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浅谈抽屉原理在高中数学竞赛中的运用抽屉原理是概率论中的一种基本方法，用来解决一类计数问题。
在高中数学竞赛中，抽屉原理是一个非常重要的工具，经常被用于证明数学问题，寻找解题思路以及辅助解题。
本文将从抽屉原理的基本概念、运用场景和实例等方面进行探讨。
首先，我们来介绍一下抽屉原理的基本概念。
抽屉原理，又称为鸽巢原理，它是由德国数学家戴德金（Dirichlet）在1823年提出的。
该原理的经典表述是“如果有n+1个物体放入n个盒子中，则至少有一个盒子中会放入两个或以上的物体”。
简单来说，就是将若干个物体放入较少数量的容器中，那么至少有一个容器会被装满。
抽屉原理在高中数学竞赛中的应用非常广泛。
下面我们重点介绍一些常见的抽屉原理运用场景。
1.合理安排方案或分配问题在高中数学竞赛中，常常会遇到需要合理安排方案或分配问题的情况。
抽屉原理可以帮助我们找到合理的方案或分配。
例如，假设有n个同学要参加m个活动，每个同学可以参加多个活动，且每个活动的名额有限。
我们需要证明至少有一个活动的报名人数不少于n/m。
这个问题可以使用抽屉原理来解决。
我们可以将n个同学放入m个活动中，根据抽屉原理，至少有一个活动的报名人数不少于n/m。
2.寻找解题思路在高中数学竞赛中，经常会遇到一些复杂的问题，我们不知道从哪里入手。
抽屉原理可以作为解决问题的一个启示，给我们提供思路。
例如，我们要证明一个命题，但我们无法直接证明它，此时我们可以尝试反证法。
假设该命题不成立，然后根据抽屉原理找出矛盾之处，从而达到证明的目的。
3.确定正整数性质在高中数学竞赛中，经常需要证明一些正整数具有一些性质，而这些性质又不易直接证明。
抽屉原理可以通过构造来解决这类问题。
例如，要证明任意n个正整数中至少有2个数的差是10的倍数，我们可以根据抽屉原理，将这些n个数按余数进行分类，然后应用抽屉原理的相关思路进行证明。
下面我们通过一个例子来具体说明抽屉原理在高中数学竞赛中的运用。
抽屉原理在初等数学中的运用摘要：抽屉原理也称为鸽巢原理，它是组合数学中的一个最基本的原理.也是数学中的一个重要原理，抽屉原理的简单形式可以描述为：“如果把1+n 个球或者更多的球放进n 个抽屉，必有一个抽屉至少有两个球.”它的正确性十分明显，很容易被并不具备多少数学知识的人所接受，如果将其灵活地运用，则可得到一些意想不到的效果. 运用抽屉原理可以论证许多关于“存在”、“总有”、“至少有”的存在性问题。
学习抽屉原理可以用来解决数学中的许多问题，也可以解决生活中的一些现象。
如招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等等，都不难看到抽屉原理的作用。
在解决数学问题时有非常重要的作用. 抽屉原理主要用于证明某些存在性问题及必然性题目，如几何问题、涂色问题等. 各种形式的抽屉原理在高等数学和初等数学中经常被采用，使用该原理的关键在于如何巧妙地构造抽屉，即如何找出合乎问题条件的分类原则，抽屉构造得好，可得出非常巧妙的结论.本文着重从抽屉的构造方法阐述抽屉原理在高等数学和初等数学（竞赛题）中的应用,同时指出了它在应用领域中的不足之处.关键词：抽屉原理；初等数学；应用一、 抽屉原理（鸽巢原理）什么是抽屉原理？先举个简单的例子说明，就是将3个球放入2个篮子里，无论怎么放，必有一个篮子中至少要放入2个球，这就是抽屉原理.或者假定有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，当鸽子飞回巢中，那么一定至少有一个鸽笼里有两只鸽子，这就是著名的鸽巢原理.除了这种比较普遍的形式外，抽屉原理还经许多学者推广出其他的形式.比如陈景林、阎满富编著的中国铁道出版社出版的《组合数学与图论》一书中对抽屉原理给出了比较具体的定义，概括起来主要有下面几种形式:原理1 把多于n 个的元素按任一确定的方式分成n 个集合，则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素.原理2 把m 个元素任意放到n )(n m >个集合里，则至少有一个集合里至少有k 个元素，其中原理3 把无穷个元素按任一确定的方式分成有穷个集合，则至少有一个集合中仍含无穷个元素.卢开澄在《组合数学》（第三版）中将抽屉原理（书中称为鸽巢原理）又进行了推广[2].鸽巢原理：设k 和n 都是任意正整数，若至少有kn+1只鸽子分配在n 个鸽巢中，则至少存在一个鸽巢中有至少k+1只鸽子.二、抽屉的构造途径在利用抽屉原理解题时，首先要明确哪些是“球”，哪些是“抽屉”，而这两者通常不会现成存在于题目中，尤其是“抽屉”，往往需要我们用一些巧妙的方法去构造。
