2018年高考数学专题(轨迹方程问题汇总)+已可排版打印+(详细解析)+新人教A版

2018届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法D来得到轨迹方程，称之交轨法.例6 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线12222=-b y a x 于 M 、N 两点，21,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线M A 1与 N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.解：设),(y x P 及),(),,(1111y x N y x M -，又)0,(),0,(21a A a A -，可得直线MA 1的方程为)(11a x ax y y ++=①；直线NA 2的方程为)(11a x ax y y -+-=②.①×②得)(22221212a x ax y y ---=③. 又,1221221=-b y a x )(2122221x a ab y -=-∴，代入③得)(22222a x ab y --=，化简得12222=+by a x ，此即点P 的轨迹方程. 当ba =时，点P 的轨迹是以原点为圆心、a 为半径的圆；当ba ≠时，点P 的轨迹是椭圆.高考动点轨迹问题专题讲解（一）选择、填空题1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是 （A ）22125169x y +=（0x ≠） （B ）221144169x y +=（0x ≠）x A A O y NM P（C ）22116925x y +=（0y ≠） （D ）221169144x y +=（0y ≠）3．与圆2240xy x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ； 4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ；5．已知圆C ：22(3)16x y +=内一点(3, 0)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2214x y +=6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是 ；221916x y -=（3x >）变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ； 推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．212yx=8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．4k x =（28k y >）9．过抛物线24yx=的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时，弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时， 设PQ 所在直线方程为(1)y k x =-与抛物线方程联立，2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y得2222(24)0k x k x k -++=．则设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)yx =-．当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ的中点为(1,0)F ，也满足所求方程．F1A 2A xyPE O故所求轨迹方程为22(1)yx =-．解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ，当12x x ≠时，有121224yy y x x-⋅=-，又1PQMF y kk x ==-，所以，21y y x ⋅=-，即22(1)yx =-．当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)yx =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-（二）解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E于点P ，求动点P 的轨迹方程．3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b +=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =，试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x y G ． ∵GM AB λ=，点M 在x 轴上，∴(,0)3xM ． ∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴ 222()1()33x xx y +=-+，即2213x y +=．故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法）（2）设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±），11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ．由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ，得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=．∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130kb +->． ①又122613kbx x k +=-+，∴212122262()221313k b by y k x x b b k k -+=++=+=++，∴223(,)1313kb bN k k-++．∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ⊥，∴1AN k k=-，即 221113313bk kb k k ++=--+，∴ 2132k b+=，又由①式可得 220b b ->，∴02b <<且1b ≠．∴20134k <+<且2132k+≠，解得11k -<<且3k ≠．故k 的取值范围是11k -<<且3k ≠±．5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+，(0,4)MN =，(,2)PN x y =--, 48MP MN y ⋅=+．224(2)PN MN x y ⋅=+-，……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅，∴48y +224(2)x y =+- 整理，得28x y=．即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28xy=．6．已知O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程． 解：∵0MN AF ⋅=，1()2ON OA OF =+， ∴ MN 垂直平分AF ． 又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上， ∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m=，半焦距1c =，∴22221b ac m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-， 且||||8a b +=． （1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由． 解：（1）2211216x y +=；（2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．OP OA OB =+=，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾．故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得22(43)18210,kx kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x xk +=-+，1222143x x k =-+，OP OA OB=+，所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即OA OB ⋅=．1122(,),(,)OA x y OB x y ==， ∴12120OA OB x x y y ⋅=+=． 即21212(1)3()90kx x k x x ++++=． 2222118(1)()3()4343kk k k k +⋅-+⋅-++90+=．2516k=，得5k =．故存在直线l ：534y x =±+，使得四边形OAPB 是矩形．8．