刚体力学

例、在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔， 其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉绳， 开始时小球绕孔运动，速率为 v1 ，半径为 r1 ，当半径变 为 r2 时 r2 f拉 求小球的速率 v2 解：小球受力：
f拉
因f 拉为有心力
r r L2 = L1
L2 = L1
r1mv1 = r2 mv2 r1 v2 = v1 r2
m
.
R
m1
Mf
m2
T1'


m
T2'
对m2： m2 g - T2 = m2 a
' ' T R T 对m： 2 1R- Mf = J
- m1 g = m1a
T1
m1 g
T2 m2 g
1 2 ' ' a = R, J = mR , T1 = T1 , T2 = T2 2
联立求得： a=
( m 2 - m1 ) g -

m1
m i
d rad .s -1 = dt
2
(一般规定逆时针为正)
d d = = 2 dt dt
rad s
-2

刚体内各质元作圆周运动的 以及 相同.
矢量描述:
r r d = 方向由与 d 相同 dt r r r 2 r r d d d 0, 与 r = = 2 r d 0, 与 dt dt
r r r r dv d r r dr a= = r dt dt dt
r 以圆运动为例 r r R v r r
r r r = r v
r r a = r = r sin = R r r 0 2 an = v = v sin 90 = R
的内力矩之和应为零,所以在遍 及刚体内所有质点后,可得
i内
合力矩
d M i = M i外 M i内= M i外= dt ( Li )
合内力矩为零 合外力矩M 刚体角动量L
dL 刚体作定轴转动时,刚体所受合外力矩等于 即 M = dt 刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率.
转动惯量为J的刚体在合外力矩的作用下作定轴转动,在时 间 t1 到 t2 内,其角速度由 1变为 2 ,则有
r r r rF=r
r d ( mv ) dt
r r v v = 0
r r r M dt = L L 2 1 t1 r t2 r 是 M 的冲量矩 M dt
t2
t1
对同一参考点O,质点所受 合外力矩的冲量矩等于质 点角动量的增量.-----质点 的角动量定理
3. 质点的角动量守恒定律
r r r 若 M = 0 则 L2 = L1 或
二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1 刚体定轴转动的角动量 刚体以角速度 绕定轴转动,刚体上每一 r 质点都以相同的角速度绕轴作圆周运动. 1 其中质点 mi 对轴的角动量为 m 于是刚体上所有质点对轴的角动量,即刚体 对定轴的角动量为
2 2
Li = mi vi ri = mi ri
Mf
Mf 1 m1 [( 2 m2 m ) g ] R 2 T1 = 1 m1 m 2 m 2 Mf 1 m2 [( 2 m1 m ) g ] R 2 T2 = 1 m1 m 2 m 2
1 m1 m 2 m 2
R
注意：当不计滑轮的质 量及摩擦阻力时：
m = 0,
( m 2 - m1 ) a= g m1 m 2 2m1m2 T1 = T2 = g m1 m2
,
r F sin r F
i
合内力矩为零
, i , i
, i
2
转动惯量J
2
sin = ( mi ri )
合外力矩M
M = J
刚体绕定轴转动时,刚体的角加速度与 它所受的合外力矩成正比,与刚体的转 动惯量成反比. ---- 刚体的转动定律
三
J = mi ri
2
转动惯量
2
1 2 J = mL 3
细棒
m
薄圆环 R 或薄圆筒 圆盘或 圆柱体
m
R
J = mR 2
1 2 J = mR 2
m
注意J 的大小与刚体总质量、质量分布、转轴位置有关 10 与刚体的质量有关, (两个相同的圆盘,铁质的转动惯量比木质的大). 20 与密度分布有关, (质量分布离轴越远, J 越大) 30 与转轴位置有关, (同一刚体,转轴位置不同,转动惯量就不相同)
定轴转动 各质元的 ω 相同, v 不同 时,刚体中 各质元的 β 相同, at 不同
r a
r an
x
0
y
dv a = = R dt 2 v 2 an = = R R
v = R
4
r 一 力矩（力 Fr 对转轴的力矩） r
d: 力F对转轴的力臂r 注意: 下述情况中,力 F 对转 轴的力矩为零. r 10 F 的作用线通过转轴.
2
1
m i
2 刚体定轴转动的角动量定理 作用在质点i上的合力 Mi中含有外力作用在质点i的力 矩 M i应等于质点i的角 矩 M 和刚体内质点间作用力 i外 动量随时间的变化率 的力矩 M .由于刚体内各质点
L = mi ri = ( mi ri ) = J
ri
即
dLi Mi = dt

