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1．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是________．[解析] 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得0>a ≥－14. 综上所述得－14≤a ≤0. [答案] ⎣⎡⎦⎤－14，0 2．给定函数：①y ＝x 12，②y ＝log 1(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0，1)上是单调递减函数的是________．(填序号)[解析] ①是幂函数，在(0，＋∞)上是增函数，不符合；②中的函数是由函数y ＝log 12x向左平移1个单位而得到的，因为原函数在(0，＋∞)上是减函数，故符合；③中的函数图象是由函数y ＝x －1的图象保留x 轴上方，下方图象翻折到x 轴上方而得到的，故由其图象可知正确；④中函数显然是增函数，故不符合．[答案] ②③3．“函数f (x )在[a ，b ]上为单调函数”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的_________条件．[解析] 若函数f (x )在[a ，b ]上为单调递增(减)函数，则在[a ，b ]上一定存在最小(大)值f (a )，最大(小)值f (b )，所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f (x )＝x 2－2x ＋3在[0，2]存在最大值和最小值，但该函数在[0，2]不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f (x )在[a ，b ]上为单调函数”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的充分不必要条件．[答案] 充分不必要4．(2018·杭州模拟)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.[解析] f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ≥－a 2，－2x －a ，x <－a 2，作出函数图象(图略)，由图象知，函数的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，所以－a 2＝3，即a ＝－6.[答案] －65．函数f (x )＝log 13(12x －27－x 2)的最小值为________．解析：令12x －27－x 2>0得f (x )的定义域为(3，9)．设n ＝12x －27－x 2，则0<n ≤9.所以y ＝log 13n 的取值范围是[－2，＋∞)．故函数的最小值为－2.答案：－26．若奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集是________．[解析] 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110. [答案] ⎝⎛⎭⎫0，110 7．若函数y ＝|2x －1|在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是________．[解析] 画出图象易知y ＝|2x －1|的递减区间是(－∞，0]，依题意应有m ≤0.[答案] (－∞，0]8．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M＝________． [解析] 显然函数的定义域是[－3，1]且y ≥0，故y 2＝4＋2（1－x ）（x ＋3）＝4＋2－x 2－2x ＋3＝4＋2－（x ＋1）2＋4，根据根式内的二次函数，可得4≤y 2≤8，故2≤y ≤22，即m ＝2，M ＝22，所以m M ＝22. [答案] 22。
一、选择题 1．函数f (x )＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( ) A ．(2，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(2，3) D ．(2，3)∪(3，＋∞)解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3x －x 2＞0，解得2＜x ＜3，则该函数的定义域为(2，3)，故选C. 2．已知函数f (x )＝x |x |，x ∈R ，若f (x 0)＝4，则x 0的值为 ( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2 D. 2解析：选B.当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解．所以x 0＝2，故选B.3．(2018·广州综合测试(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤01－log 2x ，x ＞0，则f (f (3))＝( )A ．43 B.23C ．－43D ．－3解析：选A.因为f (3)＝1－log 23＝log 2 23＜0，所以f (f (3))＝f (log 2 23)＝2 log 223＋1＝2log243＝43，故选A.4．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74 B.74C ．43D ．－43解析：选B.令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 解析：选A.因为f (1)＝2， 所以f (a )＝－f (1)＝－2，当a ＞0时，f (a )＝2a ＝－2，无解； 当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－2， 所以a ＝－3.综上，a ＝－3，选A. 6．(2018·云南第一次统考)已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，对任意的x 1∈[－1，2]都存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(0，1]C ．⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0，1)解析：选C.当x 0∈[－1，2]时，由f (x )＝x 2－2x ，得f (x 0)∈[－1，3]．又对任意的x 1∈[－1，2]都存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，所以当⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a ≤12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 二、填空题7．函数f (x )，g (x )分别由下表给出．则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))＞g (f (x ))的x 的值为________． 解析：因为g (1)＝3，f (3)＝1，所以f (g (1))＝1.当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不合题意． 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，符合题意． 当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，不合题意． 答案：1 28．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________． 解析：令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，② 联立①②得f (1)＝2. 答案：29．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0.若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为________．解析：易知a ≠0.由题意得，当a >0时，则－a <0，故a [f (a )－f (－a )]＝a (a 2＋a －3a )>0，化简可得a 2－2a >0，解得a >2或a <0.又因为a >0，所以a >2.当a <0时，则－a >0，故a [f (a )－f (－a )]＝a [－3a －(a 2－a )]>0，化简可得a 2＋2a >0，解得a >0或a <－2，又因为a <0，所以a <－2.综上可得，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)10．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________． 解析：由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2， f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2， f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2，又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：7 三、解答题11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图：12．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0，1]上有表达式f (x )＝x 2. (1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2，2]上的表达式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0，f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1，2]时，x －1∈(0，1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1，0)时，x ＋1∈[0，1)， f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1，0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12（x －1）2，x ∈（1，2]x 2，x ∈[0，1]－2（x ＋1）2，x ∈[－1，0）4（x ＋2）2，x ∈[－2，－1）.。
章末总结知识点考纲展示导数概念及其几何意义，导数的运算❶了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．❷能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数．❸能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.导数在研究函数中的应用❶了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．❷了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．❸会利用导数解决某些实际问题.考点考题考源导数的几何意义(2015·高考全国卷Ⅱ，T16，5分)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.选修1-1 P85 A组T6 (2016·高考全国卷Ⅲ，T16，5分)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是____________.选修1-1 P85 A组T6 (2017·高考全国卷Ⅰ，T14，5分)曲线y＝x2＋1x在点(1，2)处的切线方程为____________________.选修1-1 P110 A组T1导数的应用(2016·高考全国卷Ⅲ，T21，12分)设函数f(x)＝ln x－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1<x－1ln x<x；(3)设c>1，证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>c x.选修1-1 P99B组(3)(4) (2017·高考全国卷Ⅲ，T21，12分)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明f(x)≤－34a－2.(2017·高考全国卷Ⅲ，T21，12分)已知函数f(x)＝x－1－a ln x.(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122…·⎝⎛⎭⎫1＋12n<m，求m的最小值.二、根置教材，考在变中一、选择题1．(选修1-1 P110A组T2(2)改编)曲线f(x)＝e x ln x在x＝1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()A ．eB ．e2C ．e 4D ．2e解析：选B.f ′(x )＝e xln x ＋e x x ＝e x (ln x ＋1x)，所以f ′(1)＝e ，f (1)＝0，所以曲线f (x )＝e x ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝e(x －1)，令x ＝0，得y ＝－e ，令y ＝0，得x ＝1. 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为 S ＝12×e ×1＝e2，故选B. 2．(选修1-1 P 104 A 组T 2改编)将一边长为4的正方形铁片四角截去大小相同的四个小正方形后，做成一个无盖方盒，则方盒的最大容积为( )A ．4B.12827C ．6D ．8解析：选B.