河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高三下学期教学质量检测模拟数学(文)试题

2019届河北省石家庄市第二中学高三全仿真模拟数学（文）试题一、单选题1．设集合{|ln(1)}A x y x ==-，{}|2xB y y ==，则A B =I（ ）A ．[0,)+∞B ．(0,)+∞C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D【解析】先求出集合,A B ,然后再求交集. 【详解】集合{|ln(1)}={|1}A x y x x x ==->，{}{}|2=|0xB y y y y ==>.则()1+A B =∞I ， 故选：D 【点睛】本题考查指数函数的值域和对数函数的定义域以及集合求交集，属于基础题. 2．已知复数z 满足()12i z i -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】Q ()12i z i -=+，()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+，13213i,i,22z z =+=+13i,22z z =-的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.3．已知3log 4a =，1323b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a b c >>【答案】A【解析】由对数的运算性质和对数函数的单调性可得1c a >>，由指数函数的单调性可得1b <，从而可得答案. 【详解】由133331log =log 5log 4log 315c =>>=，即1c a >>. 又10322133b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1c a b >>> 故选：A. 【点睛】本题考查对数的运算性质和由指数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题.4．已知向量(1,4)a =r ，(2,)b m =-r ，若||||a b a b +=-r r r r，则m =（ ）A ．12-B ．12C ．-8D ．8【答案】B【解析】先求出向量a b +r r ,a b -r r的坐标，然后由||||a b a b +=-r r r r 可求出参数m 的值.【详解】由向量(1,4)a =r ，(2,)b m =-r，则()1,4a b m +=-+r r ，()3,4a b m -=-r r||a b +=r r||a b -=r r 又||||a b a b +=-r r r r12m =.故选：B 【点睛】本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.5．若()sin 22f x x x =-在[,](0)a a a ->上是增函数，则a 的最大值为（ ） A ．56πB ．12πC ．6π D ．3π 【答案】B【解析】根据辅助角公式，化简函数()f x 解析式，求得单调递增区间,再根据函数单调递增条件，进而求得a 的最大值．【详解】()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦当0k =时，函数()f x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. 又函数()f x 在[,]a a -上单调递增，所以a 的最大值为12π故选：B 【点睛】本题考查了辅助角公式的用法，正弦函数单调区间的求法，属于基础题．6．已知函数13,2,()log (1),2,x e x f x x x -⎧<=⎨+≥⎩若()1f a ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,2)B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(,2][1,)-∞-+∞U【答案】B【解析】利用分段函数，分段解()1f a ≥不等式，列出不等式组转化求解a 的范围即可； 【详解】当2a <时，1()1a f a e-=≥，得1a ≥，所以此时12a ≤<.当2a ≥时，()3()log +11f a a =≥，得2a ≥，所以此时2a ≥ 综上所述，满足()1f a ≥的a 的范围是1a ≥ 故选：B 【点睛】本题考查分段函数的应用，不等式的解法，考查分类讨论思想的应用．属于中档题. 7．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（ ）A．支出最高值与支出最低值的比是8：1B．4至6月份的平均收入为50万元C．利润最高的月份是2月份D．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同【答案】D【解析】根据折线统计图即可判断各选项,此类问题属于容易题．【详解】由图可知，支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，其比是5：1，故A错误，由图可知，4至6月份的平均收入为1(503040)403++=万元，故B错误，由图可知，利润最高的月份为3月份和10月份，故C错误，由图可知2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同，故D正确，故选：D．【点睛】本题考查了统计图的识别和应用，关键是认清图形，属于基础题．8．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A为圆O上一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，所得弦长AB大于圆O的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（）A．15B．14C．13D．12【答案】C【解析】由题意画出图形，求出满足条件的B的位置，再由测度比是弧长比得答案．【详解】解：设“弦AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件M ， 以点A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD ，则要满足题意点B 只能落在劣弧CD 上，又圆内接正三角形ACD 恰好将圆周3等分， 故1()3P M = 故选：C ． 【点睛】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB 的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．9．已知如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上异于其中点的动点，Q 为棱1AA 的中点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，以下关系中正确的是（ ）A ．1//m D QB ．1m Q B ⊥C ．//m 平面11BD Q D ．m ⊥平面11ABB A【答案】C【解析】根据正方体性质，以及线面平行、垂直的判定以及性质定理即可判断. 【详解】因为在正方体1111ABCD A B C D -中，11//D B BD ，且11D B ⊄平面BDP ，BD ⊂平面BDP ，所以11//D B 平面BDP ，因为11D B ⊂平面11B D P ，且平面11B D P I 平面BDP m =， 所以有11//m D B ，而1111D Q D B D =I ，则m 与1D Q 不平行，故选项A 不正确；若1m Q B ⊥，则111B Q D B ⊥，显然1B Q 与11D B 不垂直，矛盾，故选项B 不正确； 若m ⊥平面11ABB A ，则11D B ⊥平面11ABB A ，显然与正方体的性质矛盾，故D 不正确；而因为11D B ⊂平面11B D P ，m ⊄平面11B D P ， 所以有//m 平面11B D P ，所以选项C 正确，. 【点睛】本题考查了线线、线面平行与垂直的关系判断，属于中档题. 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】由三视图可知该几何体的直观图，从而求出几何体的体积． 【详解】由三视图可知几何体为边长为2的正方体的一半，做出几何体的直观图如图所示，故几何体的体积为12⨯23＝4． 故选B ．【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题．11．已知数列{}n a ，对任意*n N ∈，总有123232n a a a na n +++⋯+=成立，设()128(1)41n n nb n a +=--，则数列{}n b 的前10项的和为（ ）A ．2221B ．4041C ．2021D ．4241【答案】C【解析】将下标n 换为1n -与原式相减，得出数列{}n a 的通项公式，进一步得到111211)21(n n n b n +⎛⎫+ ⎪-+⎝-⎭=，然后再求和.【详解】数列{}n a ，对任意*n N ∈，总有123232n a a a na n +++⋯+=成立. 当1n =时，12a =.当2n ≥时，()()123123121n a a a n a n -+++⋯+-=-. 又123232n a a a na n +++⋯+=，两式相减可得2n na =， 即2n a n=，当1n =时也成立. ()()()11122288(1)(1)(1)24141414n n n n n n b n a n n n+++=-=-=----⋅111212(1)1n n n +=-⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭所以数列{}n b 的前10项的和为123101111111+1+335571921b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L .12012121=-= 故选：C 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用将下标n 换为1n -相减法，考查数列的并项求和，考查化简运算能力，属于中档题．12．已知P 是椭圆22221x y a b+=上一点，且在x 轴上方，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，1212F F =，直线2PF的斜率为-12PF F ∆的面积为心率为（ ） A ．13B ．35C．2D【答案】B【解析】利用三角形的面积求出P 的纵坐标，通过直线的斜率，求出P 的横坐标，然后求解a ，然后求解椭圆的离心率． 【详解】P 是双曲线上一点，且在x 轴上方，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，1212F F =,则6c =，()16,0F -，()26,0F12PF F ∆的面积为即1262P P S c y y =⨯⨯==所以P y =.又直线2PF的斜率为2066P PF P P y k x x -===---=5P x所以点(5,P ， 则113PF ==，27PF ==所以22113720a PF PF =+=+=，即10a = 所以63105c e a === 故选：B【点睛】本题考查椭圆的定义和焦点三角形的面积，属于基础题.二、填空题13．已知向量(3,)a b m ==r r，且b r 在a r 上的投影为－3，则向量a r 与b r的夹角为________． 【答案】23π【解析】根据题意，由b r 在a r上的投影为－3，||cos ,3,||2b a b a 〈〉=-=r r r r ，可得a b r r g 根据数量积的运算公式列式可得m,于是有b r 由向量数量积的计算公式可得cos a b r r〈，〉的值，结合a b r r〈，〉的范围即可得答案． 【详解】b r Q 在a r上的投影为－3， =3b cos a b ∴r r r 〈，〉-，又2?=6a a b a b cos a b ∴r r r r r r r ＝，＝〈，〉-，又133m,33m 6a b ⋅=⨯+∴+=-r r，解得m ＝－3，则(3,33)b =-r，61||6,cos ,,0,262||||a b b a b a b a b π⋅-∴=∴〈〉===-〈〉⨯r rr r r r r r r Q 剟，a ∴r 与b r的夹角为π.【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算公式，关键是掌握向量数量积的计算公式以及向量的坐标计算公式．14．已知递增数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，若141n n n b b S +=-，则n b =________. 【答案】21n -【解析】由条件可得()11411n n n b b S n --=->与141n n n b b S +=-两式相减可得{}n b 的关系，从而得到答案. 【详解】当1n =时，121141=41b b S b =--，得23b =. 由141n n n b b S +=-………①当1n >时，1141n n n b b S --=-……②由①－②得: ()11144n n n n n n n b b b b S b S +--==-- 又数列{}n b 为递增数列且11b =，所以1n b ≥ 所以得到114n n b b +--=所以数列{}n b 的奇数项是以11b =为首项，4为公差的等差数列, 设21,*n k k N =-∈,则()211414321n k b b k k n -==+-=-=-.数列{}n b 的偶数项是以23b =为首项，4为公差的等差数列, 设2,*n k k N =∈,则()23414121n k b b k k n ==+-=-=- 所以21n b n =- 故答案为：21n - 【点睛】本题考查根据数列的递推关系求数列的通项公式，属于中档题.15．已知点,A B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上不同的两点，且,A B 两点到抛物线C 的焦点F 的距离之和为6，线段AB 的中点为(2,1)M -，则焦点F 到直线AB 的距离为______．【解析】通过抛物线焦半径公式和点差法可求得抛物线和直线的方程，再利用点到直线距离求得结果. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线定义可知：126x x p ++=，则126x x p +=-又()2,1-M 为AB 中点，则622p-= 2p ⇒= ()1,0F ⇒ ∴抛物线方程为24y x =则：21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得：()()()1212124y y y y x x +-=-则1212124422AB y y k x x y y -====--+-∴直线AB 的方程为：()122y x +=--，即230x y +-= ∴点F 到直线AB的距离5d ==【点睛】本题考查抛物线的几何性质，关键是在处理弦的中点的问题时，要熟练应用点差法来建立中点和斜率之间的关系.16．如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-的外接球的半径为5，则A DB '∠=_________.图（1） 图（2）【答案】23π【解析】5和角度关系，分析即可解决． 【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图． 根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ， 因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ， 所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ， 则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1， 因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ， 即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R 5=∴A 'F 2251R OF -=-=2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形， ∴OE 2251R DE =--=2，∴三角形A 'DF 为等边三角形，∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=，故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题．三、解答题17．某市规划一个平面示意图为如下图五边形ABCDE 的一条自行车赛道，ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道（不考虑宽度），BE 为赛道内的一条服务通道，23BCD CDE BAE π∠=∠=∠=，DE =4km ，3BC CD km ==.（1）求服务通道BE 的长度；（2）应如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长？ 【答案】（1）5（2）见解析【解析】（1）连接BD ，在BCD ∆中应用余弦定理求得BD ，进而在Rt BDE ∆应用勾股定理求得BE ．（2）在BAE ∆中，应用余弦定理表达出AB 与AE 的等量关系，再结合不等式求得AB AE +的最大值即可．【详解】 （1）连接BD ，在BCD ∆中，由余弦定理得：2222BD BC CD BC =+-cos 9CD BCD ⋅∠=，3BD ∴=.BC CD =Q ，6CBD CDB π∴∠=∠=，又23CDE π∠=，2BDE π∴∠=， 在Rt BDE ∆中，225BE BD DE =+=.（2）在BAE ∆中，23π∠=BAE ，5BE =. 由余弦定理得2222cos BE AB AE AB AE =+-⋅BAE ∠， 即2225AB AE AB AE =++⋅，故()225AB AE +-=22AB AE AB AE +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，从而()23254AB AE +≤，即103AB AE +≤， 当且仅当AB AE =时，等号成立，即设计为AB AE =时，折线段赛道BAE 最长.