平行四边形性质专题Word版

应用文字编辑工具作品-《平行四边形的性质》教学设计-Microsoft-Word-文档平行四边形的性质（第1课时）教学案例评析执教：贵州省道真县玉溪镇大路中学韩书妮评析：贵州省道真县玉溪镇中心学校胡军课题：平行四边形的性质（第1课时）教学内容：人教版新课标教材：八年级下册页一、教学目标：1.掌握并理解平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质。

2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证。

3.通过观察、猜测、证明、归纳，能运用数学语言进行讨论与质疑，发展学生合理的推理意识，培养学生主动探究的习惯。

4.通过平行四边形性质的探究应用过程，培养学生独立思考的能力，在数学学习活动中获得成功的体验。

同时树立起学习的信心。

5.培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力。

二、重点、难点：1.重点：平行四边形的定义以及平行四边形的性质。

2.难点：平行四边形性质的探究。

三、教学过程实录及评析：（一）创设情境，导入新课师：多媒体演示（图一）问题1：请同学们欣赏一组日常生活中常见的图片，你能观察到图片中有我们学过的哪些四边形？生：观察思考后回答：图片中的四边形有（如图二）：长方形、正方形、平行四边形和梯形。

师：同学们观察得仔细，回答得很好。

问题2：图片中表现出最多的是哪种四边形？生：平行四边形。

问题3：你能举出生活中常见的平行四边形的一些其它例子吗？生：举例略。

问题4：正方形、长方形、平行四边形、梯形和四边形之间有怎能样的关系？生：回忆、思考。

但答不出来。

师：多媒体演示（如图三）：并提示：正方形、长方形属于平行四边形，平行四边形、梯形属于四边形。

师：强调：平行四边形属于四边形，具有四边形的性质，但它是具有特殊条件的四边形。

本节课就来研究平行四边形具有哪些特殊性，由此导出课题。

板书：“平行四边形”评析：创设情境出示并四边形模型，感受“特殊四边形”与“一般四边形”的区别与联系。

通过这种问题式谈话开场，清新自然.让学生明晰平行四边形与一般四边形从属关系的同时，轻松切入主题。

19.1.2 平行四边形的判定（一）教学目知识与技能1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题过程与方法经历平行四边形判定条件的探索过程，发展学生的合情推理意识和表述能力. 情感态度与价值观培养学生合情推理能力，经及严谨的书写表达，体会几何思维的真正内涵.重点理解和掌握平行四边形的判定定理.难点几何推理方法的应用.教学过程备注教学设计与师生互动第一步：创景引入：老师提问：1、平行四边形定义是什么？如何表示？2、平行四边形性质是什么？如何概括？演示图片：选择各种四边形图片展示.提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？请学生通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能找出其他方法吗？总结：平行四边形判定1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形判定2 对角线互相平分的四边形是平行四边形.第二步：应用举例：例1（教材P96例3）已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法2来证明．（证明过程参看教材）问；你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单．例2（补充）已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求证：(1) ∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；(2) △ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．证明：(1) ∵A′B′∥BA，C′B′∥BC，∴四边形ABCB′是平行四边形．∴∠ABC＝∠B′(平行四边形的对角相等)．同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．(2) 由(1)证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C 是平行四边形．∴AB＝B′C，AB＝A′C(平行四边形的对边相等)．∴B′C＝A′C．同理B′A＝C′A，A′B＝C′B．∴△ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点．例3（补充）小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．解：有6个平行四边形，分别是ABOF，ABCO，BCDO，CDEO，DEFO，EFAO．理由是：因为正△ABO≌正△AOF，所以AB=BO，OF=FA．根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形．其它五个同理．第三步：随堂练习1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形．2．已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．3．灵活运用课本P89例题，如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由（n+1）个等边三角形拼成，通过观察，分析发现：①第4个图形中平行四边形的个数为___ __．（6个）②第8个图形中平行四边形的个数为___ __．（20个）第四步：课后练习：1、在四边形ABCD中，AC交BD 于点O，若AO=1/2AC,B O=1/2BD,则四边形ABCD是平行四边形.（）2、在四边形ABCD中，AC交BD 于点O，若OC= 且,则四边形ABCD是平行四边形.3、下列条件中，能够判断一个四边形是平行四边形的是（）（A）一组对角相等；（B）对角线相等；（c）一组对角相等；（D）对角线相等；3、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（）．A、对角线互相垂直B、对角线相等C对角线互相垂直且相等D 对角线互相平分4、已知，如图，平行四边形ABCD的AC和BD相交于O点，经过O点的直线交BC和AD于E、F，求证：四边形BEDF是平行四边形.（用两种方法）5、已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F.求证：四边形AECF是平行四边形.6、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是OA、OC的中点，求证：BM∥DN，且BM=DN .7．已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC，求证：BE=CF课后小结与反思：19.1.2 平行四边形的判定（三）教学目标知识与技能1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算过程与方法经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．感悟几何学的推理方法.情感态度与价值观培养学生合情推理意识，形成几何思维分析思路，体会几何学在日常生活中的应用价值.重点掌握和运用三角形中位线的性质．难点三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）教学过程备注教学设计与师生互动第一步：课堂引入1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．）实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）图中有几个平行四边形？你是如何判断的？第二步： 引入新课例（教材P98例4） 如图，点D 、E 、分别为△ABC边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE=21BC ． 分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．方法1：如图（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF ，由△ADE ≌△CFE ，可得AD ∥FC ，且AD=FC ，因此有BD ∥FC ，BD=FC ，所以四边形BCFD 是平行四边形．所以DF ∥BC ，DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ． （也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图（2），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF 、CD 和AF ，又AE=EC ，所以四边形ADCF 是平行四边形．所以AD ∥FC ，且AD=FC ．因为AD=BD ，所以BD ∥FC ，且BD=FC ．所以四边形ADCF 是平行四边形．所以DF ∥BC ，且DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ． 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线【思考】：（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线． （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）第三步：应用举例例1已知：如图（1），在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．分析：因为已知点E 、F 、G 、H 分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH 的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC 或BD ，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．证明：连结AC （图（2）），△DAG 中，∵ AH=HD ，CG=GD ，∴ H G ∥AC ，HG=21AC （三角形中位线性质）．同理EF ∥AC ，EF=21AC ． ∴ HG ∥EF ，且HG=EF ．∴ 四边形EFGH 是平行四边形．此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．第四步：课堂练习1．如图，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连结AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点M 、N ，如果测得MN=20 m ，那么A 、B 两点的距离是 m ，理由是 ．2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm 和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．3．如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，（1）若EF=5cm ，则AB= cm ；若BC=9cm ，则DE= cm ；（2）中线AF 与DE 中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．第五步：课后巩固1．（填空）一个三角形的周长是135cm ，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是cm．2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△A BC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是cm．3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．课后小结与反思：19.1.2 平行四边形的判定（二）教学目标知识与技能1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题3、使学生熟练掌握平行四边形判定的五种方法，并通过定理，习题的证明提高学生的逻辑思维能力；进一步掌握平行四边形性质与判定之间的区别与联系.过程与方法通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力．情感态度与价值观培养学生合情推理能力，经及严谨的书写表达，体会几何思维的真正内涵.重点平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法．难点几何推理方法的应用.平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．教学过程备注教学设计与师生互动第一步：课堂引入1．平行四边形的性质；2．平行四边形的判定方法；3．【探究】取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．第二步：应用举例：例1（补充）已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CD．∵ E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴ DE ∥BF ，且DE=21AD ，BF=21BC ． ∴DE=BF ． ∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．∴ BE=DF ．此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路．例2（补充）已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AC 上两点，且BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．分析：因为BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，所以BE ∥DF ．需再证明BE=DF ，这需要证明△ABE 与△CDF 全等，由角角边即可．证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB=CD ，且AB ∥CD ．∴ ∠BAE=∠DCF ．∵ BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴ BE ∥DF ，且∠BEA=∠DFC=90°．∴ △ABE ≌△CDF （AAS ）．∴ BE=DF ．∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）．例3、 已知：如图3，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，且AE ＝CF.求证：四边形BFDE 是平行四边形.B A OC D EF图3分析：已知平行四边形可用平行四边形的性质，求证平行四边形要想判定定理，由于E 、F 在对角线上，显然用对角线互相平分来判定.证明：连结BD 交AC 于O.是平行四边形四边形即平行四边形ABCD OFEO CF OC AE AO CFAE ODOB ,OC OA ABCD ∴=-=-∴===∴（对角线互相平分的四边形是平行四边形）这道题，还可以利用CFB AED ,DFC ABE ∆≅∆∆≅∆用对边相等或平行来判定平行四边形，相比之下使用对角线较简便.例4、 已知：如图DBC ADB BF DE ,AC BF ,AC DE ∠=∠=⊥⊥。

