高二数学选修2-1知识点总结材料(精华版)

高二数学选修2－1第一章：命题与逻辑结构 知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。

其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。

若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”。

6、四种命题的真假性：原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假假假四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝。

数学选修2－1第一章：命题与逻辑结构 知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。

若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. “若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。

其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。

若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”。

6、四种命题的真假性：原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假假假四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝。

高二数学选修2－1知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.6、四种命题的真假性：原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”． 10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．11、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质： 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210x y a b a b+=>> ()222210y x a b a b+=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率)01c e e a ==<<准线方程2a x c=±2a y c=±13、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．14、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．15、双曲线的几何性质： 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b-=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围x a ≤-或x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A()10,a A -、()20,a A轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距()222122F F c c a b ==+对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率)1c e e a ==>准线方程2a x c=±2a y c=±渐近线方程b y x a =±a y x b=± 16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．17、设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．18、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 20、焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02pF x P =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02pF x P =-+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02pF y P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02pF y P =-+．21、抛物线的几何性质：标准方程22y px = ()0p >22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程 2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率 1e =范围 0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤22、空间向量的概念：()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．()3向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作AB ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ()5与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．23、空间向量的加法和减法：()1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．24、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．25、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．28、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 29、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB +A ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=．30、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a O A =，b OB =，则∠A O B称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈． 31、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．32、已知两个非零向量a 和b ，则c o s ,a b ab 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即c o s ,a b a bab ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．33、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 34、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4cos ,a b a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．35、向量数乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅；()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．36、若i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z ，使得p xi yj zk =++，称xi ，yj ，zk 为向量p 在i ，j ，k 上的分量．37、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．38、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．39、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．40、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=． ()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． ()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===． ()721a a a x =⋅=+()821cos ,a b a b a bx ⋅〈〉==+()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =41、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．42、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点．43、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置． 44、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量． 45、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．46、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔ 0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．47、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．48、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．49、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．50、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．51、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算． 52、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=．53、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA ⋅=PA 〈PA 〉=．。

高二数学选修2-1知识点总结(完整版)算术平均数算术平均数是统计学中的一个重要概念，它是指把一组数字的和除以它们的个数，反映在一千个人中有多少人在某一条件方面的平度或中点，用数学公式表示就是：平均数= ∑（x1，x2，...Xn）/n其中，n表示给定的一组数字的个数，Xi表示具体的数字（i= 1，2，3，...n ）。

中位数中位数也叫中点数，是统计学中常用的一种量化指标，它表示一组数字中，从小到大排列顺序时，处于中间位置的那个数，或者从大到小排列时，处于中间位置的数字。

当数据由奇数个时，中位数就是处于中间位置的那个数字；而若是数据由偶数个时，中位数就是这组数据所有数字加总后除以2所得的值（例如：1，2，3，3，中位数为2）。

标准差标准差是统计学中的一个重要概念，它可以反映出一组数据的离散程度，是用来衡量一组数据的变异情况的，又称为离散度。

数学公式表达形式为：标准差= ∑（ xi-平均数）²/（n-1）其中，n表示样本数，Xi表示具体的数值，平均数表示数据的算术平均数。

众数众数=∑xi /n模数模数是数学中的一项概念，通常可以从1到最大数字取若干个数，这些数中，剩下不能用其他数表示的最大数，就叫做模数。

形式上可以用数学公式表示为：模数=M= GCD （a，b，c，…）其中，GCD表示最大公约数，a，b，c…表示一组数。

伯努利实验伯努利实验是统计学中的基本概念，它是指通过实验中多次试验，对两个或两个以上的事件的发生概率的分析，以估算出某个事件诞生的可能性，数学公式表示形式如下：P（A）= nA/nnA表示事件A成功的实验次数，n表示实验的总次数。

线性相关线性相关是统计学中常用的一种分析方式，它指的是通过查看两组数据间的关系，来判断两个或两个以上的变量之间是否存在直接关系，如果存在，就称之为线性相关。

数学表达式如下：其中，X1、X2、X3…Xn表示两组数据，n表示数据的个数。

高中数学选修2-1知识点总结高中数学选修2-1知识点总结高二数学选修2－1知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的可以判断真假的语句.真命题：.假命题：.2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.3、若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为；它的命题为“若p，则q”；它的逆否命题为。

