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二阶非线性双曲型方程的近似解法二阶非线性双曲型方程是一类形式为$$u_{tt}-c^2u_{xx}+f(u,u_t,u_x)=0$$的偏微分方程，其中$c$为常数，$f(u,u_t,u_x)$为非线性项。
这类方程通常出现在波动方程、振动方程、输运方程等领域，解析解往往比较难以获得。
因此，我们需要求取它的数值解。
求解二阶非线性双曲型方程的近似解可以利用有限差分法、有限元法或者其他数值方法。
以下我们分别介绍这些方法。
1.有限差分法：有限差分法是一种基于差分逼近的数值求解方法。
它将求解区域离散化为一系列节点，然后利用近似的差分格式替代偏微分方程中的导数项，最终得到一个代数方程组。
常用的有限差分格式有向前差分、向后差分和中心差分。
通过构建差分格式的方程组，可以通过迭代求解来获得方程的数值解。
2.有限元法：有限元法是一种在连续域上建立有限维函数空间的数值求解方法。
它将求解区域进行网格划分，并在每个网格单元内用一个局部插值函数来近似原方程，然后将整个区域的问题转化为一个代数方程组。
通过求解方程组，可以得到方程的数值解。
有限元法具有较高的适用性和精确度，并且可以处理复杂的几何结构。
3.其他数值方法：除了有限差分法和有限元法之外，还可以利用其他数值方法进行近似解的求取。
例如，谱方法基于将原方程展开为一组函数的级数，然后通过调节级数中的系数使得方程在一些选定的离散点满足。
神经网络方法则通过训练神经网络来逼近方程解。
这些方法在特定问题和特定条件下可能会有更好的效果。
总之，二阶非线性双曲型方程的数值求解可使用有限差分法、有限元法或其他数值方法。
具体选择哪种方法需要根据问题的特点和求解精度的要求来决定。
我们可以根据具体问题的需求进行合适的选择，并使用相应的技术工具来实现近似解的求取。
《几类非线性发展型偏微分方程的混合有限元方法研究》篇一一、引言非线性偏微分方程在众多科学领域中具有广泛的应用，如物理学、生物学、经济学等。
随着科学技术的进步，对这些非线性发展型偏微分方程的研究也变得越来越重要。
混合有限元方法作为一种有效的数值求解方法，在处理这类问题上具有显著的优势。
本文将针对几类非线性发展型偏微分方程，探讨混合有限元方法的实施过程及优势。
二、混合有限元方法概述混合有限元方法是一种基于有限元理论的数值计算方法，它将偏微分方程的解表示为一系列基函数的加权和。
该方法可以有效地处理复杂的非线性问题，特别是对于那些具有复杂边界条件和材料特性的问题。
混合有限元方法通过引入未知函数的不同表示形式，如压力和速度等，使得求解过程更加灵活和高效。
三、几类非线性发展型偏微分方程的研究1. 波动方程的混合有限元方法波动方程是描述物体振动行为的偏微分方程，具有广泛的应用背景。
本文将探讨混合有限元方法在求解波动方程时的应用，包括其离散化过程、基函数的选择以及求解策略等。
2. 扩散方程的混合有限元方法扩散方程是描述物质扩散过程的偏微分方程，在物理学、化学、生物学等领域具有广泛的应用。
本文将研究混合有限元方法在求解扩散方程时的优势，如处理复杂边界条件和材料特性的能力等。
3. 反应扩散方程的混合有限元方法反应扩散方程是描述化学反应扩散过程的偏微分方程，具有丰富的动力学行为。
本文将探讨混合有限元方法在求解反应扩散方程时的应用，包括其数值稳定性、收敛性以及求解效率等方面。
四、混合有限元方法的优势与挑战混合有限元方法在求解非线性发展型偏微分方程时具有显著的优势，如灵活性、高效性以及处理复杂问题的能力等。
然而，该方法也面临一些挑战，如基函数的选择、离散化过程的精确性以及求解策略的优化等。
本文将分析这些优势与挑战，并提出相应的解决方案。
五、结论本文针对几类非线性发展型偏微分方程，探讨了混合有限元方法的实施过程及优势。
