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衡水学院 理工科专业 《大学物理B 》 刚体力学基础 习题命题教师：郑永春 试题审核人：张郡亮一、填空题（每空1分）1、三个质量均为m 的质点，位于边长为a 的等边三角形的三个顶点上。
此系统对通过三角形中心并垂直于三角形平面的轴的转动惯量J 0＝__ ma 2 _，对通过三角形中心且平行于其一边的轴的转动惯量为J A ＝__12ma 2_，对通过三角形中心和一个顶点的轴的转动惯量为J B ＝__21ma 2 。
2、两个质量分布均匀的圆盘A 和B 的密度分别为ρA 和ρ B (ρA >ρB )，且两圆盘的总质量和厚度均相同。
设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为J A 和J B ，则有J A < J B 。
3、 一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量J ＝3.0 kg ·m 2，角速度ω0＝6.0 rad/s ．现对物体加一恒定的制动力矩M ＝－12 N ·m ，当物体的角速度减慢到ω＝2.0 rad/s 时，物体已转过了角度∆θ ＝__4.0rad4、两个滑冰运动员的质量各为70 kg ，均以6.5 m/s 的速率沿相反的方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10 m ，当彼此交错时，各抓住一10 m 长的绳索的一端，然后相对旋转，则抓住绳索之后各自对绳中心的角动量L ＝__2275 kg·m 2·s 1 _；它们各自收拢绳索，到绳长为5 m 时，各自的速率υ ＝__13 m·s 1_。
5、有一质量均匀的细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。
如将此棒放在水平位置，然后任其下落，则在下落过程中的角速度大小将 变大 ，角加速度大小将 变小 。
二、单项选择题（每小题2分）（ A ）1、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上，下列说法正确的是：A.这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；B.这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；C.当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；D.当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。
题4.1：一汽车发动机曲轴的转速在s 12内由13min r 102.1-⋅⨯均匀的增加到13min r 107.2-⋅⨯。
（1）求曲轴转动的角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？题4.1解：（1）由于角速度ω =2πn （n 为单位时间内的转数），根据角加速度的定义td d ωα=，在匀变速转动中角加速度为()200s rad 1.132-⋅=-=-=tn n t πωωα（2）发动机曲轴转过的角度为()t n n t t t 0020221+=+=+=πωωαωθ在12 s 内曲轴转过的圈数为 圈390220=+==t n n N πθ 题4.2：某种电动机启动后转速随时间变化的关系为)1(0τωωte --=，式中10s rad 0.9-⋅=ω，s 0.2=τ。
求：（1）s 0.6=t 时的转速；（2）角加速度随时间变化的规律；（3）启动后s 0.6内转过的圈数。
题4.2解：（1）根据题意中转速随时间的变化关系，将t = 6.0 s 代入，即得100s 6.895.01--==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ωωωτte（2）角加速度随时间变化的规律为220s 5.4d d ---===tte e t ττωωα（3）t = 6.0 s 时转过的角度为 rad 9.36d 1d 60060=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰-s tst e t τωωθ 则t = 6.0 s 时电动机转过的圈数圈87.52==πθN 题4.3：如图所示，一通风机的转动部分以初角速度0ω绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C 为一常量。
若转动部分对其轴的转动惯量为J ，问：（1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？题4.3解：（1）通风机叶片所受的阻力矩为ωM C -=，由转动定律αM J =，可得叶片的角加速度为JC t ωωα-==d d （1） 根据初始条件对式（1）积分，有⎰⎰-=ωωω00d d d t t J C t由于C 和J 均为常量，得t JC e-=0ωω当角速度由0021ωω→时，转动所需的时间为2ln CJt = （2）根据初始条件对式（2）积分，有⎰⎰-=tt JC t e00d d ωθθ即CJ 20ωθ=在时间t 内所转过的圈数为 CJ N πωπθ420==题4.4：一燃气轮机在试车时，燃气作用在涡轮上的力矩为m N 1003.23⋅⨯，涡轮的转动惯量为2m kg 0.25⋅。
