九年级数学上册 3_3 垂径定理同步练习(无答案)(新版)浙教版

《垂径定理（选学）》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课程的主要目标是使学生理解并掌握垂径定理的数学概念及其在几何证明中的应用。

通过实践练习，提高学生解决几何问题的能力，加深对垂径定理的理解和记忆。

二、作业内容本课作业围绕垂径定理及其应用展开，内容设计如下：1. 基础概念理解：要求学生回顾并理解垂径定理的定义，包括垂径线、垂径圆心角等基本概念，并能够准确描述其性质。

2. 定理证明：通过例题的形式，让学生尝试证明垂径定理，并理解其在几何证明中的重要性。

3. 实际应用：设计一系列与日常生活相关的几何问题，如测量、画图等，让学生在解决问题的过程中应用垂径定理。

4. 作业题集：提供一份包括选择题、填空题、简答题和综合题在内的习题集，难度逐步提升，让学生从多个角度巩固和拓展对垂径定理的理解。

三、作业要求本节作业要求学生独立完成，要求如下：1. 准确理解垂径定理的每一个概念和性质，并能够准确运用在解题过程中。

2. 认真完成每一道题目，尤其是综合题，要尽量运用所学知识进行全面解答。

3. 题目解答过程中，要求步骤清晰、逻辑严密，注重解题思路的阐述。

4. 作业完成后需进行自我检查和修正，确保答案的准确性。

四、作业评价教师将根据以下标准对学生的作业进行评价：1. 学生对垂径定理的理解程度及运用能力。

2. 解题步骤的逻辑性和条理性。

3. 答案的准确性和完整性。

4. 学生的自我检查和修正情况。

五、作业反馈教师将对每一份作业进行批改和点评，并通过以下方式进行反馈：1. 对每一道题目进行详细讲解和评分，对出现错误的地方进行详细解释和纠正。

2. 对于解题思路和方法进行归纳总结，强调解题技巧和思路。

3. 对于学生的优点和不足进行及时反馈，鼓励学生继续努力。

4. 对于普遍存在的问题进行课堂讲解和讨论，帮助学生加深理解和记忆。

通过上述的作业设计旨在全面、系统地提升学生的垂径定理理解和应用能力。

同时，它还鼓励学生进行独立思考和自主学习，培养学生的问题解决能力和创新思维。

3.3 垂径定理同步训练2024-2025学年浙教版数学九年级上册一、单选题1．下列说法正确的是（）A．长度相等的弧叫等弧B．平分弦的直径一定垂直于该弦C．三角形的外心是三条角平分线的交点D．不在同一直线上的三个点确定一个圆2．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．7cm B．5cm C．4cm D．3.5cm3．点P为⊙O内一点，且OP=4，若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为（）．A．12B．2√30C．8D．10.54．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD=3cm，则截面圆中弦AB的长为（）A．√34cm B．8cm C．√21cm D．2√21cm 5．下列说法正确的数量为（）（1）三角形的外心到三角形三顶点距离相等（2）一组对边平行的四边形是梯形（3）垂直平分弦的直径垂直平分弦所对的弧A．0B．1C．2D．36．⊙O的直径是15cm，CD经过圆心O，与⊙O交于C、D两点，垂直弦AB于M，且OM：OC=3 ：5，则AB=（）A．24cm B．12cm C．6cm D．3cm7．已知⊙O的半径为2cm，弦AB长为2cm，则这条弦的中点到弦所对优弧中点的距离为()A．2cm B．√3cm C．(2－√3)cm D．(2＋√3)cm 8．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB，连接OA，CB，已知⊙O的半径为2√3，AB＝2，则⊙BCD等于A．20°B．30°C．60°D．70°二、填空题9．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．10．一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1.2m，则水面下降了m．第1页共6页◎第2页共6页11．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊙AB，AC⊙OB，则⊙BOC的度数为．12．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为点D．如果AB=10cm，CD=3cm，那么⊙O的半径是cm．13．如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中，弦CD的长度始终保持不变，点M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若CD=3，AB=5，则PM的最大值是 .三、解答题14．估计如图中三段弧的半径的大小关系，再用圆规检验你的结论．15．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=12米，拱高CD=9米，求圆的半径．16．如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2米的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2m，1m，0.8m的箱子能放进储藏室吗？请说明理由．17．如图，在△ABC中，已知⊙ACB=130°，⊙BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB 为半径的圆交AB于点D，求弦BD的长18．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C．(1)用尺规作图法，找出弧BC所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；第3页共6页◎第4页共6页(2)设△ABC是等腰三角形，底边BC=24cm，腰AB=13cm，求圆片的半径R．第5页共6页◎第6页共6页。

九年级数学：垂径定理练习(第2课时)（含答案）1．平分弦(____________)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧．2．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．3．垂径定理解读：(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项,则必具备另外三项．A组基础训练1．下列命题正确的有( )①垂直于弦的直径平分弦②平分弦的直径必垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧③平分弦的直线必过圆心④弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图,⊙O的弦AB＝8,M是AB的中点,且OM＝3,则⊙O的半径等于( )A．8 B．2 C．10 D．5第2题图3．如图,已知⊙O的半径为2cm,弦AB长23cm,则这条弦的中点C到弦所对劣弧的中点D 的距离为( )第3题图A ．1cmB ．2cm C.2cm D.3cm4．如图,一条公路弯道处是一段圆弧AB ︵,点O 是这条弧所在圆的圆心,C 是AB ︵的中点,OC 与AB 相交于点D.已知AB ＝120m ,CD ＝20m ,那么这段弯道的半径为( )第4题图A ．200mB ．2003mC ．100mD ．1003m5．如图,AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,AB 与CD 相交于点E.若要得到结论AB⊥CD ,还需添加的条件是________________________________．(不添加其他辅助线)第5题图6.如图,AB ,CD 是⊙O 的直径,D 是AE ︵的中点,AE 与CD 交于点F ,若OF ＝3,则BE 的长为________．第6题图7．如图所示,AB 是半圆的直径,O 是圆心,C 是半圆上一点,E 是AC ︵的中点,OE 交弦AC 于点D.若AC ＝8cm ,DE ＝2cm ,则OD 的长为________．第7题图8.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(10,0),点B 的坐标为(8,0),点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形,则点C 的坐标为________．第8题图9．如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB＝AC＝13,BC＝24,求⊙O的半径．第9题图10．(绍兴中考)如图1,小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,图2是它的截面图,垂直放置的脸盆与架子的交点为A,B,AB＝40cm,脸盆的最低点C到AB的距离为10cm,求该脸盆的半径．第10题图B组自主提高11．如图所示,某游乐场的摩天轮⊙P的最高处A到地面l的距离是23m,最低处B到地面l的距离是3m,从B处乘摩天轮绕一周需3分钟,小明从B处乘摩天轮一周的过程中,当他到地面l的距离恰好是18m的时候应为第________分钟．第11题图11．如图,AB ,CD 是半径为5的⊙O 的两条弦,AB ＝8,CD ＝6,MN 是直径,AB ⊥MN 于点E ,CD ⊥MN 于点F ,P 为EF 上的任意一点,则PA ＋PC 的最小值为________．第12题图13．已知：如图,A 、B 、C 为⊙O 上三点,点D 、E 分别为AB ︵、AC ︵的中点,连结DE ,分别交AB 、AC 于点F 、G ,求证：AF ＝AG.第13题图C 组 综合运用14．如图,隧道的截面由圆弧AED 和矩形ABCD 构成,矩形的长BC 为12m ,宽AB 为3m ,隧道的顶端E (圆弧AED 的中点)高出道路(BC )7m.(1)求圆弧AED 所在圆的半径；(2)如果该隧道内设双行道,现有一辆超高货运卡车高6.5m ,宽2.3m ,问这辆货运卡车能否通过该隧道．第14题图3．3 垂径定理(第2课时)【课堂笔记】1．不是直径【课时训练】1－4.BDAC5．CE ＝DE 或AC ︵＝AD ︵或BC ︵＝BD ︵6．67．3cm8．(1,3)9．连结OA 交BC 于点D,连结OC,OB,∵AB ＝AC ＝13,∴AB ︵＝AC ︵,∴∠AOB ＝∠AOC ,∵OB ＝OC,∴AO ⊥BC,CD ＝12BC ＝12.在Rt △ACD 中,AC ＝13,CD ＝12,所以AD ＝132－122＝5,设⊙O 的半径为r,则在Rt △OCD 中,OD ＝r －5,CD ＝12,OC ＝r,所以(r －5)2＋122＝r 2,计算得出r ＝16.9.答：⊙O 的半径为16.9.第10题图10．如图,设圆的圆心为O,连结OA,OC,OC 与AB 交于点D,设⊙O 半径为R,∵OC ⊥AB,∴AD ＝DB ＝12AB ＝20,∠ADO ＝90°,在Rt △AOD 中,∵OA 2＝OD 2＋AD 2,∴R 2＝202＋(R －10)2,∴R ＝25,即该脸盆的半径为25cm.11．1或212．7 2第13题图13．连OD、OE,交AB、AC于M、N,∵OD＝OE＝r,∴∠ODE＝∠OED,而D,E分别为弧AB,弧AC的中点,∴OD、OE分别垂直于AB、AC,则有∠DFB＝∠EGC,∴∠AFG＝∠AGF,∴AF＝AG.14．(1)设圆心为点O,半径为R,连结OE交AD于F点,连结OA,OD,由垂径定理,得OF垂直平分AD,AF＝6,OF＝R－(7－3)＝R－4,由勾股定理,得AF2＋OF2＝OA2,即：62＋(R－4)2＝R2,解得R＝6.5米；(2)能通过,但要小心．车宽GH＝2.3,圆的半径OH＝6.5,由勾股定理,得OG＝ 6.52－2.32≈6.08,G点与BC的距离为7－6.5＋6.08＝6.58＞6.5；能通过．第14题图。

