2019衡水名师原创理科数学高考专题卷：专题六《三角函数》

2019届高三一轮复习理科数学专题卷 专题二 函数概念及其基本性质考点04：函数及其表示（1—3题,13,14题，17,18题）考点05：函数的单调性（4—6题，9—12题，15题，19—22题）考点06：函数的奇偶性与周期性（7—8题，9—12题，16题，19—22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

） 1．【2017山东，理1】考点04 易设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂=（ ） A （1,2） B ⎤⎦(1,2 C （-2,1） D [-2,1) 2．【来源】2017届山西运城市高三上学期期中 考点04 中难函数1221,0,(),0x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，满足()1f x =的x 值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或2-D ．1或1-3．【来源】2016-2017学年广西陆川县中学月考 考点04 中难已知函数12(log )y f x =的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数(2)xy f =的定义域为（ ）A ．[]1,0-B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．[]0,1 4．【2017北京，理5】】 考点05 易已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x （ ）A 是奇函数，且在R 上是增函数B 是偶函数，且在R 上是增函数C 是奇函数，且在R 上是减函数D 是偶函数，且在R 上是减函数5．【来源】2016-2017学年四川双流中学期中 考点05中难已知函数()()()()3512log 1a a x x f x a xx -+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩对于任意21x x ≠都有()()02121<--x x x f x f 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (]1,3B. ()1,3C. (]1,2 D. ()1,2 6.【2017河北五邑三模】 考点05 中难定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，则 （ ） A. ()()()258f f f << B. ()()()825f f f <<C. ()()()528f f f <<D. ()()()582f f f << 7．【来源】2016-2017学年湖北孝感七校联盟期中 考点06 易函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x =-+，则当0x <时，()f x 等于（ ） A ．1x -+ B ．1x -- C ．1x + D ．1x - 8．【来源】2017届重庆市巴蜀中学高三上学期期中 考点06 难定义在R 上的函数()f x 满足：()()11f x f x +=，并且[](),101,1,2,015x a x x f x x x +-≤<⎧⎪∈-=⎨-≤<⎪⎩，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a =（ ） A ．716 B ．25- C ．1116 D ．13169．【2017课标1，理5】 考点05，考点06 中难函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ） A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]10．【来源】2016-2017学年吉林松原扶余县一中期中 考点05，考点06中难已知函数)(x f 定义在实数集R 上的偶函数，且在区间),0[+∞上单调递减，若实数a 满足)1(2)(lo g )(lo g 212-≤+f a f a f ，则a 的取值范围是（ ）A.]21,(],2[-∞+∞ B.),2[]21,0(+∞C.]2,21[D.]21,0(11．【来源】2017届四川自贡市高三一诊考试 考点05，考点06 中难设函数()g x 是R 上的偶函数，当0x <时，()()l n 1g x x =-，函数()()3 0 0x x f x g x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，，满足()()22f x f x ->，则实数x 的取值范围是（ ）A.()() 1 2 -∞+∞，，B.()() 2 1 -∞-+∞，，C.()1 2，D.()2 1-，12．【来源】2017届四川自贡市高三一诊考试 考点05，考点06 难设()(32log f x x x =++，则对任意实数 a b ，，若0a b +≥，则（ ） A.()()0f a f b +≤ B.()()0f a f b +≥ C.()()0f a f b -≤ D.()()0f a f b -≥第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分） 13．【来源】2017-2018学年广西陆川县中学期中 考点04 中难如果函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是 ．14．【来源】2017届江苏苏州市高三期中调研 考点04 难 已知函数()()2x af x x a -=+，若对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得()()21f x f x <，则满足条件的实数a 的取值范围是____________． 15．【来源】2017届福建福州外国语学校高三文适应性考试 考点05易 若函数()||f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞，则a = ． 16．【来源】2016-2017学年辽宁重点高中协作校期中 考点06 中难 若函数1ln21ax y x -=+为奇函数，则a = ． 三.解答题（共70分）17．（本题满分10分）【来源】2016-2017学年广西陆川县中学月考 考点04 易 已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==. （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在区间[2,1]a a +上不单调，求实数a 的取值范围；（3）在区间[1,1]-上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，试确定实数m 的取值范围. 18．（本题满分12分）【来源】2016-2017学年广西陆川县中学月考 考点04 中难已知二次函数2()f x ax bx =+（a ，b 为常数，且0a ≠）满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有两等根. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[0,]t 上的最大值.19．（本题满分12分）【来源】2016-2017学年江西新余四中段考 考点05，考点0,6 中难 已知函数()f x 对一切实数,x y 都有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，且(1)0f =. （1）求(0)f 的值；（2）求()f x 的解析式；（3）设:P 当102x <<时，不等式()32f x x a +<+恒成立；:Q 当[2,2]x ∈-时，()()g x f x ax =-是单调函数.若P Q 、至少有一个成立，求实数a 的取值范围.20．（本题满分12分）【来源】2016-2017学年河南南阳一中月考 考点05，考点06中难已知函数()f x 定义域为[1,1]-，若对于任意的,[1,1]x y ∈-，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，有()0f x >.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；(3) 若，对所有x，恒成立，求的取值范围.21．（本题满分12分）【来源】2016-2017学年广西陆川县中学月考 考点05，考点0,6 难已知定义在R 上的函数2()2x x b f x a-=+是奇函数.（1）求,a b 的值；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意t R ∈，不等式2(2)()0f t t f k -+->恒成立，求实数k 的取值范围.22．（本题满分12分）【来源】2016-2017学年广西陆川县中学期中 考点05，考点0,6 难 已知函数()12++=bx ax x f （a ，b 为实数，x R ∈），(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩．（1）若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为[0,)+∞，求()F x 得解析式；（2）在（1）的条件下，当[]2,2x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设0mn <，0m n +>，0a >，且()f x 为偶函数，判断()()F m F n +是否大于零，并说明理由．参考答案1．【答案】D 【解析由得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<，选D.2．D【解析】当0x ≤时，由()1f x =可得211221x x x ---=⇒=∴=-；当0x >时由()1f x =可得1211x x =∴=，综上可得满足()1f x =的x 值为1或1-，选D3．D【解析】由题意得，因为函数12(log )y f x =的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以121log 2x ≤≤，令122x≤≤，解得01x ≤≤，即函数(2)x y f =的定义域为[]0,1，故选D ．4.【答案】A【解析】)()33(33)(x f x f x x x x -=--=-=---,)(x f ∴是奇函数，又x 3是增函数，x)31(是减函数，从而)(x f 是增函数. 5．C【解析】根据题意，由()()02121<--x x x f x f ，易知函数()f x 为R 上的单调递减函数，则()301352a a a a⎧-<⎪>⎨⎪-+≥⎩，解得1<a 2≤.故选C 6.【答案】D7．B【解析】由题函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x =-+，则当0x <时，0x ->，()()11,f x x x -=--+=+即()()1,1,f x x f x x -=+∴=--选B8．