吉林省吉林一中2014-2015学年高二上学期期中考试 数学理

某某市普通中学2013-2014学年度上学期期中教学质量检测高二数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，共10页，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、某某、某某号填写在答题卡上，2、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3、保持卡面清洁，不折叠、不破损。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1. 按数列的排列规律猜想数列2468,,,,3579--的第10项是A ．1617-B ．1819-C ．2021-D ．2223-【答案】C【解析】观察数列规律得通项公式为()12121n nn +-+，所以数列的第10项是2021-。

2. 等差数列{}n a 中，11,3,298n a d a ===时，则序号n 等于A. 99B. 100C. 96D. 101【答案】B 【解析】因为()111298,=1,3n a a n d a d =+-==又，所以100n =。

3. 数列{}n a 中，“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由123a a a <<得不出“数列{}n a 是递增数列”；但若“数列{}n a 是递增数列”，则一定有123a a a <<，所以“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的必要而不充分条件。

4. 若1a >，则11a a +-的最小值是A ． 0B ． 2C. 1a -D ． 3【答案】D【解析】因为1a >，所以由基本不等式得：113111a a +≥=-+-，当且仅当2111a a a =-=-即时等号成立，所以11a a +-的最小值是3. 5. 在ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，80,100,45a b A ︒===,则此三角形解 的情况是A. 一解B. 两解C. 一解或两解D. 无解【答案】B【解析】因为sin b a b A >>=6. 若关于x 的不等式24(1)4k x k +≤+的解集是M ，则对任意实常数k ，总有 A ．2,0M M ∈∈ B ．2,0M M ∈∉ C ．2,0M M ∉∈D ．2,0M M ∉∉【答案】A【解析】方法1：把点x=2、x=0分别代入不等式中，判断关于k 的不等式的解集是否为R 即可。

绝密★启用前吉林一中2013--2014学年度上学期高二期末考试数学理测试试卷考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请修改第I 卷的文字说明一、单项选择1. 倾斜角为60︒的直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点，且与抛物线相交于,A B 两点（点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（ ）A ．1B ． 2C ．3D ．42. 过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠= ，则椭圆的离心率为 （ ）A B C ．12 D ．133. 若抛物线)0(22>=p px y 的焦点在直线022=--y x 上，则该抛物线的准线方程为（ ）A.2x =-B. 4=xC. 8-=xD. 4-=y4. 若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合,则p 的值为 （ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．45. 若抛物线()220y px p =>上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点M的横坐标和p 的值分别为（ ） A ．9，2 B ．1，18C ．9，2或1，18D ．9，18或1，26. 双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的一条渐近线为2y x =，则该双曲线的离心率等于（ ） A ．25 B ．5 C ．6 D ．26 7. 抛物线212=y x 截直线62-=x y 所得的弦长等于（ ）A B C ．15 8. 以双曲线4422=-y x 的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是( ) A ．x y 322= B ．x y 522= C ．x y 542= D ．x y 342= 9. $selection$10. 双曲线22221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点为12,F F ,若双曲线上存在一点P ,满足122PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为 （ ） A ．(]1,3 B ．()13， C ．()3+∞， D ．[)3,+∞ 11. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是 （ ） A ．[3,)+∞ B ．(3,)+∞ C ．(1,3] D ．(1,3)12. 中心为)00(，, 一个焦点为)25,0(F 的椭圆,截直线23-=x y 所得弦中点的横坐标为21,则该椭圆方程是 （ ） A ．125275222=+y x B ．1257522=+y x C ．1752522=+y x D ．175225222=+y x 第II 卷（非选择题）二、填空题13. 已知抛物线2:C y x =与直线:1l y kx =+，“0k ≠”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的 条件14. 右焦点与抛物线x y 162=的焦点重合,则该双曲线15. 的准线方程是16. 已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0, b ＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x=的焦点相同，则双曲线的方程为三、解答题17. 已知点A 是椭圆()22:109x y C t t+=>的左顶点，直线:1()l x my m =+∈R 与椭圆C 相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B .且当0m =时，△AEF 的面积为163. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AE ，AF 与直线3x =分别交于M ，N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否经过点B ？并请说明理由.18. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一直角梯形，其中,BA AD CD AD ⊥⊥，2,CD AD AB PA ==⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．(Ⅰ)求证：BE //平面PAD ；(Ⅱ)若BE ⊥平面PCD ，求平面EBD 与平面BDC 夹角的余弦值．19. 已知)1ln()(-=x a x f ,bx x x g +=2)(,)()1()(x g x f x F -+=,其中R b a ∈,. (I)若)(x f y =与)(x g y =的图像在交点(2,k )处的切线互相垂直,求b a ,的值;(II)若2=x 是函数)(x F 的一个极值点,0x 和1是)(x F 的两个零点,且0x ∈()1,+n n N n ∈,求n ;(III)当2-=a b 时,若1x ,2x 是)(x F 的两个极值点,当|1x -2x |>1时,求证:|)(1x F -)(x F |>3-42ln .20. ，（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0,0)l y kx m k m =+≠>与椭圆交于P ，Q 两点，且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ 面积的最大值及此时直线的方程.21. 已知椭圆2214x y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率.(I)求椭圆2C 的方程.(II)设O 为坐标原点,点A.B 分别在椭圆C 1和C 2上,2OB OA =,求直线AB 的方程.22. 如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平面ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;(II)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ与平面ABC 所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=.参考答案一、单项选择1.【答案】C【解析】2.【答案】B【解析】由题意知点P的坐标为（-c,2ba）,或（-c,-2ba），因为1260F PF∠=，那么222c2acba==，这样根据a,b,c，选B3.【答案】A【解析】抛物线的焦点坐标为(,0)2p，代入直线220x y--=得202p-=，即4p=，所以抛物线的准线方程为4222px=-=-=-，选A.4.【答案】D【解析】双曲线22122x y-=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y px=的焦点为(2,0),则4p=.5.【答案】C【解析】6.【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为ay xb=±，已知双曲线的一条渐近为2y x=，所以2,ab=2222,24a ab bc a===-，即225,4c a=所以25,4e e==，选A.7.【答案】D.【解析】由⎩⎨⎧==6-2122xyxy得：099-2=+xx，设两交点A(11yx，)B(22yx，),则9xx,92121==+xx，所以8.【答案】C【解析】 9.【答案】C 【解析】10.【答案】A 【解析】 11.【答案】A 【解析】12.【答案】C 【解析】 二、填空题13.【答案】必要不充分 【解析】 14.【解析】15.【答案】2y = 【解析】16.【答案】112422=-y x【解析】抛物线216y x =焦点为（4,0），所以4;c =又2,2;ce a a==∴=于是 22212.b c a =-=所求双曲线线方程为221.412x y -= 三、解答题 17.【答案】（1）当0m =时，直线l 的方程为1x =，设点E 在x 轴上方，由221,91x y tx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得(1,E F ,所以EF =. 因为△AEF的面积为116423⨯=，解得2t =. 