【点睛】本题考查了余弦定理及应用余弦定理解三角形的应用，不等式的用法，属于基础题． 18．某房地产公司新建小区有A 、B 两种户型住宅，其中A 户型住宅每套面积为100平方米，B 户型住宅每套面积为80平方米，该公司准备从两种户型住宅中各拿出12套销售给内部员工，表是这24套住宅每平方米的销售价格：（单位：万元平方米）：（1）根据表格数据，完成下列茎叶图，并分别求出A ，B 两类户型住宅每平方米销售价格的中位数；A户型B户型2.3.4.（2）该公司决定对上述24套住房通过抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号，每位购房者只有一次抽签机会，小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为320万元，抽签后所抽得住房价格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格，为了使其购房成功的概率更大，他应该选择哪一种户型抽签？【答案】（1）茎叶图见解析. A户型销售价格的中位数是3.0,B户型销售价格的中位数是4.0(2) 小明应该选择A户型抽签.【解析】（1）由表格数据，能作出茎叶图，并能求出,A B类户型住宅每平方米销售价格的中位数．（2）若选择A户型抽签，求出成功购房的概率；若选择B户型抽签，求出成功购房的概率．由此得到该员工选择购买A户型住房的概率较大．【详解】(1)由表格数据，作出茎叶图：A户型销售价格的中位数是2.9+3.1=3.0 2B户型销售价格的中位数是3.9+4.14.02(2)小明购买能力最多为320万元.若选择A户型抽签，则每平方米均价不得高于3.2万元，有能力购买其中的8套住房，∴成功购房的概率是82123P == 若选择B 户型抽签，每平方米均价不得高于4.0万元，有能力购买其中的6套住房， 成功购房的概率是61122P == 所以小明选择购买A 户型成功的概率更大. 他应该选择A 户型抽签. 【点睛】本题考查茎叶图的作法，考查中位数、概率的求法，解题时要认真审题，注意数据分析处理及运算求解能力的培养．属于基础题19．在三棱柱111ABC A B C -，中，已知AB AC =13AA ==，4BC =，点1A 在底面ABC 的射影恰好是线段BC 的中点M .（1）证明：在侧棱1AA 上存在一点N ，使得MN ⊥平面11BB C C ，并求出AN 的长； （2）求三棱柱111ABC A B C -的侧面积 【答案】(1)见解析；（2）12414+【解析】试题分析：（1）连接AM ，作1MN AA ⊥于点N ，由11//AA BB 推出1 M N BB ⊥，根据1A M ABC ⊥平面，推出1A M BC ⊥，再由,AB AC M BC =为中点，推出AM BC ⊥，即可推出BC ⊥平面1AMA ，从而证明MN ⊥平面11BB C C ，根据13AB AC AA ===，4BC =，结合21AM AN AA =⋅，即可求得AN ；（2）由(1)可知BC ⊥平面1AMA ，可证11BCC B Y 为矩形，分别求出11BCC B S 和11ABB A S ，即可求得三棱柱111ABC A B C -的侧面积.试题解析：(1)证明：连接AM ，在1AMA ∆中，作1MN AA ⊥于点N . ∵11//AA BB ∴1MN BB ⊥ ∵1A M ABC ⊥平面∴1A M BC ⊥∵,AB AC M BC =为中点 ∴AM BC ⊥ ∴BC ⊥平面1AMA ∴BC MN ⊥ ∴MN ⊥平面11BB C C 又∵225AM AB BM =-=,13AA =，21AM AN AA =⋅∴53AN =.(2)由(1)可知BC ⊥平面1AMA . ∴1BC BB ⊥∴11BCC B Y 为矩形，故1112BCC B S =; 连接1A B ,221122A B A M MB =+=在1ABA ∆中，13AB AA ==,122A B =∴114ABA S ∆=∵1112214ABB A ABA S S ∆==∴41412S =.20．设点P 是直线2y =-上一点，过点P 分别作抛物线2:4C x y =的两条切线PA 、PB ，其中A 、 B 为切点. （1）若点A 的坐标为11,4⎛⎫⎪⎝⎭，求点P 的横坐标；（2）直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由. 【答案】（1）12-， （2）直线AB 过定点，定点为()0,2，理由见解析. 【解析】（1）求出切线PA 的方程后，将P 的纵坐标代入可求得横坐标；(2)设()()1122,,,A x y B x y ，求出过A B ，两点的抛物线的切线方程，将点P 坐标分别代入切线方程进行比较分析，可得直线直线AB 是过定点，得出答案. 【详解】(1) 抛物线2:4C x y =化为214y x =，则12y x '=. 由11,4A ⎛⎫⎪⎝⎭，则过点A 的抛物线的切线的斜率为：11|2x k y ='==. 所以直线PA 的方程为：()11142y x -=-即：210x y --=. 当2y =-时，12x =-，所以1,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.点P 的横坐标为12-(2) 直线AB 是过定点. 由题意设()()1122,,,A x y B x y则221212=,=44x x y y 由（1）可知，11|2PA x x x k y ='==，22|2PB x x xk y ='== 则切线PA 的方程为：()1112x y y x x -=-，即211111222x x xy x y x y =-+=-所以切线PA 的方程为：112x y x y =- 切线PB 的方程为：222x y x y =- 又切线P A 、PB 交于点P ，设()0,2P x -则有10122x x y -=-，说明点()11,A x y 满足方程022xx y -=-. 即点A 在直线022xx y -=-上.又20222x x y -=-，说明点()22,B x y 满足方程022xx y -=-.即点B 在直线022xx y -=-上. 所以A B ，两点都在直线022xx y -=-上，则直线AB 的方程为：022xx y -=-又直线022xx y -=-过定点()0,2.所以直线AB 过定点()0,2. 【点睛】本题考查抛物线的切线问题和直线过定点的问题，属于难题. 21．已知函数22()ln f x x ax a x =--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()0f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递减区间是0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递增区间是,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）342e ,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（Ⅰ）函数求导()()()2222x a x a x ax a f x x x-+-='-=，定义域为()0,+∞，由()0f x '=，可得x a =或2ax =-进而讨论导函数的正负得函数单调性即可；（Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，只需()min 0f x ≥即可，讨论函数单调性求最值即可. 试题解析：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()2222x a x a x ax a f x x x-+-='-=. 由()0f x '=，可得x a =或2ax =-， 当0a =时，()0f x '>在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递增区间是()0,+∞，没有单调递减区间； 当0a >时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +∞. 当0a <时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间是0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递增区间是,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a =时，()20f x x =>，符合题意.当0a >时，()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +∞， 所以()0f x ≥恒成立等价于()min 0f x ≥，即()0f a ≥， 所以222ln 0a a a a --≥，所以01a <≤. 当0a <时，()f x 的单调递减区间是0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递增区间是,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，所以()0f x ≥恒成立等价于()min 0f x ≥，即02a f ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭. 所以222ln 0422a a a a ⎛⎫+--≥ ⎪⎝⎭，所以342e 0a -≤<. 综上所述，实数a 的取值范围是342e ,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值） .22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴中，两个坐标系取相等的长度单位，圆2C 的方程为()2224x y -+=，射线l 的极坐标方程为()00θθρ=≥.（1）求曲线1C 和2C 的极坐标方程； （2）当002πθ<<时，若射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点，且2ON OM =，求2MC N ∆的面积. 【答案】（1）1C ：2222cos sin 14ρθρθ+=，2C ：4cos ρθ=；（2）3【解析】（1）先将曲线1C 的参数方程化为普通方程，再表示成极坐标方程即得，由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入圆2C 的普通方程，整理即得极坐标方程；（2）利用极径的几何意义和三角形的面积公式可得。

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！2019-2020年备考河北省石家庄市2019届第二次模拟考试理科数学注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟。

请在答题卷上作答。

第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。

) 1.已知集合M ＝{x |1x x -≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ． ∅ B ． {x |x ≥1} C ． {x |x >1} D ． {x |x ≥1或x <0}2.若α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( )A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件3.设ABC △的三个内角,,A B C ，向量()()3sin ,sin cos ,3cos m A B n B A ==，，若()1cos m n A B ⋅=++，则C =（ ）.A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π64.设{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =，且136,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =（ ）.A ．2744n n +B ．2533n n +C ．2324n n + D ．2n n + 5.函数y ＝e sin x (－π≤x ≤π)的大致图象为 ( )A B C D6.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，∪32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．1322⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 7.将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点π02⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 8.设函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( ) A ． 当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0。

河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高三下学期教学质量检测（开学考试）数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知全集U =R ，集合(){}40A x x x =-<，(){}2log 12B x x =-<，则UAB =（ ）A ．{}14x x <<B ．{}01x x <≤C ．{}04x x <<D ．∅2．对于任意复数12,z z ，任意向量,a b ，给出下列命题： ①1212z z z z +≤+；②a b a b +≤+；③若2212z z =，则12=±z z ；④若22a b =，则a b =±其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）AB C D ．34．函数2()sin f x x x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．[Failed to download image :blob:/b68ae02b-5fcb-450f-95a9-b25fe6e7daca]C ．D ．[Failed to download image :blob:/8a13a527-65fd-4051-91a7-c929f6e85b6d]5．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120︒时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒.根据以上性质，z =）A ．2BC ．2D ．26．设01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则（ ） A ．x y z <<B ．y x z <<C ．z x y <<D ．z y x <<7．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，已知81335a a =，且10a >，若n S 取得最大值，则n 为（ ） A ．20B ．21C ．22D ．238．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．742+ B ．44+ C ．1742π++ D ．144π+ 9．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055 ，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19 . 现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ） A ．67B ．335C ．1135D ．0.1910．已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，M 是BC 的中点，AM c b =-，4a =，则ABC 面积的最大值为（ ）A B ．C ．D ．11．函数()()1ln xf x x e x k =---在()0,∞+上有唯一零点0x ，下列四个结论：①1k =；②1k >；③001x x e=；④0112x e <<其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④12．过椭圆()2214x y λλ+=>上一点P 作圆()22:11C x y -+=的切线，且切线的斜率小于0，切点为M ，交椭圆另一点Q ，若M 是线段PQ 的中点，则直线CM 的斜率（ ）A ．为定值2B C ．为定值D ．随λ变化而变化第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知向量()1,1a =，向量b 与a 的夹角为34π，且1a b +=，则b =______. 14．在41(1)x x--的展开式中，常数项为________． 15．请你举出与函数()sin 2f x x =在原点()0,0处具有相同切线的一个函数是______.三、双空题16．棱长为36的正四面体ABCD 的外接球与内切球的半径之和为______，内切球球面上有一动点M ，则13MB MC +的最小值为______.四、解答题17．n S 为数列{}n a 的前n 项和满足：()*422nn n S a n N -=∈.（1）设1n n n b a a +=+，证明{}n b 是等比数列； （2）求n S .18．如图，已知平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，24AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △.若M 为线段1A C 的中点.（1）证明//MB 平面1A DE ，并求MB 的长；（2）在翻折过程中，当三棱锥1A DEM -的体积取最大时，求平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角的余弦值.19．