3.3 垂径定理一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B(8,0)，C(0,6)，则⊙A的半径为 ( )A. 3B. 4C. 5D. 82. 如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=( )A. 5B. 7C. 9D. 113. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=6 cm，OD=4 cm，则DC的长为( )A. 5 cmB. √3 cmC. 2 cmD. 1 cm4. 如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为 ( )A. 3B. 4C. 3√2D. 4√25. 在半径为13的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=24，则油的最大深度CD为( )A. 7B. 8C. 9D. 106. 如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为 ( )A. 2B. 4C. 6D. 87. 如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是 ( )A. 6B. 5C. 4D. 38. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是 ( )．A. 第①块B. 第②块C. 第③块D. 第④块9. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M(0,2)，N(0,8)两点，则点P的坐标是( )A. (5,3)B. (3,5)C. (5,4)D. (4,5)10. 如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F，若AC=4，则OF的长为 ( )C. 2D. 4A. 1B. 32二、填空题（共10小题；共50分）11. 过圆上一点引两条相互垂直的弦，若圆心到两条弦的距离分别是2和3，则这两条弦长分别是．12. 如图，AB是⨀O的直径，C，D是⨀O上两点，CD⊥AB，若∠DAB=65∘，则∠OCD=．13. 如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r上r下.（填“>”，“=”，“<”）14. 如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时最深为米．15. 如图，在△ABC中，已知∠ACB=130∘，∠BAC=20∘，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为．16. 如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为cm．17. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何?”用数学语言可表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，直径CD的长为寸．18. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=．19. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB .点P是半径OB上任意一点，连接AP .若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是cm（写出一个符合条件的数值即可）．20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P与y轴相切于点C，⊙P的半径是4，直线y=x被⊙P截得的弦AB的长为4√3，则点P的坐标为．三、解答题（共3小题；共39分）21. 市政府欲在一新建广场修建一个圆形大花坛，并在大花坛内的点M处建一个亭子，经过亭子，要修一条通过大花坛的笔直的小路．Ⅰ如何设计小路，才能使亭子M位于小路的中点处?请在图中画出表示小路的线段．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）Ⅱ花坛的直径为30米，花坛中心O到亭子M的距离为10米，则小路有多长?22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A(2,3)为圆心的⊙A交x轴于点B，C，BC=8，求⊙A的半径．23. 如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AM⊥CD于M，BN⊥CD于N．Ⅰ求证：CM=DN．Ⅱ若AB=10，CD=8，求BN−AM的值．答案第一部分1. C2. A3. D4. C5. B6. D7. B8. B9. D 10. C第二部分11. 6；412. 40∘13. <14. 0.415. 2√316. 2517. 2618. 4−√719. 620. P(4,4+2√第三部分21. （1）如图线段AB即为所求.（2）连接OA .∵AB⊥OM，∴AB=2AM .在△AOM中，由勾股定理，得AM=√OA2−OM2=√225−100=5√5 . ∴小路长10√5米．22.如图，作AD⊥BC于点D．连接AB．∴BD=12BC=4．∵点A的坐标是(2,3)，∴AD=3．在Rt△ABD中，AB=√BD2+AD2=5，∴⊙A的半径为5．23. （1）过O作OH⊥CD于H，连接MO并延长MO交BN于Mʹ．∵OH⊥CD，根据垂径定理可得CH=HD．∵AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，∴AM∥BMʹ．∴∠AMO=∠BMʹO．在△AMO和△BMʹO中，{∠AMO=∠BMʹO,∠AOM=∠BOMʹ, AO=BO,∴△AMO≌△BMʹO．∴MO=MʹO．∵OH∥BN，∴MH=HN．∴CM=CH−MH=DH−HN=DN，即CM=DN．（2）连接OC．∵AB=10，CD=8，∴半径OC=5，CH=12CD=4，∴根据勾股定理得OH=√OC2−CH2=3．∵由（1）可得AM=BMʹ，∴BN−AM=BN−BMʹ=MʹN=2OH=2×3=6．。

浙教新版九年级上册《3.3垂径定理》2024年同步练习卷（4）一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，已知的直径于点E，则下列结论一定错误的是()A.B.C.D.≌2.如图，AB是的直径，弦于点E，，，则A.8B.5C.3D.23.如图，AB，BC是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则AB的长为()A.B.C.4D.54.如图，的直径，AB是的弦，，垂足为若OM：：5，则AB的长为()A.8B.12C.15D.165.如图，在半径为5的中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则OP的长为()A.3B.4C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

6.如图，AB、AC、BC都是的弦，，，垂足分别为M、N，若，则BC的长为______.7.如图，已知AB是半圆O的直径，弦，，，则BC的长为______.8.如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，于D，过点O作交半圆O于点E，过点E作于若，则OF的长为__________.9.如图，在中，弦，点C在AB上移动，连接OC，过点C作，交于点D，则CD长的最大值为______.三、解答题：本题共4小题，共32分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

10.本小题8分已知：如图，AB是的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且求证：11.本小题8分如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为，顶棚到路面的距离是，点B到路面的距离为请求出路面CD的宽度．精确到12.本小题8分如图，OD是的半径，AB是弦，且于点C连接AO并延长交于点E，若，，求半径OA的长．13.本小题8分如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，，米，于点E，此时测得OE：：求CD的长；如果水位以米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？答案和解析1.【答案】B【解析】解：的直径于点E，，，在和中，，≌，根据已知条件无法证明，故选：根据垂径定理得出，，再根据全等三角形的判定方法“AAS”即可证明≌本题考查了垂径定理的应用和全等三角形的判定，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2.【答案】A【解析】解：，AB是直径，，在中，，，故选：根据垂径定理推出，再利用勾股定理求出OE即可解决问题．本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3.【答案】A【解析】解：连接OB，，AO过O，，，，由勾股定理得：，，在中，由勾股定理得：，故选：根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，求出AD，再根据勾股定理求出AB即可．本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出BD长是解此题的关键．4.【答案】D【解析】解：连接OA，的直径，OM：：5，，，，，故选：连接OA，先根据的直径，OM：：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．作于M，于N，连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN 是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长．【解答】解：作于M，于N，连接OB、OD，由垂径定理、勾股定理得：，弦AB、CD互相垂直，，于M，于N，四边形MONP是矩形，，四边形MONP是正方形，故选：6.【答案】2【解析】解：，，垂足分别为M、N，OM过圆心O，ON过圆心O，，，，，，故答案为：根据垂径定理得出，，根据三角形的中位线性质得出，再求出BC即可．本题考查了三角形的中位线和垂径定理，能根据垂径定理求出和是解此题的关键．7.【答案】【解析】解：过点O作于H，分别过点C、D作于点E，于点F，连接OC，如图，则，在中，，，，，，，又，四边形HOEC是矩形，，，，，故答案为：过点O作于H，分别过点C、D作于点E，于点F，连接OC，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，根据题意推出四边形HOEC是矩形，根据矩形的性质及勾股定理即可得解．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．8.【答案】6【解析】【分析】本题考查了垂径定理、全等三角形的性质和判定等知识.熟练掌握垂径定理，证明≌是解决问题的关键．先根据垂径定理求出AD的长，再由AAS定理得出≌，推出即可求出答案．【解答】解：，，，，，，，，在和中，，≌，，故答案为：9.【答案】2【解析】解：，，，当OC的值最小时，CD的值最大，时，OC最小，此时D、B两点重合，，即CD的最大值为2，故答案为：根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当时，OC最小，根据垂径定理计算即可．本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．10.【答案】证明：如图，过点O作于点M，则又，【解析】本题考查了等腰三角形的性质及垂径定理．平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．如图，过点O作于点根据垂径定理得到然后利用等腰三角形“三线合一”的性质推知，故11.【答案】解：如图，连接OC，AB交CD于E，由题意知：，所以，，由题意可知：，过O，，在中，由勾股定理得：，，所以路面CD的宽度为【解析】连接OC，求出OC和OE，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理求出CD即可．本题考查了垂径定理和勾股定理，能求出CE的长是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．12.【答案】解：弦AB，，，设的半径，，在中，，解得：，【解析】先根据垂径定理求出AC的长，设的半径为r，在中利用勾股定理求出r的值．本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．13.【答案】解：直径米，米，，第11页，共11页，：：8，：：4，设米，则米，在中，由勾股定理得：，解得：负值已舍去，米，米；由得：米，如图，延长OE 交圆O 于点F ，米，小时，答：经过5小时桥洞会刚刚被灌满．【解析】设米，则米，由勾股定理求得DE 的长，即可得出结论；延长OE 交圆O 于点F ，求得EF 的长，即可解决问题．此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．。