所以椭圆C 的方程为22192x y +=. （2）由221,921x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(29)4160m y my ++-=，显然m ∈R . 设1122(,),(,)E x y F x y ,则121222416,2929m y y y y m m --+==++， 111x my =+,221x my =+.又直线AE 的方程为11(3)3y y x x =++，由11(3),33y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩解得116(3,)3y M x +，同理得226(3,)3y N x +.所以121266(2,),(2,)33y y BM BN x x ==++ ,又因为121266(2,)(2,)33y y BM BN x x ⋅=⋅++12121212363644(3)(3)(4)(4)y y y y x x my my =+=+++++ 1212212124(4)(4)364()16my my y y m y y m y y +++=+++ 2222216(436)164164(29)3216(29)m m m m m -+-⨯+⨯+=-++22264576641285769m m m ---++=0= 所以BM BN ⊥,所以以MN 为直径的圆过点B【解析】18.【答案】设,AB a PA b ==，建立空间坐标系，使得(0,0,0),(,0,0)A B a ，(0,0,)P b ,(2,2,0),(0,2,0)C a a D a ，(,,)2bE a a .(Ⅰ)(0,,)2bBE a = ，(0,2,0),(0,0,)AD a AP b == ，所以1122BE AD AP =+ ，BE ⊄平面PAD ，//BE ∴平面PAD .(Ⅱ)BE ⊥ 平面PCD ，BE PC ∴⊥，即0BE PC ⋅=(2,2,)PC a a b =- ，22202b BE PC a ∴⋅=-= ，即2b a =.平面BDE 和平面BDC 中，(0,,),(,2,0)BE a a BD a a ==- (,2,0)BC a a =，所以平面BDE 的一个法向量为1(2,1,1)n =- ；平面BDC 的一个法向量为2(0,0,1)n =；12cos ,n n <>=EBD 与平面BDC【解析】19.【答案】(I)1)(-='x ax f ,b x x g +='2)( 由题知⎩⎨⎧-='⋅'=1)2()2()2()2(g f g f ,即⎩⎨⎧-=++=1)4(240b a b解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=221b a(II))()1()(x g x f x F -+==)(ln 2bx x x a +-,b x xax F --='2)( 由题知⎩⎨⎧=='0)1(0)2(F F ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=--01042b b a解得a =6,b =-1∴)(x F =6x ln -(2x -x ),126)(+-='x x x F =xx x )2)(32(-+- ∵x >0,由)(x F '>0,解得0<x <2;由)(x F '<0,解得x >2 ∴)(x F 在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)单调递减, 故)(x F 至多有两个零点,其中1x ∈(0,2),2x ∈(2, +∞) 又)2(F >)1(F =0,)3(F =6(3ln -1)>0,)4(F =6(4ln -2)<0 ∴0x ∈(3,4),故n =3(III)当2-=a b 时,)(x F =])2([ln 2x a x x a -+-,)2(2)(---='a x x a x F =xx a x )1)(2(-+-, 由题知)(x F '=0在(0,+∞)上有两个不同根1x ,2x ,则a <0且a ≠-2,此时)(x F '=0的两根为-2a,1, 由题知|-2a-1|>1,则42a +a +1>1,2a +4a >0又∵a <0,∴a <-4,此时-2a>1 则)(x F 与)(x F '随x 的变化情况如下表:∴|)(1x F -)(x F |=)(x F 极大值-)(x F 极小值=F(-2)―F(1) =ln(a ―2a )+412a ―1, 设141)2ln()(2-+-=a a a a ϕ,则121)2ln()(++-='a a a ϕ,211)(+=''a a ϕ,∵a <-4,∴a 1>―41,∴211)(+=''a a ϕ>0,∴)(a ϕ'在(―∞,―4)上是增函数,)(a ϕ'<=-')4(ϕ012ln <- 从而)(a ϕ在(―∞,―4)上是减函数,∴)(a ϕ>)4(-ϕ=3-42ln 所以|)(1x F -)(x F |>3-42ln . 【解析】20.【答案】（12）面积取最大值1，y =∴224,1a b ==(Ⅱ)设1122(,),(,),P x y Q x y PQ 的中点为00(,)x y将直线y kx m =+与联立得222(14)8440k x kmx m +++-=，222216(41)0,41k m k m ∆=+->∴+> ① 又0x =又（-1，0整理得2341km k =+ ②）面积取最大值1，此时k∴直线方程为y =【解析】21.【答案】解:(1)椭圆的长轴长为4,离心率为∵椭圆C 2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率 ∴椭圆C 2的焦点在y 轴上,2b=4,为∴b=2,a=4 ∴椭圆C 2的方程为;(2)设A,B 的坐标分别为(x A ,y A ),(x B ,y B ), ∵∴O,A,B 三点共线,且点A,B 不在y 轴上 ∴设AB 的方程为y=kx 将y=kx 代入,消元可得(1+4k 2)x 2=4,∴将y=kx 代入,消元可得(4+k 2)x 2=16,∴∵,∴=4,∴,解得k=±1,∴AB 的方程为y=±x【解析】22.【答案】解:(I)EF AC ,AC ABC ⊆平面,EF ABC ⊆平面EF ABC ∴ 平面又EF BEF ⊆平面EF l ∴l PAC ∴ 平面(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)【解析】。

2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题第I 卷（选择题）请修改第I 卷的文字说明一、单项选择1. 已知点M 到两个定点A （-1，0）和B （1，0）的距离之和是定值2，则动点M 的轨迹（ ）A ．一个椭圆B ．线段ABC ．线段AB 的垂直平分线D ．直线AB2. 设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )12D. 123. 已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4. 正整数集合k A 的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k 的等差数列，则并集1759A A 中的元素个数为（ ）．A ．119B ．120；C ．151；D ．154．5. 题:R p x ∀∈，函数2()2cos 23f x x x =+≤，则（ ）A ．p 是假命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+≤B ．p 是假命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+>C ．p 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+≤D ．p 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+>6. 已知双曲线19222=-y ax ()0>a 的中心在原点, 右焦点与抛物线x y 162=的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( ) A. 54 B. 55558 C. 45D. 7747. 如果命题“p q ⌝∨⌝”是假命题，则在下列各结论中，正确的为 （ ） ①命题“p q ∧”是真命题； ②命题“p q ∧” 是假命题； ③命题“p q ∨”是真命题； ④命题“p q ∨”是假命题。

A ．②③ B ．②④ C ．①③ D ．①④8. 不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log 2222x x 的解集为（ ） A ．（0，3） B ．（3，2） C ．（3，4） D ．（2，4）9. 若函数(1)4a x y e x -=+（x ∈R ）有大于零的极值点，则实数a 范围是（ ） A ．3a >- B ．3a <- C ．13a >- D ．13a <-10. 下列语句是命题的一句是( )A ．请把窗户打开B ．2+3=8C ．你会说英语吗D ．这是一棵大树11. 已知椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为12F F ，，点P 在椭圆上，当12F PF △的面积为1时，12PF PF =·（ ） Ａ．0 Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．1212. 设U=R,A={x|mx 2+8mx+21>0},A=∅,则m 的取值范围是（ ）A.0≤m<1621 B.m>1621或m=0 C.m ≤0 D.m ≤0或m>1621第II 卷（非选择题）请修改第II 卷的文字说明 二、填空题13. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95S S = 14. 抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形面积是 .15. 设01a a >≠且，函数2lg(23)()xx f x a-+=有最大值，则不等式2log (57)0a x x -+>的解集为 ．16. 设函数()||f x x x bx c =++，给出下列四个命题：①0c =时，()f x 是奇函数 ②0,0b c =>时，方程()0f x =只有一个实根 ③()f x 的图象关于点(0,)c 对称 ④方程()0f x =至多两个实根 其中正确的命题是 三、解答题17. 已知函数f(x)＝x 3－ax 2＋3x.(1) 若x ＝3是f(x)的极值点,求f(x)在x ∈[1,a]上的最大值和最小值． (2) 若f(x)在x ∈[1,＋∞)上是增函数,求实数a 的取值范围;18. 已知n 为正整数,在数列}{n a 中,,12,111+==+n n a a a 在数列}{n b 中,,11a b =当2≥n 时,.111121-+∙∙∙++=n n n a a a a b (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)求nn n n a b a b 111+-++ 的值; (3)当2≥n 时,证明.223)1()1)(1(2121n n n b b b b b b ->⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++19. 