某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X （百斤）都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有20期，超过60百斤的有12期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y （百斤）与使用某种饵料的质量x （百斤）之间的关系如图所示．（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆybx a =+；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由．（2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X 有如下关系：若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？附：对于一组数据()()()1122,,,,n n x y x y x y ，其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆn i ii ni i x y nxy bx nx ==-=-∑∑()()()121,niii ni i x x y y x x ==--=-∑∑ˆˆay bx =- 20．已知点()1,0A -，()1,1B -和抛物线2:4C y x =，过点A 的动直线l 交抛物线于,M P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，O 为坐标原点.（1）求OM OP ⋅； （2）证明：PQ 恒过定点.21．已知函数()21xe f x ax bx =++，其中0a >，b R ∈，e 为自然对数的底数.（1）若1b =，且当0x ≥时，()1f x ≥总成立，求实数a 的取值范围；（2）若0b =，且()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：()()12312f x f x e a+<+<. 22．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线21221:21x t C t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数），2:x C y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线30:C θθ=（ρ∈R 且0ρ≠）. （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若3C 与1C 相交于点A ，3C 与2C 相交于点B ，当0θ为何值时，AB 最大，并求最大值.23．已知函数()121f x x x =--+的最大值为M . （1）求M ；（2）若,,a b c 均为正数，证明：a b cM b c c a a b++≥+++.参考答案1．B 【解析】 【分析】根据二次不等式与对数不等式的求法分别求出集合,A B ,再求UA B 即可.【详解】(){}{}40|04A x x x x x =-<=<<,(){}{}2log 12014B x x x x =-<=<-<{}15x x =<<.故{|1UB x x =≤或5}x .所以{}01UA B x x ⋂=<≤.故选：B 【点睛】本题主要考查了二次不等式与对数不等式的求解,同时也考查了集合的基本运算.属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】对①②,根据复平面内复数的运算与平面向量运算,数形结合辨析即可. 对③,根据复数的运算推导.对④,举出反例判定即可. 【详解】对①②,复数在复平面内的运算与平面向量的运算相似,均满足平行四边形法则,根据向量的三角不等式有a b a b +≤+,故1212z z z z +≤+也成立.故①②正确.对③, 2212z z =则()()12120z z z z +-=,由复数的运算可知, 12=±z z .故③正确.对④, 若22a b =则a b =,不一定有a b =±.故①②③正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数与平面向量的基本运算辨析,属于基础题. 3．C【分析】根据右焦点到渐近线的距离等于实轴长列出关于,,a b c 的关系式求解即可. 【详解】渐近线方程by x a =±,即0bx ay ±=.故右焦点(),0c 到渐近线的距离d b ==.故2b a =.即2222244b a c a a =⇒-=,解得ca=故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的运算,需要根据题意建立关于,,a b c 的关系式求解.属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】先判断函数()f x 为偶函数，然后通过构造函数()()f x xg x =，()sin g x x x =+，可判断()g x 是单调递增函数，从而可得到0x >时，()(0)0g x g >=，即可判断0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x ''=+>，从而可确定()f x 在(0,)+∞上单调递增，即可得到答案． 【详解】因为22()sin()sin ()f x x x x x x x f x -=--=+=，所以()f x 为偶函数，选项B 错误，2()sin (sin )f x x x x x x x =+=+，令()sin g x x x =+，则()1cos 0≥g x x '=+恒成立，所以()g x 是单调递增函数，则当0x >时，()(0)0g x g >=，故0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x ''=+>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，排除CD ，故只有选项A 正确． 故选：A ．本题考查了函数图象的识别，考查了函数的单调性与奇偶性，属于中档题． 5．D 【解析】 【分析】易得z 的几何意义为点(),M x y 到点()()()1,0,1,0,0,2A B C -的距离之和的最小值.此时点(),M x y 为费马点,再根据120AMB ∠=︒求解(),M x y 的坐标,进而求得最小值即可. 【详解】由题z 的几何意义为点(),M x y 到点()()()1,0,1,0,0,2A B C -的距离之和的最小值. 由题可知,此时120AMB ∠=︒,且(),M x y 在y 轴上.故OM ==2AM BM OM ===2CM =故z 222+=+故选：D 【点睛】本题主要考查了根据距离公式数形结合求解最小值的问题,需要根据题意画出坐标系,再结合所给费马点的定义求解.属于中档题. 6．A 【解析】 【分析】根据条件01a b <<<，令11,32a b ==，代入,x y 中并取相同的正指数，可得,x y 的范围并可比较,x y 的大小；由对数函数的图像与性质可判断z 的范围，进而比较,,x y z 的大小.【详解】 因为01a b <<< 令11,32a b == 则1213b x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=1312a y b ⎛⎫= ⎪⎝⎭=12log log 13b a z == 将式子变形可得61321113327⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，6123111224⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为111274<< 所以x y <由对数函数的图像与性质可知112211log log 132>= 综上可得x y z << 故选：A. 【点睛】本题考查了指数式与对数式大小比较，指数幂的运算性质应用，对数函数图像与性质应用，属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】 转化条件得1392a d =-，进而可得200a >，210a <，即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由81335a a =可得()()1137512a d a d +=+即1392a d =-， 10a >，∴0d <，数列{}n a 为递减数列，∴12011902a a d d =+=->，12112002a a d d =+=<，∴当20n =时，n S 取得最大值.故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，考查了等差数列前n 项和最大值的问题，属于基础题. 8．D 【解析】 【分析】易得该几何体为四分之一个圆锥与三棱锥的组合体,再分别根据面积公式求解即可. 【详解】该几何体为四分之一个圆锥与三棱锥的组合体,且四分之一圆锥底面半径为1,高为1.三棱锥为墙角三棱锥,三条直角边长分别为1,1,2.故该几何体的表面积为211111111111212442222ππ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+144π=+. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据三视图求解几何体表面积的问题,需要根据题意三视图确定几何体的形状,再分别计算各边长,再利用公式求解即可.属于中档题.9．A 【解析】分析：首先设出题中的事件，然后由题意结合条件概率公式整理计算即可求得最终结果. 详解：设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病， 由题意可知：()()0.055,0.19P A P B ==， 则()()0.945,0.81P A P B ==， 由条件概率公式可得：()()()()()0.816|0.9457P AB P B P B A P A P A ====. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查条件概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．B 【解析】 【分析】设BAC θ∠=,根据ABC 的余弦定理可得cos θ关于,b c 的关系式,再根据,ABM ACM 中的余弦定理可求得,b c 的关系式,进而化简得到sin θ关于,b c 的关系式,再表达出ABC 面积的公式,化简求解最大值即可. 【详解】设BAC θ∠=,在ABC 中有余弦定理2224cos 2b c bcθ+-=. 在,ABM ACM 中,因为AMB AMC π∠+∠=,故cos cos 0AMB AMC ∠+∠=.即()()()()2222222202222c b c c b b c b c b +--+--+=⋅-⋅-.化简可得2248b c bc +=-.故2224212cos 2b c bc bc bcθ+--==.故sin θ==故12ABCS==2=设0t bc =>,则22ABCS==当4t =时取得ABC 面积的最大值为故选：B 【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用,同时也考查了二次复合函数的最值问题.需要根据题意确定边角的关系,进而表达出面积关于边长的关系式,再换元利用二次函数的性质求解.属于难题. 11．A 【解析】 【分析】求导可得()()1'1xf x x e x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭,再根据函数的单调性以及极值点和零点即可知0x 为函数()f x 的零点和极小值点,进而根据0x 满足的关系式逐个选项判定即可.【详解】由题,()()()()111'111xxx x x f x e xe e x x e x x x +⎛⎫=-+-=+-=+- ⎪⎝⎭, 令()'0f x =,因为()0,x ∈+∞,故10xe x-=. 设10xe x-=的根为1x ,则可知在区间()10,x 上()'0f x <,()f x 单调递减； 在区间()1,x +∞上()'0f x >,()f x 单调递增.又当0x +→时, ()f x →+∞；当x →+∞时, ()f x →+∞. 故()f x 在1x x =时取最小值,且()10f x =,故10x x =.且01x e x =,即00ln x x =-.故③正确. 因为()()00001ln 0xf x x e x k =---=,即000000ln 11xk x e x x x x =--=-+=. 故①正确.②错误.令()xg x xe =,()0,x ∈+∞,则()()'10xg x x e =+>,故()xg x xe =为增函数.又()12011122g e g x ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭,故012x >.故④错误.综上,①③正确. 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的零点问题,需要根据题意求导分析函数的单调性,进而得到零点满足的关系式,再逐个性质进行判定即可.属于中档题. 12．C 【解析】 【分析】因为M 是线段PQ 的中点,故可设()00,M x y ,再用点差法根据直线CM 与PQ 垂直斜率相乘等于1-求出切点M 的坐标,再求出直线CM 的斜率即可. 【详解】设()00,M x y ,()()1122,,,P x y Q x y ,则22122122121222224044x y x x y y x y λλ⎧+=⎪-⎪⇒+-=⎨⎪+=⎪⎩,化简可得()121212124y y x x x x y y -+=--+ .因为M 是线段PQ 的中点,故1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.代入化简可得PQ 的斜率04PQ x k y =-. 又直线CM 与PQ 垂直,故0000141x yy x -⋅=--,解得043x =,代入圆()22:11C x y -+=可得03y =.故直线CM的斜率为3413=-为定值. 故选：C 【点睛】本题主要考查了点差法在研究中点弦中的应用,需要根据题意利用点差法以及直线与圆相切,斜率之间的关系列式求解.属于中档题. 13．()0,1-或()1,0- 【解析】 【分析】数形结合可设()0,b y =或者(),0b x =,再分别根据向量坐标的模长公式代入1a b +=求解即可. 【详解】建立平面直角坐标系,不妨设a ,b 起点均在原点.因为向量b 与a 的夹角为34π,故可设()0,b y =或者(),0b x =,,0x y <.当()0,b y =时,因为1ab +=,1=,解得1y =-.当(),0b x =时,因为1a b +=,1=,解得1x =-.故()0,1b =-或()1,0b =-.故答案为：()0,1-或()1,0- 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,需要根据题意建系确定b 的方向,再设坐标进行计算.属于中档题. 14．－5 【解析】 【分析】 易知41(1)x x--的展开式的通项4214(1)(1)rr m m r m r r T C C x --+=-⋅-.故常数项为135T T T ++，带入计算即可. 【详解】 易知41(1)x x --的展开式的通项4141(1)()r r r r T C x x-+=--， 又1()rx x-的展开式的通项121()(1)m m r m m m r m m r r R C x x C x ---+=-=-， 所以4214(1)(1)r r m m r mr r T C C x --+=-⋅-.令20r m -=，得2r m =. 因为04r ≤≤，所以02m ≤≤， 所以当0,1,2m =时，0,2,4r =.故常数项为042211402213544244(1)(1)(1)(1)(1)5T T T C C C C C ++=-+-⋅-+-⋅-=-.故答案为：5- 【点睛】本题主要考查二项式定理求常数项，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.15．22x y e =-（满足题设条件的函数均可） 【解析】 【分析】先求出函数()sin 2f x x =在原点()0,0处的切线方程,再构造常见的函数分析即可. 【详解】由题,()'2cos2f x x =,故()'02cos02f ==,故函数()sin 2f x x =在原点()0,0处的切线方程为2y x =.故可考虑如函数(),0xg x ae b a =+≠,此时()'xg x ae =,故()0'02g ae a ===.又()00g a b =+=,故2b =-.此时()22x g x e =-.故答案为：22xy e =-（满足题设条件的函数均可） 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程与构造函数的问题.需要熟悉常见的函数的性质,从而能够构造出合适的函数.属于基础题. 16．【解析】 【分析】(1)将正四面体ABCD 放入正方体可求得外接球半径,利用等体积法可求得内切球的半径. (2)根据阿波罗尼斯球的性质找到阿波罗尼斯球中的两个定点,再将13MC 转换,从而得出13MB MC +取最小值时的线段,再根据余弦定理求解即可.【详解】(1) 将正四面体ABCD 放入如图正方体,则正四面体ABCD 的外接球与该正方体的外接球为同一球.=设正四面体ABCD 的内切球半径为r ,根据等体积法有3321114436323r -⨯⨯⨯=⨯,解得r =故外接球与内切球的半径之和为=(2)由阿波罗尼斯球得内切球球心O 是线段CH 上以,C E 为定点,空间中满足()1PCPEλλ=≠的点P 的集合,连接CO 并延长交平面ABD 于H ,交内切球上方的点设为K ,过M 作ME CH ⊥,交CH 于E ,连接,BM CM ,设OE x =.由(1)空得CO OH ==KC HCKE HE=.=,解得x =3KC KE λ===,所以3MC ME =,所以13MC ME =. 所以13MB MC MB ME BE +=+≥,在BOE △中,BO CO ==OE =1cos cos 3BOE BOH ∠=-∠=-,所以BE ==所以13MB MC +的最小值为故答案为：(1)(2)【点睛】本题主要考查了正四面体外接球与内切球的半径计算,同时也考查了利用阿波罗尼斯球中的比例关系求解线段最值的问题,需要根据题意找到球中的定点,根据阿波罗尼斯球的性质转换所求的线段之和求解.