北师大版高中数学必修3-2.1同步练习：算法的基本思想2

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课时提升作业(十一)算法的基本思想(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.算法指的是()A.某一个具体问题的一系列解决步骤B.数学问题的解题过程C.某一类问题的一系列解决步骤D.计算机程序【解题指南】由算法的概念可知算法是不唯一的，有限步，结果明确性，每一步操作明确的，即可得到正确答案.【解析】选C.算法虽然没有一个明确的意义，但其特点还是很鲜明的，不仅要注意算法的程序性，明确性，有限性特点，还应充分理解算法的问题指向性，即算法往往指向某一类问题.算法指的是某一类问题的一系列解决步骤.2.下列运算不属于我们所讨论算法范畴的是()A.已知圆的半径求圆的面积B.随意抽4张扑克牌算到二十四点的可能性C.已知坐标平面内两点求直线方程D.加减乘除法运算【解题指南】题目给出了四种运算，其中选项A、C、D不仅具有程序性，明确性、有限性等特点，还具有问题指向性，但选项B不能写出明确的步骤.【解析】选B.算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限步骤，且运用计算机执行后都能得到正确的结果.选项A、C、D都能写出明确和有限步骤，且执行后都能得到正确的结果；选项B虽说能算出全部情况，但不能写出准确的步骤，所以不属于我们所讨论的算法范畴.3.下列四种自然语言叙述中，能称作算法的是()A.在家里一般是妈妈做饭B.在野外做饭叫野炊C.研究函数奇偶性可以按“判断定义域是否关于原点对称，考查f(x)与f(-x)满足的关系”的程序进行D.做饭必须要有米【解析】选C.只有C项能按一定的程序或步骤完成.4.(2015·榆林高一检测)对于算法：1.输入n.2.判断n是否等于2，若n=2，则n满足条件；若n>2，则执行第三步.3.依次从2到(n-1)检验能不能整除n，若不能整除n，则执行第四步；若能整除n，则执行第一步.4.输出n.满足条件的n是()A.质数B.奇数C.偶数D.约数【解析】选A.此题首先要理解质数的含义.只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数，这个算法通过对2到(n-1)一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数.5.(2015·渭南高一检测)给出下面一个算法：1.给出三个数x，y，z.2.计算M=x+y+z.3.计算N=M.4.得出每次计算结果.则上述算法是()A.求和B.求余数C.求平均数D.先求和再求平均数【解析】选D.由算法过程可知，M为三数之和，N为这三数的平均数.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·亳州高一检测)在下面求15和18的最小公倍数的算法中，其中不恰当的一步是.1.先将15分解素因数：15=3×5.2.然后将18分解素因数：18=32×2.3.确定它们的所有素因数：2，3，5.4.计算出它们的最小公倍数：2×3×5=30.【解析】正确的应该是：先确定素因数的指数：2，3，5的指数分别为1，2，1；然后计算出它们的最小公倍数：2×32×5=90.答案：47.请说出下面算法要解决的问题：.1.输入三个数，并分别用a，b，c表示.2.比较a与b的大小，如果a<b，则交换a与b的值.3.比较a与c的大小，如果a<c，则交换a与c的值.4.比较b与c的大小，如果b<c，则交换b与c的值.5.输出a，b，c.【解题指南】根据a与b，a与c，b与c互换的条件，最后得结果.【解析】由题意知，应是把三个数按从大到小的顺序输出.答案：把输入的三个数按从大到小的顺序输出8.(2015·宝鸡高一检测)下面给出一个算法，1.输入i的值.2.令m=2，n=3.3.若i>4，则输出的值，否则，输出的值.试问：(1)当输入的i的值为5时，结果为.(2)当输入的i的值为0时，结果为.【解析】由题意得，当i>4时，输出，所以输入的i的值为5时，输出.当i≤4时，输出.所以输入的i的值为0时，输出的结果为.答案：(1)(2)【补偿训练】已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求他的总分和平均成绩的一个算法为：1.取A=89，B=96，C=99.2..3..4.输出计算的结果.【解析】由题意，第二步，求和S=A+B+C，第三步，计算平均成绩=.答案：S=A+B+C=三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·宿州高一检测)有两个杯子A，B分别盛放酒和水，要求将两个杯子中的液体互换，请设计一个算法.【解析】算法如下：1.取一个空杯子C.2.将A杯的酒倒在C杯内.3.将B杯的水倒在A杯内.4.将C杯的酒倒在B杯内.10.(2015·抚州高一检测)写出求过点M(-2，-1)，N(2，3)的直线与坐标轴围成三角形面积的一个算法.【解析】已知直线上的两点M，N，由两点式可写出直线方程，令x=0，得出与y轴交点；令y=0，得出与x轴交点，求出三角形两直角边的长，根据三角形面积公式可求出其面积.算法步骤如下：1.令x1=-2，y1=-1，x2=2，y2=3.2.得直线方程=.3.令x=0，得y的值m，从而得直线与y轴交点的坐标(0，m).4.令y=0，得x的值n，从而得直线与x轴交点的坐标(n，0).5.根据三角形面积公式求S=·|m|·|n|.6.输出算法结果.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.一个算法的步骤如下：1.输入x的值；2.计算x的绝对值y；3.计算z=2y-y；4.输出z的值.如果输入x的值为-3，则输出z的值为()A.4B.5C.6D.8【解析】选B.分析算法中各变量、各语句的作用，再根据算法的步骤可知：该算法的作用是计算并输出z=2y-y的函数值.当输入x的值为-3时，算法步骤如下：1.输入x的值为-3；2.计算x的绝对值y=3；3.计算z=2y-y=23-3=5；4.输出z的值为5.2.已知计算机中的某些存储器有如下特性：若存储器中原有数据个数为m个，则从存储器中取出n个数据后，此存储器中的数据个数为m-n个；若存储器中原有数据为m个，则将n 个数据存入存储器后，此存储器中的数据个数为m+n个.现已知计算机中A，B，C三个存储器中的数据个数均为0，计算机有如下操作：第一次运算：在每个存储器中都存入个数相同且个数不小于2的数据；第二次运算：从A存储器中取出2个数据，将这2个数据存入B存储器中；第三次运算：从C存储器中取出1个数据，将这1个数据存入B存储器中；第四次运算：从B存储器中取出与A存储器中个数相同的数据，将取出的数据存入A存储器，则这时存储器B中的数据个数是()A.8B.7C.6D.5【解析】选D.故第四次运算结束后，B存储器的存放数据的个数为：(N+3)-(N-2)=5.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·咸阳高一检测)一个算法步骤如下：1.S取值0，i取值1.2.如果i≤10，则执行3，否则执行6.3.计算S+i，并让S取计算结果的值.4.计算i+2，并让i取计算结果的值.5.转去执行2.6.输出S.运行以上步骤输出的结果为S=.【解析】由以上算法可知：S=1+3+5+7+9=25.答案：254.结合下面的算法：1.输入x.2.判断x是否小于0，若是，则输出x+2；否则，执行第3步.3.输出x-1.当输入的x的值分别为-1，0，1时，输出的结果分别为、、.【解析】根据x的值，判断其与0的关系，选择执行不同的步骤，易得输出的结果分别为1，-1，0.答案：1-10【延伸探究】若输出的结果为2，则输入的x的值为.【解析】当x<0时，由x+2=2，所以x=0舍去.当x≥0时，x-1=2，所以x=3.答案：3三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·上饶高一检测)试描述解下面方程组的算法：【解析】设计如下：1.①+②化简得2x-y=14.④2.②-③化简得x-y=9.⑤3.④-⑤得x=5.⑥4.将⑥代入⑤得y=-4.5.将x，y代入①得z=11.6.输出x，y，z的值.6.某市劳动保障部门规定：某工种在法定工作时间内，工资为8元/h，加班工资为12元/h.已知某人在一周内工作60h，其中加班20h，他每周收入的10%要交纳税金.请设计一个算法，计算此人这周所得净收入.【解析】此人一周在法定工作时间内工作40h，加班20h，他一周内的净收入等于(40×8+20×12)×(1-10%)元.算法步骤如下：1.令T=40，t=20.2.计算S=(8×T+12×t)×(1-10%).3.输出S.【拓展延伸】算法设计的技巧算法是用来解决一类问题的步骤或程序，因此，在设计算法时，一定要注意方法的普遍性和操作的简便性.并且，设计的算法的步骤越少越好，因为这样不仅能够节省资源，而且可以充分体现算法的优越性.关闭Word文档返回原板块。