已知函数)1ln()(+-=x e x f x (1)求)(x f 最小值; (2)已知210x x <≤,求证11ln11212+++>-x x ex x ; (3))(x f 图象上三点A 、B 、C,它们对应横坐标为1x ,2x ,3x ,且1x ,2x ,3x 为公差为1 等差数列,且均大于0,比较||AB 和||BC 长大小.20. 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，933=+b a ，1125=+b a .（Ⅰ）求{}n a ， {}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．21. P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 为它的一个焦点，求证：以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．22. 设a ∈R ,函数2()()e x f x x ax a =--.(Ⅰ)若1a =,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)求函数()f x 在[2,2]-上的最小值.参考答案一、单项选择 1.【答案】B【解析】定值2等于|AB|，选B2.【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则F （c,0）,B(0,b)直线FB ：bx+cy-bc=0与渐近线y=b x a 垂直，所以1-=⋅-abc b ，即b 2=ac所以c 2-a 2=ac,即e 2-e-1=0,所以e =或e =（舍去）.3.【答案】A4.【答案】C ；用k A 表示集k A 的元素个数，设1k A n =+，由20071nk =+，得2006n k =，于是 172006111917A =+=，59200613559A =+=，175910032006131759A A A ==+=⨯；从而 175917591003119353151A A A A A =+-=+-=5.【答案】D【解析】3)62sin(212sin 32cos 12sin 3cos 2)(2≤++=++=+=πx x xx x x f ；P 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =>；6.【答案】D7.【答案】B 8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】B 11.【答案】Ａ【解析】由已知得a=2，|P 1F |+2PF =4，平方后结合余弦定理和面积公式可得12PF PF =·0。

第I 卷（选择题）请修改第I 卷的文字说明一、单项选择1. 已知数列135可以是这个数列的 （ ） A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项2. 已知函数)(x f 是定义在),0(+∞上的单调函数,且对任意的正数y x ,都有)()(x f y x f =⋅ )(y f +,若数列{n a }的前n 项和为S n ,且满足))(3()()2(*N n f a f S f n n ∈=-+,则3a =( ) A. 9 B.23 C.49 D.943. 在△ABC 中，已知（a 2+b 2）sin(A-B)=(a 2-b 2)sin(A+B),则△ABC 的形状（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形4. 设第一象限内的点（x,y)满足约束条件02062≥+-≤--⎩⎨⎧y x y x , 若目标函数z=ax+by （a>0,b>0)的最大值为40,则b a 15+的最小值为( ) A.625 B.49 C.1 D. 45. 当a<0时,不等式42x 2+ax-a 2<0的解集为( ) A.{x|7a <x<-6a } B.{x|-6a <x<7a }C.{x|7a <x<-72a } D.空集6. ,a b c d >>是a c b d +>+的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7. 已知变量x.y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+0520204y x y x y x ,则f(x,y)＝y x y x ++22的取值范围是( )A.(75,57)B.(57,＋∞) C.[75,57] D.(－∞,75)8. 当不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<≥-+-≥≥)0(0200k k y kx y x 所表示的平面区域的面积最小时,实数k 的值为( )A.－31B.－21C.－1D.－29. 数列{}n a 中,111,32,n n a a a +==+则通项n a =____________.10. 若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ） A ．1 B ．0或32 C ．32 D ．5log 211. 若2－m 与|m|－3同号,则m 的取值范围是( )A ．(3,＋∞)B ．(－3,3)C ．(2,3)∪(－∞,－3)D ．(－3,2)∪(3,＋∞)12. 设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则2294a b +的最小值为（ ）A ．12 B ．1325C ．1D ．2第II 卷（非选择题）字说明 二、填空题13. 若变量x ，y 满足约束条件{32969x y x y ≤+≤≤-≤则z ＝x ＋2y 的最小值为________．14. 已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．15. 已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为16. 三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xy ax y ≤+对于[][]1,2,2,3x y ∈∈恒成立,求a 的取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”； 乙说：“不等式两边同除以x 2，再作分析”； 丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”．参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a 的取值范围是 ．三、解答题17. 本公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？18. 已知集合}122|{≤-=x xx A ,集合}0)12(|{22<+++-=m m x m x x B (1)求集合B A ,;(2)若A B ⊆,求m 的取值范围.19. 已知函数)(x f 定义在区间)1,1(-上,1)21(-=f ,且当)1,1(,-∈y x 时, 恒有)1()()(xy yx f y f x f --=-.又数列}{n a 满足21112,21nn n a a a a +==+. (1)证明:)(x f 在)1,1(-上是奇函数; (2)求)(n a f 的表达式;(3)设n n n T a f b ,|)(|log 2112+=为数列}{n b 的前n 项和,若*)(1512N m m T T n n ∈≤-+对*N n ∈恒成立,求m的最小值.20. 设同时满足条件：①122++≥+n n n b b b ；②n b M ≤ (N n +∈，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{}n b 叫“嘉文”数列.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足： (1)1n n aS a a =--（a 为常数，且0a ≠，1a ≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21nn n S b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值，并证明此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为“嘉文”数列.21. 求由约束条件2600x y x y x +⎧⎪+⎨⎪⎩≤5≤≤≥确定的平面区域的面积S 和周长c.22. 设数列{}n a 、{}n b 满足n n a n na a )1(2,2111+==+,且 *∈++=N n a a b n n n ,21)1ln(2. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)对一切*∈N n ,证明nn n b a a <+22成立; (3)记数列{}2n a 、{}nb 的前n 项和分别是nA 、nB ,证明:42<-n nA B.参考答案7.【答案】C 8.【答案】D9.【答案】1231n -⨯- 10.【答案】D【解析】2lg2lg(23)2lg(21),2(23)(21)x x x x ++=-+=- 22(2)4250,25,log 5x x x x -⋅-===11.【答案】C【解析】由(2－m)(|m|－3)＞0得(m －2)(|m|－3)＜0,两边同乘以|m|＋3得(m 2－9)(m －2)＜0,即(m －3)(m －2)(m ＋3)＜0,∴ m ＜－3或2＜m ＜3,故选C. 12.【答案】A二、填空题13.【答案】－6【解析】作出可行域如图阴影部分所示， 由{239y x y x =-+=-解得A(4，－5)．当直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取最小值，将A(4，－5)代入， 得z ＝4＋2×(－5)＝－6.14.【答案】[]57-，二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥ 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：作直线:300020000l x y +=，即320x y +=．平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立30052900.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100200x y ==，．∴点M 的坐标为(100200)，．max 30002000700000z x y ∴=+=答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告， 公司的收益最大，最大收益是70万元．(Ⅱ)令x =a n ,y =-a n ,于是)12()()(2nnn n a a f a f a f +=--, 由已知得2f (a n )=f (a n+1), ∴2)()(1=+n n a f a f , ∴ 数列{f (a n )}是以f (a 1)=1)21(-=f 为首项,2为公比的等比数列. ∴.221)(11---=⋅-=n n n a f (III)由(II)得f (a n +1)=-2n,于nb n 21=. ∴ T n = b 1+ b 2+ b 3+…+ b n)131211(21n ++++= , )12131211(2112+++++=+n T n .