平行四边形性质和判定习题L如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE1BD于E- CF丄BD于F.（1）求证：BE=DF：X _勒（2）若N分别为边AD、BC±的点，且DM=BN.试判断四边形MENF的形状——必说明理由）.2.如图所示，UAECF的对角线相交于点0, DB经过点O分別与AE, CF” p交于B. D.求证：四边形ABCD是平行四边形•3・如图，在四边形ABCD中，AB=CD, BF=DE, AE丄BD・CF丄BD,垂足分别为E, F.（1）求证J A ABE=A CDF：（2）若AC与BD交于点0,求证：AO=CO.4・已知：如图，他ABC中，^BAC=90\DE.DF是△ABC的中位线，连接EF、EF=AD・5・如图，已知D是A ABC的边AB上一点，CEIIAB,DE交AC于点0,且OA=0C,猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关并加以证明・B AD.求证:。

（不CNCBAFED FE系E6・如图，已知，UABCD中，AE=CF, M、N分别是DE、BF的中点.求证：四边形MFNE是平行四边形•7・如图，平行四边形ABCD, E 、F 两点在对角线BD 上，且BE=DF,连接AE. EG CF, FA ・求证：四边形AECF 是平行四边形•& 在UABCD 中，分别以AD 、BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF,连接BE. DF ・求证：四边形BEDF 是平 行四边形・DBIIAC,且DB 丄AC. E 是AC 的中点，求证：BC=DE ・2如图，在梯形ABCD 中，ADIIBC, AD=24cm. BC=30cm,点P 自点A 向D 以IcmZs 的速度运动，到D 点Q 自点C 向B 以2cm/s 的速度运动，到B点即停止，直线PQ 截梯形为两个四边形•问当P. Q同时10. 已知脣 点即停止. 出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？IL 如图：已知D 、E 、F 分别是A ABC 各边的中点, 求证：AE 仃DF 互相平分.如图所示, 9・ED13.如图，已知四边形ABCD中，点E, F. G, H分别是AB、CD、AC. BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上.求证：EF和GH互相平分・14.如图J oABCD 中，MNIIAC.试说明MQ=NP.15.已知：如图所示「平行四边形ABCD的对角线AC, BD柑交于点6 EF经过点0并且分别和AB. CD相交于点E, F,点G, H分别为OA, 0C的中点.求证：四边形EHFG是平行四边形.-46 如制已知的ABCD中,E、F是对角线BD上的两点，BE=DF,点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH. 连接GE、EH、HF、FG.（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，尖余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）17.如图，在A ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE、CF.（1）求证J AF=CE：（2）如果AC=EF,且ZACB=135\试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论・18,如图平行四边形ABCD 中.mBC=6（几 点E 、F 分別在CD.BC 的延长线上，AE||BD ・ EEhBB 垂足为点F, DF=2 （1） 求证：D 是EC 中点； （2） 求FC 的长.19.如图，已知A ABC 是等边三角形，点D 、F 分别在线段BC 、AB 匕 厶EFB=60。

平行四边形的性质（1）课型学习新知课主备人金晓铃鉴定人江远明学生姓名【课程目标】研究并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线相互均分【学习目标】1、理解并掌握平行四边形的看法和平行四边形对边、对角相等的性质．2、会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．【学法指导】研究、合作、交流【自主学习】1. 由 __ _ 条线段首尾按序连接构成的多边形叫四边形；四边形有_条边， ___个角 , 四边形的内角和等于 _____度；2. 如图 AB与 BC叫 _ __边， AB 与 CD叫__ _边；∠ A 与∠ B 叫 _ __角，∠ D与∠ B 叫_ __角 ;3 多边形中不相邻极点的连线叫对角线，如图四边形ABCD中对角线有 __ _ 条，它们是___自学课本1.有两组对边 __________________ 的四边形叫平形四边形，平行四边形用“ ______表”示，平行四边形 ABCD 记作 __________。

（可以写成□BACD 吗？）2.如图□ABCD 中，对边有 ______组，分别是 ___________________ ，对角有 _____组，分别是 _________________，对角线有 ______条，它们是 ___________________ 。

试一试：1、如图，小明用一根36 m长的绳索围成了一个平行四边形的场所，此中一条边AB 长为 8 m，其余三条边各长多少？2、一个个平行四边形的一个外角是38°，这个平行四边形的各个内角的度数分别是：组长检查等级：组长署名：【合作研究】你能猜想ABCD的边、角各有什么关系吗？并证明你的结论。

边的关系：角的关系：证明：证明：从而获取平行四边形的性质：（ 1）平行四边形的对边且。

几何语言：（ 2）平行四边形的对角，邻角。

几何语言：【当堂检测】（A 层）1、ABCD有一个内角等于40°，则别的三个内角分别为：2、平行四边形的周长为50cm，两邻边之比为2： 3，则两邻边分别为：3、ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D的值可以是（）A.1 ︰2︰3︰4︰4︰4︰3︰3︰4︰4︰4︰3︰44. 、ABCD 的周长为 40cm，△ ABC的周长为 27cm,AC 的长为（）（ B、 C层）1、如图，在平行四边形 ABCD 中，∠B=110 °，延长 AD 至 F ，延长 CD至 E ，连接 EF ，则∠ E+ ∠F 等于 (）A.30 °B.110 °° D.70 °2、如图，在平行四边形 ABCD中，已知 AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 于 F，若 AE=4， AF=6，平行四边形 ABCD的周长为 40，则平行四边形 ABCD的面积为多少？3、在ABCD，若一个角的均分线把另一条边分成长是2cm和 3cm 的两条线段，则该平行四边形的周长是4.如图，AD∥ BC，AE∥ CD，BD均分∠ ABC，求证AB=CE.【学后反思】本节课你学会了什么？你还有哪些诱惑？学习等级小组议论教师议论平行四边形的性质（2）课型学习新知课主备人金晓铃鉴定人江远明学生姓名【课程目标】研究并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线相互均分【学习目标】1、理解平行四边形中心对称的特色，掌握平行四边形对角线相互均分的性质．2、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题【学法指导】研究、合作、交流。

18.1 平行四边形18.1.1 平行四边形的性质第1课时平行四边形的性质（1）思想方法（即为甚么要添加对角线）．教学预备教学过程（师生活动）设计理念创设情境，导入新课引言前面我们曾经学习了许多图形与几何知识，掌握了一些探求和证明图形几何性质的方法，本节开始，我们继续研讨生活中的常见图形.成绩 1 观察以下图片, 从中能找到甚么几何图形的抽象？师生活动:先生积极积极发言,教师用电脑演示你知道甚么样的图形叫做平行四边形吗？平行四边形是四边形中比较特殊的一类，那么平行四边形性质有哪些特殊的性质？本节课我们一同来探求平行设计意图：经过图片展现，让先生逼真感受生活中存在大量平行四边形的原型．进而从实践背景中抽象出平行四边形，让先生经历将实物抽象为图形的过程．四边形及其性质！合作探求,探求新知活动1：平行四边形相关概念1、结合之前学习的知识，你能从以下图形中找出平行四边形吗？2、归纳概念让先生本人归纳定义定义：有两组对边__________________的四边形叫平形四边形。

表示方法：平行四边形用“______”表示，平行四边形ABCD记作__________.如图□ABCD中，对边有组，分别是对角有_____组，分别是_________________3、想一想：你还能说出生活中哪些平行四边形的例子吗？设计意图：给出定义，强调定义的作用．621师生活动：教师引导先生回顾小学学习过的平行四边形的概念：两组对边分别平行的四形叫做平行四边形．阐明定义的两方面作用：既可以作为性质，又可以作为判定平行四边形的根据．介绍平行四边形的表示方法．活动2：猜想证明，探求性质理想世界中很多物体都有平行四边形的抽象，为甚么平行四边形外形的物体到处可见呢？这与平行四边形的性质有关。