B【解析】由()()11f x f x +=，得()(2)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为2，所以51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=，因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-，故选B ．9.【答案】D【解析】因为)(x f 为奇函数且在),(+∞-∞单调递减，要使1)(1≤≤-x f 成立，则x 满足121≤-≤-x ，解得31≤≤x ，所以满足1)2(1≤-≤-x f 的x 的取值范围为]3,1[.10．B【解析】不等式变形为()()()()()222log log 21log 1f a f a f f a f +-≤∴≤，由函数在区间),0[+∞上单调递减可得2log 1a ≥或2log 1a ≤-2a ∴≥或102a <≤，所以a 的取值范围是),2[]21,0(+∞ .11．D【解析】当0x ≤时，()3f x x =是增函数，且()()00f x f ≤=，当0x >时，()()ln 1f x x =+是增函数，且()()00f x f >=，故函数在R 上是增函数，∵()()22f x f x ->，∴22x x ->，解得21x -<<，故选D. 12．B【解析】()(32log f x x x =++定义域为R ，∵()((()333222log log log f x x x x x x f x -=-+-=-+=--=-∴()f x 是奇函数，∵()f x 在()0 +∞，上是增函数，故()f x 在R 上为增函数，而0a b a b +≥⇒≥-，所以()()()()0f a f b f a f b ≥-⇒+≥,故选B.13．3[0)4，【解析】∵函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R ，∴0342=++kx kx 无解，∴0=k ，或⎩⎨⎧<-=∆≠0121602k k k ，解得430<≤k ，故答案为：3[0)4，． 14．0a ≥【解析】由题意函数()f x 无最小值，22221()()()x a a a f x x a x a x a+-==-++++，令1t x a =+，则0t ≠，2()2f x y at t ==-+，0a =时，函数为y t =，符合题意，0a ≠时，20a -<，即0a >，综上有a 的取值范围是0a ≥． 15．3-【解析】当x a <-时,()()f x x a x a =-+=--为减函数; 当x a ≥-时,()f x x a =+为增函数,结合已知有3,3a a -==-.16．2【解析】奇函数()()0f x f x +-=，即()222111ln ln ln 0212114a x ax ax x x x -----+==+-+-，()2221114a x x--=-，所以24,2a a ==±，当2a =-时，()()21ln ln 121x f x x --==-+，故舍去，所以2a =.17．（1）342)(2+-=x x x f ；（2）210<<a ；（3）)1,(--∞.【解析】（1）由已知，设)0(1)1()(2>+-=a x a x f ， 由3)0(=f ，得2=a ，故342)(2+-=x x x f ………………………………………………3分 （2）要使函数不单调，则112+<<a a ，即210<<a ………………………..6分 （3）由已知，即1223422++>+-m x x x ， 化简，得0132>-+-m x x .设m x x x g -+-=13)(2，则只要0)(min >x g ，而,1)1()(min m g x g -==解得：1-<m ，即实数m 的取值范围是)1,(--∞…………..10分18．（1）x x x f 2)(2+-=；（2）⎩⎨⎧≤+->=1,21,1)(2maxt t t t x f . 【解析】（1） 方程x x f 2)(=有两等根，即0)2(2=-+x b ax 有两等根，0)2(2=-=∆∴b ，解得2=b ；)3()1(x f x f -=- ,得1,1231=∴=-+-x xx 是函数图象的对称轴.而此函数图象的对称轴是直线1,12,2-=∴=-∴-=a ab a b x ， 故x x x f 2)(2+-=……………………………………………6分 （2） 函数x x x f 2)(2+-=的图象的对称轴为],0[,1t x x ∈=，∴当1≤t 时，)(x f 在],0[t 上是增函数，t t x f 2)(2max +-=∴，当1>t 时，)(x f 在]1,0[上是增函数，在],1[t 上是减函数，1)1()(max ==∴f a f ， 综上，⎩⎨⎧≤+->=1,21,1)(2max t t t t x f ………………………………………………12分19．（1）2-；（2）2()2f x x x =+-；（3）{|1a a ≥或3}a ≤-. 【解析】（1）令1x =-，1y =， 则由已知(0)(1)1(121)f f -=--++，有(0)2f =- ……………………………………………….2分 （2）令0y =，则()(0)(1)f x f x x -=+， 又∵(0)2f =-，∴2()2f x x x =+-………………………………………………..5分 （3）不等式()32f x x a +<+，即21x x a -+<.当102x <<时，23114x x <-+<， 又213()24x a -+<恒成立，故{|1}A a a =≥ ………………………………………..8分22()2(1)2g x x x ax x a x =+--=+--，又()g x 在[2,2]-上是单调函数，故有122a -≤-，或122a -≥， ∴{|3B a a =≤-或5}a ≥……………………………………..11分∴P Q 、至少有一个成立时a 的取值范围{|1A B a a ⋃=≥或3}a ≤- …………..12分 20．（1）奇函数，证明见解析；（2）增函数，证明见解析；（3）2m >或2m <-. （1）因为有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，所以(0)0f =，令y x =-可得：(0)()()0f f x f x =+-=，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数 。

2019衡水名师原创理科数学专题卷专题六 三角函数考点16：三角函数的有关概念、同角三角函数关系式及诱导公式（1-4题，13题，17题） 考点17：三角函数的图象及其变换（5,6题，18题）考点18：三角函数的性质及其应用（7-12题，14-16题，19-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

） 1．【来源】2017届山西运城市高三上学期期中 考点16 易 已知，且，则为（ ）A ．B ．C ．D ． 2．【来源】2016-2017学年广东清远三中高二月考 考点16 易设，则（ ）. A ．3 B ．2 C ．1 D ．﹣1 3．【来源】2017届山东临沂市高三理上学期期中 考点16 易若点在角的终边上，则的值为A. B. C. D. 4．【来源】2017届山东德州市高三上学期期中 考点16 中难 已知，，则（ ）A. B. D. 5．【来源】2017届湖南五市十校高三理12月联考 考点17 中难已知函数的部分图象如图，则（ ）tan ϕ 3tan =α α sin α ()0 x π∈，tan x = 33-A ．-1B ．0C ．D ．1 6．【2017课标1，理9】 考点17 中难已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 27.【2017课标3，理6】 考点18 易 设函数f (x )=cos (x +)，则下列结论错误的是A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =对称C ．f (x +π)的一个零点为x =D ．f (x )在(,π)单调递减8．【来源】2016-2017学年广东清远三中高二文上学期月考 考点18 中难 定义行列式运算=a 1a 4﹣a 2a 3．将函数f （x ）=的图象向左平移n （n ＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为（）.A ．B ．C ．D ． 9．【来源】2017届河南豫北名校联盟高三文上精英对抗赛 考点18 中难已知函数，当时，的概率为（ ） A. B. C. D.10．【2017天津，理7】 考点18 中难 设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（ ）()sin f x x x = [0,]x π∈ ()1f x ≥ ()2sin()f x x ωϕ=+ x ∈R 0ω> ||ϕ<π()f x 2πA ，B ，C ，D ，11．【来源】2017届福建厦门一中高三理上期中 考点18 难 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A.B.C.D.12．【来源】2017届重庆市一中高三上学期期中 考点18 难已知，则函数的值域为（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分）13．【2017北京，理12】 考点16 中难在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称. 若， =___________.14．【2017课标II ，理14】 考点18 易函数（）的最大值是 。