[A 基础达标]1．在下列各选项中，不是算法应具有的特征是( )A ．确定性B ．可行性C ．有穷性D ．拥有足够的情报答案：D2．下列说法正确的是( )A ．乐谱是乐队演奏和指挥的算法B ．菜谱是厨师烧菜的算法C ．把动物按照一定步骤放入冰箱里是一个算法D ．煮茶是一个算法答案：D3．对于一般的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2，在写此方程组的算法时，需要注意的是( )A ．a 1≠0B ．a 2≠0C ．a 1b 2－a 2b 1≠0D ．a 1b 1－a 2b 2≠0解析：选C.在写此方程组的算法时，a 1b 2－a 2b 1是一个很重要的值，它决定着方程组是否有唯一解．故选C.4．已知下面解决问题的算法：1．输入x ；2．若x ≤1，则执行y ＝2x －3，否则y ＝x 2－3x ＋3；3．输出y .当输入值x 与输出值y 相等时，输入的值为( )A ．1B ．3C ．1或3D ．－1或－3解析：选 B.由已知算法可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ≤1，x 2－3x ＋3，x >1.当x ＝y 时，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，2x －3＝x或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x 2－3x ＋3＝x ，解得x ＝3.5．阅读下面的算法：1．输入两个实数a ，b .2．若a ＜b ，则交换a ，b 的值，否则执行第3步．3．输出a .这个算法输出的是( )A ．a ，b 中的较大数B ．a ，b 中的较小数C ．原来的a 的值D ．原来的b 的值解析：选A.第二步中，若a ＜b ，则交换a ，b 的值，那么a 是a ，b 中的较大数；否则a ＜b 不成立，即a ≥b ，那么a 也是a ，b 中的较大数．6．给出如下算法：1．输入x 的值．2．若x ≥0，则y ＝x ，否则执行第3步．3．y ＝x 2.4．输出y 的值．若输出的y 值为9，则x ＝________．解析：根据题意可知，此为求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0函数值的算法，当x ≥0时，x ＝9；当x ＜0时，x 2＝9，所以x ＝－3.答案：9或－37．求1×3×5×7×9×11的值的一个算法如下，请将其补充完整．1．求1×3得结果．2．将第1步所得结果3乘5，得到结果15.3．____________________________．4．再将第3步所得结果105乘9，得945.5．再将第4步所得结果945乘11，得到10 395，即为最后结果．解析：由于第2步是计算3×5，故第3步应是计算第3次乘法15×7.答案：再将第2步所得结果15乘7，得到结果1058．已知平面直角坐标系中的点A (－1，0)，B (3，2)，求直线AB 的方程的一个算法如下，请将其补充完整．1．根据题意设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b .2．将A (－1，0)，B (3，2)代入第1步所设的方程，得到－k ＋b ＝0①；3k ＋b ＝2②.3．______________________．4．把第3步所得结果代入第1步所设的方程，得到y ＝12x ＋12. 5．将第4步所得结果整理，得到方程x －2y ＋1＝0.解析：第2步列出了关于k ，b 的方程组，第3步解方程组确定k ，b .答案：由第2步中①②得到k ＝12，b ＝129．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x >0，0，x ＝0，x ＋1，x <0，写出给定自变量x ，求函数值的算法．解：算法如下：1．输入x .2．若x >0，则令y ＝－x ＋1后执行第5步，否则执行第3步．3．若x ＝0，则令y ＝0后执行第5步，否则执行第4步．4．令y ＝x ＋1.5．输出y 的值．10．由动点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB ＝60°，若求动点P 的轨迹方程，试设计解决该问题的一个算法．解：1.说明OA ⊥AP .2．说明∠APO ＝30°.3．应用直角三角形的性质，得OP ＝2OA ＝2.4．说明点P 的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆．5．写出点P 的轨迹方程x 2＋y 2＝4.[B 能力提升]1．用二分法求方程f (x )＝0近似解的算法共分以下5步，其中正确的顺序为( ) ①确定有解区间[a ，b ](f (a )·f (b )<0)．②计算函数f (x )在中点处的函数值．③判断新的有解区间的长度是否小于精度．a ．如果新的有解区间长度大于精度，那么在新的有解区间上重复上述步骤．b ．如果新的有解区间长度小于或等于精度，那么取新的有解区间中的任一数值作为方程的近似解．④取区间[a ，b ]的中点x ＝a ＋b 2. ⑤判断函数值f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2是否为0.a ．如果为0，那么x ＝a ＋b 2就是方程的解，问题得到解决． b ．若f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2不为0，分两种情况：若f (a )·f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2<0，确定新的有解区间为⎝⎛⎭⎫a ，a ＋b 2； 若f (a )·f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2>0，确定新的有解区间为⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，b . A ．①④②⑤③B ．①②③④⑤C ．①⑤②③④D ．①④⑤③②解析：选A.根据二分法解方程的步骤，可以判断算法的顺序为①④②⑤③.2．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条3分钟．以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序．小明要将面条煮好，最少要用的分钟数为( )A ．13B ．14C ．15D ．23解析：选C.①洗锅盛水2分钟、④用锅把水烧开10分钟(同时②洗菜6分钟、③准备面条及佐料2分钟)、⑤煮面条3分钟，共计15分钟．3．下面给出了一个解决问题的算法：1．输入x .2．若x ≤3，则执行第3步，否则执行第4步．3．使y ＝2x －1.4．使y ＝x 2－2x ＋4.5．输出y .则这个算法解决的问题是________．答案：求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤3，x 2－2x ＋4，x >3的函数值4．(选做题)有分别装有醋和酱油的A、B两个瓶子，现要将B瓶中的酱油装入A瓶，A 瓶中的醋装入B瓶，写出解决问题的一种算法．解：算法步骤如下：1．引入第三个空瓶C瓶；2．将A瓶中的醋装入C瓶中；3．将B瓶中的酱油装入A瓶中；4．将C瓶中的醋装入B瓶中；5．交换结束．。