∴ )121312111(2112++++++++=-+n n n n T T n n .令).1212111(21)(++++++=n n n n k于是)3213121(21)1(++++++=+n n n n k ,∴ 0)32)(1(41)11321221(21)()1(<++-=+-+++=-+n n n n n n k n k .∴ k (n +1)<k (n ),即k (n )在N *上单调递减, ∴ k (n )max =k (1)=125)131211(2113=-++=-T T , ∴15m ≥125即m ≥425. ∵ m ∈N *,∴ m 的最小值为7.21. 【答案】由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分)，其四个顶点为O(0,0)，B(3,0)，A(0,5)，P(1,4).过P 点作y 轴的垂线，垂足为C. 则AC ＝|5－4|＝1，PC ＝|1－0|＝1，OC ＝4，OB ＝3，APPB ＝＝得S △ACP ＝12AC ·PC ＝12， S 梯形COBP ＝12(C P ＋OB)·OC ＝8.所以S ＝S △ACP ＋S 梯形COBP ＝172，c ＝OA ＋AP ＋PB ＋OB ＝8(3)∵)1ln(222n n n a a b +=-,由(Ⅱ)可知,n n n n a a a b 2)1ln(222<+=-,∴)2232221(2)(223221nn n n na a a A B ++++=+++<- 利用错位相减求得:2222223222132<+-=++++n n n n∴42<-n n A B .。

吉林一中2014—2015学年度上学期期中高二数学文考试高二数学文试题考试范围：XXX ；考试时间：100分钟；命题人：XXX注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择（注释）1、设}{n a 是公差为正数的等差数列，若321321,15a a a a a a =++=80，则131211a a a ++=（ ）A ．120B ．105C ．90D ．752、命题“对任意x R ∈,都有20ax bx c ++<” 的否定为A 、存在0x R ∈,使得2000ax bx c ++≥;B 、不存在x R ∈,使得20ax bx c ++≥; C 、存在0x R∈,使得2000ax bx c ++<; D 、对任意x R ∈,都有 20ax bx c ++≥；3、如果命题“()p q ⌝∨”是假命题，则下列说法正确的是( ) A. p q 、均为真命题 B. p q 、中至少有一个为真命题 C. p q 、均为假命题D. p q 、中至少有一个为假命题4、已知,a b ∈R ．下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ） （A ）1a b >-（B ）1a b >+（C ）||||a b >（D ）22ab>5、设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件6、下列命题正确的是（ ）<．对任意的实数x ,都有321x x x ≥-+恒成立.C.224()2y x x R x =+∈+的最小值为2 D. 2(2),(2)y x x x =-≥的最大值为27、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+<-13123|12|x x x 的解集为 .8、若,10,1<<>>a y x 那么下列各式中正确的是（ ）A ．a a y x --> B. y x a a log log > C. y x a a < D. y x a a >9、等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，若371112a a a ++=，则13S 等于（ ）()A 52 ()B 54 ()C 56 ()D 5810、在等差数列{}n a 中，已知1684=+a a ，则102a a +为 （ ）A. 12B. 16C. 20D. 2411、已知数列{}n a 满足:点(,)()n n a n N *∈都在曲线2log y x =的图象上,则24816a a a a +++=( )A.9 B10 C20 D30 12、等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中的最大的是（ ）A ．10S B ．11S C ．20S D ．21S二、填空题（注释）13、已知数列{}n a 中1a =1，其前n 项的和为n S ，且点1(,)n n P a a +在直线l ：20x y --=上．则10S =________________．14、设{}n a 为等差数列，公差2-=d ，n S 为其前n 项和，若1110S S =，则=1a15、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，d a 91=，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k=16、若数列{}n a 中，13a =，14(2)n n aa n -+=≥，则2013a =________．三、解答题（注释）17、已知数列{}n a ，2n a ≠，15823n n n a a a +-=-，13a =（1）证明：数列1{}2na -是等差数列．（2）设2n n b a =-，数列1{}n n b b +的前n 项和为nS ，求使21(21)2(23)2192n n n n S n +++⋅⋅>-⋅+成立的最小正整数n ．18、为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门将某校12名学生分为两组进行问卷调查.第一组的得分情况为:5,6,7,8,9,10;第二组的得分情况为:4,6,7,9,9,10.(1)根据以上数据,判断两组中哪组更优秀?(2)把第一组的6名学生的得分看成一个总体.用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 19、为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为:21200800002y x x =-+,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴 多少元才能使该单位不亏损？20、某厂产值第二年比第一年增长%p ，第三年比第二年增长%q ，又这两年的平均增长率为S%，则S 与2p q+的大小关系是A ．2p q S +>B ．2p q S +=C2p q S +≤D2p q S +≥21、比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小。

2015-2016学年吉林省吉林一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为( )A．{x|﹣1＜x＜3} B．∅C．R D．{x|﹣3＜x＜1}2．如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＜03．已知﹣1，a1，a2，8成等差数列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，那么的值为( ) A．﹣5 B．5 C． D．4．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形5．下列各函数中，最小值为2的是( )A．y=x+B．y=sinx+，x∈（0，）C．y=D．y=x+﹣16．在等比数列{a n}中，若的值为( )A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣47．各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3，S3n=39，则S4n等于( ) A．80 B．90 C．120 D．1308．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=( ) A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣29．已知等差数列{a n}有奇数项，奇数项和为36，偶数项和为30，则项数n=( )A．5 B．7 C．9 D．1110．已知数列{a n}为等差数列，若，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为( )A．11 B．19 C．20 D．2111．已知x，y满足不等式组若当且仅当时，z=ax+y（a＞0）取得最大值，则a的取值范围是( )A．（0，）B．（，+∞）C．（0，）D．（，+∞）12．若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为( )A．0 B．﹣2 C． D．﹣3二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．S n是数列{a n}的前n项和，若，则=__________．14．若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则△ABC外接圆的半径R=__________．15．已知变量x，y满足约束条件，则z=的取值范围是__________．16．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S n=，则S m+n的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}满足a2=2，a5=8．（1）求{a n}的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{b n}中，b1=1，b2+b3=a4，求{b n}的前n项和T n．18．已知△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2﹣c2=b（a﹣b）且c=（1）求角C；（2）求△ABC面积的最大值．19．已知函数f（x）=，若数列{a n}（n∈N*）满足：a1=1，a n+1=f（a n）（1）证明数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足：c n=，求数列{c n}的前n项的和S n．20．设数列{a n}满足=n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{|a n|}前n项和T n．21．解关于x的不等式＜1．22．已知数列{a n}满足s n=且a1=3，令b n=（1）求数列{b n}的通项公式；（2）令c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若T n≤M对∀n∈N•都成立，求M的最小值．2015-2016学年吉林省吉林一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为( )A．{x|﹣1＜x＜3} B．∅C．R D．{x|﹣3＜x＜1}【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；不等式的解法及应用．