2012年广东高考理科数学考试说明

2012年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．=（）分）（2012?广东）设i是虚数单位，则复数1．（5D．﹣6﹣5i6﹣5iC．﹣6+5iA．6+5iB．2．（5分）（2012?广东）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则?M=U （）A．UB．{1，3，5}C．{3，5，6}D．{2，4，6}，，，则向量，=3．（5分）（2012?广东）若向量（）A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）4．（5分）（2012?广东）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）D．C．B．Ay=ln（x+2）．，则z=3xx，y满足约束条件+y的最（5．（5分）2012?广东）已知变量大值为（）A．12B．11C．3D．﹣16．（5分）（2012?广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）81π．．57πDCA．12πB．45π广东）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其2012?分）（7．（5）个位数为0的概率是（．．．．DCBA，若=5分）（2012?广东）对任意两个非零的平面向量和，定义○8．（，且，都||＞0，与的夹角○○和≥平面向量、满足||中，则）在集合=（○D．C．A．B．1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）9．（5分）（2012?广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为．3的系数为x分）5（2012?广东）．（用数字作答）中10．（2﹣4，则=1，a=aa分）（2012?广东）已知递增的等差数列{}满足a．11（52n31a=．n3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为（5分）2012?广东）曲线y=x．．12（13．（5分）（2012?广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为．中，xOy（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系广东）．（5分）（2012?14，为参数）（t（与曲线CC的参数方程分别为为参数）和θ21则曲线C与C的交点坐标为．2115．（2012?广东）（几何证明选讲选做题）如图，圆O中的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则图PA=．分．解答须写出文字说明、证明过程和80三、解答题：本大题共6小题，满分演算步骤．）∈Rω＞0，xf（x）=2cos（ωx+）（其中（16．（12分）2012?广东）已知函数．10π的最小正周期为的值；ω（1）求）的+β）=，求cos（α5β5α0，]，f（+）=﹣，f（﹣∈）设（2α，β[值．位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图502012?广东）某班．（13分）（17，）70，80），[60，70，[，）[如图所示，其中成绩分组区间是：40，50，[5060）．100]，90），[90[80，的值；）求图中x（1（含分以上2该人中成绩在90人，分的学生中随机选取从成绩不低于2（）802的数学期望．，求分）的人数记为90ξξ为矩形，底面ABCDP﹣ABCD中，13分）（2012?广东）如图所示，在四棱锥18．（．⊥平面BDEPC上，PCPA⊥平面ABCD，点E在线段；⊥平面PAC1）证明：BD（的正切值．A﹣PC﹣，求二面角2）若PA=1，AD=2B（1n+，=a+﹣21广东）设数列（2012?{a}的前n项和为S，满足2S19．（14分）1nnnn+*成等差数列．，aa，a+n∈N5，且321的值；）求a（11的通项公式；}2）求数列{a （n＜．n，有（3）证明：对一切正整数：C2012?20．（14分）（广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＞＞的离心率）的距离的最大0，2C，且椭圆上的点到点Q（．值为3的方程；）求椭圆C（122=1y+x：O与圆ny=1+mx：l使得直线，）n，m（M是否存在点上，C在椭圆）2（．相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．2﹣3（1+a∈B={xR|2x），xx，设分）21．（14（2012?广东）a＜1集合A={∈R|＞0}x+6a＞0}，D=A∩B．（1）求集合D（用区间表示）；32+6ax在D）+（=2xxf2（）求函数（）﹣31ax内的极值点．。