如图，平面内的定点F 到定直线l 的距离为2，定点E 满足：||EF =2，且EF l ⊥于G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ =，点P 满足：//PQ EF，0PM FQ ⋅=．（I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程； （II ）若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，令AFB θ∠=，当34πθπ≤<时，求直线1l 的斜率k 的取值范围． 解：（1）以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ， 则(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y =-． ∵FM MQ=，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2xM ．∵0PM FQ ⋅=，∴()()(2)02xx y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y=．（2）设点))(,(),,(212211x xy x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分1242=--kx x 得1242121-==+∴x x kx x …………7分9)4(44221222121==⋅=∴xx x x y y646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x FB FA y x FB y x FA841649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x)1)(1(||||21++=⋅y y 又16416491)(222121+=+++=+++=k k y y y y4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA θ…………10分由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴kk即θ…………11分222242222≥∴≥++∴k k k 解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点P作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PM PN =．（1）求动点N 的轨迹方程；（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-，且6||430AB ≤≤求直线l 的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ，由||||PM PN =得(,0)M x -，(0, )2yP ，(,)2y PM x =--，(1,)2yPF =-， 又0PM PF ⋅=，∴24y x -+=，即动点N 的轨迹方程为24yx=．10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，0MN MP +=．xyoMNPFOAPBxy（1）求P 点轨迹E 的方程；（2）将（1）中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1xy ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．解：（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、(, )MP x a y =-．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴20,, ,2a b x a b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴214y x =，故动点P 的轨迹方程为214y x =． 11．如图(3)A m m 和(,3)B n n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-， O为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．（1）求m n ⋅的值； （2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程． 解：（1）由已知得1(3)(,3)22OA OB m m n n mn ⋅=⋅=-=-， ∴ 14mn =． （2）设P 点坐标为(,)x y （0x >），由OP OA OB=+得(,)(3)(,3)x y m m n n =+(3())m n m n =+-，∴,3()x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn-=，又因14mn =，∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>．它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得223(2)3ty y +-= 即22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t-≠（否则，直线l 的斜率为3行，不符合题意） 又22214436(31)36(1)0tt t ∆=--=+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y yy y t t -+==--∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧212121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---，∴2310t -<，即2103t<<，又由12x x+>同理可得2103t <<，由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y yy y y t +=-+=-=--得22631t yt =-，由21222229(3)331y yy y y t =-=-=-得222331yt =--，消去2y 得2222363(31)31t t t =--- 解之得：2115t= ，满足2103t <<．故所求直线l 存在，其方程为：1550x y --=1550x y +-=．12．设A ，B 分别是直线25y x =和25y x =上的两个动点，并且||20AB =，动点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ．（I ） 求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围． 解：（I ）设(,)P x y ，因为A 、B 分别为直线55y x =和55y x =-上的点，故可设115(,)5A x x ，2225(,)5B x x -．∵OP OA OB =+， ∴1212,25)x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩． ∴1212,52x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又20AB =， ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=． 即曲线C 的方程为2212516x y +=．（II ） 设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DN DM λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)． 故x s λ=，16(16)y t λ=+-．∵ M 、N 在曲线C 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25s 1,16t 25s 22222λλλ消去s 得116)1616t (16)t 16(222=+-+-λλλ．lxyCGFOPM由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 17152t λλ-=． 又4t ≤， ∴421517≤-λλ． 解得3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ）．13．设双曲线22213y x a -=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2．（1）求此双曲线的渐近线1l 、2l 的方程；（33y x =±）（2）若A 、B 分别为1l 、2l 上的动点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525x y +=）提示：()221212||10()10AB x x y y =⇒-+-=，又1133yx =-，2233yx =，则12213)y yx x +=-，21123)yy x x -=+．又122x x x =+，122y y y =+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=，若存在，求出直线l 若不存在，说明理由．