属于难题.17．(1)证明见解析；(2) 21,321,3n n n n S n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数【解析】 【分析】(1)利用数列{}n a 的前n 项和与通项的关系,再构造1n n n b a a +=+证明即可. (2)根据(1)可得112n n n a a -++=,故可分n 为奇数与n 为偶数两种情况求解n S 即可.【详解】(1)因为422n n n S a -=…①,故111422n n n S a +++-=…②,()*n N∈②-①可得11142222n n n n n a a a +++-+=-.整理可得112n n n a a -++=,即12n nb -=,()*n N ∈.因为11222nn n n b b +-==,()*n N ∈.故{}n b 是等比数列.(2)当1n =时, 111422S a -=,解得11a =,又112n n n a a -++=,故当n 为偶数时有()()()12341...n n n a a a a a S a -=++++++20222142122...2143nn n -⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+++==-. 当n 为奇数时有()()()123451...n n n a a a a a S a a -=+++++++11213221421122 (21143)n n n --⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++=+=-. 故21,321,3n n n n S n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数【点睛】本题主要考查了根据数列前n 项和与通项的关系,构造并证明新数列为等比数列的问题,同时也考查了分奇偶求解数列前n 项和的方法,属于中档题. 18．(1)证明见解析；(2)【解析】 【分析】(1)取1A D 的中点N ,连接,NM NE ,证明四边形NEBM 为平行四边形即可.(2)易得当三棱锥1A DEM -的体积取最大时,面1A DE ⊥面ABCD ,再以E 为坐标原点建立空间直角坐标系,再分别求出面1A DE 与面ABCD 的法向量,进而求得平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角的余弦值即可.【详解】(1) 取1A D 的中点N ,连接,NM NE ,因为M 为线段1A C 的中点,故NM 为1A DC ∆的中位线,故12NMDC .又平行四边形ABCD 中,E 为边AB 的中点,故12EB DC ,故NM EB .故四边形NEBM 为平行四边形,故MBNE .又MB ⊄平面1A DE ,NE ⊂平面1A DE ,故MB 平面1A DE .(2)因为M 为线段1A C 的中点,故1112A DEM A DEC V V --=,故当三棱锥1A DEM -的体积取最大时三棱锥1A DEC -的体积取最大.故此时面1A DE ⊥面ABCD .因为60BAD ∠=︒,24AB AD ==.故ADE 边长是2的正三角形.120EBC ∠=︒,30CEB ∠=︒故2222cos120EC EB BC EB BC =+-⋅⋅︒,解得EC =故222DE EC DC +=,故DE EC ⊥.故以E 为原点建立如图空间直角坐标系.则平面1A DE 的一个法向量为()1,0,0m =.(1A,)1,0B-,()C .故(13,2,A B =-,()3,1,0BC =.设平面1A BC 的一个法向量为(),,n x y z =,则因为100n A B n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即20y y --=+=, 取1x =有y =3z =.故()1,3,3n =-.设平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角为θ,则cos 1311m n m nθ⋅===⋅⋅.故平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角的余弦值为13【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及利用空间直角坐标系求解二面角的问题.属于中档题. 19．（1）337y 1313x =+ 当10x =时，此方案可行．（2）应提供2台增氧冲水机 【解析】 【分析】 （1）求出，()()515,4,26iii x y x x y x ===--=∑．代入公式得到回归方程．代入10x =，求出估计值再进行判断．（2）分三个方案分别计算盈利的期望，选择期望高者即可． 【详解】解：（1）依题意，5,4,x y ==()()5126iii x x y x =--=∑()()()515213ˆ,13iii i i x x y y bx x ==--∴==-∑∑337ˆ451313a y bx=-=-⨯= 所以3371313y x =+ 当10x =时，67ˆ513y=>，故此方案可行． （2）设盈利为Y ，安装1台时，盈利5000Y =， 安装2台时，12040,3000,5X Y p <<==；440,10000,5X Y p ==． 14()300010000860055E Y ∴=⨯+⨯=安装3台时，12040,1000,5X Y p <<==； 4060,8000,X Y =3;5P =160,15000,5X Y P >==.13()1000800055E Y ∴=⨯+⨯11500080005+⨯=.86008000>，故应提供2台增氧冲水机．【点睛】本题考查了回归方程的求解，以及利用回归方程来作简单的预测，考查了方案的选择依据及合理的判断能力．属于中档题．20．(1)5; (2)PQ 恒过定点()1,4-,证明见解析 【解析】 【分析】(1)设点221212,,,44y y M y P y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据,,P M A 三点共线利用斜率AM PM k k =可得124y y ,进而求得OM OP ⋅即可.(2) 同(1),设点233,4y Q y ⎛⎫⎪⎝⎭,根据,,M B Q 三点共线利用斜率BQ QM k k =可得131340y y y y +++=.再根据124y y 化简可得()2323440y y y y +++=,再结合234PQ k y y =+可求得直线PQ 的方程,进而代入()2323440y y y y +++=化简求得定点即可.【详解】(1) 设点221212,,,44y y M y P y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为,,P M A 三点共线,故AM PM k k =,即1122221121444y y y y y y -=+-,即1211214y y y y =++,所以124y y .故221212544y y OM OP y y ⋅=⋅+=.(2) 设点233,4y Q y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,因为,,M B Q 三点共线,所以BQ QM k k =,所以31322233111444y y y y y y +-=--,即32313114y y y y +=-+,化简得131340y y y y +++=. 由(1) 124y y ,所以124y y =,即33224440y y y y ⋅+++=,即()2323440y y y y +++=...①因23223223444PQ y y k y y y y -==+-,所以直线PQ 的方程为2222344y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭, 即()()222324y y y y x y -+=-,即()23234y y y y y x +-=,由①有()232344y y y y -=++,代入可得()()()23441y y y x ++=-. 所以直线PQ 恒过定点()1,4-. 【点睛】本题主要考查了设抛物线上的点坐标,根据抛物线方程表示求解向量的数量积问题,同时也考查了弦长所在直线的方程进行化简求解证明定点的问题,其中三点共线需要用斜率相等表达,属于难题.21．（1）10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（2）详见解析【解析】 【分析】（1）若1b =，且当0x 时，()1f x 总成立，分类讨论，确定函数的最小值，即可求实数a 的取值范围；（2）求出函数的导数，构造新的函数，根据函数的单调性证明即可． 【详解】（1）当1b =，则()21xe f x ax x =++，2212()()(1)x ae ax x af x ax x -+'=++，当102a <时，()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞ 上单调递增，()(0)1f x f ≥=； 当12a >时，()f x 在[0，21]a a -上单调递减， 在21[a a-，)+∞上单调递增， 21()()(0)1min a f x f f a-<==，不成立， 102a∴<即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（2）当0b =时，2222(21)(),()1(1)x x e e ax ax f x f x ax ax -+'==++， 因为()f x 存在两个极值点，2440a a ->即1a > 有条件知1x ，2x 为2210ax ax -+=两根，121212,x x x x a+==， 不妨设12x x <则12012x x <<<<1212122112221212()()11222x x x x x x e x e x e e e e f x f x ax ax ax ax ++=+=+=++，由（1）知当1b =，12a =，0x ≥，211xe ax x ≥++，即2112x e x x ++≥（当且仅当0x =取等号）所以当0x >时，恒有2112xx e x >++ 2212122211111()()11222f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+>+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()12121211422x x x x x x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦16222a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭312a=+ 又()211121122111()()222x x x x x e x e f x f x x e x e -+⎡⎤+==+-⎣⎦ 令()()22xxh x xex e -=+-()01x <<则()()()`210x xh x x e e-=->+ 所以()h x 在()0,1 上递增，()()12h x h e <=，从而12()()f x f x e +< 综上可得：()()12312f x f x e a+<+< 【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22．(1) 1:C 2cos ρθ=,()0ρ≠,2:C ρθ=；(2) 当023πθ=时, AB 最大为4.【解析】 【分析】(1) 21221:21x t C ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩中可得y t x =,再代入化简得出1C 的直角坐标方程,进而求得其极坐标方程.又2:x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩为圆,得出直角坐标方程后再求出极坐标方程即可.(2)根据极坐标的几何意义,代入0θ到1C 与2C 的极坐标方程,再表达出AB 关于0θ的解析式求最大值即可. 【详解】(1) 因为21221:21x t C t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,故y t x =,代入221x t =+有221x y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭,即2222x x x y =+,化简可得2220x y x +-=,故其极坐标方程为22cos 0ρρθ-=,即2cos ρθ= .又(]220,21x t=∈+,故1:C 2cos ρθ=,()0ρ≠.又2:x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,故2C是以(为圆心,.故2C 的直角坐标方程为(223x y +-=,即220x y +-=,故其极坐标方程为ρθ=.故1:C 2cos ρθ=,()0ρ≠,2:C ρθ=. (2)由题,02cos OA θ=,0OB θ=,故0002cos 4si 6n AB πθθθ⎛⎫==-⎝-⎪⎭. 故当023πθ=时, AB 最大为4. 【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标以及直角坐标和极坐标的互化,同时也考查了根据极坐标的几何意义求解弦长最值的问题,属于中档题.23．(1) 32=M ；(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)将绝对值函数写成分段函数,再分析()f x 的最大值即可.(2)可换元令b c x +=,c a y +=, a b z +=,再反解出,,a b c 利用基本不等式证明即可. 【详解】(1)由题, ()12,213,122,1x x f x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩,故当12x ≤-时, ()32f x ≤；当112x -<<时()332f x -<<；当1≥x 时, ()3f x ≤-.综上()32f x ≤.故32=M .(2)原不等式即证32a b c b c c a a b ++≥+++令b c x +=,c a y +=, a b z +=,联立可得2y z x a +-=,2x z y b +-=,2x y zc +-=, 则不等式左边11322y z x x z y x y z y z x z x yx y z x y z ⎛⎫⎛⎫+-+-+-+++=++=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132yx z x z y x y x z y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦13322⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭右边. 当且仅当x y z ==时取等号.即得证. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式最值的求解以及换元利用基本不等式证明不等式的问题,需要根据所证明的不等式的结构进行换元,反解证明利用基本不等式证明.属于中档题.。

河北省石家庄二中2019届高三年级全仿真模拟数 学（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．已知集合}|),{(2x y y x A ==，}1|),{(22=+=y x y x B ，则B A 的真子集个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．设i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数，若i 31+=z ，则=⋅z z （ ） A ．101 B ．i 101 C ．1001 D ．i 1001 3．已知3log 5a =，0.50.4b =，2log 5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>4．已知向量(1,4)a =，(2,)b m =-，若||||a b a b +=-，则m =（ ）A ．12-B ．12C ．8-D ．85．大衍数列，来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．已知该数列前10项是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A ．22n n -B ．212n -C ．2(1)2n -D ．22n6．已知变量,x y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.85y x =+，则表中数据m 的值为（ ）A ．0.9B ．0.85C ．0.75D ．0.57．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ）A ．1(,)2+∞B ．(0,1)C ．1(,1)2D ．1(0,)28．△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a =，30B =︒，cos C =，则△ABC 的面积为（ ）A B C D9．某几何体的三视图如图所示（网格中小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（ ） A ．16163π+ B ．8163π+C ．32833π+ D ．321633π+ 10．已知12,F F 是双曲线22221x y a b -=（0,0a b >>）的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的两支分别交于,A B 两点（A 在右支，B 在左支），若△2ABF 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） ABCD11．设点(,0)A t ，P 为曲线e x y =上动点，若点,A P，则实数t 的值为（ ） AB ．52C ．ln 222+D ．ln322+12．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为棱1,,AB BC CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设,P Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG，1D Q =PM PQ +的最小值为（ ） A．