1、由平行四边形的定义可知，平行四边形有甚么性质？2、除此之外，平行四边形的边与边，角与角之间还有怎样的关系呢？大家一同探求平行四边形边、角的其它性质。

第03讲平行四边形的性质和判定【题型1 根据平行四边形的性质求边长】【题型2根据平行四边形的性质求角度】【题型3根据平行四边形的性质求周长】【题型4 平行四边形的判定】【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】【题型6 平行四边形的性质与判定综合】考点1：平行四边形的性质1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D3.对角线的性质：对角线互相平分。

如图：AO=CO，BO=DO【题型1 根据平行四边形的性质求边长】【典例1】（2023秋•龙口市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（ ）A．16B．18C．20D．22【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，∵AB⊥AC，由勾股定理得：OB＝＝＝10，∴BD＝2OB＝20．故选：C．【变1-1】（2023春•历下区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（ ）A．1B．1.5C．2D．3【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6．CD∥AB，∵∠DAB的平分线AE交CD于E，∴∠DAE＝∠BAE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∴∠DAE＝∠AED．∴ED＝AD＝6，∴EC＝CD﹣ED＝8﹣6＝2．故选：C．【变式1-2】（2022秋•牟平区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD 于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝4，AD＝5，则EF的长度（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴∠DFC＝∠FCB，又CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC，同理可证：AE＝AB，∵AB＝4，AD＝BC＝5，∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝3．故选：C．【变式1-3】（2022秋•安化县期末）如图，F是平行四边形ABCD对角线BE上的点，若BF：FD＝1：3，AD＝12，则EC的长为（ ）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝12，∵BF：FD＝1：3，∴EB：AD＝BF：FD，∴EB：12＝1：3，∴EB＝4，∴EC＝BC﹣EB＝12﹣4＝8．故选：C．【题型2根据平行四边形的性质求角度】【典例2】（2023春•环翠区期末）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（ ）A．55°B．60°C．65°D．75°【答案】D【解答】解：延长EH交AB于N，∵△EFH是等腰直角三角形，∴∠FHE＝45°，∴∠NHB＝∠FHE＝45°，∵∠1＝30°，∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2+∠HNB＝180°，∴∠2＝75°，故选：D．【变式2-1】（2023秋•二道区校级期末）如图，在▭ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（ ）A．80°B．40°C．70°D．140°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠D＝180°﹣∠A＝140°，故选：D．【变式2-2】（2023春•北安市校级期中）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，则∠A的度数为（ ）A．155°B．130°C．125°D．110°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝180°﹣∠BED＝25°，∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝130°．故选：B．【变式2-3】（2023•巴东县模拟）四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝70°，BE平分∠ABC交AD于点E，DF∥BE交BC于点F，则∠CDF的度数为（ ）A．55°B．50°C．40°D．35°【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝70°，BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABC＝35°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝70°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE＝35°，∵DF∥BE，∴∠EDF＝∠AEB＝35°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝70°﹣35°＝35°，故选：D．【题型3根据平行四边形的性质求周长】【典例3】（2023春•光明区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，则平行四边形ABCD的周长为（ ）cm．A．11B．18C．20D．22【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD与BC平行，AD＝BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE＝4，∵BC＝BE+EC＝4+3＝7＝AD，∴平行四边形ABCD的周长为2×（7+4）＝22（cm），故选：D．【变式3-1】（2023春•东港区校级期中）在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC 分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（ ）A．13或14B．26或28C．13D．无法确定【答案】B【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，当EB＝5，EC＝4时，如图1，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；当EB＝4，EC＝5时，如图2，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，∴平行四边形ABCD的周长为26或28，故选：B．【变式3-2】（2023春•沙坪坝区期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，周长为18，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为（ ）A．18B．9C．6D．3【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵▱ABCD周长为18，∴AD+CD＝9，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴AE＝CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+AE+DE＝AD+CD＝9．故选：B．【变式3-3】（2023秋•南关区校级期末）如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD 相交于点O，AC+BD＝24，则△BOC的周长为　22　．【答案】22．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，∵AC+BD＝24，∴OC+BO＝12，∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝12+10＝22．故答案为：22考点2：平行四边形的判定1.与边有关的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形3.与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形【题型4 平行四边形的判定】【典例4】（2023秋•朝阳区校级期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC【答案】B【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；B、AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；C、AO＝CO，BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；D、AB＝DC，AD＝BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；故选：B．【变式4-1】（2022秋•泰山区期末）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）A．一组对边相等，另一组对边平行B．一组对边平行，一组对角互补C．一组对角相等，一组邻角互补D．一组对角互补，另一组对角相等【答案】C【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形B、一组对边平行，一组对角互补，也有可能是等腰梯形C、一组对角相等，一组邻角互补可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形D、一组对角互补，另一组对角相等，可能是含两个直角的一般四边形．故选：C．【变式4-2】（2023春•台山市校级期中）在四边形ABCD中，AB∥DC，要使四边形ABCD 成为平行四边形，还需添加的条件是（ ）A．∠A+∠C＝180°B．∠B+∠D＝180°C．∠A+∠D＝180°D．∠A+∠B＝180°【答案】D【解答】解：选项A，B中的两对角是对角关系，不能推出AD∥BC，选项C只能推出AB∥DC，选项D中两角是同旁内角，∵∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，又∵AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，故选：D．【变式4-3】（2023•中牟县校级开学）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）A．①②B．①④C．②④D．②③【答案】C【解答】解：∵只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，∴带②④两块碎玻璃，就可以确定原来平行四边形玻璃的大小，能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，故选：C．【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】【典例5】（2022秋•周村区期末）已知，如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠BAF＝∠DCE．求证：（1）△ABF≌△CDE．（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解析过程；（2）见解析过程．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（ASA）；（2）∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，BF＝DE，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-1】（2023春•惠城区期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE ＝DF．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）．∴AE＝CF．（2）∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-2】（2023春•鱼台县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠ADE＝∠CBF．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°．∵在△ADE与△CBF中，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF．（2）∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEF＝∠CFE＝90°．∴AE∥CF．又∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-3】（2023•新疆模拟）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF＝DE．证明：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵BF＝DE，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【题型6 平行四边形的性质与判定综合】【典例6】（2023春•温州月考）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE ＝CF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若DE为∠ADC的角平分线，且AD＝6，EB＝4，求▱ABCD的周长．【答案】（1）见解析；（2）32．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴DF∥BE，∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵DE为∠ADC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝6，∵BE＝4，∴AB＝AE+BE＝10，∴▱ABCD的周长＝2（AD+AB）＝2（6+10）＝32．【变式6-1】（2023春•成都期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数．【答案】（1）证明过程见解答；（2）30°．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAF＝∠DCE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA，∴ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，∵AB＝DC＝DF，∴AB＝BE，∴∠BEA＝∠BAC＝80°，∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°．【变式6-2】（2023秋•锦江区校级期末）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解答过程；（2）24．【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，在△BEC和△DFA中，，∴△BEC≌△DFA（AAS），∴BE＝DF，又BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°，∴AG＝4，∵BC＝6，∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AG＝4×6＝24．【变式6-3】（2023春•和县校级期末）如图，BD是四边形ABCD的对角线，∠ADB＝∠CBD，AD＝BC，过点A作AE∥BD交C的延长于E．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，连接DF，若，求DF的长．【答案】（1）见解析；（2）2．【解答】（1）证明：∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠BCD．∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CE，AB＝CD，∵AE∥BD，∴∠EAD＝∠BDA，∴∠EAD＝∠DBC，在△EAD和△DBC中，，∴△EAD≌△DBC（ASA），∴DE＝CD，∵AB＝DE．∴四边形ABDE是平行四边形；（2）∵DE＝CD＝AB，∴FD是CE的中线，∵EF⊥BC，∴DF＝CE＝＝2．考点3：三角形的中位线三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是A C，AC 的中点，连接DE.像DE 这样，连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。