【分析】利用二次不等式的解法，求解即可．【解答】解：x2﹣2x﹣3=0，可得方程的解为：x=﹣1，x=3．不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为：{x|﹣1＜x＜3}．故选：A．【点评】本题考查二次不等式的解法，考查计算能力．2．如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＜0【考点】不等关系与不等式．【专题】常规题型．【分析】本题根据c＜b＜a，可以得到b﹣a与a﹣c的符号，当a＞0时，则A成立，c＜0时，B成立，又根据ac＜0，得到D成立，当b=0时，C不一定成立．【解答】解：对于A，∵c＜b＜a且ac＜0，∴则a＞0，c＜0，必有ab＞ac，故A一定成立对于B，∵c＜b＜a∴b﹣a＜0，又由c＜0，则有c（b﹣a）＞0，故B一定成立，对于C，当b=0时，cb2＜ab2不成立，当b≠0时，cb2＜ab2成立，故C不一定成立，对于D，∵c＜b＜a且ac＜0∴a﹣c＞0∴ac（a﹣c）＜0，故D一定成立故选C．【点评】本题考查了不等关系与不等式，属于基础题．3．已知﹣1，a1，a2，8成等差数列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，那么的值为( )A．﹣5 B．5 C． D．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】由﹣1，a1，a2，8成等差数列，利用等差数列的性质列出关于a1与a2的两个关系式，联立组成方程组，求出方程组的解得到a1与a2的值，再由﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，利用等比数列的性质求出b12=4，再根据等比数列的性质得到b12=﹣b2＞0，可得出b2小于0，开方求出b2的值，把a1，a2及b2的值代入所求式子中，化简即可求出值．【解答】解：∵﹣1，a1，a2，8成等差数列，∴2a1=﹣1+a2①，2a2=a1+8②，由②得：a1=2a2﹣8，代入①得：2（2a2﹣8）=﹣1+a2，解得：a2=5，∴a1=2a2﹣8=10﹣8=2，又﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，∴b12=﹣b2＞0，即b2＜0，∴b22=（﹣1）×（﹣4）=4，开方得：b2=﹣2，则==﹣5．故选A【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等比数列的性质，熟练掌握性质是解本题的关键，同时在求b2值时，应先判断得出b2的值小于0，进而开方求出．4．在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题．【分析】利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得A=B或A+B=90°，从而得到三角形ABC为等腰三角形或直角三角形．【解答】解：由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰或直角三角形．故选D【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，其中正弦定理很好得解决了三角形的边角关系，利用正弦定理化简已知的等式是本题的突破点．5．下列各函数中，最小值为2的是( )A．y=x+B．y=sinx+，x∈（0，）C．y=D．y=x+﹣1【考点】基本不等式．【专题】综合题．【分析】对于选项A中的x来说，因为x不等于0，所以x大于0小于0不确定，所以最小值不一定为2；对于选项B和C中的函数来说，sinx大于0，而也大于0，但是基本不等式不满足取等号的条件；所以只有选项D满足最小值为2．【解答】解：对于A：不能保证x＞0，对于B：不能保证sinx=，对于C：不能保证=，对于D：y=x++﹣1≥3﹣1=2．故选D【点评】此题考查学生掌握基本不等式求函数最小值所满足的条件，是一道综合题．6．在等比数列{a n}中，若的值为( )A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】把所求的式子利用等比数列的性质化简，即可求出a6的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质化简后，将a6的值代入即可求出值．【解答】解：由a2a3a6a9a10=（a2a10）•（a3a9）•a6=a65=32=25，得到a6=2，则==a6=2．故选B【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题．学生化简已知条件时注意项的结合．7．各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3，S3n=39，则S4n等于( ) A．80 B．90 C．120 D．130【考点】等比数列的性质．【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知可得：公比q≠1，q＞0．由于S n=3，S3n=39，可得=3，=39，解得q n=3.=﹣．即可得出．【解答】解：由已知可得：公比q≠1，q＞0．∵S n=3，S3n=39，∴=3，=39，化为q2n+q n﹣12=0，解得q n=3．∴=﹣．则S4n==﹣=120．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式性质及其前n项和公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=( )A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣2【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数∴q＞0，q=1+∴==3+2故选C【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解．9．已知等差数列{a n}有奇数项，奇数项和为36，偶数项和为30，则项数n=( )A．5 B．7 C．9 D．11【考点】等差数列的性质．【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】设等差数列{a n}有奇数项2k﹣1，（k∈N*）．公差为2d．由于奇数项和为36，偶数项和为30，可得36=a1+a3+…+a2k+1，30=a2+a4+…+a2k，分别相加相减即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}有奇数项2k﹣1，（k∈N*）．公差为2d．∵奇数项和为36，偶数项和为30，∴36=a1+a3+…+a2k+1，30=a2+a4+…+a2k，∴=（2k+1）a k+1，6=a2k+1﹣kd=a1+kd=a k+1，∴11=2k+1=n，故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知数列{a n}为等差数列，若，且它们的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0的n的最大值为( )A．11 B．19 C．20 D．21【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由可得，由它们的前n项和S n有最大可得a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0从而有a1+a19=2a10＞0a1+a20=a11+a10＜0，从而可求满足条件的n的值．【解答】解：由可得由它们的前n项和S n有最大值，可得数列的d＜0∴a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0使得S n＞0的n的最大值n=19故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质在求解和的最值中应用，解题的关键是由已知及它们的前n项和S n有最大a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，灵活利用和公式及等差数列的性质得到a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0是解决本题的另外关键点．11．已知x，y满足不等式组若当且仅当时，z=ax+y（a＞0）取得最大值，则a的取值范围是( )A．（0，）B．（，+∞）C．（0，）D．（，+∞）【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y（a＞0）得y=﹣ax+z（a＞0）直线y=﹣ax+z（a＞0）是斜率为﹣a＜0，y轴上的截距为z的直线，要使（3，0）是目标函数z=ax+y（a＞0）取最大值的唯一的最优解，则满足﹣a＜k AB=﹣，解得a＞．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义．12．若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为( )A．0 B．﹣2 C． D．﹣3【考点】一元二次不等式与二次函数．【专题】不等式的解法及应用．【分析】令f（x）=x2+ax+1，要使得f（x）≥0在区间（0，）恒成立，只要f（x）在区间（0，）上的最小值大于等于0即可得到答案．【解答】解：设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=若≥，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）≥0⇒﹣≤a≤﹣1若≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）=1＞0恒成立，故a≥0若0≤≤，即﹣1≤a≤0，则应有f（）=恒成立，故﹣1≤a≤0综上，有﹣≤a．故选：C【点评】本题主要考查一元二次函数求最值的问题．一元二次函数的最值是高考中必考内容，要注意一元二次函数的开口方向、对称轴、端点值．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．S n是数列{a n}的前n项和，若，则=．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系可得a n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵，∴当n=1时，a1=2；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（3n﹣1）﹣（3n﹣1﹣1）=2×3n﹣1．当n=1时上式也成立，∴a n=2×3n﹣1．∴=4×32n﹣2=4×9n﹣1．∴数列{}是等比数列，首项为4，公比为9．∴==；故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则△ABC外接圆的半径R=1．【考点】三角形中的几何计算．【专题】方程思想；转化法；解三角形．【分析】运用三角形的面积公式S=bcsinA，求得c=2，由余弦定理可得a，再由正弦定理，即可得到所求半径R=1．