2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一）1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) ， x R .（ 1）求函数 yf ( x) 的对称中心；6（ 2）已知在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且f (B6 ) b c， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . 22a【解析】f ( x) 1 cos2 x1 cos2( x) cos(2 x) cos2 x6313 sin 2x cos 2xcos2x223sin 2x1cos2x sin(2 x 6 ) . 22（1）令 2xk （ k Z ），则 xk（ kZ ），6212所以函数 yf ( x) 的对称中心为 (k,0) k Z ；212（2）由 f (B)b c，得 sin( B ) bc ，即 3 sin B 1cos B b c ，262a6 2a 2 2 2a整理得 3a sin B a cos B b c ，由正弦定理得：3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ，化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ，又因为 sin B0 ，所以 3 sin A cos A1，即sin( A1 ，6 )2由 0A，得A5 ，6 66所以 A，即 A3 ，6 6又 ABC 的外接圆的半径为3 ，所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得222222232(b c) 2abc2bc cos A bcbc (b c)3bc (b c)(b c)44，即 ，当且仅当 bc 时取等号，所以周长的最大值为 9.2.【河北衡水】 已知函数 f x2a sin x cosx2b cos 2 x c a 0,b 0 ，满足 f 0 ，且当 x0,时， f x 在 x 取得最大值为 5.26 2（ 1）求函数 f x 在 x0, 的单调递增区间；（ 2）在锐角 △ABC 的三个角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且2 22 f C3，求a2b 2c 2 的取值范围 .2ab c【解析】（1）易得 f x5sin 2x 5，整体法求出单调递增区间为0, ， 2 ,；3 666 3 （2）易得 C，则由余弦定理可得 a2b 2c 2 2a 2 2b 2 ab2 b a 1，3a 2b 2c 2aba bbsin 2 A3 1 1由正弦定理可得sin B 3，所以asin Asin A2tan A2 ,22a 2b 2c 23,4 .a2b2c2rcos x, 1 r( 3 sin x,cos 2x) ， xR ，设函数3.【山东青岛】 已知向量 a， b 2r rf ( x) a b .（ 1）求 f(x)的最小正周期；（ 2）求函数 f(x)的单调递减区间；（ 3）求 f(x)在 0,上的最大值和最小值 . 2【解析】f (x) cos x, 1( 3 sin x,cos 2x) 23 cos x sin x 1cos2x 23sin 2 x 1cos 2x2 2cos sin 2x sin cos 2x6 6sin 2x.6（1）f ( x)的最小正周期为T 2 2，即函数f ( x) 的最小正周期为.2（2）函数y sin(2 x ) 单调递减区间：62k 2x 32k ， k Z ，2 6 2得：k x 5 k ， k Z ，63∴所以单调递减区间是3 k ,5k ， k Z .6（3）∵0 x ，2∴2x 5.6 6 6 由正弦函数的性质，当 2x6 2 ，即 x 时， f (x) 取得最大值1.3当x x 0 f (0) 1，即时，，6 6 2当 2x6 5 ，即 x2时， f21 ，6 2∴ f (x) 的最小值为1. 2因此， f (x) 在 0, 上的最大值是1，最小值是1 .2 224.【浙江余姚】已知函数 f ( x) sin x sin x cos( x ) .（ 1）求函数 f(x)的最小正周期；（ 2）求 f(x)在 0,上的最大值和最小值．2【解析】（ 1） 由题意得 f ( x) sin 2 x sin x cos x6sin 2 xsin x( 3 cos x 1sin x)2 23sin 2x3sin x cos x223(1 cos 2x)3sin 2x443 ( 1sin 2x3cos2x)3 2 2243sin( 2x) 32 34f (x) 的最小正周期为（ 2） x0, ，22x23 3 3当 2x，即 x0时， f ( x) min0 ；33当 2x5 时， f ( x) max2 3 33，即 x4212综上，得 x0时， f ( x) 取得最小值，为 0；当 x5 2 3 3时， f ( x) 取得最大值，为4125.【山东青岛】 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 b cos A 3a c ．3（ 1）求 cosB ；（ 2）如图， D 为 △ABC 外一点，若在平面四边形ABCD中， D 2 B ，且 AD 1， CD3 ， BC 6 ，求 AB 的长．【解析 】解：（ 1）在ABC 中，由正弦定理得 sin B cos A3sin Asin C ，3又 C( A B) ，所以 sin B cos A3sin Asin( A B) ，3故 sin B cos A3sin Acos B cos Asin B ，sin A3所以 sin Acos B3sin A ，3又 A(0, ) ，所以 sin A30 ，故 cos B3（2） QD 2 B ， cos D2cos 2 B 113又在ACD 中， AD 1， CD 3∴由余弦定理可得 AC2AD2CD22AD CD cosD 19 2 3 ( 1) 12 ，3∴ AC2 3 ，在 ABC 中， BC6 ， AC 2 3 ， cosB3，3∴由余弦定理可得 AC2AB 2 BC 2 2 AB BCcosB ，即 12 AB 2 6 2 AB63 ，化简得 AB 2 2 2 AB 6 0 ，解得 AB 3 2 ．3故 AB 的长为 32 ．6. 【江苏泰州】如图，在△ABC 中，ABC，2ACB， BC 1.P 是△ ABC 内一点，且BPC.3 2（1）若ABP，求线段AP的长度；6（2）若APB 2，求△ ABP 的面积 .3【解析】（1）因为PBC ，所以在 Rt PBC 中，6BPC ， BC 1，PBC3 ，所以 PB 1 ，2 2在 APB 中，ABP ， BP 13 ，所以， AB6 2AP2 AB 2 BP2 2AB BP cos PBA3 1 2 13 37，所以 AP 7 ；4 2 2 4 2（2）设PBA ，则PCB ，在 Rt PBC 中，BPC ， BC 1，2PCB ，所以 PB sin ，在 APB 中，ABP ， BP sin ， AB 3 ，APB 2，3由正弦定理得：sin 3 1sin3cos1sinsin sin 2 2 2 23 3sin 3 cos ，又 sin 2 cos2 1 sin2 32 7SABP 1AB BP sin ABP 1 3 sin 2 3 3 .2 2 148.【辽宁抚顺】已知向量m sin x,1 ， n cos x,3， f x m n4 4（ 1）求出 f(x)的解析式，并写出f(x)的最小正周期，对称轴，对称中心；（ 2）令 h xf x6，求 h(x)的单调递减区间；（ 3）若 m // n ，求 f(x)的值．【解析】（1） f xm nsin x4cos x341sin 2 x4 3 1sin 2x231cos2x 3222所以 f x 的最小正周期 T ，对称轴为 xk , kZ2对称中心为k ,3 , kZ42（2） h xf x1 cos2 x 32 36令2k2x32k , kZ 得k x6k ,k Z3所以 h x 的单调减区间为3k ,k ,k Z6（3）若 m // n ，则 3sinxcos x即 tan x13444tan x 2f x1cos2x 3 1sin 2 x231 sin2 x cos 2 xcos x2 sin 2 xcos 2 322 x1 tan2 x 1 332 tan 2 x 31109.【辽宁抚顺】已知函数 f x 2 3 sin x cos x 2cos 2 x 1 ， x R ．（ 1）求函数 f x 的最小正周期及在区间0,2 上的最大值和最小值；（ 2）若 f x 06，x 0, 2 ，求 cos 2x 0 的值．54【解析】（ 1） 由 f(x)＝ 2 3 sin xcos x ＋ 2cos 2x － 1，得 f(x)＝ 3 (2sin xcos x)＋(2cos2x－1)＝ 3 sin 2x＋cos 2x＝2sin 2x ，6所以函数 f(x)的最小正周期为π0 x , 2 x6 7 , 1 sin 2 x 12 6 6 2 6所以函数 f(x)在区间 0, 上的最大值为2，最小值为－ 12（ 2）由（1）可知f(x0)＝2sin 2 x6又因为 f(x0 )＝6，所以 sin 2 x6＝3 .5 5由 x0∈, ，得 2x0＋∈ 2,74 2 6 3 6从而 cos 2 x0 ＝ 1 sin 2 2 x06 ＝－46 5所以 cos 2x0＝ cos 2 x06 6 ＝ cos 2x0 cos ＋ sin 2x06sin6 6 6＝3 4 31010.【广西桂林】已知f x 4sin 24 x sin x cosx sin x cosx sin x 1 . 2（ 1）求函数 f x 的最小正周期；（ 2）常数0 ，若函数 y f x 在区间, 2上是增函数，求的取值2 3范围；（ 3）若函数 g x 1 f 2 x af x af x a 1在,的最大值为2 2 4 22，求实数的值 .【解析】（1）f x 2 1 cos x sin x cos2 x sin 2 x 1 22 2sin x sin x 1 2sin 2 x 1 2sin x .∴ T 2 .（2） f x 2sinx .由 2kx 2k2kx2k2 得, k Z ，222 ∴ fx 的递增区间为2k2, 2k, k Z2∵ fx 在,2上是增函数，23∴当 k0 时，有2, 22,.320,∴, 解得 03242 22 ,3∴ 的取值范围是0,3.4（3） gx sin 2x a sin xa cos x 1 a 1.2 令 sin xcos x t ，则 sin 2x1 t2 .112a21 2att2aa∴ y 1 ta 1at2 t4a .222∵ t sin x cos x2 sin x，由x 得x，4 42244∴ 2 t 1 .①当a2 ，即 a2 2 时，在 t2 处 y max2 1 a 2 .22由21 a2 2 ，解得 a8 8 2 2 12 2 （舍去 ).22 2 1 7②当2 a 1，即2 2 a2 时， y maxa 21 a ，由 a 21a 22424 2得 a 2 2a 8 0 解得 a2 或 a 4 （舍去） .③当a1，即a 2 时，在 t 1处y max a 1 ，由a1 2 得a 6.2 2 2综上， a 2 或 a 6 为所求.11.【江苏无锡】如图所示，△ ABC 是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖．．．．．（假设湖岸是笔直的），其中两腰CA CB 60 米，cos CAB 2.为了给市民3营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC，AB 上分别取点E，F（异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF（宽度不计），使得三角形AEF 和四边形 BCEF 的周长相等 .（1）若水上观光通道的端点 E 为线段 AC 的三等分点（靠近点 C），求此时水上观光通道 EF 的长度；（2）当 AE 为多长时，观光通道 EF 的长度最短？并求出其最短长度 .【解析】（1）在等腰ABC 中，过点 C 作 CH AB 于 H ，在 Rt ACH 中，由 cosAH AH 240 ， AB 80 ，CAB ，即，∴ AHAC 60 3∴三角形 AEF 和四边形 BCEF 的周长相等.∴ AE AF EF CE BC BF EF ，即 AE AF 60 AE 60 80 AF ，∴AE AF 100.∵ E 为线段 AC 的三等分点（靠近点 C ），∴ AE 40， AF 60，在AEF 中，EF 2 AE 2 AF 2 2 AE AF cos CAB 402 602 2 40 60 2 200 ，3∴ EF 2000 20 5 米.即水上观光通道EF 的长度为20 5米.