6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否四种命题的真假性之间的关系：真真1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；假真2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．假真假假7、若pq，则p是q的，q是p的．若pq，则p是q的条件．若，则p 是q的充分必要条件。

若，则p是q的必要不充分条件。

8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．当p、q都为真时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个是假命题时，pq是命题．用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．当p、q时，pq是真命题；当p、q都是假命题时，pq是命题．对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p．若p是真命题，则p必是命题；若p是假命题，则p是命题．9.“对所有的”“对任意一个”常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对中任意一个x，有px成立”，记作“x，px”．全称命题p它的否定焦点焦距对称性离心率准线方程焦半径(设x0,y0)F1c,0、F2c,0F1F22cc2a2b2关于x轴、y轴、原点对称F10,c、F20,ccb2e120e1aaa2xcPF1ex0a，PF2aex0PF1ey0a，PF2aey013.双曲线的第一定义：。

（平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．）第二定义：。

14、双曲线的几何性质：焦点在y轴上焦点的位置焦点在x轴上图形标准方程范围顶点轴长焦点p：．全称命题的否定是命题．“存在一个”“至少有一个”常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在中的一个x，使px成立”，记作“x，px”．它的否定p：。

高二数学选修2-1知识点总结高二数学选修2-1知识点总结导语：对于所学知识，我们应当作出总结。

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基础梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．(3)全称量词用符号“”表示；存在量词用符号“”表示．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.一个关系逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．两类否定1．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题全称命题p：x∈M，p(x)，它的否定p：x0∈M，p(x0)．(2)特称命题的否定是全称命题特称命题p：x0∈M，p(x0)，它的否定p：x∈M，p(x)．2．复合命题的`否定(1)非(p∧q)(p)∨(q)；(2)非(p∨q)(p)∧(q)．三条规律(1)对于“p∧q”命题：一假则假；(2)对“p∨q”命题：一真则真；(3)对“p”命题：与“p”命题真假相反．双基自测1．(人教A版教材习题改编)已知命题p：x∈R，sin x≤1，则( )．A．p：x0∈R，sin x0≥1 B．p：x∈R，sin x≥1C．p：x0∈R，sin x0>1 D．p：x∈R，sin x>1解析命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题．答案 C2．(2011·北京)若p是真命题，q是假命题，则( )．A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题C．p是真命题 D．q是真命题解析本题考查命题和逻辑联结词的基础知识，意在考查考生对逻辑联结词的理解运用能力．只有q是真命题．答案 D3．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而不必要条件．命题q：函数y＝的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)则()．A．“p或q”为假 B．“p且q”为真C．p真q假 D．p假q真答案 D4．设p、q是两个命题，则复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是()．A．p、q中至少有一个为真 B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为真 D．p为真、q为假答案 C5．(2010·安徽)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________________．答案存在x0∈R，使|x0－2|＋|x0－4|≤3考向一含有逻辑联结词命题真假的判断【例1】(2010·新课标全国)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R 上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(p1)∨p2和q4：p1∧(p2)中，真命题是()．A．q1，q3 B．q2，q3C．q1，q4 D．q2，q4[审题视点] 根据复合函数的单调性判断p1，p2的真假．解析可判断p1为真，p2为假；则q1为真，q2为假，q3为假，q4为真．答案 C“p∨q”、“p∧q”、“q”形式命题真假的判断步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∨q”、“p∧q”、“q”形式命题的真假．