§1算法的基本思想填一填1.算法的概念在解决某些问题时，需要设计出一系列________或________的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法．这种描述不是算法的严格定义，但是反映了算法的基本思想．2．算法的主要特征(1)________：一个算法的步骤是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限的．(2)________：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行和得到确定的结果，而不应当模棱两可．(3)________：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都要准确无误，才能解决问题．(4)________：求解某一个问题的算法不是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法．(5)________.判一判1.2．算法就是某个问题的解题过程．()3．算法是解决一个问题的方法．()4．算法的步骤必须是明确的、有限的．()5．解决某一个具体问题时，算法不同，结果不同．()6．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施．()7．只有将要解决的问题分解为若干步骤，并且用计算机能够识别的语言描述出来，计算机才能解决问题．()8想一想1.提示：设计算法的目的实际上是寻求一类问题的解决方法，它可以通过计算机来完成．设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到让计算机执行的目的．2．设计算法的要求是什么？提示：①写出的算法必须能解决一类问题．②要使算法尽量简单、步骤尽量少．③要保证算法步骤有效，且计算机能够执行．3．算法的判断方法有什么？提示：要判断一个语段是不是算法，需要抓住以下两点：(1)写出的算法可以用于解决某一类问题，并且能重复使用；(2)算法的过程或步骤必须是确定的且经过有限步后能完成的．4．设计一个具体问题的算法，通常有哪些步骤？提示：(1)认真分析问题，找出解决该问题的一般数学方法．(2)借助有关变量或参数对算法加以表述．(3)将解决问题的过程划分为若干步骤．(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．思考感悟练一练1．下列关于算法的说法正确的是()A．一个算法的步骤是可逆的B．描述算法可以有不同的方式C．算法可以看成是按照要求设计好的、有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题D．算法只能用一种方式显示2．计算下列各式中S的值，能设计算法求解的是()①S ＝12＋14＋18＋ (12100)②S ＝12＋14＋18＋…＋12100＋…；③S ＝12＋14＋18＋…＋12n (n ≥1，n ∈N *)． A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③3．已知直角三角形两直角边长为a ，b ，求斜边长c 的一个算法分下列三步：(1)计算c ＝a 2＋b 2；(2)输入直角三角形两直角边长a ，b 的值； (3)输出斜边长c 的值．其中正确的顺序是________． 4．下面是解决一个问题的算法： 第一步：输入x .第二步：若x ≥4，转到第三步；否则转到第四步． 第三步：输出2x －1. 第四步：输出x 2－2x ＋3.当输入x 的值为________时，输出的数值最小，且最小值为________．知识点一 算法概念的理解1.A ．泡茶需要温杯、醒茶、冲泡这些步骤B ．已知圆经过点A (0,0)，B (2,1)，C (0,2)，设出圆的一般方程，利用待定系数法求出圆的方程C ．解方程2x 2＋x －1＝0D ．利用公式S ＝πr 2，计算半径为4的圆的面积，就是计算π×42 2．算法具有确定性，其确定性指的是( ) A ．算法的步骤是有限的 B ．算法一定包含输出C ．算法的每个步骤是具体的，可操作的D 知识点二 算法的设计3.写出解不等式4x －65≥2的一个算法．4．设计算法，找出a ，b ，c ，d 四个互不相同的数中的最小数．5.法．6．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为C ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53×W (W ≤50)，50×0.53＋(W －50)×0.85 (W >50)，其中W (单位：kg)为行李的质量．请设计一个计算托运费C (单位：元)的算法．综合知识 算法的基本思想 7.给出求解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7，4x ＋5y ＝11的一个算法．8．在解放战争中，有一名战士接到命令，要求在最短的时间内配制出三副炸药，但是由于条件艰苦，称量物品的天平只剩下50 g 和5 g 两个砝码．现有465 g 硫黄，要平均分成三份，如何设计算法才能使称量的次数最少？需称量多少次？基础达标1．算法的每一步应该是正确的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不是模棱两可的，这是指算法的( )A ．有穷性B ．确定性C ．普遍性D ．不唯一性2．下列关于算法的描述正确的是( ) A ．算法与求解一个问题的方法相同B ．算法只能解决一个问题，不能重复使用C ．算法过程要一步一步执行，每步执行的操作必须确切D ．有的算法执行完后，可能无结果3．使用配方法解方程x 2－4x ＋3＝0的算法的正确步骤是( ) ①配方得(x －2)2＝1；②移项得x 2－4x ＝－3； ③解得x ＝1或x ＝3；④开方得x －2＝±1. A ．①②③④ B ．②①④③ C ．②③④① D ．④③②①4．第一步，输入不小于2的正整数n .第二步，判断n 是否为2.若n ＝2，则n 满足条件；若n >2，则执行第三步．第三步，依次从2到n －1检验能不能整除n ，若不能整除，则n 满足条件．上述算法满足条件的n 是( ) A ．质数 B ．奇数 C ．偶数 D ．合数 5．阅读下面的算法： (1)输入两个实数a ，b .(2)若a <b ，则交换a ，b 的值，否则执行第三步． (3)输出a .这个算法输出的是( )A ．a ，b 中的较大数B ．a ，b 中的较小数C ．原来的a 的值D ．原来的b 的值6．小明早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤，下列选项中最好的一种算法是( )A ．①洗脸刷牙；②刷水壶；③烧水；④泡面；⑤吃饭；⑥听广播B ．①刷水壶；②烧水同时洗脸刷牙；③泡面；④吃饭；⑤听广播C ．①刷水壶；②烧水同时洗脸刷牙；③泡面；④吃饭同时听广播D ．①吃饭同时听广播；②泡面；③烧水同时洗脸刷牙；④刷水壶7．对于一般的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2，在写此方程组的算法时，需要注意的是( )A ．a 1≠0B ．a 2≠0C ．a 1b 2－a 2b 1≠0D ．a 1b 1－a 2b 2≠08．在下面求15和18的最小公倍数的算法中，其中不恰当的一步是________．(1)先将15分解素因数：15＝3×5； (2)然后将18分解素因数：18＝32×2； (3)确定它们的所有素因数：2,3,5；(4)计算出它们的最小公倍数：2×3×5＝30. 9．求1×3×5×7×9×11的值的一个算法是： (1)求1×3，得结果3.(2)将第一步所得结果3乘以5，得到结果15.(3)________________________________________________________________________．(4)再将第三步所得结果105乘以9，得到945. (5)再将第四步所得结果945乘以11，得到10 395，即为最后结果． 10．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．11．以下是解二元一次方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6＝0， ①x ＋y ＋3＝0 ②的一个算法，请将该算法补充完整． 第一步，①②两式相加得3x ＋9＝0；③ 第二步，由③式可得________；④ 第三步，将④式代入①式得y ＝0； 第四步，输出方程组的解________．12．已知一个学生的语文成绩为89分，数学成绩为96分，外语成绩为99分，求它的总分和平均分的一个算法如下，请将其补充完整：(1)取A ＝89，B ＝96，C ＝99.(2)____________________________． (3)____________________________．13．写出解方程x 2－2x －3＝0的一个算法．14．有黑和蓝两个墨水瓶，主人错把黑墨水装在了蓝墨水瓶子里，而蓝墨水错装在了黑墨水瓶子里．请你设计一个算法，要求将其互换．能力提升15.已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x >0，0，x ＝0，x ＋1，x <0，写出给定自变量x ，求函数值的算法．16．现在有三个油瓶，分别能装8 kg,5 kg,3 kg 的油，当8 kg 的瓶子装满油时，设计一个用这三个瓶子倒油的算法，怎样倒能使这些油被平分到两个瓶子里？§1算法的基本思想一测基础过关填一填1．可操作可计算2．(1)有穷性(2)确定性(3)有序性(4)不唯一性(5)普遍性判一判1．√ 2.× 3.× 4.√ 5.× 6.×7.√8.×练一练1．B 2.B 3.②①③ 4.1 2二测考点落实1．解析：算法是做一件事情的步骤或程序，不是指某一件事情，故选C.答案：C2．解析：由算法的概念可知，算法的步骤是具体的，可操作的，即算法具有确定性，故选C.答案：C3．解析：第一步，不等式两边都乘5，得4x－6≥10.第二步，不等式两边都加6，得4x≥16.第三步，不等式两边同除以4，得x≥4.4．解析：算法如下：第一步，输入四个互不相同的数a，b，c，d，定义最后求得的最小者为m，令m＝a.第二步，如果b<m，则m＝b；如果b>m，则m的值不变．第三步，如果c<m，则m＝c；如果c>m，则m的值不变．第四步，如果d<m，则m＝d；如果d>m，则m的值不变．第五步，输出m，则m就是a，b，c，d这四个互不相同的数中的最小数．5.解析：如图，先给r，l赋值，计算h，再根据圆锥体积公式V＝13πr2h计算V，然后输出结果．第一步，令r ＝3，l ＝5. 第二步，计算h ＝l 2－r 2.第三步，计算V ＝13πr 2h . 第四步，输出运算结果．6．解析：第一步，输入行李的质量W . 第二步，若W ≤50，则C ＝0.53×W ； 否则，C ＝50×0.53＋(W －50)×0.85. 第三步，输出托运费C .7．解析：方法一：用代入消元法 第一步，由2x ＋y ＝7得y ＝7－2x .第二步，将y ＝7－2x 代入4x ＋5y ＝11，得4x ＋5(7－2x )＝11，解得x ＝4.第三步，将x ＝4代入方程y ＝7－2x ，解得y ＝－1.第四步，输出方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－1.方法二：用加减消元法第一步，方程2x ＋y ＝7两边都乘以5得，10x ＋5y ＝35.第二步，将第一步所得的方程与方程4x ＋5y ＝11作差，消去y 得6x ＝24，解得x ＝4.第三步，将x ＝4代入方程2x ＋y ＝7，解得y ＝－1.第四步，输出方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－1.8．解析：算法如下：1．计算出465 g 硫黄分成三等份，每份应为155 g. 2．用5 g 砝码称出5 g 硫黄． 3．用50 g 砝码称出50 g 硫黄．4．用50 g 砝码和50 g 硫黄共同称出100 g 硫黄． 5．把5 g,50 g,100 g 硫黄混合，构成155 g 硫黄，也就是一份硫黄． 6．用这一份硫黄再称出155 g 硫黄，余下的作为一份．由上述方法可以看出，这样的操作共需要称量4次．三测 学业达标1．解析：由算法的概念与特征可知应为算法的确定性． 答案：B2．解析：算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A 不正确；算法能够重复使用，故B 不正确；每一个算法执行完后，必须有结果，故D 不正确．