（2）由（ 1）知，AE AF 100 ，设 AE x ，AF y ，在AEF 中，由余弦定理，得EF 2 x2 y2 2x y cos CAB x2 y 24xy x y10xy .23 3∵ xy x y 2 1002 10 502 2 502 .502，∴EF22 3 350 6∴EF，当且仅当x y取得等号，3所以，当 AE 50 米时，水上观光通道EF 的长度取得最小值，最小值为50 6米.312.【江苏苏州】如图，长方形材料ABCD 中，已知AB 2 3 ， AD4 .点P为材料ABCD 内部一点，PE AB 于 E ， PF AD 于 F ，且 PE1 ，PF 3 .现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足MPN 150 ，点M、N分别在边AB，AD上.（ 1）设FPN，试将四边形材料AMPN 的面积表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点 N 在 AD 上的位置，使得四边形材料 AMPN 的面积 S 最小，并求出其最小值 .【解析】（1）在直角NFP 中，因为 PF 3 ，FPN ，所以 NF 3 tan ，所以 S NAP 1NA PF 1 1 3 tan 3 ，2 2在直角 MEP 中，因为 PE 1，EPM3，所以MEtan，3所以 S AMP1AM PE 1 3 tan31，2 2所以 SSNAPSAMP3tan1tan33 ，0, .2 23（2）因为S 3 1 tan33 tan3，tan2 33tan2 13 tan22令 t 13 tan，由0, ，得 t1,4，3所以S3 3t24t 4 3 t 43 3 t4 3 23 ，2 3t 2 3t 323t33当且仅当t2 3233 时，即 tan时等号成立，3此时，AN 2 3233，Smin3 ，答：当AN 2 3AMPN 的面积 S 最小，最小值为 233 时，四边形材料.313.【江苏苏州】 如图，在平面四边形ABCD 中， ABC3AD ，， AB4AB=1.uuur uuur3 ，求 △的面积；（ 1）若 AB BCABCg（ 2）若 BC 2 2 ， AD 5 ，求 CD 的长度 .【解析】uuur uuur3 ，所以 uuur uuur，（1）因为 AB BCBAgBC 3guuur uuurABC3 ，即 BA BC cosABC 3 ， AB 1 ，所以 1 uuur3 uuur3 2 ，又因为BC cos 3，则 BC44 1 uuur uuur ABC 3所以 S ABC AB BC sin .2 2（2）在 ABC 中，由余弦定理得：AC 2AB 2 BC 2 2 AB BC cos31 8 21 2 22 13 ，42解得： AC 13 ，在ABC 中，由正弦定理得：ACBC2 13sin ABC sin，即sin BAC，BAC13所以 cos CADcosBACsin BAC2 13 ，213在ACD 中，由余弦定理得：CD 2AD 2 AC 2 2AD AC cos CAD ，即 CD3 2 .14.【山东栖霞】 已知函数 f xA sin xA 0,0,的部分图象222如图所示， B ， C 分别是图象的最低点和最高点，BC4 .4（1）求函数 f(x)的解析式； （2）将函数y f x 的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到3原来的 2 倍（纵坐标不变）得到函数 yg x 的图象，求函数 yg 2 x 的单调递增区间 .13【解析】（1）由图象可得：3 T 5 ( ) ，所以 f (x) 的周期 T .4 12 3于是2，得2 ，C 524 A 22又 B， A ， ， A ∴ BC 4 ∴ A 1，12 1224又将 C (5,1) 代入 f (x)sin(2 x) 得， sin(2 5) 1，1212所以 25=2k，即=2k( k R ) ，1223由2 得， ，23∴ f (x)sin(2 x) .3（2）将函数 yf (x) 的图象沿 x 轴方向向左平移个单位长度，3得到的图象对应的解析式为：y sin(2 x) ，3再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为 g( x)sin( x3 ) ，cos(2x2 )22(x13y g ( x) sin 3 )22由 2k22k， kZ 得, kx k ， k Z ,2x336∴函数 yg 2 ( x) 的单调递增区间为 k,k (kZ ) .3615.【山东滕州】 已知函数 f ( x)Asin( x ) ( A 0, 0,) 的部分图象如 2图所示 .（ 1）求函数 f (x) 的解析式；（ 2）把函数 y f ( x) 图象上点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，得到函数y g (x) 的图象，求611关于 x 的方程 g ( x) m(0 m 2) 在 x [,] 时3 3所有的实数根之和 .【解析】2（1）由图象知，函数 f ( x) 的周期T，故 2 .T点 (, A) 在函数图象上，6∴ Asin(26) A，∴ sin(3) 1，解得：3 2k2， k Z ，即2k6， k Z ，又2 ，从而.6点 (0,1) 在函数图象上，可得：Asin(2 0 ) 1 ，6∴ A 2 .故函数 f (x) 的解析式为： f ( x) 2sin(2 x ) .6 （2）依题意，得g (x) 2sin( x ) .3∵ g( x) 2sin( x ) 的周期T ，3∴ g( x) 2sin( x ) 在 x [11] 内有2个周期. ,3 3 3令x3 k ， k Z ，2解得 x k ， k Z ，6即函数 g (x) 2sin( x ) 的对称轴为 x k ， k Z .3 6又 x [3 ,11 ] ，则 x3[0,4 ] ，3所以 g(x) m(0 m 2) 在 x [ , 11 ] 内有4个实根，3 3不妨从小到大依次设为x i (i 1,2,3, 4) .则x1x2 ， x3 x4 13 ，2 6 2 6故 g( x) m(0 m 2) 在x [3 ,11 ] 时所有的实数根之和为：3x1 x2 x3 x4 14. 3。

2019衡水名师原创理科数学专题卷 专题七 三角恒等变换与解三角形考点19：三角恒等变换（1-6题，13,14题，17,18题）考点20：正，余弦定理及解三角形（7-12题，15,16题，19-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

） 1．【来源】2015-2016学年湖北省黄冈市蕲春县高一下期中 考点19 易已知，，则求= （ ）A ．B ．C ．D ．2．【来源2016届宁夏�海南高三三轮冲刺猜三 考点19 易 已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．【来源】2016届辽宁省大连师大附中高三下学期精品 考点19 中难已知则（ ）A ．B ．C ．D ．4．【来源】2015-2016学年内蒙古巴彦淖尔一中高一期末 考点19中难设，，，则有（ ）A ．B ．C ．D ． 5．【来源】2016届河北省邯郸市高三下第二次模拟考试 考点19 中难已知，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．6．【来源】2016届海南省华侨中学高三考前模拟 考点19 中难的值是（ ）A ．B ．C 7．【2017山东，理9】 考点20 易sin β=13cos 13sin 2=b c b a >> c b a << a c b << b c a << cos x 3 2在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ）A B C D 8．【来源】2017届广西名校高三第一次摸底考试 考点20 易 在中，已知，若最长边为，则最短边长为（ ）A ．B ．C ．D ．9．【来源】2017届甘肃高台县一中高三上第三次检测 考点20 易在中，关于的方程有两个不等的实数根，则角为（ ）A ．锐角B ．直角 C. 钝角 D ．不存在 10．【来源】2017届福建福州外国语学校高三适应性考试四 考点20 中难已知中，，，分别为内角，，所对的边长，且，，，则的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．11．【来源】2016-2017学年广东湛江一中高二上大考一 考点20 中难 已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 12．【来源】2016-2017学年河南郑州市七校联考高二上期中考试 考点20 中难如图，从气球上测得正前方的河流的两岸,的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60，则河流的宽度等于（ ）A ．B ． C.D ．C ∆AB A B Ca b c C ∆AB 2a b = 2b a = 2A =B 2B =A ABC ∆ ABC ∆10 2 35 22 ABC ∆ x 22(1)sin 2sin (1)sin 0x A x B x C +++-= A ABC ∆ a b c A B C 4a = 5b c += tan tan tan A B A B+= ABC ∆33 ABC ∆ B A 2= )3,2( )2,2( )3,1( )2,1( A B C m BC 1)m1)m 1)m1)m第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分） 13．【2017江苏，5】考点19 易 若则▲ .14．【来源】2017届广西陆川县中学高三8月月考 考点19 难中，角所对的边分别为，向量，，且，三角函数式的取值范围是 . 15．【来源】2017届河北衡水中学高三上学期一调考试 考点20 中难已知的三边满足，则角=__________． 16．【来源】2017届河南息县第一高级中学高三上段测三试 考点20难在中，边的垂直平分线交边于，若,则的面积为 .三.解答题（共70分） 17．（本题满分10分）【来源】2016届山东省枣庄八中高三上12月月考 考点19 易 已知函数f （x ）=2sin ωxcos ωx ﹣2sin 2ωx+（ω＞0），直线x=x 1，x=x 2是函数y=f （x ）的图象的任意两条对称轴，且|x 1﹣x 2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的单调增区间；（Ⅲ）若f （α）=，求sin （π﹣4α）的值． 18．（本小题满分12分）【来源】2016届河南省中原名校高三上学期第一次联考 考点19 中难tan α= ABC ∆ ,,A B C ,,a b c (2,1)q a = (2,cos )p b c C =-//p q ABC ∆ a b c ，， B ABC ∆ AB AC D ABC ∆已知向量，．（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，求当时，的取值范围．19．（本题满分12分）【2017课标1，理17】考点20易△ABC 的内角A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.20．（本题满分12分）【来源】2017届河南郑州一中高三理上期中 考点20 中难“郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员求出，地面指挥中心的在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为）．