（不存在）14．已知点(1, 0)F ，直线:2l x =，设动点P 到直线l 的距离为d ，已知2||2PF d =，且2332d ≤≤． （1）求动点P 的轨迹方程；15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >）交于A 、B两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）．（1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；（3a =） （2）若2a =，当k 变化时（k R ∈），求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅．（1）求双曲线C 的方程；（2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求实数k 的取值范围． 解：（I ）依题意有：2222222c2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分 （Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN ，直线MN 的方程为1y x b k =-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组 由221y x b,k 3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………9分 显然23k 10-≠，∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ①设线段MN 中点D （0x ,y ） 则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D （0x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ②把②带入①中得 222k b +bk 0>，解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k -．即3k >或1k 2<，且k≠0． ∴k的取值范围是3113(,(,0)(0,)(,)22-∞-+∞．…………………14分17．已知向量OA =(2，0)，OC =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM -d 2)，其中O 为坐标原点，K 为参数.（Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型； （Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围.18．过抛物线24yx=的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=，1()2OM OA OB =+，1()2ON OC OD =+． （1）求证：直线MN 过定点；（2）记（1）中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角；（3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西）如图，M 是抛物线上2yx=上的一点，动xyOABEF M弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且90EMF ∠=，求△EMF 的重心G 的轨迹． 思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >），则直线MF 的斜率为k -，方程为20()y yk x y -=-．∴由22()y yk x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0kyy y ky -+-=，解得01F ky y k-=，∴202(1)F ky x k -=，∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k kky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)．所以直线EF 的斜率为定值．法二：设定点0(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ，由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得010101()()y y y y x x -+=-，即011MEky y =+；同理021MF k y y =+．∵MA MB=，∴ME MFk k =-，即010211yy y y =-++，∴1202y y y +=-．所以，1212221212120112EFy y y y kx x y y y y y --====---+（定值）．第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为20()y y k x y -=-由2002y y x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273yx x =->．20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB '=+．（1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程； （2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。

轨迹探求（2018年5月）一、知识要点1、曲线与方程的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f x y=的实数解建立了如下关系：(,)0（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．2、求轨迹方程的一般步骤（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上动点的坐标；（2）写出适合条件的动点的集合；f x y=；（3）用坐标表示条件，列出方程(,)0f x y=为最简形式；（4）化方程(,)0（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．3、求轨迹方程的基本方法（1）直接法；（2）定义法（基本轨迹法）；（3）动点转移法；（4）代点法（平方差法或设而不求）；（5）交轨法；（6）参数法．注：求曲线的方程与求轨迹是有不同要求的，求轨迹则不仅要求出方程，还需要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、位置、大小都需要说明清楚．二、例题精讲例1、已知线段AB 在直线2y =-上移动，4AOB π∠=（O 为坐标原点）．（1） 求AOB ∆的外心的轨迹方程，并指出是什么形状的曲线． （2） 设直线OA 与（1）中轨迹交于C 、D 两点，4CDOC=-，求OA 所在直线方程．答案：（1）()2248y x +-=()4y ≥，其轨迹是双曲线()2248y x +-=的上半支；（2）y x =．例2、设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程．答案：()2212263x y x +=-<<．例3、设椭圆中心为原点，一个焦点为()10,1F ，长轴与短轴的长度之比为t ． （1） 求椭圆的方程；（2） 设过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ，点P 在该直线上且OP t OQ=⋅t 变化时，求点P 的轨迹方程．答案：（1）()()22222211t t x t y t -+-=；（2）222x y x ⎛=> ⎝⎭和2x y x ⎛=< ⎝⎭．例4、（1）一动圆过定点()1,0A ，且与定圆()22116x y ++=相切，求动圆圆心的轨迹方程．（2）又若定点为()2,0A ，定圆为()2224x y ++=呢？答案：（1）22143x y +=；（2）2213y x -=．例5、已知双曲线过点()()2,4,4,4A B -，它的一个焦点是()11,0F ，求它的另一个焦点的轨迹． 答案：()10x y =≠或()()()2214102516x y y --+=≠．例6、已知抛物线24y x =，过点()0,2A -的直线与抛物线相交于P 、Q 两点，求以OP 、OQ 为相邻两边的平行四边形的第四个顶点M 的轨迹方程． 答案：()()2440,,80,y y x y +-=∈-∞-+∞．*例7、设抛物线过定点()0,1A 且以直线1y =-为准线． （1） 求抛物线顶点C 的方程； （2） 过定点5,02B ⎛⎫-⎪⎝⎭，是否存在一对互相垂直的直线同时与轨迹C 有公共点？证明你的结论．（3） 将轨迹C 的方程中的,x y 分别换成x h y k --、，所得新曲线与两直线5x =，5y =同时有公共点，求点(),h k 所构成图形的面积．答案：（1）()22114x y y +=≠-；（2）不存在；（3）面积为8．