【解答】解：由∠A=60°，b=1，S△ABC=，则bcsinA=•1•c•=，解得c=2，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即a2=1+4﹣2•1•2•=3，解得a=，由正弦定理可得，=2R==2，解得R=1．故答案为：1．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．15．已知变量x，y满足约束条件，则z=的取值范围是[0，]．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解【解答】解：画出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，则z==表示可行域内的点P（x，y）与点（﹣3，1）的连线的斜率加上1，观察图形可知，k OA=0，k OB，=，所以z∈[0，]；故答案为：[0，]．【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案16．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S n=，则S m+n的取值范围是（4，+∞）．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】首先设出等差数列的前n项和S n=An2+Bn，由已知S n=，列式求出A，B，代入S m+n=，利用基本不等式得到S n+m的范围，则答案可求．【解答】解：∵{a n}是等差数列，∴设S n=An2+Bn，∵S n=，∴An2+Bn=，Am2+Bm=，故B=0，A=．∴S m+n=＞=4，∴S m+n的取值范围是（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．【点评】本题考查了等差数列的前n项和，解答此题的关键是明确等差数列前n项和的形式，是基础题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知等差数列{a n}满足a2=2，a5=8．（1）求{a n}的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{b n}中，b1=1，b2+b3=a4，求{b n}的前n项和T n．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】综合题．【分析】（1）求{a n}的通项公式，可先由a2=2，a5=8求出公差，再由a n=a5+（n﹣5）d，求出通项公式；（2）设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q（q＞0），利用等比数列的通项公式可求首项b1及公比q，代入等比数列的前n项和公式可求Tn．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d∵a2=2，a5=8∴a1+d=2，a1+4d=8解得 a1=0，d=2∴数列{an}的通项公式a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣2（2）设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q（q＞0）由（1）知a n=2n﹣2b1=1，b2+b3=a4=6∴q≠1∴q=2或q=﹣3（舍去）∴{b n}的前n项和T n=2n﹣1【点评】等差数列与等比数列的通项公式的求解及前n项和的求解是数列的最基础的考查，是高考中的基础试题，对考生的要求是熟练掌握公式，并能进行一些基本量之间的运算．18．已知△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2﹣c2=b（a﹣b）且c=（1）求角C；（2）求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理的应用．【专题】方程思想；解三角形．【分析】（1）把已知的等式变形后，得到一个关系式，然后利用余弦定理表示出cosC，把变形后的关系式代入即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到C的度数；（2）运用余弦定理可得c2=a2+b2﹣ab，运用基本不等式可得ab≤6，再由三角形的面积公式即可得到最大值．【解答】解：（1）因为a2﹣c2=b（a﹣b），即a2+b2﹣c2=ab，则cosC===，又C∈（0°，180°），所以∠C=60°．（2）由余弦定理可得，c2=6=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab，即有ab≤6，当且仅当a=b，取得等号．则△ABC的面积为S=absinC=ab≤，当且仅当a=b=，取得最大值．【点评】本题考查余弦定理和三角形的面积公式的运用，考查运用基本不等式求最值的方法，属于中档题．19．已知函数f（x）=，若数列{a n}（n∈N*）满足：a1=1，a n+1=f（a n）（1）证明数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足：c n=，求数列{c n}的前n项的和S n．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）a n+1=f（a n）=，两边取倒数可得；﹣=2，即可证明．（2）c n==（2n﹣1）•3n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵a n+1=f（a n）=，两边取倒数可得；=+2，即﹣=2，∴数列为等差数列，首项为1，公差为2．∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴a n=．（2）解：c n==（2n﹣1）•3n，∴数列{c n}的前n项的和S n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，3S n=32+3×33+5×34+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2S n=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）•3n+1=2（1﹣n）•3n+1﹣6，∴S n=（n﹣1）•3n+1+3．【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式、递推关系的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．设数列{a n}满足=n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{|a n|}前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】分类讨论；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用递推关系可得a n；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，可得S n=10n﹣n2．令a n=11﹣2n≥0，解得n≤5．当n≤5时，数列{|a n|}前n项和T n=S n．当n≥6时，数列{|a n|}前n项和T n=a1+a2+…+a5﹣a6﹣…﹣a n=2S5﹣S n，即可得出．【解答】解：（1）∵数列{a n}满足=n，∴当n=1时，=1，解得a1=9．当n≥2时，+…+=n﹣1，相减可得：=1，∴a n=11﹣2n．当n=1时也成立．（2）设数列{a n}的前n项和为S n，可得S n==10n﹣n2．令a n=11﹣2n≥0，解得n≤5．∴当n≤5时，数列{|a n|}前n项和T n=S n=10n﹣n2．当n≥6时，数列{|a n|}前n项和T n=a1+a2+…+a5﹣a6﹣…﹣a n=2S5﹣S n=50﹣10n+n2．综上可得：T n=．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、分类讨论方法、含绝对值数列求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．解关于x的不等式＜1．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】不等式＜1可化为：﹣1=＜0，分别讨论a﹣1与0的关系，与2的关系，可得不同情况下不等式的解集．【解答】解：不等式＜1可化为：﹣1=＜0，若a﹣1=0，即a=1，解得：x∈（﹣∞，2）；若a﹣1＞0，即a＞1，解得：x∈（，2）；若﹣1＜a﹣1≤0，即0＜a≤1，解得：x∈（﹣∞，2）∪（，+∞），若a﹣1＜﹣1，即a＜0，解得：x∈（﹣∞，）∪（2，+∞）．【点评】本题考查的是分式不等式的解法，分类讨论思想，难度中档．22．已知数列{a n}满足s n=且a1=3，令b n=（1）求数列{b n}的通项公式；（2）令c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若T n≤M对∀n∈N•都成立，求M的最小值．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）数列{a n}满足s n=，利用当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1化为na n+1﹣（n+1）a n+1=0，由于b n=，可得a n=nb n，代入可得b n+1﹣b n=﹣=．即可得出．（2）由（1）可得：b n==．可得a n=2n+1．c n==，即可得出数列{c n}的前n项和为T n，利用不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵数列{a n}满足s n=，∴当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=﹣，化为na n+1﹣（n+1）a n+1=0，∵b n=，∴a n=nb n，∴n（n+1）b n+1﹣n（n+1）b n+1=0，∴b n+1﹣b n=﹣=．∴b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=++…++3==．（2）由（1）可得：b n==．∴a n=2n+1．c n===，数列{c n}的前n项和为T n=+…+=，若T n≤M对∀n∈N•都成立，∴．∴M的最小值为．【点评】本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”、“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2014-2015学年吉林省吉林一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、单项选择1．△ABC中，已知a=x，b=2，B=60°，如果△ABC 有两组解，则x的取值范围（）A．x＞2 B．x＜2 C． D．2．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）3．设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（2，+∞） B．