设截去的小正方形的边长为x ，则做成的方盒体积V (x )＝x (4－2x )2＝4x 3－16x 2＋16x (0<x <2)， V ′(x )＝12x 2－32x ＋16＝4(3x 2－8x ＋4)＝4(x －2)(3x －2)，当V ′(x )＝0时，x ＝23；V ′(x )>0时，0<x <23；V ′(x )<0时，23<x <2，所以V (x )在⎝⎛⎭⎫0，23上是增函数，在⎝⎛⎭⎫23，2上是减函数， 所以V (x )max ＝V ⎝⎛⎭⎫23＝12827.选B.3．(选修1-1 P 99 B 组(3)改编)已知e 是自然对数的底数，若函数f (x )＝e x －x ＋a 的图象始终在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：选C.因为函数f (x )＝e x －x ＋a 的图象始终在x 轴的上方，所以f (x )＝e x －x ＋a 的最小值大于零．由f ′(x )＝e x －1＝0，得x ＝0，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )＝e x －x ＋a 的最小值为f (0)＝1＋a ，由1＋a >0，得实数a 的取值范围为(－1，＋∞)．4．(选修1-1 P 99 A 组T 6(2)改编)已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则( ) A ．k ≥－3 B ．k ＞－3 C ．k ≤－3 D ．k ＜－3解析：选C.由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：x (－∞，－3)－3 (－3，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值又f (二、填空题5．(选修1-1 P 99 B 组(4)改编)已知f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________．解析：因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(0，2)上的最大值为－1，当x ∈(0，2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ，又a >12，所以0<1a <2.令f ′(x )>0，得x <1a ，所以f (x )在(0，1a )上单调递增；令f ′(x )<0，得x >1a ，所以f (x )在(1a ，2)上单调递减．所以当x ∈(0，2)时，f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a ＝－1，所以ln 1a ＝0，所以a ＝1. 答案：1 6．(选修1-1 P 98练习(2)改编)设函数f (x )＝kx 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0成立，则实数k 的值为________．解析：若x ＝0，则不论k 取何值，f (x )≥0都成立； 当x ＞0，即x ∈(0，1]时，f (x )＝kx 3－3x ＋1≥0可化为k ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增， 在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而k ≥4； 当x ＜0，即x ∈[－1，0)时，f (x )＝kx 3－3x ＋1≥0可化为k ≤3x 2－1x 3，g (x )＝3x 2－1x 3在区间[－1，0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而k ≤4，综上k ＝4. 答案：4 三、解答题 7．(选修1-1 P 99B 组(4)改编)已知函数f (x )＝ln x －x .(1)判断函数f (x )的单调性；(2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋12x －m 有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2.求证：x 1＋x 2>1.解：(1)由题意得，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，由f ′(x )＝1－x x >0，得0<x <1；由f ′(x )＝1－x x<0，得x >1.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，1)，函数f (x )的单调递减区间为(1，＋∞)． (2)证明：根据题意得，g (x )＝ln x ＋12x －m (x >0)，因为x 1，x 2是函数g (x )＝ln x ＋12x －m 的两个零点，所以ln x 1＋12x 1－m ＝0，ln x 2＋12x 2－m ＝0.两式相减，可得lnx 1x 2＝12x 2－12x 1， 即ln x 1x 2＝x 1－x 22x 2x 1，故x 1x 2＝x 1－x 22lnx 1x 2.所以x 1＝x 1x 2－12ln x 1x 2，x 2＝1－x 2x 12ln x 1x 2.令t ＝x 1x 2，其中0<t <1，则x 1＋x 2＝t －12ln t ＋1－1t 2ln t ＝t －1t 2ln t .构造函数h (t )＝t －1t －2ln t (0<t <1)，则h ′(t )＝（t －1）2t 2.因为0<t <1，所以h ′(t )>0恒成立，故h (t )<h (1)，即t －1t －2ln t <0.又因为ln t <0，所以t －1t2ln t>1，故x 1＋x 2>1.8．(选修1-1 P 99B 组(1)(3)改编)设函数f (x )＝e x ＋a sin x ＋b .(1)当a ＝1，x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，求b 的范围；(2)若f (x )在x ＝0处的切线为x －y －1＝0，求a 、b 的值．并证明当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>ln x . 解：(1)由f (x )＝e x ＋a sin x ＋b ， 当a ＝1时，得f ′(x )＝e x ＋cos x .当x ∈[0，＋∞)时，e x ≥1，cos x ∈[－1，1]，且当cos x ＝－1时，x ＝2k π＋π，k ∈N ，此时e x >1.所以f ′(x )＝e x ＋cos x >0，即f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (0)＝1＋b ，由f (x )≥0恒成立，得1＋b ≥0，所以b ≥－1.(2)由f (x )＝e x ＋a sin x ＋b 得f ′(x )＝e x ＋a cos x ，且f (0)＝1＋b .由题意得f ′(0)＝e 0＋a ＝1，所以a ＝0. 又(0，1＋b )在切线x －y －1＝0上． 所以0－1－b －1＝0.所以b ＝－2. 所以f (x )＝e x －2.先证e x －2>x －1，即e x －x －1>0(x >0)， 令g (x )＝e x －x －1(x >0)，则g ′(x )＝e x －1>0， 所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数． 所以g (x )>g (0)＝0，即e x －2>x －1.①再证x －1≥ln x ，即x －1－ln x ≥0(x >0)，令φ(x )＝x －1－ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x，φ′(x )＝0时，x ＝1，φ′(x )>0时，x >1，φ′(x )<0时，0<x <1.所以φ(x )在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以φ(x )min ＝φ(1)＝0.即x－1－ln x≥0，所以x－1≥ln x．②由①②得e x－2>ln x，即f(x)>ln x在(0，＋∞)上成立．。
1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．[解析] 由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )<0，即3(x －11)(x ＋1)<0， 解得－1<x <11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1，11)． [答案] (－1，11)2．(2018·苏中八校学情调查)函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________． [解析] 函数的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1，所以单调递减区间是(0，1)．[答案] (0，1)3．(2018·长春调研)已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的________条件．[解析] f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．[答案] 充分不必要4．(2018·郑州第一次质量预测)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜1的解集是________．[解析] 依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3，5)．[答案] (－3，5)5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________．[解析] 设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.[答案] －2或26．若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1，4]上单调递减，则实数a 的值为________．[解析] 因为f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，所以f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，又函数f (x )恰在[－1，4]上单调递减， 所以－1，4是f ′(x )＝0的两根， 所以a ＝(－1)×4＝－4. [答案] －47．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．[解析] 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－（x －1）（x －3）x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1，3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调， 由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. [答案] (0，1)∪(2，3)8.如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断： ①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．其中正确的判断是________．(填序号)[解析] ①因为f ′(x )在[－2，－1]上是小于等于0的， 所以f (x )在[－2，－1]上是减函数；②因为f ′(－1)＝0且在x ＝－1两侧的导数值为左负右正， 所以x ＝－1是f (x )的极小值点； ③对，④不对，由于f ′(3)≠0. [答案] ②③9．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．[解析] 因为f (x )＝12x 2－9ln x ，所以f ′(x )＝x －9x(x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0，3]上f (x )是减函数，所以a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2. [答案] 1<a ≤210．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x(x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2(x >0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0，5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0，5)． 11．(2018·沈阳质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；(2)若φ(x )＝m （x －1）x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．[解] (1)由已知得f ′(x )＝1x ，所以f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又因为g (1)＝0＝12a ＋b ，所以b ＝－1，所以g (x )＝x －1.(2)因为φ(x )＝m （x －1）x ＋1－f (x )＝m （x －1）x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．所以φ′(x )＝－x 2＋（2m －2）x －1x （x ＋1）2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，因为x ＋1x ∈[2，＋∞)，所以2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2]．1．已知函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0且a ≠1)，如果函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内单调递增，那么a 的取值范围是________．[解析] 由题意可知x 3－ax >0，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0恒成立，所以a >(x 2)max ，即a ≥14.