例8、矩形ABCD 的两条对角线相交于点()2,0M ，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点()1,1T -在AD 边所在直线上．（1） 求AD 边所在直线的方程； （2） 求矩形ABCD 外接圆的方程；（3） 若动圆P 过点()2,0N -，且与矩形ABCD 的外接圆相切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．答案：（1）320x y ++=；（2）()2228x y -+=；（3）(22122x y x -=≤．三、课堂练习1、直角三角形ABC 中，()2,0A -，()2,0B ，则直角顶点C 的轨迹方程为 ． 答案：()2240x y y +=≠．2、点M 在抛物线2y ax =上运动，点N 与点M 关于点()1,1A 对称，则点N 的轨迹方程是 ． 答案：()()222y a x -=--．3、已知定点()4,0A 和圆224x y +=上的动点B ，动点P 满足2OA OB OP +=，则点P 的轨迹方程为 ．答案：()2221x y -+=．4、已知()4,4P --，点Q 是椭圆22216x y +=上的动点，M 为线段PQ 上一点，且满足13PM MQ =，则动点M 的轨迹方程为 ． 答案：()()223231x y +++=．5、若动圆M 与()221:11C x y ++=外切，与()222:125C x y -+=内切，则动圆M的圆心M 的轨迹方程是 ．答案：22198x y +=． 6、已知一条曲线在x 轴上方，它上面的每一点到x 轴的距离比到点()0,2A 的距离小2，则这条曲线的方程是 ． 答案：()280x y x =≠．四、 课后作业 一、填空题1、若()2,1A 与动点()22,1P x y -满足O A O P ⊥，则动点P 的轨迹方程为 ． 答案：2221x y +=．2、双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=(),0a b >的四个顶点连线围成的图形面积为1S ，四个焦点连线围成的图形面积为2S ，则12S S 的最大值为 ． 答案：12． 3、直角坐标平面xOy 中，若定点()12A ，与动点(),P x y 满足4OP OA ⋅=，则点P 的轨迹方程是 ． 答案：240x y +-=． 4、点()0,2P 到圆C ：()2211x y ++=的圆心的距离为_____________，如果A 是圆C上一个动点，=3,那么点B 的轨迹方程为_______________________． 答案：5；()()22264x y -+-=．5、已知定直线l 上有三点A 、B 、C ，AB =2，BC =5，AC =7，动圆O 恒与l 相切于点B ，则过点A 、C 且都与⊙O 相切的直线1l 、2l 的交点P 的轨迹是________________________． 答案：去掉两个顶点的双曲线．6、1F 、2F 为椭圆的两个焦点，Q 是椭圆上任意一点，从某一焦点引12FQF∠的外角平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是____________________． 答案：圆．二、选择题7、已知点P 是直线230x y -+=上的一个动点，定点()1,2M -，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM MQ =，则Q 点的轨迹方程是( ) A 、210x y ++= B 、250x y --= C 、210x y --=D 、250x y -+=答案：D8、设12,A A 是椭圆22194x y +=的长轴两个端点，12,P P 是垂直于12A A 的弦的端点，则直线11A P 与22A P 交点P 的轨迹方程为( )A 、22194x y +=B 、22194y x += C 、22194x y -= D 、22194y x -= 答案：C9、点(),M x y 与定点()1,0F 的距离和它到直线8x =的距离的比为12，则动点M 的轨迹方程为( )A 、2243x y +=1B 、2287x y +=1 C 、221612x y +=1 D 、22348600x y x ++-= 答案：D三、解答题10、平面直角坐标系中，O 为原点，给定两点()1,0A ，()0,2B -，点C 满足OC OA OB αβ=+，其中,R αβ∈，且21αβ-=， （1）求点C 的轨迹方程；（2）设点C 的轨迹与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于两点M 、N ，且以MN 为直径的圆过原点，求证：2211b a -为定值． 答案：（1）1x y +=；（2）2211ba -=2为定值．11、已知A 、B 、D 三点不在一条直线上，且()2,0A -，()2,0B ， |AD |=2，AE =21（AB +AD ），（1）求点E 的轨迹方程；（2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点.线段MN 的中点到y 轴距离为54且直线MN 与点E 的轨迹相切，求椭圆的方程． 答案：（1）221x y +=()0y ≠；（2）4822y x +=1．12、已知两定点(),0A t -和(),0B t ，0t >，S 为一动点，SA 与SB 两直线的斜率乘积为21t. （1）求动点S 的轨迹C 的方程，并指出它属于哪一种常见曲线类型； （2）当t 取何值时，曲线C 上存在两点P 、Q 关于直线10x y --=对称？答案：（1）()2221x y x t t-=≠±，为双曲线（除去两顶点）．（2）()0,1t ∈，任意满足区间的值即可．。

典型高考数学试题解读与变式2018版考点39 轨迹与轨迹方程【考纲要求】正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直接法、定义法、待定系数法、相关点法、参数法等 【命题规律】轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题. 【典型高考试题变式】 （一）求点的轨迹方程例1.【2017新课标卷】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．（1）求点P 的轨迹方程；学@科网（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 【变式1】【2016新课标卷】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（2）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【变式2】在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x,1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2OM ·ON ＝1A P ·2A P (O 为坐标原点)．求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型． （二）求点的轨迹例2. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A -B -C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )【变式1】已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(0，－1)，(0，1)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点C 的轨迹E 的方程，并判断轨迹E 为何种圆锥曲线． 【数学思想】①数形结合思想． ②分类讨论思想． ③转化与化归思想. 【温馨提示】区分“求轨迹”与“求轨迹方程”的不同.一般来说，若遇“求轨迹方程”，求出方程就可以了；若是“求轨迹”，求出方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型，有时候，问题仅要求指出轨迹的形状，如果应用“定义法”求解，可不求轨迹方程． 【典例试题演练】1. 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝12. 已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP ·QF ＝FP ·FQ ，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4x3. 已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝04. 已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线5. 平面直角坐标系中，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线6. 已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内一动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线7. 