（﹣3，1）∪（3，+∞） C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）4．已知实数x，y满足，则z=2x﹣3y的最大值是（）A．﹣6 B．﹣1 C．4 D．65．设f（x）=则不等式f（x）＞2的解集为（）A．（1，2）∪（3，+∞）B．（，+∞）C．（1，2）∪（，+∞）D．（1，2）6．下列不等式（1）m﹣3＞m﹣5；（2）5﹣m＞3﹣m；（3）5m＞3m；（4）5+m ＞5﹣m其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣11，a5+a6=﹣4，S n取得最小值时n 的值为（）A．6 B．7 C．8 D．98．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=15﹣a5，则S9等于（）A．18 B．36 C．45 D．609．S={1，2，…，2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A的个数是（）A．B．+C．+ D．10．设等差数列{a n}满足：a1+a4+a7=12，则a1+a2+a3+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．3511．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，已知a，b，c成等比数列，且a2﹣c2=ac﹣bc，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题12．已知正数a，b，c满足a+b=ab，a+b+c=abc，则c的取值范围是．13．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是．14．已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为．15．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则该△ABC是三角形（请你确定其是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形）．16．△ABC中，若（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，则sinA：sinB：sinC=．三、解答题17．设数列{a n}满足下列关系：a1=2a（a≠0，a为常数），a n=2a﹣；数列{b n}满足关系：b n=．（1）求证：a n≠a；（2）证明数列{b n}是等差数列．18．设集合A={x|x2＜4}，B={x|1＜}．（1）求集合A∩B；（2）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为B，求a，b的值．19．已知数列{a n}的各项均为正整数，且a1＜a2＜…＜a n，设集合A k={x|x=λi a i，λi=﹣1或λi=0，或λi=1}（1≤k≤n）．性质1：若对于∀x∈A k，存在唯一一组λi，（i=1，2，…，k）使x=λi a i成立，则称数列{a n}为完备数列，当k取最大值时称数列{a n}为k阶完备数列．性质2：若记m k=a i（1≤k≤n），且对于任意|x|≤m k，k∈Z，都有x∈A K成立，则称数列P{a n}为完整数列，当k取最大值时称数列{a n}为k阶完整数列．性质3：若数列{a n}同时具有性质1及性质2，则称此数列{a n}为完美数列，当K 取最大值时{a n}称为K阶完美数列；（Ⅰ）若数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1，求集合A2，并指出{a n}分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；（Ⅱ）若数列{a n}的通项公式为a n=10n﹣1，求证：数列{a n}为n阶完备数列，并求出集合A n中所有元素的和S n．（Ⅲ）若数列{a n}为n阶完美数列，试写出集合A n，并求数列{a n}通项公式．20．已知数列{a n}为等差数列，公差d≠0，其中恰为等比数列，若k1=2，k2=5，k3=11，（1）求等比数列的公比q（2）试求数列{k n}的前n项和S n．21．已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．22．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n﹣n+1，n∈N*．（1）证明数列{a n﹣n}是等比数列；（2）设S n是数列{a n}的前n项和，求使2S n＞S n的最小n值．+12014-2015学年吉林省吉林一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择1．△ABC中，已知a=x，b=2，B=60°，如果△ABC 有两组解，则x的取值范围（）A．x＞2 B．x＜2 C． D．【解答】解：当asinB＜b＜a时，三角形ABC有两组解，所以b=2，B=60°，设a=x，如果三角形ABC有两组解，那么x应满足xsin60°＜2＜x，即．故选：C．2．已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【解答】解：由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．故选：C．3．设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（2，+∞） B．（﹣3，1）∪（3，+∞） C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）【解答】解：∵f（x）=，∴f（1）=1﹣4+6=3；当x≥0时，有x2﹣4x+6＞3，解得x＞3，或x＜1，即0≤x＜1，或x＞3；当x＜0时，x+6＞3，解得x＞﹣3，即﹣3＜x＜0；综上，不等式f（x）＞f（1）的解集是：{x|﹣3＜x＜1，或x＞3}；故选：B．4．已知实数x，y满足，则z=2x﹣3y的最大值是（）A．﹣6 B．﹣1 C．4 D．6【解答】解：画出可行域，将目标函数变形为3y=2x﹣z，作出其对应的直线，当其平移至A（0，﹣2）时，直线的纵截距最小，此时z最大z的最大值为6，故选：D．5．设f（x）=则不等式f（x）＞2的解集为（）A．（1，2）∪（3，+∞）B．（，+∞）C．（1，2）∪（，+∞）D．（1，2）【解答】解：令2e x﹣1＞2（x＜2），解得1＜x＜2．令log3（x2﹣1）＞2（x≥2）解得x为（，+∞）选C6．下列不等式（1）m﹣3＞m﹣5；（2）5﹣m＞3﹣m；（3）5m＞3m；（4）5+m ＞5﹣m其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于（1）∵﹣3＞﹣5，∴m﹣3＞m﹣5，对于（2）∵5＞3，∴5﹣m＞3﹣m，对于（3）当m﹣0时，不成立，对于（4）当m=﹣1时，不成立，故正确的个数为2个，故选：B．7．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣11，a5+a6=﹣4，S n取得最小值时n 的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：【解法一】在等差数列{a n}中，设公差为d，∵a1=﹣11，a5+a6=﹣4，∴（a1+4d）+（a1+5d）=﹣22+9d=﹣4；∴d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，由2n﹣13≤0，得n≤，∴当n=6时，S n取得最小值；【解法二】在等差数列{a n}中，设公差为d，∵a1=﹣11，a5+a6=﹣4，∴（a1+4d）+（a1+5d）=﹣22+9d=﹣4，∴d=2，∴前n项和S n=na1+=﹣11n+=n2﹣12n，∴当n=6时，S n取得最小值；故选：A．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=15﹣a5，则S9等于（）A．18 B．36 C．45 D．60【解答】解：∵a2+a8=15﹣a5，∴a5=5，∴S9=×2a5=45．故选：C．9．S={1，2，…，2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A的个数是（）A．B．+C．+ D．【解答】解：1，2，…，2003个数中有1002个奇数，1001个偶数，依题意，A中的三个数成等差数列，可分两类：①3个数中有至少2个奇数：从1002个奇数里边任意选两个，一定找到另外唯一的一个与这两个奇数构成等差数列，共有种方法；②3个数中有至少2个偶数：同理可得，共有种方法；综上所述，共有+个，故选：B．10．设等差数列{a n}满足：a1+a4+a7=12，则a1+a2+a3+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【解答】解：∵等差数列{a n}满足：a1+a4+a7=12，∴3a4=12，∴a4=4，∴a1+a2+a3+…+a7===7a4=28，故选：C．11．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，已知a，b，c成等比数列，且a2﹣c2=ac﹣bc，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得b2=ac，又a2﹣c2=ac﹣bc，故a2﹣c2=b2﹣bc，即a2=c2+b2﹣bc，由余弦定理可知a2=c2+b2﹣2bccosA，故可得cosA=，A=60°在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∴===，故选：C．二、填空题12．已知正数a，b，c满足a+b=ab，a+b+c=abc，则c的取值范围是．【解答】解：∵正数a，b，c满足a+b=ab，∴，化为，∴，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，∴ab∈[4，+∞）．∵a+b+c=abc，∴ab+c=abc，∴c==．∵ab≥4，∴，∴．∴c的取值范围是．故答案为．13．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是﹣4＜m＜2．【解答】解：∵，∴x+2y=（x+2y）=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故答案为：﹣4＜m＜2．14．已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为4．【解答】解：∵对任意正实数x，y恒成立∵∴解得a≥4故答案为：415．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则该△ABC是钝角三角形（请你确定其是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形）．【解答】解：在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得a2+b2＜c2，再由余弦定理可得cosC=＜0，故C为钝角，故△ABC是钝角三角形，故答案为钝角．