【训练1】已知命题p：x0∈R，使sin x0＝25；命题q：x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出下列结论①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∨q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题．其中正确的是()．A．②③ B．②④C．③④ D．①②③解析命题p是假命题，命题q是真命题，故③④正确．答案 C考向二全称命题与特称命题【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：x∈R，x2－x＋41≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：x0∈R，x02＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x0，使x03＋1＝0.[审题视点] 改变量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．解 (1)p：x0∈R，x02－x0＋41＜0，假命题．(2)q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)r：x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命题．(4)s：x∈R，x3＋1≠0，假命题．全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．【训练2】写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：x∈R，x不是3x－5＝0的根；(2)q：有些合数是偶数；(3)r：x0∈R，|x0－1|＞0.解 (1)p：x0∈R，x0是3x－5＝0的根，真命题．(2)q：每一个合数都不是偶数，假命题．(3)r：x∈R，|x－1|≤0，假命题．考向三根据命题的真假，求参数的取值范围【例3】(2012·浙大附中月考)已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．[审题视点] 先解不等式将命题p与命题q具体化，然后根据“p或q”与“p且q”的条件可以知道命题p与命题q一真一假，从而求出m的取值范围．解由p得：－m＜0，Δ1＝m2－4＞0，则m＞2.由q得：Δ2＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，则1＜m＜3.又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p与q一真一假．①当p真q假时，m≤1或m≥3，m＞2，解得m≥3；②当p假q真时，1＜m＜3，m≤2，解得1＜m≤2.∴m的取值范围为m≥3或1＜m≤2.含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．【训练3】已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋1＞0对x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．解∵函数y＝ax在R上单调递增，∴p：a＞1.不等式ax2－ax＋1＞0对x∈R恒成立，∴a＞0且a2－4a＜0，解得0＜a＜4，∴q：0＜a＜4.∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p、q中必有一真一假．①当p真q假时，a≥4，a＞1，得a≥4.②当p假q真时，0＜a＜4，0＜a≤1，得0＜a≤1.故a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．规范解答1——借助常用逻辑用语求解参数范围问题【问题研究】利用常用逻辑用语求解参数的取值范围主要涉及两类问题：一是利用一些含有逻辑联结词命题的真假来确定参数的取值范围；二是利用充要条件来确定参数的取值范围.求解时，一定要注意取值区间端点值的检验，处理不当容易出现漏解或增解的现象., 【解决方案】解决此类题目首先是合理转化条件、运用有关性质、定理等得到参数的方程或不等式，然后通过解方程或不等式求得所求问题.【示例】已知c＞0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在，＋∞1上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c的取值范围．(1)p，q真时，分别求出相应的c的范围；(2)用补集的思想求出p，q分别对应的c的范围；(3)根据“p∧q”为假、“p∨q”为真，确定p，q的真假．[解答示范] ∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0＜c＜1.即p：0＜c＜1.∵c＞0且c≠1，∴p：c＞1.又∵f(x)＝x2－2cx＋1在，＋∞1上为增函数，∴c≤21.即q：0＜c≤21.∵c＞0且c≠1，∴q：c＞21且c≠1.又∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p真q假或p假q真．①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩且c≠11＝＜c＜11；②当p假，q真时，{c|c＞1}∩21＝.综上所述，实数c的取值范围是＜c＜11.解决此类问题的关键是首先准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．【试一试】设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根．求使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围．[尝试解答] 由x1＋x2＝－2m＞0，Δ1＝4m2－4＞0，得m＜－1.∴p：m＜－1；由Δ2＝4(m－2)2－4(－3m＋10)＜0，知－2＜m＜3，∴q：－2＜m＜3.由p∨q为真，p∧q为假可知，命题p，q一真一假，当p真q假时，m≥3或m≤－2，m＜－1，此时m≤－2；当p假q真时，－2＜m＜3，m≥－1，此时－1≤m＜3.∴m的取值范围是{m|m≤－2，或－1≤m＜3}．。