3.3 垂径定理一、选择题1.的半径为4，那么垂直平分这条半径的弦长是A. B. C. 4 D.2.如图，AB是的直径，弦于点的半径为5cm，那么圆心O到弦CD的距离为A.B. 3cmC.D. 6cm3.在中，，弦，那么圆心O到AB的距离为A. 5B. 10C. 12D. 134.如图，在中，直径AB与弦CD垂直相交于点E，连结，假设，那么弦CD的长是A.B. 4C.D. 85.如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，那么弓形弦AB的长为A. 10cmB. 16cmC. 24cmD. 26cm6.如图，的半径是4，直线l与相交于A、B两点，M、N是上的两个动点，且在直线l的异侧，假设，那么四边形MANB面积的最大值是A.B.C.D.7.如图是某座桥的设计图，设计数据如下图，桥拱是圆弧形，那么桥拱的半径为A. 13mB. 15mC. 20 mD. 26m8.P为内一点，，如果的半径是2，那么过P点的最短弦长是A. 1B. 2C.D.9.如图是某石圆弧形劣弧拱桥，其中跨度米，拱高米，那么该圆弧的半径A. 8 米B. 12 米C. 13米D. 15 米10.的弦AB长为8厘米，弦AB的弦心距为3厘米，那么的直径等于A. 5厘米B. 8厘米C. 10厘米D. 12厘米11.的半径为2cm，弦AB长为2cm，那么这条弦的中点到弦所对优弧中点的距离为A. 2cmB.C.D.12.如图，在中，相等的弦AB、AC互相垂直，于于D，那么四边形OEAD为A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 平行四边形13.如图，圆O的直径为10cm，弦AB的长为是弦AB上一点，假设OP的长是整数，那么满足条件的点P有几个A. 8B. 7C. 6D. 5二、填空题14.如图，AB为的直径，AC为弦，于点交OC于点E，假设，那么______．15.16.半径为2的中，弦，弦，那么的度数为______ ．17.如图，的半径为5，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，假设，那么弦AB的长为______ ．18.19.20.如图，在半径为2的中，弦上存在点C，使得弦，那么______21.在直径为20的中，弦相互平行假设，那么弦之间的距离是______ ．三、计算题22.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，是AB上一点，，垂足为，求这段公路的半径．23.24.25.26.如图，的半径为2，弦，点C在弦AB上，，求OC的长．27.28.29.30.31.如图，AB是的直径，弦于点E，点P在上，且，弦PB与CD交于点F求证：；假设，求的直径．32.33.34.35.36.。