2012年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•广东）设i是虚数单位，则复数=（）A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i2．（5分）（2012•广东）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M=（）A．U B．{1，3，5} C．{3，5，6} D．{2，4，6}3．（5分）（2012•广东）若向量，向量，则=（）A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）4．（5分）（2012•广东）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=ln（x+2）B．C．D．5．（5分）（2012•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3D．﹣16．（5分）（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．12πB．45πC．57πD．81π0的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义○=，若平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都A．B．1C．D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）9．（5分）（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．10．（5分）（2012•广东）中x3的系数为_________．（用数字作答）11．（5分）（2012•广东）已知递增的等差数列{a n}满足a1=1，a3=a22﹣4，则a n=_________．12．（5分）（2012•广东）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为_________．13．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为_________．14．（5分）（2012•广东）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的参数方程分别为（t为参数）和（θ为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为_________．15．（2012•广东）（几何证明选讲选做题）如图，圆O中的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A作圆O的切线与O C 的延长线交于点P，则图PA=_________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2012•广东）已知函数（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．（1）求ω的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．17．（13分）（2012•广东）某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．18．（13分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．19．（14分）（2012•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，满足，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．20．（14分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．21．（14分）（2012•广东）设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．（1）求集合D（用区间表示）；（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．C3．A4. 解：A，y=ln（x+2）在（﹣2，+∞）上为增函数，故在（0，+∞）上为增函数，A正确；B，在[﹣1，+∞）上为减函数；排除BC，在R上为减函数；排除CD，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，排除D故选A5. 解：画出可行域如图阴影部分，由得C（3，2）目标函数z=3x+y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越大，z越大，由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11故选B6. C7. 解：个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与十位数有一个为奇数，一个为偶数，共有=45记：“个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数为0”为事件A，则A包含的结果：10，30，50，70，90共5个由古典概率的求解公式可得，P（A）=故选D8. 解：由题意可得•====．同理可得•====．由于||≥||＞0，∴n≥m 且m、n∈z．∴cos2θ=．再由与的夹角θ∈（0，），可得cos2θ∈（，1），即∈（，1）．故有n=3，m=1，∴•==，故选C．二、填空题：9．10. 解：由题意，的展开式的通项公式是Tr+1==x12﹣3r令12﹣3r=3得r=3所以中x3的系数为=20故答案为2011. 解：由于等差数列{a n}满足a1=1，，令公差为d所以1+2d=（1+d）2﹣4，解得d=±2又递增的等差数列{a n}，可得d=2所以a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1故答案为2n﹣112. 解：y′=3x2﹣1令x=1得切线斜率2所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1）即2x﹣y+1=0故答案为：2x﹣y+1=013. 解：当i=2，k=1时，s=2，；当i=4，k=2时，s=（2×4）=4；当i=6，k=3时，s=（4×6）=8；当i=8，k=4时，不满足条件“i＜8”，退出循环，则输出的s=8故答案为：814. 解：在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的普通方程分别为y2=x，x2+y2=2．解方程组可得，故曲线C1与C2的交点坐标为（1，1），故答案为（1，1）．15.解：连接OA，∵圆O的圆周角∠ABC对弧AC，且∠ABC=30°，∴圆心角∠AOC=60°．又∵直线PA与圆O相切于点A，且OA是半径，∴OA⊥PA，∴Rt△PAO中，OA=1，∠AOC=60°，∴PA=OAtan60°=故答案为：三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．解：（1）由题意，函数（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π所以ω==，即所以（2）因为，，分别代入得及∵∴∴解：（1）由30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，得x=0.018（2）由题意知道：不低于8（0分）的学生有12人，9（0分）以上的学生有3人随机变量ξ的可能取值有0，1，2∴∴PA⊥BD∵PC⊥平面BDE∴PC⊥BD，又PA∩PC=P∴BD⊥平面PAC（2）设AC与BD交点为O，连OE∵PC⊥平面BDE∴PC⊥平面BOE∴PC⊥BE∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角∵BD⊥平面PAC∴BD⊥AC∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3∴OC=在△PAC∽△OEC中，∴∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为319. 解：（1）在2S n=a n+1﹣2n+1+1中，令n=1得：2S1=a2﹣22+1，令n=2得：2S2=a3﹣23+1，解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13又2（a2+5）=a1+a3解得a1=1（2）由2S n=a n+1﹣2n+1+1，得a n+2=3a n+1+2n+1，又a1=1，a2=5也满足a2=3a1+21，所以a n+1=3a n+2n对n∈N*成立∴a n+1+2n+1=3（a n+2n），又a1=1，a1+21=3，∴a n+2n=3n，∴a n=3n﹣2n；（3）（法一）∵a n=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1∴≤，∴+++…+≤1+++…+=＜；（法二）∵a n+1=3n+1﹣2n+1＞2×3n﹣2n+1=2a n，∴＜•，，当n≥2时，＜•，＜•，，…＜•，累乘得：＜•，∴+++…+≤1++×+…+×＜＜．20. 解：（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2椭圆上的点到点Q的距离=①当﹣b≤﹣1时，即b≥1，得b=1②当﹣b＞﹣1时，即b＜1，得b=1（舍）∴b=1∴椭圆方程为（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1∵|AB|=，点O到直线l距离∴=∵m2+n2＞1∴0＜＜1，∴当且仅当，即m2+n2=2＞1时，S△AOB取最大值，又∵解得：所以点M的坐标为或或或，△AOB的面积为．21. 解：（1）记h（x）=2x2﹣3（1+a）x+6a（a＜1）△=9（1+a）2﹣48a=（3a﹣1）（3a﹣9）当△＜0，即，D=（0，+∞）当，当a≤0，（2）由f'（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=0得x=1，a①当，f（x）在D内有一个极大值点a，有一个极小值点②当，∵h（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1≤0h（a）=2a2﹣3（1+a）a+6a=3a﹣a2＞0∴1∉D，a∈D∴f（x）在D内有一个极大值点a③当a≤0，则a∉D又∵h（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1＜0∴f（x）在D内有无极值点。