高二数学选修2—1知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q ”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p，则q ”，它的逆命题为“若q，则p ” .4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q ”，则它的否命题为“若「p，则「q ” .5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p，则q ”，则它的否命题为“若「q，则」p ” .6四种命题的真假性：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.7、若p-q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. 若p= q，则p是q的充要条件(充分必要条件).8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q • 当p、q都是真命题时，p q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p q是假命题.用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q .当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p q是假命题.对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作一p .若p是真命题，则一p必是假命题；若p是假命题，则一p必是真命题.9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“-”表示.含有全称量词的命题称为全称命题.全称命题“对M中任意一个x,有p(x )成立”，记作“灯，p(x )”. 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示.含有存在量词的命题称为特称命题.特称命题“存在M 中的一个x ，使p （x ）成立”，记作“ Ex 运M , p （x 10、全称命题p : - X-二| , p x ，它的否定—p : T x •二I , - p x .全称命题 的否定是特称命题.11、 平面内与两个定点F i , F2的距离之和等于常数（大于 F I F 2\ ）的点的轨迹 称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 12、 椭圆的几何性质：2■ ax =c13、设二I 是椭圆上任一点，点X 到F 1对应准线的距离为d 1 ,点划到F 2对应准线 14、平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数（小于IF 1F 2I ）的 点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线 的焦距.直1 ( -a,0 卜九2 (a,0 )A 1 (0, —a )、A 2 (0,a )顶点E 1(0,—b 卜 B 2(0,b )5(—b,0 卜 E 2(b,0)轴长 短轴的长=2b长轴的长=2a焦点 F1(—c,0 卜 F2(C ,0) F1(0,—C )、F2(0,C )焦距 F 1F 2= 2c(c 2=a 2_b 2) 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称-a_x_a 且-b_y_b -b 乞x 乞b 且「a 乞y 乞a 范围离心率 1-b 2 0 ：e ：：1 焦点的位置焦点在x 轴上图形标准方程2 27 by2=1a b 0准线方程2+ ay = —c的距离为d 2，则MF 』 d 1M F2 d 2y x —-1 a b 0 a b c e = =a抛物线的“通径”，即AB =2p . 20、焦半径公式：15、双曲线的几何性质: 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上e .d , d 218、 平面内与一个定点F 和一条定直线丨的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定 点F 称为抛物线的焦点，定直线I 称为抛物线的准线.19、 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 丄、三两点的线段，称为若点p(X o，y°)在抛物线y2=2px(p>0 )上，焦点为F，则PF =X o十号；若点P(x0, y0)在抛物线y2 = -2px( p >0 ］上，焦点为F，则PF| = -x^ +-p ;若点P(x o, y o )在抛物线x2=2py( p >0 )上，焦点为F，则PF| = y°+号; 若点P(x0,y°)在抛物线x2 = -2py( p = 0)上，焦点为F，则P^-y^-p .1求两个向量和的运算称为向量的加法, 循平行四边形法则•即：在空间以同一点21、抛物线的几何性质:顶点对称轴 x 轴 y 轴隹占八、、八、、F R, 02 F-匕01 2 > F 0」FV丿 12准线方程x — 2x」2y 二-_p 2T离心率e =1范围x X0 xEOy 工 0y 兰022、空间向量的概念：1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量.2向量可用一条有向线段来表示•有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指 的方向表示向量的方向.（3 ）向量AE 的大小称为向量的模（或长度），记作AEi .4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量. 5与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作. 6方向相同且模相等的向量称为相等向量. 23、空间向量的加法和减法:标准方程2小y 2 px图形0,02小y -2 pxp起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形ozc 三，则以°起点的对角线忌 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向 量加法的平行四边形法则.2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵 循三角形法则•即：在空间任取一点二a ，7 -b ，则二=a -b .24、实数■与空间向量a 的乘积■ a 是一个向量，称为向量的数乘运算.当时，龙与a 方向相同；当…：o 时，，a 与a 方向相反；当一o 时，为零向量, 记为o . A 的长度是a 的长度的»倍.25、设，，」为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结 合律.分配律：’a • b 二■ a * ；结合律：逬丄a = ■」a .26、 如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线 向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线. 27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量 a ，b ： = 0，a//b 的充要条件是存在实数■，使a = ■ b . 