第十六讲 垂径定理3.3垂径定理【学习目标】1.掌握垂径定理及其推论；2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【基础知识】一、垂径定理 1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径 AC BC要点： 2.推论 定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 要点：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【考点剖析】例1．如图，在⊙O 中，C 为弦AB 上一点，AC ＝2，BC ＝6，⊙O 的半径为5，则OC ＝（ ）A ．13B ．4C ．3D ．23【答案】A 【解析】过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ，先根据垂径定理求出AD 的长，再由勾股定理求出OD 的长，在Rt △OCDCD ⊥ABAE=BE中根据勾股定理即可得出OC的长．解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵AC＝2，BC＝6，∴AB=8，∴AD=12AB=4，在Rt△AOD中，OA=5，AD=4，∴OD=22OA AD=3，在Rt△COD中，OD=3，CD=AD-AC=4-2=2，∴OC=，故选：A．．【点睛】此题考查圆的垂径定理，勾股定理，根据题意引出辅助线，利用垂径定理和勾股定理进行计算是解题的关键．例2．如图，两个以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．OH⊥AB于H，则图中相等的线段共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】D【解析】先根据OH⊥AB于点H可知，AH＝BH，CH＝DH，故可得出AC＝BD，AD＝BC，进而可得出结论．解：由垂径定理知，点H是AB的中点，也是CD的中点，则有CH＝HD，AH＝HB，所以AD＝BC，AC ＝BD．所以共有4组相等的线段．故选：D．【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键．例3．下列说法错误的是()A．垂直于弦的直径平分弦B．垂直于弦的直径平分弦所对的弧C．平分弦的直径平分弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦【答案】C【详解】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，故选项A、B正确；C中，当被平分的弦是直径时，平分弦的直径不一定平分弦所对的弧；D中，平分弧的直径垂直平分弧所对的弦正确.故选C.例4．如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB 交于点D，则AD的长为A ．95B ．C ．185D ．52【答案】C 【解析】如图，过C 作CM ⊥AB ，交AB 于点M ，由垂径定理可得M 为AD 的中点，∵ABC 11S AC BC AB CM 22∆=⋅=⋅，且AC=3，BC=4，AB=5， ∴12CM 5=．在Rt △ACM 中，根据勾股定理得：222AC AM CM =+，∴222128199AM AM AM 5255⎛⎫=+⇒=⇒= ⎪⎝⎭（舍去负值）． ∴18AD 2AM 5==．故选C ． 例5．如图，拱桥可以近似地看作直径为250m 的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB 长度为150m ，那么这些钢索中最长的一根的长度为（ ）A ．50mB ．40mC ．30mD ．25m 【答案】D 【解析】设圆弧的圆心为O ，过O 作OC ⊥AB 于C ，交AB 于D ，连接OA ，先由垂径定理得AC ＝BC ＝12AB ＝75m ，再由勾股定理求出OC ＝100m ，然后求出CD 的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为O ，过O 作OC ⊥AB 于C ，交AB 于D ，连接OA ， 则OA ＝OD ＝12×250＝125（m ），AC ＝BC ＝12AB ＝12×150＝75（m ）， ∴OC ＝22OA AC -＝2212575-＝100（m ），∴CD ＝OD ﹣OC ＝125﹣100＝25（m ），即这些钢索中最长的一根为25m ， 故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．例6．如图，在圆O 中，弦AB=4，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交圆O 于点D ，则CD 的最大值为 （ ）A ．22B ．2C ．32D ．【答案】B 【解析】连接OD ，利用勾股定理得到CD ，利用垂线段最短得到当OC ⊥AB 时，OC 最小，根据垂径定理计算即可．【详解】连接OD ，如图，设圆O 的半径为r ， ∵CD ⊥OC ， ∴∠DCO=90°， ∴CD=2222OD OC r OC -=-，∴当OC 的值最小时，CD 的值最大，而OC ⊥AB 时，OC 最小， 此时D 、B 重合，则由垂径定理可得：CD=CB=AC=12AB=2， ∴CD 的最大值为2. 故答案为：2．【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，作辅助线构造直角三角形应用勾股定理，并熟记垂径定理内容是解题的关键.例7．如图，在平面直角坐标系中，P 的圆心是，半径为3，函数y x =的图象被P 截得的弦AB的长为42a 的值是（ ） A ．23B ．22+C ．22D ．32+【答案】D【解析】PC ⊥x 轴于C ，交AB 于D ，作PE ⊥AB 于E ，连结PB ，由于OC=3，PC=a ，易得D 点坐标为（3，3），则△OCD 为等腰直角三角形，△PED 也为等腰直角三角形．由PE ⊥AB ，根据垂径定理得AE=BE=122在Rt △PBE 中，利用勾股定理可计算出PE=1，则22所以2 【详解】过P 作PC x ⊥轴于点C ，交AB 于点D ，作于点E ，连接PB ，如图．的圆心坐标是(3,),3,a OC PC a ∴==， 把3x =代入y x =得3y =， D ∴点坐标为，OCD ∴为等腰直角三角形， PED ∴也为等腰直角三角形．,PE AB ⊥1222AE BE AB ∴===， 在Rt PBE △中，3,PB = ，32a ∴=+．故选D ． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．例8．如图，⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，垂足为点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接BE ，CE ．若AB =8，CD =2，则△BCE 的面积为（ ）A ．12B ．15C ．16D ．18【答案】A 【详解】∵⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，垂足为点C ，AB=8，∴AC=BC=12AB=4． 设OA=r ，则OC=r ﹣2， 在Rt △AOC 中，∵AC 2+OC 2=OA 2，即42+（r ﹣2）2=r 2，解得r=5， ∴AE=10，∴BE=22221086AE AB -=-= ，∴△BCE 的面积=12BC•BE=12×4×6=12． 故选A ．例9．如图，点P 是等边三角形ABC 外接圆⊙O 上的点，在以下判断中，不正确的是A ．当弦PB 最长时，ΔAPC 是等腰三角形 B ．当ΔAPC 是等腰三角形时，PO ⊥AC C ．当PO ⊥AC 时，∠ACP=30°D ．当∠ACP=30°时，ΔPBC 是直角三角形 【答案】C 【解析】根据圆和等边三角形的性质逐一作出判断 【详解】当弦PB 最长时，PB 是⊙O 的直径，所以根据等边三角形的性质，BP 垂直平分AC ，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得PA=PC ，即ΔAPC 是等腰三角形，判断A 正确；当ΔAPC 是等腰三角形时，根据垂径定理，得PO ⊥AC ，判断B 正确；当PO ⊥AC 时，若点P 在劣弧AC 上，则∠ACP=30°，若点P 在优弧AC 上，则点P 与点B 重合，∠ACP=60°，则∠ACP=60°，判断C 错误； 当∠ACP=30°时，∠ABP=∠ACP=30°，又∠ABC=60°，从而∠PBC=30°；又∠BPC=∠BAC=60°，所以，∠BCP=90°，即ΔPBC 是直角三角形，判断D 正确． 故选C ．例10．如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，，则BOC ∠的度数为（ ）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】D 【解析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC=∠OCA=∠AOC ，得出△OAC 是等腰三角形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可． 【详解】解：如图，∵， ∴．∵AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ， ∴AC BC =． ∴． 故选D ．【点睛】本题考查垂径定理，解题关键证明AC BC =.例11．如图，在半径为3的O 中，B 是劣弧AC 的中点，连接AB 并延长到D .使BD AB =，连接AC 、BC 、CD ，如果2AB =，那么CD 等于（ ） A ．2 B ．1C ．23D ．43【答案】D 【解析】BD AB =，BC AB =，得ACD 是直角三角形，以AB 为底1h 为高和以BO 为底2h 为高都等于2ABO S，12AB h BO h ⨯=⨯，221()222AB h AO =-=122224233AB h h BO ⨯⨯===28223AC h =⨯=，2243CD AD AC =- 【详解】解：∵BD AB =，BC AB =， ∴ACD 是直角三角形，设AOB 以AB 为底的高为1h ,BO 为底的高为2h ， ∴221()2AB h AO =-， ∵3AO =，2AB =， ∴22123()222h =-=，∵以AB 为底1h 为高与AB 之积和以BO 为底2h 为高与BO 之积都等于2ABO S∴12AB h BO h ⨯=⨯， ∴122224233AB h h BO ⨯⨯===，∴28223AC h =⨯=，∴2243CD AD AC =-=.本题的答案是：D 【点睛】考查垂径定理和三角形中位线的性质的综合应用.例12．如图，在半圆O 中，直径4AB =，C 是半圆上一点，将弧AC 沿弦AC 折叠交AB 于D ，点E 是弧AD 的中点．连接OE ，则OE 的最小值为（ ）A 21B ．42-C 21D ．222【答案】D 【解析】把弧AEC 的圆补全为⊙F ，可知点F 与点O 关于AC 对称，求出∠F=90°，CE 长，OE 的最小值为EC-OC ．【详解】解：把弧AEC 的圆补全为⊙F ，可知点F 与点O 关于AC 对称，半径为2， ∴∠FCA=∠ACO ， ∵OA=OC ，∴∠ACO=∠CAO ， ∴∠FCA=∠CAO ，∴CF ∥AB ，∵E 是弧AD 的中点， ∴FE ⊥AB ，∴∠F=∠BGE=90°， ∵FC=FE=2， ∴EC=22， ∵OE≥EC -OC 即OE≥22-2，OE 的最小值为222-，故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题关键是通过作辅助线,根据三角形三边关系确定OE 的取值范围．【过关检测】一、单选题1．如图所示，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，那么下列结论中，错误的是（ ）A ．CE DE =B ．BC BD =C ．D ．AC AD >【答案】D 【解析】根据垂径定理逐个判断即可． 【详解】解：AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 垂足为E ， 则AB 是垂直于弦CD 的直径，就满足垂径定理． 因而CE ＝DE ，BC BD =，∠BAC ＝∠BAD 都是正确的．根据条件可以得到AB 是CD 的垂直平分线，因而AC ＝AD ．所以D 是错误的． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查的是对垂径定理的记忆与理解．2．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，，则AE 的长为（ ）A ．2cmB ．8cmC ．16cmD ．18cm 【答案】D 【详解】解：∵弦CD AB ⊥于点E ，12cm CD =，∴16(cm)2CE CD ==．在Rt OCE 中，，∴，∴． 3．往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）A ．8cmB ．10cmC ．14cmD ．16cm 【答案】D 【解析】连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，先由垂径定理求出BD 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而可得出CD 的长． 