当14≤a <1时，函数y ＝x 3－ax ，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0递减，y ′＝3x 2－a ≤0，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0恒成立，所以a ≥(3x 2)max ，故34≤a <1；当a >1时，函数y ＝x 3－ax ，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0递增，y ′＝3x 2－a ≥0，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0恒成立，所以a ≤(3x 2)min ，a ≤0，舍去，综上a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，1.[答案] ⎣⎡⎭⎫34，12．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )＜12，则f (x )＜x 2＋12的解集为________．[解析] 设F (x )＝f (x )－⎝⎛⎭⎫x 2＋12，则F (1)＝f (1)－⎝⎛⎭⎫12＋12＝1－1＝0， F ′(x )＝f ′(x )－12，对任意x ∈R ，有F ′(x )＝f ′(x )－12＜0，即函数F (x )在R 上单调递减，则F (x )＜0的解集为(1，＋∞)，即f (x )＜x 2＋12的解集为(1，＋∞)．[答案] (1，＋∞)3．(2018·江苏省盐城中学开学考试)已知R 上的可导函数f (x )的导函数f ′(x )满足：f ′(x )＋f (x )>0，且f (1)＝1，则不等式f (x )>1ex －1的解集是________．[解析] 令g (x )＝e x f (x )，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )>0，所以函数g (x )是R 上的增函数，又不等式f (x )>1e x －1等价于e x f (x )>e ＝e 1f (1)，即g (x )>g (1)，从而有x >1，所以不等式f (x )>1e x －1的解集为(1，＋∞)．[答案] (1，＋∞)4．(2018·辽宁省五校协作体联考改编)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为 y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f （x ）x >0，若a ＝12f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝－2f (－2)，c ＝⎝⎛⎭⎫ln 12·f ⎝⎛⎭⎫ln 12，则a ，b ，c 的大小关系为________．[解析] 当x ≠0时，f ′(x )＋f （x ）x >0，即xf ′（x ）＋f （x ）x >0.当x >0时，xf ′(x )＋f (x )>0. 设g (x )＝xf (x )，则g (x )为偶函数且g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )．显然当x >0时，g ′(x )>0，即此时函数g (x )单调递增．a ＝g ⎝⎛⎭⎫12，b ＝g (－2)＝g (2)，c ＝g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝g (ln 2)，又因为2>ln 2>12>0，所以a <c <b . [答案] a <c <b5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R )．设a ≥0，求f (x )的单调区间． [解] 由f (x )＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)， 得f ′(x )＝2ax 2＋bx －1x .(1)当a ＝0时，f ′(x )＝bx －1x. ①若b ≤0，当x >0时，f ′(x )<0恒成立， 所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)．②若b >0，当0<x <1b 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >1b 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞. (2)当a >0时，令f ′(x )＝0，得2ax 2＋bx －1＝0. 由Δ＝b 2＋8a >0，得x 1＝－b －b 2＋8a4a，x 2＝－b ＋b 2＋8a4a.显然x 1<0，x 2>0.当0<x <x 2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x >x 2时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.综上所述，当a ＝0，b ≤0时，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)； 当a ＝0，b >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ， 单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞；当a >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋ b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.6．已知函数f (x )＝x 2＋b sin x －2(b ∈R )，F (x )＝f (x )＋2，且对于任意实数x ，恒有F (x )－F (－x )＝0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知函数g (x )＝f (x )＋2(x ＋1)＋a ln x 在区间(0，1)上单调递减，求实数a 的取值范围． [解] (1)F (x )＝f (x )＋2＝x 2＋b sin x －2＋2＝x 2＋b sin x ， 依题意，对任意实数x ，恒有F (x )－F (－x )＝0， 即x 2＋b sin x －(－x )2－b sin(－x )＝0对∀x ∈R 恒成立， 即2b sin x ＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝x 2－2. (2)因为g (x )＝x 2－2＋2(x ＋1)＋a ln x ， 所以g (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ， g ′(x )＝2x ＋2＋ax.因为函数g (x )在(0，1)上单调递减，所以在区间(0，1)内，g ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋ax≤0恒成立，所以a ≤－(2x 2＋2x )在(0，1)上恒成立．因为y＝－(2x2＋2x)在(0，1)上单调递减，所以a≤－4为所求．。
1.在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式x ·f ′(x )<0的解集为________．[解析] 由f (x )的图象知，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0，所以x ·f ′(x )<0的解集是(－∞，－1)∪(0，1)． [答案] (－∞，－1)∪(0，1)2．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件．[解析] 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大． [答案] 33．若f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫π2，f (2)的大小关系为________． [解析] 由f (－x )＝f (x )知函数f (x )为偶函数， 因此f (－3)＝f (3)．又f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (2)＞f (3)＝f (－3)． [答案] f (－3)＜f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫π24．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． [解析] 由于函数f (x )是连续的，故只需要两个极值异号即可．f ′(x )＝3x 2－3，令3x 2－3＝0，得x ＝±1，只需f (－1)·f (1)<0，即(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2，2)．[答案] (－2，2)5．若f (x )＝ln xx ，0<a <b <e ，则f (a )、f (b )的大小关系为________．[解析] f ′(x )＝1－ln xx 2， 当x ∈(0，e)时，1－ln xx 2>0，即f ′(x )>0，所以f (x )在(0，e)上为增函数， 又因为0<a <b <e ，所以f (a )<f (b )． [答案] f (a )<f (b )6．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时，t 的值为________．[解析] |MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，显然x ＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22. [答案]227．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．[解析] 因为y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0. 所以y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2. 所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. [答案] 48．(2018·北京海淀区模拟)若函数f (x )满足：“对于区间(1，2)上的任意实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)|＜|x 2－x 1|恒成立”，则称f (x )为完美函数．给出以下四个函数：①f (x )＝1x ；②f (x )＝|x |；③f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ；④f (x )＝x 2.其中是完美函数的序号是________．[解析] 由|f (x 2)－f (x 1)|＜|x 2－x 1|知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜1，即|f ′(x )|＜1. 经验证①③符合题意． [答案] ①③9．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．[解析] 在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又函数f (x )是R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝0.当x >0时，f (x )<0，所以0<x <1；当x <0时，图象关于y 轴对称，f (x )>0，所以x <－1.[答案] (－∞，－1)∪(0，1)10．若log 0.5x ＋1x －1>log 0.5m（x －1）2（7－x ）对任意x ∈[2，4]恒成立，则m 的取值范围为________．[解析] 以0.5为底的对数函数为减函数，所以得真数关系为x ＋1x －1<m（x －1）2（7－x ），所以m >－x 3＋7x 2＋x －7，令f (x )＝－x 3＋7x 2＋x －7，则f ′(x )＝－3x 2＋14x ＋1，因为f ′(2)>0且f ′(4)>0，所以f ′(x )>0在[2，4]上恒成立，即在[2，4]上函数f (x )为增函数，所以f (x )的最大值为f (4)＝45，因此m >45.[答案] (45，＋∞)11．(2018·泰州期中考试)已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x >1时，f (x )<x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0>1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )>k (x －1)． [解] (1)函数的定义域为(0，＋∞)，对函数求导，得f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x .由f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x 2＋x ＋1x >0，解得0<x <1＋52，故f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52.(2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(1，＋∞)， 则有F ′(x )＝1－x 2x，当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递减． 故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即x >1时，f (x )<x －1. (3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0>1满足题意； 当k >1时，对于x >1，有f (x )<x －1<k (x －1)， 则f (x )<k (x －1)，从而不存在x 0>1满足题意； 当k <1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(1，＋∞)， 则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋（1－k ）x ＋1x ，由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0.