16．△ABC中，若（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，则sinA：sinB：sinC=7：5：3．【解答】解：根据条件（b+c）：（c+a）：（a+b）=8：9：10，可得：，设这个等式比值等于k，所以b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k，相加2（a+b+c）=15k，a+b+c=，解得a=，b=，c=．正弦定理，可得sinA：sinB：sinC=a：b：c=7：5：3．故答案为：7：5：3．三、解答题17．设数列{a n}满足下列关系：a1=2a（a≠0，a为常数），a n=2a﹣；数列{b n}满足关系：b n=．（1）求证：a n≠a；（2）证明数列{b n}是等差数列．【解答】证明：（1）假设a n=a，∵a n=2a﹣，则2a﹣=a，∵a≠0，解得：a n=a，这与a1=2a（a≠0，a为常数）矛盾，﹣1∴a n≠a；（2）∵b n=，a n=2a﹣；﹣b n=﹣=﹣==，为常数，∴b n+1故数列{b n}是首项为，公差为的等差数列．18．设集合A={x|x2＜4}，B={x|1＜}．（1）求集合A∩B；（2）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为B，求a，b的值．【解答】解：（1）∵A={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，B={x|1＜}={x|＜0}={x|﹣3＜x＜1}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜1}；（2）∵不等式2x2+ax+b＜0的解集为B={x|﹣3＜x＜1}，∴﹣3和1为2x2+ax+b=0的两根，可得，解得：a=4，b=﹣6．19．已知数列{a n}的各项均为正整数，且a1＜a2＜…＜a n，设集合A k={x|x=λi a i，λi=﹣1或λi=0，或λi=1}（1≤k≤n）．性质1：若对于∀x∈A k，存在唯一一组λi，（i=1，2，…，k）使x=λi a i成立，则称数列{a n}为完备数列，当k取最大值时称数列{a n}为k阶完备数列．性质2：若记m k=a i（1≤k≤n），且对于任意|x|≤m k，k∈Z，都有x∈A K成立，则称数列P{a n}为完整数列，当k取最大值时称数列{a n}为k阶完整数列．性质3：若数列{a n}同时具有性质1及性质2，则称此数列{a n}为完美数列，当K 取最大值时{a n}称为K阶完美数列；（Ⅰ）若数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1，求集合A2，并指出{a n}分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；（Ⅱ）若数列{a n}的通项公式为a n=10n﹣1，求证：数列{a n}为n阶完备数列，并求出集合A n中所有元素的和S n．（Ⅲ）若数列{a n}为n阶完美数列，试写出集合A n，并求数列{a n}通项公式．【解答】解：（Ⅰ）A2={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}；∴{a n}为2阶完备数列，2阶完整数列，2阶完美数列；（Ⅱ）若对于∀x∈A n，假设存在2组λi及μi（i=1，2…，n）使成立，则有，即，其中λi，μi∈{﹣1，0，1}，必有λ1=μ1，λ2=μ2…λn=μn，所以仅存在唯一一组λi（i=1，2…，n）使成立，即数列{a n}为n阶完备数列；S n=0，对∀x∈A n，，则，因为λi∈{﹣1，0，1}，则﹣λi∈{﹣1，0，1}，所以﹣x∈A n，即S n=0（Ⅲ）若存在n阶完美数列，则由性质1易知A n中必有3n个元素，由（Ⅱ）知A n中元素成对出现（互为相反数），且0∈A n，又{a n}具有性质2，则A n中3n个元素必为．∴．20．已知数列{a n}为等差数列，公差d≠0，其中恰为等比数列，若k 1=2，k2=5，k3=11，（1）求等比数列的公比q（2）试求数列{k n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由题意可得，即解得a1=2d或d=0（舍去）（4分）∴公比（6分）（2）由等差数列的通项可得，…①又∵…②由①②得，n∈N*（10分）∴=3（2n﹣1）﹣n=3•2n﹣n﹣3（14分）21．已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n=2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n=（12分）22．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n﹣n+1，n∈N*．（1）证明数列{a n﹣n}是等比数列；的最小n值．（2）设S n是数列{a n}的前n项和，求使2S n＞S n+1【解答】（1）证明：由已知a1﹣1=1≠0．=2a n﹣n+1，由a n+1﹣（n+1）=2（a n﹣n）得a n+1∴=2．∴{a n﹣n}是等比数列．（2）解：由（1）知：a n﹣n=2n﹣1；∴a n=2n﹣1+n；s n=（20+1）+（21+2）+（22+3）+…+（2n﹣1+n）=（20+21+…+2n﹣1）+（1+2+3+…+n）=+=．=2[]﹣[]∴2s n﹣s n+1=则n的最小值为3使2S n＞S n的最小n值为：3．+1。

1吉林一中2013--2014学年度上学期高二期中考试数学理测试试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题） 请修改第I 卷的文字说明一、单项选择1. 在等比数列{n a }中，若357911243a a a a a ＝，则 ）A ．9B ．1C ．2D ．32. 在数列{}a n 中，*1+12,2=2+1,,n n a a a n N =∈则101a 的值为 （ ）2A ． 49B ． 50C ． 51D ．523. P 的坐标(,)x y 满足41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,过点P 的直线与圆22:14C x y +=相交于A 、B 两点,则AB 的最小值是( )A.4. 等差数列{}n a 的前5项的和为30，前10项的和为100，则它的前15的和为（ ）A ．30B ． 170C ． 210D ．2605. {}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，已知77521a S ==，，则10S =（ ）（A ）40 （B ）35 （C ）30 （D ）286. 等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47. 已知在正项等比数列{a n }中，a 1=1, a 2a 4=16则｜a 1-12｜+｜a 2-12｜+…+｜a 8-12｜=( )A .224B .225 C. 226 D .2568. 设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，()7212s 3a a =+，则74a a 的值为（ ） A ．61 B ．31 C ．53 D ． 763 9. 设Sn 为等比数列{an}的前n 项和，a 6+8a 3=0,则. 25S S =（ ）A. 11B. 5 C -8 D -1110. 在等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41=a ,则12a 的值是 （ ）A ．15B ．30C ．31D ．64第II 卷（非选择题）请修改第II 卷的文字说明二、填空题11. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋pn ，a 7＝11.若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为________．12. 等差数列{}n a 的前10项和为30,则14710a a a a +++=_____.13. 已知等差数列{}n a 的公差为2-,3a 是1a 与4a 的等比中项,则首项=1a _,前n 项和=n S __.14. 在等差数列{}n a 中，若456450a a a ++=，则28a a +的值为 .三、解答题415. 各项均为正数的数列{}n a ,满足11a =,2212n n a a +-=(*n ∈N ). (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列22n n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 16. 如图，已知平面上直线l 1//l 2，A 、B 分别是l 1、l 2上的动点，C 是l 1，l 2之间一 定点，C 到l 1的距离CM = 1, C 到l 2的距离CN=3，ΔABC 内角A 、B 、C 所对 边分别为a 、b 、c ，a > b ,且b.cosB = a.cosA(1) 判断三角形ΔABC 的形状；(2)记BC AC f ACM 11)(,+==∠θθ,求f(θ)的最大值.17. 已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．5（1）证明：数列1{1}na -是等比数列； （2）求数列{}nn a 的前n 项和n S ． 18. 设A 是由n 个有序实数构成的一个数组,记作:12(,,,,,)i n A a a a a =L L .其中i a (1,2,,)i n =L 称为数组A 的“元”,i 称为i a 的下标. 如果数组S 中的每个“元”都是来自 数组A 中不同下标的“元”,则称S 为A 的子数组. 定义两个数组12(,,,)n A a a a =L ,12(,,,)n B b b b =L 的关系数为1122(,)n n C A B a b a b a b =+++L . (Ⅰ)若11(,)22A =-,(1,1,2,3)B =-,设S 是B 的含有两个“元”的子数组,求(,)C A S 的最大值;(Ⅱ)若(,,333A =,(0,,,)B a b c =,且2221a b c ++=,S 为B 的含有三个“元”的子数组,求(,)C A S 的最大值. 19. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列,a 1=2,且a2,,a 3, a 4+1成等比数列.(I)求数列{a n }的通项公式;(II)设)2.(2+=n n a n b ,求数列{b n }的前n 项和S n参考答案一、单项选择1.【答案】D【解析】6根据题意，由于等比数列{n a }中，若2535791131159777243==243=3a a a a a a a a a a a a ∴∴Q ＝＝D. 2.【答案】D2, 3.【答案】B【解析】4.【答案】C 根据等差数列的性质可知51051510,,S S S S S --构成等差数列，即1530,70,100S -成等差数列，所以151514030100,210S S =+-∴=.【解析】5.【答案】A【解析】设公差为d ，则由77521a S ==，得1777()2a a S +=，即17(5)212a +=，解得11a =，所以716a a d =+，所以23d =。