【详解】解：连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，如图所示：∵AB =48cm ， ∴BD =12AB =12×48=24（cm ）， ∵⊙O 的直径为52cm ，∴OB =OC =26cm ，在Rt △OBD 中，（cm ），∴CD =OC -OD =26-10=16（cm ）， 故选：D ． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 4．CD 是圆O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，若OE =3，AE =4，则下列说法正确的是（ ）A ．AC 的长为B ．CE 的长为3C ．CD 的长为12 D ．AD 的长为10 【答案】A 【解析】连接AO ，分别在Rt △AOE 中，Rt △ACE 中，Rt △ADE 中，根据勾股定理即可求得相应线段的长度，依此判断即可． 【详解】解：连接AO ，∵AB ⊥CD 于点E ，OE =3，AE =4， ∴在Rt △AOE 中，根据勾股定理5AO ==,∵CD 为圆O 的直径， ∴OC=OD=OA=5，∴CD=10，CE=OC-OE=2，故B 选项和C 选项错误； 在Rt △ACE 中，根据勾股定理 ，故A 选项正确；在Rt △ADE 中，根据勾股定理AD ===D 选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理，同圆半径相等．正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．注意圆中半径相等这一隐含条件． 5．如图，在O 中，弦//AB CD ，OP CD ⊥，OM MN =，18AB =，12CD =，则O 的半径为（ ） A ．4B ．42C ．46D ．43【答案】C 【解析】连接OA ，OC ，根据垂径定理得CN =6，AM =9，设O 的半径为x ，根据勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：连接OA ，OC ，∵//AB CD ，OP CD ⊥， ∴OP AB ⊥，∵18AB =，12CD =， ∴CN =6，AM =9， 设O 的半径为x ， ∵OM MN =， 2222629x x -=-46x =46-经检验是方程的根，且符合题意， ∴O 的半径为46故选C ． 【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．6．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点F ，OE AC ⊥于点E ，若3OE =，5OB =，则CD 的长度是（ ） A ．9.6 B ．45C ．53D ．19【答案】A 【解析】先利用垂径定理得出AE =EC ，CF =FD ，再利用勾股定理列方程即可【详解】 解：连接OC∵AB ⊥CD , OE ⊥AC ∴ AE =EC ，CF =FD ∵OE =3，OB =5 ∴OB =OC =OA =5 ∴在Rt △OAE 中∴AE =EC =4设OF =x ，则有2222AC AF OC OF -=-x =1.4在Rt △OFC 中， ∴29.6CD FC == 故选：A 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键 7．如图，已知O 的半径为5，弦8,AB P =为AB 上的动点（不与端点,A B 重合），若线段OP 的长为正整数，则满足条件的点P 的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个【答案】C 【详解】当P 为AB 的中点时，由垂径定理可知此时OP 最短．O 的半径为5，弦8,AB =∴此时3OP =；当点P 与点A 或点B 重合时，此时OP 最长，5,35OP OP =∴≤<．3OP ∴=或4，根据圆的对称性可知，满足条件的点P 的个数有3个．8．如图，,,AB AC BC 都是O 的弦，,OM AB ON AC ⊥⊥，垂足分别为M ，N ，若2MN =，则BC 的值为（ ）A ．3.5B ．2C ．3D ．4【答案】D 【详解】根据垂径定理，得M ，N 分别是AB 与AC 的中点，故MN 是ABC 的中位线，由三角形的中位线定理得24BC MN ==． 9．如图，在半径为5的O 中，半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ，连接EC EB 、．若2CD =，则EC 的长为（ ）A ．B ．8C ．D ．【答案】D 【解析】由垂径定理和勾股定理得4AC BC ==，再证OC 是△ABE 的中位线，得26BE OC ==，然后由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵⊙O 的半径为5， ∴OA ＝OD ＝5， ∵CD ＝2，∴3OC OD CD =-=， ∵OD ⊥AB ， ∴，∵OA ＝OE ，∴OC 是△ABE 的中位线， ∴BE ＝2OC ＝6， ∴，故选：D ． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．10．如图，矩形ABCD 中，60AB =，45AD =，P ，Q 分别是AB ，AD 边上的动点，52PQ =，以PQ 为直径的O 与BD 交于点M ，N ．则MN 的最大值为（ ）．A ．48B ．45C ．42D ．40 【答案】A 【解析】过A 点作AH ⊥BD 于H ，连接OM ，如图，先利用勾股定理计算出BD =75，则利用面积法可计算出AH =36，再证明点O 在AH 上时，OH 最短，此时HM 有最大值，最大值为24，然后根据垂径定理可判断MN 的最大值． 【详解】解：过A 点作AH ⊥BD 于H ，连接OM ，如图，在Rt △ABD 中，BD 75==，∵12×AH ×BD =12×AD ×AB ， ∴AH ==36， ∵⊙O 的半径为522=26， ∴点O 在AH 上时，OH 最短，∵HM∴此时HM有最大值，最大值为：24，∵OH⊥MN，∴MN=2MH，∴MN的最大值为2×24=48．故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了矩形的性质和勾股定理．11．如图，在⊙O中，∠AOB+∠COD=180°，弦CD=6，OE⊥AB于点E．则OE的长为（）A．3 B．C．D．6【答案】A【解析】过O作OF⊥CD于F，由OC=OD，由三线合一可得CF=DF=132CD=，∠COF=∠DOF=12COD∠，由OE⊥AB，OA=OB，由三线合一AE=BE，∠AOE=∠BOE=12AOB∠，可得∠COF+∠AOE90=︒，由∠AOE+∠EAO=90°，可得∠EAO=∠COF，可证△AOE≌△OCF（AAS）可得OE=CF=3即可．【详解】解：过O作OF⊥CD于F，∵OC=OD，∴CF=DF=116322CD=⨯=，∠COF=∠DOF=12COD∠∵OE⊥AB，OA=OB，∴AE=BE，∠AOE=∠BOE=12AOB ∠，∴∠COF+∠AOE =12COD∠+12AOB∠=，又∵∠AOE+∠EAO=90°，∴∠EAO=∠COF，在△AOE和△OCF中，，∴△AOE≌△OCF（AAS），∴OE=CF=3．故选择：A．【点睛】本题考查等腰三角形性质，互余角性质，三角形全等判定与性质，圆的性质掌握等腰三角形性质，互余角性质，三角形全等判定与性质，圆的性质是解题关键．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DF//AB 分别交三个半圆于点D，E，F．若，AC+BC＝15，则阴影部分的面积为（）A ．16B ．20C ．25D ．30【答案】C 【解析】连接AF ，BD ，先证明四边形ABDF 是矩形，然后由垂径定理，矩形的性质，勾股定理，表示出相应的线段长度，结合AC +BC ＝15，求出k 的值，得到各个扇形的半径，再利用间接法求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接AF ，BD ，如图，∵AC 、BC 是直径， ∴∠AFC =90°，∠BDC =90°， ∵DF //AB ，∴四边形ABDF 是矩形， ∴AB =FD ；取AB 的中点O ，作OG ⊥FD ， ∵，则设10DF k =，6CE k =，由垂径定理，则132CG CE k ==， ∴5OC OA OB k ===，∴4OG k =，，2CF DE k ==，由勾股定理，则AC ==，，∵AC +BC ＝15，∴15+=，∴k =；∴5AC =，10BC =，AB DF == ∴阴影部分的面积为 ∴； 故选：C ． 【点睛】本题考查了垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，以及求不规则图形的面积，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而求出线段的长度，进而求出面积．二、填空题13．如图，⊙O 的直径CD ＝20，AB 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为M ，若CM ＝4，则AB 的长为_____．【答案】16【解析】连接OA，根据勾股定理求出AM，根据垂径定理求出AB＝2AM．【详解】解：连接OA，∵⊙O的直径CD＝20，∴OA＝OC＝10，∵CM＝4，∴OM＝10﹣4＝6，在Rt OAM中，由勾股定理得：AM8，∴由垂径定理得：AB＝2AM＝16．故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是构造直角三角形．14．如图，在残破的圆形工件上量得一条弦BC＝16，BC的中点D到BC的距离ED＝4，则这个圆形工件的半径是_____．【答案】10．【解析】由DE⊥BC，DE平分弧BC，根据垂径定理的推论得到圆心在直线DE上，设圆心为O，连结OB，设圆的半径为R，根据垂径定理得BE＝CE＝12BC＝8，然后根据勾股定理得到R2＝82+（R﹣4）2，再解方程即可．【详解】∵DE⊥BC，DE平分弧BC，∴圆心在直线DE上，设圆心为O，如图，连结OB，设圆的半径为R，则OE＝R﹣4，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝12BC＝12×16＝8，在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝82+（R﹣4）2，解得R＝10，即这个圆形工件的半径是10．故答案为10【点睛】本题考查了垂径定理的应用：垂径定理的应用很广泛，常见的有：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．15．过O内一点N的最长弦为6，最短的弦长为4，那么ON的长为=_________【解析】根据圆中的概念，首先应明确过一点圆中最长的弦是过这点的直径，最短的弦是垂直于这点和圆心的连线的弦，从而根据垂径定理和勾股定理进行计算．【详解】解：如图所示，直径AB是过点N的最长的弦，过点N作弦CD⊥AB，则CD是过点N的最短的弦，连接OC．∵ON⊥CD，∴CN＝12CD＝2，∵OC＝3，∴ON=，【点睛】此题考查了垂径定理和勾股定理，难点在于弄清过圆内一点的最长的弦和最短的弦．16．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为____．【答案】cm【解析】设OB=rcm，由于刻度尺的宽为2cm，所以OC=r-2，再根据另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”可求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出r的值．【详解】根据题意获得下图：设OB=r cm，∵刻度尺的宽为2cm，∴OC=r-2，∵另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”，∴BC=12×6=3，在Rt△OBC中，∵OB2=OC2+BC2，即r2=（r-2）2+32，解得r= cm．故答案为cm．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意得出BC=3是解答此题的关键．17．如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=12∠BOD,则⊙O的半径为___.【答案】5 【解析】先根据∠BAC=12∠BOD可得出弧BC=弧BD，故可得出AB⊥CD，由垂径定理即可求出DE的长，再根据勾股定理即可得出结论．【详解】∵∠BAC=12∠BOD，∴弧BC=弧BD，∴AB⊥CD，∵AE=CD=8，∴DE=12CD=4，设OD=r，则OE=AE−r=8−r，在Rt△ODE中，OD=r，DE=4，OE=8−r，∵OD=DE+OE,即r=4+(8−r) ，解得r=5.故答案为5.【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，解题关键在于得出AB⊥CD.18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P P的坐标为_______.【答案】（3，2）．【解析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．【详解】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，∵A（6，0），PD⊥OA，∴OD=12OA=3，在Rt△OPD中∵OD=3，∴PD=2∴P(3，2) .故答案为（3，2）．【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．19．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝2cm，则球的半径为____cm．