平行四边形的定 义：两组对角分 别相等的四边形
判定方法：通过 测量对角线长度， 判断两组对角是 否相等
应用：在几何证 明、图形识别等 领域有广泛应用
注意事项：测量 误差可能导致判 断不准确，需要 多次测量确认
平行四边形的面积
04
和周长计算
面积计算公式
平行四边形的面积可以通过底和高 的乘积来计算 底和高的长度可以通过测量得到
矩形的性质
对边平行且相等
对角线互相平分且相等
内角均为直角
面积等于长乘宽
等腰梯形的性质
性质一：等腰梯形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质 性质二：等腰梯形具有两个对角线相等的性质 性质三：等腰梯形的面积可以通过对角线乘积的一半来计算 性质四：等腰梯形的周长可以通过对角线之和来计算
平行四边形的实际
面积计算公式为：面积 = 底 x 高
平行四边形的周长可以通过四条边 的长度之和来计算
周长计算公式为：周长 = 4 x 边长
周长计算公式
平行四边形的周长等于相邻两边之和的2倍 平行四边形的周长等于对角线之和的一半 平行四边形的周长等于任意一边的2倍加上任意一边的2倍 平行四边形的周长等于任意一边的2倍加上对角线之和的一半
平行四边形的 判定方法：一 组对边平行且
相等
平行四边形的 性质：两组对 边分别平行且
相等
平行四边形的 判定方法：一 组对边平行且 相等，另一组 对边也平行且
相等
两组对边分别平行
平行四边形的定 义：两组对边分 别平行的四边形
平行四边形的判 定方法：两组对 边分别平行的四 边形是平行四边 形
平行四边形的性 质：两组对边分 别平行的四边形 具有平行四边形 的性质

平行四边形的性质分类题组类1 平行四边形-性质-辨析1．平行四边形对角线一定具有的性质是( )A ．相等；B ．互相平分；C ．互相垂直；D ．互相垂直且相等；类2 平行四边形-性质-边长与周长2．用20边与短边的比为3︰2，则它的边长为_______长为________．类3 平行四边形-性质-对角线的中垂线3．如图，□ABCD 的周长为16cm ，AC 、BD 点O ，OE ⊥AC 交AD 于E ，则△DCE 的周长为( A ．4 cm ； B ．6cm ； C ．8cm ； D ．10cm ；AEBDOC类4 平行四边形-性质-等腰模型4．在△MNB 中，BM ＝6，点A 、C 、 D 分别在BN ，NM 上，四边形ABCD 为平行四边形，∠＝∠MDA ，平行四边形ABCD 的周长是( ) A ．24； B ．18； C ．16； D ．12；ABMNC D5．在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E ，F 分别是AC BC ，BA 延长线上的点，四边形ADEF 形．求证：AD ＝BF ．AB CDEF类5 平行四边形-性质-三角形周长ABCD 的周长为60cm ，对角线交于O ，△OAB 的周长比△OBC 的周长大8cm ，则＝____________cm ．6 平行四边形-性质-高与面积已知平行四边形面积是144，相邻两边上的高分8和9，则它周长是__________．7 平行四边形-性质-三边关系平行四边形的两条对角线的长分别是6和8，则x 可能的取值范围是（ ）A ．2＜x ＜6；B ．2＜x ＜14；C ．1＜x ＜7；D ．不能确定； 平行四边形的两条对角线长和一边长可依次为（ ）A ．6，6，6B ．6，4，3C ．6，4，6D ．3，4，58 平行四边形-性质-对角线与边垂直．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，⊥AC ，∠DAC ＝45°，AC ＝2，求BD 的长．9 平行四边形-性质-角分线+平行线．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则线段BE ，EC ( ) A BC DEA ．2和3；B ．3和2；C ．4和1；D ．1和4； ．如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE 平分ABC ，CF 平分∠BCD ，BE 、CF 交于点G ．若使＝3，AD ＝5，EF ＝____________． A C DE F G．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCDCF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG AB 于G ．(1)求证：AF ＝GB ．(2)得△EFG 为等腰直角三角形，并说明理由．A BCD EFG类10 平行四边形-性质-对角邻角计算14．已知平行四边形ABCD 中，∠B ＝4∠A ，＝( )A ．18°；B ．36°；C ．72°；D ．144°； 15．如图，□ABCD 与□DCFE 的周长相等，且∠＝60°，∠F ＝110°，则∠DAE 的度数为 A BCDEF类11 平行四边形-性质-对角线互相平分16．如图，□ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠EAC ＝30AE ＝3，则AC 的长等于____________． A DBCE类12 平行四边形-性质-面积17．如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，∠B 30°，则此平行四边形的面积是( ) ABCDA ．6；B ．12；C ．18；D ．24；类13 平行四边形-性质-面积与周长18( ) A ．1种；B ．2种；C ．4种；D ．无数种； ．在平行四边形ABCD 中，EF 过对角线交点O ， AB ＝6cm ，AD ＝5cm ，OF ＝2cm ，那么四边BCEF 的周长为_____________．．已知：点P 是▱ABCD 的对角线AC 的中点，经P 的直线EF 交AB 于点E ，交DC 于点F ．求AE ＝CF ． A BCDEF P14 平行四边形-性质-对角线上两个点．如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE 、DF ABC ，∠ADC 的平分线，且与对角线AC E 、F ．求证：AE ＝CF ．ABCDE F．如图，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上BE ∥DF ．求证：BE ＝DF ．AFE D15 平行四边形-性质-对角平行线．如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ，∠D 的E 、F ，交四边形对角线AC于点G 、H ．求证：AH =CG ．ABCDE FHG类16 平行四边形-性质-一边中点※24．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，∠的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC F ，且点F 为边DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G 若DG ＝1，则AE 的边长为( )A ．B ．C ．4；D ．8；A B CDFEG※25．如图 ，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2M 为AD 的中点，CE ⊥AB 于E ，试说明∠DME 3∠AEM ．A BCDEM类17 平行四边形-性质-折叠26．如图，将□ABCD 沿对角线AC 折叠，使点落在B ′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )114°；D ．124°； C最值1的⊙A 上一点，AC 为对角线作ABCD 面积的最大值( ) C ．对角互补；AB ＝4，则BC ＝( ) D ．28；中，AB ＝3cm ，BC O ，则OA 的取B ．2cm ＜OA ＜8cm ；D ．3cm ＜OA ＜8cm ； (端点除外)作两腰 B ．一腰的长； D ．两腰的和； 2AB ，CE 平分∠BCD AB 的长为( )A ．4；B ．3；C ．52； D ．2；BC DAE33．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，＝4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有□中，DE 最小的值是( )A ．2；B ．3；C ．4；D ．5； CA B DEO34．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点且AB ≠AD ，过O 作OE ⊥BD 交BC 于点E ．若△的周长为10，则平行四边形ABCD 的周长为____________． ABDC E O35．在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ＝4，AC ＝6，则BD ＝__________．36．如图，□ABCD 中，点E 、F 分别在AD ，上，且AE ＝CF ．求证：BE ＝DF ．BCDAFE37．如图，在□ABCD 中，E 、F 为对角线BD 两点，且∠BAE ＝∠DCF ．ABCD 的对角线线段BE 与线C∴∠A＋∠B＝180°，∵∠B＝4∠A，∴∠A＝36°，∴∠C＝∠A＝36°．15．&【答案】25°．【解答过程】∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD，∴AD＝DE, ∠ADE＝∠BCF＝60°＋70°＝130°．∴∠DAE＝11(180)5025 22ADE︒-∠=⨯︒=︒．类11 平行四边形-性质-对角线互相平分16．解：∵在直角△AOE中，cos∠EAC＝，∴OA＝＝＝2，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OA＝4．故答案是：4．类12 平行四边形-性质-面积17．B．；解：过点A作AE⊥BC于E，∵直角△ABE中，∠B＝30°，∴AE＝AB＝×4＝2∴平行四边形ABCD面积＝BC•AE＝6×2＝12，类13 平行四边形-性质-过中心直线平分面积与周长18．D．；19．15；20．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠P AE＝∠PCF，∵点P是▱ABCD的对角线AC的中点，∴P A＝PC，在△P AE和△PCE中，，∴△P AE≌△PCE(ASA)，∴AE＝CF．类14 平行四边形-性质-对角线上两个点21．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠ABC＝∠CDA，AB∥CD∴∠BAC＝∠DCA∵BE、DF分别是∠AB C．∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F∴∠ABE＝21∠ABC，∠CDF＝21∠ADC∴∠ABE＝∠CDF∴ABE∆≌CDE∆(AAS)∴AE＝CF；22．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC＝AD BC∥AD …2分∴∠ACB＝DAC………………3分∵BE∥DF∴∠BEC＝∠AFD………………4分∴△CBE≌△ADF………………5分∴BE＝DF………………6分类15 平行四边形-性质-对角平行线23．证明：∵∠ABC=∠CDA(平行四边形对角相等) BE平分∠ABC，DF平分∠CDA(已知)∴∠ADH＝∠CBG在△ADH和△CBG中AD=CB∠ADH=∠CBG(已证)∠DAH=∠BCG(两直线平行，内错角相等)∴△ADH≌△CBG(SAS)∴AH=CG(全等三角形的对应边相等)；类16 平行四边形-性质-一边中点24．B．；解：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵DC ∥AB ， ∴∠BAE ＝∠DF A ， ∴∠DAE ＝∠DF A ， ∴AD ＝FD ， 又F 为DC 的中点， ∴DF ＝CF ，∴AD ＝DF ＝12DC ＝12AB ＝2，在Rt △ADG 中，根据勾股定理得：AG ＝3， 则AF ＝2AG ＝23， 在△ADF 和△ECF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DAF ＝∠E ∠ADF ＝∠ECF DF ＝CF， ∴△ADF ≌△ECF (AAS )， ∴AF ＝EF ，则AE ＝2AF ＝43．25．解：连接CM 并延长交BA 于F ，A BCD EM F x2xxx x αα αα α 2α设CD ＝x ，∴BC ＝2AB ＝2x ， ∵M 为AD 的中点， ∴AM ＝MD ＝x ， ∴DM ＝DC ＝x ，∴设∠DCM ＝∠DMC ＝α＝∠AMF ， 在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ， ∠DCM ＝∠F ＝α， ∴△CDM ≌△FAM ∴MF ＝MC 又∵CE ⊥AB在Rt △CEF 中，M 为CF 的中点，∴EM ＝12 CF ＝MF∴∠F ＝∠FEM ＝α， ∵∠EMC 为△EFM ∴∠EMC ＝∠F ＋∠＝2α，∴∠EMD ＝∠EMC ＋∠CMD ＝3α＝3∠∠EMC ； 即，∠DME ＝3∠AEM ．类17 平行四边形-性质-折叠26．C ．；【考点】平行四边形的性质． 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ， ∴∠ACD ＝∠BAC ，由折叠的性质得：∠BAC ＝∠B ′AC ， ∴∠BAC ＝∠ACD ＝∠B ′AC ＝∠1＝22°， ∴∠B ＝180°－∠2－∠BAC ＝180°－44°－22°＝114°；类18 平行四边形-性质-最值27．解：由已知条件可知，当AB ⊥AC 时□ABCD 的面积最大，以点A 为圆心，3AB ＝3，所以点B 为圆上动点，要使□ABCD 面积最大，即是要△ABC 的面积最大，我们以AC 为底，高即是B 点到直线AC 的垂线段BH 的长，如下图，点B 与点E 重合时，垂线段BH 最长，即AB ⊥AC时□ABCD 的面积最大，APBD EH∵AB ＝3，AC ＝2 ∴S △ABC ＝132AB AC ⋅= ∴S □ABCD ＝2S △ABC ＝3∴□ABCD面积的最大值为故答案为作业28．C ．；29．B ． 30．C ．； 31．D ．；32．B33．B．；解：∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4， ∴AC 5=．∵四边形ADCE 是平行四边形， ∴OD ＝OE ，OA ＝OC ＝2.5．∴当OD 取最小值时，DE 线段最短(点O 到BC 垂线段最短)，此时OD ⊥BC ，∴OD ＝12AB ＝1.5，∴ED ＝2OD ＝3．34．20．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD ，AB ＝CD ，AD ＝BC ， ∵OE ⊥BD ， ∴BE ＝DE ，∵△CDE 的周长为10，即CD ＋DE ＋EC ＝10， ∴平行四边形ABCD 的周长为：AB ＋BC ＋CD ＋＝2(BC ＋CD )＝2(BE ＋EC ＋CD )＝2(DE ＋EC ＋CD )＝2×10＝20． 35．10； ABCDO 4 3 35 536．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∵AE ＝CF ，∴DE ＝BF ，DE ∥BF ， ∴四边形DEBF 是平行四边形， ∴BE ＝DF ．37．证明：∵□ABCD 中，AB ＝CD ，AB ∥CD ， …………2分∴∠ABE ＝∠CDF ……4分BAE ＝∠DCF ，∴△ABE ≌△CDF ，…6分 BE ＝DF …8分 ．猜想：BEDF ．∵四边形ABCD 是平行四边形 ，…2分 CB AD =，CB ∥AD ． BCE DAF ∠= ． BCE △和DAF △，CB ADBCE DAF CE AF =∠=∠= BCE △≌DAF △． ………………5分 BE DF =，BEC DFA ∠=∠， BE ∥DF ． BE DF ．……………7分。

