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12.3 .1角的平分线的性质第1课时角的平分线的作法及性质（学案）【学习目标】（一）知识与技能：1．会用尺规作一个已知角的平分线；2．掌握角平分线的性质．（二）过程与方法：1．在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉；2．提高综合运用三角形全等的有关知识解决实际问题的能力；3．掌握简单的角平分线在生产、生活中的应用。
（三、）情感态度与价值观：1．在探究作角的平分线的过程中，培养探究的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验；2．通过合作、交流、讨论，增强合作、沟通能力．【学习重难点】重点：1．掌握角平分线的性质定理；2．角平分线性质的证明及运用．难点：1．角平分线性质的探究；2．角平分线性质定理的证明及应用．【学习方法】自主探索、合作交流、指导探究【授课类型】新授课【课时安排】1课时【学习过程】一、知识点1 利用直尺和圆规作一个角的平分线1.自己动手画一个∠AOB，作出∠AOB的角平分线 OC2.平分一个平角∠AOB，通过作角平分线得到射线OC，然后反向延长OC 得到直线CD直线CD 与直线AB 存在什么样的位置关系？二、知识点2 角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点．几何语言：∵OC是∠AOB的平分线，，∴=作用：，三、随堂演练3.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠CAB,且AB=10，BC=6，BD=4,求（1）点D到AB的距离是多少，（2）△ABD的面积是多少。
四、拓展延伸（小组讨论）1.如图，△ABC中，BD = CD，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE =CF．（在此题的已知条件下，你还能得到哪些结论，能否证明？）五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你哪些收获呢？六、课后作业完成本课时相应练习册七、课外思考如图，点D、B分别在∠MAN的两边上，C是∠MAN内一点，AB =AD，BC = CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F.求证：CE = CF.在此题的已知条件下，你还能得到哪些结论，能否证明？。
《角的平分线的性质》教学设计方案（第一课时）一、教学目标：1. 理解角平分线的观点和性质，掌握其在实际问题中的应用。
2. 培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3. 增强学生的数学应用认识和几何思维能力。
二、教学重难点：1. 教学重点：理解角平分线的性质，掌握其在实际问题中的应用。
2. 教学难点：如何引导学生发现和证明角平分线的性质，培养学生的数学思维能力和推理能力。
三、教学准备：1. 准备教学用具：直尺、圆规、三角板、量角器等几何工具，以及一些实物模型。
2. 准备教学材料：设计一些与角平分线性质相关的实际问题，以便在教室上进行探究和解决。
3. 安排教学内容的时间分配，确保在45分钟内完成教学任务。
四、教学过程：本节课是《角的平分线的性质》的教学，分为三个环节：（一）预习指导1. 展示学习目标：学生通过角平分线的性质，能够利用性质解决相关问题。
2. 展示预习任务：任务一：角平分线的观点和作法任务二：角的对称性钻研任务三：角平分线的性质探究3. 提出预习要求：（1）认真研读教材，结合注释，理解基本观点；（2）根据作法，尝试画出角的平分线；（3）利用量角器等工具，验证角平分线的性质；（4）将预习过程中遇到的问题记录下来。
（二）合作探究1. 小组内交流预习效果，分享学习心得；2. 针对预习中的问题，共同探讨，寻求解决方案；3. 结合课本例题，尝试解答，总结解题方法；4. 小组内未能解决的问题，由小组长记录下来。
（三）展示提升1. 各小组将未解决的问题提交到展示台，由教师汇总；2. 教师针对学生普遍存在的问题进行讲解，强调易错点和易混点；3. 结合课本例题，进行变式训练和拓展训练，提高学生解题能力；4. 小组之间互相评判，共同进步。
五、教学反思本节课通过预习、合作探究、展示提升等环节，让学生掌握了角平分线的观点、作法、性质以及应用。
在教学过程中，注重学生的主体地位，引导学生自主学习、合作探究，帮助学生养成良好的学习习惯和思维习惯。
角的平分线的性质【教学目标】1．掌握利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质和判定定理；掌握作已知角平分线的方法；了解证明几何命题的一般步骤和格式。
2．在探索问题的过程中体会知识间的关系，能够进行有条理地思考，并进行简单的推理。
3．使学生能够利用角平分线的性质和判定定理解决相应的问题。
4．在探究角的平分线的作法及性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，获得解决问题的成功体验，增强解决问题的信心。
【教学重难点】1．探究角平分线的性质，能够利用其解决相关实际问题。
2．角平分线性质的推导过程。
【教学过程】一、课堂引入。
如图，有一个简易平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将A点放在角的顶点，AB 和AC画一条射线AE，AE就是∠BAD的平分线，为什么？师生探究，说明其中的原理（利用“边边边”），进而得到利用尺规作角平分线的方法。
教师出示作图过程。
已知∠AOB，求作：∠AOB的平分线。
作法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．．射线OC即为所求。
教师提出问题：角的平分线有哪些性质呢，请同学们与我一同来探究一下吧！探究1：如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明学生活动：学生首先独立操作，然后观察操作后的图形，进行讨论，经过讨论发现，折⊥．（2）PD＝PE。
然后痕DP和折痕PE与其他边有着特殊的关系：（1）PD OA⊥，PE OB寻找上述结论成立的理由：（1）由折叠过程可以得到。
由（2）可以利用三角形全等的条件得到，△OPD OPE≌△，进而得到PD＝PE。
教师活动：组织学生独立操作、思考，在此基础上进行讨论，鼓励学生大胆发言，并对自己的看法作出判断。
最后引导学生归纳角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
角的平分线的性质教学设计和反思一、教学分析 1．教学内容分析本节课是新人教版教材《数学》八年级上册第11.3节第一课时内容，是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用．作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．2．教学对象分析刚进入初二的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础． 3．教学环境分析利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律．根据如今各学校实际教学环境及本节课的实际教学需要，我选择电脑及投影仪多媒体教学系统辅助教学，另外借助一定的教学软件，如“几何画板”，“Powerpoint”等将有关教学内容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变．这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握．二、教学目标 1、知识与技能：（1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法．