【答案】5 4【解析】首先找到EF 的中点M ，作MN ⊥AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ，设OF ＝x ，则OM 是2﹣x ，MF ＝1，然后在直角三角形MOF 中利用勾股定理求得OF 的长即可． 【详解】解：EF 的中点M ，作MN ⊥AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝∠D ＝90°，∴四边形CDMN 是矩形， ∴MN ＝CD ＝2设OF ＝x ，则ON ＝OF ，∴OM ＝MN ﹣ON ＝2﹣x ，MF ＝1，在直角三角形OMF 中，OM 2+MF 2＝OF 2， 即：（2﹣x ）2+12＝x 2，解得：x ＝54， 故答案为：54．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．20．如图，AB 是⊙o 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD=8cm ,那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为__________.【答案】6cm. 【解析】试题分析：过O 作OG ⊥CD 于G ，连接OC ，如图所示，∵OG ⊥CD ，CD=8cm ，∴G 为CD 的中点，即CG=DG=4cm ，在Rt △OCG 中，OC=12AB=5cm ，CG=4cm ，根据勾股定理得：=3cm ， 又AE ⊥EF ，OG ⊥EF ，BF ⊥EF ，∴AE ∥OG ∥BF ，又O 为AB 的中点，∴G 为EF 的中点，即OG 为梯形AEFB 的中位线，∴OG=12（AE+BF ），则AE+BF=2OG=6cm ．故答案为6cm ．考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．梯形中位线定理． 21．O 的半径为13cm ，AB 、CD 是O 的两条弦，．，10cm CD =，则AB 和CD 之间的距离为______ 【答案】7cm 或17cm 【解析】作OE ⊥AB 于E ，交CD 于F ，连结OA 、OC ，如图，根据平行线的性质得OF ⊥CD ，再利用垂径定理得到AE ＝12，CF ＝5，然后根据勾股定理，在Rt △OAE 中计算出OE ＝5，在Rt △OCF 中计算出OF ＝12，再分类讨论：当圆心O 在AB 与CD 之间时，EF ＝OF ＋OE ；当圆心O 不在AB 与CD 之间时，EF ＝OF−OE ． 【详解】解：作OE ⊥AB 于E ，交CD 于F ，连结OA 、OC ，如图，∵AB ∥CD ， ∴OF ⊥CD ，∴AE ＝BE ＝12AB ＝12，CF ＝DF ＝12CD ＝5， 在Rt △OAE 中，∵OA ＝13，AE ＝12，∴OE ，在Rt △OCF 中，∵OC ＝13，CF ＝5，∴OF ，当圆心O 在AB 与CD 之间时，EF ＝OF ＋OE ＝12＋5＝17； 当圆心O 不在AB 与CD 之间时，EF ＝OF−OE ＝12−5＝7； 即AB 和CD 之间的距离为7cm 或17cm ． 故答案为：7cm 或17cm ． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和分类讨论的数学思想．22．如图，AB 、CD 是半径为5的O 的两条弦，8AB =，6CD =，MN 是直 径，AB MN ⊥于点E ，CD MN ⊥于点FPC ，P 为EF 上的任意一点，则PA PC +的最小值为____.【答案】【解析】A 、B 两点关于MN 对称，因而PA+PC=PB+PC ，即当B 、C 、P 在一条直线上时，PA+PC 的最小，即BC 的值就是PA+PC 的最小值 【详解】连接OA ，OB ，OC ，作CH 垂直于AB 于H ．根据垂径定理，得到BE= 114,322BE AB CF CD ====4OF ===∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH 中根据勾股定理得到则PA+PC 的最小值为【点睛】正确理解BC 的长是PA+PC 的最小值，是解决本题的关键．三、解答题23．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长．【答案】8【解析】连接OB ，先根据垂径定理求出BM=12AB ，再根据勾股定理求出BM 的值，从而求出AB 的长度． 【详解】解：连接OB ，则OB ＝12×10＝5， ∵OM ⊥AB ，OM 过O ， ∴AB ＝2AM ＝2BM ，在Rt △OMB 中，由勾股定理得：BM 4， ∴AB ＝2BM ＝8． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，通过连接OA 构造直角三角形进而利用勾股定理求解．24．已知：如图，在O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD AB ⊥，垂足为E.求证：AE EB =，AC BC =，.【答案】详见解析 【解析】连接OA ，OB ，则OA OB =.然后根据轴对称的性质解答即可. 【详解】证明：如图，连接OA ，OB ，则OA OB =.又CD AB ⊥，直线CD 是等腰OAB 的对称轴，又是O 的对称轴.沿着直径CD 所在直线折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，A 点和B 点重合，AE 和BE 重合，AC 和BC ，AD 和BD 分别重合.，AC BC =，【点睛】本题考查了垂径定理的应用，解此题的关键是能正确理解定理的内容，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的每一条弧． 25．如图，P 是⊙O 外一点，PA 交⊙O 于点B ，PD 交⊙O 于点C ，且∠APO=∠DPO. 弦AB 与CD 相等吗？为什么？【答案】AB=CD. 【解析】过O 点分别作AB 和CD 的垂线，交点分别为E 和F ，连接AO 和DO.由垂径定理可得OE 和OF 分别是AB 和CD 的垂直平分线；证明△PEO ≌△PFO 得OE=OF ，再证△AEO ≌△DFO 得AE=DF 即可. 【详解】 解：AB=CD.证明：过O 点分别作AB 和CD 的垂线，交点分别为E 和F ，连接AO 和DO ，∵∠OEP=∠OFP=90°，∠APO=∠DPO ，PO=PO,∴△PEO ≌△PFO ，∴OE=OF ，∵OE 为弦AB 的垂线，OF 为弦CD 的垂线，∴AE=EB ，DF=CF ，、∵AO=DO ，∴△AEO ≌△DFO ，∴AE=DF ，∴AB=2AE=2DF=CD ，即AB=CD.【点睛】本题结合三角形全等综合考察了垂径定理的知识.26．如图所示，AB 是直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ，AC ＝CD ＝OP 的长．【答案】1.【解析】试题分析：连接OC ,利用垂径定理构造直角三角形，求出圆的半径OC ,再求OP .试题解析：解：连接OC ，∵AB 是直径，CD ⊥AB ，∴CP ＝12CD Rt △ACP 中，AP =3，∴OP ＝AP －AO ＝3－AO ＝3－OC ．在Rt △COP 中，OC 2＝OP 2＋CP 2，即OC 2＝(3－OC )2＋．解得OC ＝2．∴OP ＝3－2＝1．27．在直径为10cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽AB 为6cm ，当油面宽AB 为8cm 时，油上升了多少厘米？王源的解题步骤如下：[解]连接AO ，过点O 作OC AB ⊥于点C ．OC AB ⊥于点C ，且AB 为弦，12AC AB ∴=．当6cm AB =时，在Rt OAC △中，105cm,3cm,4cm 2OA AC OC ===∴==．当8cm AB =时，在Rt OAC 中，105cm,4cm,3cm 2OA AC OC ===∴==． 431(cm)∴-=．即油上升了1cm ．请问王源的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题步骤．【答案】王源的解题过程不正确．正确解题步骤见解析．油上升了1cm 或7cm ．【解析】连接AO ，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，根据垂径定理结合勾股定理求出当AB=6cm 和8cm 时OC 的长度，即可得出结论．【详解】王源的解题过程不正确．正确解题步骤如下：连接AO ，过点O 作OC AB ⊥于点C ，如图所示．∵OC AB ⊥于点C ，且AB 为弦，12AC AB ∴=．当6cm AB =时，在Rt OAC 中，5cm 3cm OA AC ==，，4cm OC ∴==；当8cm AB =时，在Rt OAC 中，5cm 4cm OA AC ==，，3cm OC ∴=．431(cm)∴-=或437(cm)+=．答：油上升了1cm 或7cm ．【点睛】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是求出OC 的长，根据OC 的变化来得出结论． 28．如图所示,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现有一宽3米,船顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?【答案】能通过【解析】先求出弧形所在圆的半径；根据船宽，在Rt △OCH 中，利用勾股定理可以求出此拱桥可以通过的船的高度，与船的实际高度比较一下就可以知道能否通过．【详解】解：AB=7.2米,CD=2.4米,EF=3米．D 为AB 、EF 的中点,且CD,ME,NF 均垂直于AB,MN 交CD 于H ．弧AB 所在的圆心为O,连接OA,ON ．设OA=r,则OD=OC-DC=r-2.4,AD=12AB=3.6 有OA 2=AD 2+OD 2即在Rt △OAD 中，r 2=3.62+（r-2.4）2∴r=3.9（米）在Rt △ONH 中，有 3.6=（米）．所以FN=DH=OH-OD=3.6-（3.9-2.4）=2.1（米）这里2米＜2.1米,故可以通过该桥．但是余量较小,要非常小心才好．故答案为能通过.【点睛】本题考查垂径定理的应用, 勾股定理，解本题的关键是求出此拱桥可以通过的船的高度，再与船的实际高度比较一下就可以知道能否通过．29．如图，AC 是O 的直径，弦BD AO ⊥于E ，连接BC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，若8BD cm =，2AE cm =，（1）求O 的半径；（2）求O 到弦BC 的距离．【答案】（1）O 的半径为5cm ；（2）O 到BC 【解析】（1）连接，设半径为r ，则2OE r =-，构建方程即可解决问题．（2）根据1122BCO S BC OF OC BE ∆=⋅=⋅，求解即可． 【详解】解：（1）连接，设半径为r ，则2OE r =-，AC 是O 的直径，弦BD AO ⊥于E ，8BD cm =，，在Rt OBE ∆中，222OE BE OB +=，222(2)4r r ∴-+=5r ∴=．（2）5r =， 10AC ∴=，8EC =，，OF BC ⊥，1122BCO S BC OF OC BE ∆∴=⋅=⋅54OF ∴=⨯，OF ∴=．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．30．已知：△AC 内接于⊙O ，D 是弧BC 上一点，OD ⊥BC ，垂足为 H.（1）如图 1，当圆心 O 在 AB 边上时，求证：AC=2OH ；（2）如图 2，当圆心 O 在△ABC 外部时，连接 AD 、CD ，AD 与 BC 交于点 P ．求证：∠ACD=∠APB ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）由OD ⊥BC 可知H 是BC 的中点，根据中位线的性质即可证明.（2）根据垂径定理可知BD =CD ，得∠BAD=∠DAC ，∠B=∠ADC ，根据三角形的内角和即可证明.【详解】（1）证明：∵OD ⊥BC ，∴BH=HC ，∴AC=2OH ．（1）证明：∵OD ⊥BC ，∴BD =CD ,∴∠BAD=∠DAC ，∵∠B=∠ADC ，∠APB+∠BAD+∠B=180°，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠APB=∠ACD ．【点睛】考查圆周角定理，三角形中位线性质，三角形内角和定理等，比较基础，难度不大.31．如图,,,,A B C D 在O 上,//AB CD 经过圆心O 的线段EF AB ⊥于点F ，与CD 交于点E .(1)如图1,当O 半径为5,CD =若EF BF =,求弦AB 的长;(2)如图2,当O ,CD =若OB OC ⊥,求弦AC 的长.【答案】(1)8 (2)【解析】(1)连接OB OC 、，根据垂径定理求出OE 的长，因为EF BF =，进而在Rt BOF ∆中根据勾股定理求出BF 长，所以求出AB 的长即可;(2) 连接AB ,过点D 作DM AC ⊥于点M ，根据勾股定理和垂径定理求出OE ，可以证明BFO OEC ∆∆≌,进而求出EF 的长，根据所做的辅助线DM AC ⊥，可得DMC ∆为等腰直角三角形，所以可以求出DM 的长，然后根据1122ADC S DC EF AC DM ∆=⨯⨯=⨯⨯，进而求出AC 的长； 【详解】解：(1) 连接OB OC 、，根据垂径定理求出OE 的长，即：,EF BF =,设BF x =，则1OF x =-，由勾股定理得：222BF OB OF =-,即：2225(1)x x =--，解得：4x =,;(2)连接AB ,过点D 作DM AC ⊥于点M ，如图所示：。