答案：C3．解析：使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、得解的顺序进行．答案：B4．解析：依据质数、奇数、偶数和合数的定义可以判断满足条件的n 是质数．答案：A5．解析：第二步中，若a <b ，则交换a ，b 的值，那么a 是a ，b 中的较大数；若a <b 不成立，即a ≥b ，那么a 也是a ，b 中的较大数．答案：A6．解析：因为A 选项共用时间36 min ，B 选项共用时间31 min ，C 选项共用时间23 min ，D 选项的算法步骤不符合常理．答案：C7．解析：在写此方程组的算法时，a 1b 2－a 2b 1是一个很重要的值，它决定着方程组是否有唯一解．故选C.答案：C8．解析：(4)步不恰当，正确的应该是：先确定素因数的指数：2,3,5的指数分别为1,2,1；然后计算出它们的最小公倍数：2×32×5＝90.答案：(4)9．答案：再将第二步所得结果15乘以7，得到结果105.10．解析：区间(1,2)的中点为x 0＝32，令f (x )＝x 3－2x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－58<0，f (2)＝3>0， 所以下一步可断定该根所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 11．解析：由3x ＋9＝0，得x ＝－3，即④处应填x ＝－3；把x ＝－3代入2x －y ＋6＝0，得y ＝0，即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝0. 答案：x ＝－3 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝0 12．答案：计算总分D ＝A ＋B ＋C 计算平均分E ＝D 313．解析：法一：算法步骤如下：(1)移项得x2－2x＝3.①(2)①两边同加1并配方得(x－1)2＝4.②(3)②两边开方得x－1＝±2.③(4)解③得x＝3或x＝－1.法二：(1)计算方程的判别式并判断其符号：Δ＝22＋4×3＝16>0；(2)将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝－b±b2－4ac2a，得x1＝3，x2＝－1.14．解析：第一步，引入第三个空墨水瓶并设为白色．第二步，将黑瓶中的蓝墨水装入白瓶中．第三步，将蓝瓶中的黑墨水装入黑瓶中．第四步，将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中．第五步，交换结束．15．解析：算法如下：(1)输入x.(2)若x>0，则令y＝－x＋1后执行第5步，否则执行第3步．(3)若x＝0，则令y＝0后执行第5步，否则执行第4步．(4)令y＝x＋1.(5)输出y的值．16．解析：第一步，先规定8 kg的大油瓶为A,5 kg和3 kg的油瓶分别为B，C.第二步，从A瓶往C倒3 kg，将C装满，此时A中剩下5 kg油．第三步，将C中的3 kg油倒进B.第四步，再从A往C内倒3 kg油．第五步，从C往B倒2 kg，即将B装满．第六步，将B中油全部倒入A.第七步，将C中油全部倒入B.第八步，从A往C倒油，将C装满，此时A中的油为4 kg.第九步，将C中油全部倒入B，则B中油也为4 kg.由Ruize收集整理。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 第2章 1算法的基本思想课时作业 北师大版必修3一、选择题1．算法的有限性是指( ) A ．算法的最后必包含输出B ．算法中每个操作步骤都是可执行的C ．算法的步骤必须有限D ．以上说法均不正确 [答案] C[解析] 由算法的要求可知，一个算法必须执行有限步后得出结果． 2．下面的结论正确的是( ) A ．一个程序的算法步骤是可逆的 B ．一个算法可以无止境地运算下去 C ．完成一件事情的算法有且只有一种 D ．设计算法要本着简单方便的原则 [答案] D[解析] 选项A 不正确，算法只需要每一步都可以顺利进行，并且结果唯一，不能保证可逆．选项B 不正确，一个算法必须在有限步内完成，不然就不符合算法的有穷性．选项C 不正确 ，一般情况下，一个问题的解决办法不止一个．选项D 正确，设计算法要尽量使程序运算简单，节约时间，故选D.3．下面对算法描述正确的项是( ) A ．算法只能用自然语言来描述 B ．算法只能用图形方式来表示 C ．同一个问题可以有不同的算法 D ．同一个问题算法不同，结果必然不同 [答案] C[解析] 算法的描述方式不唯一，且同一个问题可以有不同算法，但无论哪个算法得到的结果都是一样的．4．下列语句表达中是算法的有( )①从济南到巴黎可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达； ②利用公式S ＝12ah 计算底为1，高为2的三角形的面积；③12x >2x ＋4； ④求M (1,2)与N (－3，－5)两点所在直线的方程，可先求MN 的斜率，再利用点斜式求方程．A ．1个 B.2个 C ．3个 D.4个[答案] C[解析] 算法是解决某类问题的步骤与过程，这个问题并不仅仅限于数学问题，①②④都表达了一种算法，故应选C.5．对于一般的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1a 2x ＋b 2y ＝c 2，在写解此方程组的算法时，需要注意的是( )A ．a 1≠0 B.a 2≠0 C ．a 1b 2－a 2b 1≠0 D.a 1b 1－a 2b 2≠0[答案] C[解析] 采用加减法解方程组，未知数x ，y 的系数是a 1b 2－a 2b 1，故a 1b 2－a 2b 1≠0才能保证方程组有解．6．下列关于算法的说法正确的是( ) ①求解某一类问题的算法是唯一的 ②算法必须在有限步操作之后停止③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊 ④算法执行后一定产生明确的结果 A ．1个 B.2个 C ．3个 D.4个[答案] C[解析] 求解某一类问题的算法不一定唯一．所以①错，②③④正确．故选C. 二、填空题7．写出1＋3＋5＋7＋9的算法的第一步是1＋3得4，第二步是将第一步中的运算结果4与5相加得9，第三步是__________________．[答案] 将第二步中的运算结果9与7相加得16[解析] 注意体会这种累加法的本质，把这种累加的思想进行推广． 8．下列所给问题中：①二分法解方程x 2－3＝0(精确到0.01)；②解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0，x －y ＋3＝0；③求半径为2的球的体积；④判断y ＝x 2在R 上的单调性．其中可以设计一个算法求解的是________(填上你认为正确的序号)．[答案] ①②③[解析] 由算法的特征可知①②③都能设计算法．对于④，当x ≥0或x ≤0时，函数y ＝x 2是单调递增或单调递减函数，但当x ∈R 时， 由函数的图像可知在整个定义域R 上不是单调函数，因此不能设计算法求解．三、解答题9．有人针对如何检验歌德巴赫猜想“任何大于4的偶数都能写成两个奇质数之和”设计了如下的算法步骤：1．验证6可以写成两个奇质数之和． 2．验证8可以写成两个奇质数之和． 3．验证10可以写成两个奇质数之和． ……利用计算机无穷地进行下去就可以检验歌德巴赫猜想是否正确！ 请指出该算法步骤中的错误．[解析] 该例给出的不是算法，因为算法的步骤应该是明确的、有限的；而本例中的“……”所表示的步骤不确定，并且要无穷地进行下去．10．设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值，写出解决本题的一个算法．[解析] 1.求出圆心到直线的距离d ＝4－2322＝1.2．根据点到直线的距离公式得|a －2＋3|a 2＋1＝1.3．化简上面方程得|a ＋1|＝a 2＋1. 4．解方程得a ＝0.一、选择题 1．已知算法： 1．输入n ； 2．判断n 是否是2，若n ＝2，则n 满足条件； 若n >2，则执行第3步；3．依次检验从2到n －1的整数能不能整除n ，若不能整除n ，满足条件．上述满足条件的数是( )A ．质数 B.奇数 C ．偶数 D.4的倍数[答案] A[解析] 由质数定义知，满足条件的数是质数．2．早晨起床后需要：洗脸刷牙(5 min)，刷水壶(2 min)，烧水(8 min)，泡面(3 min)，吃饭(10 min)，听广播(8 min)，下列选项中最好的一种算法设计是( )A.1.洗脸刷牙2.洗水壶3.烧水4.泡面5.吃饭6.听广播B.1.洗水壶2.烧水，同时洗脸刷牙3.泡面4.吃饭5.听广播C.1.吃饭，同时听广播2.泡面3.烧水， 同时洗脸刷牙4.洗水壶D.1.洗水壶2.烧水，同时洗脸刷牙3.泡面4.吃饭同时听广播[答案] D[解析] 由算法的概念及特点知选D. 二、填空题3．阅读下面的算法，回答所给问题： 第一步，输入a ；第二步，若a ≥4，则执行第三步，否则执行第四步； 第三步，输出2a －1； 第四步，输出a 2－2a －1. (1)上述算法的功能是________；(2)当输入的a 值为________时，输出的数值最小，其最小值为________．[答案] (1)求分段函数f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －1，a ≥4，a 2－2a －1，a <4的函数值 (2)1 －24．一个算法步骤如下： 1 S 取值0，i 取值1.2 如果i ≤10，则执行3，否则执行6.3 计算S ＋i ，并让S 取计算结果的值．4 计算i ＋2，并让i 取计算结果的值．5 转去执行2.6 输出S .运行以上步骤输出的结果为S ＝________. [答案] 25[解析] 由以上算法可知：S ＝1＋3＋5＋7＋9＝25. 三、解答题5．用二分法设计一个求方程x 2－2＝0的近似解的算法．[解析] 假设所求近似解与精确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下算法步骤．1 令f (x )＝x 2－2，因为f (1)<0，f (2)>0，所以设x 1＝1，x 2＝2. 2 令m ＝x 1＋x 22，判断f (m )是否为0，若是，则m 即为所求；否则，继续判断f (x 1)·f (m )大于0还是小于0.3 若f (x 1)·f (m )>0，则x 1＝m ；否则，x 2＝m .4 判断|x 1－x 2|<0.005是否成立，若是，则x 1，x 2之间的任意值均为满足条件的近似解；否则，返回第二步．5 输出结果．6．试描述解下面方程组的算法：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝12， ①3x －3y －z ＝16， ②x －y －z ＝－2. ③[解析] 设计如下：1．①＋②化简得2x －y ＝14.④ 2．②－③化简得x －y ＝9.⑤ 3．④－⑤得x ＝5.⑥ 4．将⑥代入⑤得y ＝－4. 5．将x ，y 代入①得z ＝11. 6．输出x ，y ，z 的值．7.(1)试描述判断圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和直线Ax ＋By ＋C ＝0位置关系的算法． (2)写出求过点M (－2，－1)、N (2,3)的直线与坐标轴围成三角形面积的一个算法． [解析] (1)1.输入圆心的坐标(a ，b )，直线方程的系数A 、B 、C 和半径r ；2．计算z 1＝Aa ＋Bb ＋C ； 3．计算z 2＝A 2＋B 2； 4．计算d ＝|z 1|z 2；5．如果d >r ，则相离；如果d ＝r ，则相切；如果d <r ，则相交．(2)已知直线上的两点M 、N ，由两点式可写出直线方程，令x ＝0，得出与y 轴交点；令y ＝0，得出直线与x 轴交点，求出三角形两直角边的长，根据三角形面积公式可求出其面积．算法步骤如下：1．取x 1＝－2，y 1＝－1，x 2＝2，y 2＝3； 2．得直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1； 3．令x ＝0，得y 的值m ，从而得直线与y 轴交点的坐标(0，m )； 4．令y ＝0，得x 的值n ，从而得直线与x 轴交点的坐标(n,0)； 5．根据三角形面积公式求S ＝12·|m |·|n |；6．输出算法结果．。