解得x 1＝1－k －（1－k ）2＋42<0，x 2＝1－k ＋（1－k ）2＋42>1，所以当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )>0，故G (x )在(1，x 2)内单调递增， 从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )>G (1)＝0，即f (x )>k (x －1)， 综上，k 的取值范围是k <1.12．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二))如图，两居民小区A 和B 相距20 km ，现计划在两居民小区外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建信号发射塔，其对小区的影响度与所选地点到小区的距离有关，对小区A 和小区B 的总影响度为小区A 与小区B 的影响度之和，记点C 到小区A 的距离为x km ，建在C 处的信号发射塔对小区A 和小区B 的总影响度为y ，统计调查表明：信号发射塔对小区A 的影响度与所选地点到小区A 的距离的平方成反比，比例系数为k ；对小区B 的影响度与所选地点到小区B 的距离的平方成反比，比例系数为9.当信号发射塔建在半圆弧AB 的中点时，对小区A 和小区B 的总影响度为0.065.(1)将y 表示成x 的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断半圆弧AB 上是否存在一点，使建在此处的信号发射塔对小区A 和小区B 的总影响度最小？若存在，求出该点到小区A 的距离；若不存在，请说明理由．[解] (1)由题意知AC ⊥BC ，BC 2＝400－x 2， y ＝k x 2＋9400－x 2(0<x <20)， 其中当x ＝102时，y ＝0.065，所以k ＝4. 所以y ＝4x 2＋9400－x 2(0<x <20)．(2)因为y ＝4x 2＋9400－x 2(0<x <20)，所以y ′＝－8x 3－9×（－2x ）（400－x 2）2＝18x 4－8（400－x 2）2x 3（400－x 2）2，令y ′＝0得18x 4＝8(400－x 2)2， 所以x 2＝160，即x ＝410，当0<x <410时，18x 4<8(400－x 2)2，即y ′<0， 所以函数y ＝4x 2＋9400－x 2为单调递减函数，当410<x <20时，18x 4>8(400－x 2)2，即y ′>0，所以函数y ＝4x 2＋9400－x 2为单调递增函数．所以当x ＝410时，即当点C 到小区A 的距离为410 km 时，函数y ＝4x 2＋9400－x 2(0<x <20)有最小值，即信号发射塔对小区A 和小区B 的总影响度最小．1．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．[解析] 设商场销售该商品所获利润为y 元，则 y ＝(p －20)Q ＝(p －20)(8 300－170p －p 2) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)， 则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0， 解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30时又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值． 所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元． [答案] 30 23 0002．(2018·南京、盐城高三模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba的最小值为________．解析：由不等式f (x )≤0恒成立可得f (x )max ≤0.f ′(x )＝1x ＋e －a ，x ＞0，当e －a ≥0，即a ≤e 时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且x 趋近于＋∞，f (x )趋近于＋∞，此时f (x )≤0不可能恒成立；当e －a ＜0，即a ＞e 时，由f ′(x )＝0得x ＝1a －e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a －e 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a －e ，＋∞时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，此时f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a －e ＝－ln(a －e)－1－b ≤0，则b ≥－ln(a －e)－1，又a ＞e ，所以b a ≥－ln （a －e ）－1a，a ＞e ，令a －e ＝t ＞0，则b a ≥－ln t －1t ＋e ，t ＞0.令g (t )＝－ln t －1t ＋e ，t ＞0，则g ′(t )＝ln t －e t （t ＋e ）2，由g ′(t )＝0得t ＝e ，且当t ∈(0，e)时，g ′(t )＜0，g (t )单调递减，当t ∈(e ，＋∞)时，g ′(t )＞0，g (t )单调递增，所以g (t )min ＝g (e)＝－1e ，即b a ≥－ln t －1t ＋e≥－1e ，故b a 的最小值为－1e .答案：－1e3．(2018·南京、盐城模拟)已知函数f (x )满足：①f (x )＝2f (x ＋2)，x ∈R ；②f (x )＝ln x ＋ax ，x ∈(0，2)；③f (x )在(－4，－2)内能取到最大值－4.(1)求实数a 的值；(2)设函数g (x )＝13bx 3－bx ，若对任意的x 1∈(1，2)总存在x 2∈(1，2)使得f (x 1)＝g (x 2)，求实数b 的取值范围．[解] (1)当x ∈(－4，－2)时，有x ＋4∈(0，2)， 由条件②得f (x ＋4)＝ln(x ＋4)＋a (x ＋4)，再由条件①得f (x )＝2f (x ＋2)＝4f (x ＋4)＝4ln(x ＋4)＋4a (x ＋4)． 故f ′(x )＝4x ＋4＋4a ，x ∈(－4，－2)．由③，f (x )在(－4，－2)内有最大值，方程f ′(x )＝0，即4x ＋4＋4a ＝0在(－4，－2)内必有解，故a ≠0，且解为x ＝－1a－4.又最大值为－4，所以f (x )max ＝f (－1a －4)＝4ln(－1a )＋4a ·(－1a )＝－4，即ln(－1a )＝0，所以a ＝－1.(2)设f (x )在(1，2)内的值域为A ，g (x )在(1，2)内的值域为B ， 由条件可知A ⊆B .由(1)知，当x ∈(1，2)时，f (x )＝ln x －x ，f ′(x )＝1x －1＝1－x x <0，故f (x )在(1，2)内为减函数，所以A ＝(f (2)，f (1))＝(ln 2－2，－1)． 对g (x )求导得g ′(x )＝bx 2－b ＝b (x －1)(x ＋1)．若b <0，则当x ∈(1，2)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数， 所以B ＝(g (2)，g (1))＝(23b ，－23b )．由A ⊆B ，得23b ≤ln 2－2且－23b ≥－1，故必有b ≤32ln 2－3.若b >0，则当x ∈(1，2)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，所以B ＝(g (1)，g (2))＝(－23b ，23b )．由A ⊆B ，得－23b ≤ln 2－2且23b ≥－1，故必有b ≥3－32ln 2.若b ＝0，则B ＝{0}，此时A ⊆B 不成立．综上可知，b 的取值范围是(－∞，32ln 2－3]∪[3－32ln 2，＋∞)．4．(2018·江苏省扬州中学月考)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝m （x ＋n ）x ＋1(m >0)．(1)当m ＝1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝1处的切线互相垂直，求n 的值； (2)若函数y ＝f (x )－g (x )在定义域内不单调，求m －n 的取值范围；(3)是否存在实数a ，使得f ⎝⎛⎭⎫2a x ·f (e ax )＋f ⎝⎛⎭⎫x 2a ≤0对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由．[解] (1)当m ＝1时，g ′(x )＝1－n （x ＋1）2，所以y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为1－n4， 由f ′(x )＝1x ，所以y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为1，所以1－n 4·1＝－1，所以n ＝5.(2)易知函数y ＝f (x )－g (x )的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝f ′(x )－g ′(x )＝1x －m （1－n ）（x ＋1）2＝x 2＋[2－m （1－n ）]x ＋1x （x ＋1）2＝x ＋2－m （1－n ）＋1x （x ＋1）2， 由题意，得x ＋2－m (1－n )＋1x 的最小值为负，所以m (1－n )>4(注：结合函数y ＝x 2＋[2－m (1－n )]x ＋1图象同样可以得到)，所以[m ＋（1－n ）]24≥m (1－n )>4，所以m ＋(1－n )>4，所以m －n >3.(3)令θ(x )＝f ⎝⎛⎭⎫2a x ·f (e ax )＋f ⎝⎛⎭⎫x 2a ＝ax ·ln 2a －ax ·ln x ＋ln x －ln 2a ，其中x >0，a >0， 则θ′(x )＝a ·ln 2a －a ln x －a ＋1x ，设δ(x )＝a ·ln 2a －a ln x －a ＋1x，δ′(x )＝－a x －1x 2＝－ax ＋1x 2<0，所以δ(x )在(0，＋∞)单调递减，δ(x )＝0在区间(0，＋∞)必存在实根，不妨设δ(x 0)＝0， 即δ(x 0)＝a ·ln 2a －a ln x 0－a ＋1x 0＝0，可得ln x 0＝1ax 0＋ln 2a －1，(*)θ(x )在区间(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减，所以θ(x )max ＝θ(x 0)， θ(x 0)＝(ax 0－1)·ln 2a －(ax 0－1)·ln x 0，将(*)式代入得θ(x 0)＝ax 0＋1ax 0－2，根据题意θ(x 0)＝ax 0＋1ax 0－2≤0恒成立．又根据基本不等式，ax 0＋1ax 0≥2，当且仅当ax 0＝1ax 0时，等式成立，所以ax 0＋1ax 0＝2，ax 0＝1所以x 0＝1a .代入(*)式得，ln 1a ＝ln 2a ，即1a ＝2a ，a ＝.。
课时作业(四)1. B [解析] 由题意,得-x 2+2x+3≥0,解得-1≤x ≤3,所以函数f (x )的定义域为[-1,3],故选B .2. B [解析] f (1e 2)=ln 1e 2+3=ln e -2+3=-2+3=1,f (-1)=2-1=12,所以f (1e 2)+f (-1)=32.故选B . 3. A [解析] f (2x+3)=12(2x+3)+72,所以f (x )=12x+72.由f (t )=6,得12t+72=6,解得t=5.故选A . 4. 2 [解析] f (3)=f (2)=f (1)=21=2,所以f [f (3)]=f (2)=f (1)=21=2.5. -4 [解析] 由f (a )=a+1a -1=2,得a+1a =3,所以f (-a )=-a-1a -1=-(a +1a)-1=-3-1=-4.6. B [解析] 设g (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),因为g (1)=1,g (-1)=5,且图像过原点,所以{a +b +c =1,a -b +c =5,c =0,解得{a =3,b =-2,c =0,所以g (x )=3x 2-2x. 7. A [解析] 令x=1,得2f (1)-f (-1)=4①,令x=-1,得2f (-1)-f (1)=-2②,联立①②得f (1)=2.8. A [解析] f (23)=83+a.若83+a<1,即a<-53,则f [f (23)]=4(83+a)+a=4,解得a=-43>-53,不合题意;若83+a ≥1,即a ≥-53,则f [f (23)]=283+a =4,得83+a=2,所以a=-23,符合题意.故选A . 9. -13[解析] 令t=1-x1+x(t ≠-1),则x=1-t 1+t ,所以f (t )=1-t 1+t ,即f (x )=1-x 1+x ,所以f (2)=1-21+2=-13.10. [-1,2] [解析] 因为y=f (x 2-1)的定义域为[-√3,√3],所以x 2-1∈[-1,2],所以y=f (x )的定义域为[-1,2]. 11. 解:(1)由已知,g (2)=1,f (2)=3,因此f [g (2)]=f (1)=0,g [f (2)]=g (3)=2. (2)当x ≥0时,g (x )=x-1,故f [g (x )]=(x-1)2-1=x 2-2x ; 当x<0时,g (x )=2-x ,故f [g (x )]=(2-x )2-1=x 2-4x+3. 所以f [g (x )]={x 2-2x,x ≥0,x 2-4x +3,x <0.当x ≥1或x ≤-1时,f (x )≥0,故g [f (x )]=(x 2-1)-1=x 2-2; 当-1<x<1时,f (x )<0,故g [f (x )]=2-(x 2-1)=3-x 2. 所以g [f (x )]={x 2-2,x ≥1或x ≤-1,3-x 2,-1<x <1.12. 