通过对波动方程、扩散方程和反应扩散方程的研究，我们发现混合有限元方法在求解这些非线性问题时具有显著的优势。
双曲型偏微分方程的稳定性分析偏微分方程(partial differential equation, PDE)具有广泛的应用，尤其是在建筑工程、生物学、生态学、物理学等领域。
偏微分方程的解析解很难得到，因此常用数值解法进行求解。
然而，数值解法的精度和稳定性成为问题。
本文主要讨论双曲型偏微分方程的稳定性分析。
双曲型偏微分方程是一种常见的偏微分方程，在物理学、化学和工程学等领域有广泛的应用。
与其他类型的偏微分方程相比，双曲型偏微分方程的解具有强的波动性和激波性。
由此可以看出，双曲型偏微分方程的数值解在数值上的稳定性是至关重要的。
首先，我们来了解一下什么是双曲型偏微分方程。
一般地，双曲型偏微分方程可以写成如下形式：a(x,y,z,t)\frac{\partial ^2u}{\partial t^2}+b(x,y,z,t)\frac{\partial u}{\partial t}-\nabla \cdot c(x,y,z,t)\nabla u=d(x,y,z,t)其中，a(x,y,z,t)，b(x,y,z,t)，c(x,y,z,t)和d(x,y,z,t)是已知函数，而u是未知函数。
上式中的第一个项表示波动的传输或振动的性质，第二个项表示能量损失，第三个项表示能量扩散，而最后一个项则表示源项。
稳定性分析是研究数值解方法的收敛性和精确性的一种重要方法。
在数值解法中，我们往往会采用离散化方法来求解偏微分方程，例如有限元、有限差分等方法。
考虑到计算机在计算过程中会有舍入误差，因此只有当我们能够保证离散化方法的稳定性时，才能保证数值解的稳定性。
在双曲型偏微分方程的稳定性分析中，我们关注的是离散化方法的稳定性，即当网格大小趋近于零时，数值解趋近于实际解。
一般地，我们采用Von Neumann稳定性分析方法来研究离散化方法的稳定性。
Von Neumann稳定性分析方法的核心思想是：假设数值方案是线性的，且解有以特定形式振荡的指数增长，则计算方法是稳定的。
非线性双曲型方程的混合有限元两层网格算法陈艳萍;王克彦【摘要】针对一类非线性双曲型方程,利用混合有限元法,构造了1种混合有限元两层网格算法,给出了两网格方法的误差分析.结果表明,当两层网格算法所选取的粗网格和细网格步长满足H=O(h1/2)时,能获得渐近最优的离散逼近解.并用数值例子验证了该混合有限元两层网格算法的有效性.【期刊名称】《华南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(048)003【总页数】6页(P1-6)【关键词】非线性双曲型方程;混合有限元;两层网格算法;误差分析【作者】陈艳萍;王克彦【作者单位】华南师范大学数学科学学院,广州510631;华南师范大学数学科学学院,广州510631【正文语种】中文【中图分类】O241.1考虑下述非线性双曲型方程的混合问题:其中Ω是 2空间中的有界区域,∂Ω为其充分光滑边界;ut=∂u/∂t,utt=∂2u/∂t2.并作以下假定:(A1)κ=K -1是一致对称正定的矩阵, 即存在常数K*, K*>0, 使得(A2)f=f(u)为已知的有界光滑函数, 且存在常数K1, 使得(A3)对于r>0, 假设满足式(1)的解函数u有下列正则性双曲型方程描述声波、光波、多孔介质波传播问题和流体力学等众多物理现象,对许多实际问题具有重要的理论价值及现实意义.目前, 许多数值求解方法被应用到双曲问题, 如有限差分法[1-2]、有限元法[3-4]和有限体积元法[5-6]等等.混合有限元方法是在有限元方法的基础上发展起来的一个分支, 已成为偏微分方程数值求解的一种重要方法. 