04
平行四边形与其他数学知 识的联系
与三角形的关系
三角形中位线定理
平行四边形的对边平行且相等， 这与三角形中位线定理相关。
三角形面积公式
平行四边形的面积计算与三角形 面积公式有关。
与梯形的关系
梯形与平行四边形
梯形可以看作由两个平行四边形组合而成。
梯形与平行四边形的性质
梯形和平行四边形具有一些共同的性质。
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
总结词
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
详细描述
这也是平行四边形的一种判定方法。如果一个四边形的两组对边分别平行，那么 这个四边形就是平行四边形。这种判定方法同样很直观，易于理解。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
总结词
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的对边相等
平行四边形的对边平行且相等，这是 平行四边形的一个重要性质
利用这个性质，我们可以判断一个四 边形是否为平行四边形
平行四边形的对角相等Fra bibliotek平行四边形的对角相等，这是平行四边形的另一个重要性质
利用这个性质，我们可以证明两个角是否相等，或者找到两 个角之间的数量关系
平行四边形的对角线互相平分
平行四边形的对角线互相平分，这是平行四边形的又一个 重要性质
利用这个性质，我们可以判断一个四边形是否为平行四边 形，或者找到两条线段之间的数量关系
02
平行四边形的判定方法
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
总结词
一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形。
详细描述
这是平行四边形的一种判定方法。如 果一个四边形的一组对边平行且相等 ，那么这个四边形就是平行四边形。 这种判定方法很直观，易于理解。

平行四边形的性质及应用一、平行四边形的定义平行四边形是四边形的一种，具有以下性质：1.两组对边分别平行且相等；2.对角相等；3.对边相等；4.对角线互相平分；5.相邻角互补，即和为180度；6.对边角相等，即对边上的角相等。

二、平行四边形的判定1.如果一个四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形；2.如果一个四边形的对角相等，则这个四边形是平行四边形；3.如果一个四边形的对边相等，则这个四边形是平行四边形；4.如果一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；5.如果一个四边形的相邻角互补，则这个四边形是平行四边形；6.如果一个四边形的对边角相等，则这个四边形是平行四边形。

7.性质应用：求解平行四边形的边长、角度等；8.性质应用：证明四边形是平行四边形；9.性质应用：计算平行四边形的面积；10.性质应用：证明平行四边形的对角线互相平分；11.性质应用：证明平行四边形的对角相等；12.性质应用：证明平行四边形的对边角相等。

四、平行四边形的实际应用1.建筑设计：在建筑设计中，平行四边形的性质可以用于计算建筑物的面积、确定建筑物的结构稳定性等；2.交通工程：在交通工程中，平行四边形的性质可以用于设计道路标志、信号灯等；3.几何作图：平行四边形的性质可以用于进行几何作图，如绘制平行线、计算角度等。

平行四边形是中学数学中的重要知识点，掌握其性质和应用对于中学生来说非常重要。

通过学习平行四边形的定义、判定和性质，学生可以更好地理解和解决与平行四边形相关的问题。

同时，平行四边形的实际应用也使得这个知识点更具实用价值。

习题及方法：1.习题：已知平行四边形ABCD中，AB || CD，AD || BC，AB = CD，AD= BC，求证ABCD是平行四边形。

根据平行四边形的定义，我们需要证明ABCD的两组对边分别平行且相等。

已知AB || CD，AD || BC，且AB = CD，AD = BC，因此两组对边分别平行且相等，所以ABCD是平行四边形。

平行四边形的性质和判定基础知识点知识点1平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记作“口 ABCD 。