（一）集合1.集合的含义与表示（1）了解集合的含义，元素与集合的“属于”关系。

（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

2.集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义。

3.集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

（3）能使用韦恩（Venn）图表达两个简单集合间的关系及运算。

（二）函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）1.函数（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数。

(3)了解简单的分段函数，并能简单应用。

(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性含义。

(5)会运用函数的图像理解和研究函数的性质。

2．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景。

(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点。

(4)知道指数函数是一类重要的函数模型。

3．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

(2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点。

(3)知道对数函数是一类重要的函数模型。

(4)了解指数函数( ，且)与对数函数(a>0，且a 1)互为反函数。

4．幂函数(1)了解幂函数的概念。

(2)结合函数的图像，了解它们的变化情况，5 ．函数与方程（1）结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数。

（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。

正视图侧视图俯视图第6题图.2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.2012年12月26日星期三1．设i 为虚数单位,则复数56i i-=( )A.65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i --【解析】D ；()5656566511i ii i i i--+===----,故选D ．2．设集合{1,23,4,5,6}U =，,{1,2,4}M =,则M U =ð( ) A ．U B ．{1,3,5} C ．{3,5,6} D ．{2,4,6}【解析】C ；送分题,直接考察补集的概念,{}M 3,5,6U =ð,故选C ．3．若向量(2,3)B A = ,(4,7)C A = ,则BC =( )A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--【解析】A ；考察向量的运算法则,()()()2,34,72,4BC BA AC =+=+--=--,故选A ． 4．下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A ．ln(2)y x =+B ．y =C ．1(2xy =D ．1y x x=+【解析】A ；函数ln(2)y x =+的图像可由函数ln y x =的图像向左平移2个单位得到,显然满足题意.5．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为( ) A ．12 B ．11 C ．3 D ．1- 【解析】B ；画出可行域如图所示,将“三角”区域的角点代入比较可知,当3,2x y ==时,3z x y =+取得最大值为11. 6．某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π 【解析】C ；三视图对应的实物图为“上部分为圆锥,下部分为圆柱”的几何体,易得圆锥的高为4,所以2213435573V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=.7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为0的概率是( ) A ．49B ．13C ．29D ．198．对任意两个非零的平面向量,αβ,定义αβαβββ⋅=⋅ .若平面向量,a b 满足0a b ≥> ,a 与b的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b和b a都在集合|2nn Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b = ( ) A ．12B ．1C ．32D ．52【解析】C ；因为||cos cos 1||b a b b a a a a θθ⋅==≤<⋅,且a b和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以12b a = ,||12cos ||b a θ= ,所以2||cos 2cos 2||a ab b θθ==<,且22cos 1a b θ=> ,所以12a b <<,故有32a b = ,选C .【另解】C ；1||cos 2||k a a b b θ==,2||cos 2||k b b a a θ==,两式相乘得212cos 4k k θ=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,12,k k 均为正整数,于是cos 122θ<=<,所以1224k k <<,所以123k k =,而0a b ≥> ,所以123,1k k ==,于是32a b = ,选C .二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9．不等式|2|||1x x +-≤的解集为___________． 【解析】1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦；“|2|||x x +-”的几何意义为“点x 到2-和0的距离之差”,画出数轴,先找出临界“|2|||1x x +-=的解为12x =-”,然后可得解集为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.10．