20世纪70年代, BABUSKA[7]和BREEZZI[8]基于B-B相容性条件获得了混合有限元方法的一般理论. FALK和OSBORN[9]改进了该方法，推广了混合有限元方法的适应性. RAVIART和THOMAS[10]针对二阶椭圆问题,提出了R-T混合有限元的构造方法,通过引入中间变量将高阶微分方程降阶, 从而降低了对有限元空间的光滑性要求, 与标准有限元只能通过后处理对微分算子进行计算相比, 其数值解的精度往往会提高. 在过去的几十年里, 混合有限元方法得到了广泛的应用[11-13].两层网格算法是一类求解非线性偏微分方程的高效算法, 它的基本思想是：通过构造2种不同尺度(粗网格和细网格)的有限元空间, 首先在粗网格上求解原来的非线性问题, 然后利用粗网格上的数值解将原问题用合适的方式进行线性化, 再在细网格上求解相应的线性化问题. 该方法最先由XU[14-15]提出和讨论, 他将两层网格思想与非线性Galerkin方法相结合，成功运用于求解半线性和非线性椭圆型问题. 随着对这种高效的有限元两层网格算法研究的深入,许多学者已经将它应用于各类不同的、具有实际应用背景非线性的偏微分方程问题. DAWSON等[16]研究了非线性问题的有限差分两层网格方法; WU和ALLEN[17]使用了扩展混合有限元两层网格方法研究了半线性反应扩散方程; HOLST等[18]分析了半线性界面问题的两层网格算法; ZHOU等[19]研究了Maxwell特征值问题两层网格算法; CHEN等[6,20]分别使用两网格有限元和两网格有限体积元法研究了双曲型方程; 最近, CHEN等[21-23]研究了针对抛物型方程问题的混合有限元两网格方法.本文针对非线性双曲型方程构造了混合有限元两层网格算法, 通过将非线性问题的求解转化为1个节点数较少的粗网格上的非线性问题和1个细网格上的线性问题, 使问题在一定程度上得到了线性化, 从而加快了非线性问题的求解速度.同时给出了两层网格法的误差分析, 根据误差估计和数值算例可知两层网格算法在不降低解的精度的情况下提高了计算效率.采用标准的Banach空间记号Lp(Ω) (p>1),具有范数‖·‖p, 设(·,·)表示L2(Ω)或(L2(Ω))m中的内积. W m,p(Ω)表示定义在Ω 上的Sobolev空间, 其范数记为‖·‖m,p, 定义为‖φ‖‖D αφ‖为简单起见, 当p=2时, 记W m,2(Ω)=H m(Ω),把上述范数简记为‖·‖m=‖·‖m,2,‖·‖=‖·‖0,2.接下来定义如下空间:W=L2(Ω),V=H(div;Ω)={υ(L2(Ω))2,▽·υL2(Ω)},其范数定义为设Th为区域Ω上四边形或三角形的拟一致剖分,其剖分步长为h. 采用混合有限元方法, 其逼近子空间记为Vh×Wh⊂V×W, 它是拟一致剖分Th下的k (k≥1)阶的Raviart-Thomas空间[10], 对R-T空间, 将利用以下结论:▽·υhWh(∀υhVh).设Qh为L2投影算子,则有假设1<q<∞, 对于任意的φL2(Ω)或者φ(L2(Ω))2, L2投影算子具有如下的逼近性质：同时利用标准混合有限元空间的Fortin投影算子Πh:(H1(Ω))2Vh, 使得对任意的qH(div,Ω),有对任意的qH(div,Ω), 投影算子Πh有如下的逼近性质：对于空间Wh和Vh, 具有逆估计(w Wh, υVh).设p=-K▽u, 则有κp=-▽u. 现在, 定义方程(1)的弱形式如下:求(u,p)W×V满足设Δt>0,N=T/Δt,N+,tn=nΔt,tN=T,n=0,1,…,N. 为了简便起见, 引入下面记号: 对方程(8)离散化, 可得(whWh,n≥1),接下来定义一椭圆混合投影, 将方程(8)的解(u,p)通过椭圆混合法投影到有限维空间(Rhu, Rhp)Wh×Vh,满足下列方程由方程(8)和方程(12), 得到误差方程为了后面的理论分析,给出以下引理.引理1[21]199 对于1≤r≤k+1,2≤q<∞,tJ,有引理2[21]200 对于1≤r≤k+1,2≤q<∞,tJ,有引理3[13]389 对于1≤r≤k+1,2≤q<∞,tJ,有下面将得到全离散混合有限元解和椭圆混合法投影之间的超收敛现象.