1 如图所示，质量为m 的小球系在绳子的一端，绳穿过一铅直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。
先使小球以速度0v 。
绕管心作半径为r D 的圆周运动，然后向下慢慢拉绳，使小球运动轨迹最后成为半径为r 1的圆，求(1)小球距管心r 1时速度大小。
(2)由r D 缩到r 1过程中，力F 所作的功。
解 (1)绳子作用在小球上的力始终通过中心O ，是有心力，以小球为研究对象，此力对O 的力矩在小球运动过程中始终为零，因此，在绳子缩短的过程中，小球对O 点的角动量守恒，即10L L =小球在r D 和r 1位置时的角动量大小 1100r mv r mv = 100r r v v =(2)可见，小球的速率增大了，动能也增大了，由功能定理得力所作的功 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-=1)(21 21)(21 21212102020210202021r r mv mv r r mv mv mv W2 如图所示，定滑轮半径为r ，可绕垂直通过轮心的无摩擦水平轴转动，转动惯量为J ，轮上绕有一轻绳，一端与劲度系数为k 的轻弹簧相连，另一端与质量为m 的物体相连。
物体置于倾角为θ的光滑斜面上。
开始时，弹簧处于自然长度，物体速度为零，然后释放物体沿斜面下滑，求物体下滑距离l 时，物体速度的大小。
解 把物体、滑轮、弹簧、轻绳和地球为研究系统。
在物体由静止下滑的过程中，只有重力、弹性力作功，其它外力和非保守内力作功的和为零，故系统的机械能守恒。
设物体下滑l 时，速度为v ，此时滑轮的角速度为ω则 θωsin 2121210222mgl mv J kl -++= （1）又有 ωr v = （2） 由式（1）和式（2）可得 m r J kl mgl v +-=22sin 2θ本题也可以由刚体定轴转动定律和牛顿第二定律求得，读者不妨一试。
3 如右图所示，一长为l 、质量为m '的杆可绕支点O 自由转动，一质量为m 、速率为v 的子弹射入杆内距支点为a 处，使杆的偏转为︒30。
⼤学物理习题答案03刚体运动学⼤学物理练习题三⼀、选择题1.⼀⼒学系统由两个质点组成，它们之间只有引⼒作⽤。
若两质点所受外⼒的⽮量和为零，则此系统(A) 动量、机械能以及对⼀轴的⾓动量都守恒。
(B) 动量、机械能守恒，但⾓动量是否守恒不能断定。
(C) 动量守恒，但机械能和⾓动量守恒与否不能断定。
(D) 动量和⾓动量守恒，但机械能是否守恒不能断定。
[ C ]解：系统＝０合外F，内⼒是引⼒（保守内⼒）。
（１）021 F F,＝０合外F ，动量守恒。
（２）2211r F r F A ＝合。
21F F，但21r r时0A 外，因此Ｅ不⼀定守恒。
（３）21F F，2211d F d F M ＝合。
两⼒对定点的⼒臂21d d 时，0 合外M，故L 不⼀定守恒。
2. 如图所⽰，有⼀个⼩物体，置于⼀个光滑的⽔平桌⾯上，有⼀绳其⼀端连结此物体，另⼀端穿过桌⾯中⼼的⼩孔，该物体原以⾓速度ω在距孔为R 的圆周上转动，今将绳从⼩孔往下拉。
则物体 (A) 动能不变，动量改变。
(B) 动量不变，动能改变。
(C) ⾓动量不变，动量不变。
(D) ⾓动量改变，动量改变。
(E)⾓动量不变，动能、动量都改变。
[ E ]解：合外⼒（拉⼒）对圆⼼的⼒矩为零，⾓动量O Rrmv L 守恒。
r 减⼩，v 增⼤。
因此p 、E k 均变化（m不变）。
3. 有两个半径相同，质量相等的细圆环A 和B 。
A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀。
它们对通过环⼼并与环⾯垂直的轴的转动惯量分别为J A 和J B ，则(A)A J >B J (B) A J < B J(C) A J =B J (D) 不能确定A J 、B J 哪个⼤。
[ C ]解：2222mR dm R dm R dm r J， J 与m 的分布⽆关。
另问：如果是椭圆环，J 与质量分布有关吗？（是）4. 光滑的⽔平桌⾯上，有⼀长为2L 、质量为m 的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O ⾃由转动，其转动惯量为31mL 2，起初杆静⽌。
习题55-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定2滑轮的转动惯量均为m r/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。
解：受力分析如图，可建立方程：2mgT22ma┄①T1┄②mgmaT(TT)rJ┄③2(TT)1rJ┄④a，r2Jmr┄⑤/2 1联立，解得：ag411，Tmg8。
5-2．如图所示，一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为的水平桌面上，设开始时杆以角速度0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。