28、 平行于同一个平面的向量称为共面向量.29、 向量共面定理：空间一点P 位于平面C 内的充要条件是存在有序实数对T T Ty ，使工二x 兀 yZC ；或对空间任一定点若四点P, Z , C 共面，则「F -x-OA-称为向量a ，b 的夹角，记作a,b .两个向量夹角的取值范围是：a,b •(0，二L 31、 对于两个非零向量a 和b ，若a,b ',则向量a , b 互相垂直，记作a _ b .232、已知两个非零向量a 和b ，则ab cs ab 称为a , b 的数量积，记作a b .即x ，匸、，有-门」 x — • yZC ;或y 一「 C x y z = 1 .30、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ,作心-a ，忑-b ，则.-Ci；b =ab|j jcsib^ .零向量与任何向量的数量积为0 .33、 a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影b cosl?,b)的乘积.34、若a, b为非零向量，e为单位向量，则有i e;二a e二a cos a,:；ab a 与b 同向 '卜嗣（扌与b 反向）‘（4）cos 〈a, b 》=鲁^ ；（5）a b 兰也冶. a|忖3 a b c = a c b c .36、若r , j , k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p ，存在有序实数组 fx, y,z?，使得 xi yj zk ，称 xL , 的分量.37、空间向量基本定理：若三个向量 a , b , c 不共面，则对空间任一向量 p , 存在实数组「x, y, zl ，使得p yb zc . 38、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是:yb - zc,x, y, z- R .这个集合可看作是由向量 a ， b ， c 生成的，「；,b,丧称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量.空间任意三个不共面的向 量都可以构成空间的一个基底.T — T39、 设e ,，e 2，为有公共起点0的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位........ T T T T T T正交基底），以e ,， e,，e 3的公共起点0为原点，分别以q ，e 2，e 3的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz .则对于空间任意一个向量p ， 一定可以把它平移，使它的起点与原点 0重合，得到向量〔- p .存在有序实 …— n ，■呻 T T T , …，，一 d ......................... 数组：x, y, zf ，使得p = xei • ye 2 • ZQ .把x ， y ， z 称作向量p 在单位正交基底 T T T 屮 j e ,，e ,，Q 下的坐标，记作p h[x,y,z .此时，向量p 的坐标是点m 在空间直角 坐标系Oxyz 中的坐标 x,y,z . -I4彳 T40、设a 二 x 1,y 1,z 1，b = x>, y ,,z ,，贝U 1 a b = x , x ,, y ,y ,,乙 z ,.2 a —b =人—x ,, w 一 y ,,Z 1 — z ,.2a_b a b=0 ;3 a b =aa 「235、向量数乘积的运算律：1 < b =b a;2 a b = ■ a b ]=a ■ b ;yj' , zk 为向量p 在i , j , k 上48、设异面直线a ，b 的夹角为方向向量为a ，b ，其夹角为，则有3 a 二 ％, %,乙.呻T4 a b 二 X j X 2 y 1y 2 zz .5若a 、b 为非零向量，则 才_b ：= 2 b =0：= %X 2 • yM •牛2 =0.卄呻呻T 呻 寸 呻6 若 b 北 0，贝U a// b = a = ■ b =为=■ x 2, % = ■ y 2,乙二■ z 2.7 a =、才a = j x ： y" z 2.9 X i , y i ,Z i ，— X 2,y 2,Z 2 ，则 dX 2X 1 2y 2y Z 2Z 1 - 241、在空间中，取一定点0作为基点，那么空间中任意一点？的位置可以用向量TT「F 来表示.向量「F 称为点P 的位置向量.42、空间中任意一条直线I 的位置可以由I 上一个定点丄以及一个定方向确定.点 厶是直线I 上一点，向量a 表示直线丨的方向向量，则对于直线丨上的任意一点?, 有三“a ，这样点厶和向量a 不仅可以确定直线I 的位置，还可以具体表示出直 线i 上的任意一点.43、空间中平面〉的位置可以由〉内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线 相交于点0,它们的方向向量分别为a ，b . P 为平面〉上任意一点，存在有序 实数对x, y ，使得CF =xa yb ，这样点0与向量a , b 就确定了平面〉的位置. 44、 直线I 垂直：•，取直线I 的方向向量a ，则向量a 称为平面〉的法向量.-I 4 呻呻45、 若空间不重合两条直线a ， b 的方向向量分别为a ， b ，则a//b ：= allb =a b ［三 R ， a _ b = a _ b = a b = 0 .46、若直线a 的方向向量为a ，平面〉的法向量为n ， w a 丄nu a n=0， a 丄a 丄口二 a//nu a = ^r 47、若空间不重合的两个平面〉，一：的法向量分别为a ，b ，a = ■b ，:—:二 a _ b = a b = 0.且a *。

选修2-1、2-2知识点选修2-1第一部分 简单逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ”逆命题：“若q ，则p ”否命题：“若p ⌝，则q ⌝”逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝” 4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系：例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and )：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈∀；全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。

⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示； 特称命题p ：)(,x p M x ∈∃；特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀； 第二章 圆锥曲线与方程1. 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．2. 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。

3. 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．5.3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。