引理4[24] 已知g是剖分Th上的逐段分片光滑函数, 如果是g(u)在剖分Th的每一个元上的平均值, 且‖▽g‖0,∞≤M, 则为了分析方便, 记αn=un-Rhun,γn=pn-Rhpn,δn=Qhun-Rhun.引理5 已知Wh×Vh是混合有限元离散格式(9)～(11)的解,(Rhun,Rhpn)Wh×Vh是它们的椭圆混合投影, 假设条件(A1)～(A3)成立, 且有那么当k≥1, Δt充分小时, 存在不依赖于h的常数C, 使得C(hk+2+Δt2).证明方程(13)可写为:(▽Wh),(υhVh).由方程(8)可得(κpn+1,υh)-(▽·υh,un+1)=0 (υhVh).令式(17)减去式(10)和式(15), 易得(▽(T1,wh)+(T2,wh)+(T3,wh) (whWh),其中.式(11)与式(18)相减并利用式(16)得到(κζn+1,υh)-(▽·υh, ξn+1)=0(υhVh).注意到,于是将式(20)改写为(κ∂tζn,υh)-(▽·υh,∂tξn)=0(υhVh).分别在式(19)、(21)中取检验函数然后相加,得到(T1,∂tξn)+(T2,∂tξn)+(T3,∂tξn).式(22)两端同乘以2Δt并对t从1到l-1(1<l<N)求和,可得}.接下来利用文献[12]185-187中引理6的证明方法, 可获得方程的全离散解和椭圆混合法投影之间的超收敛结果(式(14)). 进一步, 利用三角不等式、引理1～引理3及引理5可获得混合有限元的误差估计.定理1 如果条件(A1)～(A3)成立,Wh×Vh是混和有限元方程(9)～(11)的解, 且初始函数,则当Δt充分小时, 存在不依赖于h的常数C, 使得C(hk+1+Δt2).本节构造了非线性双曲型方程(1)的全离散两网格混合有限元格式.对区域Ω进行2个拟一致三角形网格剖分TH和Th,得到有限维空间WH×VH(⊂Wh×Vh).此算法可以分为2步进行: 首先在粗网格TH上解1个非线性问题(即原问题); 然后在细网格Th上解1个线性问题(即原问题线性化). 算法如下:第1步：在粗网格TH上求解非线性问题：求(uH, pH)(WH×VH)，满足(▽VH),(wHWH,n≥1),(▽VH,n≥1).第2步：在细网格Th上求解线性问题: 求(Wh×Vh)，满足(▽Vh),(whWh, n≥1),(▽Vh, n≥1).首先估计‖‖0,p.引理6 设(uH, pH)WH× VH是粗网格上的解, 条件(2)～(4)成立, 且有那么对1≤n≤N, 2≤q<∞, Δt充分小时, 存在不依赖于H 的常数C, 满足证明利用三角不等式、逼近性质(5)、引理2、引理5及逆估计(7), 易得到式(29).定理2 已知Wh×Vh是方程(27)、(28)的解, 如果条件(2)～(4)成立, 取初始函数,那么存在与h和Δt无关的C,使得C(hk+1+H2k+2+Δt2).证明令n=un-Qhun 和n=pn-Πhpn. 分别将式(17)、(18)减去式(27)、(28), 得到误差方程:(▽,(κωn+1,υh)-(▽·υh,μn+1)=-(κn+1,υh),其中f .注意到于是将式(33)改写为(κ∂tωn,υh)-(▽·υh,∂tμn)=-(κ∂tn,υh).将方程(32)和方程(34)中的检验函数分别替换成wh=∂tμn和, 然后相加得到(F1,∂tμn)-(κ∂t).式(35)两边同乘以2Δt, 对t从1到l-1(1<l<N)求和, 得(κ∂t}.对式(36)左端进行估计. 由初始条件(30), 得到在式(33)中, 当n=0, υh=ω1时, 易得ω1=0. 进而有以下估计(‖ωl‖2+‖ωl-1‖2).下面估计方程(36)的右端，有‖‖2}.