261()x x+的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）【解析】20；通项()621231661rrrr rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令1233r -=得 3r =,此时对应系数为3620C =.11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =【解析】21n -；设公差为()0d d >,依题意可得()21214d d +=+-, 解得2d =(2-舍去),所以21n a n =-.12．曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________． 【解析】21y x =+；求导得231y x '=-,1|2x y ='=,由直线的点斜式 方程得()321y x -=-,整理得21y x =+.13．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为____．【解析】8；第一次循环得2,4,2s i k ===;第二次循环得4s =,6,3i k ==;第三次循环得第17题图B.第15题图AC PO8,8,4s i k ===,此时不满足8i <,输出8s =.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中x O y 中,曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎩⎨⎧==t y t x （t 为参数）和⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 2cos 2y x (θ为参数),则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为 .【解析】()1,1；对应的普通方程分别为y =222x y +=,联立得交点坐标为()1,1.15. (几何证明选做题)如图,圆O 的半径为1,,,A B C 是圆上三点,且满足︒=∠30ABC ,过点A 作圆O 的切线与O C 的延长线交 于点P ,则PA = ．,OA AC ,易得60,30AOC CAP ∠=︒∠=︒,在 直角三角形O A P 中,根据题中的数量关系易得PA =.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()2cos()6f x x πω=+(其中R x ∈>,0ω)的最小正周期为π10．(Ⅰ) 求ω的值；(Ⅱ) 设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,56(535f πα+=-,516(5)617f πβ-=,求cos()αβ+的值．【解析】(Ⅰ)由210ππω=得15ω=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知1()2cos()56f x x π=+,由56516(5,(535617f f ππαβ+=--=得3sin 5α=,8cos 17β=.又,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以4cos 5α=,15sin 17β=,所以324513cos()cos cos sin sin 858585αβαβαβ+=-=-=-17．（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所 示,其中成绩分组区间是:[)[)40,50,50,60,[)[)60,70,70,80,[)[]80,90,90,100.(Ⅰ) 求图中x 的值;(Ⅱ) 从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ,求ξ的数学期望． 【解析】(Ⅰ) 由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯= 解得0.018x =.(Ⅱ)成绩不低于80分的学生人数有()500.0180.0061012⨯+⨯=人. 成绩在90分以上（含90分）的人数有500.006103⨯⨯=人.P ABCDE第18题图随机变量ξ的可能取值为0,1,2,且 ()292126011C P Cξ===,()11392129122C C P Cξ===,()232121222C P Cξ===,所以ξ的分布列为ξ的数学期望0121122222E ξ=⨯+⨯+⨯=. 18．（本小题满分13分）如图所示,在四棱锥P A B C D -中,底面A B C D 为矩形,P A ⊥平面A B C D ,点E 在线段P C上,P C ⊥平面BD E ．(Ⅰ) 证明:B D ⊥平面PAC ；(Ⅱ) 若1PA =,2AD =,求二面角B P C A --的正切值．【解析】(Ⅰ)因为P A ⊥平面A B C D ,BD ⊂平面A B C D , 所以PA BD ⊥,又P C ⊥平面BD E ,BD ⊂平面BD E ,所以PC BD ⊥,因为PA PC P = ,所以B D ⊥平面PAC .(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知B D ⊥平面PAC ,所以B D A C ⊥,又底面A B C D 为矩形,从而底面A B C D 为正方形,设AC BD O = ,连结O E ,则,,OE PC BO PC ⊥⊥所以B E O ∠为二面角B P C A --的平面角, 在R t P A C ∆中,由等面积法可得112233PA AC O E PC ⋅=⋅==,又BO =在R t B O E ∆中,tan 3B O B E O O E∠==所以二面角B P C A --的正切值为3．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=-+,*n N ∈,且123,5,a a a +成等差数列.(Ⅰ) 求1a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211132na a a ++⋅⋅⋅+<.【解析】(Ⅰ)因为11221n n n S a ++=-+,当1n =时,1223S a =-,即2123a a -=,当2n =时,2327S a =-,即321227a a a --=,又()21325a a a +=+联立上述三个式子可得11a =. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知25a =当2n ≥时,由11221n n n S a ++=-+得1221n n n S a -=-+,两式相减整理得132nn n a a +=-,即11312222n n n n a a ++=⋅+,即11311222n n n n a a ++⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭,又2121311222a a ⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭, 所以12nn a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为首项为113122a +=,公比为32的等比数列, 所以133312222n nnn a -⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以32n n n a =-. (Ⅲ) 当1n =时,11312a =<显然成立,当2n =时,121113152a a +=+<显然成立.当3n ≥时,32(12)2n n n n n a =-=+-12211122222n n n nn n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+-122111222n n n n nC C C --=+⋅+⋅++⋅ 2222(1)n C n n >⋅=-又因为2522(21)a =>⨯⨯-,所以2(1),2n a n n n >-≥, 所以11111()2(1)21na n n n n<=---所以12311111111111131(1)1(1)2234122na a a a n nn++++<+-+-++-=+-<- .20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221(0)x y a b ab+=>>的离心率e =，且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程(Ⅱ) 在椭圆C 上,是否存在点(,)M m n ,使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点,A B ,且O AB ∆的面积最大？若存在,求出点M 的坐标及对应的O AB ∆的面积；若不存在,请说明理由.【解析】(Ⅰ)依题意2223c e c a a==⇒=,所以222213b ac a =-=,设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点,则22221x y ab+=,所以222222(1)3y x a a y b=-=-,所以||PQ ===当1y =-时,||PQ3=,可得a =所以1,b c ==故椭圆C 的方程为2213xy +=.(Ⅱ)[韦达定理法]因为(,)M m n 在椭圆C 上,所以2213mn +=,2233m n =-,设11(,)A x y ,22(,)B x y由2211m x ny x y +=⎧⎨+=⎩，得2222()210m n x m x n +-+-=所以22222222244()(1)4(1)8(1)0m m n n n m n n n ∆=-+-=+-=->,可得21n <， 由韦达定理得12222m x x m n+=+,212221nx x m n-=+所以2212121212222111()1mx mx m x x m x x my y n n n m n---++-=⋅==+所以||AB ====设原点O 到直线A B 的距离为h ,则h =所以1||2O AB S AB h ∆=⋅=设221t m n=+,由201n <<,得22232(1,3)m n n +=-∈,所以,1(,1)3t ∈O AB S ∆==1(,1)3t ∈所以,当12t =时,OAB S ∆面积最大,且最大为12,此时，点M 的坐标为22⎛ ⎪⎝⎭或22⎛- ⎪⎝⎭或,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或22⎛-- ⎪⎝⎭. [垂径定理切入]因为点()n m P ,在椭圆C 上运动，所以2213mn +=,2233m n =-,圆心O 到直线1:=+ny mx l 的距离d =直线l 被圆O 所截的弦长为||AB ==所以1||2O AB S AB d ∆=⋅=,接下来做法同上.21．（本小题满分14分）设1a <，集合2{0},{23(1)60}A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>,D A B = . (Ⅰ) 求集合D (用区间表示）；(Ⅱ) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．【解析】(Ⅰ)由方程223(1)60x a x a -++=得判别式29(1)483(3)(31)a a a a ∆=+-=--因为1a <,所以30a -< 当113a <<时,0∆<,此时B R =,所以()0,D A ==+∞； 当13a =时,0∆=,此时{|1}B x x =≠,所以(0,1)(1,)D =+∞ ；当13a <时,0∆>,设方程223(1)60x a x a -++=的两根为12,x x 且12x x <,则 14x =,24x =,12{|}B x x x x x =<>或当103a <<时,123(1)02x x a +=+>,1230x x a =>,所以120,0x x >>此时,12(,)(,)D x x x =+∞)44=+∞当0a ≤时,1230x x a =≤,所以120,0x x ≤>此时,2(,))4D x =+∞=+∞.综上,1(0,),133(1)3(1)1(0,(),0443),04a a a D a a ⎧+∞<<⎪⎪⎪+-++=+∞<≤⎨⎪⎪+∞≤⎪⎩(Ⅱ) 2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a '=-++=--,1a <所以函数()f x 在区间[,1]a 上为减函数,在区间(,]a -∞和[1,)+∞上为增函数 当113a <<时,因为()0,D =+∞,所以()f x 在D 内的极值点为,1a ； 当13a =时,(0,1)(1,)D =+∞ ,所以()f x 在D 内有极大值点13a =；当103a <<时,)44D =+∞由103a <<,很容易得到144a <<<（可以用作差法，也可以用分析法）,所以()f x 在D 内有极大值点a ； 当0a ≤时,)4D =+∞由0a ≤,14>,此时()f x 在,内没有极值点.综上,当113a <<时,极值点为,1a ；当103a <≤时,极值点为a ；当0a ≤时,无极值点.。