边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

知识点4 两条平行线的距离。

知识点5 三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线。

性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

典型例题例1、如图，E , F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的点，CE AF •猜想：BE 与DF 有怎样的位置.关 系和数量 关系？并对你的猜想加以证明。

知识点2平行四边形的性质：知识点3 边：对边平行且相等。

角：对角相等，邻角互补。

对角线：对角线互相平分。

平行四边形的判定：【变式练习】已知，在口ABCD中，点E、F分别在AD、CB的延长线上，且/ 仁/2, DF交AB于G, BE交CD 于H。

求证：EH=FG。

例2、已知如图，0为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点0,且与AB交于E,与CD交于F。

求证: 四边形AECF是平行四边形。

例3、?ABCD中，/ BAD的平分线交直线BC于点E,线DC于点F(1) 求证：CE=CF ;(2) 若/ ABC=120 ° FG// CE, FG=CE，求/ BDG .【变式练习】1、如图，在二ABCD中，AE=CF, M、N分别ED、FB的中点.求证：四边形ENFM是平行四边形.2、在？ABCD中，/ ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F,连接AC .(1)如图1,若/ ADC=90 ° G是EF的中点，连接AG、CG .①求证：BE=BF .②请判断△ AGC的形状，并说明理由；(2)如图2,若/ ADC=60 °将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG ,连接AG、CG .那么△ AGC又是怎样的形状.【变式练习】1.在平行四边形ABCD中, AB=3cm BC=5cm对角线AC, BD相交于点0,贝U 0A的取值范围是（）A. 2cm v 0A< 5cm B . 2cm< 0A< 8cm C . 1cm v 0A< 4cm D . 3cm v 0A< 8cm例4、如图，点E、F、G H分别是四边形ABCD的四边中点，求证四边形EFGH是平行四边形。

平行四边形是两组对边分别平行 的四边形
平行四边形的对角相等
平行四边形的对角线互相平分
平行四边形的对角线互相垂直
平行四边形的对边相等
定义：两组对边分 别平行且相等的四 边形
性质：两组对边分 别平行且相等
证明：通过几何证 明，如三角形全等 、平行线等
应用：在几何证明 、图形变换等方面 有广泛应用
平行四边形的对角相等
平行四边形的判定方法
一组对边平行
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形 平行四边形的判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 平行四边形的性质：两组对边分别平行且相等 平行四边形的判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
一组对边相等
平行四边形的对边平行且相等 对边相等是平行四边形的判定方法之一 对边相等的平行四边形具有对称性 对边相等的平行四边形具有稳定性
感谢您的耐心观看
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平行四边形的性质课件总结
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 平行四边形的定义 和基本性质
03 平行四边形的判定 方法
04 平行四边形的面积 和周长计算
05 平行四边形在实际 生活中的应用
06 平行四边形与矩形 的联系和区别
添加章节标题
平行四边形的定义和基 本性质
平行四边形的定义
线互相垂直
矩形和平行四边形的共同点
平行四边 形是矩形 的特例
矩形是平 行四边形 的一种特 殊形式
矩形和平 行四边形 都有四条 边，四个 角
矩形和平 行四边形 的对角线 互相平分
矩形和平 行四边形 的对角线 互相垂直
矩形和平 行四边形 的对角线 互相平分 且互相垂 直

第四章四边形性质探索１．平行四边形的性质（一）一、学生起点分析学生知识技能基础：学生在小学已经学习过平行四边形，对平行四边形有直观的感知和认识。

学生活动经验基础：在掌握平行线和相交线有关几何事实的过程中，学生已经初步经历过观察、操作等活动过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验；同时，在学习数学的过程中也经历了很多合作过程，具有了一定的学习经验，具备了一定的合作和交流能力。

二、学习任务分析四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在七年级下册“空间与图形”有关知识的基础上，探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和简单的推理，将为学生学习空间与图形的后继内容打下基础，本节将用多种手段（直观操作、图形的平移、旋转、说理及简单推理等）探索平行四边形的性质并培养学生的探索意识。

教学目标：1．经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯；2．索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用；3．在探索活动过程中发展学生的探究意识。

教学重点：平行四边形性质的探索。

教学难点：平行四边形性质的理解。

教学方法：探索归纳法三、教学过程设计本节课分5个环节：第一环节：实践探索，直观感知第二环节：探索归纳，交流合作第三环节：推理论证，感悟升华第四环节：应用巩固，深化提高第五环节：评价反思，概括总结第一环节：实践探索，直观感知1．小组活动一内容：问题1：同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张。

将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个四边形。

（1）你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下；（2）给出小明拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你的理由，请用简捷的语言刻画这个图形的特征。

目的：通过学生动手实践，引出平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；平行四边形的相邻的两个顶点连成的一段叫做它的对角线。

教师进一步强调：平行四边形定义中的两个条件：①四边形，②两边分别分别平行即AD // BC 且AB // BC；平行四边形的表示“”2．小组活动二内容：生活中常见到平行四边形的实例有什么呢？你能举例说明吗？目的：加强知识的直观体验，使学生感受数学来源于生活，数学图形和生活是紧密相联系的。

专题平行四边形1．平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

2．平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分。

3．平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

4．平行四边形的面积：S平行四边形=底边长×高=ah【例题1】（2019▪广西池河）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF【例题2】（2018湖北黄石）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．专题知识回顾专题典型题考法及解析一、选择题1. （福建福州）平面直角坐标系中，已知□ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B ( 2，－l )，C（－m，－n），则点D的坐标是（）A．（－2 ，l ) B．（－2，－l ) C．（－1，－2 ) D ．（－1，2 )2.（河北省）关于□ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则□ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则□ABCD是正方形C．若AC=BD，则□ABCD是矩形 D．若AB=AD，则□ABCD是正方形3.（湖南湘西）下列说法错误的是（）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形4．（2019•山东临沂）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND5.（山东淄博）如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD=14BC，点G是AB上一点，点H 在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形．则图中阴影的面积是（）专题典型训练题A. 3B. 4C. 5D. 6 二、填空题6．（2019广西百色）四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD 按箭头方向变形成平行四边形A 'B 'C 'D '，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A '＝ ．6．（2019湖南娄底）如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 O ，点 E 是 AD 的中点，△BCD 的周长为 18，则△DEO 的周长是 ．7.（ 2019河南省）如图，在□ABCD 中，BE⊥AB交对角线AC 于点E ，若∠1=20°，则∠2的度数是_________.8.（ 2019湖北省十堰市）如图，在平行四边形ABCD 中，AB=213cm,AD=4cm,A C ⊥BC,则△DBC 比△ABC 的周长长__________cm.9.(2019浙江金华)如图,已知AB △CD ，BC △DE .若△A ＝20°，△C ＝120°，则△AED 的度数是 .BF10.（江苏省无锡市）如图，已知□OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为_______．11. （2019•湖北武汉）如图，在▱ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为．三、解答题12．（2019徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）∠ECB＝∠FCG；（2）△EBC≌△FGC．13．（2019湖南郴州）如图，平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．14. (湖南省永州市)如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．(1)求证：BE=CD．(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．15．(2019安徽)如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．16．（2019湖南张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．17. （2019•南京）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．18．（2018海南）如图，将▱ABCD的AD边延长至点E，使DE=AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=3，AD=4，∠A=60°，求CE的长．19．（2019辽宁本溪）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE．（1）求证：AE＝BC；（2）若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积．20.（江苏省扬州市）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M 处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．21.（2019四川省凉山州）如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O且与BC、AD 分别交于点E、F。