第二章算法初步§1算法的基本思想双基达标(限时20分钟)1．下列说法正确的是()．A．算法就是某个问题的解题过程B．算法是解决某类问题的步骤C．解决某一个具体问题时，算法不同，结果不同D．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施解析选项A.算法不能等同于解法；选项C.解决某一个具体问题，算法不同结果应该相同，否则算法构造的有问题；选项D，算法执行的步骤可以是很多次，但不可以是无限次．答案 B2.下面四种叙述能称为算法的是()．A．在家里一般是妈妈做饭B．做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤C．在野外做饭叫野炊D．做饭必须有米解析四个选项中只有B选项是表达解决问题的步骤．答案 B3．对于算法：第一步，输入n.第二步，判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件；若n＞2，则执行第三步．第三步，依次从2到(n－1)检验能不能整除n，若不能整除n，则执行第四步；若能整除n，则执行第一步．第四步，输出n . 满足条件的n 是( )．A ．质数B ．奇数C ．偶数D ．约数解析 此题首先要理解质数．只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2 是最小的质数，这个算法通过对2到(n －1)一一验证，看是否有其他约数，来 判断其是否为质数． 答案 A4．假如你要乘火车去外地办事，请写出从自己房间出发到坐在车厢内的三步主要算法：(1)______；(2)______；(3)________．解析 从自己房间出发到坐在车厢内一般需分以下三步： (1)去火车站；(2)买车票；(3)凭票上车，对号入座． 答案 去火车站 买车票 凭票上车，对号入座5．以下是解二元一次方程组⎩⎨⎧2x －y ＋6＝0 ①x ＋y ＋3＝0 ②的一个算法，请将该算法补充完整．第一步，①②两式相加得3x ＋9＝0 ③ 第二步，由③式可得________④第三步，将④式代入①式得y ＝0. 第四步，输出方程组的解________． 答案 x ＝－3 x ＝－3，y ＝06．写出解方程x 2－2x －3＝0的一个算法． 解 法一第一步：移项得x 2－2x ＝3①，第二步：①式两边同时加1， 并配方得(x －1)2＝4②， 第三步：②式两边开方，得x －1＝±2③，第四步：解③得x 1＝3，x 2＝－1. 法二第一步：计算方程的判别式并判断其符号，显然Δ＝(－2)2－4×(－3)＝16>0.第二步：将a ＝1，b ＝－2，c ＝－3代入求根公式； x 1，2＝－b ±b 2－4ac 2a，得x 1＝3，x 2＝－1.综合提高 （限时25分钟）7．方程7x ＋3y ＝46的正整数解有( )．A ．0组B ．1组C ．2组D ．3组解析 由7x <46得x <647，则x ＝1，2，3，4，5，6，验证知，只有x ＝1，y ＝13；x ＝4，y ＝6两组正整数解． 答案 C8．算法：(1)输入正整a ，b ，c ；(2)计算x ＝a 2＋b 2；(3)输出x －c .下列描述最准确的是( )．A ．可用来判断a ，b ，c 是否为一组勾股数B ．可用来判断a ，b ，c 之间大小顺序C ．可用来判断点(a ，b )是否在直线x ＝c 上D ．可用来判断点(a ，b )与圆心在原点，半径为c 的圆的位置关系解析 令a 2＋b 2＝c ＝(c )2，则方程表示圆心在原点，半径为c 的圆O ，依题 意，x －c 即a 2＋b 2－c .若x ＝c ，a 2＋b 2＝c ，表示点(a ，b )在圆O 上；若x >c ， a 2＋b 2>c ，表示点(a ，b )在圆O 外；若x <c ，a 2＋b 2<c ，表示点(a ，b )在圆O 内． 答案 D9．写出求1＋2＋…＋99＋100的一个算法，可运用公式1＋2＋…＋(n －1)＋n ＝n （n ＋1）2直接计算． 第一步：输入n ＝100； 第二步：计算____________； 第三步：输出计算结果． 答案 s ＝n （n ＋1）210．两个数630、660的最大公因数是________．解析 将所给的整数进行素因数分解：630＝2×32×5×7，660＝22×3×5× 11，所以两个数的最大公因数为2×3×5＝30. 答案 3011．写出求方程组⎩⎨⎧3x －2y ＝14 ①x ＋y ＝－2 ②的解的算法．解 法一第一步：②×2＋①，得到5x ＝14－4. ③ 第二步：解方程③，可得x ＝2.④ 第三步：将④代入②，可得2＋y ＝－2.⑤第四步：解⑤得y ＝－4.第五步：得到方程组的解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－4.法二第一步：由②式移项可以得到x ＝－2－y . ③ 第二步：把③代入①，得y ＝－4.④第三步：把④代入③，得x ＝2. 第四步：得到方程组的解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－4.12．(创新拓展)给出解方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为实数)的一个算法． 解 算法步骤如下：第一步，当a ＝0，b ＝0，c ＝0时解集为全体实数； 第二步，当a ＝0，b ＝0，c ≠0时，原方程无实数解； 第三步，当a ＝0，b ≠0时，原方程的解为x ＝－cb ； 第四步，当a ≠0且b 2－4ac >0时，方程有两个不等实根 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a；第五步，当a ≠0且b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等实根 x 1＝x 2＝－b2a ；第六步，当a ≠0且b 2－4ac <0时，方程没有实数根．。