1 B．2C．1 D．2二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．抛物线24y x =的焦点到其准线的距离为_______________．14．已知实数,x y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2x y +的最大值为_______________．15．已知n N +∈，满足0122222243n nnn n n C C C C ++++=，则2()n x x y ++的展开式中52x y 的系数为_______________．16．已知函数20193)cos (sin 2cos )(++-+=x x x a x x f 在],0[π上单调递增，则实数a 的取值范围为_______________．A三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必做题，第22、23题为选做题）17．（12分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令2,,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前n 项和n T ，求2n T ．18．（12分）2019年是五四运动100周年．五四运动以来的100年，是中国青年一代又一代接续奋斗、凯歌前行的100年，是中国青年用青春之我创造青春之中国、青春之民族的100年．为继承和发扬五四精神，在青年节到来之际，学校组织“五四运动100周年”知识竞赛，竞赛的一个环节由10道题目组成，其中6道A 类题、4道B 类题，参赛者需从10道题目中随机抽取3道作答．现有甲同学参加该环节的比赛． （Ⅰ）求甲同学至少抽到2道B 类题的概率； （Ⅱ）若甲同学答对每道A 类题的概率都是23，答对每道B 类题的概率都是35，且各题答对与否相互独立．现已知甲同学恰好抽中2道A 类题和1道B 类题，用X 表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．（12分）如图，△ABC 为等腰直角三角形，3==AC AB ，D 为AC 上一点，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥BCD A -1，且使得1A 在底面BCD 的投影E 在线段BC 上，连接AE ． （Ⅰ）证明：BD AE ⊥； （Ⅱ）若21tan =∠ABD ，求二面角D BA C --1的余弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>），满足四个顶点围成的四边形面积为且原点到直线1x ya b+=． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(0,2)P ，是否存在过点P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以||AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数a x a x x f -+=ln )(，11||()2x a a a xg x x e--+=+⋅，（R a ∈） （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若)(x f 在定义域内有且仅有一个零点，且此时()()f x g x m ≥+恒成立，求实数m 的取值范围．请考生从22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应题号右侧的方框涂黑，如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．【选修4-4 极坐标与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1x cos y sin ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）若射线θα=（20πα<<）与曲线C 交于点A （不同于极点O ），与直线l 交于点B ，求OA OB的最大值．23．【选修4-5 不等式选讲】（10分）已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：（Ⅱ）11133131312a b c ++≥+++.数学（理科）参考答案选择填空 1-5：CADBB6-10：DCABD 11-12CC 13：1814：515：3016：322≤≤-a 11．【解析】令(,)mP m e ，则直线AP 的斜率1me k m t =-，以P 为切点的切线斜率2m k e =，要使||AP 最小，令直线AP 与切线垂直，即121k k =-，得2m m t e -=-；从而222||()(0)m AP m t e =-+-426m m e e =+=，解得22m e =，故ln 22m =；由2m m t e -=-，所以2ln 222m t e m =+=+12．【解析】可知点P 在线段AC 上，点Q 在以D 为圆心1为半径的14圆周上，问题转化到正方形ABCD 内；将圆弧关于AC 对称，由点Q得到点1Q ，从而1PQ PQ =，故1111PM PQ PM PQ MQ MB +=+≥≥-= 16．【解析】3)cos (sin 2sin 2)(+++-='x x a x x f ，令)4sin(2cos sin π+=+=x x x t ，由],0[π∈x ，则]2,1[-∈t ，又由x t 2sin 12+=，故12sin 2-=t x ，从而52)(2++-='at t x f ，问题等价于052)(2≥++-=at t t g 在]2,1[-上恒成立，由)(t g 开口方向向下，故只需0)1(≥-g 且0)2(≥g ，解得322≤≤-a 17．【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}nb 的公比为q ， 由2210b S +=，5232a b a -=，得61034232q d d q d ++=+-=+⎧⎨⎩，解得22d q ==⎧⎨⎩∴()32121n a n n =+-=+，12n n b -= ....................................................................... （5分） （Ⅱ）由13a =，21n a n =+，得()2n S n n =+， n 则为奇数时，2112n n c S n n ==-+，n 为偶数时，12n n c -=， ............................. （7分） 所以()()21323242n n n T c c c c c c -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()3211111112223352121n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦M()214112114nn -=-++-()2412213nnn -=++. ............................................................. （12分） 18．【解析】（Ⅰ）令“甲同学至少抽到2道B 类题”为事件A则抽到2道B 类题有2146C C 种取法，抽到3道B 类题有34C 种取法所以213464310401()1203C C C P A C +=== ............................................................................... （5分） （Ⅱ）X 的所有可能取值为0,1,2,3 ......................................................................... （6分）2122(0)3545P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭ 1221211311(1)33533545P X C ==⋅⋅⋅+⋅⋅=21222213204(2)35335459P X C ⎛⎫==⋅+⋅⋅⋅== ⎪⎝⎭ 223124(3)354515P X ⎛⎫==⋅== ⎪⎝⎭...... （10分）所以X 的分布列为数学期望211201229()01234545454515E X =⨯+⨯+⨯+⨯=............................................（12分）19．【解析】（Ⅰ）易知AE ⊥平面BCD ，故AE BD ⊥ ...................................... （1分） 连接1AA ，取M 为1AA 中点，连接,MB MD 由1DA DA =，1BA BA =，故1AA MD ⊥且1AA MB ⊥所以1AA ⊥平面M BD ，所以1AA BD ⊥ .................................................................... （3分） 由111AA A E A =，故BD ⊥平面1AA E由AE ⊂平面1AA E ，所以BD AE ⊥ ......................................................................... （5分） （Ⅱ）由21tan =∠ABD ，故D 为AC 中点 令BE BC λ=，所以(1)AE AB BE AB AC λλ=+=-+由BD AD AB =-，BD AE ⊥，解得23λ=，故BE =CE （7分） 以E 为原点，1,EB EA 所在直线分别为,x z 轴，在平面BCD 内过E 作BC 的垂线为y 轴，建系如图，则B ，(C ，(0,0,1)A ，(D ..................（8分） 令平面1A BD 的法向量为(,,)m x y z =由1(BA =-，(BD =，得m = ...........................（10分）又易知平面1A BC 的法向量(0,1,0)n =，故cos ,m n <>==所以二面角D BA C --1 ................................................................. （12分） （注：也可由综合法先找角再求角，如作DH BC ⊥，垂足为H ，作1HG BA ⊥，垂足为G ，连接HG ，可知DGH ∠为所求二面角的平面角，进而可得4DH =，4HG =，从而tan 1DHDGH HG∠==，找角并证明得3分，求角得2分）20．【解析】（Ⅰ）由题意知2ab ==................................. （2分）解得a b =，故椭圆的方程为22153x y += ..................................................（4分） （Ⅱ）当直线l 斜率不存在时，,A B 分别为上下顶点，不满足题意 当直线l 斜率存在时，令:2l y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y 与椭圆联立得22(53)2050k x kx +++= 由260(51)0k ∆=->，解得215k > ........................................................................... （5分） 由韦达定理，1222053k x x k -+=+，122553x x k =+ ....................................................... （6分） 2121221512(2)(2)53k y y kx kx k -+=++=+令左顶点(D ，由题意则0DA DB ⋅=，即121212)50x x x x y y ++++=，代入化简得25160k -+= .............................................................................. （10分）解得k =或k =0∆>故存在直线l ，直线l 的方程为2y x =+或2y + .............................（12分）21．【解析】（Ⅰ）2)(xax x f -='，（0>x ） 当0≤a 时，0)(>'x f ，故)(x f 单调递增； 当0>a 时，令0)(='x f ，得a x =，故)(x f 在),0(a 上递减，),(+∞a 上递增；综上所述，当0≤a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增；当0>a 时，)(x f 在),0(a 上递减，),(+∞a 上递增；....................................................................................................................... （4分） （Ⅱ）易知0)1(=f ，结合函数单调性，若)(x f 有唯一零点，则0≤a 或1=a...................................................................................................................................... （6分） 当0≤a 时，1()a g x x -=，1()()ln f x g x x a x-=+- 从而只需0=a 时，()()f x g x m -≥恒成立，即xx m 1ln +≤恒成立 令1()ln h x x x =+，21)(xx x h -='，故)(x h 在)1,0(递减，),1(+∞递增 所以min ()(1)1h x h ==，从而有1m ≤ ......................................................................... （9分） 当1=a 时，1()x x g x e -=，11ln )(-+=xx x f 令11()()()ln 1x xt x f x g x x x e-=-=+--，只需min ()m t x ≤ 由)11)(1(11)(1212--+-=---='x x e x x e x x x x t故)(x t 在)1,0(递减，),1(+∞递增，从而min ()(1)1t x t ==-，所以1m ≤-综上，实数m 的取值范围为(,1]-∞- ...................................................................... （12分） （注：第2问共8分，其中0≤a 与1=a 两种情况各占4分） 22．【解析】（Ⅰ）消去参数ϕ得曲线C 的普通方程为()2211x y -+=， 即2220x y x +-=，将222,cos x y x ρρθ=+=代入上式得22cos ρρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为22cos ρρθ=，即2cos ρθ=； .................................. （2分）由sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭4x y += .......................................... （4分）（Ⅱ）设()()12,,,A B ραρα，则122cos ,sin 4ραρπα==⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ........................... （6分） 故212sin cos cos 111sin2cos22444OAOB ραααααρ+===++1244πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ （8分） 当8πα=时，OA OB................................................................ （10分）23．【解析】2a b +2a c +≤2b c+故2a b c =+++()()()()3a b c a b c a b c ≤++++++++=......................... （5分）（Ⅱ）由基本不等式4(31)431a a ++≥=+，∴43331a a ≥-+ 同理有43331b b ≥-+，43331c c ≥-+，三式相加得 1114()93()6313131a b c a b c ++≥-++=+++，∴11133131312a b c ++≥+++ （10分）。