对于F1中的每一项, 利用逼近性质(5)、引理4和引理6, 可以得到‖‖2),C‖‖·‖∂tμn‖≤C(h2k+2+‖μn‖2+‖‖2),C(H4k+4+‖‖2).由式(40)～(42), 得到F1的估计如下:‖μn‖‖‖2).接下来, 利用Fortin投影算子性质(6), 有n-(‖∂tn-‖+‖‖)·‖‖≤因此, 结合式(37)～(39)、(43)、(44), 可得式(36)的估计:‖‖2+‖ωl‖2+‖ωl-1‖2≤C{Δt4+h2k+2+H 4k+4+‖μn‖‖ωn‖‖‖2+‖tt(·,t)‖2dt}.在式(45)两边同时加上‖μl‖, 并使用不等式利用离散的Gronwall引理可得C{Δt4+h2k+2+H 4k+4}.最后, 由逼近性质(5)、式(6)以及三角不等式，式(31)成立.考虑非线性双曲型方程问题其中由方程(46)的精确解u(x,t)=sin(πx1)sin(πx2)sin t唯一确定.首先对区域Ω进行网格剖分. 在这里对Ω进行三角形单元划分, 采用均匀网格步长(分别取为h={1/16,1/64,1/256}). 使用混合有限元法计算方程(9)～(11)的解, 求解时需要用到非线性牛顿迭代, 如果取步长h=1/256, 则需要计算65 536个点的近似解(uh,ph).使用本文的两层网格算法, 根据定理2, 选取H =O(h1/2)作为粗网格上的步长,用非线性迭代格式(23)～(25)计算出粗网格解(uH, pH), 然后在细网格求解线性问题(26)～(28)，得到两层网格解h), 并使h)≈(uh,ph).由表1和表2可知, 两网格法得到的数值解与直接法求得的结果几乎一致, 同时通过比较计算时间t(利用MATLAB软件的运行时间)可知, 两网格法提高了计算效率, 当计算规模较大的时候, 更能体现两网格法的优势. 这些结果和理论分析的结果一致.该方法简单有效, 我们可以知道当粗网格十分粗时, 即粗网格的网格数比细网格的网格数小得多, 不会影响细网格上有限元方法解的精度, 这样可以将大规模的计算问题转化成小规模问题进行求解.【相关文献】[1] WIRZ H J,SCHUTTER F D,TURI A. 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有限元收敛问题有限元方法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程领域中的结构分析、流体力学等问题。
在应用有限元方法时，一个重要的问题就是如何判断所得的数值解是否收敛于真实解。
这就涉及到有限元收敛问题。
有限元收敛问题是指当有限元网格逐步细化时，所计算的数值解是否趋近于真实解的问题。
在工程实际中，由于计算资源的限制，无法使用无限细的网格进行计算，因此需要通过有限的网格逼近真实解。
有限元收敛问题的解决方法对于保证计算结果的准确性和可靠性非常重要。
有限元收敛问题的研究主要集中在两个方面：网格收敛和数值解收敛。
网格收敛是指当有限元网格逐渐细化时，所计算的数值解是否趋近于真实解。
在有限元方法中，通常将物理问题的连续域离散化为有限元网格，通过在网格节点上的逼近函数来近似解。
当网格足够细时，逼近函数可以较好地近似真实解，从而保证数值解的准确性。
网格收敛问题的研究主要涉及网格剖分的优化和逼近函数的选择。
数值解收敛是指在有限元网格固定时，所计算的数值解是否趋近于真实解。
在有限元方法中，通常采用数值积分对方程进行离散化，然后通过求解线性方程组来得到数值解。
当离散化的步长足够小时，数值解可以较好地逼近真实解。
数值解收敛问题的研究主要涉及数值积分的精确性和线性方程组求解的准确性。
为了判断有限元方法是否收敛，通常采用收敛率作为评判标准。
收敛率是指数值解与真实解之间的误差随着网格逐渐细化的变化率。
当收敛率满足一定条件时，可以认为有限元方法是收敛的。