第二章§1一、选择题1．下边四种表达能称为算法的是()A．在家里一般是妈妈做饭B．煮茶水一般分为刷茶壶、放茶叶、添水、加热这些步骤C．在野外做饭叫野炊D．做饭一定要有米[答案]B[分析 ]利用算法的定义求解，算法是做一件事情的方法和步骤．2．下边的结论正确的选项是()A．一个程序的算法步骤是可逆的B．一个算法能够无止境地运算下去C．达成一件事情的算法有且只有一种D．设计算法要本着简单方便的原则[答案] D[分析 ]选项A不正确，算法只要要每一步都能够次序进行，而且结果独一，不可以保证可逆．选项B 不正确，一个算法一定在有限步内达成，不然就不切合算法的有穷性．选项C 不正确，一般状况下，一个问题的解决方法不只一个．选项 D 正确，设计算法要尽量使程序运算简单，节俭时间，应选 D.3．下边对算法描绘正确的项是()A．算法只好用自然语言来描绘B．算法只好用图形方式来表示C．同一个问题能够有不一样的算法D．同一个问题算法不一样，结果必定不一样[答案] C[分析 ]算法的描绘方式不独一，且同一个问题能够有不一样算法，但没法哪个算法获得的结果都是同样的．4．以下语句表达中是算法的有()①从济南到巴黎能够先乘火车到北京，再坐飞机到达；②利用公式 S＝1ah 计算底为1，高为 2 的三角形的面积；21③2x>2x ＋ 4；④求 M(1,2) 与 N( － 3，－ 5)两点所在直线的方程，可先求MN 的斜率，再利用点斜式求方程．A．1个B．2 个C．3 个D．4 个[答案 ]C[分析 ]算法是解决某类问题的步骤与过程，这个问题其实不只是限于数学识题，①②④都表达了一种算法，故应选 C.a1x＋ b1y＝ c15．关于一般的二元一次方程组，在写解此方程组的算法时，需要注意的a2x＋ b2y＝ c2是 ()A． a1≠0 B ．a2≠0C． a1b2－a2b1≠0D． a1b1－a2b2≠0[答案] C[分析 ]采纳加减法解方程组，未知数x， y 的系数是a1b2－ a2b1，故 a1b2－ a2b1≠0才能保证方程组有解．6．以下表达能称为算法的个数为()①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②挨次进行以下运算：1＋ 1＝ 2,2＋ 1＝ 3,3＋ 1＝ 4，， 99＋1＝ 100；③从枣庄乘火车到徐州，从徐州乘飞机到广州；④3x>x ＋ 1；⑤求全部能被 3 整除的正整数，即3,6,9,12， .A． 2B．3C．4D．5[答案]B[分析 ]由算法定义，知①，②，③切合算法的定义，而④没有给出解题步骤，⑤也不切合算法定义要求，应选 B.二、填空题7．写出 1＋3＋ 5＋ 7＋9 的算法的第一步是1＋ 3 得 4，第二步是将第一步中的运算结果4 与 5 相加得 9，第三步是 __________________ ．[答案 ] 将第二步中的运算结果9与 7相加得16[分析 ]注意领会这类累加法的实质，把这类累加的思想进行推行．8．以下所给问题中：①二分法解方程x2－ 3＝ 0(精准到0.01) ；②解方程组x＋ y＋ 5＝ 0，x－ y＋ 3＝ 0；③求半径为 2 的球的体积；2正确的序号 )．[答案 ]①②③[分析 ]由算法的特色可知①②③都能设计算法．关于④，当________( 填上你以为x≥0或 x≤0时，函数y＝x2是单一递加或单一递减函数，但当x∈R时，由函数的图像可知在整个定义域R 上不是单一函数，所以不可以设计算法求解．三、解答题9．写出求1＋2＋ 3＋＋ n 的一个算法．[剖析 ]这是一个累加乞降问题，可依据逐一相加的方法计算，就获得一种解决它的步骤，即一种算法；若想到公式1＋ 2＋ 3＋＋ n＝＋，也可运用它解决 . 2[分析 ]解法一：逐一相加，算法步骤以下：1．计算 1＋ 2 获得 3；2．将第 1 步的运算结果 3 与 3 相加，获得6；3．将第 2 步的运算结果 6 与 4 相加，获得10；4．将第 3 步的运算结果10 与 5 相加，获得15；5．将第 4 步的运算结果15 与 6 相加，获得 21.n－ 1.将第 n－2 步的运算结果与 n 相加；n．第 n－ 1 步的运算结果即为所求．解法二：利用公式，算法步骤以下：1．给定 n；2．计算＋；23．第 2 步的计算结果即为所求．[评论 ]一个问题能够有多个算法，能够选择此中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法．上边的两种算法都切合题意，但算法二利用乞降公式，这样步骤就比算法一少了很多，所以更加科学．此题表现了算法的特色：(1) 一个算法常常拥有代表性，能够解决一类问题；(2) 算法不是独一的；(3)两个算法各自表现了不一样的思想内涵．一、选择题1．已知算法：1．输入 n；2．判断 n 是不是 2，若n＝2，则n 知足条件；若 n>2，则履行第 3 步；3．挨次查验从 2 到 n－ 1 的整数能不可以整除 n，若不可以整除n，知足条件．上述知足条件的数是()A．质数C．偶数B ．奇数D． 4 的倍数[答案 ]A[分析 ]由质数定义知，知足条件的数是质数．2．清晨起床后需要：洗脸刷牙(5 min) ，刷水壶 (2 min) ，烧水 (8 min) ，泡面 (3 min) ，吃饭 (10 min) ，听广播 (8 min) ，以下选项中最好的一种算法设计是()1.洗脸刷牙1.洗水壶2.洗水壶2.烧水，同时洗脸刷牙3.烧水A. B ．3.泡面4.泡面4.吃饭5.吃饭5.听广播6.听广播1.吃饭，同时听广播 1.洗水壶2.泡面 2.烧水，同时洗脸刷牙C. D ．3.烧水，同时洗脸刷牙 3.泡面4.洗水壶 4.吃饭同时听广播[答案 ]D[分析 ]由算法的观点及特色知选 D.二、填空题3．阅读下边的算法，回答所给问题：第一步，输入a；第二步，若a≥4，则履行第三步，不然履行第四步；第三步，输出2a－ 1；第四步，输出a2－2a－ 1.(1)上述算法的功能是________；(2)当输入的 a 值为 ________时，输出的数值最小，其最小值为________．[答案 ] (1)求分段函数 f(a) ＝2a－ 1，a≥4，－ 2的函数值 (2)1a2－ 2a－ 1，a<44．一个算法步骤以下：1S 取值 0， i 取值 1.2假如 i ≤ 10，则履行 3，不然履行 6.3计算 S＋ i，并让 S 取计算结果的值．4计算 i＋ 2，并让 i 取计算结果的值．5转去履行 2.6输出 S.运转以上步骤输出的结果为S＝ ________.[答案 ]25[分析 ]由以上算法可知：S＝ 1＋ 3＋5＋ 7＋ 9＝25.三、解答题5．用二分法设计一个求方程x2－ 2＝ 0 的近似解的算法．[分析 ]假定所求近似解与精准解的差的绝对值不超出0.005，则不难设计出以下算法步骤．1令 f(x) ＝ x2－ 2，由于 f(1)<0 ， f(2)>0 ，所以设 x1＝ 1， x2＝2.2令 m＝x1＋ x2，判断 f(m) 能否为 0，假如，则 m 即为所求；不然，持续判断 f(x 1 ) ·f(m) 2大于 0仍是小于 0.3若 f(x 1) ·f(m)>0 ，则 x1＝ m；不然， x2＝ m.4判断 |x1－ x2|<0.005 能否建立，假如，则 x1，x2之间的随意值均为知足条件的近似解；不然，返回第二步．5输出结果．6．试描绘解下边方程组的算法：x＋y＋ z＝ 12，①3x－ 3y－ z＝16，②x－ y－ z＝－2.③[分析 ]设计以下：1．①＋②化简得2x － y＝ 14.④2．②－③化简得x－ y＝ 9.⑤3．④－⑤得x＝ 5.⑥4．将⑥代入⑤得y＝－ 4.5．将 x， y 代入①得z＝11.6．输出 x， y， z 的值．7． (1) 试描绘判断圆(x－a)2＋ (y－ b)2＝ r2和直线 Ax ＋ By＋ C＝ 0 地点关系的算法．(2)写出求过点M( － 2，－ 1)、 N(2,3) 的直线与坐标轴围成三角形面积的一个算法．[分析 ] (1)1.输入圆心的坐标(a， b)，直线方程的系数 A 、B 、 C 和半径 r；2．计算 z1＝ Aa＋ Bb ＋C；3．计算 z2＝ A 2＋B 2；4．计算 d＝|z1|；z25．假如 d>r，则相离；假如d＝ r，则相切；假如d<r ，则订交．(2)已知直线上的两点M 、N，由两点式可写出直线方程，令x＝ 0，得出与 y 轴交点；令 y＝ 0，得出与直线 x 轴交点，求出三角形两直角边的长，依据三角形面积公式可求出其面积．算法步骤以下：1．取 x1＝－ 2， y1＝－ 1， x2＝ 2，y2＝ 3；2．得直线方程y－y1＝x－x1；y2－ y1 x2－ x13．令 x＝ 0，得 y 的值 m，进而得直线与y 轴交点的坐标 (0， m)；4．令 y＝ 0，得 x 的值 n，进而得直线与x 轴交点的坐标 (n,0)；15．依据三角形面积公式求S＝2·|m| |n|·；6．输出算法结果．。