当返回舱距地面1万米的点的时（假定以后垂直下落，并在点着陆），救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，救援中心测得着陆点位于其正东方向．// x x 2sin cos 2- ABC ∆ A B C a b c 3=a 2=b ,,B C D P A C B D A（1）求两救援中心间的距离；（2）救援中心与着陆点间的距离．21．（本题满分12分）【2017课标3，理17】 考点20 中难△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知，ab =2.（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC,求△ABD 的面积.22．（本题满分12分）【来源】2017届四川绵阳市高三一诊考试 考点20 难在中，角所对的边分别为，已知，，为的外接圆圆心. （1）若，求的面积；（2）若点为边上的任意一点，，求的值.,B C D A sin 0A A = ⊥ ABC ∆ C B A ,, c b a ,, 12=c 64=b O ABC ∆ ABC ∆ S D BC B sin参考答案1．D 【解析】，，，故选D ．2．D 【解析】因为，结合及，得， 又，所以，所以3．A3．A【解析】4．D 【解析】，，ｃ＝，因为，所以，即． 5．A【解析】因，化简得,故应选A.6．C【解析】，选C.7．【答案】A【解析】所以，选A. 8．A【解析】由，得，由，得，22sin cos 1αα+= sin30cos6cos30sin6sin24a =︒︒-︒︒=︒ sin26b =︒242526︒<︒<︒ sin24sin25sin26︒<︒<︒ a c b << sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=于是，即为最大角，故有，最短边为，于是由正弦定理，求得．9．A 【解析】，由得，由正弦定理得，所以，所以为锐角，故选A.10．C【解析】由可设，则，所以．由余弦定理可得，即，解得，所以＝.11．A【解析】由题意得，在中，由正弦定理可得，又因为，所以，又因为锐角三角形，所以且，所以，所以，所以的取值范围是，故选A ．12． C【解析】在直角中，，所以，在直角中，，所以,所以河流的宽度，故选C.13．【答案】【解析】．故答案为．14．【解析】C ∠10=c b2=b22(1)sin 2sin (1)sin 0x A x B x C +++-= 22224sin 4(sin sin )(sin sin)4(sin sin sin )0B AC A C B A C ∆=--+=-+> 222sin sin sin BC A +> 222b c a +> Atantan 33tan tan A B A B ++= 3)tan(-=+B A b b b 416)5(22-+=- ABC ∆ B A 2=2cos (2,3)B ∈ )3,2( DAC ∆ 060DAC ∠=0tan 60tan60CD AD DAC =⋅∠=⋅= DAB ∆ 015=∠DAB 0tan 60tan1560(2BD AD DAB =⋅∠=⋅= 60(21)BC CD BD m =-== (-试题分析：由且，，所以，由正弦定理，得，又因为，所以，所以，即，所以，又由，所以，因为，得，所以，可得，，即三角式的取值范围是. 15．【解析】由的三边满足，所以，所以，所以，即为，所以，所以．16．或 【解析】．17．（Ⅰ）1； （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）﹣．【解析】（I ）∵f （x ）=2sin ωxcos ωx ﹣2sin 2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin （2ωx+）∵直线x=x 1，x=x 2是函数y=f （x ）的图象的任意两条对称轴，且|x 1﹣x 2|的最小值为，∴函数的最小正周期为π ∴=π ∴ω=1……………………………..3分 （II ）由（I ）知，f （x ）=2sin （2x+）∴﹣+2k π≤2x+≤+2k π，k ∈Z∴﹣+k π≤x ≤+k π，k ∈Z∴函数f （x ）的单调增区间为[﹣+k π， +k π]，k ∈Z ；………………………..6分 （III ）∵f （a ）=，∴sin （2a+）=//p q (2,1)q a = (2,cos )p b c C =- 2cos 1(2)a C b c =⨯- 2sin cos 2sin sin A C B C =- sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+ 2cos sin sin 0A C C -= (2]- ABC ∆ a b c ，， ()()()()c b c a a b a b b c +++=++ 222b ac ac =+-C CB CD CB CD BD cos 2222∙-+= 22CD 648CD 49CD 8CD 150=+-=⇒-+= 203 243∴sin （π﹣4a ）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin 2（2a+）﹣1=﹣． …………………………………………………………………………………………...10分18．（1）；（2）．【解析】（1），，，……………………..4分（2）由正弦定理得，得或，，………………………………………………8分因此，，,即．…………………..12分19.b a // =-∴x x 2sin cos 2 a b >()∈x g20．（1）万米；（2）万米．【解析】（1）由题意知，则均为直角三角形， 在中，，解得在中，，解得又万米．………………………………………6分（2），又，所以在中，由正弦定理，万米．……………………………………..12分21．【答案】(1) ；【解析】（1）由已知得 ，所以.在 △ABC 中，由余弦定理得，即.解得： (舍去)， .…………5分…………………………………………………………………………………………12分 22．（1）（2）【解析】 (1)由得，∴． ……………………………3分,PA A B PA AC ⊥⊥ ,PAC PAB ∆∆ Rt PAC ∆ 01,60PA PCA =∠= Rt PAB ∆ 01,30PA PBA =∠= AB = 030CAD ∠= ADC ∆ 4c =tan 3A =- 22240c c +-= 6c =- 4c =(2)由， 可得， 于是， 即，① 又O 为△ABC 的的外接圆圆心，则，=，② 将①代入②得到解得． 由正弦定理得可解得． …………………………..12分 401624=+=。

2019衡水名师原创理科数学专题卷 专题七 三角恒等变换与解三角形考点19：三角恒等变换（1-6题，13,14题，17,18题）考点20：正，余弦定理及解三角形（7-12题，15,16题，19-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题 1.已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,3παπ<<,则求sin 12πα⎛⎫-=⎪⎝⎭( )A. 48+-B.C.D. 46+-2.已知0,0,22a ππβ<<-<<()34cos ,tan 53αβα-=-=,则sin β= ( ) A. 725 B. 725-C. 2425D. 2425-3.已知1cos 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭,则cos(2)πα-= ( )A. 9-B.C. 79- D.794.设1cos 662a =︒︒,2sin13cos13b =︒︒,c =则有( ) A. a b c >> B. a b c << C. b c a << D.a cb <<5.已知cos sin 65παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭则7sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是( ) A.B.C. 45- D.456.2cos10sin 20sin 70︒-︒︒的值是（ ）A.12B.C.D.7.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC ∆的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定 8.在ABC ∆中,已知1tan 2A =,cos 10B =.若ABC ∆则最短边长为( )A.B.C.D. 9在中,关于的方程有两个不等的实数根,则为( ) A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不存在10.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若cos cos cos 23C b A a B =+=,则ABC ∆的外接圆的面积为( ) A. 4π B. 8π C. 9π D. 36π11.在锐角ABC ∆中, 2A B =,则ABAC的取值范围是( )A. (0,3)B. ()1,2C. D. ()1,3 二、填空题 12.已知3sin()35πα-=,(,)42ππα∈,则tan α=__________ 13.ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量(2,1)q a = , (2,cos )p b c C =- ,且//p q ,三角函数式μ=2cos 211tan CC-++的取值范围 .14.在ABC ∆中,边,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若()3bcosC a c cosB =-,则cosB =__________15.在ABC ∆中, 1,30,45a A C ==︒=︒,则ABC ∆的面积为__________三、解答题16.已知函数()22sin cos f x x x x ωωω=-(0)ω>直线12,x x x x ==是函数()y f x =的图象的任意两条对称轴,且12x x -的最小值为2π. 1.求ω的值;2.求函数()f x 的单调增区间;3.若()23f α=,求5sin 46πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 17.已知向量3sin ,4a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭, ()cos ,1b x =-. 1.当//a b 时,求2cos sin 2x x -的值;2.设函数()()2f x a b b =+⋅,已知在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若a =2b =,sin 3B =,求当03x π≤≤时, ()()4cos 26g x f x A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的取值范围.18.ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,22sin sin 12A BC +=+ 1.求角C 的大小2.若1a c ==,求ABC ∆的面积19.海上某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75,距离为;在A 处看灯塔C在货轮的北偏西30,距离为;货轮向正北由A 处行驶到D 处时看灯塔B 在货轮的北偏东120.求:1. A 处与D 处之间的距离;2.灯塔C 与D 处之间的距离20.在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且b c =,2sin B A =.1.求cos B 的值2.若2?a =,求ABC ∆的面积21.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知12,c b ==O 为ABC ∆的外接圆圆心. 1.若4cos 5A =,求ABC ∆的面积S ; 2.若点D 为BC 边上的任意一点, 1134DO DA AB AC -=+,求sin B 的值.参考答案一、选择题 1.答案：D 解析：7,,sin 032666πππππαπαα⎛⎫<<<++ ⎪⎝⎭,∴26ππαπ<+<,cos 63πα⎛⎫+==-⎪⎝⎭, sin sin sin cos 124646πππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,1sin cos 642332ππα⎛⎛⎫-+=--⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=故选D.2.答案：D解析：因为sin 4tan cos 3ααα==,结合22sin cos 1αα+=及02πα<<, 得43sin ,cos 55αα==,又02πβ-<<,所以()()40,,sin 5αβπαβ-∈-=,所以()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=---433424555525⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭. 3.答案：C 解析：∵1cos()23πα-=1sin 3α∴=()27cos(2)cos 212sin 9πααα∴-=-=--=-,故选C4.答案：D解析：sin 30cos6cos30sin 6sin 24a =︒︒-︒︒=︒,sin 26b=,sin 25c ==,因为242526<<,所以sin 24sin 25sin 26︒<︒<︒, 即a c b <<. 5.答案：C 解析：依题有11cos sin sin sin cos 622ααααααα⎫π⎛⎫-+=++=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭,解得4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 所以74sin sin sin 6665αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++π=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6.答案：C 解析：原式()2cos 3020sin 20sin 70︒-︒-︒=︒()2cos30cos 20sin 30sin 20sin 20sin 70︒⋅︒+︒⋅︒-︒=︒20cos 20︒==︒7.答案：B解析：利用余弦定理的变形将角的余弦值转化为三角形边之间的关系.因为222222cos cos 22b a c c a b b C c B b c ab ac +-+-+=⋅+⋅22222222sin 22b a c c a b a a a A a a+-++-====.所以sin 1A =.因为(0,)A π∈,所以2A π=,即ABC ∆直角三角形.8.答案：A 解析：由1tan2A =0>,得cos A A ==由cosB =0>,得sin B =, 于是()cos cos C A B =-+cos cos sin sin 0A B A B =-+=<,即C ∠为最大角,故有c 最短边为b ,于是由正弦定理sin sin b cb B C=⇒=答案： A 解析：,由得,由正弦定理得,所以,所以为锐角,故选A.10.答案：C解析：∵cos cos 2b A a B +=,∴222222222b c a a c b b a bc ac+-+-⋅+⋅=, ∴2c =,由cos C =,得1sin 3C =,∴226,3sin 3c R R C ====,239S ππ=⨯=,故选C11.答案：B 解析： 二、填空题 12.答案：解析：13.答案：(-解析：()222cos sin 2cos 211sin 1tan 1cos C C CC C C--+=-++212cos 2sin cos C C C =-+sin 2cos 224C C C π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ,∵203C π<<,∴1324412C πππ-<-<,∴sin 214C π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭,∴124C π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭∴μ=2cos 211tan CC-++的取值范围是(-.14.答案：13解析：在∆ABC 中,∵()3bcosC a c cosB =-,由正弦定理可得: 3sinBcosC sinAcosB sinCcosB =-,∴()3sin B C sinAcosB +=,即3,0sinA sinAcosB sinA =≠,化为13cosB =. 故答案为:1315.答案：14解析：由sin sin a c A C =,得1sin 30sin 45c=c ∴=()113sin 1sin 304522S ac B ∴==⨯+=三、解答题 16.答案：1.∵()22sin cos f x x x x ωωω=-+sin 222sin 23x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,∵直线12,x x x x ==是函数()y f x =的图象的任意两条对称轴,且12x x -的最小值为2π, ∴函数的最小正周期为π,∴212ππωω=⇒=. 2.由1知, ()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,∴222,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈,∴5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈, ∴函数()f x 的单调增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.3.∵()23f a =,∴1sin 233a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭, ∴53sin 4sin 22623a a πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦27cos 222sin 21339a a ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.解析：17.答案：1.∵//a b ,∴3cos sin 04x x +=,∴3tan 4x =-, ∴22222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2sin cos 1tan 5x x x x x x x x x ---===++.2.由正弦定理得sin sin a b A B =,=,∴sin A =,∴4A π=或34A π=.∵b a >,∴4A π=,∴()g x =()14cos 22642f x A x ππ⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又∵0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴112,4412x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,sin 214x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭,∴11122422x π⎛⎫-≤+-≤ ⎪⎝⎭,即()g x 的取值范围是12⎤⎥⎣⎦.解析：18.答案:1. 4C π=2. 12ABC S ∆= 解析:1.∵22sin sin 12A B C +=+, 在ABC ∆中,∵A B C ++=π222sin sin 1,2cos sin 122C C C C π-∴=+=+ cos sin C C ∴=∵()0,C ∈π.4C π∴=2.在ABC ∆中,由正弦定理: 1sin 4=π sin 1,,24A A B C ππ∴==== 1122ABC S bc ∆∴==19.答案：1.24海里;; 2.解析：1.在ABD ∆中,由已知得60,45ADB B ∠=︒=︒由正弦定理得AD=2.在ADC ∆中,由余弦定理得222230,CD AD AC AD ACcos =+-⋅︒解得CD =所以A 处与D 处之间的距离为24,nmile 灯塔C 与D 处之间的距离为.20.答案：1.∵2b =c b a ∴==222cos 2a b c B ac +-∴==2. sin 3B =,11sin 2223ABC S ac B a a ∆==⋅⋅= 解析：21.答案：1.由4cos 5A =得3sin 5A =,113sin 12225S ABC bc A ∴∆==⨯⨯=. 2.由1134DO DA AB AC -=+,可得1134AO AB AC =+, 于是1134AO AO AB AO AC AO ⋅=⋅+⋅, 即1134AO AO AB AO AC AO ⋅=⋅+⋅1cos 4AC AO OAC +⋅∠,① 又O 为ABC ∆的的外接圆圆心, 则1cos 2AO OAB AB ∠=,1cos 2AO OAC AC ∠=,② 将①代入②得到2221168AO AB AC =⋅+⋅ 1114412824164068=⨯+⨯=+=, 解得210AO =由正弦定理得22410sin b R AO B===可解得sin B =解析：。