平行四边形的性质及判定 （典型例题）1.平行四边形及其性质例1如图，O 是卜二・ABCD 对角线的交点.△ OBC 的周长为59, BD=38 , AC=24，贝卩AD= __ 若厶OBC 与厶OAB 的周长之差为 15，贝y AB=QABCD 的周长= _____ .AC ,可得BC ,再由平行四边形对边相等知 AD=BC ，由平行四 边形的对角线互相平分，可知△ OBC 与厶OAB 的周长之差就为BC 与AB 之差，可得AB ，进而可得」ABCD 的周长.解 EBCD 中0A 二= OB = OD = |E D （平行四边形的对角线互相平分）•••△ OBC 的周长=0B + 0C +EC分析: 根据平行四边形对角线互相平先 所OC =1=19 + 12 + BC=59••• BC=28—ABCD 中，•BC=AD(平行四边形对边相等)•AD=28△ OBC的周长-△ OAB的周长=(OB + OC + BC)-(OB + OA+AB)=BC-AB=15•AB=13•••二ABCD的周长=AB + BC + CD + AD=2(AB + BC)=2(13 + 28)=82说明：本题条件中的△ OBC占厶OAB的周长之差为15”，用符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是15 .例2判断题(1) 两条对边平行的四边形叫做平行四边形. ()(2) 平行四边形的两角相等.()(3) 平行四边形的两条对角线相等.()(4) 平行四边形的两条对角线互相平分. ()(5) 两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离.()(6) 平行四边形的邻角互补.()分析：根据平行四边形的定义和性质判断.解：(1) 错两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边.如图四边形ABCD，两条对边AD // BC .显然四边形ABCD 不是平行四边形．(2) 错平行四边形的性定理1，“平行四边形的对角相等．”对角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角．(3) 错平行四边形的性质定理3，“平行四边形的对角线互相平分．”一般地不相等．(矩形的两条对角线相等)．(4) 对根据平行四边形的性质定理 3 可判断是正确的．(5) 错线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离．(6) 对由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可知．平行四边形的邻角互补．例3 .如图1,在二ABCD中，E、F是AC上的两点.且AE=CF .求证：ED // BF .分析：欲址DE // BF，只需/ DEC二/ AFB,转证=/ ABF CDF, 因卜二，ABCD，则有AB丄CD，从而有/ BAC= / CDA .再由AF=CF 得AF=CE .满足了三角形全等的条件.证明：v AE=CFAE+EF二CF+EF••• AF=CE在二ABCD中AB // CD（平行四边形的对边平行）• / BAC= / DCA（两直线平行内错角相等）AB=CD（平行四边形的对边也相等）•••△ ABF刍乂 CDE（SAS）•••/ AFB= / DCE• ED // BF（内错角相等两直线平行）说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处理.例4如图已知在△ ABC中DE // BC // FG，若BD=AF、求证; DE + FG=BC .分析1:要证DE + FG=DC由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质.考虑将DE平移列BC上为此，过E（或D）作EH // AB（或DM // AC）,得至U DE=BH、只需证HC=FG ,因AF=BD=EH , / CEH=/ A. / AGF = Z C所以△ AFG幻/ EHC .此方法称为截长法.分析2:过C点作CK // AB交DE的延长线于K，只需证FG=EK , 转证△ AFG CKE .过E作EH // AB交于Hv DE // BC•••四边形DBHE是平行四边形（平行四边形定义）••• DB=EHDE=BH（平行四边形对边也相等）又BD=AF• AF=EHv BC // FGAGF= / C（两直线平行同位角相等）同理 / A= / CEH• △ AFG EHC(AAS)••• FG=HC••• BC二BH+HC二DE二FG.过C作CK // AB交DE的延长线于K.v DE // BC•四边形DBCK是平行四边形（平行四边形定义）•CK=BD DK=BC（平行四边形对边相等）又BD=AF•AF=CKv CK // AB• / A= / ECK（两直线平行内错角相等）v BC // FG•••/ AGF二/ AED（两直线平行同位角相等）又/ CEK二/ AED（对顶角相等）•••/ AGF= / CEK•••△ AFG S' CKE（AAS）FG=EKDE+EK=BC• DE+FG=BC例 5 如图I—ABCD 中，/ ABC=3 /A，点 E 在CD 上,CE=1 , EF丄CD交CB延长线于F，若AD=1，求BF的长.u --- ---------- r分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得/ C= / F=45°进而由勾股定理求出CF ,再根据平行四边形对边相等，得BF的长.解：在二ABCD 中，AD // BC•••/ A +/ ABC=180 （两直线平行同旁内角互补）vZ ABC=3 / A•••/ A=45 ,Z ABC=135•••Z C= Z A=45 （平行四边形的对角相等）•EF 丄CD•Z F=45°（直角三角形两锐角互余）•EF=CE=1在RtAOEF中,CF = JCE之》EF金=（勾股定理）v AD=BC=1二BF = CF”EC = Q[例6如图1，‘ ■ ABCD中，对角线AC长为10cm , Z CAB=30 , AB长为6cm，求一ABCD的面积.解：过点C作CH丄AB，交AB的延长线于点H .(图2)vZ CAB=30-■.CH 二丄= 1 X10=52 2••• S—ABCD = AB-CH = 6X5=30(cm2)答：二ABCD的面积为30cm2 .说明：由于二=底＞高，题设中已知AB的长，须求出与底AB 相应的高，由于本题条件的制约，不便于求出过点D的高，故选择过点C 作高.例7如图，E、F分别在’・ABCD的边CD、BC上，且EF //求证：S△ ACE二S △ ABF分析：运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等底同高的三角形.证明：将EF向两边延长分别交AD、AB的延长线于G、H.二ABCD DE // AB•••/ DEG= / BHF（两直线平行同位角相等）/ GDE= / DAB（同上）AD // BC•••/ DAB= / FBH（同上）:丄 GDE= / FBHv DE // BH , DB // EH•四边形BHED是平行四边形V DE二BH（平行四边形对边相等）GDE 刍乂 FBH（ASA）••• S△ GDE=S △ FBH（全等三角形面积相等）.GE=FH（全等三角形对应边相等）.S△ ACE=S △ AFH（等底同高的三角形面积相等）.S △ ADE = S △ ABF说明：平行四边形的面积等于它的底和高的积.即S二二a・ha .a 可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离.即对应的高，为了区别，可以把高记成ha，表明它所对应的底是a.例8如图，在二ABCD中，BE平分/ B交CD于点E, DF 平分/ D交AB于点F,求证BF=DE .分析EF二DE （目标）十BEDP 为口DF"d叫西3 ]1=Z 3 r Z 1=Z 2f t"S亠彩姑皤彩B口ABCD证明：T四边形ABCD是平行四边形二DE // FB，/ ABC= / ADC（平行四边形的对边也平行对角相等）•••/仁/ 3（两直线平行内错角相等）而Z]=^Z ADC,Z2=|ZABC•••/ 2= / 3• DF // BE（同位角相等两条直线平行）•四边形BEDF为平行四边形（平行四边形定义）• BF=DE .（平行四边形的对边相等）说明：此例也可通过△ ADF CBE来证明，但不如上面的方法简捷.例9如图，CD的Rt△ ABC斜边AB上的高，AE平分/ BAC 交CD于E, EF // AB，交BC于点F,求证CE=BF .分析作EG // BC,交AB于G,易得EG=BF .再由基本图, 可得EG=EC ,从而得出结论.过E点作EG // BC交AB于G点.v EF // AB••• EG=BFv CD为Rt△ ABC斜边AB上的高•/ BAC + / B=90°.Z BAC + / ACD = 90°•/ B= Z ACD•Z ACD=Z EGAv AE 平分Z BAC•Z 1= Z 2又AE=AE•△ AGE ACE(AAS)•CE=EG•CE=BF .说明：(1)在上述证法中，“平移”起着把条件集中的作用.(2)本题也可以设法平移AE .(连F点作FG // AE，交AB于G)例10如图，已知I —ABCD的周长为32cm , AB : BC=5 : 3, AE 丄BC 于E, AF 丄DC 于F，/ EAF=2 / C,求AE 和AF 的长.分析：从化简条件开始①由二ABCD的周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边长.口虹CD 的周长=321 fAB=10AB : BC-5 : 3 p |BC=6②/ EAF=2 / C告诉我们什么？AF i FC1 ZFAE^ZC=180°] oAE 1 EAF-2 Z C j討c=6°这样，立即可以看ADF、△ AEB都是有一个锐角为30°的直角三角形.于是有= = = 3再由勾股定理求出解：——ABCD的周长为32cm即AB+BC+CD+DA=32v AB=CD BC=DA（平行四边形的对边相等）/.AB + BC = - X32 = 16 2又AB : BC=5 : 35+3BC= —X3 = 65+3/ EAF+ / AFC+ / C+ / CEA=360 （四边形内角和等于360°v AE 丄BC / AEC=90AF 丄DC / AFC=90•••/ EAF+ / C=180/ EAF=2 / CT AB // CD(平行四边形的对边平行)•••/ ABE二/ C=60 (两直线平行同位角相等)同理/ ADF=60SRiAABE 中，ZBAE = 30* BE = |AB = 5£—■Al = ja =E^ = 5^3 (cm)在RtAADF中，ZDAF = 30° DF= ^AP = |B C=3■f-j d—iAF - 7A D3 -I>F a = M Ccm)说明：化简条件，化简结论，总之，题目中哪一部分最复杂就从化简那一部分开始，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题策略称为：从最复杂的地方开始.它虽简单，却很有效.2 .平行四边形的判定例1填空题(1)如图1,四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD是—，理由是（2）如图2, D、E分别在△ ABC的边AB、AC上，DE=EF , AE=EC , DE // BC贝卩四边形ADCF是__,理由是__ ,四边形BCFD 是—，理由是—分析：判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从已知条件出发，具体问题具体分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD平行且等于BC，BC平行且等于EF，从而得AD平行且等于EF，由判定定理4可得.