河北省石家庄二中2020届高三下学期教学质量检测数 学（文科）（时间：120分钟分值：150分）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一．选择题（共12题，每题5分，共60分） 1．己知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=4241x xA ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==101,lg x x y y B ，则=B A I( )A ．]2,2[-B ．),1(+∞C ．]2,1(-D ．),2(]1,(+∞--∞Y2．己知复数z 在复平面内对应的点的坐标为)2,1(-，则=+iz1( )A ．i 2323+-B ．i 2123+-C ．i 2321+-D ．i 2321+3．“2<a ”是“2||<a ” 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．己知4log 3=a ，3132⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，5131log=c ，则c b a ,,的大小关系为( )A ．b a c >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >> 5．右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学 测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．己知两组 数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为 ( ) A ． 0, 0 B ． 0, 5 C ． 5, 0 D ． 5, 56． 函数x e e x f xx cos 11)(⋅-+=的部分图象大致为 ( )7．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“己知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( ) A ．152πB ．203πC ．1521π-D ．2031π-8．将函数x x f 2cos )(=图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数)(x g 的图象，如果)(x g 在区间],0[a 上单调递减，那么实数a 的最大值为( )A ．8π B ．4π C ．2πD ．π439．设O 是坐标原点，F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的一个焦点，点M 在C 外，且OF MO 3=，P 是过点M 的直线l 与C 的一个交点，PMF ∆是有一个内角为120°的等腰三角形，则C 的离心率等于( )A ．43 B ．33C ．413+ D ．2310．己知三棱锥ABC P -中，⊥PB 平面ABC ，BC AC ⊥，,2=AC 1=BC 且PB PA 2=，则其外接球的体积为 ( )A ．34πB ．π4C ．332π D ．π3411．《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多·达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵77cm ，横53cm ．油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面237cm （如图所示）．有一身高为175cm 的游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛C 的距离为15cm ），设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ．为使观赏视角θ最大，x 应为( ) cm ．A ．77B ． 80C ． 100D ．27712．设函数x x x f ln )(=x x f x g )(')(=，给出下列四个命题： ①不等式0)(>x g 的解集为⎪⎭⎫⎝⎛∞+e 1；②函数)(x g 在),0(e 上单调递增，在),(+∞e 上单调递减；③若021>>x x 时，总有)()()(2212221x f x f x x m ->-恒成立，则1≥m ；④若函数2)()(ax x f x F -=有两个极值点，则实数)1,0(∈a ．则所有正确的命题的序号为( )A ．①③B ．①②C ．②③④D ．①③④第Ⅱ卷非选择题（共90分）二．填空题（共4题，每题4分，共20分）13．己知向量)1,2(=a ，)4,(x b =，若b a ⊥=+b a ______________．14．在平面直角坐标系中，己知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点)0,3(F 到它的一条渐近线的距离为2，则双曲线的实轴长为_______．15．己知递增数列}{n a 的前n 项和为S n ，11=a ，若141-=+n n n S a a ，则a n ＝_________． 16．己知ABC ∆的三个内角为C B A ,,，且C B A sin ,sin ,sin 成等差数列，则B B cos 22sin + 的最大值为__________，最小值为____________．三．解答题（共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

青霄有路终须到，金榜无名誓不还！2019-2019年高考备考河北省石家庄市2019届第二次模拟考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知单元素集合(){}2|210A x x a x =-++=，则a =（ ）A ． 0B ． -4C ． -4或1D ．-4或02. 某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ）A ．6种B ． 12种C ．18种D ．24种3. 已知函数()sin f x x x =+，若()()()23,2,log 6a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<4.在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设,AB a AD b ==，则向量BF = （ ）A ．1233a b +B ．1233a b -- C. 1233a b -+ D ．1233a b - 5.已知抛物线2:C y x =，过点(),0P a 的直线与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若0OA OB <，则a 的取值范围是 （ ）A ．(),0-∞B ．()0,1 C. ()1,+∞ D ．{}16.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，15,3,4AA AC AB BC ====，则阳马。

绝密★启用前河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高三下学期教学质量检测（开学考试）数学（理）试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知全集U =R ，集合(){}40A x x x =-<，(){}2log 12B x x =-<，则UAB =（ ）A ．{}14x x <<B ．{}01x x <≤C ．{}04x x <<D ．∅2．对于任意复数12,z z ，任意向量,a b ，给出下列命题： ①1212z z z z +≤+；②a b a b +≤+；③若2212z z =，则12=±z z ；④若22a b =，则a b =±其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ） AB C D ．34．函数2()sin f x x x x =+的图象大致为（ ）○…………外………订…………○…………线…………○……内※※答※※题※※○…………内………订…………○…………线…………○……A ． B ．[Failed to download image :blob:/b68ae02b-5fcb-450f-95a9-b25fe6e7daca]C ．D ．[Failed to download image :blob:/8a13a527-65fd-4051-91a7-c929f6e85b6d]5．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120︒时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒.根据以上性质，z =）A ．2BC ．2D ．26．设01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则（ ） A ．x y z <<B ．y x z <<C ．z x y <<D ．z y x <<7．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，已知81335a a =，且10a >，若n S 取得最大值，则n 为（ ） A ．20B ．21C ．22D ．238．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．742+ B ．44+ C ．1742π++ D ．144π+ 9．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055 ，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19 . 现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ） A ．67B ．335C ．1135D ．0.1910．已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，M 是BC 的中点，AM c b =-，4a =，则ABC 面积的最大值为（ ）A B ．C ．D ．11．函数()()1ln xf x x e x k =---在()0,∞+上有唯一零点0x ，下列四个结论：①1k =；②1k >；③001x x e=；④0112x e <<其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④12．过椭圆()2214x y λλ+=>上一点P 作圆()22:11C x y -+=的切线，且切线的斜率小于0，切点为M ，交椭圆另一点Q ，若M 是线段PQ 的中点，则直线CM 的斜率（ ） A ．为定值2B C ．为定值D ．随λ变化而变化第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知向量()1,1a =，向量b 与a 的夹角为34π，且1a b +=，则b =______. 14．在41(1)x x--的展开式中，常数项为________． 15．请你举出与函数()sin 2f x x =在原点()0,0处具有相同切线的一个函数是______.………外……………○…………※※装※※订※※线※※………内……………○…………三、双空题16．棱长为36的正四面体ABCD 的外接球与内切球的半径之和为______，内切球球面上有一动点M ，则13MB MC +的最小值为______. 四、解答题17．n S 为数列{}n a 的前n 项和满足：()*422nn n S a n N -=∈.（1）设1n n n b a a +=+，证明{}n b 是等比数列； （2）求n S .18．如图，已知平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，24AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △.若M 为线段1A C 的中点.（1）证明//MB 平面1A DE ，并求MB 的长；（2）在翻折过程中，当三棱锥1A DEM -的体积取最大时，求平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角的余弦值.19．某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X （百斤）都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有20期，超过60百斤的有12期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y （百斤）与使用某种饵料的质量x （百斤）之间的关系如图所示．（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆybx a =+；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归………○…………装……学校:___________姓名：____………○…………装……方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由．（2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X 有如下关系：若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？附：对于一组数据()()()1122,,,,n n x y x y x y ，其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆn i ii ni i x y nxy bx nx ==-=-∑∑()()()121,niii ni i x x y y x x ==--=-∑∑ˆˆay bx =- 20．已知点()1,0A -，()1,1B -和抛物线2:4C y x =，过点A 的动直线l 交抛物线于,M P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，O 为坐标原点.（1）求OM OP ⋅； （2）证明：PQ 恒过定点.21．已知函数()21xe f x ax bx =++，其中0a >，b R ∈，e 为自然对数的底数.（1）若1b =，且当0x ≥时，()1f x ≥总成立，求实数a 的取值范围；（2）若0b =，且()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：()()12312f x f x e a+<+<. 22．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线21221:21x t C t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数），2:x C y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线30:C θθ=（ρ∈R 且0ρ≠）. （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若3C 与1C 相交于点A ，3C 与2C 相交于点B ，当0θ为何值时，AB 最大，并求最大值.23．已知函数()121f x x x =--+的最大值为M . （1）求M ；（2）若,,a b c 均为正数，证明：a b cM b c c a a b++≥+++.参考答案1．B 【解析】 【分析】根据二次不等式与对数不等式的求法分别求出集合,A B ,再求UA B 即可.【详解】(){}{}40|04A x x x x x =-<=<<,(){}{}2log 12014B x x x x =-<=<-<{}15x x =<<.故{|1UB x x =≤或5}x .所以{}01UA B x x ⋂=<≤.故选：B 【点睛】本题主要考查了二次不等式与对数不等式的求解,同时也考查了集合的基本运算.属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】对①②,根据复平面内复数的运算与平面向量运算,数形结合辨析即可. 对③,根据复数的运算推导.对④,举出反例判定即可. 【详解】对①②,复数在复平面内的运算与平面向量的运算相似,均满足平行四边形法则,根据向量的三角不等式有a b a b +≤+,故1212z z z z +≤+也成立.故①②正确.对③, 2212z z =则()()12120z z z z +-=,由复数的运算可知, 12=±z z .故③正确.对④, 若22a b =则a b =,不一定有a b =±.故①②③正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数与平面向量的基本运算辨析,属于基础题. 3．C【分析】根据右焦点到渐近线的距离等于实轴长列出关于,,a b c 的关系式求解即可. 【详解】渐近线方程by x a =±,即0bx ay ±=.故右焦点(),0c 到渐近线的距离d b ==.故2b a =.即2222244b a c a a =⇒-=,解得ca=故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的运算,需要根据题意建立关于,,a b c 的关系式求解.属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】先判断函数()f x 为偶函数，然后通过构造函数()()f x xg x =，()sin g x x x =+，可判断()g x 是单调递增函数，从而可得到0x >时，()(0)0g x g >=，即可判断0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x ''=+>，从而可确定()f x 在(0,)+∞上单调递增，即可得到答案． 【详解】因为22()sin()sin ()f x x x x x x x f x -=--=+=，所以()f x 为偶函数，选项B 错误，2()sin (sin )f x x x x x x x =+=+，令()sin g x x x =+，则()1cos 0≥g x x '=+恒成立，所以()g x 是单调递增函数，则当0x >时，()(0)0g x g >=，故0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x ''=+>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，排除CD ，故只有选项A 正确． 故选：A ．本题考查了函数图象的识别，考查了函数的单调性与奇偶性，属于中档题． 5．D 【解析】 【分析】易得z 的几何意义为点(),M x y 到点()()()1,0,1,0,0,2A B C -的距离之和的最小值.此时点(),M x y 为费马点,再根据120AMB ∠=︒求解(),M x y 的坐标,进而求得最小值即可. 【详解】由题z 的几何意义为点(),M x y 到点()()()1,0,1,0,0,2A B C -的距离之和的最小值. 由题可知,此时120AMB ∠=︒,且(),M x y 在y 轴上.故OM ==2AM BM OM ===2CM =故z 222+=+故选：D 【点睛】本题主要考查了根据距离公式数形结合求解最小值的问题,需要根据题意画出坐标系,再结合所给费马点的定义求解.属于中档题. 6．A 【解析】 【分析】根据条件01a b <<<，令11,32a b ==，代入,x y 中并取相同的正指数，可得,x y 的范围并可比较,x y 的大小；由对数函数的图像与性质可判断z 的范围，进而比较,,x y z 的大小.