t2
t1
Mdt = dL = L2 - L1 = J2 - J1
L1
L2
合外 力矩 的冲 量矩
如果物体在转动过程转动惯量J发生了变化, 设在时间t1到t2内由J1变为J2,下式仍然成立.

t2
t1
Mdt =
物体所受合外力矩的冲 J 22 - J 11 量矩等于物体角动量的 增量---角动量定理
r r

合外力矩 M = r1 F1 sin1 - r2 F2 sin 2 r3 F3 sin 3
合外力矩等于这几个外力矩的代数和.
合内力矩
刚体由n个质点组成,其中 质点1和质点2间相互作用 力在垂直转轴平面的分力 各为F12和F21,它们大小相 等、方向相反且在同一直 线上,如图.它们的合力矩
如果刚体连续分布
对比 M = J m：质点惯性的量度 J：刚体惯性的量度 转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量 几种常见刚体的转动惯量： 细棒
J = r dm r
r F = ma
kg . m2,标量。
刚体的转动惯量是 刚体中各质点的转 动惯量 (miri2) 的叠加
L L
m
1 J = mL2 12
3 角动量守恒定律 当转轴给定时,若作用在物体上的合外力矩为零,可得 Jω = 恒量

r Fi = m
r dv c
dt
注意各量的 物理意义
质心运动定理说明：不管物体的质量如何分布、外力作用 在什么地方，质心的运动就象物体的全部质量都集中于此， 而且所有的外力都作用于其上的一个质点的运动一样。 （例:炮弹在飞行轨道上爆炸 ……见教材p88--例3)
一 刚体转动的角速度和角加速度 (1) 刚体作定轴转动的特征 转轴上各点静止，其它各质元都在垂直于 转轴的平面内作圆周运动。 (2) 刚体转动时的角量描述 标量描述: 角位置 rad 角位移 角速度 角加速度
大学物理电子教案
刚体力学
教学基本要求
一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌 握角量与线量的关系. 二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕 定轴转动的转动定律. 三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运 动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题. 四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能 在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能 守恒定律 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体 的简单系统的力学问题.
L
1 J = mL2 m1 L2 3
m
m1
质点 与刚 体组 合的 转动 惯量
R
m 1 J = mR2 m1 r 2 2
r m1
四 、转动定律的应用 例1、一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮 视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量 为 m1 和 m2 的物体，m1 <m2 ，滑轮的 质量为 m ，半径为 R，所受的摩擦阻 力矩为 Mf ，绳与滑轮间无相对滑动。 试求：物体的加速度和绳的张力。 已知： m1，m2 ，m， R ，Mf 求： a , T1 , T2 解: 研究对象 m1 ，m2 ，m 建立坐标，受力分析 对m1 ： T1 如图
2
r r r L = r mv
-1
0
r mv
r r r

L = rmv = rm( r ) = mr = J
2
r
mv
2. 质点的角动量定理
r r r d r dr r d r ( r mv ) = r ( mv ) mv dt dt dt r r r d r r r F = ( r m v ) 即 r dL M= dt r r dt 或 Mdt = dL 取积分有
这便是中学所熟知 的果
Mf = 0
4
3 角动量 角动量守恒定律 定义
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律 r 1. 质点的角动量 L
方向：垂直于 r , p 共同决定的平面 注意: 10 同一运动质点对不同定点的角动量是不同的。 L 0 2 质点作圆周运动时对圆心的角动量大小：
kg m s r ( P 乘以 p的延长线到转轴的距离) L = rmv sin r r
r r3
3
o
r r 1
r F3
d
1
r F1
r r2
r F2
2
M = F12 r1 sin 1 - F21r2 sin 2 = F12 d - F21d = 0