解：（1）设杆的线密度为：ml，在杆上取一小质元dmdx，有微元摩擦力：dfdmggdx，微元摩擦力矩：dMgxdx，考虑对称性，有摩擦力矩：l1M2gxdxmgl；24（2）根据转动定律MJJ ddt，有：tMdtJd，112mgltml，∴0 412 t30lg。
或利用：MtJJ，考虑到0，12 Jml，12有：0t3 l g 。
5-3．如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。
假设定滑轮质量为M、半径为2R,其转动惯量为M R/2，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。
解：受力分析如图，可建立方程：mgTma┄①TR┄②JaR，12 JmR┄③22mgMmg联立，解得：aT，，M2m M2m考虑到a dvdt，∴vt2mgdvdt00M2m，有：v2m gtM2m。
5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M/4，均匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物，如图。
已知滑轮对O2轴的转动惯量J/4，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬MR时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？解一：分别对人、滑轮与重物列出动力学方程Mg T1人MaAMMT2ga物B44T1RTRJ滑轮22由约束方程:aaRJ,解上述方程组A和MR/4B得到g a. 2解二：选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重du物上升的速度，注意到u 为匀速，0dt，系统对轴的角动量为：1M32LMvRM(uv)R(R)MvRMu 442R(B 物体)(人)(A 物体)而力矩为： M13 MgRMgRMgR ， 44根据角动量定理dL3d3 M 有：MgR(MvRMuR)，∴dt4dt2 g a 。
大学物理第3章-刚体力学习题解答第3章 刚体力学习题解答3.13 某发动机飞轮在时间间隔t 内的角位移为):,:(43s t rad ct bt at θθ-+=。
求t 时刻的角速度和角加速度。
解：23212643ct bt ct bt a dt d dtd -==-+==ωθβω3.14桑塔纳汽车时速为166km/h ，车轮滚动半径为0.26m ，发动机转速与驱动轮转速比为0.909, 问发动机转速为每分多少转？解：设车轮半径为R=0.26m ，发动机转速为n 1, 驱动轮转速为n 2, 汽车速度为v=166km/h 。
显然，汽车前进的速度就是驱动轮边缘的线速度，909.0/2212Rn Rn v ππ==，所以：min/1054.1/1024.93426.014.3210166909.02909.013rev h rev n R v ⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯π3.15 如题3-15图所示，质量为m 的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为r 1和r 2，求对通过其中心轴的转动惯量。
解：设圆柱体长为h ，则半径为r ，厚为dr 的薄圆筒的质量dm 为：2..dm h r dr ρπ=对其轴线的转动惯量dI z 为232..z dI r dm h r dr ρπ==212222112..()2r z r I h r r dr m r r ρπ==-⎰ 3.17 如题3-17图所示，一半圆形细杆，半径为，质量为，求对过细杆二端轴的转动惯量。
解：如图所示，圆形细杆对过O 轴且垂直于圆形细杆所在平面的轴的转动惯量为mR 2，根据垂直轴定理z x y I I I =+和问题的对称性知：圆形细杆对过轴的转动惯量为12mR 2，由转动惯量的可加性可求得：半圆形细杆对过细杆二端轴的转动惯量为：214AA I mR '=3.18 在质量为M ，半径为R 的匀质圆盘上挖出半径为r 的两个圆孔，圆孔中心在半径R 的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。
习题三一、选择题1．一根长为l 、质量为M 的匀质棒自由悬挂于通过其上端的光滑水平轴上。
现有一质量为m 的子弹以水平速度v 0射向棒的中心，并以v 0/2的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏转角恰为90︒，则v 0的大小为 [ ]（A； （B； （C（D ）22163M glm 。