【详解】 因为01a b <<< 令11,32a b == 则1213b x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=1312a y b ⎛⎫= ⎪⎝⎭=12log log 13b a z == 将式子变形可得61321113327⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，6123111224⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为111274<< 所以x y <由对数函数的图像与性质可知112211log log 132>= 综上可得x y z << 故选：A. 【点睛】本题考查了指数式与对数式大小比较，指数幂的运算性质应用，对数函数图像与性质应用，属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】 转化条件得1392a d =-，进而可得200a >，210a <，即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由81335a a =可得()()1137512a d a d +=+即1392a d =-， 10a >，∴0d <，数列{}n a 为递减数列，∴12011902a a d d =+=->，12112002a a d d =+=<，∴当20n =时，n S 取得最大值.故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，考查了等差数列前n 项和最大值的问题，属于基础题. 8．D 【解析】 【分析】易得该几何体为四分之一个圆锥与三棱锥的组合体,再分别根据面积公式求解即可. 【详解】该几何体为四分之一个圆锥与三棱锥的组合体,且四分之一圆锥底面半径为1,高为1.三棱锥为墙角三棱锥,三条直角边长分别为1,1,2.故该几何体的表面积为211111111111212442222ππ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+144π=+. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据三视图求解几何体表面积的问题,需要根据题意三视图确定几何体的形状,再分别计算各边长,再利用公式求解即可.属于中档题.9．A 【解析】分析：首先设出题中的事件，然后由题意结合条件概率公式整理计算即可求得最终结果. 详解：设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病， 由题意可知：()()0.055,0.19P A P B ==， 则()()0.945,0.81P A P B ==， 由条件概率公式可得：()()()()()0.816|0.9457P AB P B P B A P A P A ====. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查条件概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．B 【解析】 【分析】设BAC θ∠=,根据ABC 的余弦定理可得cos θ关于,b c 的关系式,再根据,ABM ACM 中的余弦定理可求得,b c 的关系式,进而化简得到sin θ关于,b c 的关系式,再表达出ABC 面积的公式,化简求解最大值即可. 【详解】设BAC θ∠=,在ABC 中有余弦定理2224cos 2b c bcθ+-=. 在,ABM ACM 中,因为AMB AMC π∠+∠=,故cos cos 0AMB AMC ∠+∠=.即()()()()2222222202222c b c c b b c b c b +--+--+=⋅-⋅-.化简可得2248b c bc +=-.故2224212cos 2b c bc bc bcθ+--==.故sin θ==故12ABCS==2=设0t bc =>,则22ABCS==当4t =时取得ABC 面积的最大值为故选：B 【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用,同时也考查了二次复合函数的最值问题.需要根据题意确定边角的关系,进而表达出面积关于边长的关系式,再换元利用二次函数的性质求解.属于难题. 11．A 【解析】 【分析】求导可得()()1'1xf x x e x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭,再根据函数的单调性以及极值点和零点即可知0x 为函数()f x 的零点和极小值点,进而根据0x 满足的关系式逐个选项判定即可.【详解】由题,()()()()111'111xxx x x f x e xe e x x e x x x +⎛⎫=-+-=+-=+- ⎪⎝⎭, 令()'0f x =,因为()0,x ∈+∞,故10xe x-=. 设10xe x-=的根为1x ,则可知在区间()10,x 上()'0f x <,()f x 单调递减； 在区间()1,x +∞上()'0f x >,()f x 单调递增.又当0x +→时, ()f x →+∞；当x →+∞时, ()f x →+∞. 故()f x 在1x x =时取最小值,且()10f x =,故10x x =.且01x e x =,即00ln x x =-.故③正确. 因为()()00001ln 0xf x x e x k =---=,即000000ln 11xk x e x x x x =--=-+=. 故①正确.②错误.令()xg x xe =,()0,x ∈+∞,则()()'10xg x x e =+>,故()xg x xe =为增函数.又()12011122g e g x ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭,故012x >.故④错误.综上,①③正确. 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的零点问题,需要根据题意求导分析函数的单调性,进而得到零点满足的关系式,再逐个性质进行判定即可.属于中档题. 12．C 【解析】 【分析】因为M 是线段PQ 的中点,故可设()00,M x y ,再用点差法根据直线CM 与PQ 垂直斜率相乘等于1-求出切点M 的坐标,再求出直线CM 的斜率即可. 【详解】设()00,M x y ,()()1122,,,P x y Q x y ,则22122122121222224044x y x x y y x y λλ⎧+=⎪-⎪⇒+-=⎨⎪+=⎪⎩,化简可得()121212124y y x x x x y y -+=--+ .因为M 是线段PQ 的中点,故1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.代入化简可得PQ 的斜率04PQ x k y =-. 又直线CM 与PQ 垂直,故0000141x yy x -⋅=--,解得043x =,代入圆()22:11C x y -+=可得03y =.故直线CM的斜率为3413=-为定值. 故选：C 【点睛】本题主要考查了点差法在研究中点弦中的应用,需要根据题意利用点差法以及直线与圆相切,斜率之间的关系列式求解.属于中档题. 13．()0,1-或()1,0- 【解析】 【分析】数形结合可设()0,b y =或者(),0b x =,再分别根据向量坐标的模长公式代入1a b +=求解即可. 【详解】建立平面直角坐标系,不妨设a ,b 起点均在原点.因为向量b 与a 的夹角为34π,故可设()0,b y =或者(),0b x =,,0x y <.当()0,b y =时,因为1ab +=,1=,解得1y =-.当(),0b x =时,因为1a b +=,1=,解得1x =-.故()0,1b =-或()1,0b =-.故答案为：()0,1-或()1,0- 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,需要根据题意建系确定b 的方向,再设坐标进行计算.属于中档题. 14．－5 【解析】 【分析】 易知41(1)x x--的展开式的通项4214(1)(1)rr m m r m r r T C C x --+=-⋅-.故常数项为135T T T ++，带入计算即可. 【详解】 易知41(1)x x --的展开式的通项4141(1)()r r r r T C x x-+=--， 又1()rx x-的展开式的通项121()(1)m m r m m m r m m r r R C x x C x ---+=-=-， 所以4214(1)(1)r r m m r mr r T C C x --+=-⋅-.令20r m -=，得2r m =. 因为04r ≤≤，所以02m ≤≤， 所以当0,1,2m =时，0,2,4r =.故常数项为042211402213544244(1)(1)(1)(1)(1)5T T T C C C C C ++=-+-⋅-+-⋅-=-.故答案为：5- 【点睛】本题主要考查二项式定理求常数项，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.15．22x y e =-（满足题设条件的函数均可） 【解析】 【分析】先求出函数()sin 2f x x =在原点()0,0处的切线方程,再构造常见的函数分析即可. 【详解】由题,()'2cos2f x x =,故()'02cos02f ==,故函数()sin 2f x x =在原点()0,0处的切线方程为2y x =.故可考虑如函数(),0xg x ae b a =+≠,此时()'xg x ae =,故()0'02g ae a ===.又()00g a b =+=,故2b =-.此时()22x g x e =-.故答案为：22xy e =-（满足题设条件的函数均可） 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程与构造函数的问题.需要熟悉常见的函数的性质,从而能够构造出合适的函数.属于基础题. 16．【解析】 【分析】(1)将正四面体ABCD 放入正方体可求得外接球半径,利用等体积法可求得内切球的半径. (2)根据阿波罗尼斯球的性质找到阿波罗尼斯球中的两个定点,再将13MC 转换,从而得出13MB MC +取最小值时的线段,再根据余弦定理求解即可.【详解】(1) 将正四面体ABCD 放入如图正方体,则正四面体ABCD 的外接球与该正方体的外接球为同一球.=设正四面体ABCD 的内切球半径为r ,根据等体积法有3321114436323r -⨯⨯⨯=⨯,解得r =故外接球与内切球的半径之和为=(2)由阿波罗尼斯球得内切球球心O 是线段CH 上以,C E 为定点,空间中满足()1PCPEλλ=≠的点P 的集合,连接CO 并延长交平面ABD 于H ,交内切球上方的点设为K ,过M 作ME CH ⊥,交CH 于E ,连接,BM CM ,设OE x =.由(1)空得CO OH ==KC HCKE HE=.=,解得x =3KC KE λ===,所以3MC ME =,所以13MC ME =. 所以13MB MC MB ME BE +=+≥,在BOE △中,BO CO ==OE =1cos cos 3BOE BOH ∠=-∠=-,所以BE ==所以13MB MC +的最小值为故答案为：(1)(2)【点睛】本题主要考查了正四面体外接球与内切球的半径计算,同时也考查了利用阿波罗尼斯球中的比例关系求解线段最值的问题,需要根据题意找到球中的定点,根据阿波罗尼斯球的性质转换所求的线段之和求解.属于难题.17．(1)证明见解析；(2) 21,321,3n n n n S n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数【解析】 【分析】(1)利用数列{}n a 的前n 项和与通项的关系,再构造1n n n b a a +=+证明即可. (2)根据(1)可得112n n n a a -++=,故可分n 为奇数与n 为偶数两种情况求解n S 即可.【详解】(1)因为422n n n S a -=…①,故111422n n n S a +++-=…②,()*n N∈②-①可得11142222n n n n n a a a +++-+=-.整理可得112n n n a a -++=,即12n nb -=,()*n N ∈.因为11222nn n n b b +-==,()*n N ∈.故{}n b 是等比数列.(2)当1n =时, 111422S a -=,解得11a =,又112n n n a a -++=,故当n 为偶数时有()()()12341...n n n a a a a a S a -=++++++20222142122...2143nn n -⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+++==-. 当n 为奇数时有()()()123451...n n n a a a a a S a a -=+++++++11213221421122 (21143)n n n --⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++=+=-. 故21,321,3n n n n S n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数【点睛】本题主要考查了根据数列前n 项和与通项的关系,构造并证明新数列为等比数列的问题,同时也考查了分奇偶求解数列前n 项和的方法,属于中档题. 18．(1)证明见解析；(2)【解析】 【分析】(1)取1A D 的中点N ,连接,NM NE ,证明四边形NEBM 为平行四边形即可.(2)易得当三棱锥1A DEM -的体积取最大时,面1A DE ⊥面ABCD ,再以E 为坐标原点建立空间直角坐标系,再分别求出面1A DE 与面ABCD 的法向量,进而求得平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角的余弦值即可.【详解】(1) 取1A D 的中点N ,连接,NM NE ,因为M 为线段1A C 的中点,故NM 为1A DC ∆的中位线,故12NMDC .又平行四边形ABCD 中,E 为边AB 的中点,故12EB DC ,故NM EB .故四边形NEBM 为平行四边形,故MBNE .又MB ⊄平面1A DE ,NE ⊂平面1A DE ,故MB 平面1A DE .(2)因为M 为线段1A C 的中点,故1112A DEM A DEC V V --=,故当三棱锥1A DEM -的体积取最大时三棱锥1A DEC -的体积取最大.故此时面1A DE ⊥面ABCD .因为60BAD ∠=︒,24AB AD ==.故ADE 边长是2的正三角形.120EBC ∠=︒,30CEB ∠=︒故2222cos120EC EB BC EB BC =+-⋅⋅︒,解得EC =故222DE EC DC +=,故DE EC ⊥.故以E 为原点建立如图空间直角坐标系.则平面1A DE 的一个法向量为()1,0,0m =.(1A,)1,0B-,()C .故(13,2,A B =-,()3,1,0BC =.设平面1A BC 的一个法向量为(),,n x y z =,则因为100n A B n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即20y y --=+=, 取1x =有y =3z =.故()1,3,3n =-.设平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角为θ,则cos 1311m n m nθ⋅===⋅⋅.故平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角的余弦值为13【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及利用空间直角坐标系求解二面角的问题.属于中档题. 19．（1）337y 1313x =+ 当10x =时，此方案可行．（2）应提供2台增氧冲水机 【解析】 【分析】 （1）求出，()()515,4,26iii x y x x y x ===--=∑．代入公式得到回归方程．代入10x =，求出估计值再进行判断．（2）分三个方案分别计算盈利的期望，选择期望高者即可． 【详解】解：（1）依题意，5,4,x y ==()()5126iii x x y x =--=∑()()()515213ˆ,13iii i i x x y y bx x ==--∴==-∑∑337ˆ451313a y bx=-=-⨯= 所以3371313y x =+ 当10x =时，67ˆ513y=>，故此方案可行． （2）设盈利为Y ，安装1台时，盈利5000Y =， 安装2台时，12040,3000,5X Y p <<==；440,10000,5X Y p ==． 14()300010000860055E Y ∴=⨯+⨯=安装3台时，12040,1000,5X Y p <<==； 4060,8000,X Y =3;5P =160,15000,5X Y P >==.13()1000800055E Y ∴=⨯+⨯11500080005+⨯=.86008000>，故应提供2台增氧冲水机．【点睛】本题考查了回归方程的求解，以及利用回归方程来作简单的预测，考查了方案的选择依据及合理的判断能力．属于中档题．20．(1)5; (2)PQ 恒过定点()1,4-,证明见解析 【解析】 【分析】(1)设点221212,,,44y y M y P y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据,,P M A 三点共线利用斜率AM PM k k =可得124y y ,进而求得OM OP ⋅即可.(2) 同(1),设点233,4y Q y ⎛⎫⎪⎝⎭,根据,,M B Q 三点共线利用斜率BQ QM k k =可得131340y y y y +++=.再根据124y y 化简可得()2323440y y y y +++=,再结合234PQ k y y =+可求得直线PQ 的方程,进而代入()2323440y y y y +++=化简求得定点即可.【详解】(1) 设点221212,,,44y y M y P y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为,,P M A 三点共线,故AM PM k k =,即1122221121444y y y y y y -=+-,即1211214y y y y =++,所以124y y .故221212544y y OM OP y y ⋅=⋅+=.(2) 设点233,4y Q y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,因为,,M B Q 三点共线,所以BQ QM k k =,所以31322233111444y y y y y y +-=--,即32313114y y y y +=-+,化简得131340y y y y +++=. 