解:(1)令t=log 2x ,则x=2t ,所以g (t )=2t +1, 所以f (x )=log 2(2x +1)+(k-1)x ,因为函数f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x ), 所以log 2(2x +1)+(k-1)x=log 2(2-x +1)-(k-1)x , 即log 22x +12-x +1=-2(k-1)x ,即log 22x =-2(k-1)x ,所以x=-2(k-1)x 对一切x ∈R 恒成立,所以2(k-1)=-1,得k=12. (2)当k=1时,f (x )=log 2[ax 2+(a+1)x+a ], 当a=0时,f (x )=log 2x ,则f (x )的值域为R . 当a ≠0时,要使函数的值域为R ,则{a >0,Δ≥0,即{a >0,(a +1)2-4a 2≥0,解得0<a ≤1.所以a 的取值范围是[0,1].13. (-∞,-12)∪(12,+∞) [解析] 易知a=0不合题意.当a>0时,必有ax 2+x+a>0在R 上恒成立,即1-4a 2<0,解得a>12; 当a<0时,必有ax 2+x+a<0在R 上恒成立,即1-4a 2<0,解得a<-12. 所以实数a 的取值范围是(-∞,-12)∪(12,+∞).14. [log 373,1] [解析] 因为t ∈(0,1],所以f (t )=3t ∈(1,3],所以f [f (t )]=92-32·3t . 因为f [f (t )]∈[0,1],所以0≤92-32·3t ≤1, 解得log 373≤t ≤1,又t ∈(0,1], 所以实数t 的取值范围为[log 373,1].课时作业(五)1. B [解析] 选项A 中,函数在(1,+∞)上为减函数;选项C 中,函数在(1,+∞)上为减函数;选项D 中,函数在(1,+∞)上为减函数.故选B .2. C [解析] 要使y=log 2(ax-1)在(1,2)上单调递增,则a>0且a-1≥0,即a ≥1.3. A [解析] f (x )=|x-2|x={x 2-2x,x ≥2,-x 2+2x,x <2,结合图像可知函数f (x )的单调递减区间是[1,2].4. (-∞,2) [解析] 当x ≥1时,f (x )=lo g 12x 是单调递减的,此时,函数的值域为(-∞,0];当x<1时,f (x )=2x 是单调递增的,此时,函数的值域为(0,2).综上,f (x )的值域是(-∞,2).5. 4 [解析] 由于y=(15)x 在[-1,1]上单调递减,y=log 5(x+6)在[-1,1]上单调递增,所以f (x )在[-1,1]上单调递减,故f (x )在[-1,1]上的最大值为f (-1)=4.6. B [解析] 由y=ax 在(0,+∞)上是减函数,知a<0;由y=-b x在(0,+∞)上是减函数,知b<0.所以抛物线y=ax 2+bx 的对称轴的方程为x=-b2a <0,又因为抛物线y=ax 2+bx 的开口向下,所以y=ax 2+bx 在(0,+∞)上是减函数.故选B .7. B [解析] 由已知可得{a >1,4-a 2>0,a ≥(4-a2)+2,解得4≤a<8.故选B .8. D [解析] 当a=0时,f (x )=-12x+5在(-∞,3)上是减函数;当a ≠0时,有{a >0,-4(a -3)4a≥3,得0<a ≤34.综上,a 的取值范围是0≤a ≤34.9. D [解析] 因为函数f (x )在区间(-2,+∞)上是增函数,所以{1-2a 2<0,-2+2a ≥0,即{2a 2-1>0,a ≥1,得a ≥1.因此g (x )=(a+1)x 在R 上是增函数.由g (1x )<g (x ),得1x <x ,解得x>1或-1<x<0.所以实数x 的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).10. C [解析] 根据新运算“”的定义,得f (x )={x -2,-2≤x ≤1,x 3-2,1<x ≤2,又y=x-2,y=x 3-2在其定义域内均为增函数,当-2≤x ≤1时,f (x )≤f (1)=1-2=-1,当1<x ≤2时,f (x )≤f (2)=23-2=6.因此函数f (x )的最大值为6.故选C .11. -2 [解析] 因为f (x )=x 2-2x+m=(x-1)2+m-1在[3,+∞)上为增函数,且f (x )在[3,+∞)上的最小值为1,所以f (3)=1,即22+m-1=1,故m=-2. 12. (-9,0)∪(0,3) [解析] f (x )={3x 2-2ax +a 2,x ≥a,x 2+2ax -a 2,x <a.当a>0时,-a>-3,所以0<a<3;当a=0时,f (x )={3x 2,x ≥0,x 2,x <0,f (x )在[-3,0]上显然单调;当a<0时,a 3>-3,所以-9<a<0.综上,-9<a<0或0<a<3. 13. 解:(1)证明:任设x 1<x 2<-2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2).因为(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0,所以f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在(-∞,-2)上单调递增. (2)任设1<x 3<x 4,则f (x 3)-f (x 4)=x 3x 3-a -x 4x 4-a =a(x 4-x 3)(x 3-a)(x 4-a),因为a>0,x 4-x 3>0,所以要使f (x 3)-f (x 4)>0, 只需(x 3-a )(x 4-a )>0在(1,+∞)上恒成立,所以a ≤1. 综上所述,实数a 的取值范围是(0,1]. 14. 解:(1)证明:设x 1,x 2∈[-1,1],且x 1<x 2, 在f(a)+f(b)a+b>0 中,令a=x 1,b=-x 2,有f(x 1)+f(-x 2)x 1-x 2>0.因为f (x )是奇函数,所以f (-x 2)=-f (x 2), 所以f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0,因为x 1<x 2,所以x 1-x 2<0,所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),故f (x )在[-1,1]上为增函数. (2)因为f (x )在[-1,1]上为增函数,所以{-1≤x +12≤1,-1≤1x -1≤1,x +12<1x -1,由此解得{x|-32≤x <-1}.15. B [解析] 由条件③,令x=0,可得f (1)=1.由条件②,令x=1,可得f (13)=12f (1)=12.令x=13,可得f (19)=12f (13)=14.由条件③结合f (13)=12,可知f (23)=12.令x=23,可得f (29)=12f (23)=14.因为19<18<29,且函数f (x )在[0,1]上为非减函数,所以f (18)=14,所以f (13)+f (18)=34.16. (-∞,-2) [解析] 二次函数y=x 2-4x+3的图像的对称轴是直线x=2,所以该函数在(-∞,0]上单调递减,所以当x ≤0时,x 2-4x+3≥3.同理可知,函数y=-x 2-2x+3在(0,+∞)上单调递减,所以当x>0时,-x 2-2x+3<3,所以f (x )在R 上单调递减.由f (x+a )>f (2a-x ),得x+a<2a-x ,即2x<a ,所以2x<a 在[a ,a+1]上恒成立,所以2(a+1)<a ,所以a<-2,所以实数a 的取值范围是(-∞,-2).课时作业(六)1. C [解析] f (-x )=(-x )3-cos (-x )=-x 3-cos x ,所以f (-x )≠-f (x ),f (-x )≠f (x ),所以f (x )既不是奇函数,也不是偶函数.故选C .2. D [解析] f (-14)+f (-2)+f (-3)=-f (14)+f (1)+f (0)=-log 214+log 21+0=2.故选D .3. C [解析] 函数y=tan x 在区间(-1,1)上单调递增;y=x -1在x=0处无意义;对于选项C ,y=ln 2-x2+x的定义域为(-2,2),且为奇函数,令g (x )=2-x2+x,则g (x )=-1+4x+2在区间(-2,2)上单调递减,所以函数y=ln 2-x2+x 在区间(-1,1)上单调递减,符合题意;对于选项D ,y=13(3x -3-x )是奇函数,在定义域内单调递增.故选C .4. D [解析] 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (-1)=-f (1)=-(21-1)=-1,所以f [f (-1)]=f (-1)=-1.5. 32[解析] 依题意得b-1=0,解得b=1,又3a=-(a-2),所以a=12,所以a+b=32.6. B [解析] 由f (x )-x 2=g (x ),得f (x )=g (x )+x 2,当g (x )=cos x 时,f (x )=cos x+x 2,f (-x )=cos (-x )+(-x )2=f (x ),且定义域为R ,故f (x )为偶函数,故选B .7. B [解析] 当y=f (x )的图像关于原点对称时,y=f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ),所以|f (-x )|=|f (x )|,所以y=|f (x )|是偶函数;反过来,当y=|f (x )|是偶函数时,不能推出y=f (x )的图像关于原点对称,如y=|cos x|,则y=cos x 是偶函数,图像不关于原点对称.故选B . 8. A [解析] 因为f (x )=a 2-32x +1是R 上的奇函数,所以f (0)=0,即a 2-320+1=0,解得a=3,所以f (a )=32-323+1=76.故选A .9. B [解析] 由已知可知函数f (x )是周期为2的周期函数,当x ∈(0,1)时,有x+2∈(2,3),故f (x )=f (x+2)=x+2.同理,当x ∈[-2,-1]时,有f (x )=f (x+4)=x+4.又f (x )是偶函数,当x ∈(-1,0)时,有-x ∈(0,1),所以f (x )=f (-x )=2-x.故当x ∈(-2,0)时,f (x )=3-|x+1|.故选B .10. B [解析] 由于函数f (x )是奇函数,因此原不等式可化为f (x )(2x -1)<0,即{f(x)<0,2x -1>0或{f(x)>0,2x -1<0.因为f (1)=0,所以{f(x)<f(1),x >0或{f(x)>f(-1),x <0,故x<-1或x>1.故选B .11. D [解析] 易知f (x )是R 上的增函数且为奇函数,因为当0≤θ≤π2时,f (m sin θ)+f (1-m )>0恒成立,即f (m sin θ)>-f (1-m )=f (m-1)恒成立,所以当0≤θ≤π2时,m sin θ>m -1恒成立.当sin θ=1时,m ∈R ;当0≤sin θ<1时,m<11-sinθ,因为0≤sin θ<1,所以11-sinθ的最小值为1,故m 的取值范围是m<1.故选D .12.516[解析] 由题易知f (294)+f (416)=f (-34)+f (-76)=-f (34)-f (76)=-316+12=516.13. 1 [解析] 因为f (x )为偶函数,所以f (-x )-f (x )=0恒成立,所以-x lg (√a +x 2+x )-x lg (√a +x 2-x )=0恒成立,所以x lg a=0恒成立,所以lg a=0,故a=1. 14. 43[解析] f (x )=x 2+x+1x 2+1=1+xx 2+1,令g (x )=xx 2+1,则g (x )是奇函数,故f (-a )=1+g (-a )=1-g (a )=2-[1+g (a )]=2-f (a )=2-23=43. 15. A [解析] f (x )=2x1+|x|(x ∈R )是奇函数且在R 上单调递增,所以f (x )在区间[a ,b ]上的值域是N=[2a 1+|a|,2b1+|b|].令M=N ,则有{f(a)=a,f(b)=b,得{2a1+|a|=a,2b 1+|b|=b,知a ,b 是方程2x 1+|x|=x 的两根,得{a =0,b =1或{a =-1,b =0或{a =-1,b =1.故选A . 16. (-∞,15]∪[1,+∞) [解析] 当a ≥13时,3a-1≥0,a ≥0,f (x )在[0,+∞)上为增函数,由f (3a-1)≥8f (a )得(3a-1)3≥(2a )3,得a ≥1;当0≤a<13时,3a-1<0,a ≥0,因为f (x )为R 上的偶函数,所以由f (3a-1)≥8f (a ),得(1-3a )3≥(2a )3,解得0≤a ≤15;当a<0时,3a-1<0,由-(3a-1)3≥-(2a )3,解得a<1,但a<0,所以a<0.综上知,实数a 的取值范围为(-∞,15]∪[1,+∞).加练一课(一) 函数性质的综合应用1. A [解析] 因为f (x )为R 上的奇函数,所以f (0)=0,即f (0)=20+m=0,解得m=-1,则f (-2)=-f (2)=-(22-1)=-3.故选A .2. A [解析] 函数f (x )=e x -e -x3满足f (-x )=-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,且f (x )为增函数.验证可知y=ln (x+√1+x 2)是奇函数,且为增函数,y=x 2是偶函数,y=tan x 在R 上不单调,y=e x 是非奇非偶函数,故选A .3. C [解析] 当x<0时,-x>0,f (-x )=(-x )3+ln (1-x ),因为f (x )是R 上的奇函数,所以f (x )=-f (-x )=-[(-x )3+ln (1-x )],所以当x<0时,f (x )=x 3-ln (1-x ).故选C .4. B [解析] 由题设知f (x )=-f (x-2)=f (2-x ).因为函数f (x )是奇函数,所以f (x )的图像关于坐标原点对称,由于函数f (x )在[0,1]上是增函数,故f (x )在[-1,0)上也是增函数,所以函数f (x )在[-1,1]上是增函数.又f (32)=f (2-32)=f (12),所以f (-14)<f (14)<f (12)=f (32).故选B .5. C [解析] 因为f (x )是奇函数,所以y=|f (x )|是偶函数,于是y=|f (x )|和g (x )都是偶函数,它们的图像都关于y 轴对称,所以y=|f (x-1)|和y=g (x-1)的图像都关于直线x=1对称,即h (x )=|f (x-1)|+g (x-1)的图像关于直线x=1对称.