三角函数及解三角形专题1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式2sin cos ++x xx x计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ． 【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.7．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，即()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -恒成立进行判断.8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定， 所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．C D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； ∵()f x 的最小正周期为π，2ππ,T ∴==ω∴2ω=，∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f = 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，结合函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =．所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）14-；（2）716+-. 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ， 所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==， 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置. 由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，1CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αAB ．13C ．13- D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos3==-α， 因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.。

12019衡水名师原创文科数学专题卷 专题四 函数的图象、函数的应用考点10：函数的图象（1-5题，13题，17,18题）考点11：函数与方程（6-10题，14,15题，19-21题） 考点12：函数模型及其应用（11,12题，16题，22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

）1． 已知函数()f x 对任意的x ∈R 有()()0f x f x +-=，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图象为（ ）2． 已知函数)1(x f y -=的图象如下，则)2(+=x f y 的图象是（ ）3．函数()21cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．4. 已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞ （C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞25．如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AB x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图像大致为（)6． 函数()41log 4x f x x =-的零点所在的区间是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,47． 已知0x 是函数()123x f x x =--的一个零点，若()()10203,,,x x x x ∈∈+∞，则（ ）A.()()12f x f x <B.()()12f x f x >C.()()120,0f x f x <<D.()()120,0f x f x >> 8． 已知方程sin xk x=在()0,+∞有且仅有两个不同的解α、()βαβ<，则下面结论正确的是（ ）A. 1tan 41πααα+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭B. 1tan 41πααα-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭C. 1tan 41πβββ+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭D. 1tan 41πβββ-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭9． 设函数[]2(2),(1,),()1||,1,1,f x x f x x x -∈+∞⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩若关于x 的方程()log (1)0a f x x -+=（0a >且1a ≠）在区间[]0,5内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A．( B．)+∞ C．)+∞ D．10． 已知()()23,xf x xg x me =-=,若方程()()f x g x =有三个不同的实根, 则m 的取值范围是（ ） A ．360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．363,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．362,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．()0,2e 11． 某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸P （单位：毫克／升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为：P=P 0e －kt，（k ，P 0均为正的常数,ｐ0为原污染物数量）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%．那么，至少还需（ ）时间过滤才可以排放． A ．12小时 B ．59小时 C ．5小时 D ．10小时 12． 某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的余数大于6时，再增选一名代表，则各班推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数，如[][]3,44π==）可表示为（ ） A ．10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B ．310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ C ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D ．510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题）3二.填空题（每题5分，共20分）13．若直线2y a =与函数|1|(0xy a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围是14．某同学在借助计算器求“方程的近似解（精确）”时，设，算得，；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是．那么他所取的x 的4个值中最后一个值是 .15.设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩ 其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ .16． 已知函数()()()ln 02ln x x e f x x x e ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若a b c ，，互不相等，且()()()f a f b f c ==则a b c ++的取值范围为 ．三.解答题（共70分）17．（本题满分10分） 已知函数2()21f x x x =--.(1)证明函数()f x 是偶函数； (2)在如图所示的平面直角坐标系中作出函数()f x 的图象．18. （本题满分12分）函数2()21(0,1)xx f x aa a a =+->≠且（1）若2a =，求()y f x =的值域（2）若()y f x =在区间[1,1]-上有最大值14。

2019衡水名师原创理科数学专题卷专题六三角函数考点16：三角函数的有关概念、同角三角函数关系式及诱导公式（1-4题，13题，17题）考点17：三角函数的图象及其变换（5,6题，18题）考点18：三角函数的性质及其应用（7-12题，14-16题，19-22题）考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I卷（选择题）一、选择题1.若3tan4α=,则222cos4sin coscos4sinααααα+=+( )A.64 25B.48 25C.16 13D.4 132.已知1cos()3πα+=-,则tan()2πα-值为( )A.B.-C.±D.4±3.若点55sin,cos66ππ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上,则sinα的值为( )A.B.1 2 -C.1 2D.24.已知10,sin2cosRααα∈+=则tan2α= ( )A.43 B. 34C. 34-D. 43-5.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图,则201616n n f π=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ()A. 1?- B. 0 C.12 D. 16已知曲线:,:,则下面结论正确的是( )A.把上各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线B.把上各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线7.设函数()sin(2)3f x x π=+,则下列结论正确的是( )①f ()x 的图像关于直线3x π=对称;②f ()x 的图像关于点(,0)4π对称;③f ()x 的图像向左平移12π个单位,得到一个偶函数的图像; ④f ()x 最小正周期为π,且在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数 A.①③ B.②④ C.①③④ D.③ 8.定义行列式运算12142334a a a a a a a a =-,将函数()3,sin 1,cos xf x x=的图象向左平移()0n n >个单位,所得图像对应的函数为偶函数,则n 的最小值为( )A.6π B. 3πC. 56πD. 23π9.已知函数()sin 3cos f x x x =,当[]0,x π∈时, ()1f x ≥的概率为( )A. 13B. 14C. 15D. 1210设函数,其中,,若,,且的最小正周期大于,则( )A.,B.,C.,D.,11.已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,则ω的取值范围为( )A. 80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则函数()sin tan cos cot f x x x x x =+的值域为( ) A. [)1,2B. )+∞C. (D. [)1,+∞ 二、填空题 13在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称。