由(1) 124y y ,所以124y y =,即33224440y y y y ⋅+++=,即()2323440y y y y +++=...①因23223223444PQ y y k y y y y -==+-,所以直线PQ 的方程为2222344y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭, 即()()222324y y y y x y -+=-,即()23234y y y y y x +-=,由①有()232344y y y y -=++,代入可得()()()23441y y y x ++=-. 所以直线PQ 恒过定点()1,4-. 【点睛】本题主要考查了设抛物线上的点坐标,根据抛物线方程表示求解向量的数量积问题,同时也考查了弦长所在直线的方程进行化简求解证明定点的问题,其中三点共线需要用斜率相等表达,属于难题.21．（1）10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（2）详见解析【解析】 【分析】（1）若1b =，且当0x 时，()1f x 总成立，分类讨论，确定函数的最小值，即可求实数a 的取值范围；（2）求出函数的导数，构造新的函数，根据函数的单调性证明即可． 【详解】（1）当1b =，则()21xe f x ax x =++，2212()()(1)x ae ax x af x ax x -+'=++，当102a <时，()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞ 上单调递增，()(0)1f x f ≥=； 当12a >时，()f x 在[0，21]a a -上单调递减， 在21[a a-，)+∞上单调递增， 21()()(0)1min a f x f f a-<==，不成立， 102a∴<即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（2）当0b =时，2222(21)(),()1(1)x x e e ax ax f x f x ax ax -+'==++， 因为()f x 存在两个极值点，2440a a ->即1a > 有条件知1x ，2x 为2210ax ax -+=两根，121212,x x x x a+==， 不妨设12x x <则12012x x <<<<1212122112221212()()11222x x x x x x e x e x e e e e f x f x ax ax ax ax ++=+=+=++，由（1）知当1b =，12a =，0x ≥，211xe ax x ≥++，即2112x e x x ++≥（当且仅当0x =取等号）所以当0x >时，恒有2112xx e x >++ 2212122211111()()11222f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+>+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()12121211422x x x x x x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦16222a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭312a=+ 又()211121122111()()222x x x x x e x e f x f x x e x e -+⎡⎤+==+-⎣⎦ 令()()22xxh x xex e -=+-()01x <<则()()()`210x xh x x e e-=->+ 所以()h x 在()0,1 上递增，()()12h x h e <=，从而12()()f x f x e +< 综上可得：()()12312f x f x e a+<+< 【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22．(1) 1:C 2cos ρθ=,()0ρ≠,2:C ρθ=；(2) 当023πθ=时, AB 最大为4.【解析】 【分析】(1) 21221:21x t C ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩中可得y t x =,再代入化简得出1C 的直角坐标方程,进而求得其极坐标方程.又2:x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩为圆,得出直角坐标方程后再求出极坐标方程即可.(2)根据极坐标的几何意义,代入0θ到1C 与2C 的极坐标方程,再表达出AB 关于0θ的解析式求最大值即可. 【详解】(1) 因为21221:21x t C t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,故y t x =,代入221x t =+有221x y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭,即2222x x x y =+,化简可得2220x y x +-=,故其极坐标方程为22cos 0ρρθ-=,即2cos ρθ= .又(]220,21x t=∈+,故1:C 2cos ρθ=,()0ρ≠.又2:x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,故2C是以(为圆心,.故2C 的直角坐标方程为(223x y +-=,即220x y +-=,故其极坐标方程为ρθ=.故1:C 2cos ρθ=,()0ρ≠,2:C ρθ=. (2)由题,02cos OA θ=,0OB θ=,故0002cos 4si 6n AB πθθθ⎛⎫==-⎝-⎪⎭. 故当023πθ=时, AB 最大为4. 【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标以及直角坐标和极坐标的互化,同时也考查了根据极坐标的几何意义求解弦长最值的问题,属于中档题.23．(1) 32=M ；(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)将绝对值函数写成分段函数,再分析()f x 的最大值即可.(2)可换元令b c x +=,c a y +=, a b z +=,再反解出,,a b c 利用基本不等式证明即可. 【详解】(1)由题, ()12,213,122,1x x f x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩,故当12x ≤-时, ()32f x ≤；当112x -<<时()332f x -<<；当1≥x 时, ()3f x ≤-.综上()32f x ≤.故32=M .(2)原不等式即证32a b c b c c a a b ++≥+++令b c x +=,c a y +=, a b z +=,联立可得2y z x a +-=,2x z y b +-=,2x y zc +-=, 则不等式左边11322y z x x z y x y z y z x z x yx y z x y z ⎛⎫⎛⎫+-+-+-+++=++=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132yx z x z y x y x z y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦13322⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭右边. 当且仅当x y z ==时取等号.即得证. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式最值的求解以及换元利用基本不等式证明不等式的问题,需要根据所证明的不等式的结构进行换元,反解证明利用基本不等式证明.属于中档题.。

河北省石家庄市2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性可得235log 5log 5log 3>>，再根据()f x 的单调性和奇偶性可得正确的选项. 【详解】因为33log 5log 31>=，5550log 1log 3log 51=<<=， 故35log 5log 30>>.又2233log 5log 42log 9log 50>==>>，故235log 5log 5log 3>>. 因为当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数， 所以()()()235log 5log 5log 3f f f <<. 因为()f x 为偶函数，故()()3331log log 5log 55f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭-， 所以()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭<. 故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.2．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3【分析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知 当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.3．已知向量()()1,3,2a m b ==-v v ，，且()a b b +⊥vv v ，则m=( )A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D 【解析】 【分析】由已知向量的坐标求出a b +rr 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-r r r r ，又()a b b +⊥rr r ，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝1．本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．4．已知函数()cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数()g x x=的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得1m =，进而得()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用图像变换求解即可【详解】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得3f π⎛⎫=⎪⎝⎭322m +=1m =，所以()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2cos2g x x =，故只需将函数()f x 的图象上的所有点“先向左平移3π个单位长度，得2cos ,y x =再将横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变,得()2cos2g x x =”即可. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题5．已知关于x sin 2x x m π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,1【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6y x π=+，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 【详解】由题化简得3sin cos x x m +=，2sin()6m x π=+，作出2sin()6y x π=+的图象，又由12x x π-≥易知01m ≤<． 故选：C. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.6．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时， 直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）．金牌 （块） 银牌（块） 铜牌（块） 奖牌总数 24 5 11 12 28 25 16 22 12 54 26 16 22 12 50 27 28 16 15 59 28 32 17 14 63 2951212810030 38 27 23 88A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格和折线统计图逐一判断即可. 【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为545956.52+=,不正确； 故选：B 【点睛】此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.8．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=„，()220.9544P X μσμσ-<+=„.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544【答案】C 【解析】 【分析】根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果. 【详解】由题意，80μ=，5σ=，则()75850.6826P X <=„，()70900.9544P X <=„， 所以()()185900.95440.68260.13592P X <=⨯-=„，()75900.68260.13590.8185P X <=+=„. 故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185. 故选：C 【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.9．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为ˆy=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg 【答案】D 【解析】根据y 与x 的线性回归方程为 y=0.85x ﹣85.71，则 =0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确； 回归直线过样本点的中心（,x y ），B 正确；该大学某女生身高增加 1cm ，预测其体重约增加 0.85kg ，C 正确；该大学某女生身高为 170cm ，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg ，D 错误． 故选D ．10．已知α322sin αα=，则cos2α等于（ ） A ．23B ．29C ．13-D ．49-【答案】C 【解析】 【分析】322sin αα=可得3cos 3α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为23cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以3cos 3α=，所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题. 11．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，26SC =，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ） A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π【答案】B 【解析】 【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=o ，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则34232SD CD ==⨯=，则(((222222336SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=o .设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F . 由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ， 又312343OE DF OE OF =====，由勾股定理得2226OD OE DE =+=所以外接球半径为R===.所以外接球的表面积为22804433S Rπππ⎛===⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12．已知符号函数sgnx100010xxx⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]＝sgn x B．sgn[g（x）]＝﹣sgnxC．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]【答案】A【解析】【分析】根据符号函数的解析式，结合f（x）的单调性分析即可得解.【详解】根据题意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的减函数，当x＞0时，x＜ax，则有f（x）＞f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此时sgn[g （x）]＝1，当x＝0时，x＝ax，则有f（x）＝f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此时sgn[g （x）]＝0，当x＜0时，x＞ax，则有f（x）＜f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此时sgn[g （x）]＝﹣1，综合有：sgn[g （x）]＝sgn（x）；故选：A．【点睛】此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。