故选C .6. B [解析] 因为f (x )是R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,所以f (x )在(0,+∞)上是增函数,所以f (log 2x )>2=f (1),即f (|log 2x|)>f (1),所以log 2x>1或log 2x<-1,解得x>2或0<x<12.故选B .7. A [解析] 当a=0时,f (x )=lg 1=0,定义域为R ,g (x )=ln (x 2-x-1),值域为R ,符合题意.当a ≠0时,依题意,有{a >0,a 2-4a(1-a)<0,且(a-1)2-4(a 2-1)≥0,解得0<a<45.故选A . 8. D [解析] 由已知,得f (x )是周期为2的函数,由f (x+1)是奇函数,得f (-x+1)=-f (x+1),即f (x )=-f (2-x ),故f (-32)=f (12)=-f (32)=-f (-12).当-1≤x ≤0时,f (x )=-2x (x+1),所以f (-12)=-2×(-12)×(-12+1)=12,所以f (-32)=-12.故选D .9. B [解析] 因为f (x )是偶函数,f (2x )=f (x+1x+4),所以f (|2x|)=f (|x+1x+4|).又因为f (x )在(0,+∞)上为单调函数,所以|2x|=|x+1x+4|,即2x=x+1x+4或2x=-x+1x+4,整理得2x 2+7x-1=0或2x 2+9x+1=0.设方程2x 2+7x-1=0的两根为x 1,x 2,方程2x 2+9x+1=0的两根为x 3,x 4,则(x 1+x 2)+(x 3+x 4)=-72+(-92)=-8. 10. B [解析] f (x )是以6为周期的周期函数,f (1)=1,f (2)=2,f (3)=f (-6+3)=f (-3)=-(-3+2)2=-1,f (4)=f (-6+4)=f (-2)=-(-2+2)2=0,f (5)=f (-6+5)=f (-1)=-1,f (6)=f (0)=0,所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)=1,所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2012)=335[f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)]+f (2011)+f (2012)=335×1+f (1)+f (2)=335+1+2=338.故选B .11. 4 [解析] 令t=√x ,则t ≥0,所以y=4t-t 2=-(t-2)2+4,所以当t=2,即x=4时,函数取得最大值4. 12. [√10,+∞) [解析] 令t=lg x ,则y=t2-t=(t -12)2-14的单调递增区间为[12,+∞),由lg x ≥12,得lg x ≥lg √10,所以函数的单调递增区间为[√10,+∞).13. (-3,-1)∪(3,+∞) [解析] 由已知可得{a 2-a >0,a +3>0,a 2-a >a +3,解得-3<a<-1或a>3.所以实数a 的取值范围为(-3,-1)∪(3,+∞).14. 7 [解析] 由f (12+x)+f (12-x)=2,得f (18)+f (78)=2,f (28)+f (68)=2,f (38)+f (58)=2,又f (48)=12[f (48)+f (48)]=12×2=1,所以f (18)+f (28)+…+f (78)=7.15. 14[解析] 函数g (x )在[0,+∞)上为增函数,则1-4m>0,即m<14.若a>1,则函数f (x )在[-1,2]上的最小值为1a=m ,最大值为a 2=4,解得a=2,12=m ,与m<14矛盾;当0<a<1时,函数f (x )在[-1,2]上的最小值为a 2=m ,最大值为a -1=4,解得a=14,m=116.所以a=14.16. [94,+∞) [解析] 易知f (x )是[0,1]上的增函数,其最大值f (x )max =12.若x ∈[1,2],则当a ≤32时,g (x )max =g (2)=8-4a ,当a>32时,g (x )max =g (1)=5-2a.若对于任意x 1∈[0,1],存在x 2∈[1,2],使f (x 1)≥g (x 2),则g (x )max ≤f (x )max ,所以,当a ≤32时,有8-4a ≤12,得a ≥158,不满足a ≤32,舍去;当a>32时,有5-2a ≤12,得a ≥94.所以实数a 的取值范围是[94,+∞).课时作业(七)1. B [解析] 由题意知函数f (x )图像的对称轴方程为x=m 4=-2,所以m=-8,所以f (1)=2+8+3=13,故选B . 2. B [解析] 因为f (x )=(m 2-m-1)x m 是幂函数,所以m 2-m-1=1,解得m=-1或m=2.又f (x )在(0,+∞)上是增函数,所以m=2.故选B .3. C [解析] 因为f (x )图像的对称轴为直线x=-12,f (0)=a>0,所以f (x )的大致图像如图所示.由f (m )<0,得-1<m<0,所以m+1>0,所以f (m+1)>f (0)>0.4. 12[解析] 设f (x )=x α(α∈R ),因为f (12)=(12)α=√22,所以α=12,所以f (2)=√2,所以log 2f (2)=12.5. 10 [解析] x 1+x 2=-ba,所以f (x 1+x 2)=f (-b a)=a (-b a)2+b (-b a)+10=10.6. A [解析] 因为f (0)=f (4)>f (1),所以函数f (x )的图像是开口向上的抛物线,即a>0,且其对称轴为直线x=2,即-b2a =2,所以4a+b=0.故选A .7. C [解析] 若a>0,则一次函数y=ax+b 为增函数,二次函数y=ax 2+bx+c 的图像开口向上,故可排除A .若a<0,同理可排除D .对于选项B ,由直线可知a>0,b>0,从而-b 2a<0,而二次函数的图像的对称轴在y 轴的右侧,故应排除B .故选C .8. A [解析] 不等式x 2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x 2-4x-2)max ,x ∈(1,4).令f (x )=x 2-4x-2,x ∈(1,4),所以f (x )<f (4)=-2,所以a<-2.故选A . 9. A [解析] 由题意知{Δ=16m 2-4(m +3)(2m -1)>0,x 1+x 2=4mm+3<0,x 1x 2=2m -1m+3<0,得-3<m<0,故选A .10. D [解析] 据题意只需转化为当x ≤0时,ax 2-(3-a )x+1>0恒成立即可.结合f (x )=ax 2-(3-a )x+1的图像,当a=0时,验证知符合条件.当a ≠0时,必有a>0,当x=3-a 2a≥0时,函数f (x )在(-∞,0)上单调递减,故要使原不等式恒成立,只需f (0)>0即可,可得0<a ≤3;当x=3-a 2a <0时,只需f (3-a 2a)>0即可,可得3<a<9.综上所述,可得实数a 的取值范围是0≤a<9.11. a>c>b [解析] a=2-32=(√22)3,根据函数y=x3是R 上的增函数,且√22>12>25,得(√22)3>(12)3>(25)3,即a>c>b.12. [2,+∞) [解析] 令√x -1=t (t ≥0),则f (t )=2(t 2+1)+t=2(t +14)2+158,因为t ≥0,所以当t=0,即x=1时,f (x )取得最小值2,所以函数f (x )的值域为[2,+∞).13. 解:(1)当a=-2时,f (x )=x 2-4x+3=(x-2)2-1,x ∈[-4,6], 所以f (x )在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, 所以f (x )的最小值是f (2)=-1, 又f (-4)=35,f (6)=15, 故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图像开口向上,对称轴是直线x=-a ,所以要使f (x )在[-4,6]上是单调函数,应有-a ≤-4或-a ≥6,即a ≤-6或a ≥4,故a 的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).(3)f (|x|)=x 2-2|x|+3={x 2+2x +3,-4≤x ≤0,x 2-2x +3,0<x ≤6,即f (|x|)={(x +1)2+2,-4≤x ≤0,(x -1)2+2,0<x ≤6,所以f (|x|)的单调减区间为[-4,-1)和[0,1),单调增区间为[-1,0)和[1,6]. 14. 解:(1)由Δ=16-4(a+3)≥0,得a ≤1.(2)f (x )=x 2-4x+a+3=(x-2)2+a-1.当a+1<2,即a<1时,f (x )max =f (a )=a 2-4a+a+3=3,得a=0. 当a ≤2≤a+1,即1≤a ≤2时,f (a )=a 2-3a+3,f (a+1)=a 2-a ,当f (a )=3时,无解; 当f (a+1)=3时,无解.当a>2时,f (x )max =f (a+1)=a 2-a=3,得a=1+√132. 综上,a=1+√132或a=0.15. D [解析] f (x )={3-x -1=(13)x-1(x ≤0),x 12=√x(x >0),作出函数f (x )的图像,如图所示,因为函数f (x )在[-1,m ]上的最大值为2,又f (-1)=f (4)=2,所以-1<m ≤4,即m ∈(-1,4].16. (-12,4) [解析] 因为f (x )=x 2+2(a-2)x+4的图像的对称轴为直线x=-(a-2),当x ∈[-3,1]时,f (x )>0恒成立,所以{-(a -2)<-3,f(-3)>0或{-3≤-(a -2)≤1,f(2-a)>0或{-(a -2)>1,f(1)>0,解得a ∈⌀或1≤a<4或-12<a<1,所以a 的取值范围为(-12,4).课时作业(八)1. A [解析] 45x =9x ×5x =(3x )2×5x =a 2b ,故选A .2. D [解析] 因为f (x )=(12)|x -1|={(12)x -1,x ≥1,2x -1,x <1,结合图像可知选项D 正确.3. D [解析] 由指数函数y=(35)x 的性质及-13<-14,可得a=(35)-13>b=(35)-14>1.由指数函数y=(32)x的性质及-34<0,可得c=(32)-34<1,所以c<b<a.故选D .4. a 2-1a 2+1[解析] 原式=(a -a -1)2(a+a -1)(a -a -1)=a -a -1a+a -1=a 2-1a 2+1.5. {x|-1<x<4} [解析] 不等式3-x 2+2x>(13)x+4化为(13)x 2-2x >(13)x+4,因为y=(13)x是减函数,所以x 2-2x<x+4,即x 2-3x-4<0,解得-1<x<4.6. D [解析] 验证可知,指数函数f (x )=4x ,f (x )=(12)x 满足f (x-y )=f (x )÷f (y ),因为f (x )=4x 是增函数,f (x )=(12)x 是减函数,所以选D .7. B [解析] 当a<1时,41-a =21,所以a=12;当a>1时,4a-1=22a-1,无解.故选B .8. A [解析] 因为以P (x 1,f (x 1)),Q (x 2,f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上,所以x 1+x 2=0.又因为f (x )=a x ,所以f (x 1)·f (x 2)=a x 1·a x 2=a x 1+x 2=a 0=1. 9. D [解析] 函数y=2-x2+ax+1是由函数y=2t 和t=-x 2+ax+1复合而成的.因为函数t=-x 2+ax+1在区间(-∞,a2]上单调递增,在区间[a 2,+∞)上单调递减,且函数y=2t 在R 上单调递增,所以函数y=2-x2+ax+1在区间(-∞,a 2]上单调递增,在区间[a 2,+∞)上单调递减.又因为函数y=2-x 2+ax+1在区间(-∞,3)上单调递增,所以3≤a 2,即a ≥6.故选D .10. A [解析] 原不等式变形为m 2-m<(12)x,因为函数y=(12)x 在(-∞,-1]上是减函数,所以(12)x ≥(12)-1=2,当x ∈(-∞,-1]时,m 2-m<(12)x 恒成立等价于m 2-m<2,解得-1<m<2.故选A . 11. D[解析] f (2x )=e 2x +e -2x 2,2[g (x )]2+1=2×(e x -e -x2)2+1=e 2x +e -2x2,即f (2x )=2[g (x )]2+1,A 中等式正确;[f (x )]2-[g (x )]2=1,B 中等式正确;[f (x )]2+[g (x )]2=e 2x +e -2x2=f (2x ),C 中等式正确;f (x )f (y )-g (x )g (y )=e x +e -x 2×e y +e -y 2-e x -e -x 2×e y -e -y 2=e x e -y +e -x e y 2=e x -y +e y -x 2,f (x+y )=e x+y +e -x -y2,显然不相等,所以D 中等式不正确.故选D .12. 3 [解析] 当2x-4=0,即x=2时,y=1+n ,即函数图像恒过点(2,1+n ),又函数图像恒过定点P (m ,2),所以m=2,1+n=2,即m=2,n=1,所以m+n=3.13. e [解析] f (x )={e x ,x ≥1,e |x -2|,x <1,当x ≥1时,f (x )=e x ≥e (当x=1时,取等号);当x<1时,f (x )=e |x-2|=e 2-x >e .因此f (x )的最小值为f (1)=e . 14. 2√2+2016 [解析] f (-20152)=f (-20132)+2=f (-20112)+4=…=f (12)+2016=232+2016=2√2+2016.15. B [解析] 因为y=2x ,y=2-x 在R 上分别为增函数、减函数,所以f (x )=2x -2-x 为增函数.因为f (-x )=2-x -2x =-f (x ),所以f (x )为R 上的奇函数.因为f (x 2-ax+a )+f (3)>0,所以f (x 2-ax+a )>-f (3)=f (-3),得x 2-ax+a>-3,所以x 2-ax+a+3>0恒成立,所以(-a )2-4×1×(a+3)<0,所以a 2-4a-12<0,解得-2<a<6. 