2019衡水名师原创理科数学专题卷 专题四 函数的图象、函数的应用考点10：函数的图象（1-5题，13题，17,18题） 考点11：函数与方程（6-10题，14,15题，19-21题） 考点12：函数模型及其应用（11,12题，16题，22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知函数()f x 对任意的x R ∈有()()0f x f x +-=,且当0x >时, ()()ln 1f x x =+,则函数()f x 的大致图像为( )A.B.C.D.2.已知函数 ()1y f x =-的图象如下,则()+2y f x =的图象是( )A.B.C.D.3.函数()21cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是( ) A.B.C.D.4.已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个,则实数a 的取值范围是( ) A. 2a <-B. 2a ≤-C. 20a -≤<D. 2a >-5.如图所示,设点A 是单位圆上的一个定点,动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P 所旋转过的弧AP 的长为l ,弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图像大致是( )A.B.C.D.6.函数4()2x f x x=-的零点所在区间是( ) A. 1(0,)2B. 1(,1)2C. 3(1,)2D. 2(,2)37.已知0x 是函数()123x f x x =--的一个零点,若()103,x x ∈,()20,x x ∈+∞,则( ) A. ()()12f x f x < B. ()()12f x f x >C. ()10f x <,()20f x <D. ()10f x >,()20f x > 8.已知方程sin xk x=在()0,?+∞有且仅有两个不同的解α、()βαβ<,则下面结论正确的是( ) A. 1tan 41πααα+⎛⎫+=⎪-⎝⎭ B. 1tan 41πααα-⎛⎫+=⎪+⎝⎭ C. 1tan 41πβββ+⎛⎫+=⎪-⎝⎭ D. 1tan 41πβββ-⎛⎫+=⎪+⎝⎭ 9.已知函数12log ,0()115,024x x f x a x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪+-≤⎪⎩, 函数3()g x x =,若方程()()g x xf x =有4个不同实根,则实数a的取值范围为( ) A. 155,2⎛⎫⎪⎝⎭B. 155,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. ()3,5-D. ()3,510.若函数2()xf x x e a =-恰有三个零点,则实数a 的取值范围是( ) A. 24,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. 240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()20,4e D. ()0,?+∞11.某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储藏温度x (单位:℃)满足函数关系kx by e+= ( 2.718e =...为自然对数的底数, ,k b 为常数),若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是( )A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时12.某校要招开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时,再增选一名代表,则各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x = ([]x 表示不大于x 的最大整数,如[]3π=,[]44=)可以表示为( ) A. 10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B. 310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C. 410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D. 510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦二、填空题13.在平面直角坐标系xOy 中,若直线2y a =与函数1y x a =--的图像只有一个交点,则a 的值为__________.14.用二分法求方程22x =的正实根的近似解(精确度0.001)时,如果选取初始区间是[]1.4,1?.5,则要达到精确度要求至少需要计算__________次.15.设f ()x 是定义在R 且周期为1的函数,在区间[)0,1上, 2,,(){,,x x D f x x x D ∈=∉ 其中集合*1|,n D x x n N n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭,则方程()lg 0f x x -=的解的个数是__________.16.已知函数()()()ln 0{2ln x x e f x x x e <≤=->,若,,a b c 互不相等,且()()()f a f b f c ==则a b c ++的取值范围为______. 三、解答题17.已知函数()211f x x x =--+1.请在所给的平面直角坐标系中画出函数()f x 的图像.2.根据函数()f x 的图像回答下列问题①求函数()f x 的单调区间 ②求函数()f x 的值域③求关于x 的方程()2f x =在区间[]0,2上解的个数 18.函数2()21xx f x aa =+- (0a >且1a ≠)1.若2?a =,求(x)y f =的值域2.若(x)y f =在区间[]1,1-上有最大值14。

2019届高三一轮复习理科数学专题卷专题十八 坐标系与参数方程考点58：极坐标与直角坐标（1-6题，13,14题，17-19题） 考点59：参数方程（7-12题，15,16题，20-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．【】2017届山西太原市高三上期中 考点58 易 在极坐标系中，点()1,0与点()2,π的距离为 （ ）A.1B.32．【】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷）考点58 中难 下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是（ ）.（A ）θρcos 56+= （B ）65sin ρθ=+（C ）θρcos 56-= （D ）65sin ρθ=- 3．【】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷） 考点58 中难若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤4．【】2017届上海市闸北区高三下学期期中练习 考点58 中难 在极坐标系中，关于曲线:4sin 3C πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的下列判断中正确的是 A 、曲线C 关于直线56πθ=对称 B 、曲线C 关于直线3πθ=对称 C 、曲线C 关于点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D 、曲线C 关于极点()0,0对称5．【】2017届安徽省淮南一中等四校高三5月联考 考点58 中难 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos sin x a y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()42πρθ-=.若直线l 与圆C 相切，则实数a 的取值个数为（ ）A .0 B.1 C.2 D.3 6．【】2017届重庆市巴蜀中学高三10月月考 考点58 难在极坐标系中，设曲线12sin C ρθ=：与22cos C ρθ=：的交点分别为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为（ ）A ．1sin cos ρθθ=+B ．1sin cos ρθθ=-C ．()4R πθρ=∈ D ．3()4R πθρ=∈7．【】2016届天津市蓟县马伸桥中学高三5月月考 考点59 易 直线2x ty at a=⎧⎨=+⎩(t 为参数)与曲线ρ=1的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定 8．【】2017届四川省成都市高三模拟 考点59 易若曲线02sin 301sin 30x t y t ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩ （t 为参数）与曲线ρ=B ,C 两点，则||BC 的值为（ ）． A ．72 BC ．27D ．309．【】2017-2018学年河北省黄骅中学高二下期中 考点59 中难参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x （t 为参数）所表示的曲线是 （ ）A ．一条射线B ．两条射线C ．一条直线D ．两条直线10．【】2013届中国人民大学附属中学高考冲刺十 考点59 中难若直线l 的参数方程为13()24x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．4511．【】2014届江西师大附中高三三模 考点59 中难直线l的参数方程是x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），圆C 的极坐标方程)4cos(2πθρ+=，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是（ ）A ．2 Ｂ．2 C ．3 D．12．【】2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考 考点59 难 已知实数满足，则的最大值为（ ）A. 6B. 12C. 13D. 14第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。