为了提高有限元方法的收敛性，需要注意以下几点：1.合理选择网格剖分：网格剖分应根据问题的特点进行合理选择，使得在关键区域网格足够细，以保证数值解的准确性。
2.选择适当的逼近函数：逼近函数的选择应考虑到问题的特点，以保证逼近函数在整个计算域内都有较好的逼近性。
3.提高数值积分的精度：数值积分的精度对数值解的收敛性有很大影响，可以采用高精度的数值积分方法来提高收敛性。
4.优化线性方程组求解：线性方程组的求解是有限元方法中的一个关键步骤，可以采用一些高效的求解算法来提高求解的准确性和稳定性。
有限元法的收敛性有限元法是一种数值分析方法，因此应考虑收敛性问题。
有限元法的收敛性是指：当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于精确解。
有限元的收敛条件包括如下四个方面：1）单元内，位移函数必须连续。
多项式是单值连续函数，因此选择多项式作为位移函数，在单元内的连续性能够保证。
2）在单元内，位移函数必须包括常应变项。
每个单元的应变状态总可以分解为不依赖于单元内各点位置的常应变和由各点位置决定的变量应变。
当单元的尺寸足够小时，单元中各点的应变趋于相等，单元的变形比较均匀，因而常应变就成为应变的主要部分。
为反映单元的应变状态，单元位移函数必须包括常应变项。
3）在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。
一般情况下，单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。
形变位移与物体形状及体积的改变相联系，因而产生应变；刚体位移只改变物体位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移是不产生变形的位移。
空间一个物体包括三个平动位移和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。
由于一个单元牵连在另一些单元上，其他单元发生变形时必将带动单元做刚体位移，由此可见，为模拟一个单元的真实位移，假定的单元位移函数必须包括刚体位移项。
4）位移函数在相邻单元的公共边界上必须协调。
对一般单元而言，协调性是指相邻单元在公共节点处有相同的位移，而且沿单元边界也有相同的位移，也就是说，要保证不发生单元的相互脱离开裂和相互侵入重叠。
要做到这一点，就要求函数在公共边界上能由公共节点的函数值唯一确定。
对一般单元，协调性保证了相邻单元边界位移的连续性。
但是，在板壳的相邻单元之间，还要求位移的一阶导数连续，只有这样，才能保证结构的应变能是有界量。
总的说来，协调性是指在相邻单元的公共边界上满足连续性条件。
前三条又叫完备性条件，满足完备条件的单元叫完备单元；第四条是协调性要求，满足协调性的单元叫协调单元；否则称为非协调单元。
有限元的性质和收敛性一、有限元解的收敛准则有限单元法作为求解数学微分方程的一种数值方法可以认为是里兹法的一种特殊形式，不同在于有限单元法的试探函数是定义于单元（子域）而不是全域。
因此有限元解的收敛性可以与里兹法的收敛性对比进行讨论。
里兹法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，如果试探函数满足完备性和连续性要求，当试探函数的项数n--->∞时，则Ritz法的近似解将趋近于数学微分方程的精确解。
现在要研究什么是有限元解的收敛性提法？收敛的条件又是什么？在有限单元法中，场函数的总体泛函是由单元泛函集成的。
如果采用完全多项式作为单元的插值函数（即试探函数），则有限元解在一个有限尺寸的单元内可以精确地和真正解一致。
但是实际上有限元的试探函数只能取有限项多项式，因此有限元解只能是真正解的一个近似解答。
有限元解的收敛准则需要回答的是，在什么条件下当单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真正解。