第29讲 抽屉原理知能概述：若把8个物体放入7个抽屉，则一定有一个抽屉放了2个或2个以上的物体；若把8个物体放入2个抽屉，则一定有一个抽屉放了4个或4个以上的物体；若把8个物体放入3个抽屉，则一定有一个抽屉放了3个或3个以上的物体。
我们把“物体数与抽屉数”的关系概括为数学上的一个原理，即“抽屉原理”抽屉原理的常用形式是： 原理1：把(n +1)个元素放入n 个抽屉，则一定有一个抽屉有两个或两个以上的元素；原理2：把m 个元素放入n (n >1，m >n )个抽屉，则一定有一个抽屉至少有k 个元素，其中： , []1, m n m n k m n m n⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩（当能整除时）；（当不能整除时）。
这里[m n ]表示不大于m n 的最大整数，亦即m n的整数部分。
问题解决：例1．1011人参加考试，总得分为50501分(百分制)，则至少有 人的考试成绩是相同的。
(天津市竞赛题)解题思路：把不同得分分别作为抽屉，参加考试的考生1011人视作元素。
例2．夏令营组织1995名营员去游览故宫、景山公园、北海公园，规定每人最少去一处，最多去两地游览，那么至少有( )人游览的地方完全相同。
A ．665B ．499C ．333D ．332（北京市“迎春杯”竞赛题）解题思路：把游览方式作为抽屉。
例3．从1到100这100个自然数中任取51个，求证：其中必有两个数，它们的差是50。
（上海市竞赛题）解题思路：需构造50个抽屉，把1到100这100个自然数恰当分组。
例4．一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌。
问：最少要抽多少张牌，才能保证有4张牌是同一花色的?（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）解题思路：将花色作为“抽屉”，现有4个“抽屉”，牌作为“元素”，要保证4个“元素“在一个“抽屉”里，至少要多少个“元素”。
即[4m ]=4，求m =?例5．任意给出五个整数，证明：必能从其中选出三个整数，使得它们的和能被3整除。
抽屉原理在数学解题中的应用摘要：抽屉原理是组合数学中的重要基本原理，是处理涉及存在性问题的重要方法。
本文主要通过几何问题、整除问题、染色问题、实际生活问题以及在近世代数中的应用来论述抽屉原理。
关键词：抽屉原理几何问题整除问题染色问题近世代数问题抽屉原理广泛应用于离散数学、数论和组合论中，是解决存在性问题、最小数目问题的重要思想理论，应用于生活的各个方面。
抽屉原理又叫鸽笼原理,对离散数学的发展起到了推动的作用。
1.抽屉原理定理1 如果个物体被放入个抽屉中，则必有一个抽屉包含有2个或者更多的物体。
定理2 如果个物体被放入个抽屉中，则必有一个抽屉包含有至少个物体。
定理3 若在有限个抽屉中放入无穷多个物体，那么至少有一个抽屉包含有无穷多个物体。
（原理讨论的是抽屉与物品的数量关系，要求物品的数量比抽屉数或抽屉数的倍数多。
）应用抽屉原理解题的步骤：1.分析题意。
找出哪些是“物体”，哪些是“抽屉”。
2、制造抽屉（关键）。
即怎样制造抽屉。
结合题目和相关数学内容，找出对应的数量关系，将问题进行模型转化。
3、应用原理。
根据相关定理得出相应结论。
二、应用1、在几何方面的应用例1 设正方形中有九条直线，每条直线都分正方形成两个梯形，梯形面积比都为2:3。
证明：这些直线中有三条是共点的。
证明：如图，直线分正方形成面积比为2:3的梯形，分别是的中点，连接。
这两个梯形等高。
由中位线性质知：。
点的位置就确定了。
同理可得点。
已知的九条直线中的任何一条都必过点中的一点。
设九条直线为物体，四个点为抽屉。
必定有3条直线共点。
说明：本题中的模型比较难找，主要是找出4个对称点，找出这些点要靠对梯形面积公式的深刻理解。
例2 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都为整数的点叫做格点，任取6个格点，若满足：①；② 任意三点都不共线。