2012年高考数学广东卷（理科）试题评析510700广东省数学特级教师贾国富2012年广东高考数学试题，遵循《2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）大纲》的规定：贯彻了有利于中学数学教学与有利于高校选拔人才相结合的原则，贯彻了“总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新”的指导思想。

试卷立足现行高中教材，在注重对基础知识和基本方法全面考查的同时，又突出了对数学思想、数学核心能力进行综合考查。

题具有以下鲜明特点。

1.题型稳定，保持风格2012年高考数学试题（广东卷理科）和2011年高考数学试题（广东卷理科）犹如双胞胎。

其考查的知识内容、题型和整体难易程度与2011年基本一致（对比分析表附后），保持了高考命题的连续性、稳定性。

这与考前传说的“命题小组成员基本没有变化”似乎十分合拍。

2.注重基础，重视教材试题注重了考查考生对“三基”的掌握情况与系统掌握教材相结合的原则，重视基础，紧扣教材，回归课本，无偏题怪题，这对中学数学教学有很好的导向作用，让战斗在高三第一线的师生从满天飞舞的资料与题海中解脱出来，做到求真务实，抓纲务本。

整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型。

如试卷的第1、2、3、4、5、6、7、10、11、12、14、15、16、17题等共85分的试题是由教材中的例、习题改编，分值占56.7﹪；所有这些题目考查的都是现行高中教材中最基本且重要的数学知识，所用到的方法也是通性通法，这样考查既体现了高考的公平公正，也对中学数学教学和复习回归课本，重视对基础知识的掌握起到好的导向作用，这对引导中学数学教学用好教材有一定的助推作用。

3.突出重点，考查全面2012年数学试题所考查知识点大致分布如下表：内容代数三角函数平面向量立体几何圆锥曲线概率统计导数分值49121023142319《考试大纲的说明》所指出的代数、三角函数、平面向量、圆锥曲线、立体几何、概率与统计、导数等是中学数学的主干知识，重点章节，其中的核心模块概率与统计、三角函数、立体几何、圆锥曲线、数列、函数与导数在今年试卷中解答题部分均得到较高的体现。