下面仍以含有一个待求的标量场函数为例，微分方程是：A(φ) = L(φ) + b = 0 (1.1)相应的泛函是：（1.2）假定泛函∏中包含φ和它的直至m阶的各阶导数，若m阶导数是非零的，则近似函数至少必须是m次多项式。
若取p次完全多项式为试探函数，则必须满足p≥m，这时及其各阶导数在一个单元内的表达式如下：......（1.３）由上式可见，由于是p次完全多项式，所以它的直至m阶导数的表达式中都包含有常数项。
但单元尺寸趋近于零时，在每一单元内及其直至m阶导数将趋近于它的精确值，即趋近于常数。
因此，每一个单元的泛函有可能趋于它的精确值。
如果试探函数还满足连续性要求，那么整个系统的泛函将趋近于它的精确值。
有限元解就趋近于精确解，也就是说解是收敛的。
从上述讨论可以得到下列收敛准则：准则1完备性要求。
如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。
或者说试探函数中必须包括本身和直至m 阶导数为常数的项。
《两类方程的稳定化时间间断Galerkin时空有限元方法》篇一一、引言在科学计算和工程分析中，有限元方法是一种广泛应用的数值技术。
对于处理具有复杂边界条件和物理特性的问题，尤其是那些涉及时间依赖性问题的动态系统，时空有限元方法显得尤为重要。
本文将重点介绍两种方程——抛物型方程和双曲型方程——的稳定化时间间断Galerkin时空有限元方法。
二、抛物型方程的稳定化时间间断Galerkin时空有限元方法抛物型方程常用于描述物理过程中能量的传递和扩散现象。
对于这类问题，稳定化时间间断Galerkin方法能够有效地处理时间上的不连续性和空间上的变化。
首先，我们构建抛物型方程的弱形式，然后利用Galerkin方法进行离散化处理。
在时间方向上，采用间断Galerkin方法，通过引入稳定化项来控制数值解的震荡和扩散。
在空间方向上，利用有限元方法进行离散化，以处理复杂的几何形状和边界条件。
三、双曲型方程的稳定化时间间断Galerkin时空有限元方法双曲型方程主要用于描述物理过程中的波动现象，如声波、电磁波的传播等。
对于这类问题，我们同样采用稳定化时间间断Galerkin时空有限元方法。
在离散化过程中，我们需要在时间方向上处理波动的传播特性，以及在空间方向上处理复杂的几何形状和边界条件。
通过引入稳定化项，我们可以有效地控制数值解的震荡和扩散，保证解的稳定性和准确性。
四、数值实验与结果分析为了验证所提方法的准确性和有效性，我们进行了大量的数值实验。
通过与经典方法和实际物理问题的比较，我们发现所提方法在处理抛物型和双曲型方程时均表现出良好的稳定性和准确性。
特别是在处理具有复杂边界条件和物理特性的问题时，所提方法能够有效地捕捉到解的变化趋势和细节特征。
五、结论本文介绍了两类方程——抛物型方程和双曲型方程——的稳定化时间间断Galerkin时空有限元方法。
通过引入稳定化项，我们有效地控制了数值解的震荡和扩散，保证了解的稳定性和准确性。
若干非线性双曲方程解的全局稳定性与爆破问题【摘要】：双曲方程是偏微分方程理论的一个重要的研究内容,对它的研究必将促进偏微分方程理论和其它数学分支的进一步发展.本文的研究内容主要有两个.一是应用势井理论和(?)Sobolev空间理论研究具非线性阻尼和源项及粘弹性项的波动方程的解的爆破.二是应用Lyapunov能量法,结合势井理论研究波动方程的解的全局存在性和能量衰减问题.论文分为三章.第一章是引言,主要介绍本文的研究背景,国内外研究现状及本文的主要结果.第二章主要研究一些双曲系统的解的爆破,解的局部存在以及全局存在性.主要包括粘弹性波动方程的Cauchy问题,边界上带有分数阶耗散项的波动方程,以及各向异性的波动方程.第二章第一节考虑以下的粘弹性波动方程的柯西问题：其中m≥2,p2.