（2）由AE=EC , DE=EF，由判定定理3可得四边形ADCF是平行四边形，从而得AD // CF即BD // CF，再由条件，可得四边形BCFD是平行四边形.解：（1）平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2）平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.说明：平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形叫做平行 四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定 方法.例 2 女口图，四边形 ABCD 中，AB=CD . / ADB 二 /CBD=90 .求 证：四边形ABCD 是平行四边形.分析：判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法, 这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：CIID 从对角钱看一（5 ）对角线互相平分 因此必须根据已知条件与图形结构特点，选择判定方法.证法一:v AB=CD . Z ADB= / CBD=90 , BD=DB .••• Rt △ ABD 坐 Rt △ CDB .「（ 1）两组对边分别平存C I ）从边看 —（2）两组对边分别相等_（3）-组对边平行且相尊 （1）从边看 （II ）从角看 （4）两组对角分别相等 的四边形绘平行四边形•••/ ABD= / CDB，/ A= / C.•/ ABD+ / CBD= / CDB+ / ADB即 / ABC= / CDA .•四边形ABCD 是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）．证法二：vZ ADB= / CBD=90 , AB=CD、BD=DB .•Rt△ ABD 坐Rt△ CDB .•Z ABD=Z CDB．•AB //CD.（内错角相等两直线平行）•四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．证法三：由证法一知，Rt △ ABD幻Rt △ CDB .••• DA=BC又T AB二CD•四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）说明：证明一个四边形是平行四边形，往往有多种证题思路，我们必须注意分析，通过比较，选择最简捷的证题思路.本题三种证法中，证法二与证法三比较简捷，本题还可用定义来证明.例3如图，‘「ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点, 且AE=CF , BG=DH，求证：EF与GH互相平分.分析：只须证明EGFH为平行四边形.证明：连结EG 、GF、FH 、HE．T四边形ABCD是平行四边形•••/ A= / C, AD=CB .T BG=DH•AH=CG又AE=CF•△ AEH CFG（SAS）•HE=GF同理可得EG=FH•四边形EGFH 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）•EF 与GH 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．说明：平行四边形的性质，判定的综合运用是解决有关线段和角问题基本方法．例4如图，二ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F.求证：四边形AECF是平行四边形.分析：由平行四边形的性质，可得△ ABE CDF••• AE= CF进而可得四边形AECF是平行四边形.证明：口ABCD中，AB屯CD（平行四边形的对边平行，对边相等）•/ ABD= / CDB（两直线平行内错角相等）AE 丄BD、CF 丄BD•AE // CF / AEB= / CFD=90•△ ABE CDF（AAS）•AE=CF•四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）说明：平行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法.例5如图，二ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF , AF、BE相交于G, CE、DF相交于H求证：EF与GH互相平分分析：欲证EF与GH互相平分，只需四边形EGFH为平行四边形，利用已知条件可知四边形AFCE、四边形EBFD都为平行四边形，所以可得AF // EC , BE // DF，从而四边形GEHF为平行四边形.证明：」ABCD中，AD丄BC（平行四边形对边平行且相等）v AE=CF /. DE=BFT四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平形四边形）二AF // CE , BE // DF（平行四边形对边平行）•••四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）••• GH与EF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）说明：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的.往往更多的是求证线段的相等、角的相等、直线的平行、线段的互相平分等等.要灵活地根据题中已知条件，以及定义、定理等.先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用平行四边形的性质加以证明.例6如图，已知—ABCD中，EF在BD上，且BE=DF ,点G、H 在AD、CB上，且有AG=CH , GH与BD交于点0,求证EG丄HF分析：证EF 、GH 互相平分二GEHF 为平行四边形.证明:连 BG 、DH 、GF 、EHT ABCD 为平行四边形.••• AD 垒 BC又 AG=HC• DG 丄 BH•四边形BGDH 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）• HO = GO , DO=BO （平行四边形的对角线互相平分） 又 BE=DF•OE=OF•四边形GEHF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）••• EG丄HF.（平行四边形的对边平行相等）说明：由于条件BE=DF涉及到对角线BD，所以考虑用对角线互相平分来证明例7如图，——ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F, G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分.分析：连结EH , HF、FG、GE，只须证明EHFG为平行四边证法一:连结EH , HF、FG、GEv AE丄BD , G是AD中点.-■.GE=C J D =^AD2/ GED二 / GDE同理可得HF =HB =^EC,Z HFE =Z HEFV四边形ABCD是平行四边形••• AD 岂BC,/ GDE= / HBF••• GE=HF，/ GED= / HFB•GE // HF•四边形GEHF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）•EF和GH互相平分.（平行四边形对角线互相平分）证法二：容易证明厶ABE CDF• BE=DFT四边形ABCD为平行四边形••• AD 些BCT G、H分别为AD、BC的中点•DG 丄BH•四边形BHDG为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）•BD和GH互相平分（平行四边形对角线互相平分）•OG=OH , OB=OD又BE=DF•OE=OF•EF和GH互相平分.例8如图，已知线段a、b与/ a,求作：—ABCD ,使/ ABC二/ a, AB=a , BC=b ,分析：已知两边与夹角，可先确定△ ABC，根据判定定理2(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，再确定点D，从而平行四边形可作出.作法:(1) 作/ EBF二/ a,⑵在BE、BF上分别截取BA=a , BC=b ,⑶分别为A、C为圆心，b, a为半径作弧，两弧交于点D, 二四边形ABCD为所求.*证明：由作法可知AB=CD = aBC=AD=b二四边形ABCD 为平行四边形(两组对边分别相等的四边形为平 行四边形)且/ ABC 二 / a, AB=a , BC=b- ABCD 为所求说明：常见的平行四边形作图有以下几种：(1) 已知两邻边(AB 、BC)和夹角(/ B).(2) 已知一边(BC)和两条对角线(AC , BD).(3) 已知一边(BC)和这条边与两条对角线的夹角 (如/ DBC ,Z ACB).⑷已知一边(CD)和一个内角(/ ABC)以及过这个角的顶点的一条对角线(BD ，且BD > CD)求作平行四边形(如图)完成这些作图的关键点，都在于先作出一个三角形，然后再完成平行四边形的作图，体现了把平行四边形的问题化归为三角形问题的思想方法.。

【变式21】在▱ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝（ ）
A．80°B．100°C．120°D．140°
【变式22】如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝60°，则∠DAE等于（ ）
A．15°B．25°C．30°D．65°
【变式23】如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，则∠A的度数为（ ）
【变式35】（2021春•靖远县期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于F，交DC的延长线于E，过点B作BG⊥AE于点G．
（1）求证：AG＝FG；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由；
（3）若AB＝10，AD＝15，BG＝8，求四边形ABCD的面积．
【例题4】（2023•雁塔区校级一模）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，连接AB、AC、ED．若AE＝AB，求证：AC＝DE．
◆3、对角线：平行四边形的对角线互相平分．
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，BO=OD
◆1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
◆2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
◆3、如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
【变式54】（2022春•顺平县期末）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为2cm，则a与c间的距离为（ ）cm．
A．3B．7C．3或7D．2或3
【变式55】（2021秋•新罗区校级月考）如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，则两平行线AB、CD间的距离等于．