数学试卷 第1页（共42页）数学试卷 第2页（共42页）数学试卷 第3页（共42页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：柱体的体积公式V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高.锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设i 为虚数单位,则复数56ii-= （ ）A .65i +B .65i -C .65i -+D .65i -- 2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,2,4}M =,则U M =ð（ ）A .UB .{1,3,5}C .{3,5,6}D .{2,4,6}3. 若向量(2,3)BA =,(4,7)CA =,则BC = （ ） A .(2,4)-- B .(2,4) C .(6,10)D .(6,10)--4. 下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A .ln(2)y x =+ B.y =C .1()2x y =D .1y x x=+5. 已知变量x ,y 满足约束条件211 y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≤,则3z x y =+的最大值为（ ）A .12B .11C .3D .1- 6. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（ ）A .12πB .45πC .57πD .81π7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个 位数为0的概率是（ ）A .49 B .13C .29D .198. 对任意两个非零的平面向量α和β,定义=αβαβββ.若平面向量a ,b 满足||||0a b ≥＞,a 与b 的夹角π(0,)4θ∈,且a b 和b a 都在集合{|}2nn ∈Z 中,则=a b （ ）A .12B .1C .32D .52二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. （一）必做题（9～13题）9.不等式|2||1|x x +-≤的解集为_______.10.261()x x+的展开式中3x 的系数为_______.（用数字作答）11.已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =_______.12.曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为________.13.执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为________.（二）选做题（14—15题,考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）,则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.15.（几何证明选讲选做题）如图3,圆O 的半径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足30ABC ∠=,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA =_______.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数π()2cos()6f x xω=+（其中0ω>,x∈R）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设π[0,]2αβ,∈,56(5π)35fα+=-,516(5π)617fβ-=,求cos()αβ+的值.17.（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ,求ξ的数学期望.18.（本小题满分13分）如图5所示,在四棱锥P ABCD-中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若1PA=,2AD=,求二面角B PC A--的正切值.19.（本小题满分14分）设数列{}na的前n项和为nS,满足11221nn nS a++=-+,*n∈N,且1a,25a+,3a成等差数列.（Ⅰ）求1a的值；（Ⅱ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n,有1211132na a a+++＜.20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：22221x ya b+=（a b＞＞）的离心率e=且椭圆C上的点到点(0,2)Q的距离的最大值为3.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C上,是否存在点(,)M m n,使得直线l：1mx ny+=与圆O：221x y+=相交于不同的两点A、B,且OAB△的面积最大？若存在,求出点M的坐标及对应的OAB△的面积；若不存在,请说明理由.21.（本小题满分14分）设1a＜,集合{|0}A x x=∈＞R,2{|23(1)60}B x x a x a=∈-++＞R,D A B=.（Ⅰ）求集合D（用区间表示）；（Ⅱ）求函数32()23(1)6f x x a xax=-++在D内的极值点.数学试卷第4页（共42页）数学试卷第5页（共42页）数学试卷第6页（共42页）3 / 142012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)答案解析【答案】A【解析】(2,BC BA AC BA CA =+=-=-【提示】由向量(2,3)BA =，向量(4,7)CA =，知(2,AB =-，(4,7)AC =--，再由BC AC AB =-能求数学试卷 第10页（共42页） 数学试卷 第11页（共42页）数学试卷 第12页（共42页）||cos ||a b θ，||cos ||y b a θ，x ，，所以24cos ，所以cos θ5 / 143||||a b ，3||||b a ∈Z ， ||||0a b ≥>，所以||1||a b ≥，所以只能取||3||a b =，||1||3a b =， 则||cos 333||a ab b θ==⨯=．【提示】定义两向量间的新运算，根据数量积运算与新运算间的关系进行化简，再运用集合的知识求解即数学试卷 第16页（共42页） 数学试卷 第17页（共42页）数学试卷 第18页（共42页）60，所以60，因为直线是直角三角形，最后利用三角函数在直角三角形中的定义，结合题tan603=7 / 14（Ⅰ）10T =π=65f ⎛-= ⎝3sin 5α∴=16517f ⎛= ⎝cos β∴=110(0.054x f =-0.018x ∴=（Ⅱ）成绩不低于数学试卷 第22页（共42页） 数学试卷 第23页（共42页）数学试卷 第24页（共42页）PAPC P =，PAC ； ACBD O =，连结，OE ，BE ⊥BE ，所以(2,DB=-的一个法向量，(0,2,0)BC=，(2,0,1)BP=-设平面PBC的法向量为(,,)n x y z=202n BC yn BP x⎧==⎪⎨=-⎪⎩2，取(1,0,2)n=，的平面角为θ，2||||8510DB nDB n==所以二面角B PC A--的正切值为3．9 / 14数学试卷 第28页（共42页） 数学试卷 第29页（共42页）数学试卷 第30页（共42页）（Ⅰ）2n n S a +=17a a =⎧⎪-⇒⎨133n -，所以时，111a =1221122222n n n n n n n C C --++⋯++-122-1-1222222n n n n n n C C C +++>1)-数学试卷 第34页（共42页） 数学1||||sin 2OA OB AOB ∠的距离2d =，即12)(,)x +∞，2x <，所以2(,Ax B +∞=2)(,)x +∞，30a =>，所以2212339309339309(0,)(,)0,,44a a AB a a a a x x ⎛⎫⎛+--+++-++∞=+∞ ⎪⎪ ⎝⎝⎭=1<时，0∆<，则()0g x >恒成立，A B =(0,+∞综上所述，当0a ≤时，33a ⎫⎛++⎪⎪ ⎭⎝2)(,)x +∞的变化情况如下表：a极值即可．【考点】导数的运算，利用导数求函数的极值，解含参的一元二次不等式，集合的基本运算数学试卷第40页（共42页）数学。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科） 第I 卷 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 为虚数单位，则复数56ii-= （ ）A ．65i +B ．65i -C ．65i -+D ．65i -- 2．设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4}M =，则U M =ð（ ） A ．U B ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6} 3．若向量(2,3)BA = ，(4,7)CA =，则BC =（ ）A ．(2,4)--B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(6,10)- 4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．ln(2)y x =+B．y =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1y x x=+5．已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩；则3z x y =+的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．3D ．1- 6．某几何体的三视图如图1（ ）A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π 7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是（ ） A ．49B ．13C ．29D ．198．对任意两个非零的平面向量α和β，定义 αβαβ=ββ。