函数g:R+→R+是G1类函数,满足以下假设初值u0,u1和参数m,p满足以下假设带有紧支集.(G3)当n≥3时,2p2(n-1)/(n-2);当n=1,2时,p2.假设系统具有负的初始能量,系统中的核函数和参数满足适当的条件时,我们分别得到了解在有限时刻爆破和全局存在的结论.第二章第二节讨论以下初边值问题其中Ω是Rn(n≥1)中的具有光滑边界aQ的有界区域.边界由两部分组成：(?)Ω=Г0∪Г1,Г0∩Г1=(?),其中r0与r1在(?)Ω上是可测的,带有(n-1)-维Lebesgue测度λn-1(Γi),i=0,1.v 是(?)Ω上的单位外法向量.函数f(u)=｜u｜p-2u是多项式源项,p2.核函数是弱奇次核,其中0α1,β,b0均为常数.系统中的卷积项代表u的分数阶导数(Caputo意义下).假设系统具有正的初始能量,系统中的参数α,β,p满足适当的条件时,我们借助势井理论和凸分析的方法得到了解在有限时刻爆破的结论.第二章的第三节研究了以下各向异性的波动方程其中pi≥2,i=1,...,n,T0,Ω是Rn(n≥1)中的有界开子集,带有光滑边界(?)Ω,f(u)=u|u|σ-2,σ1假设参数pi(i=1,2,…,n),σ满足一定的条件下：我们证明了局部解的存在性和带负初始能量的解的爆破.第三章研究论文的第二个主要内容：带有非线性阻尼和源项的波动方程解的全局存在性和能量衰减问题.第三章第一节研究如下的带边界阻尼和源项的粘弹性波动方程这里m≥2,p≥2.Ω是Rn(n≥1)中的有界区域,带有光滑边界(?)Ω,且(?)Ω=Г0∪Г1,Г0∩Г1=(?),其中Γ0和r1在(?)Ω上是可测的,带有(n-1)-维Lebesgue测度λn-1(Γi),i=0,1.v是(?)Ω上的单位外法向量.g是一个正的核函数.当核函数具有一般的衰减性,且与参数满足一定的条件时,我们利用势井理论和Lyapunov能量法得到了全局解的存在性和能量具有与核函数一致衰减率的结论.第三章第二节研究如下的拟线性波动方程其中Ω是RN中的有界区域,带有光滑边界(?)Ω.做如下假设：函数阻尼项具有形式源项为其中参数p满足：当N=1,2时,p≥1;当N≥3时,1≤p≤N/N-2.非线性应变项σ(s)满足：对任意的s≥0,其中Ai,bi,di(i=1,2)都是非负常数,且b1+b20.利用微分不等式和解的延拓原理,通过讨论非线性应变项,阻尼项,源项的增长阶的关系,我们得到了上述系统整体解存在的几个新的充分条件.第三章第三节研究如下耦合的非线性波动方程其中m,r≥1,Ω是RN中的有界区域,带有光滑边界(?)Ω.全文做如下假设：非线性应变项σ(s)∈C1满足：且对任意的s≥0,其中b1,b2都是非负常数,且b1+b20.源项f1,f2和初值u0,u1,u0,u1满足以下假设：其中其中a,b0,p≥3.初值满足利用微分不等式和解的延拓原理,通过讨论非线性应变项,阻尼项,源项的增长阶的关系,我们得到了上述耦合系统整体解存在的几个新的充分条件.【关键词】：波动方程全局存在粘弹性爆破稳定【学位授予单位】：山西大学【学位级别】：博士【学位授予年份】：2011【分类号】：O175.27【目录】：中文摘要6-10ABSTRACT10-14第一章引言14-24第二章带有非线性阻尼和源项的波动方程的解的爆破24-472.1带有粘弹性项的柯西问题解的爆破24-322.2边界上带分数阶耗散的波动方程解的爆破32-392.3各向异性的波动方程局部解的存在与解的爆破39-47第三章几类带有阻尼和源项的非线性波动方程解的全局存在性与稳定性47-673.1边界上带有阻尼和源项的粘弹性波动方程解的稳定47-563.2一类非线性波动方程解的全局存在性56-613.3一类耦合非线性波动方程解的全局存在性61-67参考文献67-74攻读博士学位期间获得的科研成果74-75致谢75-76个人简况及联系方式76-78 本论文购买请联系页眉网站。