试证：由组成的所有三角形中，必有一个三角形，其面积不大于2。
证明：假设由中的任意三点组成的三角形面积都大于2。
① 若6个点中有少于2个点落在轴上，由原理知至少有3个点落在轴的同一侧。
初中数学竞赛：抽屉原理把5个苹果放到4个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果，这是抽屉原理的通俗解释。
一般地，我们将它表述为：第一抽屉原理：把（mn＋1）个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有（m＋1）个物体。
使用抽屉原理解题，关键是构造抽屉。
一般说来，数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等，都可作为构造抽屉的依据。
例1从1，2，3，…，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定：（1）有2个数互质；（2）有2个数的差为50；（3）有8个数，它们的最大公约数大于1。
证明：（1）将100个数分成50组：{1，2}，{3，4}，…，{99，100}。
在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组中的2个数是两个相邻的整数，它们一定是互质的。
（2）将100个数分成50组：{1，51}，{2，52}，…，{50，100}。
在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组的2个数的差为50。
（3）将100个数分成5组（一个数可以在不同的组内）：第一组：2的倍数，即{2，4，…，100}；第二组：3的倍数，即{3，6，…，99}；第三组：5的倍数，即{5，10，…，100}；第四组：7的倍数，即{7，14，…，98}；第五组：1和大于7的质数即{1，11，13，…，97}。
第五组中有22个数，故选出的51个数至少有29个数在第一组到第四组中，根据抽屉原理，总有8个数在第一组到第四组的某一组中，这8个数的最大公约数大于1。
例2求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。
证明：因1996÷4＝499，故只需证明可以找到一个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数就可以了。
得到500个余数r1，r2，...，r500。
由于余数只能取0，1，2， (499)499个值，所以根据抽屉原理，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，这个差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0，又499和10是互质的，故它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。
2020年第5期11利用抽屉原理证明三道竞赛题隋婷婷(天津市燿华中学,300040)中图分类号:0141.2文献标识码：A文章编号：1005-6416(2020)05-0011-02在解决存在性问题时,抽屉原理是一个有力的工具，其应用过程中的抽屉制造实质是对问题涉及对象的分类•本文通过三道竞赛题说明应用抽屉原理的技巧.题1设递推数列满足：a n+1=\b n-c…I,6n+1=\c n-a n\,c”+i=Ia n-I(n E Z+).证明:对于任意正整数5、®、C|,存在正整数％，使得a k+i=akb+i=bk，Ck+\=c k.］(2017,全国高中数学联赛安徽赛区预赛)【分析】原答案将Je…|重排，再利用反证法导出结论.事实上，从正面出发，先利用抽屉原理证明序列{(a”,6”,c”)}的周期性,再入手证明结论较简易.证明注意到JaJJiJ JcJ为自然 数列，且皿{。
”+1,力+1,4+11Wmax{a”，6”，c”}.①记A=maxj a1,b x,c t}.则由抽屉原理，知在序列I(a”,b”,c”)In=1,2,---,43+11中必有两个相同,记为(a k,b k,c k)与(5,b［, cj(1WA：<l^A3+1).则该序列当n^k时为周期的.再由式①，知当n^k时,max{a”,b”,c”}为定值•故每个(a”,»,c”)中均含0.进而，序列各项为(a,a,0)或其轮换的形式，即当收稿日期:2019-12-27nM：时，各项均为相同的.题2已知m^n均为大于1的整数, m^n.5，也，…，a”是n个不超过m的互不 相同的正整数，且5，。
