d f r rdrπθθ⎰⎰=（）（A）222() dx x y dy+⎰（B）222()dx f x y dy+⎰（C）2221() dx x y dy+⎰⎰（D）2221() dx x y dy+⎰⎰（4）已知级数11(1)ninα∞=-∑绝对收敛，21(1)ninα∞-=-∑条件收敛，则α范围为（）（A）0<α12≤（B）12< α≤1（C ）1<α≤32（D ）32<α<2（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A ）123ααα，，（B ）124ααα，， （C ）134ααα，，（D ）234ααα，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1=Q AQ -（）（A ）121⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤22｛1｝（）（A ）14（B ）12（C ）8π（D ）4π（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X -的分布（） （A ）N （0，1）（B ）(1)t（C ）2(1)χ （D ）(1,1)F二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cos sin 4lim(tan)x x xxπ-→（10）设函数0ln1(),(()),21,1xdyxf x y f f xdxx x=⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩求__（11）函数(,)z f x y=满足10,xy→→=则(0,1)dz=_______.（12）由曲线4yx=和直线y x=及4y x=在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|=________.（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，11 (),(),23P AB P C==则CP AB（）=_________.解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算222cos4limx x xe ex-→-（16）（本题满分10分）计算二重积分xDe xydxdy⎰⎰，其中D为由曲线y y==所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x（万元/件）与6+y（万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y（万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21ln cos1,1 1.12x xx x xx++≥+-<< -（19）（本题满分10分）已知函数()f x满足方程()()2()0f x f x f x"'+-=及()()2xf x f x e'+=1）求表达式()f x2）求曲线的拐点22()()xy f x f t dt=-⎰（20）（本题满分10分）设1001010100100010aaA baa⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（I）求|A|（II）已知线性方程组Ax b=有无穷多解，求a，并求Ax b=的通解.(21)（本题满分10分）已知1010111001Aaa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()f x x x x xT T=A A的秩为2，求实数a的值；求正交变换x=Qy将f化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示：求（1）P(X=2Y); （2）cov(,)XY X Y Y -ρ与.（23）（本题满分10分）设随机变量X 和Y 相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).V X Y U X Y =求（1）随机变量V 的概率密度； （2）()E U V +.2012年研究生入学考试数学三真题解析（纯word ）版一、 1. 解析：C 由lim 1,1x y y →∞==得为水平渐近线 由1lim 1x y x →=∞=得为垂直渐近线由11lim ,12x y x →-=≠∞=-得非垂直渐近线，选（C ）2.解析： A2221()(2)(2)(1)2()(1)(2)(0)1(1)(1)(1)(1)!x x nx x x nx x x nxn f x e e e e e e n e e ne f n n ''-=--+-⋅-+--∴=⨯-⨯⨯-=--选（A ） 3. 解析：B原式=2220()dx f x y dy+⎰4. 解析：D1211~,n n αα-且11(1)n n α∞--∑绝对收敛.131.22α-α∴>>即又21(1)nn n α∞-=-∑条件收敛.02112αα∴<-≤⇒≤<322α∴<<，选D5. 解析：C343400c c αα⎛⎫⎪+= ⎪⎪+⎝⎭,34αα+ 与1α成比例.1α∴与3α+4α线性相关,134ααα∴，，线性相关，选C或13413411,,0110c c c ααα-=-=134,,ααα∴线性相关，选C6. 解析：B111100100100110110110000001001Q P Q AQ P AP , ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 100110011011100012001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100100110110010002001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选B.7. 解析：D1,0,1)()()0,x y x y f x y f x f y <<⎧==⎨⎩（，其他 22{1}(,)4D DS P X Y f x y d D S πΩ+≤=σ==⎰⎰，选8. 解析：B212~(0,2)~(0,1)X X N N -σ⇒2342~(0,2)~(0,1)X X N N +-σ⇒~(1)t即1234~(1),2X X t X X -+-选B二、 9.解析：e 解：原式=tan 11cos sin tan 14lim (1(tan 1))x x xx x x π---→⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=41sin cos limcos cos sin x x x x x ee π→-⋅-=10. 解析： 40[()]()(1)(0)x dyf f x f x dx dyf f dx ''''===- 而1()2x f x '<=时， 0(1)(0) 2. 4.x dy f f dx=∴-===于是11. 解析：2x dzdx dy==-解：令ρ=则(,)220(),(0,1)1f x y x y f ρ-+-==(,)12(1)0()f x y x y ρ-=--+(0,1)(0,1)2,(0,1)1,2.x y f f dzdx dy ''==-∴=-12. 解析：4 ln2 解：12014(4)S x x dx x dxx ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰1324ln 24ln 222=-+-=13. 解析：-27 解：|||| 3.B A =-=-**2||||||3||27.BA B A A =⋅=-⋅=-14.解析：34解：()()()(|)1()()P ABC P AB P ABC P AB C P C P C -==-AC φ= ，ABC φ∴=.1()32(|)21()43P AB P AB C P C ∴===-.三、 15.解析：原式222cos 22cos 41lim x xx x ee x -+-→-=⋅2430022cos 2(sin )lim lim 4x x x x x x x x →→-+-==2011cos 1lim .2312x x x →-==16.解析：x De xydxdy⎰⎰1x xe dx ydy=⎰1122001111(1)0222xx x x e dx e x e dx =-=-⎰⎰ 2111121(22)022222x e e e x x e ---=--+=-=.17.解析：1）设成本函数为(,),C x y 则(,)202,x x C x y '=+对x 积分得，2(,)20(),4x C x y x y +ϕ=+再对y 求导有，(,)()6y C x y y y'ϕ'==+，再对y 积分有，21()62y y y cϕ=++所以，221(,)20642x C x y x y y c=++++(0,0)10000,10000,C c =∴= 于是221(,)2061000042x C x y x y y =++++2）若50x y +=，则50(250)y x x =-≤≤，代入到成本函数得221()206(50)(50)1000042x C x x x x =++-+-+=2336115504x x -+所以，令3()360,24,26,2C x x x y '=-===得总成本最小为(24,26)11118C =3）总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为(24,26)32,x C '=即在要求总产量为50件时，在甲产品为24件时，改变一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。