已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0)C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0)8. 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)两焦点为F 1，F 2，点Q 为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹是( )A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.圆的一部分9. 已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是________．10.【2016广东省湛江市模拟】已知圆22:9O x y +=，点()2,0A ，点P 为动点，以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，则动点P 的轨迹方程是______．11. 已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P 的轨迹C 的方程为____________________．12. 在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于点D ，且|BD →|－|CD →|＝22，则顶点A 的轨迹方程为________．13. 设A 1，A 2是椭圆x 29＋y 24＝1的长轴左、右顶点，P 1，P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2的交点P 的轨迹方程为________.14. 平面内与两定点距离之比为定值)1(≠m m 的点的轨迹是________.15.【2017广西南宁、梧州联考】已知点C 的坐标为()1 0，，A ，B 是抛物线2y x =上不同于原点O 的相异的两个动点，且0OA OB ⋅=. （1）求证：点 A C B ，，共线；（2）若()AQ QB R λλ=∈，当0OQ AB ⋅=时，求动点Q 的轨迹方程.。

2018年高考数学常考知识点【轨迹方程的求解】高考数学一直是很多考生头疼的科目，考生难以取得数学高分是因为掌握的知识点不够透彻，为了帮助大家掌握好数学知识点，下面为大家带来2018年高考数学常考知识点【轨迹方程的求解】，希望大家用心记住这些知识点。

符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(x，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

第77讲轨迹方程的求法【知识要点】一、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义在直角坐标系中，如果曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（完备性）.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.二、求简单的曲线方程的一般步骤：建设限代化（1）建立直角坐标系：利用垂直性和对称性建立适当的坐标系；（2）设点：用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标（不要把其它的点的坐标设成）；（3）列出动点满足的限制条件：用坐标表示条件,列出方程；（4）代点坐标到方程；（5）化简：化方程为最简形式；（6）检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来.（可以省略）三、求轨迹方程的四种主要方法：轨迹四法待代直参（1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.（2）代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程.（3）直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.（4）参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.四、轨迹和轨迹方程轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征.【方法讲评】【例1】线段与互相垂直平分于点，，，动点满足，求动点的轨迹方程．【解析】【点评】（1）这种题目由于已知中没有直角坐标系，所以首先要根据垂直性和对称性建立直角坐标系，由于建立坐标系的方法有多种，所以求出的轨迹方程有多种，但是都是对的；（2）这道题是直接用坐标化简已知中的得到的轨迹方程，运用的是直接法.【例2】已知圆：，由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，并且，求点的轨迹.【点评】（1）这道题运用的是直接法，但是它是把已知条件转化得到的一个等式，不是现存的等式.（2）轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹包含轨迹方程和对轨迹方程表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征.所以本题要描述轨迹的基本特征.【反馈检测1】在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为、，动点满足:直线与直线的斜率之积为．（1）求动点的轨迹方程；（2）设为动点的轨迹的左右顶点，为直线上的一动点（点不在x 轴上），连[交的轨迹于点，连并延长交的轨迹于点，试问直线是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由．【反馈检测2】一条双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点.（1）求直线与交点的轨迹的方程式；（2）若过点（）的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且 ,求的值.【例3】已知动圆P与两定圆和都外切，求动圆圆心的轨迹方程．【点评】（1）此道题通过对已知的分析得到，即动点到两个定点的距离的差是一个常数，与双曲线的定义相符，所以其轨迹是双曲线的一支，利用的是待定系数法；（2）利用待定系数法求轨迹方程时，一定要比较全面地分析条件和曲线的定义，看是曲线的全部，还是曲线的部分，此题也不是双曲线的全部，是双曲线的一支.【例4】已知点到点的距离比到点到直线的距离小4；（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）若曲线上存在两点关于直线l:对称，求直线的方程.【解析】（1）结合图形知，点不可能在轴的左侧，即到点的距离等于到直线的距离的轨迹是抛物线，为焦点，为准线的轨迹方程是：（2）设则相减得又的斜率为－4则中点的坐标为，即经检验，此时，与抛物线有两个不同的交点，满足题意．【点评】（1）本题的第一问利用的就是待定系数法，通过对动点的分析，发现它满足抛物线的定义,所以动点的轨迹是抛物线.(2)第二小问利用了点差法，可以提高解题效率.【反馈检测3】已知垂直平分线与交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）已知点，过点且斜率为（）的直线与点的轨迹相交于两点，直线，分别交直线于点,，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:为定值.某被动点之所以在运动，是因为主动点在某曲线上运动引起的先利用被动点的坐标表示主动点把动点化简【例5】已知抛物线和点，为抛物线上一点，点在线段上且，当点在该抛物线上移动时，求点的轨迹方程．【点评】点之所以在动，就是因为点在动，所以点是被动点，点是主动点，这种情景，应该利用代入法求轨迹方程.【反馈检测4】已知的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程．如果动点的运动主要是由于某个参数）用这个参数表示动点的坐标，即【例6】已知曲线（1）证明:当时，曲线是一个圆；（2）求证圆心在一条定直线上.【点评】（1）此题求圆心在一定直线上，就是求动点的轨迹是一条直线；（2）圆心的运动主要是因为参数引起的，所以选用消参法解答.【反馈检测5】已知线段，直线垂直平分于，在上取两点，使有向线段满足，求直线与的交点的轨迹方程．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第77讲:轨迹方程的求法参考答案【反馈检测1答案】（1）；（2）直线恒过定点．【反馈检测2答案】（1）；（2）.【反馈检测2详细解析】由双曲线的左、右顶点分别为得.所以两式相乘得而点在双曲线上，所以即故，即.（2）设，则由知，.将代入得，即，由与E 只有一个交点知，，即.同理，由与E 只有一个交点知，，消去得，即，从而，即.【反馈检测3答案】（1）;（2）.（2）设过点（1,0），且斜率为（）的直线方程为，设点，点,将直线方程代入椭圆： ，整理得：，因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，且.直线的方程为，直线的方程为，令，得点，点，所以点的坐直线的斜率为.将代入上式得，. 所以为定值. 【反馈检测4答案】【反馈检测5答案】【反馈检测5详细解析】如图2，以线段所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立直角坐标系．设点，则由题意，得．由点斜式得直线的方程分别为．两式相乘，消去，得．这就是所求点的轨迹方程．。