答案：A 解：11122,1122J J J J Mg l ωωωω=+⎧⎪⎨=⋅⎪⎩ 22211, 243l ml J m J Ml ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 0012/2v v l l ω==，0021/21/22v v l l ωω===，111121()2J J J J ωωωω-== 21122J Mgl ω=， 2112J J Mgl J ω⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭， 22114J Mgl Jω= 22202244143v ml l Mgl Ml ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅，Mgl M v m =⋅202163，2202163M v gl m =，所以 340gl m Mv =2．圆柱体以80rad/s 的角速度绕其轴线转动，它对该轴的转动惯量为24kg m ⋅。
在恒力矩作用下，10s 内其角速度降为40rad/s 。
圆柱体损失的动能和所受力矩的大小为[ ]（A ）80J ，80N m ⋅； （B ）800J ，40N m ⋅；（C ）4000J ，32N m ⋅；（D ）9600J ，16N m ⋅。
答案：D解：800=ω，40=ω，10=t ，4J =2201122k E J J ωω-∆=- 22011()4(64001600)9600(J)22k E J ωω∆=-=⨯⨯-=M 恒定，匀变速，所以有0t ωωα=-，0tωωα-=，08040416N m 10M J J tωωα--==⋅=⨯=⋅3．一个转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，初角速度为0ω。
设它所受阻力矩与转动角速度成正比M k ω=- (k 为正常数)。
（1）它的角速度从0ω变为0/2ω所需时间是 [ ]（A ）/2J ； （B ）/J k ； （C ）(/)ln 2J k ； （D ）/(2)J k 。
（2）在上述过程中阻力矩所做的功为 [ ]（A ）20/4J ω； （B ）203/8J ω-； （C ）20/4J ω-； (D) 20/8J ω-。
答案：C ；B 。
解：已知 M k ω=-，0,J ω，012ωω=（1）d M J k dt ωω==-，d J k dt ωω=-，d kdt J ωω=-td k dt Jωωωω=-⎰⎰，0lnk t J ωω=-，所以 0ln ln 2J Jt k kωω== （2）2222200001111322248J A J J J ωωωωω⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭4．如图所示，对完全相同的两定滑轮（半径R ，转动惯量J 均相同），若分别用F （N ）的力和加重物重力P mg F ==(N) 时，所产生的角加速度分别为1α和2α，则 [ ]（A ）12αα> ； （B ）12αα= ； （C ）12αα< ； （D ）不能确定 。
答案：A解：根据转动定律，有12,mg R J T R J αα⋅=⋅=，依受力图，有mg T ma -=，T mg ma mg =-< 所以，12αα>。
5． 对一绕固定水平轴O 匀速转动的转盘，沿图示的同一水平直线从相反方向射入两颗质量相同、速率相等的子弹，并停留在盘中，则子弹射入后转盘的角速度应 [ ]（A ）增大； （B ）减小； （C ）不变； （D ）无法确定。
答案：B解：1102212()J J J J J J ωωωω+-=++22121212()J J m r m r m m ====， 12vrωω==所以0012JJ Jωωω=<+二、填空题1．半径为 1.5m r =的飞轮，初角速度0=10rad/s ω，角加速度25rad/s α=-，若初始时刻角位移为零，则在t = 时角位移再次为零，而此时边缘上点的线速度为v =。
答案：4s ；15m/s -。
解：已知1.5m r =，0=10rad/s ω，25rad/s α=-，00=θ。
因const α=，为匀变速，所以有20012t t θθωα=++。
令 0θ=，即 01()02t t ωα+=得，由此得022104s 5t ωα⨯=-=-=-0105410t ωωα=+=-⨯=-，所以 15m/s v r ω==-2． 一根质量为 m 、长度为 L 的匀质细直棒，平放在水平桌面上。
若它与桌面间的滑动摩擦系数为，在0t =时，使该棒绕过其一端的竖直轴在水平桌面上旋转，其初始角速度为，则棒停止转动所需时间为。
答案：023Lt gωμ=解：mdf dmg drg gdr Lμμλμ=== dM r df =⨯r v v ，m dM rdf grdr L μ==， 2122m mg M dM g L L Lμμ==⋅=⎰ 又，2132d d mgM J J mL dt dt L ωωμα=-=-=-=，所以 32g d dt L μω=-，00032t g d dt L ωμω=-⎰⎰，两边积分得：032gt Lμω=，所以023L t gωμ=3． 在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为m 的人。
圆盘半径为R ，转动惯量为J ，角速度为。
如果这人由盘边走到盘心，则角速度的变化 =；系统动能的变化E k =。
答案：2mR J ω；2221(1)2mR mR Jω+。