16. (1,√2] [解析] 当x ≤2时,f (x )≥(12)2-3=2,此时函数的值域为[2,+∞);当x>2且a>1时,f (x )>log a 2,此时函数值域为(log a 2,+∞),由(log a 2,+∞)⊆[2,+∞),得log a 2≥2,解得1<a ≤√2;当x>2且0<a<1时,f (x )<log a 2,不合题意.所以实数a 的取值范围是(1,√2].课时作业(九)1. D [解析] 由f (x )=lg(2x -1)√3x -2求得其定义域为M={x|x >23},而N={x|0<x<1},所以M ∩N=x23<x<1.故选D .2. A [解析] 因为3x +1>1,所以f (x )=log 2(3x +1)>0,所以函数f (x )的值域为(0,+∞),故选A .3. A [解析] 因为a=log 0.34<log 0.31=0,0<b=log 43<log 44=1,c=0.3-2=(310)-2=(103)2>1,所以a<b<c.故选A .4. -20 [解析] (lg 14-lg25)÷100-12=lg1100÷10-1=-20.5. 5 [解析] 由题意可知f (1)=log 21=0,所以f [f (1)]=f (0)=30+1=2,又f (log 312)=3-log 312+1=3log 32+1=2+1=3,所以f [f (1)]+f (log 312)=5.6. A [解析] 因为y=lg |x-1|={lg(x -1),x >1,lg(1-x),x <1,当x=1时,函数无意义,故排除B ,D .又当x=0时,y=0,所以排除C .故选A .7. C [解析] 由题意得0<a<1,故必有a 2+1>2a ,且2a>1,所以1>a>12.故选C .8. A [解析] 令M=x 2+32x ,当x ∈(12,+∞)时,M ∈(1,+∞),f (x )>0,所以a>1,所以函数y=log a x 为增函数,又M=(x +34)2-916,所以M 的单调递增区间为(-34,+∞),又x 2+32x>0,所以x>0或x<-32,所以函数f (x )的单调递增区间为(0,+∞).故选A .9. B [解析] 函数y=a x 与y=log a x 在[1,2]上的单调性相同,因此函数f (x )=a x +log a x 在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)+f (2)=(a+log a 1)+(a 2+log a 2)=a+a 2+log a 2=log a 2+6,故a+a 2=6,解得a=2或a=-3(舍去).故选B .10. C [解析] 设2+log 2a=3+log 3b=log 6(a+b )=k ,可得a=2k-2,b=3k-3,a+b=6k ,所以1a +1b=a+bab=6k 2k -23k -3=108.所以选C .11. C [解析] 由题意可知A (m ,log a m ),B (m ,log b m ),C (m ,0),因为|AB|=2|BC|,所以log a m=3log b m 或log a m=-log b m ,所以log m b=3log m a 或log m a=-log m b ,所以b=a 3或a=b -1.故选C . 12. (-1,0) [解析] 由f (x )是奇函数可得a=-1,所以f (x )=lg 1+x1-x,定义域为(-1,1).由f (x )<0,可得0<1+x1-x <1,所以-1<x<0.13. 32[解析] 由已知得f (12)=1-f (12)·log 22,则f (12)=12,则f (x )=1+12·log 2x ,故f (2)=1+12·log 22=32. 14. (1,2] [解析] 当x ≤2时,f (x )≥4.又函数f (x )的值域为[4,+∞),所以{a >1,3+log a 2≥4,解得1<a ≤2,所以实数a 的取值范围为(1,2].15. C [解析] 由已知得2x =5-2x ,2log 2(x-1)=5-2x ,即2x-1=52-x ,log 2(x-1)=52-x ,作出y=2x-1,y=52-x ,y=log 2(x-1)的图像(图略),由图可知y=2x-1与y=log 2(x-1)的图像关于直线y=x-1对称,它们分别与直线y=52-x 的交点A ,B 的中点就是直线y=52-x 与直线y=x-1的交点C ,x C =x 1+x 22=74,所以x 1+x 2=72,故选C .16. (-∞,4] [解析] 令t (x )=x 2-ax+a ,则由函数f (x )在区间(2,+∞)上是减函数,可得函数t (x )在区间(2,+∞)上是增函数,且t (2)≥0,所以{a2≤2,t(2)=4-a ≥0,解得a ≤4,所以实数a 的取值范围是(-∞,4].课时作业(十)1. C [解析] g (x )=log 22x=log 22+log 2x=1+log 2x ,所以,只需将函数f (x )=log 2x 的图像向上平移1个单位.故选C .2. A [解析] 由函数图像可知,函数f (x )为奇函数,应排除B ,C .若函数为f (x )=x-1x,则x →+∞时,f (x )→+∞,排除D ,故选A .3. D [解析] 因为f (14)>f (3)>f (2),所以函数f (x )不单调,不选A ,B .又选项C 中,f (14)<f (0)=1,f (3)>f (0),即f (14)<f (3),所以不选C ,故选D .4. (4,4) [解析] 函数y=f (x )的图像是由y=f (x+3)的图像向右平移3个单位长度而得到的.故y=f (x )的图像经过点(4,4).5. (-∞,-1)∪(1,+∞) [解析] 在同一直角坐标系中,作出函数y=f (x )的图像和直线y=1,如图所示,它们相交于(-1,1)和(1,1)两点,由f (x 0)>1,得x 0<-1或x 0>1.6. C [解析] 图②中的图像是在图①的基础上,去掉函数y=f (x )的图像在y 轴右侧的部分,然后将y 轴左侧图像翻折到y 轴右侧,y 轴左侧图像不变得来的,所以图②中的图像对应的函数可能是y=f (-|x|).故选C .7. C [解析] 因为f (2x+1)是偶函数,所以其图像关于y 轴对称,即关于直线x=0对称,而f (2x+1)=f [2(x +12)],所以f (2x )的图像可由f (2x+1)的图像向右平移12个单位得到,即f (2x )的图像的对称轴方程是x=12.8. C [解析] (特殊值法)因为f (e )=ln e 1+e =11+e ,f (-e )=ln[-(-e)]1-(-e)=11+e,所以f (e )=f (-e ),所以排除选项B ,D ,又当x ∈(0,1)时,ln x<0,1+x>0,所以f (x )<0.故选C .9. B [解析] 由于函数y=(x 3-x )2|x|为奇函数,因此它的图像关于原点对称.当0<x<1时,y<0;当x>1时,y>0,故选B .10. A [解析] 在同一坐标系内作出y=log 2(-x ),y=x+1的图像,易知满足条件的x ∈(-1,0),故选A .11. D [解析] 作出函数y=f (x )与y=k 的图像,如图所示.由图可知k ∈(0,1],故选D .12. (2,8] [解析] 当f (x )>0时,函数g (x )=lo g √2f (x )有意义,由函数f (x )的图像知满足f (x )>0的x ∈(2,8]. 13. f (x )={x +1,-1≤x ≤0,14(x -2)2-1,x >0 [解析] 当-1≤x ≤0时,设解析式为y=kx+b (k ≠0),则{-k +b =0,b =1,解得{k =1,b =1,所以y=x+1.当x>0时,设解析式为y=a (x-2)2-1(a ≠0).因为图像过点(4,0),所以0=a (4-2)2-1,得a=14,所以y=14(x-2)2-1.14. 1b[解析] 易知b>0,函数y=log a (x+b )的图像是由y=log a x 的图像向左平移b 个单位得到的,由图知0<b<1,而h (x )=x 2-2x 在[0,3]上的最小值为h (1)=-1,所以g (x )的最大值为b -1=1b.15. C [解析] 要使方程f (x )-log a (x+1)=0(a>0且a ≠1)在区间[0,5]上恰有5个不同的根,只需y=f (x )与y=log a (x+1)的图像在区间[0,5]上恰有5个不同的交点,在同一坐标系内作出它们的图像如图所示,由图可知,y=f (x )与y=log a (x+1)的图像在区间[0,5]上恰有5个不同的交点,只需{log a 3<2,log a 5<4,解得a>√3.故选C .16. D [解析] 函数y=11-x =-1x -1和y=2sin πx 的图像有公共的对称中心点(1,0),画出二者图像如图所示,易知y=11-x与y=2sin πx (-2≤x ≤4)的图像共有8个交点,不妨设其横坐标为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7,x 8,且x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7<x 8,由对称性得x 1+x 8=x 2+x 7=x 3+x 6=x 4+x 5=2,所以x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8=8,故选D .加练一课(二)函数图像的应用1. B[解析]作出函数y=ln|x|和y=-x2的图像(图略),可知,两图像有2个交点,所以函数f(x)有2个零点.故选B.2. D[解析]与曲线y=e x关于y轴对称的曲线为y=e-x,函数y=e-x的图像向左平移1个单位长度即可得到函数f(x)的图像,即f(x)=e-(x+1)=e-x-1.故选D.3. C[解析]作出g(x)=(12)x的图像与h(x)=cos x的图像如图所示,可以看到它们在[0,2π]上的交点个数为3,所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3,故选C.4. B[解析]当a>1时,如图①所示,使得两个函数图像有交点,需满足12×22≥a2,即1<a≤√2.①②当0<a<1时,如图②所示,需满足12×12≤a1,即12≤a<1.综上可知,a∈[12,1)∪(1,√2].5. B[解析]因为图像与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,所以①中结论正确;图像对称轴方程为x=-1,即-b2a=-1,2a-b=0,所以②中结论错误;结合图像知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,所以③中结论错误;由图像对称轴为直线x=-1知,b=2a,又函数图像开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,所以④中结论正确.故选B.6. C[解析]由当x<2 时,f(x)=|2x-1|,得递减区间为(-∞,0),递增区间为(0,2).因为y=f(x+2)是偶函数,所以其图像关于y轴对称,所以y=f(x)的图像关于直线x=2对称,又因为y=f(x)在x<2时的递增区间为(0,2),所以,当x>2时,y=f(x)的递减区间为(2,4).故选C.7. D[解析]设函数f(x)=2x sin(π2+6x)4x-1=2x cos6x4x-1,所以f(-x)=2-x cos(-6x)4-x-1=-2x cos6x4x-1=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以其图像关于原点对称,故排除选项A.因为当x从右趋向于0时,f(x)趋向于+∞,当x趋向于+∞时,f(x)趋向于0,故排除选项B,C,故选D.8. C [解析] 注意到f (12)=ln √e2-ln (1-12)=12,计算知f (12+x)+f (12-x)=1,所以函数f (x )的图像关于点(12,12)对称,所以m=12.故选C .9. C [解析] 函数f (x )={2x -1,x ≥0,f(x +1),x <0的图像如图所示,作出直线l :y=a-x ,观察可得,若函数y=f (x )的图像与直线l :y=-x+a 的图像有两个交点,即方程f (x )=-x+a 有且只有两个不相等的实数根,则有a<1,故选C . 10. C [解析] 令f (x )=sin 2πx ,g (x )=22x -1,x ∈[-2,3],则方程sin 2πx-22x -1=0,x ∈[-2,3]的所有根之和转化为函数f (x )的图像与g (x )的图像的交点的横坐标之和.因为f (54)=sin (2π×54)=1,f (94)=sin (2π×94)=1,g (54)=22×54-1=43>f (54),g (94)=22×94-1=47<f (94),所以在(12,3]时,两函数图像有两个交点,如图所示.因为函数f (x )和g (x )的图像都关于点(12,0)成中心对称,所以在x ∈[-2,3]时,共有四个交点,设这四个交点的横坐标依次为x 1,x 2,x 3,x 4,根据中心对称可得x 1+x 4=2×12=1,x 3+x 2=2×12=1,所以x 1+x 2+x 3+x 4=2,即方程的所有根之和为2.故选C .11. -1<m<0 [解析] 作出偶函数f (x )的图像及直线y=m ,如图所示,若函数g (x )恰有4个零点,则-1<m<0.12. 2 [解析] 由于f (x )是定义在R 上的周期为3的函数,所以f (2015)+f (2016)=f (672×3-1)+f (672×3+0)=f (-1)+f (0),由图可知f (-1)=2,f (0)=0,所以f (2015)+f (2016)=2. 13. 2x +sin x [解析] 由图像可知,F (x )图像过定点(0,1),当x>0时,F (x )>1,为增函数;当x<0时,F (x )≤0和F (x )>0交替出现.y=2x 的图像经过点(0,1),且当x<0时,0<y<1,当x>0时,y>1,验证知F (x )=2x +sin x 的图像满足条件.14. (0,12] [解析] 分别作出函数y=f (x ),y=g (x )+1的图像,由-log 2x=1,得x=12,因此,正实数a 的取值范围为(0,12].15. ①②④ [解析] 因为f (x )是R 上的偶函数,所以f (-x )=f (x ),得f (-2)=f (2),在f (x+4)=f (x )+f (2)中,令x=-2,得f (2)=f (-2)+f (2),所以f (-2)=f (2)=0,所以f (x+4)=f (x ),于是函数f (x )是以4为周期的周期函数,又当x ∈[0,2]时,y=f (x )单调递减,结合函数f (x )的性质作出函数f (x )的简图(示意图),由图可知,②直线x=-4为函数y=f (x )图像的一条对称轴;③y=f (x )在[8,10]上单调递减;④若方程f (x )=m 在[-6,-2]上的两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=-8.