拓展训练2020年浙教版数学九年级上册 3.3 垂径定理第2课时基础闯关全练1．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连结OC并延长交⊙O于点D．若CD= 2，AB=8，则⊙O的直径是( )A. B. C.5 D.102．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C，则CD的长为________.3．如图，在⊙O中，M，N分别为弦AB，CD的中点，AB= CD，AB不平行于CD.求证：∠AMN=∠CNM．4．如图，BC为⊙O直径，交弦AD于点E，若B点为的中点，则下列说法错误的是( )A.AD⊥BCB.C.AE=DED.OE= BE5．如图，AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE= 1.5，则OE=________.6．如图所示，D、E分别是、的中点，DE交AB于M、交AC于N．求证：AM =AN．7．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1 400年，历经多次洪水冲击和地震却安然无恙．若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米．(1)尺规作图，在图①中找到桥弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹）；(2)如图②，求桥弧AB所在圆的半径.能力提升全练1．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为( )A．或B．或C．或D．或2．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为AC，BC长的等腰△ACM，等腰△BCN，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ= 12，AC+BC= 15，则AB的长是________．3．图①是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看，它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF，如图②；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3 cm．(1)已知⊙O的半径为2.6 cm，BC=2 cm，AB= 3.02 cm，EF= 3.12 cm．求香水瓶的高度h;(2)用一张长22 cm、宽19 cm的矩形硬纸板按照如图③的方式进行裁剪，将实线部分折叠，制作成一个底面积为9 cm²的有盖盒子（接缝处忽略不计）．请你计算这个盒子的高度，并判断上述香水瓶能否装入这个盒子里．三年模拟全练一、选择题1．（2019浙江宁波期中，8，★☆☆）下列命题中，正确的个数是( )①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直于弦的直线必过圆心；④垂直于弦的直径平分弦所对的弧．A．1 B．2 C．3 D．42．（2019浙江嘉兴桐乡期中，6．★☆☆）濮院女儿桥是典型的石拱桥，如图，某天小松测得水面AB宽为8m，桥顶C到水面AB的距离也为8m，则这座女儿桥的桥拱半径为( )A.4 mB.5 mC.6 mD.8 m二、解答题3．（2019浙江湖州四中教育集团月考，20，★★☆）如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上．已知AB=8 cm，CD=2 cm.(1)求⊙O的面积；(2)连结AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长.五年中考全练选择题1．（2018四川乐山中考，7，★☆☆）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸），问这个圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，圆柱形木材的直径AC是( )A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸2．（2017浙江金华中考，7．★☆☆）如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )A.10 cmB.16 cmC.24 cmD.26 cm核心素养全练小平所在的学习小组发现，车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置（如图①中b的位置）．例如，图②是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°，连结EF，交CD于点G，若GF的长度能达到车身宽度，则车辆能通过．(1)小平认为长8m，宽3m的消防车不能通过该直角弯道，请你帮他说明理由；(2)小平提出将拐弯处改为圆弧（和是以O为圆心，分别以OM和ON为半径的弧），长8m，宽3m的消防车就可以通过该弯道了，具体的方案如图③，其中OM⊥OM’，则ON至少为多少时，这种消防车可以通过该巷子？第2课时垂径定理的逆定理基础闯关全练1.D连结OA，∵C是AB的中点，∴AC=AB=4，OC⊥AB，∴OA²=OC²+AC²，即OA²=(OA -2)²+4²，解得OA =5，∴⊙O的直径是10．故选D．2．答案 2解析连结OA，∵半径OD过AB的中点C．∴OD⊥AB，∴∠OCA=90°，∵弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C．∴AC=BC=4，∵AO=5，∴由勾股定理得．∴CD=OD-OC=5-3=2．3．证明连结OM，ON，AO，OC，如图所示，∵M、N分别为AB、CD的中点．∴OM⊥AB，ON⊥CD.又AB=CD，∴AM=CN，在Rt△AOM和Rt△CON中，∵∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），∴OM=ON，∴∠OMN=∠ONM．所以∠AMO+∠OMN=∠CNO+∠ONM，即∠AMN=∠CNM．4．D．∵BC为⊙O直径，交弦AD于点E，B点为的中点，∴AD⊥BC，，AE=DE，故A、B、C 正确，故选D．5．答案解析设DE=x，由题意可得，解得，即.6．证明连结DO，EO，∵D是的中点，E是的中点，∴OD⊥AB，OE⊥AC．又∵∠EDO=∠DEO，∠DMB=180°-90°-∠EDO，∠ENC=180°-90°-∠DEO．∴∠DMB=∠ENC．而∠AMN=∠DMB．∠ENC=∠ANM．∴∠AMN = ∠ANM，∴AM =AN.7．解析(1)如图所示：(2)连结OA，设桥弧AB所在圆的半径为R米，由CD为拱高可知，点C为AB的中点，∴OC⊥AB，∴△AOD为直角三角形，D是AB的中点．∴AD=AB=20.∵CD= 10，∴OD=R-10.在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA²=AD²+OD²，∴R²= 20²+（R-10）²，解得R= 25，即桥弧AB所在圆的半径为25米．能力提升全练1.D本题分两种情况讨论：如图1所示，BD=2．连结OA，AC，设AC交BD于点E．图1则AE⊥BD，BE=ED=1，OE=2，在Rt△AEO中，AE²=OA²-OE²= 9-4=5．在Rt△AED中，AD²= AE²+ED²= 5+1=6．∴AD=，即此时菱形的边长为；如图2所示，BD=4，同理，有OE=OD=1，图2在Rt△AEO中，AE²=OA²-OE²=9-1=8，在Rt△ADE中，AD²=AE²+ED²= 8+4= 12．∴AD=，即此时菱形的边长为.综上可知，该菱形的边长为或．2．答案解析连结OP，OQ，∵的中点分别是P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I分别是AC、BC的中点，∠CHP=90°.∵AM= CM，∴MH⊥AC，∴∠MHC= 90°，∴M，P，H，O四点共线，∴OH+OI=(AC+BC)=．∵MH+NI=AC+BC=15，MP+NQ=12，∴PH+QI= 15-12=3，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=.3．解析(1)作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连结BO、EO.∵EF//BC，∴OH⊥EF，∴BG=BC=1cm，EH=EF= 1.56 cm，∴cm，cm，∴h= 2.4+2.08+3.02= 7.5 cm.(2)设盒子的高为x cm.由题意得，解得x=8或x=12.5（舍），∴MQ =6 cm，MN= 1.5 cm.∵2.6×2=5.2＜6，1.3＜1.5，7.5＜8，∴香水瓶能装入盒子里．三年模拟全练一、选择题1．B平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，所以①正确；平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，所以②错误；垂直平分弦的直线必过圆心，所以③错误；垂直于弦的直径平分弦所对的弧，所以④正确，故选B．2.B连结OA，∵AB宽为8m，桥顶C到水面AB的距离也为8m，∴AD=4 m，OD= 8-OA，∴在Rt△OAD中，OA²= OD²+AD²，即OA²=（8-OA）²+4²，∴OA=5 m．故选B．二、解答题3．解析(1)连结OA．如图所示．∵C为AB的中点，AB=8 cm，∴AC=4 cm，AC⊥DE.设⊙O的半径为r cm，则(r-2) ²+4²=r²，解得r=5,∴S=πr²= π×25= 25πcm².(2)∵OC=OD-CD=5-2=3 cm，∴EC=EO+OC=5+3=8 cm，∴cm，∴cm，∴cm.五年中考全练选择题1.C设⊙O的半径为r寸，在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r²=5²+（r-1）²，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故选C．2.C 如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D．∵CD=8 cm，OD= 13 cm，∴OC=5 cm，又∵OB= 13 cm，∴在Rt△BCO中，cm，∴AB=2BC=24 cm．故选C．核心素养全练解析(1)如图，过点F作FH⊥EC，垂足为H，∵FH=EH=4 m，∴，且∠GEC= 45°，由题意得GC=4 m，∴GE= GC=4 m，∴GF=（）m．∵，∴GF的长度未达到车身宽度，∴消防车不能通过该直角弯道．(2)若C、D分别与M'、M重合，易知△OGM为等腰直角三角形，∴OG=MG=4 m，OM= m．∴OF=ON=OM-MN=()m，∴FG=OG-OF=4-()=(8-)m，∵8-＜3,∴C、D在上，设ON =xm，连结OC．在Rt△OCG中，OG=(x+3)m，OC=(x+4)m，CG=4 m，由勾股定理得OG²+CG²=OC²，即(x+3)²+4²=(x+4)²，解得x=4.5．即ON至少为4.5米时，这种消防车可以通过该巷子．。