解：应用角动量守恒定律2J mR J ωωω'+=解得 21mR J ωω⎛⎫'=+⎪⎝⎭，角速度的变化 2mR J ωωωω'∆=-= 系统动能的变化 ()2221122k E J J mR ωω'∆=⨯-+，即 2221(1)2k mR E mR J ω∆=+4． 如图所示，转台绕中心竖直轴以角速度0ω作匀速转动，转台对该轴的转动惯量52510kg m J -=⨯⋅。
现有砂粒以1g /s 的流量落到转台，并粘在台面形成一半径0.1m r =的圆。
则使转台角速度变为0/2ω所花的时间为。
答案：5s解：由角动量守恒定律 200()2J mr J ωω+=得 2J m r =， 由于 3110kg/s mt-=⨯ 所以 5323235105s 1101100.1110m J t r ----⨯====⨯⨯⨯⨯⨯5． 如图所示，一轻绳跨过两个质量均为m 、半径均为R 的匀质圆盘状定滑轮。
绳的两端分别系着质量分别为m 和2m 的重物，不计滑轮转轴的摩擦。
将系统由静止释放，且绳与两滑轮间均无相对滑动，则两滑轮之间绳的张力为。
答案：mg T 811=解：列出方程组 11122211112222(1)(2)()(3)()(4)m g T m a T m g m aT T R J T T R J αα-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩其中，2111111,2a J M R R α==， 2222221,2a J M R R α==由（1）、（2）两式得：1122()()T m g a T m g a =-⎧⎨=+⎩可先求出a ，解得1212122()2()()m m g a m m M M -=+++ ，12112112124()2()()m m m M M T g m m M M ++=+++ ，12212212124()2()()m m m M M T g m m M M ++=+++，121221121242()()m m m M m M T g m m M M ++=+++将12m m =，2m m = 1212,M M m R R ===代入，得：118T mg =三．计算题1．在半径为R 1、质量为M 的静止水平圆盘上，站一静止的质量为m 的人。
圆盘可无摩擦地绕过盘中心的竖直轴转动。
当这人沿着与圆盘同心，半径为R 2（< R 1）的圆周相对于圆盘走一周时，问圆盘和人相对于地面转动的角度各为多少答案：（1）22222221124422/()mR mR MR MR mR ππ--++，或；（2）21222221212222/()1MR mR MR mR MR ππ++，或。
解：设人相对圆盘的角速度为ω，圆盘相对地面的角速度为M ω。
则人相对地面的角速度为 m M ωωω=+应用角动量守恒定律 2221102m M mR MR ωω+= 得，()2221102M M mR MR ωωω++= 解得 2222222221212122M mR mR mR MR mR MR ωωω=-=-++ 圆盘相对地面转过的角度为22222222222121122242222/()M M mR mR dt dt mR MR mR MR MR mR πθωωπ==-=-⨯=-+++⎰⎰ 人相对地面转过的角度为2m m M dt θωπθ==+⎰21222221212222/()1MR mR MR mR MR ππ==++2． 如图所示，物体1和2的质量分别为m 1与m 2，滑轮的转动惯量为J ，半径为r 。
（1）如物体2与桌面间的摩擦系数为，求系统的加速度a 及绳中的张力T 1和T 2；（2）如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a 及绳中的张力T 1和T 2。
（设绳子与滑轮间无相对滑动，滑轮与转轴无摩擦）。
21答案：太长，略。
解：（1）用隔离体法，分别画出三个物体的受力图。
对物体1，在竖直方向应用牛顿运动定律 111()T m g m a -=-对物体2，在水平方向和竖直方向分别应用牛顿运动定律 22T N m a μ-=，20N m g -=对滑轮，应用转动定律()21T r T r J α-=-，并利用关系 a r α=，由以上各式， 解得12122m m a g Jm m rμ-=⋅++；22211122J m m r T m g J m m r μ++=⋅++；11222122Jm m r T m g J m m r μμ++=⋅++ （2）0μ=时1122m a g Jm m r=⋅++；2211122J m r T m g Jm m r+=⋅++；122122m T m g Jm m r=⋅++3.一匀质细杆，质量为，长为，可绕杆一端的水平轴旋转。
若将此杆放在水平位置，然后从静止释放，试求杆转动到铅直位置时的动能和角速度。
答案：（1）0.98J ；（2）8.57rad/s 。
解：根据机械能守恒定律，有：2212ωJ l mg =。
杆转动到铅直位置时的动能和角速度分别为：210.59.80.20.98J 22k lE J mg ω===⨯⨯=；238.57rad/s 13mgl mgl g J l ml ω====4．如图所示，滑轮的转动惯量J =m 2，半径r =30cm ，弹簧的劲度系数k =m ，重物的质量m =。