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课后巩固·提能一、选择题1.下面是解决问题的算法的是( )(A)电脑开机要先插好电源，再打开显示器，最后打开主机(B)斜二测画法中平行于x轴的线段长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半(C)求方程x2-1=0的根要先因式分解，化为一次方程(D)数学必修三共包括算法、统计与概率三部分内容2.(2012·德州高一检测)在用二分法求函数零点的算法中，说法正确的是( )(A)这个算法可以求所有的零点(B)这个算法可以求任何函数的零点(C)这个算法能求所有近似零点(D)这个算法可以求近似变号零点3.(2012·海口高一检测)下列各式中S值不可以用算法求解的是( )(A)S=1+2+3+4(B)S=12+22+32+…+1002(C)S=1+12+…+1100(D)S=1+2+3+4+…4.(2012·潍坊高一检测)算法：1.比较a与b的大小，若a<b，则交换a,b的值；2.比较a与c 的大小，若a<c，则交换a,c的值；3.比较b与c的大小，若b<c，则交换b,c的值；4.则输出a,b,c.结束后解决的问题是( )(A)a,b,c中最大值(B)a,b,c中最小值(C)将a,b,c由小到大排序(D)将a,b,c由大到小排序二、填空题5.作△ABC的外接圆算法步骤如下，请将其补充完整：(1)作线段AB的垂直平分线l1；(2)________________________________________________________________；(3)________________________________________________________________.6.下面是求154和42的最大公约数的一个算法,请填空:(1)先将154进行素因数分解:154=______________;(2)再将42进行素因数分解:42=_____________;(3)确定它们的______________;(4)确定公共素因数_____________的指数___________;(5)它们的最大公约数为_______________.三、解答题7.已知直角三角形的两直角边分别为a,b，设计一个求该三角形周长的算法.8.写出交换两个大小相同的杯子中的液体(A水、B酒)的一个算法．9.有8个小球,其中7个重量相同,仅有一个较重,用天平(不用砝码)如何称出那个重的小球？答案解析1.【解析】选A.选项B与D只是陈述事实，而C虽然是解决问题的步骤，但未完成整个事件，不能作为算法.2.【解析】选D.用二分法求方程f(x)=0的近似解，需满足f(x)在(a,b)上连续，且f(a)与f(b)异号，故选D.3.【解析】选D.算法的设计要求步骤是可行的并且在有限步之内能完成任务.D项无法用算法求解.4.【解析】选D.根据算法的描述，每一步都是将两数进行比较，最小者放后，因此最后输出的结果是将三个数从大到小排序.【变式备选】算法:1.输入n；2.判断n是否是2，若n=2，则n满足条件，若n＞2，则执行3；3.依次从2到n-1检验能不能整除n，若不能整除n,则n满足条件；满足上述条件的n是( )(A)质数(B)奇数(C)偶数(D)约数【解析】选A.根据算法步骤可知n除1和它本身之外，没有其他的因数，因此满足条件的n 为质数.5.【解析】(2)作线段BC的垂直平分线l2.(3)设l1,l2交于点M，以M为圆心，MA为半径作圆.答案：(2)作线段BC的垂直平分线l2(3)设l1,l2交于点M，以M为圆心，MA为半径作圆6.【解析】解决本题关键有两点:一是会把一个整数进行素因数分解,二是找出公共素因数. 答案：(1)2×7×11 (2)2×3×7 (3)公共素因数2和7(4)2和7 都是1 (5)2×7=14【规律方法】求解两整数m,n最大公约数的方法步骤(1)将m进行素因数分解;(2)将n进行素因数分解;(3)找出公共的素因数;(4)确定公共素因数的指数;(5)确定最大公约数.7.【解析】1.计算斜边2.计算周长l=a+b+c;3.输出l.8.【解析】1.找一个大小与A相同的空杯子C；2.将A 中的水倒入C中；3.将B中的酒倒入A中；4.将C中的水倒入B中,结束.9.【解题指南】对于这种非数值性问题的算法设计问题,应当首先建立过程模型,根据过程设计步骤,完成算法.【解析】1.从8个小球中任取6个小球;2.将这6个小球每边3个置于天平上,若天平平衡,则表明重的小球在余下的两个小球中,只需将那两个小球放在天平上再称一次,就可以找到重的那个小球;3.若天平不平衡,则在比较重的一边的三个小球中任取2个球称量.若平衡,则剩下的那个即为要找的小球,若不平衡,则重的那边就是要找的小球.。