高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.例1 已知点)0,2(-A 、).0,3(B 动点),(y x P 满足2x PB PA =⋅，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解：),3(),,2(y x PB y x PA --=---= ，2)3)(2(y x x PB PA +---=⋅∴226y x x +--=. 由条件，2226x y x x =+--，整理得62+=x y ，此即点P 的轨迹方程，所以P 的轨迹为抛物线，选D.二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例 2 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2， 即4||2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，1,2='='c a ，3='b ，故C 的轨迹方程为)2,0(13422-≠<=+x x y x .三、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标y x ,来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.例3 如图，从双曲线1:22=-y x C 上一点Q 引直线2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.解：设),(),(11y x ，Q y x P ，则)2,2(11y y x x N --. N.22211=-+-∴y y x x ① 又l PN ⊥得,111=--x x y y 即011=-+-x y y x .②联解①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=22322311x y y y x x .又点Q 在双曲线C 上，1)223()223(22=-+--+∴x y y x ，化简整理得：01222222=-+--y x y x ，此即动点P 的轨迹方程.四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.例4 已知点)2,3(-A 、)4,1(-B ，过A 、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，求1l 和2l 的交点M 的轨迹方程.解：由平面几何知识可知，当ABM ∆为直角三角形时，点M 的轨迹是以AB 为直径的圆.此圆的圆心即为AB 的中点)1,1(--，半径为25221=AB ，方程为13)1()1(22=+++y x . 故M 的轨迹方程为13)1()1(22=+++y x .五、参数法参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标y x ,间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到y x ,间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.例 5 过抛物线px y 22=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.解：设),(y x M ，直线OA 的斜率为)0(≠k k ，则直线OB 的斜率为k1-.直线OA 的方程为kx y =，由⎩⎨⎧==px y kx y 22解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==kpy k px 222，即)2,2(2k p k p A ，同理可得)2,2(2pk pk B -.由中点坐标公式，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=pk k p y pk k p x 22，消去k ，得)2(2p x p y -=，此即点M 的轨迹方程. 六、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.例6 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线12222=-by a x 于M 、N 两点，21,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线M A 1与N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.解：设),(y x P 及),(),,(1111y x N y x M -，又)0,(),0,(21a A a A -，可得 直线M A 1的方程为)(11a x a x y y ++=①；直线N A 2的方程为)(11a x ax y y -+-=②. ①×②得)(22221212a x ax y y ---=③. 又,1221221=-b y a x )(2122221x a a b y -=-∴，代入③得)(22222a x ab y --=，化简得12222=+by a x ，此即点P 的轨迹方程. 当b a =时，点P 的轨迹是以原点为圆心、a 为半径的圆；当b a ≠时，点P 的轨迹是椭圆.高考动点轨迹问题专题讲解（一）选择、填空题1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=（0x ≠） （B ）221144169x y +=（0x ≠） （C ）22116925x y +=（0y ≠） （D ）221169144x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ；5．已知圆C：22(16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2214x y += 6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是 ；221916x y -=（3x >）变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．212y x =8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．4kx =（28k y >） 9．过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时， 弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联立，2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222(24)0k x k x k -++=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，则有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)y x =-． 当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程．故所求轨迹方程为22(1)y x =-． 解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ，当12x x ≠时，有121224y y y x x -⋅=-，又1PQ MF yk k x ==-，所以，21yy x ⋅=-，即22(1)y x =-． 当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-（二）解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E 于点P ， 求动点P 的轨迹方程．3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b +=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =，试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x y G ． ∵ GM AB λ=，点M 在x 轴上，∴ (,0)3x M ．∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴=，即 2213x y +=． 故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法） （2）设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±），11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ． 由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ，得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=．∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130k b +->． ①又122613kbx x k+=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++， ∴ 223(,)1313kb bN k k -++．∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ ⊥，∴ 1ANk k =-，即 221113313bk kb k k ++=--+， ∴ 2132k b +=，又由①式可得 220b b ->，∴ 02b <<且1b ≠．∴ 20134k <+<且2132k +≠，解得11k -<<且k ≠． 故k 的取值范围是11k -<<且k ≠． 5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+，(0,4)MN =，(,2)PN x y =--,48MP MN y ⋅=+．4PN MN x ⋅=……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅，∴48y +=整理，得 28x y =． 即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28x y =．6．已知O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程．解：∵0MN AF ⋅=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）． 7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-， 且||||8a b +=．（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）2211216x y +=； （2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．0OP OA OB =+=，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾．故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-+，1222143x x k =-+，OP OA OB =+，所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=．1122(,),(,)OA x y OB x y ==，∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=．即21212(1)3()90k x x k x x ++++=．2222118(1)()3()4343k k k k k +⋅-+⋅-++ 90+=．2516k =，得54k =±． 故存在直线l ：534y x =±+，使得四边形OAPB 是矩形． 8．如图，平面内的定点F 到定直线l 的距离为2，定点E 满足：||EF =2，且EF l ⊥于G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ =，点P 满足：//PQ EF ，0PM FQ ⋅=． （I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；（II ）若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，令AFB θ∠=， 当34πθπ≤<时，求直线1l 的斜率k 的取值范围． 解：（1）以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ， 则(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y =-．∵ FM MQ =，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2x M ． ∵0PM FQ ⋅=，∴ ()()(2)02x x y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y =．（2）设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得 1242121-==+∴x x kx x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴x x x x y y 646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x FB FA y x FB y x FA841649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x)1)(1(||||21++=⋅y y FB FA 又16416491)(222121+=+++=+++=k k y y y y4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA FBFA θ…………10分 由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PM PN =． （1）求动点N 的轨迹方程；（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-，且||AB ≤≤l 的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ，由||||PM PN =得(,0)M x -，(0, )2y P ，(,)2y PM x =--，(1,)2yPF =-，又0PM PF ⋅=，∴204yx -+=，即动点N 的轨迹方程为24y x =． 10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，0MN MP +=． （1）求P 点轨迹E 的方程；（2）将（1）中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．解：（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、(, )MP x a y =-．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,, ,2a b xa b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =，故动点P 的轨迹方程为214y x =． 11．如图()A m 和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-， O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．（1）求m n ⋅的值； （2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN=，求l 的方程． 解：（1）由已知得1()(,)22OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-， ∴ 14mn =． （2）设P 点坐标为(,)x y （0x >），由OP OA OB=+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+-，∴,)x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn =，∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>．它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得 223(2)3ty y +-= 即 22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t -≠（否则，直线l 的斜率为又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==--∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧212121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---， ∴ 2310t -<，即2103t <<，又由120x x +>同理可得 2103t <<，由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-，由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得222331y t =--，消去2y 得2222363(31)31t t t =--- 解之得：2115t = ，满足2103t <<．故所求直线l0y --=0y +-=．12．设A ，B分别是直线5y x =和5y x =-上的两个动点，并且||20AB =，动点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ．（I ） 求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围． 解：（I ）设(,)P x y ，因为A 、B分别为直线y x =和y x =上的点，故可设11()A x x，22(,)B x x ． ∵OP OA OB =+，∴1212,)x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又20AB =， ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=． 即曲线C 的方程为2212516x y +=． （II ） 设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DN DM λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)． 故x s λ=，16(16)y t λ=+-．∵ M 、N 在曲线C 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25s 1,16t 25s 22222λλλ消去s 得116)1616t (16)t 16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 17152t λλ-=． 又 4t ≤， ∴421517≤-λλ． 解得 3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ）．13．设双曲线22213y x a -=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2． （1）求此双曲线的渐近线1l 、2l 的方程；（y x =±） （2）若A 、B 分别为1l 、2l 上的动点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525xy +=） 提示：||1010AB =⇒=，又11y x =，22y x =， 则1221)3yy x x +=-，2112)3y y x x -=+． 又 122x x x =+，122y y y =+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（不存在）14．已知点(1, 0)F ，直线:2l x =，设动点P 到直线l 的距离为d ，已知||2PF d =，且2332d ≤≤． （1）求动点P 的轨迹方程；15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >）交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）．（1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；（3a =）（2）若2a =，当k 变化时（k R ∈），求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅．（1）求双曲线C 的方程； （2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求实数k 的取值范围．解：（I ）依题意有：2222222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分 （Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN ，直线MN 的方程为1y x b k=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组由221y x b,k3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………9分 显然23k 10-≠，∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ①设线段MN 中点D （00x ,y ）则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D （00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b 43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 222k b +bk 0>，解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k -．即k >或1k 2<，且k≠0． ∴k 的取值范围是113(,(,0)(0,)(,)3223-∞--+∞．…………………14分17．已知向量OA =(2，0)，OC =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM -d 2)，其中O 为坐标原点，K 为参数.（Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围.18．过抛物线24y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=，1()2OM OA OB =+，1()2ON OC OD =+．（1）求证：直线MN 过定点；（2）记（1）中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角；（3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西）如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且90EMF ∠=，求△EMF 的重心G 的轨迹．思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >），则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=-．∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0ky y y ky -+-=，解得01F ky y k-=，∴ 202(1)F ky x k -=， ∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)．所以直线EF 的斜率为定值． 法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ，由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即010211y y y y =-++，∴ 1202y y y +=-．所以，1212221212120112EF y y y y k x x y y y y y --====---+（定值）． 第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273y x x =->．20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB '=+． （1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；（2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。

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高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程， 称之直接法。

例1 已知点)0,2(-A 、).0,3(B 动点),(y x P 满足2x =⋅，则点P 的轨迹为（ ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解：),3(),,2(y x y x --=---= ，2)3)(2(y x x +---=⋅∴226y x x +--=. 由条件，2226x y x x =+--，整理得62+=x y ，此即点P 的轨迹方程,所以P的轨迹为抛物线，选D.二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征,再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例2 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列,且b c a >>,2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.解：如右图,以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系。

由题意，b c a ,,构成等差数列，∴c 2即4||2||||==+AB CB CA ,又CA CB >,∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，1,2='='c a ,3='b ,故C 的轨迹方程为)2,0(13422-≠<=+x x y x 。