（2）理解角的平分线的性质并能初步运用．2、数学思考：通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力． 3、解决问题：（1）初步了解角的平分线的性质在生产、生活中的应用．（2）培养学生的数学建模能力．4、情感与态度：充分利用多媒体教学优势，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情．三、教学重点、难点重点：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用．难点：（1）对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；（2）对于性质定理的运用（学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明）四、教学过程教学环节设计九月开学季，老师你们准备好了吗？幼教开学准备小学教师教案小学教师工作计...初中教师教案初中教师工作计...21．创设情景［教学内容1］生活中有很多数学问题：小明家居住在某小区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连．问题1：怎样修建管道最短？问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看．［整合点1］利用多媒体渲染气氛，激发情感．［教学方法手段］教师利用多媒体展示，引领学生进入实际问题情景中，利用信息技术既生动展示问题，同时又通过图片让学生更身临其境般感受生活。
教师姓名朱军单位名称陆川县沙坡镇第二初级中学填写时间2020年8月学科数学年级/册八年级上册教材版本人教版课题名称第十二章12.3《角的平分线的性质》难点名称运用角平分线性质进行简单的推理及解决实际问题。
难点分析从知识角度分析为什么难本节内容在数学知识体系中起着承上启下的作用。
教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的认知特点和认知规律。
从学生角度分析为什么难学生已学习了三角形全等的判定方法，能运用全等三角形的知识解决一些线段相等、角相等的问题，为接下来的学习奠定了知识和技能基础。
难点教学方法经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。
教学环节教学过程导入复习导入：1.角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
复习检测：2.下图中能表示点P到直线l的距离的3.用尺规作已知角的平分线的理论依据是( )A.SASB.AASC.SSSD. ASA知识讲解（难点突破）新课：1.角的平分线的作法(尺规作角的平分线）观察领悟作法，探索思考证明方法：画法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ。
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心。
大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ。
３．作射线ＯＣ。
射线ＯＣ即为所求。
2、为什么OC是角平分线呢？（议一议，写一写）已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
证明： 连接CM,CN在△OCM和△OCN中，OM=ONMC=NCOC=0C∴ △OCM ≌ △OCN (SSS)∴ ∠ MOC=∠NOC∴ OC平分∠AOB3、角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：∵ ∠1= ∠2PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)4、应用小结：角平分线的性质定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。
聪明的你知道其中的道理吗？
你可以给这个工具起一个名字吗？
学生活动：学生思考怎样利用题目中的已知条件得出部分结论.
设计意图：
承接上一个活动抽象出的角，利用三角形全等的证明，过度到角平分线的画法.
（四）动手操作
由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB
求作：∠AOB 的角平分线.
作法：（1）以O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 于M,
交OB 于N.
(2)分别以M,N 为圆心，大于 为长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C. (3)作射线OC.
射线OC 即为∠AOB 的平分线.
学生活动：学生在教师画图的过程中也尝试作图，直观感受尺规作图的严谨.同时完成任务单.
设计意图：
规范学生的作图，并让学生明白用尺规作角平分线中其中蕴含的数学道理.
（五）小实验员
教师活动：实验：让同学们拿出提前准备好的一个任意角，以小组为单位利用折叠的方法找到这个角的角平分线，在角平分线上任意取一点，以这一点到顶点的距离为斜边过折直角三角形，展开后测量这一点到两边的距离有什么数量关系？改变这个点的位置，结论改变了吗？ 12
MN
学生活动：学生在折纸的活动过程中，完成实验记录单，并对结果进行大胆的猜测.将小组得出的结果用文字表述出来，形成直观的结论.
设计意图：
学生在经历折纸、填写实验记录单的活动过程中，体会通过合情推理探索数学结论，同时发展学生的合情推理能力. 能对得出的结论进行归纳和总结.
（六）寻根问源
教师先用几何画板演示角平分线的性质结论，再用给出严谨的证明.
已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E
求证：PD=PE ．
证明：∵PD ⊥OA ， ，（已知）
∴∠PDO=∠PEO= （ ）
在△PDO 和△PEO 中，
∴△PDO ≌△PEO （ ）
∴ （ 全等三角形的对应边相等.）
学生总结证明一个几何命题的一般步骤：
1. 明确命题中的已知和求证；
2. 根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证.
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
设计意图：
几何画板的直观演示让学生有直观感受，几何证明让学生运用演绎推理加以证明的过程.在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力.在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论.
,,
,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
1.如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）
A 、PD ＝PE
B 、OD ＝OE
C 、∠DPO ＝∠EPO
D 、PD ＝OD
2. 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若CD=3cm ，则点D 到AB 的距离DE 是（ ）
A ．5cm
B ．4cm
C ．3cm
D ．2cm
（第1题） （第2题）
设计意图：
能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.在与他人合作和交流过程中，敢于发表自己的想法，勇于质疑，敢于创新，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成严谨求实的科学态度.
2
1D A P
O E B。