《垂径定理（选学）》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《垂径定理》的学习，使学生能够理解并掌握垂径定理的基本内容及其在几何问题中的应用，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力，为后续的几何学习打下坚实的基础。

二、作业内容本课时的作业内容主要围绕垂径定理展开，具体包括以下几个方面：1. 基础练习：让学生通过大量基础题目练习，加深对垂径定理的理解和记忆。

包括判断垂线、计算垂线段等基础题型的练习。

2. 理论应用：通过实际问题，让学生应用垂径定理解决几何问题。

如利用垂径定理求圆上两点的距离等。

3. 探究拓展：鼓励学生进行自主探究，通过小组讨论或个人思考，寻找垂径定理在其他几何问题中的应用，如与直角三角形、圆的其他性质等相结合的问题。

三、作业要求1. 完成基础练习部分，要求准确无误地完成每一道题目，理解并掌握垂径定理的基本内容。

2. 在理论应用部分，要求学生能够运用所学知识解决实际问题，并能够清晰地表达解题思路和步骤。

3. 在探究拓展部分，鼓励学生积极思考、主动探索，尝试将垂径定理与其他几何知识相结合，寻找新的应用场景。

4. 作业要求清晰、层次分明，既有基础知识巩固又有能力提升拓展。

作业量适中，不宜过多或过少，以保证学生能够认真完成。

四、作业评价教师将根据学生的作业完成情况进行评价，主要包括以下几个方面：1. 基础练习部分的正确率，以检验学生对垂径定理的理解和记忆情况。

2. 理论应用部分的解题思路和步骤，以评价学生的问题解决能力和表达能力。

3. 探究拓展部分的创新性和深度，以激发学生的探索精神和创新能力。

五、作业反馈教师将根据学生的作业完成情况给予及时的反馈和指导，具体包括：1. 对基础练习部分的错误进行纠正和指导，帮助学生巩固基础知识。

2. 对理论应用部分的解题思路和步骤进行点评和指导，帮助学生提高问题解决能力。

3. 对探究拓展部分的创新性和深度进行肯定和鼓励，激发学生的探索精神。

同时，教师还将根据学生的整体完成情况和作业质量，进行针对性的教学调整和优化，以更好地满足学生的学习需求。

课题 3.3垂径定理（第2课时）教学目的知识点1．掌握垂径定理及其逆定理．2．学会应用垂径定理及其逆定理，解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间关系的证明和计算，解决一些生产实际问题．能力点进一步培养学生分析问题和解决问题的能力．德育点用生活和生产中的实例激发学生学习兴趣从而唤起学生尊重知识尊重科学，更加热爱生活重点应用定理解决生产实际问题．难点例3的教学．教法先学后导教学法学法自学、讨论、归纳、巩固教具把例题写在幻灯片上．教学设计进程教师活动学生活动设计意图达到效果一复习引入二新课讲述1.叙述垂径定理2.练习(1)两同心圆中，弦AB＝4，AB交小圆于点C、D，CD＝2，且弦心距等于1，那么大圆和小圆的半径之比是（）(2)平分已知AB；在已知AB上画一点C,使AC：BC＝1:3（一）板书课题、揭示目标本节课我们一起继续学习“3.2圆的轴对称性(2)”（板书），教学目标是掌握垂径定理及其逆定理，学会应用垂径定理及其逆定理，解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间关系的证明和计算，解决一些生产实际问题．（二）自学例题前指导1、明确自学内容、要求和方法怎样运用垂径定理及其逆定理进行画图、计算或证明呢？下面请大家看书本79页的内容，注意书写格式，每步的依据，5分钟后要能够做出与例题类似的题目。

2、垂径定理的逆定理(1)问：把已知CD⊥AB，改成CD平分AB，能得到什么结论?(2) 学生概括定理时，一般会遗忘“不是直径”．教师启发学生思考：学生回答正确（1）5 ： 2学生看书归纳（口答）：学生阅读掌握旧知并唤起对垂径定理的兴趣板书课题、揭示目标明确自学内容、方法、要求通过阅读探究比较激发学习垂径定理及其逆定理应用的。