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1算法的基本思想分治算法一、基本概念在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。

字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换（快速傅立叶变换）……任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。

问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。

例如,对于n个元素的排序问题,当n=1时，不需任何计算。

n=2时，只要作一次比较即可排好序。

n=3时只要作3次比较即可，…。

而当n较大时，问题就不那么容易处理了.要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

二、基本思想及策略分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破,分而治之。

分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小)则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。

这种算法设计策略叫做分治法。

《算法的基本思想》同步练习1、下列语句表达中，是算法的有①从泰安去看2014年巴西世界杯，可以先乘汽车到济南，再坐飞机抵达北京，再坐飞机抵达巴西；②利用公式ah S 21=计算底为1，高为2的三角形的面积； ③4221+>x x ； ④求M (1,2)与N (－3，－5)两点连线的方程，可先求MN 的斜率，再利用点斜式方程求得。

2、已知直角三角形两直边为a ，b ，求斜边长c 的一个算法分下列三步：①计算22b a c +=；②输入直角三角形两直角边长a 、b 的值；③输出斜边长c 的值。

其中正确的顺序是3、一个算法的步骤如下：①输入x 的值；②计算x 的绝对值y ；③计算y z x +=2；④输出z 的值。

如果输入x 的值为－3，则输出z 的值为4、已知一个算法如下：①输入周长a 的值；②计算边长a l 31=； ③计算243l S =； ④输出S ； 该算法的功能是________5、在设计一个算法求12和14的最小公倍数中，设计的算法不恰当的一步是( )A 、首先将12因式分解：32122⨯=B 、其次将14因式分解：14＝2×7C 、确定其公共素因数及其指数为22,31,71D 、其最小公倍数为S ＝2×3×7＝426、给出下列算法：①输入x 的值；②当x >4时，计算y ＝x ＋2；否则执行下一步；③计算x y -=4.④输出y当输入x ＝10时，输出y ＝________。

A 、12B 、10C 、 6D 、07、计算下列各式中S 的值，能设计算法求解的是( ) ①1001...31211++++=S ；②S ＝1＋2＋3＋…＋100＋…； ③S ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥1，且n ∈N )A 、①②B 、①③C 、②③D 、①②③8、算法：①输入n②判断n 是否是2，若n ＝2，则n 满足条件；若n ＞2，则执行下一步。

③依次从2到n －1检验能不能整除n ，若不能整除n ，则n 满足条件。

算法的基本思想 同步练习
◆ 知识检测
1．下列关于算法的说法正确的有（ ）
①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果。

A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
2．算法具有有穷性，其有穷性是指（ ）
A 、算法必须包含输出
B 、算法中每个操作步骤都是可执行的
C 、算法的步骤必须有限
D 、以上说法都不正确
3．已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），写出求直线AB 的斜率的一个算法。

4．给定直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，写出判定两直线位置关系的一个算法。

◆ 能力提高
1．设计一个算法，求不重合两条直线0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点坐标．
2．设计一个算法，判断直线：0:=++C By Ax l 与圆)0()()(:222>=-+-R R b y a x C 的位置关系．
◆ 技能培养
设计一个算法，用尺规作图，作出一个30°的角．
◆拓展空间
数学离不开算法，中国古代算法是数学发展史上一颗璀璨的明珠，而许多算法趣题更在世界上广泛流传，例如：百钱买百鸡，鸡笼同笼问题，韩信点兵不知其数等，你能找出它们各是什么问题，如何解决吗？你还能找到更多的算法故事吗？和你的好朋友们互相交流．
答案:
知识检测。