2,…，a“互素•证明:对任意实数％，均存在一个i(lWiWn),使得2II w Ar;ll^ll，771(TH+17其中，II引I表示实数"与其最近的整数的距离.⑵(2017,全国高中数学联合竞赛)【分析】文［2］、［3］中证法均详尽推导得到确切的存在性，本证法仅用抽屉原理确定存在即可.证明符号||別可以理解为(［%］表示不超过实数%的最大整数)•首先，IM+XI W H+M-①进而，对于任意的整数U,均有Tl Si||y||.事实上，对久、y各加一个整数,不影响结论,故不妨设％、y€［0,1).在直角坐标系中考虑正方形［0,l)x ［0,1)内的点过A作斜率为-1的宜线,与正方形的边交于点B、C,将正方形的边长截为«J-t.如图1.则II%+歹II=min(t,l-«(.而l|x||+||y||不小于t或17故式①成立.其次，取么巳0,1,…,m}，得到(7n+l)n 个工d i a i€{0,1,m3}.i=l12中等数学【分析】文[4]通过分类讨论，经详细论证，得到肯定的结论•若利用抽屉原理，则简单直观得到结论.证明记集合图14={（人人人）|入€{0,1,2},空入工0}.1=1显然,IAI=33-1=26.3|先考虑{斗入5I（入,役,荷）€4}各项模3的余数•由抽屉原理，知存在一个_/6{0,1,2|,使得注意到,2(m+1)"-1>2m n'^m2n.由抽屉原理，知存在空必5、空d'gi=l i=l相差1.取c；=J；-d\€[-zn,m].则S c i a i巳-1,1丨.i=l不妨设£c i a i=1.W兗I c：I•1=1||a t x||Wm S II a i x II•i=l②当m^ln-1时，由式②得max||a t x||工业丄M]用,、gw”mn7n(zn+1)当m<2n-1时，由{如，a?,…，a”丨U {1,2,…,及抽屉原理，知存在两数相邻,设为a2-a,=1.则\\x II=II(¾-5)%II W||労II+11II-故max||a t x i=1,22||別m(m+1) II m综上，命题成立.题3设Q]、a?、、"1、“2、“3€Z+.证明:存在不全为零的数入、血仏6|0,1,2|, 33使得》入5与同时被3整除⑷i=l i=1（2017,浙江省高中数学竞赛）至少有昔=9个元素（「幻表示不小于实数％的最小整数）•再考虑{斗入仇|（入I，血,入3）€%}各项模3的余数心由抽屉原理,知存在一个％6{0,1,2},使得I34={（入&，入3）W4I斗入2三Hrnod3）},「91至少有j=3个元素.取其中两兀（入11，血1，入31）、（入12>^225^32），记_Ai2（mod3）,心€（0,1,2（/=1,2,3.33由上述论证，知2心5与工X a同时被i=1i=13整除.【评注】由本题的证明易知，满足要求的（入1，血，入3）不止1"•参考文献：[1]2017年全国高中数学联赛安徽赛区预赛[J].中等数学,2018（1）.[2]2017年全国高中数学联合竞赛[J].中等数学,2017（11）.[3]2017年全国高中数学联赛加试题另解[J].中等数学,2017（12）.[4]2017年浙江省高中数学竞赛[J].中等数学，2018（4）.。
抽屉原理在中小学解题中的应用
抽屉原理是数学上的基本定理之一，它可用于许多领域，包括
中小学解题。
在中小学的解题中，抽屉原理通常用于解决如下问题：
1. 分配问题：有m个物品要放到n个盒子中，其中m>n，证明
存在至少一个盒子中含有两个或以上的物品。
这可以用抽屉原理来
证明，即将n个盒子看作n个抽屉，将m个物品看作n+1个球，必
定有至少一个抽屉中至少有两个球。
2. 证明问题：对于一些具有特定特征的对象，总个数为m，每
个对象至少有一个特征，证明其中至少有n个对象共享相同的特征。
这可以通过把每个特征看成一个抽屉，每个对象看成一张卡片，然
后把卡片放进相应的抽屉中，以证明必有至少n张卡片放到同一个
抽屉里。
3. 比较问题：如果有n+1个数，其中每个数都不大于n，那么
必须有两个数相等。
这可以理解为有n个抽屉，n+1个苹果，显然
必须有至少有两个苹果放在同一个抽屉里。
除此之外，抽屉原理也可用于解决关于排列组合、分组问题等，对学生的数理思维有很大的促进作用。