所以,真命题的序号为①②④.16. (2,174] [解析] 作出函数f (x )的简图,如图所示,由图可知,当f (x )在(0,4]上任取一个值时,都有4个不同的x 与f (x )的值对应,因为[f (x )]2-bf (x )+1=0有8个不同的根,所以令t=f (x ),则方程t 2-bt+1=0在(0,4]上有2个不同的实数根,所以{0<b2<4,Δ=b 2-4>0,16-4b +1≥0,1>0,解得2<b ≤174.课时作业(十一)1. B [解析] 易知选项B 正确.2. B [解析] 令f (x )=(13)x -x 12,则f (x )的图像在[0,+∞)上是连续不断的,因为f (0)=1>0,f (13)=(13)13-(13)12>0,f (12)=(13)12-(12)12<0,所以函数f (x )的零点所在区间是(13,12).故选B .3. C [解析] 因为f (1)=6-log 21=6>0,f (2)=3-log 22=2>0,f (4)=32-log 24=-12<0,所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4),故选C .4. (-∞,1) [解析] 设函数f (x )=x 2+mx-6,则根据条件有f (2)<0,即4+2m-6<0,解得m<1.5. 1 [解析] 作出f (x ),g (x )的大致图像,如图所示,可知有1个交点.6. B[解析]在同一坐标系中分别画出函数f(x),g(x)的图像如图所示,方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图像有两个不同的交点,结合图像可知,当直线y=kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y=x-1的斜率时符合题意,故12<k<1.故选B.7. C[解析]由已知可得f(x0)=-e x0,则e-x0f(x0)=-1,e-x0f(-x0)=1,故-x0一定是y=e x f(x)-1的零点.故选C.8. C[解析]因为函数f(x)=2x-2x -a在区间(1,2)上单调递增,函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,所以0<a<3.故选C.9. C[解析]由奇函数的性质可知f(0)=0,又当x>0时,f(x)为增函数,当x从右侧趋向于0时,函数值趋向于-∞,而f(1)=2019>0,则x>0时,函数f(x)的图像与x轴有唯一交点.由函数图像的对称性得方程f(x)=0的实根的个数为3,故选C.10. A[解析]g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,当g(x)≥0时,得x≤0或x≥2;当g(x)<0时,得0<x<2.所以当x≤0或x ≥2时,f[g(x)]=2x2-2x-2-2=0,即x2-2x-2=1,解得x=-1或x=3;当0<x<2时,f[g(x)]=x2-2x+2=0,此方程无解.所以函数f[g(x)]的所有零点之和是-1+3=2,故选A.11. C[解析]因为函数f(x)有两个零点,所以当x>1时,f(x)=-x+a必有一个零点,则a>1.当a>1,x≤1时,若f(x)=2x-a有一个零点,则1<a≤2,所以“函数f(x)有两个零点”成立的充要条件是a∈(1,2],所以“函数f(x)有两个零点”成立的充分不必要条件是a∈(1,2).故选C.12. 2[解析]令f(x)=0,得①{x≤0,x2-1=0,解得x=-1.②{x>0,x-2+lnx=0,在同一个直角坐标系中画出y=2-x,x>0和y=ln x,x>0的图像,如图所示.函数y=2-x,x>0和y=ln x,x>0的图像在同一个直角坐标系中交点个数是1,所以f(x)的零点个数为2.13.[5,10)[解析]令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)·f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得5<k<10.当f(1)=0时,k=5.所以k∈[5,10).14. (log 32,1) [解析] 由题意知方程log 3x+2x=a 在区间(1,2)上有解,由1<x<2得2<x+2x<3,所以log 32<log 3x+2x<1,所以a ∈(log 32,1).15. B [解析] 当b=0时,不满足题意,所以x=1不是函数的零点,问题转化为:对任意的实数a ,方程a=lnx+b x -1有两个不同的解,即y 1=a 的图像与y 2=ln x+bx -1的图像有两个不同交点.当b<0时,y 2在(0,1)和(1,+∞)上单调递增,且x →0+时,y 2→-∞,x →1-时,y 2→+∞,x →1+时,y 2→-∞,x →+∞时,y 2→+∞,所以b<0.故选B .16. {2} [解析] 依题意知,函数f (x )是偶函数,在x=0处存在唯一零点,所以唯一零点是0,于是02-m cos 0+m 2+3m-8=0,解得m=-4或m=2.若m=-4,则f (x )=x 2+4cos x-4,令f (x )=0,得x 2+4cos x-4=0,即4cosx=4-x 2,由y=4cos x 和y=4-x 2的图像知,两图像的交点不只有一个,所以m=-4不合题意.而m=2时,符合题意.所以m=2,即满足条件的实数m 组成的集合为{2}.课时作业(十二)1. A [解析] 设这个广场的长为x 米,则宽为40 000x米,所以其周长l=2(x +40 000x)≥800,当且仅当x=40 000x,即x=200时取等号.故选A .2. D [解析] 由图可知,张大爷离家后的一段时间匀速直线行走,中间一段时间离家距离不变,说明这段时间张大爷在以家为圆心的圆周上运动,最后匀速回家,故选D .3. B [解析] 因为每次都把油箱加满,第二次加了48升油,说明这段时间的总耗油量为48升,而行驶的路程为35 600-35 000=600(千米),故该车每行驶100千米的平均耗油量为48÷6=8(升).4. 4.24 [解析] 因为m=6.5,所以[m ]=6,则f (6.5)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.5. 180 [解析] 依题意知20-x 20=y -824-8,即x=54(24-y ),所以阴影部分的面积S=xy=54(24-y )·y=54(-y 2+24y )=-54(y-12)2+180,所以当y=12时,S 有最大值180.6. B [解析] 单位时间的运输量逐步提高时,运输量的增长速度越来越快,即图像在某点的切线的斜率随着自变量的变大会越来越大,故函数图像应一直是下凹的.故选B .7. C [解析] 设每年人口的平均增长率为x ,则(1+x )40=2,两边取以10为底的对数,则40lg (1+x )=lg 2,所以lg (1+x )=lg240≈0.007 5,所以100.007 5≈1+x ,得1+x ≈1.017,所以x ≈1.7%.8. B [解析] 因为103100-1=0.03,(51.450-1)×2=0.056,10097-1≈0.031,所以三种债券的收益为甲<丙<乙,故选B .9. B [解析] 设经销乙商品投入资金x 万元,由题意得20-x 4+a 2√x ≥5(0≤x ≤20),整理得-x 4+a2√x ≥0.显然,当x=0时,不等式恒成立;当0<x ≤20时,由-x 4+a2√x ≥0,得a ≥√x2恒成立,因为0<x ≤20,所以0<√x2≤√5,所以a ≥√5,即a 的最小值为√5.故选B .10. D [解析] 设该公司的年收入为x 万元,纳税额为y 万元,则由题意得y={x ×p%,x ≤280,280×p%+(x -280)×(p +2)%,x >280,依题意有280×p%+(x -280)×(p+2)%x=(p+0.25)%,解得x=320.故选D .11. C [解析] 设原污染物的数量为a ,则P 0=a.由题意有10%a=a e -5k ,所以5k=ln 10.设从过滤开始经过t h 后污染物的含量不超过1%,则有1%a ≥a e -tk ,所以tk ≥2ln 10,所以t ≥10.因此至少还需过滤10-5=5(h )才可以排放.故选C .12. 2500 m 2 [解析] 设矩形的长为x m ,则宽为200-x4m ,则S=x ·200-x 4=14(-x 2+200x ),则当x=100时,S max =2500 m 2. 13.1909[解析] 由题意知前10天y 与x 之间满足一次函数关系,设函数解析式为y=kx+b ,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得{10=k +b,30=10k +b,解得k=209,b=709,所以y=209x+709,则当x=6时,y=1909.14. 11.5 [解析] 设每桶水在进价的基础上上涨x 元时,利润为y 元,由表格中的数据可以得到,日销售的桶数为480-40(x-1)=520-40x ,由520-40x>0及x>0,得0<x<13,则利润y=(520-40x )x-200=-40x 2+520x-200=-40(x-6.5)2+1490,其中0<x<13,所以当x=6.5时,利润最大,即当每桶水的价格为11.5元时,利润取得最大值,为1490元.15. 16 [解析] 当0<x ≤20时,y=(33x-x 2)-x-100=-x 2+32x-100;当x>20时,y=260-100-x=160-x. 故y={-x 2+32x -100,0<x ≤20,160-x,x >20(x ∈N *),当0<x ≤20时,y=-x 2+32x-100=-(x-16)2+156,所以当x=16时,y max =156. 而当x>20时,160-x<140.故当x=16时能获得最大年利润.课时作业(十三)1. B [解析] 因为f'(x )=1-e x x -e x x 2=1-e x (x -1)x 2,所以f'(1)=1,又f (1)=1-e ,所以f'(1)-f (1)=e .2. C [解析] 因为f'(x )=1-lnxx 2,所以f'(1)=1,故该切线方程为y-(-2)=x-1,即x-y-3=0.3. A [解析] 由题意知,汽车行驶的速度v 关于时间t 的函数为v (t )=s'(t )=6t 2-gt ,则v'(t )=12t-g ,故当t=2 s 时,汽车的加速度是v'(2)=12×2-10=14(m/s 2).4. 2 [解析] 因为f'(x )=(2x+2)e x -(x 2+2x)e x (e x )2=2-x 2e x ,所以f'(0)=2.5. 2 [解析] 因为f'(x )=a ln x+ax ·1x=a (ln x+1),所以f'(1)=a (ln 1+1)=2,即a=2. 6. A [解析] 设x+1=t ,则x=t-1,所以f (t )=2t -1t =2-1t,故f (x )=2-1x ,又f'(x )=1x 2,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率k=f'(1)=1.7. B [解析] 设直线y=ax 与曲线y=2ln x+1的切点的横坐标为x 0,则对于y=2ln x+1,有y'|x=x 0=2x 0,于是有{a =2x 0,ax 0=2ln x 0+1,解得x 0=√e ,则a=2x 0=2e -12.。
.在上可导的函数()的图象如图所示，则关于的不等式·′()<的解集为．[解析] 由()的图象知，当<－或>时，′()>；当－<<时，′()<，所以·′()<的解集是(－∞，－)∪(，)．[答案] (－∞，－)∪(，)．若商品的年利润(万元)与年产量(百万件)的函数关系式＝－＋＋(>)，则获得最大利润时的年产量为百万件．[解析] 依题意得，′＝－＋＝－(－)(＋)，当<<时，′>；当>时，′<.因此，当＝时，该商品的年利润最大．[答案]．若()＝＋，则(－)，，()的大小关系为．[解析] 由(－)＝()知函数()为偶函数，因此(－)＝()．又′()＝＋－＝，当∈时，′()＞，当∈时，′()＜，所以()在区间上是减函数，所以＞()＞()＝(－)．[答案](－)＜()＜．若函数()＝－＋有个不同的零点，则实数的取值范围是．[解析] 由于函数()是连续的，故只需要两个极值异号即可．′()＝－，令－＝，得＝±，只需(－)·()<，即(＋)(－)<，故∈(－，)．[答案] (－，)．若()＝)，<<<，则()、()的大小关系为．[解析]′()＝)，当∈(，)时，)>，即′()>，所以()在(，)上为增函数，又因为<<<，所以()<()．[答案]()<()．设直线＝与函数()＝，()＝的图象分别交于点，，则当达到最小时，的值为．[解析] 的最小值，即函数()＝－的最小值，′()＝－＝，显然＝是函数()在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故＝.[答案]．已知函数＝()＝＋＋＋在＝处有极值，其图象在＝处的切线平行于直线＋＋＝，则()的极大值与极小值之差为．[解析] 因为′＝＋＋，⇒所以′＝－，令－＝，则＝或＝.所以()极大值－()极小值＝()－()＝.[答案] ．(·北京海淀区模拟)若函数()满足：“对于区间(，)上的任意实数，(≠)，()－()＜－恒成立”，则称()为完美函数．给出以下四个函数：①()＝；②()＝；③()＝；④()＝.其中是完美函数的序号是．[解析] 由()－()＜－知，＜，即′()＜.经验证①③符合题意．[答案]①③．已知函数()是上的偶函数，且在(，＋∞)上有′()>，若(－)＝，那么关于的不等式()<的解集是．[解析] 在(，＋∞)上有′()>，所以()在(，＋∞)上单调递增．又函数()是上的偶函数，所以()＝(－)＝.当>时，()<，所以<<；当<时，图象关于轴对称，()>，所以<－.[答案] (－∞，－)∪(，)．若>对任意∈[，]恒成立，则的取值范围为．[解析] 以为底的对数函数为减函数，所以得真数关系为<，所以>－＋＋－，令()＝－＋＋－，则′()＝－＋＋，因为′()>且′()>，所以′()>在[，]上恒成立，即在[，]上函数()为增函数，所以()的最大值为()＝，因此>.[答案] (，＋∞)．(·泰州期中考试)已知函数()＝－.()求函数()的单调递增区间；()证明：当>时，()<－；()确定实数的所有可能取值，使得存在>，当∈(，)时，恒有()>(－)．[解] ()函数的定义域为(，＋∞)，对函数求导，得′()＝－＋＝.由′()>，得解得<<，故()的单调递增区间为.。