若平面向量a ，b 满足0≥>a b ，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且 a b 和 b a 都在集合{}2nn ∈Z 中，则= a b（ ）正视图侧视图俯视图图1A ．12B ．1C ．32D ．52第II 卷 非选择题（共110分）二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题（9—12题）9．不等式21x x +-≤的解集为 。

10．621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为 。

（用数字作答）11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a = 。

考试大纲解读高中数学适用地区：华南地区一．命题指导思想坚持“有助于高校科学公正地选拔人才，有助于推进普通高中课程改革，实施素质教育”的基本原则，体现普通高中课程标准的基本理念，以能力立意，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养。

发挥数学作为主要基础学科的作用，考查考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能。

二．命题思路2007—2011年广东高考试卷命题的总思路是：保持稳定，确保均衡，有效体现高中新课改要求；突出能力立意；注重考查知识与技能、过程与方法，注重考查学科基础知识和基本素质、及考生深入学习的潜能，注重对考生情感、态度、价值观的正确引导；设计有良好信度、效度的试卷，编制难度适中、区分度较高的试题．三．研析《考试大纲》，明确核心考查点2011年广东数学高考的形式还是既有必考内容，又有选考内容。

明确2012高考考什么？怎么考？考到什么程度？高考文理科的区别在哪里？研析考纲弄清楚这些问题，高考的目标就清新了，复习的针对性就更强了，提升数学成绩的可能性就更大了。

下面就引导浏览考纲中内容一些核心考查点：1.集合与常用逻辑用语：强调了集合在表述数学问题时的工具性作用，突出了“韦恩图”在表示集合之间的关系和运算中的作用。

虽然不要求判断一个命题是否是复合命题，以及用真值表判断复合命题的真假，但需要特别注意能够对含有一个量词的全称命题进行否定.每年的高考都会有一道选择题，估计今年将会是一道考查常用逻辑用语的选择题。

2.函数：对分段函数提出了明确的要求，要求能够简单应用;奇偶性只限于会判断具体函数的奇偶性;反函数问题只涉及指数函数和对数函数，既不要求掌握反函数的一般定义，也不要求会求某个具体函数的反函数;注意“三个二次”的问题，更加突出了函数的应用;注意函数零点的概念及其应用;需要注意一些函数与方程的综合问题，以及问题表述方式的变化。